Übungsaufgaben zur Körperrechnung

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1 Übungsufgben zur Körperrechnung Aufgbe 0 cm cm h/ ) Die nebenstehende vierseitige Pyrmide ht die ngegebenen Mße. Berechne drus die Mntelfläche und ds Volumen der Pyrmide. b) Die Pyrmide wird in der hlben Höhe bgetrennt.(siehe Zeichnung mit den Mßen!) Welcher prozentule Anteil des Gesmtvolumens bleibt ls Pyrmidenstumpf erhlten? cm Aufgbe Ds (nicht mßstbsgetreu) bgebildete Schwimmbecken wird vollständig bis zur Oberknte mit Wsser gefüllt. ) Wie lnge duert der Füllvorgng, wenn in jeder Sekunde 50 l Wsser einlufen? b) Nch welcher Zeit steht ds Wsser im Schwimmbecken bereits,5 m hoch? m 0m 0m m 0m 0m Aufgbe : Ein Zylinder wird einem Würfel der Seitenlänge 0cm einbeschrieben. Berechne die Ruminhlte der beiden Körper und bestimme wie viel Prozent des Würfelinhltes der Zylinderinhlt beträgt. Aufgbe : Eine regelmäßige 6seitige Pyrmide mit der Grundknte = m und der Seitenknte s = 8 m sei gegeben. Berechne die Höhe einer Seitenfläche sowie die Oberfläche der Pyrmide. Aufgbe 5: Von einem Kegel weiß mn, dss der Flächeninhlt seines Mntels ml so groß ist wie der des Grundkreises. Berechne die Weite des Mittelpunktwinkels des bgerollten Mntels.

2 Aufgbe 6: Ein Körper besteht us einem Holzquder mit einer ufgesetzten Eisenpyrmide. ) Berechne die Höhe der Pyrmide. b) Berechne ds Volumen und die Oberfläche des Körpers. c) Welche Msse ht der Körper? ( 0,5 g Holz und 7,6 g Eisen ) Aufgbe 7: Von einem regelmäßigen sechsseitigen Prism mit der Grundknte = cm kennt mn ds Volumen V = 68. ) Bestimme die Länge der Höhe h und den Inhlt der Mntelfläche des Prisms. b) Welche Kntenlänge ht ein Würfel mit gleichem Volumen? Aufgbe 8: Ein Messbecher ht die Form eines Kegels mit der Höhe h = cm. ) Wie groß muss der Rdius n der Oberknte des Bechers sein, dmit genu 0,5 dm³ hineinpssen? b) Es soll eine Mrkierung für 00 ngebrcht werden. Wie weit liegt diese Mrkierung unterhlb der Oberknte (uf der "Seitenknte")? Aufgbe 9: Ein qudrtisches Bltt mit der Kntenlänge wird einml um eine Seite und ein zweites Ml um eine Digonle gedreht. Es entstehen zwei verschiedene Körper. Berechne die Ruminhlte der beiden Körper in Abhängigkeit von. Aufgbe 0: Bestimme die Msse m eines Kupferrohres, ds die Länge m, den Außendurchmesser g cm und die Wndstärke mm ht. Die Dichte von Kupfer ist Kupfer 8,9.

3 Aufgbe : (Mße in cm) ) Berechne ds Volumen und die Oberfläche des drgestellten Körpers. g b) Wie viel wiegt der Körper, wenn er us Sthl mit einer Dichte von Sthl 7,9 besteht? Aufgbe : Eine Öllmpe ht die Form einer gerden Pyrmide mit qudrtischer Grundfläche. Die Innenmße der Pyrmide sind: Höhe h = 0 cm und Grundknte = 6 cm. ) Wie viele ml Öl knn mn mximl in die Lmpe einfüllen? b) Wie viel Öl befindet sich in der Lmpe, wenn ds Öl im Innern bis cm über dem Boden steht? c) Zum Nchfüllen von Öl muss mn die Lmpe so umdrehen, dss die Spitze nch unten weist (siehe Abbildung). Wie hoch steht nun ds Öl in der Lmpe, wenn mn die Füllmenge von b) nnimmt? Aufgbe : Um wie viel Prozent nehmen Volumen und Mntelfläche eines gerden Zylinders zu, wenn mn den Rdius des Zylinders um 0% vergrößert und die Höhe unverändert lässt? Aufgbe : Eine zylindrische Kffeedose ht einen Rdius von 9, cm und eine Innenhöhe von cm. Sie ist zu 90% mit Kffee gefüllt. Der Dose liegt ein Dosierlöffel mit der Form einer Hlbkugel bei. Mn knn mit dem in der Dose enthltenen Kffee 06 Dosierlöffel gestrichen füllen. ) Wie viel Kffee befindet sich in der Dose? b) Berechne den Innenrdius des Dosierlöffels. Aufgbe 5: Ein Regenzgls ht die Form einer Hlbhohlkugel mit Innenrdius, cm und eines ufgesetzten Hohlzylinders mit gleichem Rdius und Höhe cm. Ds Gls ht eine Dicke von mm. ) Wie viele ml knn mn mximl in ds Regenzgls füllen? b) Ds Regenzgls soll mit einer Messskl versehen werden. Wie weit unter dem oberen Rnd des Regenzglses muss mn die Mrkierungslinie für 0 ml nbringen? c) Die verwendete Glssorte besitzt eine Dichte von, g/. Berechne die Msse des Regenzglses.

4 Aufgbe 6: Ein zylinderförmiges Gefäß mit einer Durchmesser von 9 cm und einer Höhe von 0 cm ist bis zur Hälfte mit einer Flüssigkeit gefüllt. Mn lässt drin eine Kugel mit einem Durchmesser von,6 cm vollständig untertuchen. Um wie viele cm steigt der Flüssigkeitsspiegel im Zylinder drufhin n? Aufgbe 7: Ein Tetreder ist eine dreiseitige Pyrmide, bei der lle Seitenknten gleich groß sind (die Seitenflächen sind lle gleichseitig). Ermittle Volumen und Oberfläche eines Tetreders mit der Seitenlänge.

5 Musterlösungen zur Körperrechnung Aufgbe : ) Mntelfläche = A Dreieck h und Volumen = G h Berechnung von h : s h h , 8 cm Mntelfläche = 9,8 78, cm² Berechnung von h: h h h 9,8 9 9, 6 cm Volumen = G h 9,6 5, 9,6 b) Volumen der kleinen Pyrmide: V G h 6,. Volumen des Stumpfes: V 5, 6,, 8,8 Prozentuler Anteil des Stumpfes = 0,875 87,5% 5, Aufgbe : ) Der gesmte Körper knn ls Prism betrchtet werden. Die Grundfläche (der Boden) des Prisms entspricht der Vorderseite, der "Deckel" der Rückseite des Prisms. Die Höhe des Prisms ist der Abstnd zwischen Grundfläche und Deckel, lso hier h = 0 m. Berechnung der Grundfläche G: G A Rechteck A Trpez A Rechteck 0 ( ) m² Volumen des Prisms: V G h m³ = dm³ = Liter Zeit zur Befüllung: 6000s 0 Stunden. 50 b) Wenn ds Wsser im Becken,5 m hoch steht, ergibt sich ls "Wsserkörper" wieder ein Prism mit folgender Grundfläche (von vorne betrchtet). 0 0,5 Die Vorderfläche besteht us einem Rechteck und einem rechtwinkligen Dreieck. Gesmtfläche = 0,5 0,5 0 7, 5 m² Drus ergibt sich ds Volumen V 5, m³ = Liter Zeit zur Befüllung: 000s, 06 Stunden 50 5

6 Aufgbe : Berechnung des Würfelvolumens: VWürfel Der einbeschriebene Zylinder besitzt die Höhe h = 0 cm und den Rdius r = 0 cm. Berechnung des Zylindervolumens: V r h , Zylinder 68, Der Zylinderinhlt entspricht 0,785 78,5% des Würfelvolumens Aufgbe : Die Grundfläche der Pyrmide besteht us einem regelmäßigen Sechseck. Ds Sechseck besteht us sechs gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge = m. Berechnung der Höhe h s einer Seitenfläche: hs s hs 8,5 7, 9 m Oberfläche der Pyrmide = G M M 6 A Dreieck 6 hs 7,9 7, m² 9 G 6 A gleichs.dreieck 6 6, m² (Formelsmmlung) O 7,, 9,5 m² Aufgbe 5 Mntelfläche des Kegels: M r s Fläche des Grundkreises: A r Es gilt: M A r s r r s s Dmit gilt für die Mntelfläche: M r r r Kegel Kegel r Die Mntelfläche entspricht der Fläche des Kreisusschnittes, die den bgerollten Mntel drstellt. Außerdem gilt s. Kegel r Kreisussc hnitt Kegel A Kreisussc hnitt r Kreisusschnitt r 60 Kegel (r Kegel ) Aufgbe 6: d ) Für die Höhe h der Pyrmide gilt: h s Die Länge von d (Digonle der qudrtischen Grundfläche der Pyrmide) lässt sich berechnen durch d 8, m (Formelsmmlung oder Herleitung über Pythgors)., Dmit gilt: h 0, 6 m. 6

7 b) Vgesmt VQuder VPyrmide hq G h , 6 = 8 + 6, = 67, m³ Berechnung der Seitenflächenhöhe der Pyrmide: hs s, m Ogesmt hs 6 8, 68,96 m² b) Msse des Holzquders: g g mquder Holz VQuder 0,5 8m 0, Tonnen Msser der Pyrmide: g g mpyrmide Eisen VPyrmide 7,6 6,m 7, Tonnen Msse des Körpers = + 78 = 9 Tonnen Aufgbe 7: ) Prismvolumen: V G h mit G A Sech sec k 6 A gleichs.dreieck 6, 6 cm² 68,6 h h 5,6 cm Mntelfläche M 6 A 6 h 7, cm² Rechteck b) Würfelvolumen V , 7 cm Kntenlänge Aufgbe 8: ) V r h 0,5 r, (die Höhe h muss in dm umgerechnet werden!) r 0,6 dm b) Die Seitenknte des Kegels ht die Länge s 0,6,, 6 dm Volumen des kleinen Kegels: 00 = 0, dm³. 0, x y (*) D in dieser Formel Vrible x und y vorkommen, wird noch eine zweite Formel (.Strhlenstz) benötigt: 0,6 x x 0,55y einsetzen in (*), y 7

8 0,6 0, (0,55y) y 0,756y y 0,89 dm und dmit x 0, 6 dm Seitenknte des kleinen Kegels: sklein 0,6 0,89 dm. Drus folgt s s sklein,6 0, 6 dm. Die Mrkierung muss 0,6 dm unterhlb der Oberknte ngebrcht werden. Aufgbe 9: Wird ds Bltt um eine Seite gedreht, entsteht ein Zylinder mit h = und r =. VZylinder r h Wird ds Bltt um eine Digonle gedreht (Länge der Digonle d ) entsteht ein d Doppelkegel mit r h V r h Doppelkegel 6 Aufgbe 0: Ds Kupferrohr ht die Form eines Hohlzylinders mit dem Außenrdius Innenrdius r i,7 cm. VHohlzylinder 00,7 00 8,7 Die Msse beträgt m 8,9 8,7 0 Grmm r cm und dem Aufgbe : ) Volumen des Körpers = VPr ism VZylinder VPr ism G h A Sech sec k,5 6,5 5,6 VZylinder 0,6,5,7 Gesmtvolumen = 5,6,7 =,9 Oberfläche des Körpers = 6 ARe chteck (A Sech sec k AKreis ) MZylinder 6,5 (6 0,6 ) 0,6,5, cm² b) Msse des Körpers =,9 7,9 09, 8 Grmm Aufgbe : ) VPyrmide h = 0 ml 8

9 b) Volumen der oberen Pyrmide: V (x) 9 x Die Länge von x erhält mn über den. Strhlenstz: x, V 5, 9 87,8 Dmit ergibt sich, dss sich in der Lmpe 0 87,8 =,5 =,5 ml Öl befindet. c) D ds Volumen der kleinen Pyrmide us b) beknnt ist, gilt:,5 (y) z (*) D in der Formel zwei Vrible uftreten, wird eine weitere Formel (.Strhlenstz) y benötigt: y 0, z einsetzen in (*) 0 z,5 (0,6z) z z 7 z 6,5 cm Ds Öl steht in der Lmpe 6,5 cm hoch. Aufgbe : Vlt r h Vneu (, r) h, r h, Vlt Ds Volumen steigt um % n. M lt r h Mneu (, r) h, M lt Die Mntelfläche steigt um 0% n. 9

10 Aufgbe : ) VZylinder r h 9,, 90% des Volumens entspricht 0,9, 998 Kffee. b) Der Dosierlöffel ht ein Volumen von 998 8,. 06 Gesucht ist nun der Rdius einer Hlbkugel mit dem Volumen 8,. VHlbkugel r 8, r r,8 cm Aufgbe 5: ) Vinnen VHlbkugel VZylinder,, 67 = 67 ml b) Wenn in dem Regenzgls 0 ml enthlten sind, fehlen im oberen Teil noch 7 ml. Dieser fehlende Teil entspricht dem Volumen eines Zylinders mit unbeknnter Höhe h. 7, h h 6 cm Die Mrkierungslinie muss 6 cm unterhlb des oberen Rndes ngebrcht werden. c) Für die Berechnung des Außenvolumens des Körpers ist die Dicke des Glses zu bechten. Vußen VHlbkugel VZylinder,, 9,95. Nun gilt: VGls Vußen Vinnen 9,95 67, 95. Die Msse beträgt m,,95 57, 9 Grmm. Aufgbe 6: Kugelvolumen V r,8, Wenn die Kugel untertucht, verdrängt sie folglich Wsser mit einem Volumen von,. Der ngestiegene Wsserspiegel entspricht einem Zylinder mit Rdius r =,5 cm. Gesucht ist die Höhe dieses Zylinders. VZ r h,,5 h h 0,8 cm. Der Wsserspiegel steigt um 0,8 cm n. Aufgbe 7: V Tetreder G h Die Grundfläche besteht us einem gleichseitigen Dreieck mit G (Formelsmmlung). Die Höhenlinie einer dreiseitigen Pyrmide schneidet die Grundfläche im Schwerpunkt des gleichseitigen Dreiecks. Der Schwerpunkt teilt die Höhe des Grundflächendreiecks im Verhältnis :. Die Höhe h der Pyrmide wird mit Hilfe des Stzes von Pythgors bestimmt: h hdreíeck s wobei h Dreieck (Formelsmmlung) die Höhe des gleichseitigen Grundflächendreiecks ist. 0

11 Drus folgt 9 s h V Tetreder Die Oberfläche des Tetreders besteht us gleichseitigen Dreiecken: G A O Dreieck Tetreder