5 Korrelation und Ausgleichsrechnung

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1 Vesuchstech 5 Koelato, Ausglechsechug 5 Koelato ud Ausglechsechug Be de gemesame Betachtug mehee essgöße Abschtt 4.3 wude davo ausgegage, dass dese voeade uabhägg sd. Ee deatge Voaussetzug a jedoch cht mme getoffe wede. Fü ee efache Zugvesuch bespelswese teesset soga m Gegetel de Bezehug zwsche de auf de Westoffpobe aufgebachte, gemessee Kaft ud de paallel dazu emttelte Dehug. De Betachtug deatg mteade zusammehägede essgöße, de zufällg schwaede Fehle aufwese, bldet demgemäß de Ihalt des folgede Kaptels. 5. Koelato vo esswete Be paawese gewoee esswete ud Y steht de Begff Koelato (Wechselbezehug) fü de Fagestellug, welche Bezug de zugude legede essgöße (ode Zufallsvaable) zueade habe. Duch de Efühug spezelle Kezahle wd es dabe möglch, ee Abhägget zwsche de essgöße ud quattatv zu fasse bzw. gemäß Abschtt 5. ee futoale Zusammehag f() zu beschebe (m Folgede wd hefü voausgesetzt, dass ee uabhägge ud ee davo futoell abhägge Vaable se). Fü bede essgöße ud estee ee essehe (Stchpobe), Y vom Umfag (d.h.,,..., ), de zufällge Fehle ethalte a. Letztee solle he als omalvetelt agesehe wede. Zu Chaateseug de auftetede Koelato dee mehee Kezahle: Koelatosoeffzet : Dese Göße st vo empsche At ud beschebt de Güte des utestellte futoale Zusammehags. Fü h gelte folgede Regel: : mamale Koelato. : ee Koelato, es besteht e futoale Zusammehag. : de Koelatosoeffzet st smmetsch. ± : Alle esspute (, Y ) lege auf ee Geade m de -Ebee. > : Postv-leae (glechläufge) Bezehug zwsche ud. < : Negatv-leae (gegeläufge) Bezehug zwsche ud. Bestmmthetsmaß B : Dese Göße st das uadat des Koelatosoeffzete, B. : Kovaaz σ : Dese Göße st das aß fü de leae Koelato zwsche zwe essvaable. σ heßt, de esswete sd lea uabhägg voeade. Da m Allgemee u ee begezte Rehe vo essdate volegt, lässt sch de Kovaaz u als Schätzwet s bestmme, wobe de ttelwete ud zuvo gemäß Glechug (4.3) beechet wude: s ( )( Y ) (5.) Zwsche ud s besteht e Zusammehag, de ute Beachtug vo Glechug (4.4) we folgt lautet:

2 Vesuchstech 5 Koelato, Ausglechsechug s s s )( Y ) ) ( Y ) (5.) De Koeffzet gbt demach ebeso we bespelswese ud s u ee Schätzgöße wede. De zugehöge eate Göße wd mt ρ bezechet ud hat de selbe Egeschafte we. (Ist z.b. de Zusammehag beat, so lässt sch heaus ρ folge.) 5. Ausglechsechug 5.. Teduve De futoale Zusammehag f() a aus de esswetpaae (, Y ) mt Hlfe de Ausglechs- ode Regessosechug abgeschätzt, also äheugswese bestmmt wede. a ehält hemt demetspeched ee Regessos- ode Ausglechsuve, de auch als Teduve bezechet wd. Als este Schtt dazu wd e Asatz fü de Kuve festgelegt, de aus ee spezelle, duch Voübeleguge ausgewählte Futo f(, a, a,...) besteht ud dem a, a,... de so geate Kuvepaamete blde. Letztee sd m zwete Schtt de Regessosechug zu emttel (vgl. hezu Abschtte 5.. ud 5..3). Je ach At des Asatzes uteschedet ma sbesodee de polomale Regesso mt de leae Regesso als Sodefall, Potezegesso, Epoetalegesso. Tabelle 5. ethält hezu ege Bespele, de gebäuchlche Fälle epäsetee. Vele Asätze lasse sch zudem auf ee leae Fom bge, z. B. de Fall de Epoetalfuto: ae b * l l a + b a* + b Damt a ma fü de Wetepaae (l Y, ) ee Regessosgeade emttel, de auf de Göße a*, b füht ud somt auch auf de gesuchte Paametesatz a e a*, b. De hezu efodelche, spezelle Recheschtte wede m ächste Abschtt eläutet. Tabelle 5.: Tpsche Bespele fü Regessosuve. Zusammehag Paamete a + a leae Futo, Ausglechsgeade a, a a ² + a + a quadatsche Futo, Ausglechspaabel a, a, a a b Potezfuto a, b ae b Epoetalfuto a, b a l b Logathmusfuto a, b a / ( + b) geboche atoale Futo a, b

3 Vesuchstech 5 Koelato, Ausglechsechug 5.. Leae Regesso De leae Regesso st de Ausglechsechug mt dem Lösugsasatz ee gazatoale Futo este Odug. Se besteht also de Bestmmug de Ausglechs- ode Regessosgeade (Bld 5.), ud zwa, dem de Kuvepaamete ach dem Pzp de leste uadate ode dem Gaußsche malpzp bestmmt wede. Hefü st de Summe alle quadete vetale Abstäde de esspute vo de Asatzgeade zu blde ud Abhägget de gesuchte Göße zu mmee, was auf de Bedguge a, a (5.3) sowe daaus auf de utestehede Recheegel (5.4) bs (5.6) füht. Deses Vogehe elaubt de edeutge Beechug optmale Wete fü a ud a, um zu ee gewählte Näheugsfuto fü de Beschebug de esswete zu gelage. De patsche Beechug vo a ud a a übe das folgede Recheschema vogeomme wede.. Beechug de ttelwete: (5.4a) Y (5.4b). Beechug vo 3 Hlfsgöße: ( ) (5.5a) ( ) Y Y Y (5.5b) )( Y ) Y Y (5.5c) a + a Stegug a, Y Achseabschtt a Bld 5.: Regessosgeade

4 Vesuchstech 5 Koelato, Ausglechsechug 3. Beechug vo a ud a : Stegug (Regessosoeffzet): a (5.6a) Achseabschtt: a a Y a (5.6b) Zu Beutelug de Güte des Egebsses dee de wetee Göße sowe de Vetauesbeech fü a ud a : Kovaaz vo ud : Koelatosoeffzet vo ud : Restvaaz de Ausglechsgeade: Vetauesbeech fü a : Vetauesbeech fü a : s (5.7a) (5.7b) a s (5.8) s a ± t P (5.9a) ν, s a± t (5.9b) ν, P Be de letzte bede Bezehuge st t wede de Studetsche t-vetelug fü de gewählte statstsche Schehet P zu etehme, alledgs cht fü de Zahl, sode fü ν Regesso -te Odug De Veallgemeeug de leae Regesso füht auf de polomale Regesso, be de de Tedfuto f() duch ee Polomasatz vom Gad beschebe wd: ( ) a a+ a + a (5.a) Wählt ma hgege Bassfutoe ~ aus, de hesets belebge Futoe vo se öe, so füht des auf ee wetee Veallgemeeug: ( ) a ~ ( ) (5.b) Eeut lege de Ausglechsechug dabe ee Stchpobe vom Umfag mt esswetepaae (, Y ) zugude, de wede mt zufällge, omalvetelte Fehle behaftet sd. De Awedug des Pzps de leste uadate füht auf das folgede Nomalglechugssstem aus Glechuge, desse Lösug de gesuchte Koeffzete a egbt: Y a ~ j j ) ~ ) s j mt,,,, >, s Vaaz des -te esswets, s, falls dese Wete ubeat. (5.)

5 Vesuchstech 5 Koelato, Ausglechsechug De Ebezehug de Stadadabwechuge s beuht auf de Abscht, de ezele Dffeeze Y f( ) mt de jewelge Uschehet zu gewchte. Hemt lasse sch qualtatv gute essuge besse beücschtge. Zu Beutelug, we gut ee beechete Näheugsfuto de Ted vo esswetehe wedegbt, bedet ma sch ach Bestmmug de Kuvepaamete ee statstsche Püfgöße χ, de etspechede Wese gewchtete Summe de Abwechugsquadate. Im Fall de polomale Regesso wd χ folgedemaße beechet: Y χ Y a ~ ) (5.) σ s Das Pzp de leste uadate fü ee optmale Näheugsfuto a demach auch als meug vo χ aufgefasst wede, was de Suche ach de leste Summe vo Abwechugsquadate etspcht. Wetefühede statstsche Püfuge beutze dese Göße χ, um de Apassugsgüte be suzessv stegedem Polomgad zu beutele