1. Runde Aufgaben und Lösungen. Bundeswettbewerb Mathematik

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1 Bundeswettbewerb Mthetk Wssenshftszentru Postfh Bonn Fon: Fx: e-l: nfo@bundeswettbewerb-thetk.de Korrekturkosson Krl Fegert Aufgben und Lösungen. Runde 008 Über Koentre und Ergänzungen zu desen Lösungsbespelen freuen wr uns! Anshrft oder El Adresse s.o. Stnd: M 008

2 BWM 008 I Lösungsbespele Aufgbe : Frtz ht t Strehhölzern gleher Länge de Seten enes Prllelogrs gelegt, dessen Eken nht uf ener geensen Gerden legen. Er stellt fest, dss n de Dgonlen genu 7 bzw. 9 Strehhölzer pssen. We vele Strehhölzer blden den Ufng des Prllelogrs? Anerkung: De Rhtgket des Resulttes st zu bewesen. Antwort: In jede Fll blden Strehhölzer den Ufng des Prllelogrs. Geense Bezehnungen: De Längen zweer gegenüberlegender Seten des Prllelogrs snd beknntlh gleh, se seen t bzw. b bezehnet. De Längen der Dgonlen seen we üblh t e und f bezehnet.. Bewes (t Prllelogrglehung): Wr verwenden den us de Shulunterrht beknnten Hlfsstz HS: In jede Prllelogr, dessen Seten de Längen und b und dessen Dgonlen de Längen e und f hben, glt de Bezehung + b = e + f. In de n der Aufgbenstellung vorgegebenen Prllelogr glt zwshen den Zhlen und b lso notwendgerwese de Bezehung D C + b = ( + b ) = 30 + b = 65, A B zusätzlh üssen nh Aufgbenstellung de Zhlen und b postv und gnz sen. Wr suhen lso nh der Drstellung von 65 ls Sue der Qudrte zweer postver gnzer Zhlen und b. Insbesondere uss < 65 sen, lso knn höhstens de Werte,,..., 8 nnehen. Enfhes Ausproberen ller Möglhketen (65 = + 8 = + 6 = = = = = = 8 + ) ergbt, dss wel 6, 56, 40 und 9 kene Qudrtzhlen snd nur de Pre (,b) {(,8), (4,7), (7,4), (8,)} de Glehung t den Rndbedngungen erfüllen. Zu Pr (,8) und (8,) gehört ds nh Aufgbenstellung nht zugelssene Prllelogr, be de de Eken uf ener Gerden legen. Als enzge Möglhket bleben de unterennder kongruenten Prllelogre, de zu den Pren (4,7) und (7,4) gehören; bede hben den Ufng (4 + 7) = (7 + 4) = [Strehhölzer]. ϕ f e b Vrnte (t Stz des Pythgors): Wr bezehnen de Eken des Prllelogrs so t A, B, C und D, dss de Dgonle AC de Länge 9, de Dgonle BD de Länge 7 ht. Beknntlh hlberen sh Prllelogr de Dgonlen gegensetg; der Mttelpunkt deser Dgonlen se t M bezehnet. Der Fußpunkt des Lotes von B uf de Dgonle AC se t H bezehnet, de Länge des Lotes BH t h, de Länge von MH t x. O.B.d.A. lege M zwshen A und H; wr berükshtgen, dss H ußerhlb es Prllelogrs legen knn. Dnn ht de Streke AH de Länge 4,5 + x, de Streke HC de Länge 4,5 x. Nh Pythgors glt dnn n den Teldreeken MHB, CHB, AHB x + h = 3,5 D C ( 4,5 x ) + h = b (4,5 + x) + h = H x 4,5 x 4,5 M h b 3,5 Addton der beden unteren Glehungen ergbt A B [(4,5) + x + h ] = + b ; hern setzen wr de erste Glehung en und erhlten so ls notwendge Bedngung [(4,5) + 3,5 ] = + b, oder äquvlent 65 = + b. Von her shleßen wr we. Bewes.

3 BWM 008 I Lösungsbespele Vrnte (t os Stz): Se der Wnkel zwshen den Dgonlen, der der Sete t der Länge gegenüberlegt, t ϕ bezehnet (vgl. Fgur Bewes ). Dnn glt nh os Stz = e + f e f os(ϕ) und b = e + f e f os(80 ϕ); und herus folgt unter Berükshtgung der Vorgben e = 7 und f = 9 sowe der beknnten Identtät os(ϕ) = os(80 ϕ) + b 49 = e f 49 os(ϕ) e f 30 os(ϕ) = 4 = 65. Von her shleßen wr we. Bewes. 3. Bewes (rener Exstenzbewes): Wr kobneren de Dreeksunglehung, de Cuhy - Shwrzshe Unglehung und de Prllelogrglehung: De längere Dgonle des Prllelogrs bldet t zwe Seten der Länge bzw. b en Dreek. Nh Dreeksunglehung st lso 9 < + b oder äquvlent 9 < ( + b). () Aus 0 ( b) = + b b folgt sofort b + b. () Nh Prllelogrstz st ( + b ) = = = 30. (3) Des setzen wr zusen zu 9 < ( + b) = + b + b + ( + b ) + b = ( + b ) = 30 <. D und b bede postv gnzzhlg snd, st uh ( + b) postv gnzzhlg, dt st notwendgerwese + b = 0 oder + b =. Wäre + b = 0, so ergäbe sh 4b = ( + b) ( + b ) = 0 30 = 70 bzw. b = 35, ws Wderspruh zur Gnzzhlgket von und b steht. Es st lso notwendgerwese ( + b) = ; der Gestufng des Prllelogrs lso ( + b) =. Hnwes: Es wurde nht explzt nhgewesen, dss en solhes Prllelogr ttsählh exstert. D lle nderen Werte ußer usgeshlossen wurden und de Konstrukton n der Aufgbenstellung ls exstent vorusgesetzt wrd, st des uh nht notwendg. Häufge Fehler: Etlhe Telneher begnnen t ener suberen Zehnung: De Dgonle der Länge 9 legt zwe Ekpunkte des Prllelogrs fest, der Kres u deren Mttelpunkt t Rdus 3,5 st der Ort für de nderen beden Ekpunkte. Nun zehnet n u de Endpunkte der lngen Dgonlen Krese t gnzzhlgen Rden ls weteren Ort für de zwe nderen Ekpunkte und suht nh geensen Punkten von dre Kresen. Der Zehnung knn n nun entnehen, dss wohl nur de Krese t den Rden 4 bzw. 7 n Frge koen, d.h. dss de Seten des betrhteten Trpezes de Längen 4 bzw. 7 hben. Dese Vorgehenswese ersetzt nht den thetshen Bewes, dss de betrhteten Krese sh ttsählh n ene Punkt shneden, ebenso weng den Bewes, dss sh de übrgen Krese nht n ene Punkt shneden. Mnhe Telneher berehneten t de Tshenrehner nh de os-stz de Setenlängen öglher Prllelogre, de Dgonlen der Länge 7 bzw. 9 bestzen und be denen ene Sete ene gnzzhlge Länge bestzt. Wenn de ene Sete des Prllelogrs de Länge 4 (bzw. 7) bestzt, so lefert der TR, dss de nderen Sete de Länge 7 (bzw. 4) hben. Dese Vorgehenswese berükshtgt nht de Ttshe, dss be der Berehnung von os-werten der TR.A. nur Näherungswerte lefert. Es fehlt lso uh her en exkter Bewes, dss de zwete Sete wrklh ene gnzzhlge Länge ht. 3

4 BWM 008 I Lösungsbespele Aufgbe : Mn stelle de Zhl 008 so ls Sue ntürlher Zhlen dr, dss de Addton der Kehrwerte deser Zhlen den Wert ergbt. Vorbeerkung: De Aufgbe st vollständg und rhtg gelöst, wenn Zhlen,,..., ngegeben snd und de Rehnungen = 008 sowe = so vorgeführt werden, dss de Rhtgket des Rehenergebnsses ohne wetere Hlfsttel bestätgt werden knn. Dt st ene öglhe Lösung reht kurz:. Lösung (durh Proberen): Es st 008 = = = ; 0 l 0 l l lso st 008 de Sue von 0 Sunden t de Wert 80, 0 Sunden t de Wert 40 und Sunden t de Wert 4. De Addton der Kehrwerte deser Zhlen ergbt ttsählh = =. Obwohl ene Herletung der Suen nht verlngt wurde, stellen wr her enge Möglhketen dr. I Gegenstz zu nhen nderen Wettbewerbsufgben kot n her sowohl t snnvolle Proberen ls uh t ren konstruktven Vorgehenswesen zu Zel. Geense Bezehnungen: Def.: En Tupel postver gnzer Zhlen A = (,,..., ) heße k Zerlegung genu dnn, wenn = ; wr nennen A und uh ene k Zerlegung von s :=. = = De postve gnze Zhl s heße k zerlegbr genu dnn, wenn es ene k Zerlegung von s gbt. Hlfsstz : De Zhl s se k zerlegbr durh de k Zerlegung (,,..., ). Dnn snd uh s + und s + 9 k zerlegbr, nälh durh de k Zerlegungen (,,...,, ) bzw. (,,...,, 6, 3). Bewes: Enfhes Nhrehnen ergbt de gewünshten Werte: s + = ( ) s + 9 = ( ) + und und + = = + = + = ; = + =. Ene k Zerlegung blebt lso ene k Zerlegung, wenn n jeden hrer Sunden durh ds Doppelte ersetzt und dnn noh den Sunden oder de beden Sunden 3 und 6 ergänzt. Korollr: De Zhl N st k zerlegbr, wenn f(n) k zerlegbr st; dbe se N flls N gerde, f( N): = N 9 flls N ungerde; und wenn f(n) de k Zerlegung (,,..., ) ht, dnn ht N de k Zerlegung (,,...,, ) bzw. (,,...,, 6, 3). 4

5 BWM 008 I Lösungsbespele Offenshtlh st f(n) für N > 9 stets ene postve gnze Zhl. Des eröglht uns de Konstrukton ener Zerlegung von 008 fst ohne Proberen: Enfhes Nhrehnen Kopf bestätgt f(008) = 003, f(003) = 497, f(497) = 44, f(44) =, f() = 56, f(56) = 7, f(7) = 9. D jede Qudrtzhl n de us n Sunden bestehende k Zerlegung (n, n,..., n) ht, ht 9 de k Zerlegung (3, 3, 3). Durh Rükwärtsrehnen erhlten wr dt folgende k Zerlegungen (st n der ngegebenen Zerlegung ener der ngegebenen Sunden en Produkt s, so se des ene Kurzshrebwese für Sunden t de Wert s; wr shreben den Sunden dnn zusätzlh fett): 9 = = 3 3, 7 = = ( 3) = , 56 = 7 + = ( 6) 4 + ( 3) + = , = = ( ) 4 + ( 6) + ( ) = , 44 = + = ( 4) 4 + ( ) + ( 6) + ( 4) + ( 3) + = , 497 = = ( 48) 4 + ( 4) + ( ) + ( 8) + ( 6) + ( ) = , 003 = = ( 96) 4+( 48)+( 4)+( 6)+( )+( 6)+( 4)+( 3)+6+3 = , 008 = = ( 9) 4+( 96)+( 48)+( 3)+( 4)+( )+( 8)+( 6) +( 3)+ = So erhlten wr de. Lösung: Es st 008 = (ds Produkt s se ene Kurzshrebwese für Sunden t de Wert s). De Addton der Kehrwerte deser Zhlen ergbt = = =. Beerkungen: Für jede Zhl N > 56 st f(f(f(...(f(n))...))) [4,56] nh ener endlhen Anzhl von Itertonen. D n für lle gnzen Zhlen Intervll [4,56] ene k Zerlegung ngeben knn, st jedes N 4 k zerlegbr. Ferner ergbt enfhes Ausproberen für N < 4, dss lle postven gnzen Zhlen ußer, 3, 5, 6, 7, 8,, 3, 4, 5, 9,, 3 k zerlegbr snd. Mt Hlfsstz erhlten wr lso en konstruktves Verfhren zur Bestung ener k Zerlegung von belebgen Zhlen. D =, hätte n uh ds Rükwärtsrehnen t der Zerlegung = begnnen können. Hlfsstz : De Zhl s se k zerlegbr durh de k Zerlegung (,,..., ), ferner se n ene postve gnze Zhl. Dnn st uh s* := n (n + s) ene k zerlegbre Zhl, nälh durh de us (n + ) Eleenten bestehende k Zerlegung (n, n,..., n, n, n,..., n ). 5

6 BWM 008 I Lösungsbespele Bewes: Enfhes Nhrehnen ergbt de gewünshten Werte: Korollr: und s* = n (n + s) = n(n ) + ns = n(n ) + ( n ) ( n ) + = n n n + = n n n + =. n n De Zhl N st k zerlegbr, wenn es ene postve gnze Zhl n gbt, sodss N ( n ) postv gnz und k zerlegbr st; n N und wenn ( n ) n de k Zerlegung (,,..., ) ht, dnn ht N de us n + Zhlen bestehende k Zerlegung (n, n,..., n, n, n,..., n ). Korollr: Mt N = n erhlten wr : Jede Qudrtzhl n bestzt de us n Sunden bestehende k Zerlegung (n, n,..., n). Wederholte Anwendung führt zu ener k Zerlegung von 008: Es st 008 : 8 7 = 44; 44 : 4 3 = 58; 58 : = 8; 8 : 4 3 = 4; 4 : = ; d de k Zerlegung () bestzt, können wr herus der Rehe nh folgende k Zerlegungen konstrueren (st ener der ngegebenen Sunden n der Zerlegung en Produkt s, so se des ene Kurzshrebwese für Sunden t de Wert s): 4 = (+) = + =, 8 = 4 (3 + 4) = (4 ) = , 58 = ( + 8) = + ( 4) 3 + ( 8) = , 44 = 4 (3 + 58) = (4 ) + (4 8) 3 + (4 6) = , 008 = 8 (7 + 44) = (8 4) 3 + (8 8) + (8 3) 3 + (8 64) Wr erhlten lso ene = Lösung: Es st 008 = = ; lso de Sue us 7 Zhlen 8, 3 Zhlen 3, ener Zhl 64, 3 Zhlen 56 und Zhlen 5. De Addton der Kehrwerte deser Zhlen ergbt = = = Beerkung: Deses Verfhren führt nur be spezellen Zhlen N zu ener k Zerlegung. Z.B. erhelte n für für N = 064 ersten Shrtt t 064 : 8 7 = 5 ene Zhl, für de n ene k Zerlegung durh Proberen fnden üsste. Hlfsstz 3: Bewes: De Zhl N st k zerlegbr, wenn es ene postve gnze Zhl n gbt, sodss N n ls Sue s + s s n von n postven gnzen Qudrtzhlen geshreben werden knn. Nh Vorussetzung st N n = s + s s n für geegnete postve gnze s, lso st N = ns + ns ns n = (ns )s + (ns )s (ns n )s n de Sue von s Sunden (ns ), s Sunden ns,... und s n Sunden ns n, und de Sue der Kehrwerte deser Zhlen st s+ s sn =. ns ns ns n 6

7 BWM 008 I Lösungsbespele Mt en bsshen Proberen erhält n (n behte, dss uh ls Qudrtzhl zugelssen st!) 008 : 4 = 50 = , ws zur oben berets erwähnten. Lösung 008 = (4 0) 0 + (4 0) 0 + (4 ) + (4 ) = führt. Aber uh 008 : 4 = 50 = führt zu ener Lösung, nälh 4. Lösung: 008 = , de Sue der Kehrwerte deser Zhlen st = En weteres Bespel: 008 : 8 = 5 = führt zu 008 = (5 6) + 8; de Sue der Kehrwerte deser Zhlen st = = Hlfsstz 4: De Zhlen s und s seen k zerlegbr durh de k Zerlegung (,,..., ) bzw. (b, b,..., b n ). Dnn st uh s s ene k zerlegbre Zhl, nälh durh de us n Eleenten bestehende k Zerlegung ( b, b,..., b j,... b n ) Bewes: Es st ( bj) = bj, j j = ( s ) = s s und = b, j j, j = j b j, j =. Hlfsstz 5: De n Zhlen s, s,..., s n se k zerlegbr, und zwr durh jewels ene der n k Zerlegungen S = (s, s,..., s k() ) ( =,,..., n); ferner se A = (,,..., n ) ene wetere k Zerlegung t n Eleenten. n n k() Dnn st uh s en k zerlegbre Zhl, nälh durh s j. j= Bewes: Es st k() s = j= j k() s = j= j n k() und dt = = s = j j n =. Mt desen Hlfssätzen lssen sh t etws Proberen k Zerlegungen von 008 konstrueren, z.b.: 5. Lösung: Es snd und 0 = (+4+4) zwe k zerlegbre Zhlen, lso st uh 008 = (0 0 0) k zerlegbr. De Eleente der zugehörgen k Zerlegung snd de = 9 enzelnen Produkte, de n be Ausultplzeren von (+4+4)(+4+4)(+4+4) erhält, lso st 008 = (+4+4)(+4+4)(+4+4) = und = = Hlfsstz 6: De Zhl s se k zerlegbr durh (,,..., ). Dnn st s + 3 j k zerlegbr durh (,,..., j, j, j, j+,...,, ) für lle j. D.h: Ene k Zerlegung blebt ene k Zerlegung, wenn n enen hrer Sunden durh zwe Sunden t de doppelten Wert ersetzt. 7

8 BWM 008 I Lösungsbespele Bewes: Es st s + 3 j = + ( + + ) j = + j + j ; j und + j j = =. Hlfsstz 7: De Zhl Z() = 3 bestzt de k Zerlegung (,, 3,...,,, ). Bewes: Enfhes Nhrehnen ergbt Z() = 3 = + = + + = + und + = + 0 = + =. Ausgehend von Z() konstrueren wr t Hlfe von HS 6 wetere Zhlen t k Zerlegungen: Wr strehen n der k Zerlegung von Z() enge der Zweerpotenzen ( ) und ersetzen se jewels durh zwe doppelt so große Zweerpotenzen, lso durh zwe Sunden +. Wr fnden so de k Zerlegungen der Zhlen, de sh n folgender For drstellen lssen: + Z() ( j () ) + ( j () ) = Z() + 3 ( j () ) t belebgen j() {0;}. Nun stellen wr de Zhl 008 n deser For dr: Es st Z(9) = 534, lso 008 = Z(9) = Z(9) ; und d 58 ene gerde Zhl st, exstert ene Drstellung Zweersyste 58 = ( j () ) für geegnete j() {0;}. Konkret erhält n 58 = ; wr ersetzen n der k Zerlegung von Z(9) = dese Sunden jewels durh zwe doppelt so große Zhlen. Des führt zur 6. Lösung: Es st 008 = ; und es st = =. 8

9 BWM 008 I Lösungsbespele Ergänzungen: Für de Anzhl der Sunden n ener k Zerlegung von 008 glt: Bewes: De Zhl bestze de k Zerlegung = rthetshe und hronshe Mttel. Dnn st nh der Unglehung für ds Mt = AM(,,..., ) HM(,,..., ) =. = folgt sofort = und herus t = 008 sofort 44. Zu Nhwes für de untere Shrnke betrhten wr ene k Zerlegung der For = t... und ersetzen nun en belebges der durh en kleneres * = x, x > 0. Glehzetg ersetzen wr en j t j > durh en größeres j * = j + y, y > 0. Wenn nun de Sue der Kehrwerte weter den Wert behlten soll, dnn st offenshtlh x < y. De zu der k Zerlegung gehörende Zhl st be deser Operton lso größer geworden. Also errehen wr für vorgegebenes ds Mxu, wenn wr der Rehe nh öglhst klene Zhlen so wählen, dss de Sue der Kehrwerte gerde nht ehr den Wert ht bzw. t der ten Zhl genu den Wert erreht. Auf dese Wese erhlten wr für = 5 der Rehe nh de Zhlen, 3, 7, 43, 806 (n rehnet leht nh, dss ttsählh = ); d.h st ene k Zerlegung von 86. Also st 86 de größte Zhl, de t 5 Sunden k zerlegt werden knn; ene k Zerlegung von 008 ht lso ndestens 6 Sunden. Mt Nhrehnen von endlh velen Möglhketen (n der Prxs ntürlh von ene Coputer durhgeführt) knn n zegen, dss ene k Zerlegung von 008 sogr ndestens 7 Sunden ht. Beerkungen: I Internet fndet n uf der Sete unter den Sthworten Egyptn Nuber, Egyptn Frton, Unt Frton wetere Quellen, u.. uh enen Hnwes uf ene Abhndlung von R. L. Grh, "A Theore on Prtons" (J. Austrl. Mth. So. 3, , 963) Häufge Fehler: In den Telnhebedngungen steht: "Gegen de Verwendung enes Coputers oder enes Tshenrehners ls Hlfsttel zur Ideenfndung bzw. Rehnungskontrolle st nhts enzuwenden, doh üssen de für den jewelgen Nhwes wesentlhen Shrtte ohne deses Hlfsttel nhvollzehbr und überprüfbr sen." Es st lso nhts dgegen enzuwenden, wenn en Telneher t ene selbstgeshrebenen Coputerprogr ene Lösung fndet und enreht. Er/Se uss ber druf hten, dss de Rhtgket der Lösung ohne wetere Hlfsttel überprüft werden knn, d.h. der Korrektor uss ohne wetere Hlfsttel bestätgen können, dss de Sue der ngegebenen Zhlen den Wert 008 ht und dss de Sue der Kehrwerte der Zhlen den Wert ht. De Angbe von ehreren telerfreden Zhlen llene wrd deswegen oft kene vollständge Lösung drstellen: Der Korrektor knn zwr ohne wetere Hlfsttel (lso durh Kopfrehnen) velleht noh bestätgen, dss Sue der Zhlen 008 st. Dss de Sue der Kehrwerte den Wert ht, wrd er be ene 5stellgen Huptnenner ohne Hlfsttel nht ehr überprüfen können. Be ener Kontrollrehnung, de per TR de Kehrwerte drekt ddert (lso nht ene Gnzzhlrthetk und den Huptnenner verwendet), könnte ußerde der TR wegen Rundungsfehlern ls Sue der Kehrwerte fehlerhft den Wert ngeben. 9

10 BWM 008 I Lösungsbespele Aufgbe 3: Mn bewese folgende Aussge: In ene sptzwnklgen Dreek ABC shneden sh de Wnkelhlberende w α, de Setenhlberende s b und de Höhe h genu dnn n ene Punkt, wenn w α, de Sete BC und der Kres u den Höhenfußpunkt H durh de Eke A enen Punkt geens hben. Vorbeerkung: In den Bewesen wrd nrgends benützt, dss CH t AB enen rehten Wnkel enshleßt. Der zu bewesende Stz knn lso llgeener forulert werden: Es se ABC en Dreek und P en belebger Punkt uf der Sete AB. Dnn glt: De Wnkelhlberende w α, de Setenhlberende s b und de Trnsversle PC hben genu dnn enen Punkt geens, wenn w α, de Sete BC und der Kres u P durh de Eke A enen Punkt geens hben. Geense Bezehnungen: Der Shnttpunkt der Wnkelhlberenden w α t BC se t W bezehnet; de Setentte von AC t M AC, der Höhenfußpunkt der Höhe von C uf AB t H.. Bewes (t Stz von Cev): Es se ABC en Dreek, ds sowohl be A ls uh be B enen sptzen Wnkel bestzt. Dnn gelten folgende Äquvlenzen (notwendge Begründungen snd ls Fußnote Ende des Beweses ngegeben): W K(H, r = HA ) HA = HW C AH W st glehshenklg t Bss AW H AW = AW H ) W AC = AW H ) 3) H W AC AH CW HB = WB M AC s b h W AH BW HB WC = α / w α S AH BW CM AC HB WC M AC A = A α / H B 5) CH, BM AC und AW gehen durh enen Punkt. Begründungen für de Äquvlenzen: ) ) 3) 4) 5) d AW den Wnkel BAC hlbert. Wehselwnkel n ener Gerdenkreuzung, ußerde legen C und H n vershedenen Hlbebenen bez. AW. " " glt nh Strhlenstz t Zentru B und den Strhlen (BA und (BC; " " glt nh der Ukehrung des Strhlenstzes. Dbe st zusätzlh zu berükshtgen, dss n jede Dreek der Punkt W zwshen B und C legt und d de Wnkel be A und B bede sptz snd uh H zwshen B und A. d M AC Mttelpunkt der Sete AC st. nh Stz von Cev (bede Rhtungen). 0

11 BWM 008 I Lösungsbespele. Bewes (t zentrshen Strekungen; dese führen zu ene Bewes des Stzes von Cev): Wr ergänzen n der Fgur de Prllelen zu CH durh de Punkte A bzw. B. De (von A bzw. B vershedenen) Shnttpunkte deser beden Senkrehten t w α bzw. s b nennen wr W* bzw. M*. Shleßlh se t (X, Y Z) dejenge zentrshe Strekung bezehnet, deren Zentru X st und de den Punkt Y n den Punkt Z überführt. " ": Es gebe ene Punkt, den de Gerden w α, s b und h geens hben. Wr bezehnen desen Punkt t S. Dnn führen wr C hnterennder de zentrshen Strekungen (A, H B), (W, B C), (M AC, C A) und (B, A H ) durh. Dbe wrd H der Rehe nh uf B, uf C, uf A und shleßlh weder uf sh selbst bgebldet; der Punkt S der Rehe nh uf W*, zurük uf S, uf M* und shleßlh ebenflls uf M* h sh selbst. Dt st ds Bld der Streke H S weder de Streke H S; herus folgt sofort, dss M = M W * ds Produkt der Beträge der Strekfktoren den AC s b Wert ht. Es st lso W A = AB AH WC BW MACA CM HB AB. T In deser Glehung kürzen sh de Werte AB (und wr erhlten so - wenn n w α, s b und h ls belebge Trnsverslen defnert - den Bewes für H B ene Rhtung des Stzes von Cev). Außerde st M AC der Mttelpunkt von AC, lso st MACA CMAC =. Obge Glehung st lso äquvlent zu = AB AH WC BW HB AB und dt uh zu AH HB = WC BW. w α S AC Wr behten her, dss wegen der Sptzwnklgket des Dreeks nht nur W nnerer Punkt von BC, sondern uh H nnerer Punkt von AB st; t der Ukehrung des Strhlenstzes können wr lso folgern, dss AC H W. Außerde telt beknntlh n jede Dreek ene Wnkelhlberende de gegenüberlegende Sete Verhältns der nlegenden Seten, lso st WC BW = AC AB. Shleßlh wenden wr nohls den Strhlenstz n (Zentru B; AC H W ) und erhlten AH shleßlh t HB = WC BW = AC AB = HW HB sofort de Behuptung AH = HW. " ": Se W geenser Punkt von BC, von w α und von K(H, r = HA ). Wr bezehnen den Shnttpunkt von w α und h t S; den Shnttpunkt von AC t BS t M, den Shnttpunkt von BS t H W t T. Es genügt dnn zu zegen, dss M ttsählh Mttelpunkt von AC st. Aus der Vorussetzung folgt sofort, dss AH = HW. Ds Dreek AH W st lso glehshenklg t Bss AW. Es ht sot glehe Bsswnkel, d.h. es st unter Berükshtgung, α dss w α de Wnkelhlberende von α st, H AW = AW H =. Insbesondere st dnn AW H = W AC und sot H W AC.

12 BWM 008 I Lösungsbespele Nun betrhten wr de beden zentrshen Strekungen, de de Streke H W t hre Telpunkt T n de Streke AC t hre Telpunkt M überführt. Ene deser beden zentrshen Strekungen ht B ls Zentru und es folgt es folgt sofort zegen. HT TW = CM MA HT TW. Herus folgt sofort AM MC = AM MC ; de ndere ht S ls Zentru und = CM MA, lso AM = MC ; ds wr zu 3. Bewes (t Koordntenrehnung): Wr betrhten zunähst en belebges, be A sptzwnklges Dreek ABC und n h de Punkte, n denen de Setenhlberende s b und de Höhe h de Wnkelhlberende w α shneden; dese seen t P S bzw. P H bezehnet. y = x y Zur Untersuhung legen wr en rehtwnklges Ahsenkreuz t glehen Enheten uf den beden Ahsen so uf ds Dreek, w α dss der Ursprung uf den Punkt A und de postve y Ahse y = x uf w α zu legen kot. De Gerde AB lässt sh dnn durh C( ) W de Glehung y = x für en geegnete reelle Zhl beshreben, de Gerde AC d Bld von AB durh Spegelung n w α, lso der y Ahse, durh de Glehung B( ) P H y = x. D α < 90, st zusätzlh >. M AC( ) P S H Nun wählen wr de Enheten uf den beden Ahsen so, dss s b der Punkt B de x Koordnte ht; den herus h resulterenden Wert für de x Koordnte des Punktes C A(0 0) x > nennen wr, dbe st < 0. Aus den Gerdenglehungen ergeben sh de Koordnten von B und C zu B( ), und C( ). Jedes be A sptzwnklge Dreek lässt sh so durh de zwe Preter und beshreben. Nun besten wr de Koordnten der Punkte M AC, P S, P H, H C und W ; dbe werden wr nht er explzt ngeben, dss de Nenner vorkoenden Ausdrüke und wg. < 0 ne den Wert null nnehen: M AC : Sofort enshtg st, dss der Mttelpunkt von AC de Koordnten M AC ( ) ht. P S : De Setenhlberende s b st en Gerde, de durh de Punkte B( ) und M AC ( ) geht; hre Gerdenglehung leten wr nh beknnter Zwe-Punkte-Forel her: M AC B : y = ( ) (x ) + = + x + + = + x. Der y Ahsenbshntt gbt uns sofort de Koordnten P S (0 ). P H : De Höhe h st ene Gerde durh C( ), de senkreht zur Gerden y = x steht, lso de Stegung ht. Deser Ausdruk st wegen 0 er defnert, de Gerdenglehung lutet lso CH C : y = (x ) = x + ( ) Weder gbt uns der y Ahsenbshntt de Koordnten P H (0 ( )). H : Der Punkt H st Shnttpunkt deser Gerden t der Gerden y = x, sene Koordnten (x h y h ) besten wr t shulüblhen Mtteln (Glehsetzen der Funktonstere, Ensetzen):

13 BWM 008 I Lösungsbespele x h + ( ) = x h ( ) = ( + )x ( ) h x h = ; + ( ) ( ) ( ) t y h = x h = erhlten wr H ( ) W : Der Punkt W st der Shnttpunkt der Gerden BC t der y Ahse; de Bestung sener Koordnten verläuft nlog zur Bestung der Koordnten von P S ; wr üssen ledglh den Wert durh den Wert ersetzen und erhlten de Koordnten von W (0 4 ). Nun koen wr zu egentlhen Bewes. Es gelten folgende Äquvlenzen: w α, s b und h hben enen Punkt geens de y Koordnten der Punkte P S und P H snd gleh = ( ) : 0; ( ) = ( ) ( ) ( + ( )) = =. w α, BC und der Kres u H (x h y h ) durh A(0 0) hben enen Punkt W (x w y w ) t x w = 0 geens HW = y h y w + y w ( ) + HA (x h x w ) + (y h y w ) = (x h 0) + (y h 0) = 0 y h = y w = 4 ( )( ) = + ( ) = ( + ) :4 0, ( )(+ ) =. Dt hben wr nhgewesen, dss bede Bedngungen äquvlent snd. Beerkungen: De Enshränkung uf sptzwnklge Dreeke st egentlh unnötg: De Bedngung γ < 90 wrd oben nrgends benötgt und es gbt uh Dreeke t γ 90, de de Bedngungen der Aufgbe erfüllen. Der Fll α 90 oder β 90 wr durh de nderen Bedngungen der Aufgbe usgeshlossen: Her verläuft de Höhe h nels Innern des Dreeks, während sh de Setenhlberende und de Wnkelhlberende er Innern des Dreeks shneden, d.h. w α, s b und h hben nels enen geensen Punkt. In der Gegenrhtung führt de Forderung, dss H A und H W glehe Länge hben, zur unerfüllbren Forderung α 90 und β 90. In dese Fll glt lso de Kontrposton. Hnwes uf häufge Fehler: De Forulerung "(A) genu dnn, wenn (B)" fordert enen Bewes, n de de beden Bewesrhtungen "Aus (A) folgt (B)" und "Aus (B) folgt (A)" n usrehender Wese bgehndelt werden. Des gelngt estens, wenn n ene klre Zwetelung (vgl.. Bewes) vornt oder konsequent Doppelpfele (vgl.. und 3. Bewes) verwendet. Fehlt ene der beden Rhtungen, wrd de Aufgbe ls "nsgest nht gelöst" bewertet. 3

14 BWM 008 I Lösungsbespele Aufgbe 4: In ene ebenen Koordntensyste stehen uf Punkten t gnzzhlgen Koordnten ver Spelstene. Se können nh folgender Regel gezogen werden: En Sten knn uf ene neue Poston gezogen werden, wenn n der Mtte zwshen sener lten und neuen Poston ener der übrgen Stene legt. Zu Begnn stehen de ver Spelstene uf den Punkten (0 0), (0 ), ( 0) und ( ). Knn n nh endlh velen Zügen errehen, dss de ver Stene uf je ene der Punkte (0 0), ( ), (3 0) und ( ) stehen? Antwort: Nen, des st nht öglh. Geense Bezehnungen: Wenn wr den Sten A so zehen, dss der Sten B n der Mtte zwshen der lten und neuen Poston von Sten A legt, dnn sgen wr kürzer "Sten A sprngt über Sten B" oder uh (n Anlehnung n de nhelegende geoetrshe Interpretton) "Sten A wrd n Sten B gespegelt". Außerde verkürzen wr de Forulerung "De Koordnten des Punktes, uf de der Sten A steht" zu "De Koordnten des Stenes A".. Bewes: Zunähst stellen wr fest, dss de Ukehrung jedes Zuges en nh den Zugregeln gültger Zug st. Es genügt lso zu zegen, dss es kene Zugfolge gbt, de von der Endstellung zu der Ausgngsstellung führt. Weter stellen wr fest, dss n der Endstellung lle Stene uf ener der beden prllelen Gerden durh (0 0) und ( ) bzw. durh ( ) und (3 0) legen (lso uf den beden prllelen Gerden, de durh de Glehungen x y = 0 bzw. x y = 3 gegeben snd). Wr nennen dese beden Gerden g 0 und g ; hren Abstnd nennen wr d. I Folgenden betrhten wr de Menge ller Gerden, de zu g 0 und g prllel snd und de unterennder den Abstnd k d für en geegnetes gnzzhlges k hben; wr nennen g 0 dese Menge G. Wählt n rgendenen Punkt uf rgendener deser Gerden ls Zentru ener g Punktspegelung, so wrd be deser Punktspegelung de Menge G offenshtlh n sh selbst überführt. Jeder erlubte Zug entsprht der Punktspegelung enes Stenes n ene nderen Sten. Wenn lso en Sten vor de Zug uf ener der Gerden us G legt und der Sten, n de gespegelt wrd, ebenflls, dnn legt der gezogene Sten nh de Zug uf de Bld deser Gerden be der glehen Punktspegelung, lso weder uf ener Gerden us G. D n der Endstellung lle Stene uf Gerden us G legen, st des nh jede Rükwärts Zug ebenso der Fll. In der Anfngsstellung legen ber zwe Stene nht uf Gerden von G, nälh (0 ) und ( 0). Also knn de Anfngsstellung us der Endstellung nht durh Rükwärtszehen erreht werden. Ds wr zu zegen.. Bewes (lgebrshe Forulerung des ersten Beweses): Wr geben jede Sten bhängg von sener Lge Ahsenkreuz ene Frbe nh folgender Regel: Wr berehnen us senen Koordnten (x y) den Wert x y; wenn x y 0 od 3, dnn erhlte der Sten de Frbe grün, ndernflls de Frbe rot. Enfhes Nhrehnen ergbt, dss zu Begnn zwe Stene grün snd (nälh de beden uf (0 0) und ( ) ) und dss zwe Stene rot snd (nälh de beden uf (0 ) und ( 0) ). In der gewünshten Endstellung snd lle ver Stene grün. 4

15 BWM 008 I Lösungsbespele Sprngt nun der Sten A(x y) über den Sten B(r s) uf de Poston (x' y'), so legt nh der Zugregel der Punkt (r s) n der Mtte zwshen (x y) und (x' y'), es st lso r = x + x ' und dt x' = r x; nlog erhlten wr y' = s y. De Frbe enes Stenes nh ene Zug ergbt sh us de Wert des Ausdruks x' y' = (r x ) (s y ) = (r s) (x y). Insbesondere glt: Wenn A de Frbe rot ht (d.h. wenn (x y) od 3 oder (x y) od 3 st) und B de Frbe grün ht (d.h. wenn (r s) 0 od 3 st), st entweder x' y' = (r s) (x y) 0 od 3 oder x' y' = (r s) (x y) 0 od 3. Also behält en roter Sten be ene Sprung über enen grünen Sten de Frbe rot. D be jede Zug genu en Sten bewegt wrd, ändert sh uh be höhstens ene Sten de Frbe. Wenn n de Endstellung errehen könnte, üsste es lso enl enen Zug geben, vor de en roter und dre grüne Stene Koordntensyste stehen und nh de lle ver Stene grün snd. Mt dese Zug üsste lso en roter Sten über enen grünen Sten sprngen und dbe sene Frbe zu grün ändern. Des st jedoh nh der Shlussfolgerung vorgen Abstz nht öglh. Beerkungen: Ansttt der beden. Bewes gennnten prllelen Gerden können wr uh de beden Gerden x + y = 0 (dese enthält de Punkte (0 0) und ( ) ) und x + y = 3 (dese enthält de Punkte ( ) und (3 0) ) betrhten. Dnn führt n den Bewes t der Invrnten x + y 0 od 3. 5