Binomialmodell für Optionen

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1 Jörg Lemm Vorlesung Finanzmathematik, WS 08/09 Universität Münster , ,

2 Definition Optionen Der Käufer (Geschäftspartner in der Long-Position) einer (europäischen) Kaufoption (Call) hat das Recht (nicht die Pflicht) einen Basiswert (oder Underlying, z.b. eine Aktie) bei Fälligkeit (zum Ausübungszeitpunkt T) zum Ausübungspreis (Basispreis) K zu kaufen. Der Käufer (Geschäftspartner in der Long-Position) einer (europäischen) Verkaufsoption (Put) hat das Recht (nicht die Pflicht) einen Basiswert (oder Underlying, z.b. eine Aktie) bei Fälligkeit (zum Ausübungszeitpunkt T) zum Ausübungspreis (Basispreis) K zu verkaufen. Der Verkäufer (Stillhalter, Schreiber, Geschäftspartner in der Short Position) einer Option hat die Pflicht die Option einzulösen. Bei sog. europäischen Optionen, die wir hier betrachten, hat der Käufer das Recht nur am Zeitpunkt T, bei sog. amerikanischen Optionen hat der Käufer das Recht jederzeit bis zur Fälligkeit T.

3 Auszahlungsprofil Kaufoption (Käufer, call long) A T max(0, A T K) Wert einer Kaufoption mit Ausübungspreis (Basispreis) von K=110 in Abhängigkeit vom Aktienpreis A T zum Auszahlungszeitpunkt T.

4 Auszahlungsprofil Verkaufsoption (Käufer, put long) A T max(0, K A T ) Wert einer Verkaufsoption mit Ausübungspreis (Basispreis) von K=110 in Abhängigkeit vom Aktienpreis A T zum Auszahlungszeitpunkt T.

5 Verkauf Kaufoption (Stillhalter, Schreiber, call short) max(0, A T K) A T Verkauf einer Kaufoption mit Ausübungspreis (Basispreis) von K=110 in Abhängigkeit vom Aktienpreis A T zum Auszahlungszeitpunkt T.

6 Verkauf Verkaufsoption (Stillhalter, Schreiber, put short) max(0, K A T ) A T Verkauf einer Verkaufsoption mit Ausübungspreis (Basispreis) von K=110 in Abhängigkeit vom Aktienpreis A T zum Auszahlungszeitpunkt T.

7 Überblick Optionen put long 50 call long put short 50 call short

8 Kombinationen von Optionen A T max(0, A T K 1 ) max(0, A T K 2 ) Beispiel Bull Spread (bei Fälligkeit T): Kombination einer Long Position in einer Kaufoption mit Basispreis K 1=60 mit einer Short Position in einer Kaufoption mit Basispreis K 2 = 140 und gleicher Fälligkeit T.

9 Einstufiges Binomialmodell Wir betrachten eine einfache Welt mit einem Basiswert A, z.b. einer Aktie, deren heutiger Wert A 0 bekannt ist, und von welchem wir annehmen, dass er nach dem nächsten Zeitschritt entweder den Wert A 1 oder den Wert A 2 annehmen kann. Ein Derivat auf A entspricht einer gegebenen Auszahlungsfunktion von A. Es hat damit nach dem nächsten Zeitschritt entweder den Wert D 1 = D(A 1 ) oder den Wert D 2 = D(A 2 ), seinen heutigen Wert D 0 wollen wir berechnen. Dazu brauchen wir neben der Aktie eine weitere Anlagemöglichkeit N, z.b. ein Geldkonto, von der wir verlangen, dass diese einen von A unabhängigen Anteil besitzt und, da wir sie auch als Referenzgröße verwenden wollen, dass sie nicht den Wert Null annimmt, d.h. N i 0. Wir können z.b. ein Geldkonto wählen mit Basiseinheit N 0 = 1(Euro) und deterministischem linearen Zinssatz r, d.h. N 1 = N 2 = (1 + r).

10 Einstufiges Binomialmodell: Replikationsbedingung Wir suchen eine Mischung aus φ Anteilen des Basiswertes A (z.b. Aktie) und ψ Anteilen des Numeraires N (z.b. Geldkonto), welche in jeder der beiden möglichen zukünftigen Situationen genau dem Wert des Derivats D = D(A) (z.b. einer Option) entspricht, also φa 1 + ψn 1 = D 1 = D(A 1 ) φa 2 + ψn 2 = D 2 = D(A 2 ) (1) Teilen durch das Numeraire mit N i 0 (Abzinsen der zukünftigen Werte auf heute) ergibt für a i = A i /N i, d i = D i /N i φa 1 + ψ = d 1 φa 2 + ψ = d 2 (2)

11 Einstufiges Binomialmodell: Lösung Durch Subtraktion und Addition der Gleichungen (2) folgt φ = d 1 d 2 a 1 a 2 = d a ψ = d 1 + d 2 2 φ a 1 + a 2 2 = d φā = d d a ā (3) mit a = a 1 a 2 (o.b.d.a. a > 0) und d = d 1 d 2 sowie ā = (a 1 + a 2 )/2 und d = (d 1 + d 2 )/2.

12 Einstufiges Binomialmodell: Wert des Derivats Mit den so gefundenen φ und ψ haben wir also eine Mischung aus Basiswert und Numeraire (z.b. Aktie und Geld) gefunden, welche in jeder (der beiden) möglichen zukünftigen Situationen dem Wert der Option exakt entspricht. Diese Mischung muss also auch bereits heute den gleichen Wert haben wie das Derivat, d.h d 0 = φa 0 + ψ = d a a 0 + d d a ā = d d a (ā a 0) = d ā a 0 d (4) a Beobachtung: Die Übergangswahrscheinlichkeit p von A 0 nach A 1, geht nicht direkt in die Formel ein! (Aber A 0 hängt davon ab.)

13 Erwartungswert und Standardabw. im Binomialmodell Der Erwartungswert einer binomialverteilten Größe x unter p E p (x) = px 1 + (1 p)x 2 (5) ändert sich bei Übergang zu einer Wahrscheinlichkeit q wie folgt E p (x) E q (x) = (p q)(x 1 x 2 ) = (p q) x. (6) Für die Standardabw. einer binomialverteilten Variablen erhalten wir σ p (x) = E p (x 2 ) Ep(x) 2 = px1 2 + (1 p)x2 2 (px 1 + (1 p)x 2 ) 2 = p(1 p)(x1 2 2x 1x 2 + x2 2) = p(1 p) x 1 x 2 = p(1 p) x. (7)

14 Preis des Derivats und empirische Wahrscheinlichkeit p Wegen ā = E 1 2 ā E p (a) = (a), d = E 1(d) folgt aus (6) 2 ) ( 1 2 p und damit, sowie mit (7) a, d E p (d) = ( ) 1 2 p d, (8) d 0 = d ā a 0 a d ( ) 1 = E p (d) + 2 p d E p(a) + ( 1 2 p) a a 0 d a = E p (d) E p(a) a 0 d = E p (d) E p(a) a 0 p(1 p) d a p(1 p) a = E p (d) d d E p (a) a 0 σ p (d). (9) σ p (a)

15 Einstufiges Binomialmodell und CAPM Eine Gleichung der Form (9) ist uns bei der Portfoliooptimierung nach Markowitz schon begegnet. Wenn wir für A die Gültigkeit des CAPM annehmen, also die Risikoprämie ϑ a = ϑ m ρ ma für A auf ein Marktportfolio beziehen können, und erkennen, dass die lineare Transformation a φa + ψ höchstens das Vorzeichen der Korrelation ρ ma ändert, so erhalten wir die CAPM-Gleichung d 0 = E p (d) d d = E p (d) d d ϑ aσ p (d) E p (a) a 0 σ p (d) σ p (a) = E p (d) d d ϑ m ρ ma σ p (d) (10) = E p (d) ϑ m ρ m(φa+ψ) σ p (d) = E p (d) ϑ m ρ md σ p (d) mit d d ρ ad = ρ (φa+ψ)d = ρ dd = 1.

16 Der Preis des Derivats als Erwartungswert Der Preis des Derivats lässt sich weiter umschreiben d 0 = d ā a 0 a d ) ( 1 + d ā a 0 a ( 1 = d 1 2 ā a 0 a ( ) ( ) a0 a 2 a1 a 0 = d 1 +d 2 a 1 a 2 a 1 a 2 } {{ } } {{ } q 1 q = qd 1 + (1 q)d 2 = E q (d) (11) und erhält so die Form eines Erwartungswert unter der sog. risikoneutralen (auch: risikoadjustierten) Wahrscheinlichkeit q. Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit q enthält also sozusagen bereits die Risikoprämie, so dass sich mit ihr der Preis eines Derivats formal als Erwartungswert schreiben lässt, d.h. so als ob keine Risikoprämie berücksichtigt werden müsste. )

17 Der Preis des Derivats als Erwartungswert (Variante) Der Preis des Derivats lässt sich ebenso schreiben als d 0 = d ā a 0 a d ( 1 = d 1 2 ā a ) ( d 2 a 2 + ā a ) 0 a = 1 ( 2 d 1 1 2ā a ) ( a 2 d ā a ) 0 a } {{ } } {{ } 2qd 1 = d 1 2(1 q)d 2 = d 2 = 2 d = E 1( d) (12) 2 d 2 und erhält so die Form eines Erwartungswert unter der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit q = 1/2, aber geänderten Auszahlungswerten d.

18 Risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten im Binomialmodell Die Größen q = a 0 a 2 a 1 a 2, 1 q = a 1 a 0 a 1 a 2 (13) sind keine echten empirischen Wahrscheinlichkeiten, haben aber die gleichen formalen Eigenschaften, d.h. sie addieren sich zu eins und es gilt auch 0 q 1, denn falls nicht 0 q 1, dann liegt a 0 außerhalb des Intervalls [a 1, a 2 ], d.h. die Anlage der Summe A 0 in das Numeraire wäre immer besser oder immer schlechter als die Anlage in die risikobehaftete Anlage A. Dies sollte nach dem No Arbitrage Prinzip in einem hinreichend effizienten Markt nicht vorkommen. Von der echten empirischen Wahrscheinlichkeit p eines Kursanstiegs hängt q nur indirekt über a 0 ab. Zudem sei betont, dass q nur von a, aber nicht von der Art des Derivats D(A) abhängt, und dass für das spezielle Derivat D = A gilt a 0 = E q (a), d.h. a ist ein sog. Martingal.

19 Risikoneutrale und empirische Wahrscheinlichkeit Wegen (8) folgt im einstufigen Binomialmodell für die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit q q = a 0 a 2 a 1 a 2 = 1 2 ā a 0 a mit der Risikoprämie (Sharpe Ratio) = p E p(a) a 0 a = p ϑ a p(1 p) (14) ϑ a = E p(a) a 0 σ p (a) = E p(a) a 0. (15) p(1 p) a

20 Markowitz, CAPM und No Arbitrage Prinzip Die Risikoprämie könnte alternativ zum No Arbitrage Prinzip 1. entweder durch eine Portfoliooptimierung nach Markowitz aus Return und Kovarianzdaten berechnet werden, oder 2. gemäß CAPM aus der Messung des ϑ m eines existierenden approximativen Marktportfolios und der Messung von ρ ma bzw. β a bestimmt werden. Das No Arbitrage Prinzip erfordert jedoch wesentlich weniger Annahmen und benötigt hier z.b. nur die bekannte Größe a 0 und Schätzungen für a 1 und a 2, und Abweichungen von E q (d) sollten aktiv vom Markt korrigiert werden. Im allgemeinen Fall, in dem ein risikoneutrales q existiert, so dass d 0 = E q (d), ist die Risikoprämie E p (d) E q (d) auch nicht notwendig von der CAPM Form. In Situationen z.b., in denen das Risikomaß des CAPM E(a) ϑ a σ a nicht monoton ist, wird man erwarten, dass q eine andere Form der impliziten Risikoprämie zugrundeliegt.

21 Das Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein (CRR) Wir betrachten nun ein mehrstufiges Binomialmodell, an dem an jedem Knoten (j, k), 0 j k, 0 k n, der abgezinste Wert A j,k des Basiswertes im Zustand j bei Schritt k um einen festen Faktor u steigen oder um den Faktor d fallen kann up : A j,(k+1) = ua j,k down : A (j+1),(k+1) = da j,k, (16) mit d = 1/u. Als Numeraire wählen wir ein Geldkonto mit N 0 = 1 und festem Zinssatz r pro Zeitschritt, d.h. N 1 = N 2 =1 + r. Damit ergibt sich für die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit q = a 0 a 2 = A 0 da0 1+r a 1 a ua r da 0 1+r = 1 + r d u d, 1 q = u 1 r u d. (17)

22 Risikoneutraler Erwartungswert im CRR Wegen der k Unabhängigkeit der u und d gilt uda 0 = dua 0, d.h. das CRR-Modell ist rekombinierend und die Reihenfolge der k Up Steps und n k Down Steps spielt für den Endzustand keine Rolle. Es gibt daher genau ( n k) verschiedene Pfade zum Endzustand A k,n zu gelangen. Für eine gekaufte Call Option mit Wert C n (A) = max(a n K, 0) = [A n K] + (18) zum Ausübungszeitpunkt n wird der risikoneutrale Erwartungswert C für deren abgezinsten Wert E q (c n ) = E q ( n (1+r) ) daher n E q (c n ) = 1 (1 + r) n n ( n k k=0 ) q k (1 q) n k } {{ } q(k n) [ ] u k d n k A 0 K } {{ + } C(k n) (19)

23 Bestimmung der minimalen Anzahl Up Steps Wir können in der Summe die Nullterme mit A n < K weglassen, E q (c n ) = 1 (1 + r) n n k=m ( ) n ( ) q k (1 q) n k u k d n k A 0 K k (20) und sind die nichtlineare Funktion [ ] + losgeworden, dafür startet die Summe jetzt bei m, der kleinsten ganzen Zahl für die gilt ( u u m d n m A 0 K d ) m K A 0 d n m ln K A 0 n lnd lnu lnd. (21)

24 Pseudowahrscheinlichkeiten Aufteilen der Zinsfaktors im ersten Term liefert, ( ) n ( ) k ( ) ( ) n k n qu (1 q)d E q(c n) = A 0 K n n q k (1 q) n k k 1 + r 1 + r (1 + r) n k und wegen qu 1 + r k=m + (1 q)d 1 + r folgt mit der Pseudowahrscheinlichkeit E q (c n ) = A 0 k=m = k=m (1 + r d)u + (u 1 r)d (1 + r)(u d) (22) = 1 (23) 0 q = uq 1, (24) 1 + r n ( ) n q k (1 q ) n k K n ( ) n k (1 + r) n q k (1 q) n k. k k=m (25)

25 Binomialverteilungsfunktion Mit der Verteilungsfunktion Ψ nq (m) einer Summe B n von n binomialverteilten Zufallsvariablen, die jeweils mit Wahrscheinlichkeit q den Wert 0 und mit Wahrscheinlichkeit 1 q den Wert 1 annehmen 1 P(B n < m) = 1 Ψ n,q (m) = P(B n m) = Ψ n,q (m) = n k=m ( ) n q k (1 q) n k (26) k können wir für den Preis der Call Option schreiben E q (c n ) = A 0 Ψ nq (m) K (1 + r) n Ψ nq (m). (27)

26 Grenzwertsatz Nach dem Grenzwertsatz von De Moivre Laplace ( ) B n nq Ψ n,q (m) = P(B n < m) = P < m nq nq(1 q) nq(1 q) n ( ) ( ) Φ m nq nq m = 1 Φ nq(1 q) nq(1 q) (28) strebt die Verteilungsfunktion der standardisierten Binomialverteilung gegen die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Φ(x) = 1 x e z2 2 dz = P(z x) = 1 Φ( x), (29) 2π für standardnormalverteiltes z. Wir werden den Satz benötigen in einer verallgemeinerten Form für von n-abhängige, aber konvergente q n n q.

27 Definition des Grenzübergangs Wir wollen für feste Ausübungszeit T, festen (exponentiellen) Zinssatz r c und fester Volatilität σ von lna die Zahl der Zwischenschritte n beliebig groß werden lassen. Um diese Größen fest zu lasssen, müssen der Zinssatz pro Schritt r und der Faktor u = 1/d von n abhängig gewählt werden. Damit werden auch die von r und u abhängigen Größen q(r, u) in (17), q (r, u) in (24), m(u) in (21) n abhängig, d.h. wir schreiben nun r n, u n, q n, q n, m n. Sei σ n die Varianz von lna pro Binomialschritt, so fordern wir fest n abhängig Bedingung Zeit T n T/n = t 0 Zins r c r n = e rc T n 1 (1 + r n ) n = e rct Volatilität σ σ n = σ T n nσn = Tσ

28 Veränderung der logarithmischen Schrittweite u n Mit lna n = lnu n A n ln(d n A n ) = lnu n ln(1/u n ) = 2 lnu n und daher nσ n = σ T = nq n (1 q n )2lnu n folgt σ 2 u n = e T qn(1 qn) n. Um u n unabhängig von q n zu wählen, versuchen wir stattdessen den Ansatz u n = e σ T n = e σ t (30) welches der geforderten Bedingung nσ n = Tσ asymptotisch 1 genügen wird, falls q n (r n, u n ) n 2. Wir erhalten fest n abhängig Bedingung Zeit T n T/n = t 0 Zins r c r n = e rc T n 1 (1 + r n ) n = e rct Vola., log. Schrittw. σ u n = e σ T n n lnun = Tσ

29 Taylorentwicklung bis zur Ordnung 1 n Taylorentwicklung bis zur Ordnung 1 n ergibt r n u n d n u n d n T = r c n + o(1 n ), T = 1 + σ n + σ2 2 T = 1 σ n + σ2 2 T = 2σ T n + o(1 n ), T n + o(1 n ), n + o(1 ), (31) n mit den (trivialen) Grenzwerten r n 0, u n 1, d n 1.

30 Taylorentwicklung der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit q n Taylorentwicklung von q n bis zur Ordnung 1 n ergibt damit q n = 1 + r n d n u n d n 1 + r c T n 1 + σ T 2σ n ( ) r c σ2 2 = T n 2σ also wie gewünscht q n 1 2. T n σ2 2 T n ( T σ n + r c σ2 2 = 2σ T n ) T n, (32)

31 Taylorentwicklung der Pseudowahrscheinlichkeit q n Taylorentwicklung von q n bis zur Ordnung 1 n ergibt analog qn = q nu n 1 + r [ n ( T σ n + T n ( r c + σ2 2 ) ][ r c σ2 T 2 n 1 + σ [ ] T [1 ] 2σ n + T rc n ) σ ( 2σ ) = 1 T r c + σ n 2σ T n. n T n + σ2 2 ] T n 1 2. (33)

32 Abhängigkeit der unteren Grenze m Für die jetzt n abhängige untere Grenze m (21) in (25) erhalten wir mit d n = 1/u n, also lnd n = lnu n, und lnu n = σ T/n = σ t m n = ln K A 0 n lnd n lnu n lnd n = ln K A 0 + n lnu n 2 lnu n = n 2 + ln K A 0 2 lnu n = n 2 + ln K A 0 2σ = n 2 + n T T n lnk lna 0. (34) 2σ

33 Taylorentwicklung der unteren Grenze 1 Taylorentwicklung der bzgl. q standardisierten unteren Grenze für den ersten Binomialterm in (25) bis zur Ordnung 1 n ergibt mit (34) und (33) m n nqn nq n (1 qn) n 2 + ( ) ln n A 0 T 2σ n T r c+ σ2 2 n 2σ ( ) ( ) 1 n 2 + T r c+ σ2 2 1 n 2σ 2 T r c+ σ2 2 n 2σ ) = 1 2 n T ( 1 2 n T 1 + n ( ln K A 0 σ r c+ σ2 2 σ ) (r c+ σ2 2 σ T ) ( T 1 n r c+ σ2 2 σ )

34 Taylorentwicklung der unteren Grenze 2 = ( ln K A 0 ( σ T T 1 + n r c+ σ2 2 σ ) T ) ( 1 r c + σ2 2 T n r c+ σ2 2 σ ) (35) und damit sehen wir m n nqn K nq n (1 qn) ln σ2 A 0 e rct 2 T n σ. (36) T Analog erhalten wir für die bzgl. q standardisierte untere Grenze im zweiten Binomialterm in (25) K m n nq n nqn (1 q n ) ln + σ2 A 0 e rct 2 T n σ. (37) T

35 Parameterbestimmung unter dem realen Maß Die vorgegebene Standardabweichung σ mit σ T = nq n (1 q n ) 2 lnu n (38) bezieht sich auf die risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten q n. Zur Nutzung von historischen Zeitreihen wäre es schön, die Standardabweichung der Renditen in Bezug auf die realen Wahrscheinlichkeiten p n vorzugeben. Zur Kalibrierung an historischen Daten betrachten wir Erwartungswert und Varianz der Renditen ln A n = ln(u A nd k n n k ) = ln(un 2k n ) = (2k n)ln(u n ). (39) 0 Wir bezeichnen nun mit µ p die erwartete kontinuierliche Rendite und mit σ 2 p die Varianz jeweils unter dem realen p und auf ein Jahr bezogen, also, mit E p, V p als Erwartung bzw. Varianz unter p, Tµ p = lim n E p (ln An A 0 ) Tσ 2 p = lim n V p (ln An A 0 ).

36 Der Erwartungswert unter dem realen Maß Für den Erwartungswert erhalten wir unter der Binomialverteilung mit Up Step Wahrscheinlichkeit p n ( E p ln A ) n = ln(un 2k n ) A 0 = E p (2k n ln(u n )) also sollte p n so gewählt werden, dass = (2E p (k) n)ln(u n ) = n(2p n 1)ln(u n ), (40) Tµ p = lim n n(2p n 1)ln(u n ). (41) In den Optionspreis geht µ p jedoch nicht ein.

37 Die Varianz unter dem realen Maß Für die Varianz erhalten wir unter der Binomialverteilung mit Up Step Wahrscheinlichkeit p n ( V p ln A ) n = ln(un 2k n ) A 0 = V p (2k n ln(u n )) = 4V p (k)ln 2 (u n ) also sollte p n so gewählt werden, dass = 4np n (1 p n )ln 2 (u n ), (42) Tσ 2 p = lim n 4np n(1 p n )ln 2 (u n ). (43)

38 Die Binomialwahrscheinlichkeit für das reale Maß Wählt man z.b. für die reale Binomialübergangswahrscheinlichkeit p n = e so folgt durch Taylorentwicklung für großes n p n µ T 2 σ n ) (µ+ σ2 Tn 2 d n (44) u n d n (45) welches zusammen mit u n = e σ T n T, also lnu n = σ n, die asymptotischen Bedingungen (41) und (43) mit σ = σ p erfüllt. Die risikoneutrale Varianz ist also asymptotisch gleich der Varianz unter dem realen Maß (Satz von Girsonov).

39 Die Black Scholes Merton Formel Der Grenzwert des Binomialmodells (27) für der Preis einer europäischen Call Option wird damit zur Black Scholes Merton Formel mit C 0 = E q (c n ) = A 0 Φ(d + ) e rct K Φ(d ) (46) d + = ln A 0e rct K σ T d = ln A 0e rct K Φ(x) = σ T 1 x 2π + σ2 2 T σ2 2 T, = d + σ T, e z2 2 dz. (47)

40 Die Black Scholes Merton Formel: Varianten Analog findet man für den Preis einer Put Option P 0 = e rct K Φ( d ) A 0 Φ( d + ). (48) Falls die Aktie eine kontinuierliche Dividende r d zahlt, verallgemeinern sich die Formeln auf C 0 = e r dt A 0 Φ(d + ) e rct K Φ(d ), P 0 = e rct K Φ( d ) e r dt A 0 Φ( d + ). (49)

41 Preis einer Kaufoption (Call long) A 0 Preis einer Kaufoption in Abhängigkeit vom Aktienpreis A 0. Parameter: K=110, r=10%(linear r c 9,53%), σ=20% pro Jahr. Call(blau), für t = 0 < T, Forward (grün: t = 0; gelb: T)

42 Preis einer Verkaufsoption (Put long) A 0 Preis einer Verkaufsoption in Abhängigkeit vom Aktienpreis A 0. Parameter: K=110, r=10%(linear r c 9,53%), σ=20% pro Jahr. Put(rot) für t = 0 < T, Forward (grün: t = 0; gelb: T)

43 Optionspreise nach Black Scholes Merton A 0 40 Parameter: K=110, r=10%(linear r c 9,53%), σ=20% pro Jahr. Call(blau), Put(rot) für t = 0 < T, Forward (grün: t; gelb: T) Kauf(durchgez.), Verkauf(gestrichelt).

44 Schranken für Optionspreise Eine (europäische, aber auch eine amerikanische) Option kann auch vor Fälligkeit quasi auf Pump ausgeübt werden. Denn die Beziehungen zwischen den Preisen von Call C T 0 bzw. Put P T 0 und den alternativen Anlagemöglichkeiten Aktie A T 0 sowie Geld K T = K 0, bzw. Forward F T = A T K A T K = F T C T = [A T K] + [A T ] + = A T K A T = F T P T = [K A T ] + [K] + = K (50) zur Zeit T müssen, so weit Arbitragemöglichkeiten ausgeschlossen sind, zu jeder Zeit gelten, also mit C 0 0 bzw. Put P 0 0 [A 0 e rct K] + = [A 0 K 0 ] + = [F 0 ] + C 0 A 0 (51) [e rct K A 0 ] + = [K 0 A 0 ] + = [ F 0 ] + P 0 K 0 = e rct K.

45 Aktien, Geld, Termin und Optionspreise A Parameter: K=110, r=10%(linear r c 9,53%), σ=20% pro Jahr. Aktie(cyan), Call(blau), Put(rot) für t < T, Forward (grün: t; gelb: T) Geld(violett: K(t); dunkelviol.: K(T)) Kauf(durchgezogene Linien), Verkauf(gestrichelte Linien).

46 Amerikanische Optionen Amerikanische Optionen dürfen zu jedem Zeitpunkt t T ausgeübt werden. Und zwar zum vereinbarten Strikepreis K und nicht etwa zum entsprechend abgezinsten Ke rc(t t). Damit gilt [A t K] + [A t K t ] + Ct am A t (52) [K t A t ] + [K A t ] + Pt am K t K. Für für positive Zinsen führt dies also für den amerikanischen Call zu keinen strengeren Schranken, aber der amerikanische Put ist durch K A t nach unten beschränkt. Da dies für den europäischen Put nicht immer gilt, kann demzufolge (bei einem entsprechend niedrigen Aktienkurs) die vorzeitige Ausübung sinnvoll sein. Der Wert einer amerikanischen (Put )Option, kann z.b. durch Rückwärtsiteration mit einem Binomialbaum berechnet werden.

47 Call Put Parität zur Ausübungszeit Wegen A T K = max(a T K, 0) + min(a T K, 0) (53) gilt zur Ausübungszeit T [A T K] + } {{ } long call [K A T ] } {{ + = } A T K } {{ } short put long forward (54) Aus Gleichheit zur Zeit T folgt Gleichheit für frühere Zeiten t T, da ansonsten Arbitrage möglich wäre, also C t P t = F t = A t Ke rc(t t). (55) Diese Gleichheit gilt modellunabhängig, d.h. z.b. auch bei fluktuierender Volatilität.

48 Call Put Parität zur Ausübungszeit T long call(t) A 0 short put(t) 40 Parameter: K=110. Call, long(blau,durchgezogen), Put, short(rot,gestrichelt). Bei t = T gilt definitionsgemäß Call(long) + Put(short) = Forward(long), wobei Put(short) = Put(long).

49 Call Put Parität vor Ausübungzeit long call(t) forward(t) forward(t) short put(t) A 0 40 Parameter: K=110, r=10%(linear r c 9,53%), σ=20% pro Jahr. Call(blau, durchg.), Put(rot, gestr.) für t < T, Forward (grün: t = 0; gelb: T) Wie zur Zeit T gilt auch hier Call(long) + Put(short) = Forward(long).

50 Bull Spread A C 0 (A 0, K 1, T, r c, σ) C 0 (A 0, K 2, T, r c, σ) Bull Spread (vor Fälligkeit): Kombination einer Long Position in einer Kaufoption mit Basispreis K 1=60 mit einer Short Position in einer Kaufoption mit Basispreis K 2 = 140 und gleicher Fälligkeit T.

51 Kalender Spread A C 0 (A 0, K, T 2, r c, σ) C 0 (A 0, K, T 1, r c, σ) Kalender Spread (horizontaler Spread) bei Fälligkeit der Short Position (T 1 = 0): Kombination einer Short Position in einer Kaufoption mit Fälligkeit T 1 mit einer Long Position in einer Kaufoption mit Fälligkeit T 2 (=1) und gleichem Basispreis K = 110.

52 Delta-Hedge Im Binomialmodell konnt eine Option nachgebildet werden, indem zu Beginn jeden Zeitschrittes genau die Anzahl d a = D (56) A an Aktien gehalten werden. Das zum Kauf der Aktien erforderliche Geld wird, abzüglich der Optionsprämie, geliehen und am Ende zurückgezahlt. Im Grenzübergang zum Black Scholes Merton-Modell erfordert dies die kontinuierliche Anpassung des Aktienbestandes an den i.a. zeitlich veränderlichen Wert der Ableitung des Derivates nach dem Aktienkurs, also z.b. für eine Call Option = dc(a t) da t. (57) Der Wert der im replizierenden Portfolio gehaltenen Aktien beträgt damit zur Zeit t also A t = A t dc(a t )/da t.

53 Delta Für die Ableitung = dc/da 0 ergibt sich nach der Kettenregel dc(a 0 ) da 0 = Φ(d + )+A 0 ϕ(d + )d + Ke rct ϕ(d )d = Φ(d + ) (58) mit und da dφ(x) dx = ϕ(x) = 1 2π e x2 2 (59) d dx d +(x) = d dx [d +(x) σ T] = d dx d (x) = d + = d (60) sowie, wegen e (x a)2 /2 = e x2 /2 e ax a2 /2, mit x = d +, a = σ T, A 0 ϕ(d + ) = Ke rct ϕ(d ). (61)

54 Die Griechen (Greeks) Definition dc da d 2 C da 2 dc dt dc dσ dc dr Bezeichnung Delta Gamma Theta Vega Rho

55 Voraussetzungen Black Scholes Merton Gleichung 1. Markt lässt keine Arbitragemöglichkeit zu 2. Derivat ist eine normale, pfadunabhängige Option 3. Lognormalverteilung des Underlyingkurses 4. Zinssatz r bekannt und fest 5. Volatilität σ des Underlyings bekannt und fest 6. keine Transaktionskosten 7. zeitlich kontinuierliches Handeln möglich 8. beliebig kleine Stückelung von Underlying und Geld möglich 9. Leerverkauf des Underlyings und Geldleihe möglich 10. keine Dividenden (in dieser Fassung)

56 Einige Internetquellen Die Eurex (weltweit größte Terminbörse) Chicago Board Options Exchange Onvista (Kursdaten, einschließlich Optionskennzahlen) Sal. Oppenheim (mit Optionsrechner) Homepage J. Kremer (Materialien und Optionsrechner) d-fine Consulting (Vorlesungen)

57 Literatur 1 M. Adelmeyer und E. Warmuth. Finanzmathematik für Einsteiger. Vieweg Verlag, Wiesbaden, 2. Auflage, Einführung in das Thema, aber mit mathematisch detaillierter Beschreibung des Binomialmodells für Optionen. R. Beike und J. Schlütz. Finanznachrichten. Schäffer Poeschel, Stuttgart, 4. Auflage, Ausführliche, praxisorientierte und gut lesbare Einführung in Finanzprodukte, Märkte, Kennzahlen uvm. H. P. Deutsch. Derivate und Interne Modelle. Schäffer Poeschel, Stuttgart, 2. Auflage, Buch eines Physikers und Beraters mit vielen Details.

58 Literatur 2 J. C. Hull. Optionen, Futures und andere Derivate. Pearson Studium, München, 6. Auflage, Das Standardwerk zu Optionen, für Einsteiger geeignet. J. Kremer. Einführung in die Diskrete Finanzmathematik. Springer Verlag, Berlin, Umfangreiche mathematische Einführung u.a. in Binomialmodelle, Java Programme im Internet erhältlich. K. Sandmann. Einführung in die Stochastik der Finanzmärkte. Springer Verlag, Berlin, 2. Auflage, Umfangreiche mathematische Einführung in finanzmathematische Modelle.

59 Literatur 3 S. E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model. Springer Verlag, New York, Einführung in die mathematische Begriffsbildung anhand des Binomialmodells. S. E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance II: Continuous Time Models. Springer Verlag, New York, Empfehlenswerte, gut verständliche mathematische Einführung. J. van der Hoek und R. J. Elliott. Binomial Models in Finance. Springer Verlag, New York, Recht teuer.

60 Sonstige Literatur E. Derman. My Life as a Quant. Reflections on Physics and Finance. John Wiley & Sons, Inc., New York, Erfahrungsbericht eines Phyikers an der Wall Street. R. Lowenstein. When Genius Failed. Fourth Estate, London, Über die Long Term Capital Management (LTCM) mit den Nobelpreisträgern Scholes und Merton als Teilhabern und ihre enormen Verluste. F. Partnoy. F.I.A.S.C.O. Penguin Group, New York, Erfahrungsbericht eines Derivatehändlers.