Eine physikalische Messung ohne Genauigkeitsangabe ist wertlos.

Transkript

1 Eführug Be der Messug physalscher Größe trete mmer ehler auf. Ee geaue, absolut präzse Messug st ur bem Abzähle vo Datewerte möglch (ud da auch cht mmer). Ee physalsche Messug ohe Geaugetsagabe st wertlos. Grudsätzlch müsse jedem Pratumsbercht ebe de Resultate auch Agabe zu de ehler vorhade se. Ma uterschedet dre ehlerarte: grobe ehler, systematsche ehler ud statstsche ehler. Grobe ehler etstehe, we de Expermetatore hr Hadwer cht verstehe (Expermetelle Phys st erster Le Hadwer). Grobe ehler lasse sch durch Lteraturstudum, Kotrollmessuge ud durch Abschätzuge vor dem Expermet über de zu erwartede Größe vermede. Systematsche ehler trete be jeder Durchführug ees Versuches der gleche Art ud Wese auf. Statstsche ehler sd zufällg. Ihr Auftrete legt der atur des Messprozesses ud a ur durch Wederholug der Messuge mmert werde. Deser lee Text wll Ihe ee Zusammefassug der für de ehlerrechug ud ehlerbehadlug beötgte Methode gebe. Systematsche ehler Systematsche ehler sd durch de Uvollommehet der Messgeräte sowe durch cht steuerbare Äußere Eflüsse bestmmt. Systematsche ehler öe vele älle durch ergäzede Messuge orrgert werde (zum Bespel de Totzetorretur be Zählrohre). Systematsche ehler öe durch ee egehede Aalyse der verwedete Messgeräte ud der Messverfahre erat werde. Typsche systematsche ehler sd: Umwelteflüsse Be der ultrapräzse Gewchtsbestmmug vo Substaze muss der Auftreb der Luft berücschtgt werde. Deser ehler a, we alle relevate Größe aufgezechet wurde, sehr lecht rechersch ompesert werde. Dazu muss de Umgebugstemperatur m Laborbuch vermert werde. De Luftfeuchtget beeflusst ebefalls de Dchte der Luft (Warum? ) Vele eletrsche Messgeräte habe ee vo der Temperatur des Messweres abhägge Empfdlchet. Be der Drucmessug mt Quecslberbarometer muss de Kaplardepresso berücschtgt werde. Be der Drucmessug mt apaztve Drucsesore beeflusst de Temperatur de Empfdlchet ud de ullputslage. Adsorberte Gasschchte auf Metallspegel verfälsche de Reflexosoeffzete. Adsorberte Wasserschchte beeflusse dramatscher Art ud Wese de gemessee Kräfte der Rasterraftmrosope. We de Temperatur währed ees Versuchs cht ostat gehalte wrd, öe de Messwerte vom Afag ud vom Ede der Messzet cht verglche werde. Ursache für ee Temperaturgag öe zum Bespel Wetterumschläge oder de Körpertemperatur der Expermetatore se. Also: mmer de Temperaturgag aufzeche be Präzsosmessuge. De mttlere Dchte der Luft hägt vo de ethaltee Moleüle ab. Luft besteht aus 80% (Moleülgewcht 8) ud 0% O (Moleülgewcht 3). Wasser der Luft ("euchte") besteht aus Moleüle mt dem Atomgewcht 8. Deshalb st feuchte Luft lechter als trocee.

2 Be gewsse Expermete muss auf de Modstad (Gravtato) geachtet werde. We de Umwelteflüsse cht überwacht werde, öe mestes ur qualtatve Ergebsse erwartet werde. Ee wetere Kategore systematscher ehler st de Rücwrug des Messgerätes auf das gemessee System. Bestmmug der Spaug oder des Stromes mt de üblche Messgeräte ( Grudpratumsversuch) Veräderug des Wderstades durch de Messstrom. Temperaturmessug: de Wärmeapaztät der Messsode etzeht der Probe Wärme ud verfälscht so das Messresultat. alsche Impedaze oder ugeegete Abschlusswderstäde öe eletrsche Messuge zum Glücsspel werde lasse. Be Rastertuelmrosope st de Sode (Tuelsptze) przpbedgt eg a de Probe geoppelt. Ee wetere Quelle systematscher ehler sd uvollommee Messgeräte. Vele Geräte habe chtleare Kele, de de Messresultate verfälsche. Echfehler ud Alterugserscheuge gehöre zu de systematsche ehler. Iduzerte Laduge, zum Bespel durch de Bewegug des Expermetators troceer Luft, öe höchstempfdlche Messuge vo Strom oder Spaug störe. Der Egeverbrauch vo Messgeräte zählt zu de systematsche ehler. Lageabhägget der Messug Äußere Magetfelder Rebug Messuge sd sehr vel präzser, we cht e Wert gemesse wrd, soder der Messwert mt eer Referez (evetuell abglechbar) verglche wrd. Hat ma ee gute Theore des Messgerätes ud des Messprozesses zur Had, öe dese systematsche ehler herausgerechet werde. Ee wetere, cht zu uterschätzede Quelle systematscher ehler sd de Expermetatore. Dazu gehört sbesodere "Bas", magelde Objetvtät. De meste falsche Messresultate sd dadurch zustade geomme, dass der Expermetator das Resultat aus uzurechede Date herausgelese hat, das er habe wollte. Systematsche ehler öe etdect werde, dem Theore ach ugewollte Effete utersucht werde (Mehr als ur de erste äherug betrachte). De Messbedguge verädert werde. (adere Messgeräte, adere Messaordug) Ee Größe mt zwe grudsätzlch verschedee Messverfahre bestmmt wrd. Messverfahre de auf der Kompesatosmethode beruhe verwedet werde. Messverfahre mt mmale systematsche ehler verwede. Der Wusch st der Vater des Gedaes.

3 Vor eem Expermet müsse de folgede rage gelärt werde: Köe m Expermet cht erfasste Umwelteflüsse de Messwerte beeträchtge? Etspreche de abgelesee Messwerte wrlch de zu messede physalsche Größe? Sd de zur Auswertug verwedete Glechuge rchtg oder wegstes erhalb der erstrebte Geauget geüged gut (Theore des Messvorgages) Wo besteht de Gefahr, grobe ehler oder subjetve Beobachtuge zu mache? Mt eer Überschlagsrechug sd de Ehete, de Größeorduge ud de Vorzeche zu bestmme. Sd de verwedete Messstrumete hrer Echug (och) zuverlässg? Statstsche ehler De orderug ach Reproduzerbaret st e streg erfüllt. Auch we systematsche ehler ausgeschlosse werde öe oder we se beat sd, verblebe zufällge, statstsche ehler. Dese habe hre Ursache zum Bespel Phys des Phäomes (Radoatvtät) Rausche des Messsgals Uotrollerbare lee Schwauge des gemessee Sgals. De statstsche ehler uterlege, we hr ame sagt, de Gesetze der Stochast. Im folgede wolle wr dese ehler äher utersuche. Statstsche ehler We ee Messug ur emal durchgeführt wrd, so a ma über de Zuverlässget ee Agabe mache. Es st deshalb uumgäglch, Messuge zu wederhole. Stchprobe De erhaltee Messresultate sd ee Stchprobe aus der Mege aller möglche Messresultate. Jede Stchprobe hat ee gewsse, och zu berechede Wahrschelchet, dass se de Grudgesamthet repräsetert. Stchprobe werde üblcherwese als Hstogramme dargestellt. De gemessee Date x werde Klasse mt (x - x )<x<x egetelt.

4 A ,5,54,56,58,6,6,64 Messwerte Abbldug Hstogramm vo Messwerte. Mttelwerte Aus desem Hstogramm a ma de Mttelwert x Ax bereche. Her sd de A de Häufgete der ee bestmmte Klasse fallede Messwerte. I userem alle st des, Ma a dese Glechug umschrebe, dem ma de relatve Häufgete A a A verwedet. Der Mttelwert st da x Der so gefudee Mttelwert st m allgemee cht mt dem wahre Wert der Messgrösse detsch. We wr de Klassebrete verrger ud glechzetg de Azahl Messpute erhöhe, so erhält ma de dfferetelle Vertelugsfuto f(x) der zugrude legede Gesamthet. Dese uto f(x) st ormert, da wr de relatve Häufgete zu hrer Abletug verwedet hatte. a x A z+ f ( x) dx Wr müsse uterschede zwsche de aus de expermetelle Date emprsch gefudee Vertelugsfutoe ud de durch theoretsche Modelle berechete Verteluge. Ee wchtge Aufgabe eer Dateaalyse a se, zu zege, dass ee emprsche Vertelugsfuto mt eer theoretsch gefudee verträglch st. Varaze ud Stadardabwechuge Ee Vertelugsfuto st cht ur durch hre Mttelwert, soder auch durch de Lageud Dspersosgrösse gegebe. Wr habe gesehe, dass der arthmetsche Mttelwerte(Mttelwerteobe) ee solche Größe st. De Lagegröße müsse de folgede Postulate erfülle:

5 De Schätzug soll m alle eer uedlch große Stchprobe de Wert der Grudgesamthet aehme. De beste Schätzug st de mt der leste Streuug, d.h. mt der leste ehlerabwechug. Als Lagegröße omme rage: Der arthmetsche Mttelwerte(Mttelwerteobe) x, a Gx ( ) A x,58965 Das geometrsche Mttel A R( x) A 0,387733; R(x),58875 x Das rezproe Mttel Der Meda st der Wert, be dem glech vele Werte ls ud rechts davo lege. Her st M(x),58 Der Meda st besoders da zu verwede, we de Stchprobe ee große Streuug aufwest. We aus adere Date beat st, dass cht alle Messwerte de gleche Güte habe, a ma de A auch als Gewcht beutze. Her hatte wr de Azahl Messwerte pro Klasse als Güte des Messwertes geomme. Es st eschtg, dass ma zusätzlch versucht, de Brete eer Vertelug zu charatersere. Dese Größe heße Dspersosgrösse. Ma verwedet: d Ax x 0, De durchschttlche ehler: A σ Abx xg 0, De Varaz: A. We ma de Varaz bezüglch ees ader Wertes B bldet, so glt mt σ bg b g B A x B A bg 0 Abxg x A σ σ bxg Ab x xg A also σ bg B σ bgb x + B xg. Da des alles postv defte Größe sd, st de Varaz mmal, we se bezüglch des arthmetsche Mttelwertes x berechet wrd. We wr ee otuerlche Vertelug habe ud p(x) de Gewchtsfuto st, glt: Arthmetscher Mttelwert: Varaz. σ x z z ( ) ( ) z b g ( ) ( ) z px ( ) f( x) dx x x p x f x dx x p x f x dx px ( ) f( x) dx

6 allgeme glt: Der mt der Vertelugs- ud Gewchtsfuto bewertete Mttelwert der z z ( ) ( ) ( ) hx px f x dx hx bg px ( ) f( x) dx uto h(x) st Shepard gbt a, dass e besserer Wert für de Varaz erhalte wrd be Klasse egetelte Messgrösse, we ma de folgede ormel verwedet. σ A A x x h b g wobe h de Klassebrete st. I userem alle wäre σ 0, Mttlerer ehler ud Varaz Da der Mttelwert der Grudgesamthet, µ, m allgemee cht beat st, wrd de berechete Varaz cht de Varaz der Grudgesamthet se. Wr versuche u de beste Schätzwert für de Varaz zu bereche. ehme wr a, wr würde µ ee. Da glt σ Abx µ g Abx m+ m µ g A A Im folgede setze wr alle A ud µ0. Da st A. Durch ausmultplzere erhalte wr σ bx mg + bm µ g + bx mgbm µ g m bx mg + m + bx mg bx mg + m mt Mt wrd m x erhält ma b + H G σ x m I x x xx x j g + KJ σ j σ σ x x m De Größe s st der mttlere ehler eer Ezelmessug. Der Übergag vo ach - st zu Verstehe als der Verlust ees rehetsgrades. Da wr de Mttelwert der Grudgesamthet µ cht ee, muss de Stchprobe zur Bestmmug vo m herhalte. Des ergbt ee eue Bezehug zwsche de Datesätze, reduzert also de Azahl rehetsgrade. b g s I KJ

7 Mttlerer ehler des Mttelwertes Be verschedee Stchprobe schwae der Mttelwert ud de Varaz. We wr für de Berechug des Mttelwertes de Schrebwese y y y verwede, ud für de Erwartugswert Egx cbgh px bgbg gx verwede, da glt be glecher Grudgesamthet für alle x, dass se de Erwartugswert b g Ex bgµ ud E x µ σ st. We wr de Mttelwert der Messwerte, m esetze, erhalte wr auch Em bgµ. ür de Varaz glt auch σ m L M QP µ E x E x x b g b gd j j E x µ E x O µ + µ µ We de Messdate statstsch uabhägg sd, so st der zwete Term0 ud wr erhalte σ σ m E x b µ g der mttlere ehler s m des Mttelwertes st also um de ator leer als der mttlere ehler der Ezelmessug s sm Daraus lert ma, dass, um e Resultat doppelt so geau zu erhalte, vermal mehr Messuge durchgeführt werde müsse. Momete der Vertelug Das -te Momet eer Vertelug st defert durch de Erwartugswert L M b g b g µ xb, E x B We wr B0 setze, so erhalte wr µ Ex ( ) x µ σ bg 0 x Be de höhere Momete beutzt ma ee ormerug, damt dese dmesoslos werde. Gebräuchlch außer dem Mttelwert ud der Varaz sd: 3 γ µ 3 De Schefe (sewess): σ. We de Schefe postv st, heßt das, dass größere Abwechuge auf der postve Sete lege. Symmetrsche Verteluge habe de Schefe 0. 4 γ µ 4 De Überhöhug (peaedess): σ. De Größe γ 3 heßt Exzess, da se de Abwechug vo der Gaußvertelug agbt. b go QP

8 Verteluge Es gbt ege Modellverteluge, de der Phys sehr gebräuchlch sd. Des sd de Bomalvertelug, de be Würfelexpermete oder würfelartge Expermete zugrude legt, de Posso-Vertelug ud, m Grezfall sehr großer Grudgesamthete, de ormalvertelug. Bomalvertelug De Bomalvertelug beschrebt Expermete, be dee jedem ezele Expermet mt der Wahrschelchet p e Eregs etrtt ud mt der Wahrschelchet q-p e zwetes Eregs etrtt (oder das erste cht etrtt). E Würfelspel geügt, zum Bespel, dese Gesetze. De Wahrschelchet, dass -mal das erste ud - mal das zwete Eregs etrtt st pq pb pg We de Rehefolge deser Eregsse rrelevat st, da hat ma de Bomalvertelug Bp pq p p b,, g H G I K J H G I K J b g De Vertelug st ormert, da glt Bp pq p q b,, g b g H G I K J Der Mttelwert st! + Bb,, pg b g pq p 0 b g! +! De Varaz schleßlch berechet sch zu ud σ 0 B,, p b g b g b g b g! pq + Bp,,! l! 0 0 b g b g! σ p!! b gb g b g b g b g b g p q + p + p p p p pq De wetere Momete sd (ohe Rechug) γ p p pq σ ud 6 6 γ 3 3 pq pq pq σ ür de Bomalvertelug exstert ee Reursosformel: Bp b,, g p B b, p, g + q Zum Abschluss och ee urze Bemerug: jede, auch asymmetrsche Bomalvertelug geht für festes p be große de ormalvertelug über.

9 ormalvertelug De ormalvertelug a als Grezfall der Bomalvertelug agesehe werde, we de Azahl Versuche gege uedlch geht ud pq0,5 st. De Wahrschelchet für das Auftrete eer Abwechug st x µ Eb g Ebg Eb g wobe egatve ud - postve Abwechuge auftrete. Wr öe de Bomalvertelug verwede: B,, I K J H G I K J Wr bereche de Mttelwert. Mt p wrd E x De Varaz wrd da c h 0 oder µ b g H G I K J σ E E ür große st es svoll, de Vertelug auf de Varaz zu stadardsere t b g σ Dese stadardserte Varable t hat de Mttelwert 0 ud de Varaz. Verwede u Hstogramme, ud salere de Achse mt. Wr erhalte Gt B bg H G I K J H G I K J,, Mt der Strlgsche ormel! e π wrd! lmcgbg 0 h b g b! g π Mt Hlfe der Reursosformel a gezegt werde, dass B bg B b g p Gt bg Gt b g G B b g + q Gt b g G ür pq/ wrd G b g+ G ür ergbt sch Daraus folgt lm G t G b g t + t G dg d l G t t G dt G dt

10 Gt () Ae t Mt eer ormerug erhält ma de stadardserte Gaußvertelug Gt () e t π oder de allgemee Gaußvertelug x µ b g σ Gx (, σ, µ ) e σ π De Gaußvertelug st symmetrsch bezüglch des Mttelwertes µ, also sd alle ugradzahlge Momete 0. De gradzahlge Momete habe de Wert ν µ 35 ν σ ν b Damt wrd zum Bespel de Überhöhug γ 4 3. Vele Expermete ergebe ee gaußförmge Vertelug der Messwerte um ee Mttelwert. Zur Abschätzug vo ehlergreze a das Itegral der Gaußvertelug, de ehlerfuto verwedet werde. z t erf bg z e dt πz z x µ σ ür de spezelle Wert σ σ wrd erf()0,683. Das heßt: be ormalvertelte statstsche Abwechuge st de Wahrschelchet 68,3 %, dass ee Messug ee ehler erhalb ±σ lefert. Posso-Vertelug Be radoatve Atome st de Azahl eer bestmmte Zet zerfalleder Kere proportoal zur Gesamtzahl der Kere. Es glt also d dt λ Daraus folgt das Zerfallsgesetz λ t bg e t 0 Astelle der Zerfallsostate wrd mestes de Halbwertszet T ½ l/λ agegebe. Uter de folgede Aahme a ma de dazugehörge Vertelugsfuto ablete. De Zahl der radoatve Kere se sehr hoch (mestes sehr gut erfüllt). De Azahl der Zerfälle werde jewels ostate Itervalle T bestmmt. De Zerfallswahrschelchet λ t se jedem Messtervall glech, was glechbedeuted st mt t<<t ½. Vele Stöße ergebe u ee olge vo Stoßzete (,, 3...). Wr bereche u de Erwartugswert E()µ. Mt der Zerfallswahrschelchet p (proportoal zu λ ud t) wrd E bg µ p De Wahrschelchet für ee Zahl vo Eregsse m Messtervall t a aus der Bomalvertelug durch ee Grezübergag ach uedlch (, p 0, q, pµcost) berechet werde. Wr verwede de Reursosformel für de Bomalvertelug p p B bg B b gl b g O q q M QP Daraus etsteht de Reursosformel für de Posso-Vertelug g

11 b g b g P, µ P, µ µ b 0 P,µ Mt der ormerugsbedgug P µ µ µ P µ P µ µ b 0, g b 0, g b 0, ge 0! 0! Ud daraus de Posso-Vertelug b g g beommt ma P, µ µ! e µ De Posso-Vertelug hat de folgede Egeschafte (erhalte aus dem Verglech mt der Bomalvertelug): Mttelwert Ebg p µ Varaz σ pq µ (p st ostat, q geht gege!! De Posso-Vertelug st ormert. De Posso-Vertelug hat ur ee Parameter σ µ µ Der relatve mttlere ehler st De Posso-Vertelug fdet ma mmer da, we e sehr uwahrschelches Eregs be eer große Zahl Versuche betrachtet wrd. ebe Atomere sd auch de Auftszete vo Photoe ud Eletroe be sehr gergem luss Posso-vertelt. Loretz-Vertelug De Loretz-Vertelug trtt optsche Spetre auf. Se st da de uverselle Vertelugsfuto. Se wrd allgemeer orm so geschrebe: Γ Lx b, µ, Γg π bx µ g + eγ j De Loretz-Vertelug bestzt de folgede Egeschafte: Se st zu ormert. Der Maxmalwert st /pγ be xµ Se st symmetrsch, alle ugerade Momete sd also ull. De höhere gerade Momete, sbesodere de Varaz, sd cht defert, da de etsprechede Itegrale dvergere. De charaterstsche Dspersosgrösse st de Halbwertsbrete Γ. L µ± Γ µ Γ e,, j Lbµ, µ, Γ g Statstsche Tests De physalsche Expermete erhaltee Date stelle Stchprobe aus eer Grudgesamthet dar. Wr müsse u de folgede rage löse: Stamme zwe Messrehe (Stchprobe) aus der gleche, ubeate Grudgesamthet? Passt ee Messrehe zu frühere, ausgedehte Stchprobe (Hat de Probe sch verädert?) Passt ee Stchprobe zu eer Modellvertelug oder Hypothese?

12 E efacher Test a ahad der Stadardabwechuge durchgeführt werde. So soll utersucht werde, ob be eer Gesamtwurfzahl vo 3567 de Zahl vo 0660 Würfe der zahle 5 oder 6 zur Aahme ees Homogee Würfels (p/3) passt. Im Versuch st de relatve Häufget 0, /3567. Weter st de Stadardabwechug des Mttelwertes s x x s m 0, Ma erwartet für ee homogee Würfel µ054 mt pq 65 σ m De beobachtete Abwechug st jedoch 378, also 5, mal größer als σ. Deser efache Test a gut zu eer erste Abschätzug der Güte eer Messug dee. E weterer efacher Test beutzt de Verglech der höhere Momete. ür dese Dspersosdex glt R> 0 für Bomal - ud Possovertelug b3γ γ + 6gS < 0 für star überhöhte Vertelug e 0 für de o rmalverte lug T t-test Der t-test gbt ee Agabe über de Kosstez zweer Mttelwerte. Er erlaubt ee Aussage, ob ee egee Messug mt der ees ader (aber auch ee frühere egee Messug) osstet st. Damt a getestet werde, ob ee Apparatur sch mt der Zet verädert. Ma öte zur Aahme gelage, dass we zwe Mttelwerte x ud x sch um weger als ee Stadardabwechug uterschede, dass se da zu eer detsche Grudgesamthet gehöre. Dese Beurtelug st wllürlch. Besser st es, de erwartete ehler der Dfferez y x x zu bereche. Mt Hlfe des ehlerfortpflazugsgesetzes ergbt sch s s + s b g x x m m bx xg + dxj x j + + dabe sd x ud x de Mttelwerte zweer Messrehe, ud de Azahl Messuge mt s de ehler s ud s.ür s m setzt5 ma am beste e, wobe de Varaz durch das Zusammelege aller Messrehe berechet wurde. ür de t-vertelug ud de t-test betrachtet ma ormalvertelte Zufallsvarable y. Sd solche cht vorhade, da muss mt Mttelwerte vo Stchprobe gerechet werde. Wr bereche de Mttelwert m y aus der Stchprobe y ud de Stadardabwechug s y,deaufν rehetsgerade beruht. De t-grösse st da y my t sy. Se gehorcht der Studetsche t-vertelugsfuto bν + g I Γ ϕbt, νg K J ν πν ν t e je νj b g + Γ

13 Dese Vertelugsfuto bestzt de Kegrösse µ 0 ν σ ν + γ 0 6 γ 3+ ν 4 ür geht de Vertelug de ormalvertelug über. De Itegrale Vertelugsfuto t Tbt, νgz z z ϕdt + ϕdt ϕbt, νgdt t st de Wahrschelchet, dass be Abwesehet systematscher ehler t-werte auftrete, de außerhalb des Kofdezbereches ±t lege. Dese uto fdet ma Tabelle. ür sehr umfagreche Stchprobe geht de t-vertelug de ormalvertelug über. ür de (0,) [Mttelwert 0, Varaz ] vertelte Testgröße beommt ma x x t s x x b We der Test erfüllt st, da sd de bede Stchprobe aus der gleche Grudgesamthet. Zwe Mttelwerte mt 9 ud 7 ergebe ee t-wert vo,74 Ma fdet Tt b, νg Tb 744,, g 0, (De etsprechede Excel uto TVERT(,74;4;) lefert 0, ) De Iterpretato sagt u, dass ur 0% aller Stchprobe trtt ee Abwechug >0% auf Der Test wrd vo de bede Messrehe erfüllt mt eer Sgfaz-Greze vo 0%, d.h. systematsche Abwechuge sd weg wahrschelch De Mttelwerte müsse als osstet agesehe werde. Üblcherwese verwedet ma Vertrauesgreze (Sgfaz-Greze) vo 5% ud %. ur we der t-test ee Wahrschelchet leer als dese Werte ergbt, mmt ma ee Abwechug a. Größere Sgfaz-Greze (z.b. 40%) bedeute, dass ma sehr oft de Hypothese der Glechhet verwerfe muss, obwohl se stmmt. Mt sehr lee Sgfaz- Greze läuft ma Gefahr, Glechhet azuehme, obwohl se cht da st. -Test Der -Test st e zum t-test aaloger Test, der de Kosstez vo Varaze prüft. s wobe s > s s De Vertelugsfuto ethält de bede rehetsgrade ν ud ν. I Tabelle werde für 5% ud % Sgfaz-Greze Werte agegebe. Ch-Quadrat-Test Bem χ -Test lefert e allgemees Krterum für de Überestmmug der Grudgesamthet mt der Stchprobe. Der χ -Test taugt für jede Vertelugsfuto, st also modellfre. Das Vorgehe st folgedermaße:. Ma ordet de Messwerte Klasse, so dass jede Klasse mdestes 5 Werte falle. De Azahl Beobachtuge se f ex. Es solle mdestes M 6 Klasse vorhade se. g t

14 3. Aus der Hypothese, der Vertelugsfuto, de ma teste möchte, berechet ma de erwartete Häufget f th für jede Klasse. 4. Ma berechet aus der Klassebrete, dem Klassemttelwert ud der Dchte der Vertelugsfuto de erwartete Häufget f th. M fth, j j 5. ormerug: M d χ f f th, j ex, j j fth, j 6. De Größe st e tegrales Maß für de statstsche Abwechuge der beobachtete Häufgete. De Vertelugsfuto lautet: ν χ χ e Wcχ h b g e j ν Γ ν b g De ezechede Größe sd: µ ν σ ν γ 8 ν γ 3+ ν De χ -Vertelugsfuto st verwadt mt der Posso-Vertelug: se geht für große ν de ormalvertelug über. Wr reche u de Wahrschelchet für de χ -Wert aus der Probe aus. Der Test, ob de Stchprobe zur hypothetsche Grudgesamtet passt, glt als bestade, we de Wahrschelchet >5% st. ür de Azahl rehetsgrade glt: ν M K Azahl Klasse - Azahl Beschräuge Solche Beschräuge sd de ormerug vo f th ud de Mttelwertbldug. ür de χ -Test ergbt sch demach ormalvertelug: νm-3 Posso-Vertelug: νm- Modellverteluge mt a pror-aahme über µ ud σ: νm-. We ch be eer Stchprobe mt 8 Messwerte ausreche, dass der Mttelwert x 4, ud de Stadardabwechug s , m, so wäre ee Resultatagabe vo x 4, ± 0, vollomme usg. Ist der ehler ämlch ormalvertelt, so erhält ma für also sd 4 Stelle für de Mttelwert ud für de Abwechug agebracht: x 4, ± 0, 4 σ s s 5%, ehlerfortpflazug Im allgemee besteht e Resultat ees physalsche Expermetes cht aus eer ezele Messgrösse. Wr öe also de obe abgeletete Verfahre cht ubesehe auf belebge expermetelle Resultate ausdehe. We wre sch also de Ezelfehler auf de Gesamthet aus?

15 Als Bespel soll de Bestmmug eer Gtterostate a ach der Debye-Scherrer-Methode besproche werde. Rötgestrahle mt der Welleläge λ falle auf ee größere Azahl leer Krstallte mt de Mller'sche Idzes h,,l. ür de Glazwel glt: λ s Θ + + a h l oder λ a h + + l s Θ Es trete dabe de folgede ehler auf: ±s (a) De Welleläge λ st ur auf λ bestmmt. (b) Der Wert für de Welleläge stammt aus eem alte Tabellewer, st also cht mehr orret. (c) De Korretur für de Adsorpto der Probe wrd verachlässgt. (d) Der Wel Θ hl,, wrd -mal gemesse: der Mttelwert se Θ hl,, ud der mttlere ehler se. (a), (b) ud (c) sd systematsche ehler. Be (b) ud (c) lasse sch Vorzeche ud Größe des ehlers bestmme. Be (a) st der ehler für usere Messug e systematscher, beruht aber ursprüglch auf der Bestmmug ees zufällge ehlers, so dass ±s λ zur Abschätzug des systematsche ehlers verwedet werde a. Systematsche ehler De dret gemessee Größe a a,, a see mt de systematsche ehler h, h, h verfälscht. Gesucht st de Größe A, de ee uto der gemessee Werte st. Wr habe aber de verfälschte Größe A 0 bestmmt. ür se glt, ach eer Taylor- Etwclug Aa + h, a + h, a + h Aa, a, a + b Hg b g A A A h h hl + A KJ +!! A A a a l, lkj Da aller Regel de ehler le gege de gemessee Werte sd, darf mt der leare äherug gerechet werde. Also st das ehlerfortpflazugsgesetz für systematsche ehler A Aa b I + h, a + h, a + hhg Aa b, a, ag A h! A Bem Übergag zu de relatve ehler erhält ma: A A A A a I I KJ h I KJ I KJ aa Recheregel Summe oder Dfferez: We A αa ± βa st, da st A αh± βh Produte: ür A a a ergbt sch A a h + a h. Efacher st de Glechug mt A h h + de relatve ehler: A a a.

16 A Be belebge Poteze glt für A a p a p h +q h q α : A a a (Des erhält ma mt der logarthmsche Abletug) p a A α A p h q h q Quotete: ür a ergbt sch: A a a a Bem Bespel der Eletug erhält ma für de Auswrug der λ ehler: a λ λ h l a + + λ cosθ Θ ud für de ehler der Gtterostate s Θ oder a Θ Θ a cot. Daraus schleßt ma, dass be 90 (Rücstreuug) der ehler mmal st. Her st e Bespel, das zegt, dass mt eer geschcte Wahl der expermetelle Aordug der Messfehler mmal wrd. Statstsche ehler Uabhägget vo der Rehefolge der Auswertug Wr ehme weder a, dass de gesuchte Größe Aaus de dret gemessee Größe a, a, a bestmmt se. Dese sd mt zufällge ehler behaftet. We a -mal gemesse wurde, so bezeche wr de j-te Messug der -te Größe mt a j. Der Mttelwert vo a st a aj ud de Varaz j s a aj a d j dε j j es gbt u zwe Wege, we wr vo de gemessee Größe auf das Edresultat omme öe. Sd de bede Wege äquvalet? Wr öe zuerst jede ezele Messug mttel, ud da usere uto für das Edresultat esetze. Am Aba, a, ag Wr öe auch jewels de j-te Wederholug der Messug esetze ud da mttel. A A Aa a a j d j, j, j j j u lässt sch der Wert vo A j durch ee Taylor-Etwclug agebe. A Aj Amb I a, a, ag+ ε j + akj We de Abwechuge vo de Mttelwerte le sd gege de Mttelwerte, habe wr AI A Am + j ε a m j We wr u m. Gled de Rehefolge der Summato vertausche, da fde wr A I A j 0 0 a KJ I ε j a KJ KJ

17 Also glt: A A A a, a, a j j m b De obge ormel glt zemlch allgeme, z.b. auch we cht alle Telresultate glech häufg gemesse wurde. Gauß'sches ehlerfortpflazugsgesetz Wr ehme a, dass de Varaze s der gemttelte Messwerte a beat see. De Varaze sd, ach der allgemee Defto, s s A s A d I I ε j KJ KJ AI AI A I j + lj a KJ lm alkj am, KJ l m j lj I ε j A A j KJ + I I ε ε lm, a lkj amkj A Aj A a j j ε ε ε A j A a l m We de Messuge der a voeader statstsch uabhägg sd, da summere sch alle Kreuzprodute zu 0. Also st das Gauß'sche ehlerfortpflazugsgesetz s A Tele wr bede Sete mt, erhält ma das ehlerfortpflazugsgesetz für de mttlere ehler der Mttelwerte, de der Praxs am meste agewadte orm. Statstsche Uabhägget s A We de Messwerte a statstsch uabhägg sd, da trete postve ud egatve Zeche mt glecher Häufget auf. We dese Summe ull st, et ma de bede Messgrösse a ud a m statstsch uabhägg. Des wrd mt dem Begrff der Kovaraz beschrebe Kov x, y E x E x y E y b g A a A a I KJ I KJ a s a s a c b ghc b ghs g mj mj I KJ j ε lj ε mj wobe der Operator E de Erwartugswert berechet. Weder glt, dass we de Größe x ud y voeader statstsch uabhägg sd, dass de Produte der Summe für de Erwartugswert mt glecher Häufget ud bede Vorzeche aehme. We wr ee vollstädge Korrelato habe, also ε ηε j lj,daglt Kov ε, ηε E ε η ε ηe ε η Var ε ησ b g l q m r b g De Kovaraz geht also m alle eer vollstädge Korrelato de Varaz über.

18 Das Gauß'sche ehlerfortpflazugsgesetz darf cht agewadt werde, we Korrelatoe exstere (agezegt durch de Kovaraz) Physalsche Korrelatoe: zum Bespel we glechzetg Strom ud Spaug gemesse werde. Algebrasche Korrelatoe: De Physalsche Grudostate sd orrelert. Ma muss desem alle de ehlermatrx bereche (Sehe Grächer) Agabe vo zufällge ehler Da ach dem Gauß'sche ehlerfortpflazugsgesetz postve ud egatve ehler glech häufg voromme, muss der ehler we folgt agegebe werde: A ± s A Es gelte de folgede Recheregel: Summe ud Dffereze: Mt A a ± a s s s st A a + a A ca sa c sa Leare utoe ergbt Produte werde mt de relatve ehler berechet. Aus A a p a p erhält ma für de ehlerquadrate s I A K J H G I + KJ H G I + KJ sai s A K J H G λ I K J + λ s s A a a p p a a cot Θ s Θ ür das Bragg'sche Gesetz ergbt sch Be zusammegesetzte ausdrüce a ma zuerst Telvaraze bereche. Maxmaler ehler Wll ma cht so vel reche, da verwedet ma de zu der ehlerfortpflazug be systematsche ehler verwedete uto, bldet aber vo jedem Summade de Betrag. Ausglechsrechug "tte" We be eer Messug e futoaler Zusammehag bestätgt werde sollte, möchte ma de gemessee Date a theoretsche oder emprsche futoale Zusammehäge apasse. Isbesodere we mehr Messdatesätze als free Parameter exstere, muss ee Apassug durchgeführt werde. Graphsche Verfahre E graphscher Ausglech, d.h. ma legt de agepasste Kurve so über de Date zu lege, dass de Gerade de gemessee Date am beste apaßt. Dazu müsse de Date so dargestellt werde, dass e learer Zusammehag zwsche de Varable exstert. Des a zum Bespel be eer Expoetalfuto t Bt bg Ae b g, we se be Zerfallsprozesse l t l A Bt auftrete a, durch logarthmere ud Darstelle der uto bg geschehe. Partsche Regel für ee graphsche Ausglech: De mttlere ehler der ezele Messpute ezeche ( bede Koordateachse) Durchschtge Maßstab oder ade verwede. Edpute cht überschätze, da se cht geauer, oft sogar schlechter beat sd als de ader Pute.

19 C ε εu + Cure-Wess Gesetz: T θ (ε u st de Utergrud-Suszeptbltät, θ de Cure- b θ Wess-Temperatur) wrd der Darstellug ε εu C T g lear agepasst. φ T Thermoemssosgesetz: js CT e b g (φ st de Austrttsarbet, C ee js I φ l l C Megeostate) wrd der Darstellug T K J bg H G I TK J agepasst. umersche Verfahre Wr betrachte u zuerst de efache all eer leare Bezehug zwsche zwe Größe. Be eer eder wäre des de Ausleug z, de agewadte Kraft ud de Lage des ullputes z 0. Ohe Verlust der Allgemehet a z 0 0 gesetzt werde. olgede Aahme öe u gemacht werde:. De Messug der Kraft st fehlerbehaftet. De Messug der Posto z st fehlerbehaftet 3. Bede Messgrösse sd fehlerbehaftet. Kraft st fehlerbehaftet I desem alle öe wr de ehler für de -te Messput we folgt agebe: z ε Das Przp der leste ehlerquadrate verlagt u, dass ε εε mmal st. Also I KJ I z KJ ε b g cb zgb zgh 0 Dese Glechug a umgeschrebe werde: oder 0 z z zz z Ausleug z st fehlerbehaftet Wr öe de Glechug für de Zusammehag zwsche der Ausleug ud der Kraft auch so umschrebe, dass z uscher st. Da glt z ε Ee urze Rechug zegt, dass z z Ausleug z ud Kraft fehlerbehaftet We bede Messgrösse fehlerbehaftet sd, glt: z zz

20 Ahad der Zechug fdet ma heraus, dass cosα + δ z s α oder δ z sα cosα De Summe der Abstadsquadrate muss ull se, also muss mmal se. Also st 0 α Also wrd u st aber δ z sα cosα z s α cosα z cosα+ s α b z s αcosα s αcosα+ z s α z cos α z s αcosα+ z s α cos α z s α z cos α δ α z s α cos α b gb g c e ec c h c h s α z c h h b cosα ta α zz j z z z zz z ta α ta arcta / zz Als Bespel st der folgede gur ee mt Zufallszahle smulerte Rechug zu sehe g g I KJ j I KJ h

21 90 z fz ff ffz Her bedeute fz de Messurve, we ur z fehlerbehaftet st, ff, dejege, be der ee ehler hat sowe ffz dejege, be der bede Größe ee ehler habe. Be der letzte Kurve wurde de quadratsche Apassug durchgeführt. Wchtg st, dass dafür de ederostate auf umsalert werde muss. Ausglechsrechug für allgemee Bezehuge Wr betrachte u de allgemee Bezehug m z A f x x j j j c,, be der de ubeate Koeffzete Aj lear de Glechuge voromme. Wr forder weder, dass R S εε ε T W Af j j x, x, z j st. De Glechug a auch Matrxschrebwese geschrebe werde: fcx, x, h fmcx, x, hi A z I I G f x x f x x JG J G J A z Mt der Abürzug wrd de Glechug oder H m h c h U V Mmum c h c hkh,, m,, m B B c B f x x, j j,, B,, m B I KJ H G A A,, m m h I K J H G z z I K J K H K

22 H H BA z De Lösug deses überbestmmte Glechugssystems m Se der Mmerug der ehlerquadrate st de Lösug des m x m- Glechugssystems T T B B A B z also c h H H c h H T TH A B B B z Be allgemee futoale Abhäggete sucht ma, mt welcher Methode auch mmer, äherugswerte für de ubeate Parameter. Ist zum Bespel gbabc,,,, x, y, g L ε ud A0,B0,C0 äherugswerte, so a ee Taylor-Etwclug durchgeführt werde. g gbabc,,, g g, ba, B, C, g ba A0g A I K J I K J I K J + A0, B0, C0, g a g b A A B C Mt 0, 0, 0, B A B C, 0, 0, 0,, u.s.w., L g,0 ud ξ A A 0, η B B 0 u.s.w. st de Glechug weder learserter orm vorhade aξ + bη+ ε De obe szzerte Methode a zur Lösug verwedet werde. Weter Iformatoe öe m Buch vo Zurmühl gefude werde. Verwede vo Excel zum tte De Apassug vo emprsch gefudee oder theoretsch begrüdete futoale Zusammehäge a gemessee Date st cht jedem alle efach. Be leare Zusammehäge futoere de meste Programme sehr gut. Be chtleare Abhäggete, de sbesodere über mehrere Größeorduge betrachtet werde müsse, sd mestes Probleme zu befürchte. De Dateapassug beruht auf de m obge Kaptel agegebee Verfahre, uter Umstäde auch auf wesetlch volvertere Verfahre we se de Refereze ud beschrebe werde. I deser Vorlesug solle Se mt de Möglchete eer Tabellealulato für dese Apassuge vertraut gemacht werde. atürlch öe auch adere Programmpaete, oft sogar besser, als Excel, das her als Bespel geomme wrd, verwedet werde. Excel st jedoch uschlagbar, we es um das Ataste a e Apassugsverfahre geht. Als Bespel verwede ch pv-date des Gases CO. Dese Date wurde mt eem, sch m Aufbau befdlche Expermet des Grudpratums. Das Expermet läuft so ab, dass mt eer Mrometerschraube das Probevolume, ausgehed vo eem ubeate Volume V0 verädert wrd. Ee wetere Ubeate st de Molzahl, da dese ur schlecht zu bestmme st. Wr starte mt eem leere Bldschrm. I dese Bldschrm trage wr u obe de Ttel e

23 Es st ee gute Praxs, de relevate Glechuge m Seteopf azugebe. Her ethalte de Zelle B4 ud B5 de Umrechugsglechuge vo de gemessee Date auf de physalsche Größe. I der Zelle B8 gebe wr de Glechug des reale Gases e, der Zelle B9 de Auflösug ach p.

24 Wr gebe u de Zelle A ud A3 de Bezechuge der ubeate Größe e. De Zelle B ud B3 ethalte Afagswerte, de Zelle C ud C3 de physalsche Ehete. De Zelle 3 bs I ethalte de Lteraturwerte. Wr marere u de Berech G4 bs H. Mt dem Befehl Efüge - ame - Erstelle... werde de Bezechuge der ame festgelegt.

25 Wr wähle u de uto aus ler Spalte aus. Damt werde de ame erzeugt, de da als absolute Referez ormel verwedet werde. I de Zelle B6 wrd de Temperatur des Gases egegebe. Beachte Se, dass mt absolute Temperature gerechet werde muss. De Umrechug a, we her gezegt, dret Excel durchgeführt werde.

26 Als ächstes gebe wr de Messwerte e, für de Mrometerschraube mm ud für de Druc mv. Des sd de Ehete, de wr ablese. Es st ee schlechte Praxs, scho vor dem otere der Werte Umrechuge durchzuführe. We be dese Umrechuge ämlch e ehler passert, da st er cht mehr auszumerze, We de Umrechuge erst m achhe geschehe, habe solche ehler, we se etdect werde, ee Kosequez.

27 Als ächstes bereche wr der Spalte C de Volumeverrgerug. De ormel st abgeletet aus der Zelle B4. Dabe wrd zuerst das Volume V0 außer Acht gelasse, also ur V (50-x)*.539e-7 ausgerechet. Wr marere u de Berech, de de ormel opert werde sollte. Mt Strg-U fülle wr de Berech. I der Spalte D wrd u das Volume ausgerechet. I der ormel $B$-C9 bedeutet de Zellereferez $B$ das Volume V0. $B bedeutet, dass bem Kopere sch dese

28 Spaltereferez cht veräder sollte. $ bedeutet, dass de Zelereferez bem Kopere cht verädert werde soll. $B$ bedeutet also ee absolute Referez. C9 sagt, dass bem opere de Zellereferez relatv aufzufasse st. Ma a auch Kombatoe verwede, be der ur de Spalte oder ur de Zele absolute Refereze sd. De Spalte E ethält de Pascal umgerechete Druc. Dabe wrd de der Zelle B5 agegebee Umrechug verwedet.

29 I der Spalte wrd u der Druc mt der va der Waals Gas-Theore ausgerechet. $B$3 st de zu berechede Molzahl, D9 das Volume, das mplzt das Volume V0 ethält. De Spalte G ethält u de Berechug des ehlers. Her verwede wr das ehlerquadrat. I der Zelle B4 wrd u de Summe aller ehler egetrage. u öe vo Had de free Parameter verädert werde. Das erlaubt eem, de realstsche Parameterberech abzuschätze. Zur automatsche Abschätzug beötge wr de Solver.

30 De Estelluge sehe so aus: De Zelzelle ethält de Referez auf de Zelle, de mmert werde soll. Der Solver futoert besser, we cht ach eem Mmum, das ja auch loal se a, soder ach dem Zelwert 0 gesucht wrd. Veräderbare Zelle sd de Molzahl ud das Volume V0. De ebebedguge verhder, dass be der Suche durch 0 getelt wrd. Uter de Optoe a der Suchalgorthmus bestmmt werde. ach dem Starte des Lösugsprozesses läuft de Suche. Ist se füdg geworde, wrd der folgede Dalog agezegt. Wr sage OK ud usere Date seht u so aus:

31 Beachte Se de Zelzelle, ud de bede veräderbare Zelle. Se zege u das Resultat des ts. Es hlft oft, sch ee graphsche Darstellug des ts azusehe. Dazu marere wr de Spalte mt dem Volume sowe de bede Drucspalte. Wr drüce u auf de Kopf für de Dagrammassstete. uwählewr

32 E Ledagramm ohe Datepute aus ud drüce Weter. Wr beschrfte m ächste Dalog das Dagramm Ud füge es als eue Sete e.

33 Se sehe, dass der t cht sehr gut st. E Grud st das /x-verhalte der Kurve. Wr glätte das Gaze, dem wr logarthmere. u ftte wr weder ud erhalte Ubeate V0 4,6785E-06 m^3 0, mol Summe Abwechug,558E+00

34 Der dazugehörge Graph seht folgedermaße aus: Spele Se mt der belegede Date Aprechug.xls. Se ethält de obe gezegte Rechuge. Lteratur. H. Grächer, Grudlage physalscher Messuge, VD Zürch. Phlpp Bevgto, Data Reducto ad Error Aalyss for the Physcal Sceces (Mc Graw Hll, ew Yor 969). 3. R. Zurmühl, Pratsche Mathemat für Igeeure ud Physer, Sprger-Verlag 963, p 90 ff. 4. Statstsche Dateauswertug ud ehlerrechug( E.D. Schmtter, achhochschule Osabrüc (Postscrpt-Date, 5. Rechergestütze Aalyse vo Date ( E.D. Schmtter, achhochschule Osabrüc (Postscrpt-Date, chtleare Regresso mt euroale etze ( E.D. Schmtter, achhochschule Osabrüc (Postscrpt-Date,