Bewertung von Derivaten mit finiten Differenzen

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1 Bewertung von Dervaten mt fnten Dfferenzen Lutz Kruschwtz und Rolf Ketzler 22 Jul 2002 Inhaltsverzechns 1 Enführung 2 2 Rekaptulaton des Black Scholes Modells 2 3 Fnte Dfferenzen 3 31 Gtter und Dfferenzenbldung Erste Abletung nach S (Delta) Erste Abletung nach τ (Theta) Zwete Abletung nach S (Gamma) 7 32 Explzte Methode der fnten Dfferenzen Fundamentale Dfferenzenglechung Anfangs /End und Randbedngungen Spezalserung für enen amerkanschen Put Wetere Anwendungsmöglchketen Zusammenhang mt dem Trnomal Ansatz 13 4 Zusammenfassung 14 1

2 1 Enführung Im Zusammenhang mt der Bewertung von Optonen snd zwe Konzepte besonders populär geworden, und zwar zum enen das Epoche machende Modell von Black und Scholes (1973) und zum anderen das Modell von Cox, Ross und Rubnsten (1979), das auch unter dem Namen Bnomal Modell bekannt st Das Cox Ross Rubnsten Modell stellt mathematsch nur gernge Anforderungen und egnet sch wegen deses ddaktschen Vorzugs besonders gut für enführende Lehrveranstaltungen In Bezug auf plan vanlla Calls und Puts führen bede Modelle auf geschlossene Bewertungsglechungen, de sch numersch lecht auswerten lassen Für komplzertere Ansprüche, bespelswese amerkansche Optonen, lassen sch enfache numersche Prozeduren auch m Rahmen des Bnomal Modells angeben In der Bewertungspraxs spelen geschlossene Bewertungsglechungen aber ebenso we numersche Verfahren auf der Grundlage des Bnomal Modells kene Ernst zu nehmende Rolle Stark verbretet st dagegen de Methode der fnten Dfferenzen 1 Man kann sagen, dass se be der Lösung konkreter Bewertungsaufgaben heute unverzchtbar geworden st, 2 was n enem bemerkenswerten Gegensatz zur Intenstät hrer Behandlung m akademschen Unterrcht steht Mt der vorlegenden Darstellung wollen wr unsere Leser n lecht verständlcher Wese mt der (explzten) Methode der fnten Dfferenzen vertraut machen 2 Rekaptulaton des Black Scholes Modells De folgenden Ausführungen orenteren sch stark am Modell von Black und Scholes (1973) Daher begnnen wr mt ener kurzen Rekaptulaton hres Konzepts Fundamentale Dfferentalglechung Jedes Modell zur Bestmmung enes theoretschen Optonspreses muss zunächst ene Annahme über den Presprozess des Bassobjekts S n der Zet t treffen Black und Scholes spezfzerten desen stochastschen Prozess als ene geometrsche Brownsche Bewegung, ds = µ S dt + σ S dz 1 Gement snd Dfferenzen, de ncht verschwndend klen snd Es wäre daher angemessen und vellecht auch verständlcher, von endlchen Dfferenzen zu sprechen 2 Paul Wlmott schrebt dazu n senem Lehrbuch: I would say that I use fnte dfference methods about 75 % of the tme Monte Carlo smulatons 20 %, and explct formulae the rest of the tme [] Only once have I ever serously used a bnomal method,, Wlmott (2000), 868 Empfehlenswerte Darstellungen zur numerschen Bewertung von Dervaten snd Wlmott, Dewynne und Howson (1995b) und Clewlow und Strckland (1998) 2

3 mt dz = ε dt und ε N(0, 1) Mt Itôs Lemma ( dv = µ S + ) t V 2 σ 2 S 2 dt + σ S dz lässt sch der Presprozess enes Dervats bestmmen, dessen Wert V ene Funkton des underlyng assets S und der Zet t st De zentrale Idee m Modell von Black und Scholes besteht nun n der Konstrukton enes rskolosen Portfolos aus dem Bassobjekt und dem Dervat Unter der Arbtragefrehetsbedngung lässt sch auf deser Grundlage zegen, dass für jedes Dervat, dessen Payoff allene von S und t abhängg st, de so genannte Black Scholes Dfferentalglechung (BS DGL) t + r S + 05 σ 2 S 2 2 V 2 r V = 0 (1) gelten muss Dese fundamentale Glechung st für sämtlche Dervate relevant, also ncht nur für plan vanlla Optonen, sondern auch für amerkansche sowe exotsche Optonen End und Randbedngungen Der Pres enes spezellen Dervats lässt sch stets dadurch gewnnen, dass man Glechung (1) unter Berückschtgung der für desen Kontrakt charakterstschen End und Randbedngungen löst Um unsere Ausführungen möglchst anschaulch zu halten, konzentreren wr uns m Folgenden bespelhaft auf de Bewertung enes amerkanschen Puts De Endbedngung ener Opton st allgemen durch den Payoff der Opton m Zetpunkt des Vertragsendes T gegeben Bezechnet K den Ausübungspres, dann lautet de charakterstsche Endbedngung enes Puts P T = max(k S T, 0) (2) Für enen amerkanschen Put muss neben deser Bedngung zusätzlch de Randbedngung P t K S t t [0, T ) (3) erfüllt sen Wetere Randbedngungen könnte man gewnnen, ndem man analysert, welchen Wert das Dervat annmmt, wenn der Pres des Bassobjekts verschwndet oder gegen unendlch geht 3 Fnte Dfferenzen Zu den fnten Dfferenzenverfahren gehören mehrere Methoden Vor allem snd de explzte, de mplzte sowe de Crank Ncolson Methode zu nennen Wr be- 3

4 schränken uns her auf de explzte Methode der fnten Dfferenzen 3 Ausgangspunkt st de BS DGL Wr werden versuchen, dese durch ene Dfferenzenglechung zu approxmeren Dabe erwest es sch als hlfrech, de BS DGL zunächst n der Restlaufzet τ = T t zu transformeren 4 Damt st de Rchtung der Zet geändert De transformerte BS DGL lautet nun 31 Gtter und Dfferenzenbldung τ = 05 σ 2 S 2 2 V 2 + r S r V (4) Ebenso we m Bnomal Ansatz wrd auch her ene Dskretserung der (S, τ) Ebene vorgenommen De τ Achse wrd n J glech lange Zetntervalle τ, de S Achse n I glech große Kursschrtte der Länge untertelt Sowohl de Zetntervalle τ als auch de Kurssprünge werden der Enfachhet halber als konstant angenommen 5 De Dskretserung erfordert damt das Festsetzen enes maxmalen Wertes des Bassobjekts S Üblcherwese wrd als Maxmalwert der zwe- bs drefache Wert des aktuellen Basspreses gewählt Anstelle der (S, τ) Ebene erhält man damt en Gtter mt den Schnttpunkten (, j τ) Der Wert der Opton V (S, τ) st damt durch de Approxmaton V (, j τ) = V j gegeben Mt Hlfe des Gtters bemühen wr uns nun darum, de partellen Abletungen der BS DGL durch fnte Dfferenzen zu ersetzen Damt müssen wr uns nun ausführlcher beschäftgen 311 Erste Abletung nach S (Delta) De partelle Abletung des Optonspreses nach dem Pres des underlyng bezechnet man als Delta Se st als ( ) V (S +, τ) = lm V (S, τ) 0 defnert Da an de Stelle der (S, τ) Ebene das eben beschrebene Gtter getreten st, wrd nun anstatt ener nfntesmalen Änderung ledglch ene klene Veränderung betrachtet Herbe gbt es verschedene Möglchketen 3 Ene Darstellung der beden anderen Verfahren fndet man be Wlmott (2000), 889 ff, und Clewlow und Strckland (1998), 65 ff 4 Auf dese Transformaton kann ohne weteres verzchtet werden De Implementerung der Methode wrd dadurch aber enfacher 5 Se könnten aber auch anders festgelegt werden 4

5 S V j +1 V j V j+1 τ τ Abbldung 1: Fntes Dfferenzen Gtter Vorwärtsdfferenz Besonders nahelegend st es, de Abletung nach dem Pres des underlyng durch Rückgrff auf de Knoten des Gtters mt V (S +, τ) V (S, τ) = V j +1 V j (5) zu approxmeren Der Dfferentalquotent am Gtterpunkt (, j) wrd mt dem Optonswert V j und dem n vertkaler Rchtung folgenden Wert V j +1 angenähert, weswegen (5) als Vorwärtsdfferenz bezechnet wrd Rückwärtsdfferenz Verwendet man zur Annäherung an den Dfferentalquotenten am Gtterpunkt (, j) ncht de Gtterpunkte S und S +, sondern de Gtterpunkte S und S, erhält man de so genannte Rückwärtsdfferenz V (S, τ) V (S, τ) = V j V j 1 (6) Zentraldfferenz Schleßlch kann de partelle Abletung nach dem Pres des underlyng auch durch de Werte der Opton an den Punkten S + und S 5

6 approxmert werden Des führt zur so genannten Zentraldfferenz V (S +, τ) V (S, τ) 2 = V j +1 V j 1 (7) 2 Approxmatonsfehler Abbldung 2 verdeutlcht de Unterschede der fnten Dfferenzen Approxmatonen grafsch Da der Grenzwert aller dre Dfferenzenquotenten dentsch st, kann de partelle Abletung mt jedem deser Ausdrücke defnert werden Der Augenschen legt allerdngs de Vermutung nahe, dass sch de Zentraldfferenz am besten egnet Nachdem wr verschedene Möglchke- V zentral rückwärts S S vorwärts S + Abbldung 2: Approxmaton mt Vorwärts, Rückwärts und Zentraldfferenzen ten kennen gelernt haben, de partellen Abletungen zu approxmeren, stellt sch de Frage, ob wr m Interesse enes möglchst klenen Bewertungsfehlers mt Vorwärts, Rückwärts oder Zentraldfferenzen arbeten sollten Wll man de Antwort auf dese Frage ncht dem Augenschen überlassen, so lässt se sch auf der Grundlage ener Taylorrehenentwcklung geben Entwckelt man de Funkton V (S +, τ) an der Stelle (S, τ) bs zur ersten Abletung, so erhält man V (S +, τ) = V (S, τ) + V (S +, τ) V (S, t) = + O(2 ) V (S +, τ) V (S, t) = + O() S + S 1! = V (S +, τ) V (S, t) + O( 2 ) O() 6

7 De Approxmaton mt Vorwärtsdfferenzen hat demnach enen Fehler der Ordnung O() De Annäherung mt Rückwärtsdfferenzen führt auf genau denselben Approxmatonsfehler Betrachten wr aber Taylorrehenentwcklungen von V (S +, τ) und V (S, τ) an der Stelle (S, τ) bs zur zweten Abletung, so erhalten wr V (S +, τ) = V (S, τ) V 2 2 ()2 + O( 3 ) V (S, τ) = V (S, τ) V 2 ()2 + O( 3 ) Subtrakton und Umformen der beden Glechungen führt auf = V (S +, τ) V (S, τ) 2 + O( 2 ) Der Fehler ener Approxmaton mt der Zentraldfferenz st von der Ordnung O( 2 ) Für klene konvergert der Fehler schneller gegen null als be der Vorwärts bezehungswese Rückwärtsapproxmaton 312 Erste Abletung nach τ (Theta) De Approxmaton für de partelle Abletung des Optonspreses nach der Zet bzw Restlaufzet nennt man Theta Se wrd snngemäß n derselben Art und Wese gebldet we de Approxmaton von Delta De Vorwärtsdfferenz lautet also τ V (S, τ + τ) V (S, τ) τ = V j+1 V j τ Auf de Darstellung von Rückwärts und Zentraldfferenz se verzchtet De Genaugket der Approxmaton für Theta mt Vorwärts und Rückwärtsdfferenzen st von der Ordnung O( τ) De Wahl der Approxmaton von Theta bestmmt, welches spezelle fnte Dfferenzenverfahren vorlegt So führt ene Approxmaton n Rchtung vorwärts (rückwärts) zur explzten (mplzten) Methode der fnten Dfferenzen De Approxmaton mt der Vorwärtsdfferenz schafft dabe de Voraussetzung, sch entsprechend der retrograden Vorgehenswese m Bnomal Modell schrttwese durch das Gtter zu arbeten Zwete Abletung nach S (Gamma) Neben den beden ersten Abletungen der BS DGL muss nun abschleßend noch ene Approxmaton für de zwete Abletung des Optonswertes nach dem Pres des underlyng gefunden werden Man sprcht her vom Gamma der Opton 6 Verzchten wr auf de Transformaton der BS DGL mt τ, so muss Theta mt der Rückwärtsdfferenz approxmert werden 7

8 Wederum bestehen de dre berets bekannten Möglchketen Verwenden wr ene Vorwärts Approxmaton, so können wr de zwete partelle Abletung n der Form 2 V 2 = lm 0 1 (S +, τ) (S, τ) ( ) (S +, τ) (S, τ) darstellen Nähern wr de beden ersten Abletungen hrersets durch Rückwärtsdfferenzen an, so gewnnen wr 2 V 2 1 V j +1 V j so dass wr nsgesamt de Zentraldfferenz erhalten V j V j 1 2 V 2 V j +1 2V j + V j 1 () 2 (8), 32 Explzte Methode der fnten Dfferenzen 321 Fundamentale Dfferenzenglechung An de Stelle der mt (4) gegebenen BS DGL trtt jetzt de Dfferenzenglechung V j+1 V j =05 σ 2 () 2 V j +1 2V j + V j 1 + r () V j +1 V j 1 j r V τ () 2 2 mt 1 I 1 und 0 j J De explzte Dfferenzenmethode verwendet also für Delta und Gamma ene Zentraldfferenz und für Theta de berets angesprochene Vorwärtsdfferenz Der Fehler deser Dfferenzenglechung gegenüber der exakten Lösung st durch O( 2, τ) gegeben De obge Dfferenzenglechung kann zu V j+1 = V j (05σ ( ) ) + τ 2 2 V j +1 2V j + V j r (V j +1 V j 1 ) r V j (9) umgeformt werden Für de endeutge Spezfkaton des Bewertungsproblems müssen nun zusätzlch noch Rand sowe Anfangs bzw Endbedngungen formulert werden 8

9 322 Anfangs /End und Randbedngungen In Abschntt 2 wurde de Bewertung ener Opton als Lösung der BS DGL mt den entsprechenden Rand und Endbedngungen dargestellt De Lösung V (S, τ) muss also ncht nur der partellen Dfferentalglechung genügen, sondern auch de Endbedngung für T = t sowe de Randbedngungen für S = 0 und S erfüllen De Randbedngungen bestmmen damt, we sch de Lösung während der gesamten Laufzet für spezelle Werte des underlyng verhalten muss Der Anfang der Lösung wrd m Falle der BS DGL durch de Endbedngung beschreben 7 Auch für de dskretserte Verson der BS DGL (9) müssen nun End bezehungswese Anfangsbedngungen und Randbedngungen spezfzert werden Zunächst benötgen wr Informatonen über den Wert der Opton m Zetpunkt des Vertragsendes T Durch de Transformaton der BS DGL mt der Restlaufzet τ st deser Wert jetzt durch ene Anfangsbedngung gegeben Mt der her verwendeten Notaton lautet dese V 0 = payoff() Für de näherungswese numersche Lösung der Dfferentalglechung müssen wr darüber hnaus de Werte der Opton an den Rändern des Gtters V j 0 und V j I bestmmen Der aufmerksame Leser wrd berets bemerkt haben, dass zur Berechnung von V j+1 de Werte der Funkton V an den Stellen V j +1 und V j 1 bekannt sen müssen Aufgrund der Approxmaton der (S, τ) Ebene durch en endlches Gtter kann de Dfferenzenglechung (9) nur für = 1,, I 1 ausgewertet werden, da V j I+1 und V j 1 über de Anfangsbedngungen ncht defnert snd De Bestmmung der Optonswerte für S = 0 und S = I kann also nur mt zwe zusätzlchen Glechungen erfolgen Dese snd gerade durch de Randbedngungen des konkreten Bewertungsproblems gegeben Wr wollen de Spezfkaton der Anfangs und Randbedngungen anhand zweer bekannter Bespele veranschaulchen Europäscher Call: De Anfangsbedngung enes europäschen Calls st durch V 0 = max( K, 0) gegeben Welche beden Glechungen repräsenteren nun de obere und de untere Randbedngung ener europäschen Kaufopton? Für S = 0 st der Call wertlos, woraus de untere Randbedngung V j 0 = 0 j > 0 7 De BS DGL wrd als backward equaton bezechnet De Vorzechen der partellen Abletungen n (1) nach der Zet t und de zwete Abletung nach dem Pres des underlyng snd dentsch Aus desem Grund wrd der Lösungsanfang durch ene Endbedngung beschreben 9

10 folgt Für sehr große Werte des Bassobjekts hat de Kaufopton enen Wert n Höhe von S Ke r (T t) oder n unserer Notaton V j I = I Ke r j τ j > 0 Amerkanscher Put: Für enen Put lautet de Anfangsbedngung V 0 = max(k, 0) (10) Für sehr große Kurse des underlyng st der Put wertlos, weswegen de obere Randbedngung jetzt durch V j I = 0 j > 0 (11) gegeben st Im Falle sehr klener Noterungen des underlyng hat der amerkansche Put enen Wert n Höhe von V = K S De untere Randbedngung lautet damt 8 V j 0 = K j > 0 (12) Gamma und Randbedngungen Für wet m Geld legende aber auch wet aus dem Geld legende Optonen geht Gamma gegen null En Blck auf (8) zegt, dass daraus für de obere Randbedngung enes Dervats stets V j I = 2V j I 1 V j I 2 j > 0 folgt De untere Randbedngung lautet entsprechend V j 0 = 2V j 1 V j 2 j > 0 Dese Randbedngungen snd mmer dann anwendbar, wenn de Auszahlung des Dervats lnear m underlyng st Se haben de angenehme Egenschaft, dass auf de Analyse kontraktspezfscher Charakterstka verzchtet werden kann 323 Spezalserung für enen amerkanschen Put Am Bespel enes amerkanschen Puts se der explzte fnte Dfferenzen Algorthmus we folgt konkretsert: 9 1 Zunächst wrd V 0 für alle = 0,, I mt der Anfangsbedngung (10) bestmmt Der Zähler für de Zetschrtte wrd auf j = 0 gesetzt 8 Im Gegensatz zum amerkanschen Put st de untere Randbedngung des europäschen Pendants aufgrund der fehlenden vorzetgen Ausübungsmöglchket durch V = Ke r (T t) gegeben 9 Der nachfolgend beschrebene Algorthmus kann mt Hlfe enes Vsual Basc Programms mplementert werden, vgl Wlmott (2000),

11 2 Der Zähler für de Zetschrtte j wrd um ens erhöht 3 Mt Hlfe der Dfferenzenglechung (9) wrd V j für = 1,, I 1 ausgerechnet De Randwerte V j 0 und V j I ergeben sch aus den Bedngungen (12) und (11) 4 Zu überprüfen blebt noch, ob sch de vorzetge Ausübung des Puts lohnt Der Wert des amerkanschen Puts n j ergbt sch also aus V j = max(v j, K ), wobe V j m Argument der Maxmumfunkton durch Schrtt 3 bestmmt st 5 De Schrtte 2 bs 4 werden nun solange wederholt bs de V J für alle = 0,, I gefunden snd Da der momentane Kurs des underlyng n der Regel ncht mt enem der Gtterpunkte überenstmmt, wrd de Lösung für den aktuellen Pres des Bassobjekts durch Interpolaton der beden nächstlegenden Gtterpunkte berechnet In Tabelle 1 st de Lösung der explzten fnten Dfferenzenmethode für enen amerkanschen Put angegeben De betrachtete Opton hat ene Restlaufzet von enem Jahr, de Volatltät der Aktenrendte beträgt σ = 025, der rskolose Zns st r = 005, und der Basspres beläuft sch auf K = 50 Zur Berechnung haben wr I = 50 Aktenkursschrtte gewählt In den rechten dre Spalten st der Wert S τ 1 = τ 2 = τ 3 = Tabelle 1: Explzte fnte Dfferenzenlösung für enen amerkanschen Put des amerkanschen Puts für Zetntervalle unterschedlcher Länge τ berechnet worden Man erkennt, dass de Optonswerte n der letzten Spalte für große Werte des underlyng zu unsnngen Ergebnssen führen 11

12 Her haben wr es mt dem so genannten Stabltätsproblem zu tun Wrd das Zetntervall τ zu groß gewählt, dann führt das explzte Verfahren zu nstablen Lösungen Um zu gewährlesten, dass das explzte Verfahren stabl st, muss das Zetntervall so gewählt werden, dass τ de Restrkton 10 0 τ 1 σ 2 I 2 (13) erfüllt Im obgen Bespel st τ 3 = > (025 50) 2 = 0012 Mthn st de Stabltätsbedngung verletzt 324 Wetere Anwendungsmöglchketen Wr haben de explzte Methode der fnten Dfferenzen am Bespel des amerkanschen Puts vorgestellt Das Verfahren st aber für sehr vele andere Bewertungsprobleme ensetzbar 11 Insbesondere egnet es sch zur Bewertung exotscher Optonen Besonders anschaulch lässt sch das am Bespel ener Knock out Opton beschreben Knock out Optonen gehören neben den Knock n Optonen zur Klasse der Barrer Optonen Der Payoff ener solchen Opton unterschedet sch zunächst ncht von der ener gewöhnlchen Opton, es se denn, der Pres des Bassobjekts errecht während der Laufzet de Barrere oder überschretet dese sogar In desem Fall st de Opton wertlos Betrachten wr enen Up and out Call En solcher Call verlert mmer dann senen Wert, wenn der Pres des underlyng de Barrere von unten kommend errecht Im Verglech zu dem oben dargestellten Bewertungsproblem des Puts st daher der Approxmaton der (S, τ) Ebene durch das Gtter ene natürlche Grenze gesetzt Der obere Rand des Gtters I wrd zweckmäßgerwese genau n Höhe der Barrere festgelegt werden De obere Randbedngung lautet dann enfach V j I = 0 j 0 Das Gtter sollte so angepasst werden, dass de Barrere auch tatsächlch auf den Gtterpunkten legt Knock n Optonen können unter Rückgrff auf Knock out Optonen bewertet werden Kombnert man nämlch enen Up and out Call mt enem Up and n Call, so hat man deselbe Poston we mt ener plan vanlla Kaufopton Mthn ergbt sch der Wert enes Up and n Calls, ndem man vom Wert ener gewöhnlchen Kaufopton den Wert enes korresponderenden Up and out Calls abzeht 10 Ene ausführlche Darstellung der Stabltäts und Konvergenzegenschaften des explzten Verfahrens fndet sch n Wlmott (2000), 881 f 11 Hull und Whte (1990) haben de Bewertung von Bonds und Bondoptonen n enem Modell mt stochastschen Znssätzen mt Hlfe der explzten Methode llustrert 12

13 S V j +1 V j V j+1 V j 1 τ τ Abbldung 3: Explzte fnte Dfferenzen Methode und Trnomal Modell 325 Zusammenhang mt dem Trnomal Ansatz Betrachten wr den explzten Dfferenzen Algorthmus abschleßend nochmals aus enem etwas anderen Blckwnkel De Optonswerte m Zetpunkt j + 1 bestmmen sch explzt daher der Name des Verfahrens aus den Werten der Opton m Zetpunkt j 12 Umstellen der Dfferenzenglechung (9) zu mt V j+1 =a j V j 1 + bj V j + cj V j +1 (14) a j =05(σ 2 2 r ) τ b j =1 (σ r ) τ c j =05(σ r ) τ verdeutlcht, dass sch V j+1 aus dre verschedenen Werten der Opton m Zetpunkt j ergbt De explzte Methode der fnten Dfferenzen st damt enem Trnomal Ansatz äquvalent, we n Abbldung (3) veranschaulcht st Ausgehend von dem Gtterpunkt (, j + 1) kann das underlyng nnerhalb des nächsten Zetntervalls τ entweder um auf ( + 1, j) stegen, um auf ( 1, j) fallen oder konstant bleben (, j) Damt st en dskreter, trnomaler random walk beschreben 12 Man beachte, dass de Rchtung der Zet geändert st 13

14 4 Zusammenfassung De Methode der explzten fnten Dfferenzen st neben dem Bnomal Modell en weteres Verfahren zur numerschen Bewertung von Dervaten In sener formalen Struktur entsprcht es dem Ansatz enes Trnomal Baums Im Untersched zum Bnomal Modell st de Lage des Gtters n desem Verfahren aber allen von den gewählten Dskretserungsschrtten und ncht von den Parametern des Optonskontraktes abhängg 13 Das explzte Verfahren hat den Vortel, dass der Algorthmus zur Bestmmung enes Optonspreses relatv enfach mplementert werden kann, bespelswese als Vsual Basc Applcaton Besonders gut egnet sch das Verfahren zur Bewertung von amerkanschen Optonen sowe Barrer Optonen Be der Anwendung des explzten Verfahrens muss allerdngs beachtet werden, dass de Stabltätsrestrkton engehalten wrd Aus desem Grund kann das explzte fnte Dfferenzenverfahren unter Umständen mehr Zet für de Berechnung von Optonspresen n Anspruch nehmen als andere Verfahren Wenn das Verfahren nstabl sen sollte, so st das n der Regel an Hand absurder Resultate gut zu erkennen Neben dem explzten Verfahren exstert ene Rehe von weteren fnten Dfferenzenmethoden, de günstgere Stabltätsegenschaften bestzen Lteratur Black, Fscher und Scholes, Myron S (1973) The prcng of optons and corporate labltes, Journal of Poltcal Economy, 81, Brennan, Mchael J und Schwartz, Eduardo S (1978) Fnte dfference methods and jump processes arsng n the prcng of contngent clams: a synthess, Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, 13, Clewlow, Les und Strckland, Chrs (1998) Implementng Dervatves Models, John Wley & Sons, New York Cox, John C; Ross, Stephen A und Rubnsten, Mark (1979) Opton prcng: a smplfed approach, Journal of Fnancal Economcs, 7, Hull, John C und Whte, Alan (1990) Valung dervatve securtes usng the explct fnte dfference model, Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, 25, Seydel, Rüdger (2000) Enführung n de numersche Berechnung von Fnanz Dervaten, Sprnger, Berln 13 So führt ene Änderung der Volatltät ledglch zu ener Veränderung der Koeffzenten der Dfferenzenglechung, während m Bnomal Modell en unmttelbarer Enfluss auf de up und down Faktoren und damt auf de Struktur des Baumes gegeben st 14

15 Wlkens, Sascha und Röder, Klaus (2001) Bewertung exotscher Optonen mt Hlfe von Monte Carlo Smulaton, FnanzBetreb, 3, Wlmott, Paul (2000) Paul Wlmott on Quanttatve Fnance, Band 2, John Wley & Sons, Chchester (2001) Paul Wlmott Introduces Quanttatve Fnance, John Wley & Sons, Chchester Wlmott, Paul; Dewynne, Jeff und Howson, Sam (1995a) The Mathematcs of Fnancal Dervatves, A Student Introducton, Cambrdge Unversty Press, Cambrdge (1995b) Opton Prcng, Mathematcal Models and Computaton, Oxford Fnancal Press, Oxford 15