Finanzmathematik Lehrbuch für Studium und Praxis

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1 Fiazmathematik Lehrbuch für Studium ud Praxis

2 Fiazmathematik Lehrbuch für Studium ud Praxis Mit Futures, Optioe, Swaps ud adere Derivate vo Adreas Pfeifer 6., aktualisierte Auflage VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nourey, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße Haa-Gruite Europa-Nr.: 56283

3 Der Autor Prof. Dr. Adreas Pfeifer ist Professor für Fiaz- ud Wirtschaftsmathematik a der Hochschule Darmstadt (Uiversity of Applied Scieces). adreas.pfeifer@h-da.de 6., aktualisierte Auflage 206 Druck Die bisherige Auflage sid uter dem Titel Praktische Fiazmathematik erschiee. ISBN Alle Rechte vorbehalte. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertug außerhalb der gesetzlich geregelte Fälle muss vom Verlag schriftlich geehmigt werde. Der Ihalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Deoch überehme Autor ud Verlag für die Richtigkeit vo Agabe, Hiweise ud Ratschläge sowie für evetuelle Druckfehler keie Haftug. Die dargestellte Iformatioe diee icht als Alageberatug oder Empfehlug für irgedwelche fiazielle Geschäfte. Eigetragee Warezeiche sid icht besoders gekezeichet. Deshalb ist de Bezeichuge icht zu etehme, ob sie freie Wareame sid bzw. ob Patete oder Gebrauchsmuster vorliege. Bei direkte oder idirekte Verweise auf Iteretseite distaziere sich der Verlag Europa-Lehrmittel ud der Autor vo de Ihalte dieser fremde Iteretseite. Verlag ud Autor hafte icht für die Ihalte dieser Seite. 206 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourey, Vollmer GmbH & Co. KG, 4278 Haa-Gruite Umschlaggestaltug: brauwerbeagetur, Radevormwald Druck: Mediehaus Plump GmbH, 5369 Rheibreitbach

4 Vorwort Für die 6. Auflage wurde das Kozept des Buches beibehalte, aber der Ihalt erheblich überarbeitet ud auch erweitert: Eie Vielzahl a Aktualisieruge wurde vorgeomme: Agefage vo der Preisagabeverordug (PAgV) über egative Zise bis hi zu eue Bediguge bei der geometrisch-degressive Abschreibug ud bei der Bewertug vo Derivate, um ur eiige Theme zu ee. Auch wurde viele Ergäzuge eigefügt, uter aderem zu geometrische ud arithmetische Mittelwerte, zu Auswirkuge vo Ziseszise bei iedrige Zissätze, zu Treasury-Bills, zum Mehrkurveasatz bei Zisderivate ud zum Eikommesteuertarif i Österreich. Gaze Abschitte wie beispielsweise zu Steuertarife i Deutschlad wurde eu erstellt. Das Literaturverzeichis ist aktualisiert ud auf grudlegede Werke beschräkt worde. Der Seiteumfag des Buches ist auf isgesamt 452 Seite agewachse. Extras: Olie Für die im Buch aufgeführte Beispiele ud Aufgabe gibt es Excel-Dateie uter der Iteret-Adresse mit dee Sie auf eifache Weise die Beispiele ud Aufgabe des Buches icht ur achvollziehe, soder auch mit adere Zahlewerte achreche köe. Vom gleiche Autor ud im gleiche Verlag ist Fiazmathematik Das große Aufgabebuch mit 444 Aufgabe, ausführliche Lösugswege ud eier herausehmbare Formelsammlug erschiee. Das Buch wedet sich a Studierede vo Fachhochschule ud Uiversitäte sowie a Praktiker i Bake, i Versicheruge ud i kaufmäische Bereiche, die sich mit Fiazmathematik beschäftige. Darüber hiaus richtet es sich a alle, die Iteresse a fiazmathematische Fragestelluge ud Atworte habe. Es wird viel Wert auf Aweduge ud Praxisbeispiele gelegt. Zum Abschluss jedes Kapitels gibt es Aufgabe, dere Lösuge Sie im Ahag fide. I de Kapitel bis 8 wird der klassische Stoff der Fiazmathematik behadelt, wie die Zis- ud Ziseszisrechug (eischließlich der Darstellug verschiedeer Zistage- Methode ud Geschäftstage-Kovetioe), das Äquivalezprizip, die Rete- ud Tilgugsrechug sowie verschiedee Arte der Abschreibug. Die Ermittlug des effektive Jahreszises ach verschiedee Methode u.a. ach der deutsche Preisagabeverordug wird ahad vieler Beispiele erläutert. Umfassed wird im Kapitel 7 die Bewertug festverzislicher Wertpapiere behadelt. Erklärt werde u.a. Begriffe

5 2 Vorwort wie Duratio, Kovexität ud Zisimmuisierug. Im Kapitel 8 werde Ivestmetfods ud dabei isbesodere die Auswirkuge des Durchschittskosteeffekts (Cost- Average-Effekt) auf Alageerfolge ausführlich erläutert. Die Bewertug vo Wertpapierdepots (Portfolios) aufgrud vo Redite ud Risiko wird im Kapitel 9 dargestellt. Hier wird auch erklärt, was die Kezahl Volatilität bedeutet, die zur Bewertug vieler Fiazprodukte otwedig ist. Derivative Fiazprodukte wie Optioe (eischließlich Biomialmodell ud Black- Scholes-Merto-Modell), Futures, Forward-Rate-Agreemets (FRAs), Swaps, Caps, Floors, Collars ud Repos werde im Kapitel 0 erklärt ud bewertet. Kapitel behadelt die Kezahl Value-at-Risk. Ahad vo Beispiele werde die wichtigste Methode zur Berechug dieser Kezahl beschriebe. Dabei wird isbesodere auf die Variaz-Kovariaz-Methode eigegage; aber auch die Historische Simulatio ud die Mote-Carlo-Simulatio werde erklärt. Außerdem wird das Mappig vo Zahlugsströme erläutert. Zu de i diesem Buch agegebee Beispiele ud Aufgabe gibt es Excel-Dateie uter der Iteret-Adresse mit dee Sie auf eifache Weise die Beispiele ud die Lösuge der Aufgabe icht ur achvollziehe, soder auch mit adere Zahlewerte achreche köe. Dazu fide Sie geauere Iformatioe im Ahag A. Dort sid auch ützliche Hiweise zur Awedug vo Excel i der Fiazmathematik agegebe. Die Lösuge zu de Aufgabe am Ede jede Kapitels fide Sie im Ahag B. Bei der sogeate modere oder stochastische Fiazmathematik (ab Kap. 9) spiele die Statistik ud die Wahrscheilichkeitsrechug eie große Rolle. Statistikgrudlage wie beispielsweise zur Normalverteilug fide Sie im Ahag C. Im Ahag D sid die Tarife der Eikommesteuer, des Solidaritätszuschlags ud der Abgeltugsteuer i Deutschlad agegebe. Begriffe wie Grezsteuersatz, Eigagssteuersatz ud Durchschittssteuersatz werde erklärt. Agabe zum Eikommesteuertarif i Österreich ud zur Steuerberechug i der Schweiz sid i Ahag E ud F zu fide. Ahag G ethält eie kurze Beschreibug wichtiger Zissätze. Das Ede vo Beispiele ist durch das Symbol gekezeichet. Bedake möchte ich mich bei alle, die mir Hiweise ud Verbesserugsvorschläge zu vorherige Auflage gegebe habe, isbesodere bei Herr Prof. Dr. Kowitz für seie Hiweise zur dritte Auflage. Für weitere Areguge ud Hiweise bi ich dakbar. Uter fide Sie im Iteret ebe de Excel-Dateie aktuelle Ergäzuge ud falls otwedig Fehlerkorrekture. Groß-Zimmer, im Jauar 206 Adreas Pfeifer

6 Ihaltsübersicht 3 Ihaltsübersicht Was ist Fiazmathematik? Beispiele Alagemöglichkeite Mathematische Grudlage...4 Aufgabe Zisrechug Prozetrechug Eifache Verzisug (Nachschüssige) Ziseszise Vorschüssige Verzisug Gemischte Verzisug Uterjährige Verzisug Stetige Verzisug Vergleich vo eifacher, expoetieller ud stetiger Verzisug Zahlugsstrom...66 Aufgabe Äquivalez, Effektivverzisug ud Kapitalwert Äquivalez Lösug der Gleichug für die Effektivverzisug Effektivverzisug bei uterjährige Zahluge Ivestitiosrechug Laufzeitabhägige Zissätze Marktzismethode...09 Aufgabe... 4 Reterechug Grudbegriffe Reteedwert ud Retebarwert Aufgeschobee, abgebrochee ud uterbrochee Rete Ewige Rete Reteperiode kleier als Zisperiode Reteperiode größer als Zisperiode...38 Aufgabe Abschreibug Grudlage Lieare Abschreibug Geometrisch-degressive Abschreibug Abschreibug i Staffelbeträge Leistugsabschreibug...52

7 4 Ihaltsübersicht 5.6 Ivestitiosabzugsbetrag Vergleich liearer ud geometrisch-degressiver Abschreibug...54 Aufgabe Tilgugsrechug Grudbegriffe Gesamtfällige Tilgug mit Zisasammlug Gesamtfällige Tilgug ohe Zisasammlug (Zisschuld) Ratetilgug Auitätetilgug Effektivverzisug bei Auitätetilgug Soderforme vo Darlehe Ratekredit Spezielle Aspekte A Provisioe ud sostige Koste B Steuer C Tilgug über Lebesversicherug...20 D Leasig...20 E Forward-Darlehe...20 F Beleihugswert...2 G Boitätsprüfug... 2 H Iflatio Aufgabe Bewertug festverzislicher Wertpapiere Barwert festverzislicher Wertpapiere Redite ud Arbitrage Berechug der Spot-Rates Sicherheit Duratio ach Macaulay Modifizierte Duratio ud Kovexität Reteidex REX...26 Aufgabe Ivestmetfods Grudlage Cost-Average-Prizip Ermittlug der Ateilspreise (Fodspreise) Redite Aufgabe Grudlage der Portfoliotheorie Problemstellug Portfolioauswahl Volatilität Aufgabe...299

8 Ihaltsübersicht 5 0 Derivative Fiazprodukte Fiazmärkte Floatig-Rate-Notes (Floater) Futures / Forwards Optioe...32 A Grudlage...32 B Fairer Optiospreis C Biomialmodell D Black-Scholes-Modell Forward-Rate-Agreemets Caps, Floors ud Collars Swaps Weitere Fiazprodukte Aufgabe Value-at-Risk Grudlage des Value-at-Risk Mappig vo Zahlugsströme (Cashflow-Mappig) Aufgabe...38 Ahag Ahag A: Kalkulatiosprogramm Excel A. Excel-Dateie der Beispiele ud Aufgabe aus diesem Buch A.2 Tipps zum Awede vo Excel im Fiazbereich Ahag B: Lösuge der Aufgabe Ahag C: Statistikgrudlage...44 C. Zufallsvariable ud stochastische Prozesse...44 C.2 Wichtige Verteiluge...48 Ahag D: Steuertarife i Deutschlad D. Eikommesteuer D.2 Solidaritätszuschlag D.3 Abgeltugsteuer Ahag E: Eikommesteuertarif i Österreich Ahag F: Eikommesteuertarife i der Schweiz Ahag G: Zissätze EURIBOR, LIBOR ud EONIA Ahag H: Literaturverzeichis Schlusswort Idex...444

9 6 Seid icht geldgierig, ud lasst euch geüge a dem, was da ist. De der Herr hat gesagt: Ich will dich icht verlasse ud icht vo dir weiche. Die Bibel. Hebräer 3, 5 (Übersetzug ach Marti Luther) Wie oft soll ich es Ihe eigetlich och erkläre, sagt der Mathematik- Professor i der Vorlesug, es gibt keie größere ud kleiere Hälfte. Eie Hälfte ist ebe eie Hälfte. Aber ich sehe scho, die größere Hälfte vo Ihe begreift das ie! Eie Frau fragt ihre vom Arzt kommede Ma: Was hat er gesagt? Zeh Euro. Nei, ich meie doch, was hast du gehabt? Acht Euro! Nei! Was dir gefehlt hat, will ich wisse! Zwei Euro! Seit Abschaffug der 0-Euro-Praxisgebühr im Jauar 203 ur och bei Zusatzleistuge vorkommed Aus eiem Brief eies Vaters a seie Soh, der studiert: Abei die vo dir gewüschte zeh Euro. Übriges schreibt ma zeh Euro mit eier Null ud icht mit drei Nulle. Vo jetzt a werde ich ur so viel ausgebe, wie ich eiehme, selbst we ich mir dafür Geld borge muss. Vo Mark Twai, amerik. Schriftsteller, , überliefert Ei Schotte kommt spät abeds ach Hause ud erzählt stolz seier Frau: Heute habe ich mir das Geld für de Bus gespart. Ich bi hiter dem letzte Bus hergelaufe; habe ih aber icht mehr erreicht. Seie Frau atwortete daraufhi kritisch: Warum bist du icht hiter eiem Taxi hergelaufe, du Dummer? Da hättest du och viel mehr spare köe.

10 7 Was ist Fiazmathematik? Bei eier Sparquote vo ugefähr zeh Prozet des verfügbare Eikommes ist ei eormes Geld- ud Realvermöge agehäuft worde. Es gibt ach Agabe der Deutsche Budesbak ( über füf Billioe Euro privates Geldvermöge i Deutschlad: als Bargeld oder agelegt i Sparkote, Aktie, Wertpapiere oder adere Fiazprodukte. Dagege stehe kapp zwei Billioe Euro a Verbidlichkeite, sodass das Nettogeldvermöge aller private Haushalte i Deutschlad bei über drei Billioe Euro liegt. Das Vermöge ist jedoch ugleich auf die Haushalte verteilt. Der Markt für Fiazalage wurde i de letzte Jahrzehte immer vielfältiger, wora auch Fiazkrise ichts geädert habe. Umso wichtiger ist es, Fiazgeschäfte korrekt bewerte zu köe. Dazu sid mathematische Berechuge ugeheuer wichtig. Die Fiazmathematik ist ei Gebiet der agewadte Mathematik ud befasst sich mit der mathematische Bewertug vo Fiazprodukte wie beispielsweise der Bewertug vo Kredite, festverzisliche Aleihe oder Optioe. Mit Hilfe der Fiazmathematik köe Eigeschafte dieser Fiazprodukte berechet werde. Grudsätzlich lässt sich die Fiazmathematik i die klassische Fiazmathematik ud i die modere (oder stochastische) Fiazmathematik eiteile. Die klassische Fiazmathematik beihaltet die Zis- ud Ziseszisrechug, die Rete- ud Tilgugsrechug ud das Äquivalezprizip. Mathematische Grudlage sid dabei Folge ud Reihe. Die modere (oder stochastische) Fiazmathematik, dere Basis die Wahrscheilichkeitstheorie ist. umfasst die Portfoliotheorie, die Bewertug derivativer Fiazprodukte ud die Risikoaalyse. Die stochastische Fiazmathematik wird i diskrete Fiazmathematik dazu gehört beispielsweise das Biomialmodell zur Bewertug vo Optioe ud stetige Fiazmathematik dazu zählt uter aderem das Black-Scholes-Modell uterteilt. Im ächste Abschitt folge drei Beispiele der klassische Fiazmathematik. I spätere Kapitel werde auch optimale Alagekombiatioe ud Risikoberechuge der stochastische Fiazmathematik betrachtet.. Beispiele Beispiel..: Drei Alagemöglichkeite Sie wolle.000 für zwei Jahre alege. Sie erkudige sich ud fide dabei Agebote vo drei Bake. Agebot A bietet 4% Zise im erste Jahr ud 4% im zweite Jahr. Die Zise des erste Jahres werde dabei im zweite Jahr mitverzist. Dies gilt auch für Agebot B, bei dem es im erste Jahr 6% Zise ud im darauf folgede Jahr allerdigs ur 2% gibt. Bei Agebot C erhalte Sie dagege im erste Jahr ur 2%, im zweite da allerdigs 6%. Agebot A B C. Jahr 4% 6% 2% 2. Jahr 4% 2% 6%

11 8 Was ist Fiazmathematik? Welches der drei Agebote ist das beste Agebot? Oder sid vielleicht alle Agebote gleich gut? Schätze Sie doch eifach eimal, ohe zu reche ud ohe weiterzulese. Welches Agebot würde Sie wähle? Im Durchschitt scheit jedes der drei Agebote 4% zu ergebe. Doch dies ist falsch. Um zu etscheide, welches Agebot das Beste ist, muss das sogeate Edkapital, das ist i diesem Beispiel das Kapital ach zwei Jahre, bestimmt werde. Beim Agebot A ergibt sich: Nach eiem Jahr habe Sie.000 plus 4% Zise, also plus 40. Dies ergibt.040. Nach zwei Jahre sid es.040 plus 4,60 Zise, also isgesamt.08,60. Beim Agebot B besitze Sie ach eiem Jahr.060, ämlich.000 plus 6% Zise (= 60 ). Für das zweite Jahr erhalte Sie da 2% Zise auf die.060, das sid 0, = 2,20 Zise, sodass Sie isgesamt.08,20 besitze. Sie köe leicht selbst achreche, dass Agebot C auch geau.08,20 liefert. Es überrascht zuächst, dass Agebot B ud Agebot C ach zwei Jahre geau de gleiche Betrag ergebe. Wir werde später sehe, dass das Edkapital bei Ziseszise mit gleiche Zissätze immer gleich hoch ist, gleichgültig ob die hohe Zissätze am Afag oder am Ede gezahlt werde. Zurück zum Beispiel. Isgesamt gilt: Agebot A B C Kapital zu Begi.000,00.000,00.000,00 ach. Jahr.040,00.060,00.020,00 ach 2. Jahr.08,60.08,20.08,20 Der Ertrag ist also bei Agebot A am höchste. Auch ohe Fiazmathematik köe Sie sage: Agebot A brigt durchschittlich 4% Zis oder wie gesagt wird: Die Redite bei Agebot A ist 4%. Wie köe Sie u die durchschittliche Verzisug für die adere zwei Agebote ausreche? Dies wird später behadelt. Ohe Fiazmathematik wisse Sie ur, dass die durchschittliche Verzisug wohl kleier als 4% sei muss, da.08,20 weiger als.08,60 ist. Die Lösug dieser Aufgabe wird auf Seite 45 f erklärt ud im Beispiel berechet. Im da folgede Beispiel werde die Berechuge auch für Alage mit uterschiedliche Zissätze bei mehr als zwei Jahre Laufzeit durchgeführt. Ei Studet schickt eie a seie Elter: Wo bleibt das Geld? Die kurze Atwort: Hier!

12 . Beispiele 9 Beispiel..2: Darlehe Sie wolle eie Eigetumswohug kaufe ud ehme dazu ei Darlehe vo bei 4% Zise i Aspruch. Ei Darlehe ist eie Ausleihug eies bestimmte Betrages auf eie bestimmte Zeit, wobei die Rückzahlug etweder i eiem Betrag bei Fälligkeit oder i festgelegte Rate erfolgt. Nach dem Durcharbeite dieses Buches köe Sie ausreche, wa Sie das Darlehe zurückgezahlt habe, we Sie beispielsweise 950 pro Moat zurückzahle. Jede Rückzahlug besteht aus der Tilgug ud de Zise. Uter Tilgug (im Schweizerische auch Amortisatio geat) ist derjeige Teil der Rückzahlug zu verstehe, der die Kreditschuld reduziert. Zur Iformatio sei ur agegebe, dass 27 Jahre ud 7 Moate zur Rückzahlug otwedig sid, d. h., es dauert 27 Jahre ud 7 Moate, bis die Schuld vollstädig getilgt ist. Um diese Zeit auszureche, sid allerdigs och zusätzliche Agabe otwedig. Zum Beispiel muss aufgeführt werde, wa die sogeate Zis- ud Tilgugsverrechug erfolgt. Die geaue Berechug wird im Kapitel 6.5 hergeleitet ud auf Seite 87 durchgeführt. Beispiel..3: Rete Sie habe zu Begi des Jahres auf ihrem Sparkoto. Das Sparkoto wird mit 4% verzist. Am Ede jedes Jahres hebe Sie.000 ab. I der Fiazmathematik werde i gleicher Höhe periodisch erfolgede Zahluge mit Rete bezeichet. Wie lage köe Sie u.000 abhebe, bis das gaze Kapital vo aufgebraucht ist? Ohe Zise auf dem Sparkoto reicht die Rete geau für 0 Jahre (0.000 = ). Reicht bei 4% Zise die Rete für oder 2 Jahre? Vielleicht och läger? I die Abb...a sollte Sie eimal i Abhägigkeit des Zissatzes Ihre Vermutug eitrage, für wie viele Jahre die Retezahluge reiche. Die korrekte Ergebisse sid i Abb...b zu fide. Bei eiem Zissatz vo 4% köe Sie 3 Jahre lag.000 abhebe. Ist der Zissatz größer oder gleich 0%, wird das Kapital ie aufgebraucht reiche bei jährlicher Zissatz Etahme vo.000 isgesamt 0% 0 Jahre 2% 4% 6% 8% 0% Abb...a: Werte für Beispiel..3

13 0 Was ist Fiazmathematik? Zise auf dem Sparkoto (Zissatz) reiche bei jährlicher Etahme vo.000 isgesamt für 0% 0,0 Jahre 2%,3 Jahre 4% 3,0 Jahre 6% 5,7 Jahre 8% 20,9 Jahre 0% ubegrezt Abb...b: Werte für Beispiel..3; Berechugsweise siehe Beispiel Etahme erfolgt am Ede jede Jahres Wie erhalte Sie diese Ergebisse? Die Vorgehesweise i der Fiazmathematik zur Lösug vo Probleme ist die Folgede: Zuächst werde alle Zahluge mit Hilfe eies Zahlestrahls dargestellt bzw. alle Zahluge i eier Tabelle zusammegestellt. Eizahluge: Auszahluge: ƒƒƒƒƒƒ ƒƒƒƒƒƒ ƒƒƒƒƒƒ ƒƒƒƒƒ...ƒƒƒƒƒ ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ> Zeit Abb...2: Zahlestrahl mit alle Zahluge Da wird mit eiem fiazmathematische Prizip (im Beispiel mit dem Äquivalezprizip) eie Gleichug aufgestellt. Für user Beispiel ist dies bei 4% Zise die Gleichug: ( + 0,04) =.000, (*) 0,04 wobei die (ubekate) Azahl der Jahre ist, wie lage die Rete vo.000 gezahlt wird. Die geaue Herleitug der Formel auf der rechte Seite vo (*) erfolgt im Abschitt 4.2 über die Reterechug. Aschließed wird die Gleichug (*) vereifacht: (,04) = 0, Diese Gleichug muss u ach der Ubekate aufgelöst werde. Dazu sid Ketisse der Potez- ud Logarithmerechug otwedig. Logarithmiere Sie beide Seite, ergibt sich l(,04 ) = l(0,6). (**) l ist die Abkürzug für de atürliche Logarithmus. Er wird i diesem Buch beim Logarithmiere stadardmäßig verwedet. Sie köe auch eie adere Logarithmus

14 . Beispiele awede, z.b. de Zeherlogarithmus. Wichtig ist, dass Sie auf beide Seite der Gleichug die gleiche Logarithmusfuktio verwede. Der Expoet auf der like Seite i Gleichug (**) ka vor de Logarithmus gezoge werde. Dies besagt die Recheregel: l(a b ) = b l(a). Also l(0,6) l(,04) = l(0,6) oder =. l(,04) Mit eiem Tascherecher erhalte Sie da = 3,024384, d. h., 3 volle Jahre köe jeweils.000 ausgezahlt werde. Aschließed bleibt och ei kleier Rest. Wie Sie isbesodere im letzte Beispiel gesehe habe, wird zur Lösug eies fiazmathematische Problems ei mathematisches Modell gebildet, d.h., es werde Eiflussgröße ud Zusammehäge ermittelt ud aschließed Gleichuge bzw. Ugleichuge aufgestellt. Zur Lösug gibt es da verschiedee Möglichkeite. Früher wurde dazu Tabellewerke oder Nomogramme verwedet. Nomos (griech.) bedeutet Gesetz ud gramma (griech.) Zeichug. Mit Hilfe graphischer Darstelluge vo Kurveverläufe, sogeate Nomogramme, köe die Lösuge vo Gleichuge abgelese werde. Diese Vorgehesweise ist zwar eifach, aber die abgelesee Ergebisse sid ugeau. I diesem Buch gibt es im Ahag ur eie Tabelle der Normalverteilug. Asoste werde zur Berechug Tascherecher ud Computer verwedet: a) Die Lösug köe Sie mit eiem übliche Tascherecher erhalte, we er etsprechede Fuktiostaste für Poteze ud Logarithme besitzt, die bei fiazmathematische Aufgabe beötigt werde. Für komplexere Fragestelluge gibt es spezielle Tascherecher für die Fiazmathematik. Bei diese Tascherecher sid viele Formel scho programmiert. Beispielsweise ka die Rückzahlugsdauer vo Darlehe ach Eigabe der Darlehesdate mit eiem Tastedruck ermittelt werde. b) Es gibt zahlreiche professioelle Computer-Software speziell zur Fiazmathematik, aber auch allgemei zum Hadel mit Fiazprodukte. Sie werde für de Bake-, Versicherugs- ud Immobiliebereich erstellt. Mit ihe köe viele fiazmathematische Fragestelluge meü-orietiert auf eifache Weise gelöst werde. Fiazmathematische Ketisse sid dabei zwar icht otwedig, aber sehr ützlich, um die Date korrekt eigebe ud die Ergebisse sivoll iterpretiere zu köe. c) Tabellekalkulatiosprogramme, wie beispielsweise LibreOffice Calc oder Microsoft Excel, köe verwedet werde, um selbst Programme zur Fiazmathematik auf eifache Weise zu erstelle. I fast jeder Büro-Software sid Tabellekalkulatiosprogramme ethalte. d) Sie köe eigee Programme i Programmiersprache wie beispielsweise C/C++, Java oder R schreibe.

15 2 Was ist Fiazmathematik?.2 Alagemöglichkeite Bei Geldalage sollte füf Pukte berücksichtigt. Es empfiehlt sich, Vermöge so sicher, so retabel, so liquide, so bequem ud so achhaltig wie möglich alege: Sicherheit bedeutet, dass Sie agelegtes Geld oder Kapital auch wieder bekomme. Die Sicherheit hägt vo viele Größe wie beispielsweise vo der Boität des Schulders, vo Währugsrisike oder vo Kursrisike ab. Die Retabilität ergibt sich aus dem Ertrag dieser Vermögesalage. Der Ertrag ka aus Zis- oder Dividedezahluge oder aus Wertsteigeruge bestehe. Uter Liquidität oder Verfügbarkeit wird verstade, wie schell ei agelegter Betrag wieder i ei verfügbares Bakguthabe oder i Bargeld umgewadelt werde ka. Die Bequemlichkeit (egl.: coveiece). Die beste Alage ist icht geeiget, we sie beispielsweise ur mit großem Zeitaufwad zu realisiere ist ud Sie diese Zeitaufwad scheue. Die Nachhaltigkeit/Ethik. Damit sid ökologische, ethische ud soziale Aspekte gemeit. Vielleicht scheide als Kapitalalage für Sie Aktie vo Rüstugs- oder Zigarettefirme aus. Oder Sie möchte ur i ereuerbare Eergie ivestiere. Jeder Aleger wertet die füf Pukte uterschiedlich. Grudsätzlich gilt für alle Forme der Vermögesalage: Je höher die Gewiaussichte, desto höher ist auch das Risiko. Wer viel gewie möchte, ka auch viel verliere. Eie Geldalage, bei der das Geld schell verfügbar, absolut sicher ud auch och sehr hoch verzist wird, gibt es icht. Die obige Kriterie schließe sich bis zu eiem gewisse Grad gegeseitig aus. Es gibt viele Alagemöglichkeite; auf eiige soll kurz eigegage werde. Sicherheit Nachhaltigkeit/Ethik Retabilität Alage Bequemlichkeit Liquidität Abb..2.: Die 5 Kriterie der Vermögesalage 2 Boität ist der Ruf bzw. das Image vo Persoe ud Uterehme; die Boität diet als Maßstab für die Zahlugsfähigkeit bzw. die Zahlugswilligkeit, vgl. auch Abschitt Oft werde i der Literatur die Aspekte Bequemlichkeit ud Nachhaltigkeit/Ethik icht aufgeführt. Da wird vom sogeate magische Dreieck gesproche, da ur drei Kriterie berücksichtigt werde.

16 .2 Alagemöglichkeite 3 Sichteilage sid Eilage bei Kreditistitute, über die bei Sicht ubegrezt ohe Küdigugsfriste verfügt werde ka. Dazu zähle Girokote ud Tagesgeldkote. Beim Girokoto köe Sie i der Regel durch Barabhebuge, Schecks oder Überweisuge verfüge. Beim Tagesgeld werde Beträge auf ei extra eigerichtetes Koto gezahlt, mit dem aber kei Zahlugsverkehr (Bezahlug vo Rechuge usw.) durchgeführt werde darf. Dafür wird das Tagesgeldkoto meist höher als das Girokoto verzist. Termieilage (z. B. Festgeldalage für drei Moate) sid Eilage, die für eie bestimmte Zeitraum agelegt werde oder mit eier bestimmte Frist geküdigt werde köe. Sie werde mit eiem feste Zissatz verzist, der meist höher als bei Sichteilage ist. Spareilage sid Sparguthabe bei eiem Kreditistitut, die icht dem Zahlugsverkehr diee ud die durch Ausfertigug eier Urkude (Kotoauszug, Sparbuch) kezeichet sid. Sie habe eie vereibarte Küdigugsfrist (meist zwische drei Moate ud vier Jahre). Küdigt der Sparer, ka er erst ach Ablauf dieser Frist sei Geld abhebe. Asoste muss er Strafzise (Vorschusszise) zahle. Er erhält bei lägere Küdigugsfriste höhere Zise. Sparbriefe habe eie feste Laufzeit, meist zwische zwei ud zeh Jahre. Sie erhalte i regelmäßigem Abstad vo eiem oder eiem halbe Jahr Zise, wobei die Ziszahluge bei mache Forme mit der Zeit steige. Bei der Form mit wachsedem Zis köe Sie als Aleger auch vorzeitig küdige. Sparbriefe werde icht a der Börse gehadelt. Festverzisliche Wertpapiere (egl.: fixed-iterest bods) verbriefe eie Geldschuld, die mit eiem feste Satz verzist wird. So fließe dem Ihaber regelmäßig Ziseiahme (quasi eie Rete) zu; deshalb heiße diese Wertpapiere auch Rete(papiere). Es gibt auch variabel verzisliche Wertpapiere, sogeate Floatig-Rate-Notes (FRN), kurz Floater. Bei diese Wertpapiere ist die Höhe der Verzisug icht zahlemäßig festgelegt, soder ka sich äder, de sie wird zu bestimmte Zeitpukte aus eiem Referezzis berechet. Verzisliche Wertpapiere werde auch als Aleihe bezeichet. Aktie (egl.: shares. stocks) verbriefe eie Beteiligug a der Gesellschaft ud beihalte eie Reihe vo Rechte: Teilahme a der Hauptversammlug, Dividedezahlug, Bezugsrecht auf eue Aktie bei Kapitalerhöhuge. Der Ertrag bzw. Wertzuwachs ist icht im Voraus festgelegt, er hägt vom Erfolg der Aktiegesellschaft ab. Geussscheie sid besodere Wertpapiere zwische Aktie ud Rete. Sie verbriefe bestimmte Vermögesrechte. Die Art ud der Umfag der eizele Rechte sid i de Geussscheibediguge festgelegt, die bei de verschiedee Geussscheie sehr uterschiedlich sei köe. Wichtige Ausstattugsmerkmale sid dabei die Regeluge der Ausschüttuge, der Risikobeteiligug ud der Laufzeit. Zwitter zwische Aktie ud Aleihe sid auch die Aktiealeihe oder Idexaleihe (auch Reverse-Covertible- Bods geat). Das sid Aleihe, die i der Regel höhere Zise als ormale Aleihe biete. Die Rückzahlug erfolgt jedoch i Abhägigkeit eies oder mehrerer Aktiekurse (Aktiealeihe) bzw. eies Aktieidexes (Idexaleihe). Wadelaleihe (egl.: covertible bods) beihalte eie (iedrige) feste Verzisug ud das Recht, die Aleihe i eiem bestimmte Verhältis i Aktie zu wadel. I der Praxis werde Alage mit eier Laufzeit uter 30 Tage och zu Sichteilage gezählt.

17 4 Was ist Fiazmathematik? Ivestmetfods (egl.: ivestmet fuds, mutual fuds) sammel das Kapital vieler Aleger, um es uter Beachtug des Fodszweckes ud der Alagerichtliie i verschiedee Vermögeswerte (z. B. i Aktie, Rete, Sachwerte) azulege. Ivestmetfods eige sich icht ur für Aleger mit kleie Beträge, die sost bestimmte Alage (z. B. i Immobilie) icht tätige köte, soder auch für Aleger, die keie Zeit habe, sich um eizele Alageetscheiduge zu kümmer. Derivate sid Fiazprodukte, dere Bewertuge sich überwieged vo de Preise bzw. Preiserwartuge zugrude liegeder Basisobjekte (z. B. Aktie, Aleihe, Zissätze, Devise) ableite. Mit Derivate köe mit gerige Mitteleisätze große Alagesumme bewegt werde. Dadurch ka eie höhere Redite i Bezug auf das eigesetzte Kapital erzielt werde. Allerdigs führt dieser Hebel-Effekt im ugüstige Fall zu hohe Verluste. Der höhere Redite steht also auch ei höheres Risiko gegeüber. Zu de Derivate zähle isbesodere Optioe, Futures, Swaps, Caps, Floors, Collars. Uter Asset-Allokatio wird die Strukturierug des Vermöges verstade, d. h. die Gewichtug der eizele Alageklasse (Aktie, Aleihe, Immobilie usw.). Dazu ist zuächst zu ermittel, wie die eizele Produkte i de Alageklasse zu bewerte sid..3 Mathematische Grudlage Zum Löse vo Probleme der klassische Fiazmathematik beötige Sie wie dies scho im Beispiel..3 dargestellt wurde Ketisse im Reche mit Poteze, mit Wurzel ud mit Logarithme. Die otwedige Recheregel fide Sie i alle gute mathematische Formelsammluge. Zum Übe ist auch Pfeifer/Schuchma (2007) ützlich, wo Sie ebe Formel auch viele Aufgabe mit Lösuge fide. Formel, die bei Beweise oft auftauche, sid i de folgede zwei Sätze agegebe. Satz.3. (Summeberechuge): Es gilt k= k ( + ) = ( ) + = für alle =, 2, 3,..., (I) 2 + k 2 3 q q = + q + q + q q + q =, wobei q, (II) q k= 0 + k q q q =, wobei q. (III) q k= ak ist eie abkürzede Schreibweise für die Summe a + a2 + a a + a. k= Uterhalb des Summezeiches Σ wird der Idex des erste Summade, oberhalb des Summezeiches der des letzte Summade agegebe. Der Idex (hier k) wird immer i Eier- Schritte hochgezählt.

18 .3 Mathematische Grudlage 5 + k q ( q q + q ) q q q k q = = +, falls q. (IV) 2 2 (q ) (q ) q k= + + Beweis: (I) Gesucht ist die Summe s der erste atürliche Zahle, d.h. s = Oder i umgekehrter Reihefolge s = Die Additio beider Gleichuge ergibt 2s = Da auf der rechte Seite dieser Gleichug Summade stehe, gilt 2s = (+) bzw. s = ( + ). 2 (II) Es sei s = + q + q 2 + q q. Multipliziere Sie diese Gleichug mit q, erhalte Sie qs = q + q 2 + q q + q +. Subtrahiere Sie die erste vo der zweite Gleichug, folgt: qs s = q +. Also (q )s = q +. Aufgelöst ach s ergibt diese Gleichug die Behauptug (II). (III) Die Aussage folgt aus k k q = + q q = k= k= 0 q + k q q =, wobei q q k= 0 q q q + = q q, wobei q. (IV) Nach (II) gilt:. Fasse Sie die like ud die rechte Seite dieser Gleichug als Fuktio vo q auf ud bilde auf beide Seite jeweils die Ableitug, erhalte Sie mit Hilfe der Quotieteregel: + k ( + )q (q ) (q ) kq =, wobei q. 2 (q ) k= 0 k (q q q + q q q ) q + Umgeformt ergibt dies (k q q ) = q. 2 k= 0 (q ) Daraus folge die Behauptuge (IV) durch eifache Umformuge, da der erste Summad der like Seite ull ist. + Beispiel.3.: = 00 k k= = 00 (00 + ) 2 = Beispiel.3.2: Oma Sparsam schekt ihrem Ekel Floria jede Woche eie Geldbetrag. I der erste Woche sid es 5 Cet, i der zweite Woche 0 Cet, i der dritte da 20 Cet. Jede Woche verdoppelt Oma Sparsam de Betrag. Nach welcher Woche hat Ekel Floria 02,35 zusamme?

19 6 Was ist Fiazmathematik? Da 02, Cet sid, heißt das Problem mathematisch ausgedrückt: Wie viele Glieder der Folge 5, 0, 20, 40, 80,... ergebe die Summe 0.235? Mit Satz.3.(II) folgt: = 5 ( ) = 5 ( ) = = = += l(2 ) = l(2.048). Also 2 5 l(2) = l(2.048) =. Nach elf Woche hat Ekel Floria 02,35 zusamme. I der Fiazmathematik spiele zwei Arte vo Zahlefolge eie große Rolle: Def..3.: Eie Zahlefolge heißt arithmetische Folge, we die Differez zweier aufeiader folgeder Glieder immer gleich groß ist. Eie Zahlefolge heißt geometrische Folge, we der Quotiet zweier aufeiader folgeder Glieder immer gleich groß ist. Die Summade, 2, 3,... aus dem Beispiel.3. bilde eie arithmetische Folge mit Differez. Die Summade aus Satz.3.(II) bzw. aus Beispiel.3.2 sid geometrische Folge mit de Quotiete q bzw. 2. Beim Rude vo Dezimalbrüche wird abgerudet, we die erste wegzulassede Ziffer 0,, 2, 3 oder 4 ist. Ist die erste wegzulassede Ziffer eie 5, 6 7, 8 oder 9, wird aufgerudet. Beim Abrude auf Dezimalstelle werde alle folgede Dezimale weggelasse. Beim Aufrude auf Dezimale werde die folgede Dezimale weggelasse ud die verbleibede Zahl um eie Eiheit der -te Dezimale erhöht. Beispiel.3.3: Soll jeweils auf drei Stelle hiter dem Komma gerudet werde, ergibt sich aus 2,45650 gerudet 2,457. 2,49999 wird gerudet auf 2,500. 3, wird gerudet auf 3,42. Die obige Rudugsregel ware ud sid auch bei der Umrechug vo Euro i Deutsche Mark oder Österreichische Schillig ud umgekehrt zu verwede. Dabei ist auf zwei Dezimalstelle zu rude: Beim festgelegte Umrechugskurs vo,95583 DM pro Euro [bzw. 3,7603 Österreichische Schillig pro Euro] ergebe 2 Euro geau 2 EUR,95583 DM/EUR = 3,966 DM. Gerudet sid dies 3,9 DM. [bzw. 2 EUR 3,7603 ATS/EUR = 27,5206 ATS. Gerudet sid dies 27,52 ATS.] DM sid geau EUR = 0, EUR; gerudet auf zwei Dezimalstelle ergibt dies 0,5 EUR.,95583 I der Fiazmathematik werde auch Methode zur Lösug vo Gleichuge beötigt. Diese Verfahre werde i Abschitt 3.2 behadelt.

20 Aufgabe 7 Aufgabe Aufgabe.: a) Auf welche Aspekte ist bei Geldalage zu achte? b) Was ist der Uterschied zwische eier geometrische ud eier arithmetische Folge? Aufgabe.2: Vorausgesetzt für die ächste Kapitel wird, dass Sie folgede Gleichuge ach x auflöse köe. (i steht für eie Zissatz ud ist keie komplexe Zahl). 20 a) 2 (x 9) = 6 (3 + x) 4 b) 8 (2x 0) = 0 c) + x = 200 d) 2 ( 0, ) ( + x) = 0 e) x ( + a) 4 = 5 f) x (3 + 3a) 6 = 9 (3 + 3a) 4 5 g) (+i) (2+2i) (3+3i) (4+4i) x = 0 h) x j) ( + i) x = 4 k) 00 ( + 0,2) x = 72, = i) x 4 = 8 3. Aufgabe.3: Herr Steireich zahlt auf das Sparkoto seies Sohes Geius 200 ei. Er will jedes Jahr weiter Geld eizahle, ud zwar geau das Doppelte des Betrags, de er im Vorjahr eigezahlt hat. Wie viele Jahre muss Herr Steireich och eizahle, damit er isgesamt eie Millio Euro eigezahlt hat? (Berechug ohe Zise) Aufgabe.4: Gegebe ist die Folge: 3, 9, 27, 8, 243,... Ist diese Folge eie arithmetische oder eie geometrische Folge? Erstelle Sie eie Formel für die Folgeglieder a k, k =, 2, 3..., d.h., we Sie i dieser Formel für k die Zahl 3 eisetze, müsse Sie 27 erhalte. Aufgabe.5: Gegebe sei die geometrische Folge.600,.200, 900, 675,.... Ab welchem Folgeglied k sid die Glieder der Folge kleier als 0,? Stelle Sie zuerst eie Formel für die Folgeglieder auf. Wer eie Egel sucht ud ur auf die Flügel schaut, köte eie Gas ach Hause brige. Georg Christoph Lichteberg, deutscher Physiker u. Schriftsteller,