Lineare Regression. Hypothesen-Test. Statistik 2 5. Vorlesung, November 21, Eigenschaften unserer Schätzer. Die Koeffizienten der Regression

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1 Statstk 5. Volesug, Novembe, 0 Leae Regesso Ma ka de Mekmal Y mt ee X ähe: X: Eflussfakto Y: abhägges Mekmal Bespele: Y ax + b X: beobachtete Wettedate heute, Y: Wettedate moge X: Fläche, Y: Umsatz Allgeme: aktuelles X st bekat, de dazu gehöede Y st abe cht bekat W möchte de Geade zu fde, de dem Date am beste apasst ud dee Wet a Pukt X beutze w als Schätzug fü de ubekate Y. Mathematsch: de folgede Summe möchte w mmsee a ud b: Q( a, b) = [ y ( ax + b)] = De Koeffzete de Regesso Das Modell: y~ax+b. De Schätzug fü de Koeffzete: ( x x)( y y) = a=, bˆ = y ax ˆ ˆ = ( x x) Egeschafte usee Schätze Modell: Y=aX+b+ε, wo ε st Nomal-vetelt mt Ewatugswet 0 ud St.abwechug σ Stadadabwechug de Koeffzete de Regessosgeade: D( aˆ) σ = ( x x) ) De Schätzug fü σ: x ; Db ( ˆ) = σ + ( x x ( ˆ ) ( ( ˆ ˆ)) ˆ y y y ax + b σ = = Wedeholug (Hotel-Date, Buchuge ud Etfeug) Betachte w X statt X als Eflussfakto Etf % (x-x)^ (km)^ Besetzt (y-y)^ (x-x)(y-y) , a=-00/9656=-0,078; b=86-88,8*(-0,0078)=00.64 Hypothese-Test de Hypothese: a=0 (es st ke Zusammehag mt de Dstaz). H A : a 0. Teststatstk: (t-test) ( x x) t = aˆ σˆ das Fehetsgad st - (w habe Paamete geschätzt: a ud σ). Ablehugsbeech (we bem allgemees t- Test, vom Alteatv-Hypothese abhäged). Jetzt zwesetg. Abe fü H A : a<0, t<- t -α,-

2 Fotsetzug Teststatstk fü de Hypothese: b=0 Bespel (Hotel-Date mt Dst als X) a=-4600,/59,6=-0,078; b=86-88,8*(-0,078) = =00,64 ax+b Resd^ Summe: 0.06 bˆ t= x ˆ σ + ( x x) Also de Schätzug fü σ:,7. H 0 :a=0 t=-0,078*544,6/,7=-,4. Es st sche, dass de Utesched zwsche de veschedee Buchugsatele st ke Zufall. Adee Hypothese H 0 : b=00 (ka de Kostat 00 se?) Es st de logsche Wet. Statstk de t-test: bˆ b t = x ˆ σ + ( x x) 0,64 =,65 0, / = also dese Hypothese köe w aehme. 0,59 Mehdmesoale statstsche Vefahe Smultae Zusammewke vo Zufallsvaable wd utesucht. Bespele: multple Regessosmodelle Klassfzeug usw (Faktostuktue,...) Multple leae Regesso Y: abhägges Mekmal X,...,X m : Eflussfaktoe Regesso: y~a x + a x a m x m + b De Koeffzete ka ma wede mt de methode de kleste Quadate schätze. Bespel:W habe de Moatsumsatz, Fläche ud Azahl de Agestellte be e Paa Flale usee Hadelsfma de folgede Tabelle dagestellt Moatsumsatz T.Euo (Y) Fläche TQM (X) Azahl Agestellte (X) Lösug, Bedeutug, Resdue Lösug mt de Methode de kleste Quadate: Y~,56X +,8X +60,48. Bedeutug de (patelle) Regessoskoeffzete a j : Ädeug de Zelgösse (Moatsumsatz), we X j um ee Ehet stegt, ud de adee Eflüsse blebe Kostat. Resdue (Schätzfehle): y yˆ ( yˆ y) = Daaus de Bestmmthetsmass: R = ( y y) = Egebsse fü de Bespel Moatsumsatz T.Euo (Y) Fläche TQM (X) Azahl Agestellte (X) Schätzuge Resdue (y-yba)^ (ydach-yba)^ R 0.908

3 Vaazaalyse Vaazaalyse od. ANOVA Fage: Hat e Fakto Efluss auf e Mekmal? Fakto: Nomal skalete Göße, Faktoauspäguge = Ebee ode Stufe Mekmal (duch Fakto beeflusst): vehältsskalete Göße Vaazaalyse: Möglchkete Efache Vaazaalyse: E Fakto Zwefache Vaazaalyse: Zwe Faktoe Vaazaalyse als Hypothesetest Test, fü athmetsche Mttel vo zwe ode meh Gudgesamthete. Test, ob de Dffeez de athmetsche Mttel vo zwe ode meh als zwe Gudgesamthete sgfkat vo Null veschede st. Vaazaalyse: Voaussetzuge Modellaahme de Vaazaalyse: Uabhäggket de Stchpobe (=,,) Nomalvetelug de Mekmale mt µ ud σ ² Vaazhomogetät (Homoskedastztät), d.h. σ ² = σ² Vaazaalyse: Hypothese Nullhypothese: Alle Guppe habe de gleche Mttelwet µ H 0 : µ = µ = = µ Alteatvhypothese: Ncht alle Guppe habe de gleche Mttelwet µ H : mdestes zwe µ sd uglech Vaazaalyse: Fage Fage: Beeflusst de Fakto (omalskalete Göße) das Mekmal (vehältsskalete Göße)? Ute H 0 : µ = µ fü alle ( =,, Faktostufe). Abwechug, de dem Fakto zuzuschebe sd: α = µ - µ ( =,,) heße wahe Effekte auf de - te Ebee.

4 Vaazaalyse: Modell Modell de efache Vaazaalyse: x j = µ + α + e j µ Gesamtmttelwet α Effekt auf de -te Ebee e j Vesuchsfehle = de Abwechug ees zufällg aus de -te Ebee des Faktos heausgegffee Beobachtugswetes x k vom Mttelwet µ dese Ebee. e j = x j µ = x j (µ + α ) Vaazaalyse: Bespel Zugfestgket vo = Dahtsote übepüfe, je Sote 6 Pobe, uabhägg voeade ud N(µ,σ²)-vt. Fage: Bestehe sgfkate Uteschede de Zugfestgket? j ,4 8,,9 7, 0,8 Dahtsote 7, 5,6 4, 6,8 9,7 8 9,6,5 9,4 7, 4,4 Vaazaalyse: Vogeheswese Gesamtmttelwet alle Faktostufe ud Mttelwete de Faktostufe bestmme Bestmmug de Abwechuge Zelegug de Abwechugsquadatsumme Teststatstk ud Testvetelug bestmme Etschedug, Itepetato Vaazaalyse: Mttelwete Gesamtmttelwet übe alle Faktostufe x = xj N = j= Mttelwete de Faktostufe x = j= x j Vaazaalyse: Bespel (Votsetzug) Bespel: Zugfestgket vo Dahtsote j x. 9 5,4 8,,9 7, 0,8 9, Dahtsote 7, 5,6 4, 6,8 9,7, 8 9,6,5 9,4 7, 4,4 5 x..,7 Vaazaalyse: Quadatsumme Abwechuge: Quadatsumme de Abwechuge (Sum of Squaes) Abwechuge de Beobachtuge vom Gesamtmttelwet. SST= (x -x ) = j= j Summe de Quadatsche Abwechuge Bezechuge: SST (Total), SSG (Gesamt) 4

5 Vaazaalyse, SSW Sum of Squaes, de Guppe: Abwechuge de Beobachtuge de ezele Messehe vom Mttelwet de jewelge Messehe. SSW= (x -x ) = j= j Summe de Quadatsche Abwechuge des Restes, Maß fü de cht duch de Fakto beeflusste Restvaabltät Bezechuge: SSW (Wth), SSE (Eo), SSR (Resdual). Vaazaalyse, SSB Quadatsumme (Sum of Squaes) zwsche de Guppe: Abwechuge de Mttelwete de ezele Messehe vom Gesamtmttelwet. SSB= (x -x ) = Mt Stchpobegöße multplzete Summe de Quadatsche Abwechuge de Stchpobemttelwete vom Gesamtmttelwet, also de beobachtete Effekte des Faktos. Vaazaalyse: Quadatsummezelegug SST = SSB + SSW (xj-x ) = (x -x ) + (xj-x ) = j= = = j= Itepetato: Gesamtvaaz (SST) setzt sch aus de Vaato zwsche de Messehe (SSB) ud de Vaato ehalb de Messehe (SSW) zusamme. Vaazaalyse: Idee fü Test Veglech de Vaato zwsche de Messehe mt de Vaato ehalb de Messehe Ist de Vaato zwsche de Messehe göße als jee ehalb de Messehe, schleße auf Utesched zwsche de Messehe (Faktoeffekt). Vaazaalyse: Teststatstk Idee/ Aus de Beobachtugswete wede zwe voeade uabhägge Schätzwete fü s W ² (klee Buchstabe stehe fü de Vaaz) ud s B ² fü de Vaaze de Beobachtugswete ehalb ud zwsche de Stchpobe bestmmt. Lege kee wahe Effekte vo (Gültgket vo H 0 ), sd s W ² ud s B ² (bs auf zufällge Abwechuge) glech. Be Vohadese vo wahe Effekte (H ) st s B ² systematsch göße als s W ². Vaazaalyse: Schätze Ewatugsteue Schätze fü de Vaaz ehalb de Messehe (Restvaaz): s = (x -x ) W j N- = j= Ewatugsteue Schätze fü de Vaaz zwsche de Messehe (Faktoeffekt) s B= (x -x ) - = 5

6 Vaazaalyse: MSS Vaazaalyse: Vaazaalysetafel ( Messehe) Mttlee Quadatsumme (MSS = Mea Sum of Squaes): Quadatsumme dvdet duch etspechede Fehetsgade MSB ud MSW sd ewatugsteue Schätze de Vaaz zwsche- ud ehalb de Messehe. Steuugsusache Utesched zw Messehe Zufällge Fehle Gesamt Fehetsgade (DF) - N- N- Quadatsumme (SS) SSB (Betwee) SSW (Wth) SST (Total) Mttlee Quadatsumme (MS) MSB = SSB / (-) MSW = SSW / (N-) Vaazaalyse: Etschedug Teststatstk: F = MSB / MSW F ~ F (-),(N-) Etschedug: Ist F F c, lehe H 0 cht ab (F c = ktsche Wet de F- Vetelug mt (-) ud (N-) Fehetsgade). Vaazaalyse: Bespel Dahtsote (Votsetzug) Quadatsummezelegug: SST = SSB + SSW 4,6 = 08,04 + 6,58 Mttlee Quadatsumme: MSB = 08,04 / (-) = 54,0 MSW = 6,58 / (8-) = 4,44 Teststatstk: F = MSB / MSW =,74 Ktsche Wet de F ;5 Vt.,68 Etschedug:,74 >,68 => H 0 ablehe, d.h. es besteht e sgfkate Utesched zw. de Sote 6