IV. Oligopolmärkte: Cournot-, Bertrand-, Stackelbergwettbewerb

Transkript

1 IV. Olgopolärkte: Cournot-, ertrand-, Stackelbergwettbewerb IV.1. Cournot-(Mengen)wettbewerb (Cournot [1838]) n 2 Anbeter stehen auf ene Markt t nverser Nachfragekurve P(x) n Wettbewerb. Se entscheden sultan über de Produktons- bzw. Angebotsengen x 1,..., x n, wobe se dat rechnen, daß sch a Markt der arkträuende Pres p = P( x x n ) ergbt. Für de Fra ergbt des de Proftfunkton Π x X x P x X C x (, ) = ( + ) ( ), (4.1) wobe X x als gegeben angenoen wrd (Nashverhalten). Dese Stuaton entsprcht ene nchtkooperatven sultanen Spel t Spelerenge N = {1,..., n}, Strategen x [0, x ] und Auszahlungsfunktonen Π. 1 Das Ergebns deses Wettbewerbs wrd durch das Nashglechgewcht des entsprechenden Spels beschreben. Jeder Speler (Anbeter) wählt sene Stratege x so, daß se ene beste Antwort ( best reply, best response ) auf de Strategen x ( x1,..., x 1, x+ 1,..., xn ) der anderen darstellt. De besten Antworten R ( x ) werden est response- (est reply-) Korrespondenz bzw., wenn se endeutg snd, Reaktonsfunkton genannt. 1 En Spel n Noralfor G = (N, S, Π) st defnert durch de Spelerenge N, de aus den Strategeengen S resulterenden Strategenrau S = S1... S n, und den Auszahlungsfunktonen Π : S R, de für edes öglche Strategenprofl x = ( x1,..., xn ) S angbt, welche Auszahlung eder Speler erhält. IV-1

2 I Falle des Cournotwettbewerbs snd dese besten Antworten durch de frstorder-condton zu (4.1) defnert: Π Π = P ( x + X ) x + P( x + X ) C ( x ) = 0, (4.2) x Proftverlust be nfraargnalen Proft ener zusä tzlchen Enhet Enheten = 1,, n. De second-order-condton 2 Π 2 / x < 0 st erfüllt, wenn de Nachfragekurve ncht zu konvex gekrüt st (sehe de Dskusson n II.1.) En Nashglechgewcht st als beste Antwort auf sch selbst defnert, d.h. x 1,..., x n st en Nashglechgewcht genau dann wenn für alle = 1,, n glt: x R ( x ). Ken Speler kann sch n dese Fall durch Abwechen von x verbessern. 2 (4.2) defnert n Reaktonsfunktonen x R( x ). De Lösung deses = Glechungssystes ergbt das (Nash)-Cournotglechgewcht x1,..., xn und p = P( X ), wobe X x n = 1. 2 Matheatsch gesprochen bedeutet des, daß ( x 1,..., x n ) en Fxpunkt der Korrespondenz R( x,..., x ) = ( R ( x ),... R ( x )) st. 1 n 1 1 n n Hnrechende edngungen für de Exstenz so enes Fxpunktes snd: ) S st kopakt (abgeschlossen und beschränkt) und konvex, ) Π st stetg n ( x 1,..., x n ) und quas-konkav n x. e endlchen S erfüllt das entsprechende Spel t geschten Strategen er dese Voraussetzungen. Für de durch (4.1) defnerten Π st ) ncht er erfüllt. Hnrechende edngungen snd z.. C 0, P 0. Hnrechend für de Endeutgket des Fxpunktes st, daß R ene kontraherende Funkton (Kontrakton) st, d.h.: Für alle glt R ( x + dx ) R ( x ) < dx für ene Nor. Ist z.. erfüllt wenn R / x dx < ax dx. Da R / x daß Π / x < Π / x. / x = Π Π / x, st dafür hnrechend, (Ist z.. be Cournotwettbewerb für n > 2 kene problelose edngung. Vgl. Fredan [1977].) IV-2

3 (4.2) kann ugefort werden zu: 3 p C P X x = p p { X 123 1/ε α < 1 (4.3) Durch Verglech t der nversen Elastztätsregel für das Monopolarktglechgewcht p, x sehen wr: ) p < p bzw. X > x Der Verglech t de vollkoenen Wettbewerbsglechgewcht p ) p > p bzw. X < x, x ergbt Für dentsche Fren reduzert sch (4.3) zu p C 1 = p nε (4.4) 3 Für C = c folgt aus (4.3): n n p x Π = ( p c ) x = = = = X X px H α 1 ε 1 ε den Herfndahlndex bezechnet. wobe H α 2 n = 1 IV-3

4 I Falle von 2 Fren (Duopol) kann das Cournotglechgewcht graphsch llustrert werden: x α R ( x ) x x R ( x ) α x x x Für x = 0 würde de Monopolenge x wählen. De Stegung α der Reaktonskurve x = R ( x ), = 1, 2, erhalten wr durch plzte Dfferentaton von (4.2): R = dx = Π x / = P x + P dx Π / x P x + 2 P C (4.5) Daher glt für C 0, P < 0 und P 0 : R < 0, d.h. x, x snd strategsche Substtute R < 1, d.h. das Nashglechgewcht st endeutg (Vgl. FN 2) IV-4

5 De Proftstuaton der Fra kann anhand der Isoproftlnen dskutert werden. Den höchsten Proft errecht, wenn er auf x t x = R ( x ) antwortet. Für x < R ( x ) bzw. x > R ( x ) kann das Proftnveau Π ( Z) nur errechen, wenn Marktantele abgbt, d.h. wenn x < x. Des erklärt de For der Isoproftlnen. 4 Mt abstegende x nt s Proftnveau zu. In x Monopolproftnveau Π ( x ). errecht es das 4 Foral: dx wenn x dx Π= constant Π / x Π / x = = >, =, < 0 Π / x x P <, =, > R ( x ) (enütze (4.2) und 2 Π / x 2 < 0 ). IV-5

6 I Cournotglechgewcht seht daher de Proftstuaton der beden Fren we folgt aus. x R ( x ) x Π ( N) x Π ( N) R ( x ) x x x De Proftstuaton n N st ncht effzent. Alle Allokatonen n der schrafferten Lnse würden en besseres Proftergebns brngen. (Spelrau für Absprachen bzw. Kolluson zur Marktauftelung, z.. durch x = x = x / 2 ). IV-6

7 IV.2. Stackelberg-Mengenführerschaft (Stackelberg [1934]) Gegeben de Menge x des leaders, wählt follower sene Menge x =R (x ). Entschedungsstuaton des leaders: ax Π ( x, x ) s. t. x = R ( x ), x wobe Π und R we n IV.1 dskutert. Des ergbt de edngung erster Ordnung: Π x Π + R = 0. x Da geäß (4.1) Π = x P( x + x ) C ( x ), st dese edngung äquvalent zu: bzw. x P ( 1+ R ) + P C = 0 P C P x x + x = ( 1 + R ) (4.6) P 142 4P 3 x + x 1/ ε 123 α eachte: 1 < R < 0 IV-7

8 Graphsche Illustraton x R ( x ) Π ( N) x S Π ( S) R ( x ) x S x Proftverglech: Π ( S) > Π ( N) Π ( S) < Π ( N) Also leader sen st besser als follower sen (glt wel x und x strategsche Substtute snd. e strategschen Koplenten wollen kenesfalls bede leader sen. Sehe z.. das Proble der Presführerschaft, Kaptel VI.2.2.). IV-8

9 IV.3. ertrand-(pres)wettbewerb (ertrand [1883]) IV.3.1. Preswettbewerb be konstanten Grenzkosten und hoogene Gut n 2 Fren beten en hoogenes Gut an. De Nachfragekurve nach dese Gut st x(p). De Grenzkosten snd konstant und zwar c 1,..., c n. De Fren treten n Preswettbewerb. Wenn de von hnen gesetzten Prese p 1,... p n snd, entfällt auf Fra de Nachfrage x( p ), wenn p < p x ( p1,..., pn ) = α x( p ), wenn p = p 0, wenn p > p n n n t α n n, und p { p } = 1 > 0 α = 1 n. Das Nashglechgewcht p des sultanen nchtkooperatven Pressetzungsspels (ertrandglechgewcht) st we folgt charaktersert: Fall 1: dentsche c 1 =... = c n. Für alle t x >0, ndestens edoch für zwe Fren, glt p Duopol (n = 2) st p = p = c das enzge Nashglechgewcht.) 1 2 = c. (Also für Grund: p < c brngt Verlust. p > c wrd unterboten und brngt kenen Markt. n Angenoen p = c und p > c für, dann würde p nach p ε abwechen und trotzde den Markt behalten. Also ndestens für 2 Fren p = p = c. De Tatsache, daß be olgopolstsche Preswettbewerb berets Duopol (n = 2) de effzente Lösung (Grenzkostenpres + Nullproft) zustandekot, wrd auch ertrandparadox genannt. Fall 2: c < c für alle und c c, k,. Fra bekot den Markt. Falls p ( c ) < c, st p = p ( c ) und Π = Π ( ). Falls p ( c ) c, glt p c und Π ( c c ) x( c ). k ( p ( c ), Π ( c ) bezechnen Monopolpres bzw. Monopolproft be Grenzkosten c. p c c bedeutet, daß en dskretes Presraster unterstellt wrd und p der a knappsten unter c legende Pres st.) Grund: Jede andere Fra würde durch Unterbeten von c Verlust achen. En Pres über c kann proftabel unterboten werden, so daß es zu so ene Pres kene Nachfrage gbt. IV-9

10 Das ertrandparadox hat verschedene Antworten provozert, de zegen, weso doch ncht schon be 2 Fren das vollkoene Wettbewerbsergebns zustandekot, nälch be: Preswettbewerb t Kapaztätsgrenzen (IV.3.2., IV.4.), Kolluson (V.) und Produktdfferenzerung (VI.). IV.3.2. Preswettbewerb be stegenden Grenzkosten bzw. Kapaztätsschranken (Edgeworth [1897]) Fall 1: 2 Fren C ( x) = C ( x) = c aber nur für x x, x. p = p = c st ken Nashglechgewcht, wenn x( c) > ax{ x, x }. Denn Abwechen auf ~ p > c ergbt x ( ~ p, c) > 0 und Π > 0. Fall 2: 2 Fren t C ( x) = C ( x) = C( x) t C ( x) > 0. p p p C x p = = = * * ( ) st ken Nashglechgewcht 2 (außer x(p) wäre unendlch elastsch n p * ). Abwechen auf ~ p > p = p lohnt sch. Denn für blebt x(p * )/2 de be p = p * proftaxale Menge, so daß für ene Resdualnachfrage x und x ( * R p ) x ( * = p ) / 2 verblebt. 5 Der resulterende Proft st R ( ~ p ) t x R < 0 Π * p p p xr p C xr p ( ~, ) = ~ ( ~ ) ( ( ~ )). Abletung nach ~ p ergbt Π [ ~ ] ~ = x R( ~ p ) + p C ( x R( ~ p )) x R ( ~ p ). p 5 x R st de Nachfragekurve auf de der Fra verblebende Markt, nachde zu ene bestten Pres ( vorlegenden Fall p * ) Nachfrage n ene bestten ( vorlegenden Fall x(p * )/2) befredgt hat. De genaue For von x R hängt vo Ratonerungsschea ab, das festlegt, welche Kundschaft be Ratonerung zuerst bedent wrd. De her benötgten Egenschaften x R < 0 und x R (p * )= x (p * )/2 snd edoch ncht vo spezellen Ratonerungsschea abhängg. IV-10

11 Also Π ~ p ~ * p = p * x( p ) p C x ( p * ) = + x ( ~ p ) > 0 0 R > und daher st es proftabel zu ene ~ p p * > abzuwechen. (Zwar geht der argnale Konsuent verloren; deser hat aber ohnehn Kosten n Höhe des Preses p * verursacht [second-order effect]. Dafür höherer Proft durch höheren Pres be nfraargnalen Konsuenten [frst-order effect].) 0 Graphsche Illustraton: x ( R p ) ~ p p = p* p = p* ~x x( p*) 2 x( p*) 2 Schlußfolgerung: ) e Kapaztätsschranken oder stegenden Grenzkosten stellt der Grenzkostenpres ken (ertrand-)nashglechgewcht dar (ken ertrandparadox ehr). Olgopolstscher Preswettbewerb führt zu Presen, de über den Grenzkosten legen. ) We das (ertrand-)nashglechgewcht ausseht hängt allgeenen vo zugrundelegenden Ratonerungsschea 6 ab und auch davon, we groß de vorhandene (Gesat)kapaztät Verglech zur Marktnachfrage st. Es kann auch sen, daß überhaupt ken ertrand-nashglechgewcht exstert. 6 Deses legt fest, welche Kundschaft be ratonerter Nachfrage bedent wrd, z.. deenge t der höchsten Zahlungsberetschaft (effzente Ratonerung), oder deenge, de beret st, sch anzustellen (Ratonerung über Warteschlangen), oder ene zufällg ausgewählte (proportonale Ratonerung). IV-11

12 Das nachfolgende espel 1 zegt, daß auf ene Markt t äßgen Überkapaztäten ken Glechgewcht exstert. espel 2 zegt, daß be klenen Kapaztäten der zur Vollauslastung führende Pres en endeutges ertrandglechgewcht darstellt. espel 1: Nchtexstenz enes ertrandglechgewchtes be äßgen Überkapaztäten (Vgl. asu, S. 41/42) 2 Fren t Grenzkosten C = C = c und Kapaztätsgrenzen x, x, so daß x( p ( c)) < x, x < x( c) < x + x. (p (c) bezechnet den Monopolpres be Grenzkosten c und Nachfragekurve x(p)). Angenoen p = p = c se en Nashglechgewcht: Abwechen zu ~ p > c proftabel, wel trotzde postve Resdualnachfrage verblebt ( x( c) > ). x Angenoen p = p > c se en Nashglechgewcht: Wegen x( c) < x + x st zundest ene Fra ncht ausgelastet. Für se st en Abwechen zu ene nedrgeren Pres proftabel. Angenoen p > p c se en Nashglechgewcht: Wenn ausgelastet st, uß laut Annahe p < p (c) sen, so daß en Abwechen nach ~ p > p proftabel st. Wenn ncht ausgelastet st, uß laut Annahe p > c sen und Fra ohne Nachfrage sen. Es st daher für proftabel zu ene p t c < ~ p < p abzuwechen. Q.E.D. IV-12

13 espel 2: ertrandglechgewcht be knappen Kapaztäten (Vgl. Trole und ) Markt t nverser Nachfragekurve P(x). 2 Fren t C = C = c und klenen Kapaztäten x, x, so daß x( c) > x + x aber auch x R, > x und x R, > x, wobe x R, de Monopolenge auf de Resdualarkt bezechnet, der verblebt, nachde de Kapaztätsenge x auf den Markt gebracht hat (analog st x R, defnert). π ( x,, x ) Π R x x R, In deser Stuaton st der kapaztätenräuende Pres p = p = p = P( x + x ) en endeutges Nashglechgewcht: 7 Kene Fra hat wegen der ausgelasteten Kapaztät enen Anrez, den Pres zu senken. Fra hat kenen Anrez, den Pres zu erhöhen, da x auf de verblebenden Resdualarkt x R, ene bndende Restrkton darstellt. würde ohne dese Restrkton a x, > x, also p < p wählen. (Analoges glt für ). R π Π ( ) = ( ) p, p p c x ( p ) R, p p p 7 Man beachte, daß de Gültgket deser Aussage ncht vo verwendeten Ratonerungsschea abhängt. IV-13

14 IV.4. Ex ante Kapaztätswahl und ex post Preswettbewerb. Neufunderung des Cournotglechgewchts. (Kreps/Schenkan [1983]) espel 2 n IV.3.2. zegt, daß auf ene Duopolarkt t nverser Nachfragekurve P(x) und be klenen Kapaztäten x, x der kapaztätsräuende Pres p = P( x + x ) en endeutges ertrandglechgewcht darstellt. Des plzert Proftfunktonen Π ( x x ) x P( x x ) cx c x + = + 0, de exakt de For der Proftfunktonen be Cournotwettbewerb haben (sehe 4.1). c 0 bezechnet de Investtonskosten. Des suggerert folgendes 2-stufges Spel: Stage 1:, wählen sultan de Kapaztäten x, x Stage 2:, wählen sultan de Prese p, p be gegebenen Kapaztäten x, x. Falls x, x klen genug gewählt würden, könnte an das Glechgewcht deses Spels durch backward nducton we folgt lösen: Da n Stage 2 das enzge Glechgewcht p = P( x + x ) st, läuft das Spel n Stage 1 auf en Cournotengenspel hnaus. Das telspelperfekte Glechgewcht deses 2-stufgen Spels würde so t de Cournotglechgewcht zusaenfallen, wobe de Glechgewchtsengen x, x als Kapaztäten nterpretert werden üssen. IV-14

15 Proble: Es st ncht garantert, daß Kapaztätsspel de Kapaztäten tatsächlch so klen gewählt werden, daß Presspel p = P( x + x ) en endeutges Glechgewcht st. Ad hoc Lösung: Hnrechend hohe Investtonskosten c 0. Allgeene theoretsche Lösung: Kreps und Schenkan (1983) haben gezegt, daß unabhängg von der Höhe der Investtonskosten c 0 be konkaven Nachfragefunktonen ( P 0 ) und effzenter Ratonerung 8 das enzge telspelperfekte Glechgewcht des 2-stufgen Spels t Kapaztätswahl und folgende Preswettbewerb das Cournotergebns st, also x = x, x = x und p = P( x + x ). 8 Effzente Ratonerung bedeutet, daß zuerst deengen t der höheren Zahlungsberetschaft bedent werden. De Resdualnachfrage st n dese Fall x(p ) x, wenn x(p ) > x x R, (p ) = 0, sonst. x( p) x x R, p p x xr, ( p ) IV-15