Crashkurs Mathematik

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1 Crashkurs Mathematik Teil III - Differentialgleichungen Leichter Lernen durch Beispiele und Musterlösungen Musterlösungen zu Prüfungsaufgaben von 985 bis Gewöhnliche Partielle - Lineare Nichtlineare - Homogene Inhomogene Ssteme Autonome Ssteme Konstante Koeffizienten Eakte Ähnliche Euler Bernoulli Riccati Bessel D Alembert Clairault Trennung der Variablen Variation der Konstanten Ansatzmethode Elimination Operatorenmethode Transformationen - Potenzreihenansatz Produktansatz - Prof Dr- Ing habil Thomas Adamek Universität Stuttgart Inst für Bioverfahrenstechnik

2 Wichtige Begriffe Tpen von Differentialgleichungen - Grundbegriffe Allgemeines über Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen Lösungen, Lösungsmethoden, Randbedingungen Inhomogene homogene Lösungen linearer Differentialgleichungen 3 Übersichtstafel für gewöhnliche, lineare, homogene Differentialgleichung 5 Übersichtstafel für gewöhnliche, lineare, inhomogene Differentialgleichungen 6 Trennung der Variablen (separierbare Differentialgleichungen) 7 Getrennte Veränderliche vom Tp d h g d 7 Getrennte Veränderliche vom Tp = h Getrennte Veränderliche vom Tp = h(a+b+c) 3 Getrennte Veränderliche vom Tp a +b +c = h d +e + f 5 Lösungsmethoden für lineare, homogene Differentialgleichungen 7 Wichtige Definitionen linearer, homogener Differentialgleichungen Wronski Matri 7 Lösungsmethoden für lineare, homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 9 Lineare, homogene Differentialgleichungen -ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 9 Lineare, homogene Differentialgleichungen 3-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Lineare, homogene Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 3 Homogene, lineare Differentialgleichung Ordnung 4 Lösungsmethoden für lineare, homogene Ssteme von Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten 5 Eigenwerte sind verschieden und reell 6 Eigenwerte sind auch mehrfach und reell 6 Eigenwerte sind auch komple 7 Sstem aus Eigen- und Hauptvektoren 8 Lösungsmethode mit der Matri-Eponentialfunktion 33 Homogene Eulersche Differentialgleichung 35 Lösungsmethode mit dem Ansatz = r 35 Lösung durch eine Transformation auf konstante Koeffizienten 37 Lösungsmethoden für lineare, inhomogene Differentialgleichungen 38 Lineare, inhomogene Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten an Beispielen n=,3,4 39 Lineare, inhomogene Differentialgleichungen -ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 39 Lineare, inhomogene Differentialgleichungen 3-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 46

3 Lösungsmethoden für gewöhnliche, lineare, inhomogene Differentialgleichungen -ter Ordnung 49 Lösungsmethode durch eine direkte Lösungsformel 49 Lösungsmethode durch die Variation der Konstanten 5 Lösungsmethoden für inhomogene Ssteme von Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 5 Entkoppelung mittels einer Transformationsmatri aus Eigenvektoren 5 Lösungsmethoden für inhomogene Ssteme mit der Variation der Konstanten 6 Inhomogene Eulersche Differentialgleichung 63 Nichtlineare Differentialgleichungen, die sich in lineare überführen lassen 66 Bernoullische Differentialgleichung 66 Riccatische Differentialgleichung 68 Gleichungstpus = f(,) 7 Linienelement Richtungsfeld Grafische Lösungen Randbedingung 7 Erstellen von Differentialgleichungen der Form F(,, ) = bzw = f(,) Isogonale Orthogonale Trajektorien 73 Eistenz Eindeutigkeit 76 Eakte Differentialgleichung 78 Integrierender Faktor 8 Ähnliche (Homogene) Differentialgleichung der Form = h( ) 85 Differentialgleichungen der Form = h(a+b+c) 85 a +b +c Differentialgleichungen der Form = h d +e + f 9 Elementare Lösungsmethoden für Differentialgleichungen - Ordnung 93 Differentialgleichungen der Form () = f () 93 Differentialgleichungen der autonomen Form () = f (, ) 95 Differentialgleichungen der Form () = f(, ) 98 Bessel Differentialgleichung 99 Differentialgleichungen von Clairaut bzw von d Alembert 3 Autonome Ssteme 5 Definitionen und Beispiele 5 Gleichgewichtslösungen 5 Phasenbahn, Trajektorie, Phasenporträt 6 Phasendifferentialgleichung, Stabilität 7 Tabelle der Stabilitäten ( - Ssteme) 8 Weitere Beispiele 9 Lösung mit Hilfe eines Potenzreihenansatzes Beispiele für Lösungen regulärer Gleichungen mit dem Potenzreihenansatz 3 Beispiel für Lösungen schwach singulärer Gleichungen 7 Tabelle der Potenzreihenansätze Tabelle von Differentialgleichungen und deren Lösungen 3

4 Ansatzmethode für lineare, inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 4 Operatorenmethode 33 Operatorenmethode für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 34 Eliminationsverfahren mit Operatoren für Ssteme von Differentialgleichungen 43 Variation der Konstanten 46 Variation der Konstanten für lineare, inhomogene Differentialgleichungen -ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 46 Variation der Konstanten für lineare, inhomogene Differentialgleichungen 3-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 47 Variation der Konstanten für lineare, inhomogene Differentialgleichungen -ter Ordnung 48 Variation der Konstanten für Ssteme von linearen, inhomogenen Differentialgleichungen -ter Ordnung mit (und ohne) konstante Koeffizienten 5 Lineare, partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung - Grundlagen 5 Einleitung - Definitionen und Beispiele 5 Randbedingungen 56 Koordinatentransformationen 58 Operatoren 6 Normalformen Klassifizierung in Tpen - Konstante Koeffizienten 64 Fourierreihen 7 Lösungsmethoden 74 Produktansatz Homogene Probleme 74 Beispiele 76 Produktansatz - Inhomogene Probleme 86 Einsetzen von neuen Variablen - Transformation auf die Normalform 93 Lösungen partieller Differentialgleichungen durch die Laplace-Transformation 98 Fourier Integrale und Laplace Transformationen 98 Anwendungen und Beispiele für Laplace Transformationen Anwendung der Laplace Transformationen auf Funktionen Anwendung der Laplace Transformationen auf Ableitungen Beispiele 4

5 Wichtige Begriffe für Differentialgleichungen Tpen von Differentialgleichungen und Grundbegriffe Eine Differentialgleichung ist eine Bestimmungsgleichung für eine gesuchte Funktion, in der neben auch Ableitungen von auftreten können Die Vielfalt an Differentialgleichungen ist unbegrenzt Die wichtigsten Unterscheidungsmerkmale sind: a Gewöhnliche Differentialgleichungen b Partielle Differentialgleichungen a Bei gewöhnlichen Differentialgleichungen hängt die gesuchte Funktion nur von einer Variablen (meist oder t) ab Damit kommt auch in den Ableitungen von nur eine Variable vor b Bei partiellen Differentialgleichungen hängt die Funktion f von mehreren Variablen ab Damit wird auch nach mehreren Variablen abgeleitet a Lineare Differentialgleichungen a b b Nichtlineare Differentialgleichungen Bei linearen Differentialgleichungen treten die Funktion und ihre Ableitungen nur linear auf Ausdrücke wie,,, usw treten nicht auf Bei nichtlinearen Differentialgleichungen treten solche Terme auf 3 a Homogene Differentialgleichungen b Inhomogene Differentialgleichungen a Homogen heißt eine Differentialgleichung, wenn eine Lösung u stets die Lösung c u zulässt, worin c eine beliebige reelle Zahl ist b Inhomogen heißt eine Differentialgleichung, wenn a nicht erfüllt ist 4 Ordnung einer Differentialgleichung Die Ordnung einer Differentialgleichung sagt aus, bis zu welcher Ableitung von Terme in der Gleichung vorkommen Beispiele 4 5= ist eine gewöhnliche ( hängt nur von ab), homogene (jede Lösung ergibt beliebige Lösungen c ), lineare ( und alle Ableitungen treten nur linear auf) Differentialgleichung -ter Ordnung (die höchste Ableitung ist ) u + u = ist eine partielle (u hängt mindestens von und ab), inhomogene (eine Lösung u schließt eine Lösung c u aus), lineare (alle Ableitungen treten nur linear auf) Differentialgleichung -ter Ordnung (die höchste partielle Ableitung ist die zweite Ableitung) 3 = ist eine gewöhnliche ( hängt nur von ab), nichtlineare ( tritt nichtlinear auf), inhomogene (mit ist nicht c Lösung) Differentialgleichung -ter Ordnung

6 Allgemeines über Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen A Lösungen, Lösungsmethoden, Randbedingungen Lösung und Randbedingung Unter einer Lösung versteht man in der Mathematik im Regelfall eine eindeutige Zahl oder Funktion, die eine bestimmte Fragestellung erfüllt Ist die Fragestellung durch eine Differentialgleichung definiert, so führt die Vorstellung einer einzigen Lösung in eine falsche Richtung, weil eine Differentialgleichung im Regelfall zunächst viele Lösungen besitzt Also wird unter dem Begriff Lösung stets diese Gesamtheit der Lösungen verstanden Die Vielfalt entsteht, weil Lösungen von Differentialgleichungen durch Integrationen entstehen und jede Integration bringt eine Vielfalt von Funktionen Wir nennen diese Gesamtheit aller Lösungen manchmal kurz die Lösung Beispiel Die Differentialgleichung = - besitzt offensichtlich eine Lösung = cos Daneben ist aber auch = cos eine Lösung oder allgemeiner auch = c cos, worin c eine beliebige, reelle Zahl ist Außerdem stellen wir fest, dass auch = sin bzw = d sin Lösungen darstellen, worin nun d eine beliebige, reelle Zahl ist Die Gesamtheit aller dieser partiellen Lösungen ist die Lösung der Differentialgleichung: = c cos+ d sin Häufig benötigen wir für eine bestimmte technische Fragestellung allerdings aus dieser Vielzahl nur eine, ganz spezielle Funktion, die das technische Problem löst Wir finden diese spezielle Lösung, wenn wir zusätzliche Erwartungen für die Lösung des technischen Problems in die Fragestellung mit einbringen Diese zusätzlichen Anforderungen an eine Lösung nennen wir dann die Randbedingungen der Differentialgleichung Beispiel Die Differentialgleichung = soll zusätzlich die Anforderung () = erfüllen Aus der Gesamtheit aller Lösungen fallen dann die Kosinusterme heraus:: ( ) = c cos+ d sin= c Randbedingung =, also verbleiben als Lösung: = d sin Um nun weiter zu spezialisieren, sei eine zweite Randbedingung vorgegeben, zb: () = Dann muss gelten: Randbedingung ( ) = d cos =, also d = Die spezielle Lösung heißt dann: = cos Merkregel: Um aus einer Lösungsgesamtheit eine spezielle Lösung herauszufinden, muss die Anzahl der Randbedingungen so groß sein wie die Ordnung der Differentialgleichung Wie können wir die Lösungsverfahren einteilen? Grundsätzlich eistieren zwei Verfahrensweisen in der Auffindung von Lösungen für Differentialgleichungen Eine direkte Lösungsmethode, wie zb Trennung der Variablen, Ansatzmethode, Operatorenmethode oder der Potenzreihenansatz Eine zweite, indirekte Lösungsmethode besteht darin, durch geeignete Transformationen den direkt nicht lösbaren Tpus einer Differentialgleichung zunächst zu transformieren in einen Tpus, der direkt lösbar ist

7 3 B Inhomogene homogene Lösungen linearer Differentialgleichungen Eine lineare Differentialgleichung heißt homogen, wenn für alle Lösungen = f() der Differentialgleichung stets folgt: = c () ist auch Lösung Ansonsten heißt sie inhomogen In der analtischen Darstellung der Differentialgleichung drückt sich die Inhomogenität so aus, dass in der Differentialgleichung neben der Funktion () und deren Ableitungen noch ein von () unabhängiger, eigenständiger Funktionsterm, zb g() vorkommt Beispiele für lineare, inhomogene Differentialgleichungen + = { + ist eine lineare, inhomogene Differentialgleichung g ( ) = + sin 4 34 homogen inhomogen ist eine lineare, inhomogene Differentialgleichung Die Lösung einer linearen, inhomogenen Differentialgleichung besteht aus zwei Bestandteilen Wir nennen sie den homogenen Anteil H und die partikuläre Lösung p { = { H + p { Gesamtlösung Homogene Anteil Partikuläre Lösung Der homogene Anteil sind die Lösungen, die wir erhalten, wenn wir in der Differentialgleichung den Term weglassen, der sie inhomogen macht Der homogene Lösungsanteil besteht aus einer unendlichen Funktionsmenge, die sich aber alle nur jeweils um eine Konstante unterscheiden Zum Verständnis für diesen Tatbestand sei daran erinnert, dass unbestimmte Integrale ebenfalls eine unendliche Funktionsmenge darstellen, die sich um eine Konstante unterscheiden Das Lösen von Differentialgleichungen bedeutet im Kern aber integrieren, wodurch die unendlichen Lösungsmengen entstehen Das Auffinden der homogenen Lösungen ist ein Bestandteil des Gesamtproblems Die partikuläre Lösung trägt der Inhomogenität des Problems Rechnung Sie besteht aus einem einzigen Funktionsausdruck Die Summe von jeweils einem Term aus der unendlichen Lösungsgesamtheit H zum homogen Anteil und dieser einen partikulären Lösung p zum inhomogenen Problem gibt die unendlich vielen Lösungen des inhomogenen Problems Dies können wir auch so formulieren: Zwei Lösungen des inhomogenen Problems unterscheiden sich jeweils um eine Lösung des homogenen Problems Anmerkung Der Term p alleine ist auch ohne die Funktionen H eine Lösung des inhomogenen Problems Lassen wir aber p in der Gesamtlösung weg, so stellen die verbleibenden Funktionsterme H keine Lösung des inhomogenen Problems dar Damit besteht das Lösen einer linearen, inhomogenen Differentialgleichung aus zwei Lösungsmethoden: Die Lösungsmethoden für homogenen Probleme zur Ermittlung von H Die Lösungsmethoden für inhomogenen Probleme zur Ermittlung von p

8 4 Wir werden deshalb die Beschreibung der Lösungsmethoden von linearen Differentialgleichungen unterscheiden in die Darstellungen der Lösungswege für homogene Probleme und in die Darstellung zum Auffinden von partikulären Lösungen des inhomogenen Problems Beispiel Gegeben sei die lineare, inhomogene Differentialgleichung = Das zugehörige homogene Problem lautet: = und besitzt die zwei Fundamentallösungen = und = Die Lösungsgesamtheit des homogenen Problems sieht damit so aus: H = c + c Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung heißt: p = damit lautet die Gesamtlösung des inhomogenen Problems: = H+ p = c + c { H p Anmerkung Wie wir die obigen Lösungen finden wird in den entsprechenden Kapiteln erklärt Man beachte, dass in der Lösung die homogenen Anteile von H ohne p keine Lösungen der Differentialgleichung darstellen, wohl aber in der Addition mit p So ist zb = keine Lösung, wohl aber = + 5 Die linearen Differentialgleichungen, die ua im Rahmen des Crashkurses Differentialgleichungen angesprochen werden, sind: Lineare, homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Lineare, inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 3 Homogene Euler Differentialgleichung 4 Inhomogene Euler Differentialgleichung 5 Lineare, homogene Differentialgleichungen -ter Ordnung 6 Lineare, inhomogene Differentialgleichungen -ter Ordnung 7 Ssteme von linearen, homogenen Differentialgleichungen -ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 8 Ssteme von linearen, inhomogenen Differentialgleichungen -ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Im Mittelpunkt der Ausführungen in diesem Skript stehen Lösungsverfahren von Differentialgleichungen Die Lösungsmethoden hängen ab von dem Tp der Differentialgleichung, wobei manche Methoden für verschiedene Tpen gültig sind Wir stellen die häufig verwendete Methode der Trennung der Variablen voran, beschreiben dann die Lösungsverfahren für verschiedene Tpen von Differentialgleichungen und schließen mit einigen speziellen Methoden, die sich auf unterschiedliche Tpen anwenden lassen Beispielhaft sind zwei Übersichtstafeln für lineare, homogene und lineare inhomogene Differentialgleichungen gegeben, in denen stark vereinfachend die verschiedenen Tpen und ihre Lösungsmethoden dargestellt sind Diese Tafeln sollen nur dazu dienen, eine Übersicht über die Vielfalt linearer Differentialgleichungen und ihrer Lösungsmethoden zu erhalten, sind aber nicht eakt genug, um sie als Lösungsmuster zu verwenden

9 C Übersichtstafel für gewöhnliche, lineare, homogene Differentialgleichung 5 Tp Konstante Koeffizienten Euler Ssteme Ordnunmethode Darstellung Lösungs- Lösung -ter + a + a = λ λ H = c e + c e 4444 Ansatz: λ H = c e + c e = e + c3e 4 34 P( λ) = λ + a λ+ a= 3-ter + a + a + a = P( λ) = λ 3 + a λ + a λ+ a= n-ter ( n) ( n ) + an + + a + a = P( λ) = λ n + an n λ + + a λ + a = -ter 3-ter n-ter Ssteme -ter -Ordnung λ Nullstelle von P( λ) λ λ λ3 λ c e H = λ + + ce n n + a + a = r H = c + c Pr () = r( r )+ ra+ a= 3 + a + a + a = = r H = c + c + c3 Pr () = r( r ) ( r )+ r( r ) a + ra + a = r aus P(r)= n n ( ) + + a + a + a c c c Pr () = r( r ) ( r ) ( r n+ )+ + r ( r ) a+ ra + a= H = = a + a = a + a = a + a + a33 = a + a + a33 3 = a3 + a3 + a333 r r r r 3 r r r 3 = A c e = λ () t + c e λ ( t ) Ansatz: λ = e t 4 34 λ Eigenwert+ t Eigenvektor von A λ () λ ( ) λ c3 e 3 ( 3) + t = c e t + c e t Nicht Konstante Koeffizienten -ter Ordnung = A( ) Trennung Variablen d = ( ) d = A() d e A

10 D Tp Konstante Koeffizienten Übersichtstafel für gewöhnliche, lineare, inhomogene Differentialgleichungen 6 Ordnung Darstellung Lösungsmethode Lösung -ter + a + a = g() { Variation d Konstante Störfunktion P λ ) = λ + a λ+ a= am Beispiel n = 3 p = c( ) + c( ) + c3( ) 3 = c (),c (),c 3() aus: H + p = c + c + c33 = λ c + c + c33 = ce λ + c e + p, c + c + c33 = g( ) λ p = c e λ ( ) + c( ) e 3-ter + a + a + a = g() { Ansatzmethode Störfunktion P λ ) = λ 3 + a λ + a λ+ a= p = g*( ), bzw n-ter ( n) ( n ) worin g*() aus der Familie + an + + a + a = g( ) { der g() Störfunktion = P n an n Störfunktion ( ) = a + a = H + p = 3 Operatorenmethode λ [ PD ] = g p = PD ( g ( [ ] ce λ + c e + p, p = g * speziell () Euler Ssteme Nicht Konstante Koeffizienten -ter + a + a = g () Pr () = r( r )+ ra+ a= 3-ter 3 + a + a + a = g () Pr () = r( r ) ( r )+ r( r ) a + ra + a = n-ter n () n + + a + a + a = g ( ) Pr () = rr ( ) ( r ) ( r n+ )+ + rr ( ) a + ra + a = -ter -Ordnung Ssteme -ter Ordnung Ansatzmethode g p = *( ), worin g*() aus der Familie der Störfunktion g() Transformation + Rücktransformation = 444 e t 444 t=ln3 Euler Konst Koeffizienten = H+ p = r r r c + c + c p, p =g * speziell = a + a + b() Entkoppelung zb λ = a + a + b() = c e () λ t + c e ( ) n= t z z c = A + b = T z = λ + ( ) p () z = λz + c( T Matri der Eigenvektoren = a + a + a33 + b( ) von A λ = a + a + a33 + b ( ) = c e () λ t + c e ( ) t Elimination λ 3 = a3 + a3 + a333 + b ( ) ce 3 ( 3) + t + p 3 3 () = A( ) + B( ) 3 Variation d Konstante Variation d Konstanten = H+ p, p = c( ) { H Direkte Formel = u ub () d, mit u aus : u = -A() u A B = e ( ) d () d { H H bzw = e A ( ) d e A ( ) d B()d

11 7 Trennung der Variablen (separierbare Differentialgleichungen) Man nennt Differentialgleichungen separierbar, wenn sie in folgender Form geschrieben werden können: d = h g d = ( ) ( ), mit g() Wir werden unterscheiden, ob eine Differentialgleichung direkt in der separierbaren Form vorliegt oder ob sie durch mathematische Operationen in eine solche Form gebracht werden kann Letzteres ist der Fall bei Differentialgleichungen vom Tp = h bzw = h ( a+b+c a +b +c ) bzw = h d +e + f Wir beginnen mit der Voraussetzung, dass die separierbare Form direkt vorliegt d Getrennte Veränderliche vom Tp = h g d = ( ) ( ), mit g() Die Gleichung enthält die Differentialvariable (die Variable wird nach der Variablen differenziert) und ein Produkt von stetigen Funktionen h() und g() Durch Umstellen trennen wir die rechte und linke Seite der Gleichung in Funktionen der Variablen und auf Damit wird auch die Abhängigkeit (), also hängt von ab, aufgelöst: d = h( ) d (*) g () Keine Variable hängt nun erkennbar von der anderen ab Die Integration auf beiden Seiten ergibt: d = h( ) d, also G( ) = H( ) + c 4 g () H ( ) + e G()+d G() und H() sind die unbestimmten Integrale der Gleichung (*) Die Konstante c wird aus der Anfangsbedingung ( ) = bestimmt: c= G( ) H( ) Eine direktere Lösungsmöglichkeit ist die Berechnung durch Integration der bestimmten Integrale Die Integrationsgrenzen sind durch die Anfangsbedingungen festgelegt: dt = dt gt () ht () Wenn man beide Seiten integriert und dann nach auflöst, so erhält man eine Funktion = f() Diese Funktion ist die gesuchte Lösung der Differentialgleichung

12 8 Beispiele: ) Der radioaktive Zerfall Die Differentialgleichung heißt gemäß der phsikalischen Grundaussage : dm m () t = = k m() t dt Die Anfangsbedingung lautet: m(t=) = m Das Trennen der Variablen führt auf: Die Integration beider Seiten führt auf m µ µ= t d k dτ m mit dem Ergebnis ln m = m k t Die Auflösung nach m(t) ergibt m(t) = m e kt m dm =k dt Anstelle des Lösungsweges mit bestimmten Integralen lässt sich die Anfangsbedingung auch über unbestimmte Integrale in die Lösung einarbeiten Nach der Trennung der Variablen werden die unbestimmten Integrale gebildet: dm = k dt m Fasst man die zwei bei den Integrationen entstehenden Konstanten zu einer Konstanten zusammen, so erhält man die beiden Stammfunktionen: lnm = k t+ c Erst am Ende der Integration wird die Konstante c aus der Anfangsbedingung ermittelt: c= lnm k = lnm Daraus folgt mit < m ; < m: m m ln ln m = k t = m und damit m(t) = m e kt ) Elektrischer Schwingkreis Die Stromstärke I variiert mit der Zeit Die Differentialgleichung lautet: L di () t + RIt ()= U dt, worin I und t Variable und L, R und U Konstante sind Aus Messungen ergab sich folgende Lösung:

13 9 Rt ( t ) U It () = e L R Die analtische Lösung errechnet man anhand der Trennung der Variablen ( ) LdI= U R I dt, und daraus L U RI di = dt Die Integration I t U R i di = d L τ, mit i I und τ t, führt zum Ergebnis: R lnu R I lnu = L t Wir lösen über ln U R I R = U L t und = R RI e L t U nach I(t) auf, wobei wir RI < verwenden: U R U It ()= e L t R 3) Das Anfangswertproblem = mit () =, lässt sich mit der Trennung der Variablen lösen Es ist aber auch ein Beispiel dafür, dass Lösungen nicht eindeutig sein müssen Die Trennung der Variablen ergibt: d = d und führt damit über die uneigentliche Integration dη= dξ = -, mit η und ξ, zur Lösung: η für ( )= für < Natürlich wird das Anfangswertproblem neben () auch von der Funktion *() = gelöst Also ist die Lösung nicht eindeutig

14 4) Das Anfangswertproblem = mit () = ist ein Beispiel für Lösungen, die nur in einem bestimmten Bereich gültig sind (globales Eistenzproblem) Die Trennung der Variablen ergibt: d = d Wir integrieren beide Seiten von = bis bzw von = bis : dη= dξ Die Integration ergibt: η = = Der Lösungsbereich dieser Lösung ist nur durch das offene Intervall < gegeben, während () für alle, also auch für > definiert ist 5) Prüfungsaufgabe985 Man löse das folgende Anfangswertproblem: = - sin ; () = π 4 Wir schreiben zunächst die Gleichung um: = - sin = cos Dann unterscheiden wir die beiden Fälle i) cos und ii) cos = i) Mit cos läßt sich die Trennung der Variablen durchführen: cos d = d Die Integration beider Seiten mit Einbeziehung der Anfangsbedingung ergibt: π 4 d cos η η = ξ d ξ 3 3 tan = = arctan Der Fall ii) cos π π = führt auf = = konstant = cos 4 4, Widerspruch! Wir untersuchen jetzt die anderen drei Tpen von Differentialgleichungen, die durch eine geeignete Substitution der unabhängigen Variablen (im Regelfall ) in eine separierbare Form transformiert werden können

15 Getrennte Veränderliche vom Tp = h Kann eine Differentialgleichung in der Form = h geschrieben werden, so spricht man von einer homogenen Differentialgleichung Sie lässt sich durch die Substitution z ( ) = = z( ) lösen Für den Differentialquotienten gilt = h() z = z+ z woraus man hz () z z = herleitet Heißt die ursprüngliche Anfangswertbedingung ( ) =, so geht diese über in z ( ) = z = Vier Beispiele werden diese Substitution verdeutlichen Beispiele: ) Gegeben sei das Randwertproblem = + Lösung mit ()= Die Division der Differentialgleichung durch ( ) führt auf eine ähnliche Form: = hz + + = () Wir setzen hz z z = = z = z + z z = -z () = und erhalten eine für z und trennbare Differentialgleichung: z = hz z () z+ + z z + z = = Die Anfangsbedingung heißt jetzt: z( ) = =

16 Mit der Trennung der Variablen lässt sich die neue Differentialgleichung lösen: + z und daraus dz = d arcsinhz = ln + c und mit z( ) = = : arcsinh = ln + c c = { Die Lösung der Differentialgleichung für z lautet danach: ln ln e e z= sinh( ln )= = Mit der Rücktransformation () = z() gewinnen wir daraus zwei Lösungen Für > gilt > = = und für < : < = = + ) Es sei die Differentialgleichung gegeben: + = für > + Lösung ( ) Mittels der Division durch wird sie in die Form + = + übergeführt Sie stellt nun eine ähnliche Differentialgleichung dar Mit der Substitution z = = z errechnen wir =z+ z = + z + z z z = + z und daraus

17 3 Diese Differentialgleichung lässt sich durch Trennung der Variablen lösen: + z dz = d z Die Integrationen beider Seiten führen auf c e ln z z= ln+ c z =ln -z ( ) und Die Rücksubstitution = z führt auf die implizite Form der Lösung c e = z = ln -z ( ) Getrennte Veränderliche vom Tp = h(a+b+c) Differentialgleichungen der Form = h( a+ b + c) lassen sich lösen, wenn man als neue Variable die Größe einführt: z= a+ b+ c = z-a-c b Betrachtet man als von abhängige Variable (im Regelfall ist die Lösung () gesucht), so ergibt die Differentiation von z nach : dz d z a z = = a+ b = = d d b Aus = h(a+b+c) = h(z) erhalten wir mit z(,()) anstelle von () die neue Differentialgleichung z a = hz () z = a +b h(z) b Die Anfangsbedingung ( ) = geht mittels der Einführung von z über in die transformierte Anfangsbedingung z ( ) = z = a + b { + c ( ) Insgesamt erhalten wir ein Randwertproblem für z(), das mit der Methode der Trennung der Variablen lösbar ist Die gesuchte Lösung () errechnet man mittels z() aus z ( ) a c ( ) = b

18 4 Beispiele: ) Gegeben sei das Anfangswertproblem () = ( - ) + und () = - Ohne Probleme verifiziert man, dass für a=, b=- und c= der Ausdruck ( - ) von der Form z = (a+b+c) ist Deshalb setzen wir z() = - () () = z() = z Die Funktionsausdruck h(a + b + c) = h( ) = h(z) sieht offensichtlich so aus h(z) = z + Mit z = a + b h(z) = a + b (z +) = + (-)(z +) = - z und z( ) = z() = - (-) + = entsteht ein Anfangswertproblem für z(), das mit der Trennung der Variablen lösbar ist: z z = z d ζ = d ξ ζ Die Integration ergibt =, woraus man z z = z-a-c = = z= b herleitet Für errechnet man daraus ) Gegeben sei die Differentialgleichung = + Aus der Variablensubstitution z = +, dh = z + z =, dh = z, folgt insgesamt die neue Differentialgleichung für z und : z z = z =- = z z z Diese lässt sich mittels Trennung der Variablen aufintegrieren: z dz = d z Für z errechnet man (z= führt zur Lösung =) z+ lnz = + c

19 Wir setzen wieder z = + und erhalten + c + + ln = + c ln - = + c - e c { e e c Das Auflösen der Beträge ergibt: > : =+c e und < : =-c e 5 ( ) = = Der letzte Tp einer Differentialgleichung, die sich nach einer geeigneten Substitution der Veränderlichen durch die Trennung der Variablen lösen lässt, ist von der Form a +b +c = h d +e + f Wir setzen voraus, dass die Determinante D = a b d e ist Wäre dies nicht der Fall, so ließe sich die Differentialgleichung auf eine der Formen = h bzw = h( a+b+c) zurückführen Mit D hat das Gleichungssstem (, ) a + b + c = d + e + f = Wir verwenden diese Lösung um mit der Substitution η = nebst ξ = ( ) d d η + d = = d d( + ) = η ξ dξ = η die gegebene in eine ähnliche Differentialgleichung zu überführen Beispiel eine eindeutige Lösung + 4 = + Die Lösung des Gleichungssstems + 4 = ergibt = und = Dann lautet die Substitution: + = η = ξ =

20 Setzen wir = η + = ξ + nebst d d η + = = d d ξ + 6 ( ) d ( ) = η d = η ξ in die Differentialgleichung ein, so errechnen wir eine ähnliche Form: η + ( ξ+ )+ ( η+ ) 4 ξ+ η ξ η = = = ( ξ+ ) ( η+ )+ ξ η η + ξ Diese wird mit dem Ansatz z = η in die Form ξ z + z dz hz z z z z z z z z = = = + () = = dξ ξ ξ ξ z + ξ z Die Trennung der Variablen ergibt folgende Integrationen: z z dz = dξ dz = + z+ z ξ + z+ z z + z+ z dξ Wir lösen die Integrale auf: ξ + 4 z 3 arctan 5 dz = ln( + z + z ) 5 + d = dξ = lnξ + e ξ und erhalten direkt eine implizite Lösung: + 4 z 3 arctan 5 ln( + z + z ) 5 lnξ + c =, Fz (, ξ) = Die Rücksubstitutionen ergeben zunächst: + 4 η ξ η + η arctan ln lnξ + c = und schließlich: ξ ξ arctan ln ln( ) + c* = F (, ) =

21 7 Lösungsmethoden für lineare, homogene Differentialgleichungen In diesem Kapitel werden die Lösungsmethoden für folgende Tpen von Differentialgleichungen dargestellt: Lineare, homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten am Beispiel n=,3,4 und n Lineare, homogene Differentialgleichung -ter Ordnung 3 Ssteme von linearen, homogenen Differentialgleichungen -ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 4 Homogene Euler - Differentialgleichung Bevor wir mit dem epliziten Rechnen für diese Tpen von homogenen Differentialgleichungen werden einige wichtige Definitionen angezeigt, die im Zusammenhang mit Lösungen von homogenen Differentialgleichungen stehen Wichtige Definitionen für lineare, homogene Differentialgleichungen Definition linear unabhängige Funktion Die n Funktionen i (), i n, heißen linear unabhängig, wenn aus der Aussage: α ( ) + α ( ) + α3 3( ) + + αn n( ) = für alle im Definitionsbereich stets folgt, dass alle Koeffizienten α i = sind, i n Definition Fundamentalsstem Sind die n Funktionen i i n, Lösungen einer homogenen Differentialgleichung und linear unabhängig, so bezeichnen wir sie als Fundamentallösungen der Differentialgleichung Wir bezeichnen die Menge aller Linearkombinationen aus den linear unabhängigen Fundamentallösungen als das Fundamentalsstem der Differentialgleichung Das Fundamentalsstem zu einer gewöhnlichen, linearen, homogenen Differentialgleichung n - ter Ordnung besteht aus n Fundamentallösungen Seien nun n Funktionen i, i n, als Lösungen einer homogenen Differentialgleichung errechnet Die Frage, ob die Lösungen linear unabhängig sind und ein Fundamentalsstem darstellen, kann durch die so genannte Wronski - Determinante geklärt werden Eine Wronski-Determinante ist so erklärt Definition Wronski - Determinante W ( ) = ( ) ( ) 3( ) n( ),,,, ( ) ( ) 3 ( ) n( ),,,,,,,, ( ) ( ) 3 ( ) n( ) ( n ) ( n ) ( n ) ( ) ( ) 3 ( ) n ( n ) ( ) Nun gilt folgende Aussage Ist die Wronski-Determinante W() für ein einziges, so ist dies eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Lösungen i, i n, linear unabhängig sind und somit ein Fundamentalsstem darstellen Umgekehrt gilt:

22 8 Ist die Wronski-Determinante W{) = für ein einziges, so ist dies eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Lösungen i, i n, linear abhängig sind und somit kein Fundamentalsstem darstellen Beispiele Sei die gewöhnliche, homogene, lineare Differentialgleichung = gegeben Wir finden die drei Lösungen =, = und 3 = Bildet = α + α + α3 ein Fundamentalsstem? Wir prüfen dies zb an der Wronski-Determinante: W ( )= = Die Wronski-Determinante ist nicht nur an einer einzelnen Stelle sondern stets (für alle ) Also bilden die Lösungen ein Fundamentalsstem Sei die gewöhnliche, homogene, lineare Differentialgleichung = gegeben Wir finden die drei Lösungen =, = + und 3 = + + Bildet α + α ( + ) + α3 ( + + ) ein Fundamentalsstem? Wir prüfen dies wieder an der Wronski-Determinante: = W ( )= + + = ( + ) = Die Wronski-Determinante ist an einer einzigen Stelle, nämlich bei = -5 Deshalb bilden die Lösungen kein Fundamentalsstem Wir stellen in den folgenden Kapiteln die Lösungsmethoden für die einzelnen Tpen von linearen, homogenen Differentialgleichungen dar und beginnen mit den gewöhnliche, linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

23 9 Lösungsmethoden für gewöhnliche, lineare, homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Lineare, homogene Differentialgleichungen -ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Eine gewöhnliche, lineare, homogene Differentialgleichung -ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat das folgende Aussehen: + a + a = Der Koeffizient bei muss sein; ist er, so kürzen wir ihn auf Der Lösungsansatz für diese Form einer Differentialgleichung lautet: ( )= c e λ, worin c und λ beliebige reelle Zahlen sind Setzen wir diesen Ansatz in die Differentialgleichung ein, so erhalten wir: λ λ λ λ c e + a λ c e + a c e = Wir kürzen den Term c e λ und erhalten die λ-bedingung zum Lösungsansatz: λ + a λ+ a = P( λ) λ Setzen wir die zwei Nullstellen von P(λ) in den Lösungsansatz ( )= c e, so erhalten wir die so genannten Fundamentallösungen der gewöhnlichen, linearen, homogenen Differentialgleichung -ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Die Gesamtlösung zu unserem Problem heißt dann: = c λ e { + c λ e { Fundamentallösung Fundamentallösung Entsprechend dem Umstand, dass die Nullstellen von P(λ) verschieden reell, doppelt reell oder komple sein können, formulieren wir drei Beispiele Beispiel + 6= Das charakteristische Polnom P(λ) lesen wir direkt aus der Aufgabenstellung ab: { + { { 6 =, also λ + λ 6= λ + λ 6 λ Es führt auf die beiden reellen, verschiedenen Nullstellen λ = -3 und λ = Danach heißen die beiden Fundamentallösungen: 3 = e λ = e λ und = e = e Die Gesamtlösung lautet: λ = + = c e λ + c e 3 = c e + c e Beispiel Löse die folgende Differentialgleichung:

24 4 + 4= Das charakteristische Polnom P(λ) lesen wir direkt aus der Aufgabenstellung ab: {{ 4 + { 4 =, also λ 4 λ + 4= λ 4 λ + 4 λ Es führt auf die doppelte reelle Nullstellen λ, = Jetzt können wir zunächst nur eine Fundamentallösung daraus ablesen: λ = e = e Die zweite Fundamentallösung erhalten wir, wenn wir die erste Fundamentallösung mit multiplizieren: = λ e 3 = e zweite Fundamentallösung Diese zweite Lösung wurde zwar nicht hergeleitet, aber zumindest können wir durch nachrechnen bestätigen, dass es sich auch um eine Lösung handelt Sie stellt eine Fundamentallösung dar, da sie von der ersten linear unabhängig ist Die Gesamtlösung ist: c e = + c e Beispiel 3 Löse die folgende Differentialgleichung -ter Ordnung: = Das charakteristische Polnom P(λ) lesen wir wieder aus der Aufgabenstellung ab: {{{ =, also λ + 4 λ + 5= λ + 4λ + 5λ Es führt auf die konjugiert kompleen Nullstellen λ, = { ± { i α β Für eine komplee Nullstelle z = α + βi führt der Ansatz auf folgende komplee Lösung: = c e( α+ βi ) = c eα eiβ { = c eα ( cosβ+ isinβ) cosβ+ isinβ Ein mathematischer Lehrsatz besagt, dass der Realteil und der Imaginärteil einer solchen kompleen Lösung jeweils eine reelle Fundamentallösung darstellt: = c eα 4 cos 4 β 3 + c eα 4 sin 4 β 3 Fundamentallösung Fundamentallösung Für die zweite komplee Lösung z = α - βi ergeben sich die gleichen Fundamentallösungen, so dass eine komplee Lösung genügt, um beide reellen Lösungen zu errechnen In unserem konkreten Beispiel sieht die Lösung so aus: = c e cos( ) + c e sin( ) Fundamentallösung Fundamentallösung

25 Gewöhnliche, lineare, homogene Differentialgleichungen 3-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Eine gewöhnliche, lineare, homogene Differentialgleichung 3-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat das folgende Aussehen: + a + a + a = Der Koeffizient bei ist stets ; ist er, so kürzen wir ihn auf λ Setzen den Lösungsansatz ( )= c e in die Differentialgleichung ein, so erhalten wir: 3 λ λ λ λ λ c e + a λ c e + a λ c e + a c e = Wir kürzen den Term c e λ und erhalten die λ-bedingung zum Lösungsansatz: λ3 + a λ + a λ+ a = P( λ) Die drei Nullstellen von P(λ) ergeben jeweils eine Fundamentallösung zur Gesamtlösung: = c eλ + c e + c e λ λ 3 3 Nun gibt es folgende Konstellationen: i 3 reelle, verschiedene Lösungen λ, λ und λ 3 Dann heißt die Lösung so: λ λ λ = c e{ + c e{ + c3 e{ 3 Fundamentallösung Fundamentallösung Fundamentallösung 3 Beispiel = Das charakteristische Polnom lautet: λ 3 λ - 5λ + 6 = (λ - ) (λ + ) (λ - 3) =, mit den drei Nullstelle λ =, λ = - und λ 3 = 3 Die Lösung heißt: = c e{ + c e{ + c3 e{ Fundamentallösung Fundamentallösung Fundamentallösung 3 3 ii Eine einfache Nullstelle λ und eine doppelte Nullstelle λ,3 Dann heißt die Lösung: = c eλ c e c e + λ + 3 λ { { 4 34 Fundamentallösung Fundamentallösung Fundamentallösung 3 Beispiel + 3 4= Das charakteristische Polnom lautet: λ 3 + 3λ - 4 = (λ - ) (λ + ) =, mit der einfachen Nullstelle λ = und der doppelten Nullstelle λ,3 = -

26 Die Lösung heißt: = c e + c e + c e { { Fundamentallösung Fundamentallösung Fundamentallösung 3 iii Eine dreifache, reelle Nullstelle λ,,3 Dann heißt die Lösung so: = c eλ c e c e + λ + 3 λ { Fundamentallösung Fundamentallösung Fundamentallösung 3 Beispiel = Das charakteristische Polnom lautet: λ 3 3λ + 3λ - = (λ - ) 3 =, mit der dreifachen Nullstelle λ,,3 = Die Lösung heißt: = c e{ + c 3 e + c3 3 e Fundamentallösung Fundamentallösung Fundamentallösung 3 iv eine reelle Nullstelle λ und eine konjugiert komplee Nullstelle λ,3 = α+β i Dann heißt die Lösung so: = c e c e c e { λ + α β + 3 α β Fundamentallösung 4 cos 43 4 sin 43 Fundamentallösung Fundamentallösung 3 Beispiel = Das charakteristische Polnom lautet: λ 3 λ + λ - = (λ - ) (λ - ) =, mit der reellen Nullstelle λ = und der konjugiert kompleen Nullstelle λ,3 = ± i Die Lösung heißt: ( ) + = c e + c e cos c3 e sin c e c cos c3 sin Fundamentallösung Fundamentallösung ( ) = + +

27 3 Lineare, homogene Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Die Änderung von einer Differentialgleichung 3-ter zu einer n-ter Ordnung bringt keine prinzipiellen Neuerungen, außer das für n > 3 auch doppelte, konjugiert komplee Nullstellen für P(λ) auftreten können In dem Fall mehrfach konjugierter kompleer Nullstellen sind die Lösungen analog zum Fall mehrfacher reeller Nullstellen Bei mehrfach reellen Nullstellen werden die ergänzenden Fundamentallösungen bekanntlich durch Multiplikation mit,, gewonnen Beispiele + + = Das charakteristische Polnom lautet: 4 P( λ) = λ + λ + = ( λ + ) = ( λ+ i)( λ+ i)( λ i)( λ i) = und besitzt die doppelten, konjugiert kompleen Nullstellen ±i Die Lösung heißt in Analogie zu dem reellen Lösungsansatz für die Fundamentallösungen: = ccos+ csin+ c3cos+ c4sin Mit einem Trick konstruieren wir das nächste Demonstrationsbeispiel Dazu beginnen wir mit dem charakteristischen Polnom P(λ), welches wir als Nullstellenzerlegung darstellen: 3 P( λ) = ( λ i) ( λ+ i) ( λ ( + i))( λ ( i))( λ ) ( λ+ ) = λ 7λ + λ 3λ + 33λ 9λ 6λ + 3λ 36λ + 4λ 6 Nun benutzen wir diese Informationen für das nächste Beispiel ( ) ( 9) ( 8) ( 7) ( 6) ( 5) ( 4) ( 3) = Das charakteristische Polnom und dessen Nullstellenzerlegung haben wir oben berechnet Es heißt (so): 3 P( λ) = ( λ i) ( λ+ i) ( λ ( + i))( λ ( i))( λ ) ( λ+ ) Damit kennen wir das Fundamentalsstem von Lösungen c e c e c e = c4 e + c5 cos+ c6 cos+ c7 sin+ c8 sin λ = λ = λ =± i 34,, 5678,,, c 9 e cos+ c e sin 3 λ =± i 9,

28 4 Homogene, lineare Differentialgleichung Ordnung Die homogene lineare Differentialgleichung Ordnung hat die Form = A( ) Diese wird durch Trennung der Variablen gelöst Die Randbedingung sei ( ) = Wir lösen die homogene Differentialgleichung durch Trennung der Variablen: ln d = A() d, und anschließende Integration: d η η = A(t) dt Das Integrationsergebnis lautet: = A(t) dt Die zugehörige Lösung heißt: At () dt = e Anmerkung: Wenn die Randbedingung nicht direkt in den Lösungsweg einbezogen wird, dann heißt die Lösung: = c e A ( ) d, worin c R ist und aus der Randbedingung bestimmt wird Beispiele: ) Gegeben sei das Randwertproblem sin cos = - sin cos, mit ( ) = () = = Die Trennung der Variablen ergibt dt = sint cos t dt Die Integration führt auf t ln = cos = sin Wir lösen nach auf und erhalten = e sin Mit der Lösungsformel nebst =, = und A() = - cos sin rechnen wir schneller: At () dt sin tcos t dt t sin = e = e = e sin = e ) Gegeben sei die Differentialgleichung = Aus der Lösungsformel errechnen wir mit A() = : = c e A ( ) d = c e d = c e

29 5 Lösungsmethoden für lineare, homogene Ssteme von Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten Ein homogenes Sstem von Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten lässt sich stets in folgende Form bringen: = a + a + + ann = a + a + + ann = = n = an + an + + annn bzw in Matrizenschreibweise a a an a a a n = n an an ann n { { A also = A Darin sind (), (),, n () Funktionen von Beispiel = + 4 = ist ein lineares, homogenes Sstem, worin (t) und (t) Funktionen von t sind Wir lösen solche Ssteme von Differentialgleichungen über den Lösungsansatz λ = e t, der auf die Bestimmung der Eigenwerte von A λ, λ, über det( A λ E)= und auf ( ) = die Berechnung der Eigenvektoren von A t (), t (), über A λ E t Lösung des homogenen Sstems von Differentialgleichungen heißt dann: führt Die λ n = c e () λ t + c e ( ) λ t + + cn e n ( ) t Wir führen zunächst Beispiele von - bzw 3 3 Sstemen an, worin wir die Fälle i Eigenwerte sind verschieden reell ii Eigenwerte sind auch mehrfach iii Eigenwerte sind auch komple iv Es handelt sich um ein Sstem aus Eigenvektoren und Hauptvektoren Neben der Lösungsmethode mit Eigen- Hauptvektoren gibt es auch noch den Lösungsansatz v,mit der Matri Eponentialfunktion = e c c=, und c, c R, ss33 A c c

30 6 Eigenwerte sind verschieden und reell Beispiel = + 4 = Die Lösungsformel lautet: () λ c t e t t = ( ) λ + c t e, worin λ sowie λ die Eigenwerte und t () sowie t () 4 die Eigenvektoren von A = sind Also heißt die Lösung: t t = c e c e Eigenwerte sind auch mehrfach und reell Beispiel Gegeben sei die das Sstem von Differentialgleichungen = A mit A = 3 und = 3 Wir berechnen sämtliche Eigenwerte und Eigenvektoren von A und stellen daraus die Lösung des Sstems zusammen Die Eigenwerte heißen: λ, = und λ 3 = 5 Also liegt ein doppelter Eigenvektor vor Wenn die Sstemmatri A diagonalisierbar ist, wenn also drei linear unabhängige Eigenvektoren eistieren, heißt der Lösungsansatz so: λ () λ ( ) 3 λ 3 ( 3 ) = c e t + c e t + c e t Wenn die Sstemmatri A nicht diagonalisierbar ist, wenn also keine drei linear unabhängigen Eigenvektoren eistieren, rechnen wir mit einem Sstem aus Haupt- und Eigenvektoren (s Crashkurs Matrizen und S 8 in diesem Kapitel): =, t( 3) = und t ( ) t ( 3) t ( ) = = 5 t () Damit heißt die Lösung: = c e c e c e

31 7 Eigenwerte sind auch komple Beispiel 3 Man bestimme alle reellen Lösungen 3 = A mit A = 3 () 3 Lösung Das charakteristische Polnom lautet: det( A λ E)= λ 3 λ 3 = λ λ 9 3 λ ( ) = ( ) ( ) + Die Eigenwerte sind λ = und λ,3 = ± 3i Die Eigenvektoren heißen: i) λ = : 3 () t ( A - E ) t () = 3 () t = t () = t 3 () t 3 ii) λ = + 3i ( A - (+3i) E ) t () = 3i 3 t 3 3 i t 3 3i t Daraus lässt sich schon ein Fundamentalsstem konstruieren: + 3i + 3i = e 3i ; = 3 + i e ( + ) 3i Re ; = 3 + i e 3 + Im ( ) 3i 3i Dies führt auf 3 = e ; = e cos + sin und 3 3 = e 3 cos + sin 3 Die allgemeine reelle Lösung lautet: = c + c + c 3 3 ( ) ( ) ( ) 3 + 3i = t () = s 3+ i 3 i Wir zeigen jetzt Beispiele von Sstemen deren Matri A keine n Eigenvektoren besitzt, sondern nur Eigenvektoren und Hauptvektoren

32 8 Sstem aus Eigen- und Hauptvektoren Beispiel 4 Wir bestimmen die allgemeine Lösung (t), (t),z(t) des homogenen Sstems a b ẋ= A = + z = z z = z t () mit t () = t () und A = zt () 4 3 Wir bestimmen zunächst die Eigenwerte aus dem charakteristischen Polnom det( A λe)= λ 3 λ = ( λ) (( λ) ( 3 λ)+ 4)= ( λ ) = λ λ λ+ = ( λ ) Offensichtlich besitzt A den dreifachen Eigenwert λ,,3 = Wir bestimmen die Eigenvektoren aus der Gleichung () (A - λ E) = (A - E) () = : () () + z = = () () bzw für den ersten Eigenvektor: z = () () 4 z z = Dies ergibt () z () () = = und beliebig; also nur einen einzigen linear unabhängigen Eigenvektor, zb () = Offensichtlich gilt (Rg A - Rg(A - λe)) = 3 - = 3 (Vielfachheit der Nullstelle λ,,3 = ) Damit lässt sich A nicht diagonalisieren, dh es besteht kein Sstem aus drei Eigenvektoren um die Transformationsmatri T zu konstruieren () c Wir bestimmen die Hauptvektoren zweiter Stufe ( ) zum dreifachen Eigenwert λ anhand der Rekursionsformel: () (A - λe) ( ) = (A - E) () ( ) = () () () () Wir schreiben nun () anstelle um den Bezug zwischen Eigenvektoren und hauptvektoren zu dokumentieren Das Gleichungssstem 4 () () () z 3 Hauptvektor () ( ) = { Eigenvektor () () bzw () () + = z () () z = () () 4 + z =

33 9 () ergibt = - 4, z () = und, wenn wir beliebig () = wählen, um () ( ) senkrecht zu () () zu erhalten, den einzigen Hauptvektor -ter Stufe zu () () : In unserem Lösungsverfahren können wir zu jedem Eigenvektor maimal einen Hauptvektor zweiter Stufe verwenden Zu diesem Zweck stehen aber unendlich viele linear unabhängige Vektoren zur Verfügung Es ist nämlich neben () ( auch () = () der Vektor ) ( ) = () ( ) +α () ( ) 4 () ein Hauptvektor Stufe () d Wir bestimmen den verbleibenden Hauptvektor 3-ter Stufe ( 3 ) zum dreifachen Eigenwert λ = anhand der Rekursionsformel: () (A - λe) ( 3 ) = (A - E) () ( 3 ) = () ( ) Das Gleichungssstem () () () 3 + z = 3 3 () 3 = () () bzw z = () 4 z 3 () () 4 + z = 3 3 () ergibt nun 3 = 6, z () 3 = 8 und, wenn wir () 3 = wählen, um () ( 3 ) senkrecht zu () () zu erhalten, den einzigen Hauptvektor dritter Stufe: () ( 3 ) = 6 8 In unserem Lösungsverfahren können wir zu jedem Hauptvektor zweiter Stufe maimal einen Hauptvektor dritter Stufe verwenden Zu diesem Zweck stehen aber unendlich viele linear unabhängige Vektoren zur Verfügung Neben () ( 3 ist auch () der Vektor ) ( 3 ) = () ( 3 ) + α () () i, i=,, ein Hauptvektor 3 Stufe e Wir haben nun zum Eigenwert λ = ein Sstem von drei linear unabhängigen Hauptvektoren gefunden Mit diesen Hauptvektoren konstruieren wir das Fundamentalsstem von Lösungen (t) = c (t) + c (t)+ c 3 3 (t) Dies geschieht so: Wir multiplizieren unseren Hauptvektor erster Stufe, also den einzigen Eigenvektor () (), mit t e λt e t { = und erhalten den Lösungsanteil: (t)= t λ e t () { () = e t () () = e t () Für (t) wiederholen wir den Vorgang, multiplizieren nun aber ( ) anstelle von () () und erhalten einen ersten Term zur Fundamentallösung:

34 3 ( ) (t)= t e t () ( + ) () Wir ergänzen durch einen zweiten Term, indem wir das Verfahren für () wiederholen, dabei aber den Faktor t e t! anwenden: ( ) = et () ( ) () ( + () ) t (t)= t e t () t e ( ) + () () t t t t = e + t = e 4 4 Im analogen Verfahren bestimmen wir 3 (t) Wir beginnen mit dem Beitrag des Hauptvektors dritter Stufe 3 (t) = t e t () ( ( 3 + ), ) () ergänzen danach den Beitrag des Hauptvektors zweiter Stufe ( ), indem wir diesen nun mit t multiplizieren, ( ), t t 3 (t) = t e () 3 te ( ) + () ( ) + () und vollenden die Fundamentallösung 3 (t) durch den Beitrag des Eigenvektors (), wobei wir diesen nun mit t et multiplizieren: t t t t 3 (t) = e + t + = e t t 8 8 Die Gesamtlösung sieht dann so aus: (t) = c (t) + c (t)+ c 3 3 (t) ( ) = c e t () () + c e t () ( ) () + t () + c 3 e t () () t () ( 3) + t ( ) + () t t t = e c c c t t 8

35 3 Beispiel 5 Sei = A mit A = Aus det(a - λe) = folgt λ λ det(a - λe) = = ( - λ) λ 3 ( - λ) λ Wir errechnen also die einfache Nullstelle λ = und die dreifache Nullstelle λ,3,4 = () Für λ = errechnen wir einen Eigenvektor () aus B = : u v B = = w z u + w = v + z = u w z = u + w = Der erste Eigenvektor liefert die erste Fundamentallösung: = e () e = () Für λ,3,4 = sieht das Sstem so aus: B = u v w = z w = z = u z = u + w + z = () zu () = Der Rang von B ist drei; damit ist der Rangabfall Rg A - Rg B = 4-3 = ; dh es gibt einen ( ) linear unabhängigen Eigenvektor, nämlich () = und zwei Hauptvektoren zweiter Stufe ( ) ( ) bzw dritter Stufe ( ) ( 3 ) Der zweite Eigenvektor liefert die zweite Fundamentallösung: ( ) () = e = e

36 3 Für die Bestimmung der weiteren Fundamentallösungen berechnen wir die Hauptvektoren zweiter und dritter Stufe Für den Hauptvektor zweiter Stufe verwenden wir die Gleichung: u ( ) B ( ) = ( ) v () = w z ( ) ( ) =, w = z = u z = u + w + z = zu ( ) worin wir der Einfachheit halber v= gewählt haben Wir hätten ( ) auch aus dem Ansatz B ( ) ( ) = errechnen können Für den Hauptvektor dritter Stufe machen wir den Ansatz u ( ) B ( 3 ) = ( ) v ( ) = w z w = z = u z = u + w + z = worin wir v= gewählt haben Wir hätten ( ) ( 3 auch aus dem Ansatz B 3 ( ) ) ( 3 ) = errechnen können Die restlichen Terme zur Gesamtlösung sehen jetzt so aus: = e + e Die Gesamtlösung heißt dann insgesamt: () ( ) ( ) ( ) = c + c + c + c 3 3 Anmerkungen und 3 = e + e + e ( ) zu ( 3 ) =, Es gibt zu jedem Eigenwert λ i, i n, mindestens einen Eigenvektor, eakt sind es (Rg A - Rg B) Eigenvektoren Seien n q bzw n q- die Anzahlen der Hauptvekoren q- ter bzw (q-)-ter Stufe Dann gilt stets: n q n q- 3 Die Hauptvektoren höherer als zweiter Stufe sind nicht eindeutig bestimmt Wir können unter mehreren linear unabhängigen Vektoren wählen, denn neben () i ( q ) ist stets auch () i q () i q () i = ( ) ( ) + ( m), m q-, Hauptvektor zu λ i und A 4 Gleichwertig sind die Bestimmungsgleichungen der Hauptvektoren: () i ( q) () i ( q ) () i ( q) B = B q =

37 33 Lösungsmethode mit der Matri-Eponentialfunktion Zunächst rein formal lässt sich für jede Matri A eine Matri-Eponentialfunktion erklären: e e A A k A k = = A + A + A + A 3 +! 3!!! 3! k= k E und k A A A 3 = = + + A + A + k! 3!!! 3! k= Beispiele E 5 6 A= A A = 3 3 = und damit e A = E + A + A + = = 3 k 4 8 D D D D k k = = = 7 = 3 k ( ) 3 A= A = 3 A = 4 A = A =E A 5 = und A e =! 4! 3! 5! cos sin = sin cos 3! 5!! 4! Mit dieser Kenntnis können wir nun eine alternative Lösungsform zu einem linearen, homogenen Sstem mit konstanten Koeffizienten beschreiben a a an a a a n Das Gleichungssstem = besitzt die Lösung: n an an ann n { { A c c A = e c mit c = c c, cn R,,, c n 3

38 34 Ist zusätzlich die Randbedingung ( ) = gegeben, so lautet die Lösungsformel so: ( ) A = e ( ) = mit ( ) ( ) n Beispiel = + 4 = Nun ist A e = !! 9 3! 8 9 4! = und die Lösung heißt: = 8 4 c c 8 4 Setzen wir c = c so liefert die erste Zeile die ersten Terme der Fundamentallösung 5 = e 3 c und die Wahl = weist die zweite Fundamentallösung = e -3 aus c Danach können wir die Lösung auch so schreiben: =d d e e 5