= ( S. andere Möglichkeit ist eine Menge von Zustandsaussagen, das sind Prädikate mit Zustandsattributen.

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1 Kaptel 2: Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton 2. Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton In der Smulaton hat sch set langer Zet n der Forschung das Konzept der Dskreten-- Smulaton (egentlch: dskrete eregnsorenterte Smulaton) etablert, be der sch der Zustand bem Auftreten von sen sprunghaft ändert, während er m Zetraum zwschen zwe sen konstant blebt. Ändert man n der Smulaton den Zustand gemäß des Auftretens enes ses, so sprcht man auch von der Ausführung des ses. Man betrachtet ene menge, n der sch alle noch ncht ausgeführten se befnden. In enem Ausführungsschrtt wrd das aus der menge mt dem frühesten Zetpunkt ausgewählt und ausgeführt, wodurch sch ncht nur der Zustand ändern kann sondern außerdem neue se n de menge engefügt werden. Be solchen sen sprcht man von Folgeeregnssen des ausgeführten ses. Das, dessen Folgeeregnsse de neuen se snd, wrd auch als das erzeugende der Folgeeregnsse bezechnet. De Dskrete--Smulaton zechnet sch durch hre klare verständlche Struktur aus, de es auch ermöglcht, ene enfache mathematsche Formalserung zu fnden. In Abschntt 2. wrd das n der Praxs sehr heterogene Konzept der Dskreten--Smulaton präzsert und mathematsch formalsert. Abschntt 2.2 enthält en Bespel für en mt Hlfe der Dskreten--Smulaton spezfzertes Bespel: ene Warteschlange n enem Supermarkt. In Abschntt 2.3 gbt es en weteres Bespel, be dem sch zwe Fahrstühle n enem Aufzugsschacht befnden. 2. Formalserung In der Dskreten--Smulaton werden de se erfasst, be denen sch der Zustand 6 des smulerten Systems ändert. Zwschen zwe sen wrd demnach der Zustand als konstant angenommen, während en en System von enem Zustand n enen anderen überführt. Ausgeführt wrd mmer das, das zetlch als nächstes folgt. Der Zustand Z enes Smulatonssystems 7 n der Dskreten--Smulaton besteht aus: - dem Zustand S des smulerten Systems - der aktuellen Smulatonszet c - der menge E, wobe nur alle zukünftgen, noch ncht ausgeführten se enthalten snd. Z lässt sch somt als Tupel ( S, c, E ) auffassen. En Smulatonssystem hat enen Startzustand Z = ( S, c, E ) oder ene Intalserungsfunkton, de enen vom Zufall abhänggen Startzustand bestmmt. En e besteht aus: - enem Ausführungszetpunkt t - enem typ τ - ener Menge P = { p, p 2,.., τ abhängg snd. p n } von Parametern, wobe Anzahl und Typ der Parameter von Jedes e leße sch somt als Tupel ( t, τ, P ) auffassen. Enfacher lesbar st aber de Darstellung τ ( p, p 2,.., p n )@t, de deshalb m Folgenden verwendet wrd. Hat en Nachrchtentyp kene Parameter, also st n =, so snd de de Parameter umschleßenden Klammern optonal. 6 Den Zustand enes Systems kann man z.b. als Menge von dskreten und stetgen Größen charakterseren. Ene andere Möglchket st ene Menge von Zustandsaussagen, das snd Prädkate mt Zustandsattrbuten. 7 Man muss her den Zustand des Smulatonssystems vom Zustand des smulerten Systems unterscheden. Der Zustand des smulerten Systems st Bestandtel des Zustandes des Smulatonssystems. 22

2 Kaptel 2: Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton Außerdem gbt es ene Transtonsfunkton f, de der Ausführung enes ses entsprcht. Se st abhängg vom aktuellen Systemzustand S und vom e, verändert den Systemzustand und erzeugt Folgeeregnsse. Dabe st f ( S, e ) = ( S', E' ), wobe S' den neuen Zustand des Systems und E' de Menge der erzeugten Folgeeregnsse darstellt. Denkbar st auch, dass f ene randomserte Funkton st. De Transtonsfunkton f hat somt den Typ f: (State Event) (State 2 Event ), wobe State de Menge aller möglchen Zustände und Event de Menge aller möglchen se st. Es st sehr schwerg, de komplette Transtonsfunkton f explzt n geschlossener Form anzugeben. Deshalb besteht se fast mmer aus mehreren Funktonsdefntonen, um ene Fallunterschedung vorzunehmen. Ene enzelne Funktonsdefnton der Form f ( S, e ) = ( S', E' ), be der S und S' konkrete Zustände, e en konkretes und E' ene konkrete menge st, wrd auch Regel 8 genannt und kann der Überschtlchket halber auch n folgender tabellarscher Form dargestellt werden: alter Zustand neuer Zustand Folgeeregnsse e S S' E' Be der Darstellung der ausführungen glt mmer de am wetesten oben stehende Regel, wenn mehrere Regeln passen. 9 Des setzt voraus, dass ene totale Ordnung auf allen zu enem typ defnerten Regeln exstert. Regeln so zu formuleren, dass mehrere Regeln für de Ausführung des aktuellen ses n Frage kommen, kann Vor- und Nachtele haben. Dese werden n Abschntt näher erläutert. Es ergbt sch ene Zustandsüberführungsfunkton δ, de das Smulatonssystem von enem Zustand Z n enen Folgezustand Z' überführt. Das Smulatonssystem st somt en Transtonssystem. Dabe st δ ( S, c, E ) = ( S', t, ( E \ { e mn } ) E' ), wobe e mn = τ ( p, p 2,.., p n )@t E en mt mnmalem Ausführungszetpunkt t st und ( S', E' ) = f ( S, e mn ) glt. Das heßt n Worten, dass en nächstes e mn gewählt wrd und auf deses und den alten Systemzustand de Transtonsfunkton f angewendet wrd. Der Systemzustand wrd auf den durch den Funktonsaufruf ermttelten Wert gesetzt, emn wrd aus der menge entfernt und de ermttelten Folgeeregnsse werden hnzugefügt. Herbe fällt auf, dass de aktuelle Smulatonszet c ncht n de Zustandsüberführungsfunkton δ engeht. Trotzdem st es snnvoll, jewels de aktuelle Smulatonszet zu ermtteln und n den Zustand des Smulatonssystems aufzunehmen, da es Tel des Ergebnsses ener Smulatonsstude st, über welche Zetdauer sch das smulere System n welchem Zustand befunden hat. Beendet st de Smulaton, wenn de menge E leer st. Oftmals soll en Smulatonssystem nach ener gewssen Smulatonszet tmax beendet werden. Des lässt sch, wenn man kenen zusätzlchen Formalsmus für dese Art der Beendgung der Smulaton enführen wll, dadurch errechen, dass man de Transtonsfunkton f so defnert, dass alle se mt enem 8 Man kann her auch das Wort Reaktonsregel verwenden, da das Smulatonssystem auf en reagert. Als Abgrenzung zu den Reaktonsregeln n der Objektbaserten und Agentenbaserten Smulaton, de n den Kapteln 3 und 4 engeführt werden, wrd her jedoch das Wort Regel verwendet. 9 Dass mehrere Regeln n Frage kommen, st möglch, wenn de Beschrebung des alten Zustands mehrere möglche konkrete alte Zustände zulässt. Haben mehrere se den glechen Ausführungszetpunkt, so wrd enes von hnen gewählt. Nach welchen Krteren de Auswahl gescheht, blebt her bewusst unspezfzert. Jedoch sollte n konkreten Systemen ene Auswahlregel festgelegt sen, damt Smulatonsergebnsse reproduzerbar snd. 23

3 Kaptel 2: Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton zetpunkt nach tmax den Zustand des Systems unverändert lassen und kene Folgeeregnsse defneren. 2.2 Bespel: Warteschlange m Supermarkt Ene Warteschlange n enem Supermarkt st en häufg betrachtetes Bespel für de Dskrete-- Smulaton. In Abschntt 2.2. wrd zunächst das Problem beschreben und n Abschntt werden typen und Systemzustand vorgestellt. In den Abschntten bs werden de ausführungen der enzelnen typen beschreben und Abschntt enthält Abschlussbemerkungen zum Supermarktbespel Problembeschrebung In enem Supermarkt mt n Kassen stellen sch ankommende Kunden be ener der Kassen an und warten, bs se dort bedent werden. De Zwschenankunftszet, das st de Zet zwschen der Ankunft zweer Kunden se exponentalvertelt mt Mttelwert µ. De Bedenungszet enes Kunden an ener Kasse se glechvertelt m Intervall [ a, b ]. Jede Kasse hat ene egene von den anderen Kassen getrennte Schlange. En neu ankommender Kunde geht zu ener freen Kasse, wenn ene solche exstert. Snd mehrere Kassen fre, so geht er zu der freen Kasse mt der klensten Nummer. Ist kene Kasse fre, so stellt er sch be der kürzesten Schlange an. Be glecher Länge wrd de Schlange der Kasse mt der klensten Nummer gewählt. 2 Be Ermttlung der Länge ener Schlange zählt der Kunde, der gerade bedent wrd, ncht zur Schlange. Nach t max Zetenheten ( t max > ) wrd der Engang des Supermarkts geschlossen. Es stellen sch dann kene weteren Kunden mehr an, aber alle Kunden, de sch schon angestellt haben, werden noch bedent typen und Systemzustand Zu unterscheden snd her de dre typen Kunde_kommt_an, Bedenung_beendet und Engang_wrd_geschlossen. En vom Typ Kunde_kommt_an stellt dabe de Ankunft enes neuen Kunden, en vom Typ Bedenung_beendet de Beendgung der Bedenung enes Kunden an ener Kasse und en vom Typ Engang_wrd_geschlossen de Schleßung des Engangs dar. Den Zustand des Systems kann man durch de Länge 3 l der Warteschlange ( =.. n ), den Belegungszustand s der Kasse (kann de Werte fre oder belegt annehmen) sowe den Wert Engang (kann de Werte offen oder geschlossen annehmen), der besagt ob der Engang geschlossen wurde, beschreben. Länge und Belegungszustand ener Kasse kann man durch das Prädkat 4 Kasse (, l, s ) beschreben, den Engang durch das Prädkat Engang ( s ). Für den Zustand S = { Kasse (, l, s ),.., Kasse ( n, l n, s n ), Engang ( s ) } Aus Gründen der Enfachhet wrd her ncht zwschen Ankunft m Supermarkt und Anstellen an der Kasse unterscheden, d.h. ankommende Kunden halten sch ncht n Verkaufsräumen auf, sondern stellen sch sofort an ener Kasse an. Strenggenommen entsprcht das somt eher der Smulaton enes Tante-Emma-Ladens, ener Theaterkasse oder ener Postflale. 2 Auf Gründen der Enfachhet wrd her davon ausgegangen, dass der Kunde de Schlange, an de er sch enmal angestellt hat, ncht wechselt, auch wenn zwschendurch de Schlange ener anderen Kasse kürzer wrd, als de n der er sch befndet. Selbst, wenn ene andere Kasse fre wrd, wechselt er de enmal gewählte Schlange ncht. 3 Wenn man nur de Längen der Warteschlangen betrachtet und ncht, welche Kunden sch n hr befnden, so werden bestmmte Auswertungen schwerg, we etwa de Antwort auf de Frage "We lang war de längste Wartezet enes Kunden?". Aus Gründen der Enfachhet wrd trotzdem her so verfahren. 4 Her werden Prädkate anstelle von Zustandsvarablen verwendet, da se ene strukturertere, prägnantere und damt besser lesbare Darstellung erlauben. 24

4 Kaptel 2: Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton ergbt sch n natürlcher Wese der Startzustand S = { Kasse (,, fre ),.., Kasse ( n,, fre ), Engang ( offen ) }, denn am Anfang snd alle Warteschlangen leer, de Kassen fre und der Engang st noch ncht geschlossen. Gestartet wrd zum Zetpunkt c =. De ntale menge E besteht aus zwe sen, der Ankunft des ersten Kunden und dem Schleßen des Engangs, also E = { Kunde_kommt_an ( ( c + Expo_ZV( µ )), Engang_wrd_geschlossen ( t max }, wobe Expo_ZV( µ ) ene exponentalvertelte Zufallsvarable 5 mt Mttelwert µ erzeugt ausführung Kunde_kommt_an Das Kunde_kommt_an stellt de Ankunft enes neuen Kunden dar. Kunde_kommt_an kommt ohne Parameter aus, hat aber, we jedes, enen zetpunkt. Kommt en neuer Kunde an und st der Engang noch ncht geschlossen, so geht er zu der freen Kasse mt der klensten Nummer, falls ene solche exstert. Es glt folgende Regel: Kunde_kommt_an ( t alter Zustand {.., Kasse (,, fre ),.., Engang ( offen )}, wobe = mn { j Kasse ( j,, fre )} neuer Zustand {.., Kasse (,, belegt ),.., Engang ( offen )} Folgeeregnsse { Kunde_kommt_an ( (t + Expo_ZV( µ )), Bedenung_beendet ( ( t + Glech_ZV( a, b )) } Regel : Kunde_kommt_an. Glech_ZV( a, b ) erzeugt ene glechvertelte Zufallsvarable 6 m Intervall [ a, b ]. De Varable stellt dabe den Index der klensten freen Kasse dar. Der Zustand ändert sch nur be s, das auf belegt gesetzt wrd. Erzeugt werden zwe Folgeeregnsse, de Ankunft des nächsten Kunden 7 und das, dass de Bedenung an Kasse, de der Kunde jetzt belegt, später beendet sen wrd. Zur Verdeutlchung: De tabellarsche Darstellung entsprcht dabe der nachfolgenden Regel. f ( {.., Kasse (,, fre ),.., Engang ( offen )}, Kunde_kommt_an ( t) = ( {.., Kasse (,, belegt ),.., Engang ( offen )}, { Kunde_kommt_an ( (t + Expo_ZV( µ )), Bedenung_beendet ( ( t + Glech_ZV( a, b )) } ), wobe = mn { j Kasse ( j,, fre )} 5 Ene exponentalvertelte Zufallsvarable mt Mttelwert µ lässt sch mt der Formel µ ln (Glech_ZV()) erzeugen, wobe Glech_ZV() ene m Intervall [, ] glechvertelte Zufallsvarable st. 6 Ene m Intervall [ a, b ] glechvertelte Zufallsvarable lässt sch mt der Formel a + ( b a ) ( Glech_ZV()) erzeugen, wobe Glech_ZV() ene m Intervall [, ] glechvertelte Zufallsvarable st. 7 Egentlch stellt de Ankunft des nächsten Kunden logsch ken Folgeeregns der Ankunft enes Kunden dar. Velmehr handelt es sch um en (zufalls-)perodsch auftretendes, be dem mehrere Auftreten des ses nchts mtenander zu tun haben. In der Dskreten--Smulaton modellert man be perodschen sen oft das nächste Auftreten enes ses als Folgeeregns des aktuellen ses, da de Perodztät so technsch lecht handhabbar st. 25

5 Kaptel 2: Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton Kommt en neuer Kunde an, st der Engang noch ncht geschlossen und st kene Kasse fre, stellt sch der neue Kunde be der kürzesten Schlange an, wobe be glecher Länge de Schlange der Kasse mt der klensten Nummer gewählt wrd. 8 Dabe stellt den Index der Kasse mt der kürzesten Schlange dar. Der Zustand ändert sch nur be l, das um erhöht wrd. Erzeugt wrd en Folgeeregns, de Ankunft des nächsten Kunden. Kunde_kommt_an ( t alter Zustand { Kasse (, l, belegt ),.., Kasse (, l, belegt ),.., Kasse ( n, l n, belegt ), Engang ( offen ) }, wobe = mn { j k ( k n): l j l k )} neuer Zustand { Kasse (, l, belegt ),.., Kasse (, l +, belegt ),.., Kasse ( n, l n, belegt ), Engang ( offen ) } Folgeeregnsse { Kunde_kommt_an ( ( t + Expo_ZV( µ )) } Regel 2: Kunde_kommt_an.2 Ist der Engang berets geschlossen, so wrd der neu ankommende Kunde ncht mehr bedent. Der Systemzustand blebt glech, es werden kene Folgeeregnsse erzeugt. Kunde_kommt_an ( t alter Zustand { Kasse (, neuer Zustand { Kasse (, Folgeeregnsse Regel 3: Kunde_kommt_an.3 l, s ),.., Kasse ( n, l n, s n ), Engang ( geschlossen ) } l, s ),.., Kasse ( n, l n, s n ), Engang ( geschlossen ) } Ø ausführung Bedenung_beendet Das Bedenung_beendet stellt de Beendgung der Bedenung enes Kunden an ener Kasse dar. Als Parameter hat Bedenung_beendet de Nummer der Kasse. Ist de Bedenung enes Kunden an der Kasse abgeschlossen und st de Warteschlange ncht leer, so kommt der nächste Kunde aus der Warteschlange an de Kasse. De Länge der Warteschlange der Kasse verkürzt sch um. Erzeugt wrd en Folgeeregns: das, dass de Bedenung an Kasse, de der erste Kunde aus der Warteschlange jetzt belegt, später beendet sen wrd. Bedenung_beendet ( t alter Zustand {.., Kasse (, l+, belegt ),.., Engang ( s )} neuer Zustand {.., Kasse (, l, belegt ),.., Engang ( s )} Folgeeregnsse { Bedenung_beendet ( ( t + Glech_ZV( a, b ))} Regel 4: Bedenung_beendet. Ist de Warteschlange hngegen leer, so wrd de Kasse jetzt fre. Es wrd n desem Fall ken Folgeeregns erzeugt. 8 Im Folgenden wrd aus Gründen der sprachlchen Enfachhet be glecher Schlangenlänge de Schlange der Kasse mt der klensten Nummer als de kürzeste Schlange bezechnet. 26

6 Kaptel 2: Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton Bedenung_beendet ( t alter Zustand {.., Kasse (,, belegt ),.., Engang ( s )} neuer Zustand {.., Kasse (,, fre ),.., Engang ( s )} Folgeeregnsse Regel 5: Bedenung_beendet.2 Ø ausführung Engang_wrd_geschlossen Das Engang_wrd_geschlossen stellt de Schleßung des Engangs dar. Von desem Zetpunkt an können sch kene weteren Kunden mehr an ener Kasse anstellen. Engang_wrd_geschlossen hat kene Parameter. Bem Engang_wrd_geschlossen wrd der Wert des Prädkats Engang auf geschlossen gesetzt, ansonsten blebt der Zustand unverändert. Es wrd ken Folgeeregns erzeugt. Engang_wrd_geschlossen ( t alter Zustand { Kasse (, l, s ),.., Kasse ( n, l n, s n ), Engang ( offen ) } neuer Zustand { Kasse (, Folgeeregnsse Regel 6: Engang_wrd_geschlossen. l, s ),.., Kasse ( n, l n, s n ), Engang ( geschlossen )} Ø Abschlussbemerkungen In desem Abschntt werden enge abschleßende Bemerkungen für das Supermarkt-Bespel und sener Smulaton vorgenommen. Es wrd gezegt, dass das Smulatonssystem termnert, es wrd de Problematk glechzetger se behandelt en Bewes erbracht, dass be ener freen Kasse de Länge der Warteschlange mmer st. Termnaton des Systems Das System termnert, da nach Abarbetung des ses Engang_wrd_geschlossen kene neuen se vom Typ Kunde_kommt_an oder Engang_wrd_geschlossen erzeugt werden. Es werden zwar noch se vom Typ Bedenung_beendet gemäß Regel Bedenung_beendet. (Regel 4) erzeugt, aber nur, solange en l > st. Da be jeder Erzeugung enes ses vom Typ Bedenung_beendet gemäß Regel Bedenung_beendet. (Regel 4) en l dekrementert wrd, kann es n l = höchstens geben. solcher se nach Abarbetung des ses Engang_wrd_geschlossen Es blebt noch zu zegen, dass das Engang_wrd_geschlossen überhaupt errecht wrd, also dass es nur endlch vele se vor desem gbt. Da be jeder Erezeugung enes ses vom Typ Bedenung_beendet gemäß Regel Bedenung_beendet. (Regel 4) en l um dekrementert wrd, alle l anfangs den Wert haben, ken l unter snken kann und n kener Regel en l um mehr als nkrementert wrd, kann es nur so vele se vom Typ Bedenung_beendet, de gemäß Regel Bedenung_beendet. (Regel 4) erzeugt wurden, geben, we es se gbt, be denen en l um nkrementert wrd. Das snd aber nur genau de se vom Typ Kunde_kommt_an, be denen Regel Kunde_kommt_an.2 (Regel 2) angewendet wrd. Jedes vom Typ Bedenung_beendet, das gemäß Regel Bedenung_beendet. (Regel 4) erzeugt wrd, lässt sch also enem vom Typ Kunde_kommt_an, be dem Regel Kunde_kommt_an.2 (Regel 2) angewendet wrd zuordnen. Jedes vom Typ Bedenung_beendet, das gemäß Regel 27

7 Kaptel 2: Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton Kunde_kommt_an. (Regel ) erzeugt wrd, lässt sch enem vom Typ Kunde_kommt_an, be dem Regel Kunde_kommt_an. (Regel ) angewendet wrd, zuordnen, nämlch genau hrem erzeugenden. Somt lässt sch jedes vom Typ Bedenung_beendet enem vom Typ Kunde_kommt_an zuordnen. 9 Somt müsste nur noch gezegt werden, dass es nur endlch vele se vom Typ Kunde_kommt_an geben kann. Des lässt sch leder ncht bewesen, da man aufgrund der Exponentalvertelung kene untere Schranke für de Zet zwschen der Ankunft zweer Kunden bzw. kene obere Schranke für de Anzahl der Kunden n enem Zetntervall fnden kann. Allerdngs st der Erwartungswert für de Anzahl der Kunden m Zetntervall [, t max ] endlch, nämlch t max / µ und de Wahrschenlchket, dass de Zahl der Kunden unendlch st, st Null 2. In der praktschen Anwendung kann man de Termnaton des Smulatonssystems somt als geschert annehmen. Glechzetge se Auch wenn es aufgrund der Erzeugung von kontnuerlchen Zufallsvarablen unwahrschenlch st, kann es trotzdem zwe oder mehr 2 se geben, de zum glechen Zetpunkt stattfnden. Welches n desem Fall zuerst ausgeführt werden soll, st ncht spezfzert. Der Zustand des Systems nach der Ausführung beder se kann von der Rehenfolge der Ausführung abhängg sen. Handelt es sch um se vom Typ Kunde_kommt_an und Bedenung_beendet, so kann es sen, dass abhängg davon, ob das Bedenung_beendet zuerst ausgeführt wrd oder ncht, der Kunde sch an dese oder an ene andere Kasse anstellt, nämlch dann, wenn de Schlange der Kasse, de um kürzer wrd, dadurch zur kürzesten wrd. Wrd allerdngs vom Kunden m konkreten Fall deselbe Kasse gewählt, egal ob sch de Schlange ener Kasse schon um verkürzt hat oder ncht 22, st also de Wahl der Kasse von der Ausführungsrehenfolge unabhängg, so besteht n der Smulaton en sch je nach Ausführungsrehenfolge unterschedender Zwschenzustand für Zetenheten, hat demnach kene Relevanz. Handelt es sch um de se Engang_wrd_geschlossen und Kunde_kommt_an, so st de Ausführungsrehenfolge auf jeden Fall entschedend, denn von hr st abhängg, ob der neue Kunde noch bedent wrd oder ncht. In allen anderen Fällen von glechzetgen sen (der Fall zweer se vom Typ Bedenung_beendet und der Fall von sen Bedenung_beendet und Engang_wrd_geschlossen) besteht n der Smulaton en sch je nach Ausführungsrehenfolge unterschedender Zwschenzustand nur für Zetenheten und hat damt kene Relevanz. In allen Fällen verhält sch das System unabhängg von der Wahl der Ausführungsrehenfolge wohldefnert und snnvoll. Länge be freen Kassen Es kann ncht vorkommen, dass es ene free Kasse gbt, be der de Warteschlange ncht de Länge hat, somt glt also: Kasse (, l, fre ) l =. Bewes: Im Anfangszustand st de Implkaton wahr, da dort alle l den Wert haben. Zu zegen st, dass de Implkaton mmer wahr blebt, solange se enmal wahr st. Denkbar wären zwe Möglchketen, dass de Implkaton zum ersten Mal verletzt werden könnte: 9 Intutv bedeutet das nchts weter als, dass jeder Kunde, dessen Bedenung an der Kasse beendet st, rgendwann vorher m Supermarkt angekommen sen muss. 2 Das bedeutet ncht, dass es sch um en unmöglches handeln muss. Zwar hat jedes unmöglche de Wahrschenlchket, aber ncht jedes mt Wahrschenlchket st unmöglch. 2 Da der Fall von mehr als zwe glechzetgen sen noch vel unwahrschenlcher st, wrd her auf ene genaue Betrachtung verzchtet. Allerdngs lassen sch de Überlegungen für zwe glechzetge se lecht auf mehr als zwe glechzetge se erwetern. 22 Her st sowohl der Fall möglch, dass sch der Kunde an de Kasse stellt, deren Schlange sch um verkürzt als auch der Fall, dass der Kunde sch an ene andere Schlange stellt. Im ersten Fall st de Schlange auch ohne de Verkürzung um de kürzeste, m zweten Fall st ene andere Schlange trotz der Verkürzung um mmer noch kürzer. 28

8 Kaptel 2: Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton a) De Kasse erhöht hre Länge auf enen Wert größer und blebt m Zustand fre. b) De Kasse ändert hren Zustand von belegt auf fre, ohne dass de Länge danach st. De enzge Stelle, an der ene Länge erhöht wrd, st en Übergang von Kasse (, l, belegt ) zu Kasse (, l +, belegt ) gemäß Regel Kunde_kommt_an.2 (Regel 2). Damt st Fall a) ncht möglch, da dort der (alte und) neue Zustand belegt st. De enzge Stelle, an der der Zustand von belegt auf fre wechselt, st en Übergang von Kasse (,, belegt ) zu Kasse (,, fre ) gemäß Regel Bedenung_beendet.2 (Regel 5). Damt st auch Fall b) ncht möglch, da dort m (alten und) neuen Zustand de Länge st. Somt st gezegt, dass be ener freen Kasse de Warteschlange mmer de Länge haben muss. 2.3 Bespel: Fahrstühle Als weteres Bespel werden her zwe Fahrstühle, de sch enen Schacht telen, vorgestellt. Das Bespel st angelehnt an Wagner [Wag97a]. Es gbt weterführende Forschung m Berech der Planung von komplexen Fahrstuhlsystemen (z.b. [KS]). In deser Arbet soll das Fahrstuhl-Bespel jedoch ledglch en enfaches Szenaro zur Illustraton der Bassbegrffe der vorgestellten Smulatonsparadgmen sen. Deshalb wrd her auf dese weterführenden Forschungsergebnsse ncht engegangen. In Abschntt 2.3. wrd zunächst das Problem beschreben, dann n Abschntt ene algorthmsche Lösung für das Problem angegeben und n Abschntt werden typen und Systemzustand für das Fahrstuhlsystem vorgestellt. In den Abschntten bs werden de ausführungen der enzelnen typen beschreben und Abschntt 2.3. enthält Abschlussbemerkungen zum Fahrstuhlbespel Problembeschrebung Zwe (Personen-)Fahrstühle bewegen sch m selben Schacht und müssen ene Kollson verhndern. Der Schacht erstreckt sch über dre Etagen, wobe Fahrstuhl de Etagen und 2 und Fahrstuhl 2 de Etagen 2 und 3 bedent. 23 Abbldung 5 verdeutlcht de Stuaton grafsch. Etage 3 Fahrstuhl 2 Etage 2 Etage 2 Fahrstuhl Etage Abbldung 5: Zwe Fahrstühle n enem Schacht Etage wrd als Hematetage von Fahrstuhl und Etage 3 als Hematetage von Fahrstuhl 2 bezechnet. Ene Kollson kann nur n Etage 2 passeren, was de Fahrstühle durch geegnete Kommunkaton verhndern müssen. Dabe wrd von ener nachrchtenbaserten Kommunkaton ausgegangen. Be enem Kommunkatonsvorgang dauert es Zetenheten, ehe de Nachrcht vom 23 Ene solche Topologe st snnvoll, wenn ken Fahrgast von Etage nach Etage 3 fahren wll, z.b., wenn sch n Etage und Etage 3 Parkflächen befnden und n Etage 2 en Enkaufszentrum. 29

9 Kaptel 2: Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton Absender zum Empfänger gelangt st. Kene Nachrcht geht verloren und de Nachrchten kommen bem Empfänger n der selben Rehenfolge an, n der der Sender se abgeschckt hat. Personen, de mt enem Fahrstuhl befördert werden möchten, können hn von außen anfordern, worauf der Fahrstuhl rgendwann 24 zu der Etage fährt, von der aus de Person hn angefordert hat, de Person aufnmmt und se zur anderen Etage fährt. De Zet zwschen zwe Anforderungen von Etage nach Etage 2 se exponentalvertelt mt Mttelwert µ 25. Analog se de Zet zwschen zwe, Anforderungen von Etage 2 nach Etage exponentalvertelt mt Mttelwert µ, von Etage 2 nach, 2 Etage 3 mt Mttelwert µ und von Etage 3 nach Etage 2 mt Mttelwert 2, 2 µ. De 2, 3 Aufnahmekapaztät der Fahrstühle se her aus Gründen der Enfachhet als ncht beschränkt angenommen, so dass alle aufgelaufenen Anforderungen auf enmal bedent, d.h. alle wartenden Personen auf enmal befördert werden können, wenn der Fahrstuhl de entsprechende Etage errecht. Ene Anforderung wrd bedent, ndem der Fahrstuhl zur Ausgangsetage der Anforderung fährt. Dort dauert es maxmal c Zetenheten, bs de Person, de den Fahrstuhl angefordert hat, engestegen st. Auch wenn mehrere Personen enstegen und auch wenn vorher noch Personen ausstegen, dauert es nur maxmal c Zetenheten. Nach Ablauf deser Zet fährt der Fahrstuhl n de Zeletage. Ene Anforderung von Etage nach Etage j setzt sch demnach aus Scht des Fahrstuhls aus ener Anforderung von außen zu Etage und ener Anforderung von nnen zu Etage j zusammen 26. De Fahrzet enes Fahrstuhls von ener Etage zur nächsten se für bede Fahrstühle n beden Rchtungen beladen und unbeladen glechvertelt m Intervall [ a, b ]. De Fahrstühle können sch auf- und abwärts bewegen und erfahren dann (über Sensoren), wenn se an hrem Zel angekommen snd. Außerdem werden se über engehende Anforderungen sowe über engehende Nachrchten (vom anderen Fahrstuhl) nformert Algorthmsche Lösung Um zu verhndern, dass bede Fahrstühle sch glechzetg n Etage 2 befnden und es so zu ener Kollson kommen kann, muss en Fahrstuhl, der n Etage 2 fahren möchte, den anderen um Erlaubns fragen. Erhält er de Erlaubns, so kann er ohne Gefahr n Etage 2 fahren. Um Konflkte zu lösen, n denen bede Fahrstühle n Etage 2 fahren wollen, st zu jedem Zetpunkt ener der Fahrstühle der Bevorrechtgte. Er darf n Etage 2 fahren, wenn bede Fahrstühle dorthn fahren möchten, d.h. der andere Fahrstuhl muss hm auch dann ene Erlaubns ertelen, wenn er selbst gerade n Etage 2 fahren möchte. Allerdngs wrd danach der andere Fahrstuhl der Bevorrechtgte. Es muss dabe schergestellt sen, dass sch bede Fahrstühle eng snd, wer gerade der Bevorrechtgte st. Halten bede den anderen für bevorrechtgt, so ertelen sch bede gegensetg de Erlaubns, n Etage 2 zu fahren und es kann zu ener Kollson kommen. Halten bede sch selbst für bevorrechtgt, dann ertelt kener dem anderen de Erlaubns und es kommt zu ener Verklemmung, denn ken Fahrstuhl kann jemals weder n Etage 2 fahren. Möchte en Fahrstuhl n Etage 2 fahren, fragt er den anderen Fahrstuhl um Erlaubns. Wenn deser sch berets n Etage 2 oder auf dem Weg zu Etage 2 befndet, so verwegert er dem anfragenden Fahrstuhl 24 Irgendwann heßt, dass schergestellt st, dass es mmer enen späteren Zetpunkt geben muss, an dem de genannte Bedngung wahr wrd, aber kene Garante besteht, we lange das dauert. Mt anderen Worten muss de Farness des Fahrstuhlsystems schergestellt sen (sehe [Mau99]). 25 Der Name µ, j ergbt sch daraus, dass Fahrstuhl von Etage j aus angefordert wurde. 26 De Begrffe von außen und von nnen bezehen sch auf außerhalb und nnerhalb des Fahrstuhls. Ene Anforderung von außen wrd von ener Person gestellt, damt der Fahrstuhl sch zu hr hnbewegt. An se schleßt sch ene Anforderung von nnen an, mt der de Person den Fahrstuhl, n dem se sch dann auch selbst befndet, zu ener anderen Etage schckt. Da her jedoch m Gegensatz zu Fahrstühlen, de über mehr als zwe Etagen fahren, de Zeletage feststeht, wrd her ncht auf en explztes Losschcken des Fahrstuhls durch Drücken enes Knopfes gewartet, sondern der Fahrstuhl fährt nach ener gewssen Zet enfach an. 3

10 Kaptel 2: Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton de Erlaubns, merkt sch aber vor, dass er hm später de Erlaubns n dem Moment gbt, wenn er dann Etage 2 weder verlässt. 27 Befndet sch der Empfänger der Erlaubnsanfrage sch gerade auf dem Weg von Etage 2 weg, so ertelt er dem anderen Fahrstuhl de Erlaubns. 28 Befndet sch der Empfänger der Erlaubnsanfrage n sener Hematetage, so gbt er dem anfragenden Fahrstuhl de Erlaubns, wenn er selbst ncht gerade ebenfalls n Etage 2 fahren möchte, somt berets ene Erlaubnsanfrage gestellt hat und auf ene Erlaubns wartet, n Etage 2 fahren zu dürfen. Wartet er jedoch selbst auf ene Erlaubns, so st entschedend, ob er der bevorrechtgte Fahrstuhl st. Ist des der Fall, so verwegert er de Erlaubns, merkt sch aber vor, dass er später de Erlaubns ertelt, wenn er dann später rgendwann Etage 2 weder verlässt. Außerdem wrd dadurch der andere Fahrstuhl der Bevorrechtgte. Ist des ncht der Fall, so ertelt er de Erlaubns und wrd dadurch selbst zum Bevorrechtgten. Welcher Fahrstuhl der Bevorrechtgte st, st also nur genau dann relevant, wenn sch de Erlaubnsanfragen der beden Fahrstühle kreuzen, d.h. bede hre Erlaubnsanfrage abgeschckt haben, bevor se de Erlaubnsanfrage vom anderen Fahrstuhl erhalten haben. Und auch nur genau dann fndet en Wechsel der Bevorrechtgung statt. Immer wenn en Fahrstuhl vom anderen de Erlaubns erhalten hat, zu Etage 2 zu fahren, fährt er los. Von Etage 2 weg kann en Fahrstuhl auch ohne Erlaubns des anderen fahren. Hat er sch außerdem gemerkt, dass der andere Fahrstuhl de Erlaubns haben möchte, so ertelt er se hm n desem Moment. Zur Vermedung ener langen Wartezet fährt en Fahrstuhl von Etage 2 auch weg, wenn er ncht zur anderen Etage wll, aber der andere Fahrstuhl zu Etage 2 wll. Das tut er c 2 Zetenheten, nachdem er n Etage 2 stehend ene Erlaubnsanfrage vom anderen Fahrstuhl erhalten hat. Hat er schon vor dem Errechen von Etage 2 ene Erlaubnsanfrage vom anderen Fahrstuhl erhalten, so fährt er c 2 Zetenheten nach sener Ankunft n Etage 2 weder ab. Da enstegende Personen c Zetenheten zum Enstegen benötgen, sollte man c 2 c wählen. En Fahrstuhl, der n ener Etage steht und ene Anforderung zur anderen Etage erhalten hat, fährt nach c Zetenheten los bzw. stellt nach c Zetenheten sene Erlaubnsanfrage, wenn er ene Anforderung zu Etage 2 erhalten hat typen und Systemzustand Folgende typen werden betrachtet: Kommt_an, Wrd_angefordert, Wll_fahren, Fährt_an, Erhält_Erlaubnsanfrage, Erhält_Erlaubns. En vom Typ Kommt_an stellt de Ankunft enes Fahrstuhls n ener Etage und en vom Typ Wrd_angefordert de Anforderung enes Fahrstuhls (von außen) dar. En vom Typ Wll_fahren stellt das Entstehen enes Anfahrwunsches enes Fahrstuhls dar, während en vom Typ Fährt_an das Anfahren enes Fahrstuhls darstellt. En vom Typ Erhält_Erlaubnsanfrage bzw. vom Typ Erhält_Erlaubns stellt dar, dass en Fahrstuhl vom anderen Fahrstuhl ene Erlaubnsanfrage bzw. ene Erlaubns für das Fahren n Etage 2 erhält. Der Zustand des Systems besteht aus den Zuständen der beden Fahrstühle. Der Zustand enes jeden Fahrstuhls benhaltet, ob er der Bevorrechtgte st, ob er sch vorgemerkt hat, dass der andere Fahrstuhl auf ene Erlaubns von hm wartet, ob er selbst auf ene Erlaubns des anderen Fahrstuhls wartet, welche Anforderungen er erhalten hat, ob dese Anforderungen von außen kamen, ob er steht oder 27 Dese Lösung setzt voraus, dass aufgrund der Entfernung der Fahrstühle vonenander schergestellt st, dass se ncht kollderen, wenn en Fahrstuhl auf dem Weg zu Etage 2 losfährt, kurz nachdem der andere sch von Etage 2 weg n Bewegung gesetzt hat. Wäre das ncht schergestellt, dann dürfte de Erlaubns erst ertelt werden, wenn der Fahrstuhl, der Etage 2 verlässt, be Etage bzw. Etage 3 angekommen st. 28 Auch her setzt dese Lösung voraus, dass aufgrund der Entfernung der Fahrstühle vonenander schergestellt st, dass se ncht kollderen, wenn en Fahrstuhl auf dem Weg zu Etage 2 losfährt, kurz nachdem der andere sch von Etage 2 weg n Bewegung gesetzt hat. 3

11 Kaptel 2: Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton fährt und an welchem Ort er sch befndet (wenn er steht) bzw. zuletzt befand (wenn er fährt). Aus Gründen der Überscht wrd der Zustand enes Fahrstuhls n mehrere Prädkate aufgetelt. - Bevorrechtgt (, b ) drückt aus, ob Fahrstuhl sch selbst als bevorrechtgt anseht 29, wobe b de Werte ja und nen annehmen kann. - Vorgemerkt (, v ) drückt aus, ob Fahrstuhl sch vorgemerkt hat, dass der andere Fahrstuhl auf ene Erlaubns von hm wartet, wobe v de Werte ja und nen annehmen kann. - Wartend (, w ) drückt aus, ob Fahrstuhl darauf wartet, dass der andere Fahrstuhl hm ene Erlaubns ertelt, wobe - Anforderung (, e, a e, erhalten hat, wobe drückt w de Werte ja und nen annehmen kann. außen e ) drückt aus, ob Fahrstuhl ene Anforderung zu Etage e außen de Werte ja und nen annehmen können. Dabe a e und e a aus, ob es überhaupt ene Anforderung gegeben hat und e Anforderung von außen gekommen st. Wenn mmer außen e, ob de a den Wert nen hat, so hat auch außen e den Wert nen 3. Mehrere Anforderungen enes Fahrstuhls zu ener Etage werden grundsätzlch zu ener zusammengefasst, wobe ene zusammengesetzte Anforderung genau dann als von außen erfolgt angesehen wrd, wenn mndestens ene hrer Telanforderungen von außen erfolgte. - Ort (, e, s ) besagt, dass Fahrstuhl den aktuellen Bewegungszustand s hat, wobe s de Werte fahrend und stehend annehmen kann. Ist der Wert von s fahrend, so besagt e, dass sch Fahrstuhl auf dem Weg von Etage e weg befndet. Ist hngegen der Wert von s stehend, so besagt e, dass sch Fahrstuhl n Etage e befndet. Für den Startzustand ergbt sch S = { Bevorrechtgt (, ja ), Bevorrechtgt ( 2, nen ), Vorgemerkt (, nen ), Vorgemerkt ( 2, nen ), Wartend (, nen ), Wartend ( 2, nen ), Anforderung (,, nen, nen ), Anforderung (, 2, nen, nen ), Anforderung ( 2, 2, nen, nen ), Anforderung ( 2, 3, nen, nen ), Ort (,, stehend ), Ort ( 2, 3, stehend ) }. Am Anfang st Fahrstuhl bevorrechtgt und steht n Etage, während Fahrstuhl 2 n Etage 3 steht, Anforderungen gbt es noch kene. Gestartet wrd zum Zetpunkt c =. De ntale menge E besteht aus ver sen, den jewels ersten Anforderungen an de Fahrstühle, also E = { Wrd_angefordert (, ( c + Expo_ZV( µ )),, Wrd_angefordert (, 2 ( c + Expo_ZV( µ ),, 2 Wrd_angefordert ( 2, 2 ( c + Expo_ZV( µ ), 2, 2 Wrd_angefordert ( 2, 3 ( c + Expo_ZV( µ )}. 2, 3 e 29 Wenn de Spezfkaton kenen Fehler enthält, dann seht sch en Fahrstuhl genau dann als bevorrechtgt an, wenn er auch bevorrechtgt st. außen 3 An sch st der Wert von e dann ohne Bedeutung, aber durch dese Festlegung lassen sch de Regeln zur Spezfkaton des Fahrstuhlsystems lechter formuleren. 32

12 Kaptel 2: Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton En explztes Smulatonsende wrd her ncht erfasst, d.h. de Smulaton läuft unendlch lange. Be der Darstellung der Regeln snd dejengen Argumente von Prädkaten, deren Wert ncht verwendet wrd, mt _ gekennzechnet ausführung Kommt_an Das Kommt_an stellt de Ankunft enes Fahrstuhls n ener Etage dar. Parameter snd de Nummer des Fahrstuhls und de Nummer der Etage, n der der Fahrstuhl ankommt. In allen Fällen glt, dass, wenn der Fahrstuhl n ener Etage ankommt, alle Anforderungen an dese Etage erfüllt snd. Ferner muss n allen Fällen der Ort und der Bewegungszustand des Fahrstuhls aktualsert werden. Kommt der Fahrstuhl n ener Etage an, zu der er von außen angefordert wurde, so wll der Fahrstuhl demnächst (n c Zetenheten) n de andere Etage fahren, um de engestegenen Personen dorthn zu befördern. De Anforderung von nnen zur anderen Etage wrd ergänzt. Der Wert von außen k (wobe den Fahrstuhl und k de andere Etage darstellt) wrd bebehalten, um kene evtl. berets exsterende Anforderung von außen zu löschen. alter Zustand neuer Zustand Kommt_an (, j t {.., Anforderung (, j, ja, ja ), Anforderung (, k, _, außen ),.., Ort (, k, fahrend ),.. } k {.., Anforderung (, j, nen, nen ), Anforderung (, k, ja, außen ),.., Ort (, j, stehend ),.. } k Folgeeregnsse { Wll_fahren (, j ( t + c ) } Regel 7: Kommt_an. Wurde der Fahrstuhl von nnen zu deser Etage angefordert, aber exstert schon ene Anforderung zur anderen Etage, so wll der Fahrstuhl ebenfalls demnächst dorthn fahren. Kommt_an (, j t alter Zustand {.., Anforderung (, j, _, _ ), Anforderung (, k, ja, außen ),.., Ort (, k, fahrend ),.. } k neuer Zustand {.., Anforderung (, j, nen, nen ), Anforderung (, k, ja, Folgeeregnsse { Wll_fahren (, j ( t + c ) } Regel 8: Kommt_an.2 außen ),.., Ort (, j, stehend ),.. } k Kommt der Fahrstuhl n Etage 2 an und hat sch vorgemerkt, dass der andere Fahrstuhl auf ene Erlaubns wartet, n Etage 2 fahren zu dürfen, so wll der Fahrstuhl (spätestens) nach c 2 Zetenheten anfahren, um Etage 2 für den anderen Fahrstuhl frezumachen. 33

13 Kaptel 2: Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton Kommt_an (, 2 t alter Zustand {.., Vorgemerkt (, ja ),.., Anforderung (, 2, _, _ ),.., Ort (, k, fahrend ),.. } neuer Zustand {.., Vorgemerkt (, ja ),.., Anforderung (, 2, nen, nen ),.., Ort (, 2, stehend ),.. } Folgeeregnsse { Wll_fahren (, 2 ( t + c 2 ) } Regel 9: Kommt_an.3 Ansonsten werden nur de ggf. vorhandenen Anforderungen 3 als erfüllt markert und der Ort und der Bewegungszustand werden aktualsert. Kommt_an (, j t alter Zustand {.., Anforderung (, j, _, nen ),.., Ort (, k, fahrend ),.. } neuer Zustand {.., Anforderung (, j, nen, nen ),.., Ort (, j, stehend ),.. } Folgeeregnsse Ø Regel : Kommt_an ausführung Wrd_angefordert Das Wrd_angefordert stellt de Anforderung enes Fahrstuhls von außen dar. Parameter snd de Nummer des Fahrstuhls und de Nummer der Etage, von der aus der Fahrstuhl angefordert wrd. In allen Fällen wrd als Folgeeregns de nächste Anforderung an desen Fahrstuhl von außen zu deser Etage generert. Steht der Fahrstuhl gerade n der angeforderten Etage (dann kann vorher noch kene Anforderung zu deser Etage vorhanden gewesen sen), so st der erste Tel der Anforderung sofort erfüllt. Deshalb wll der Fahrstuhl demnächst (n c Zetenheten) n de andere Etage fahren, um de engestegenen Personen dorthn zu befördern. De Anforderung von nnen zur anderen Etage wrd ergänzt. alter Zustand neuer Zustand Wrd_angefordert (, j t {.., Anforderung (, j, nen, nen ), Anforderung (, k, _, außen ),.., Ort (, j, stehend ),.. } k {.., Anforderung (, j, nen, nen ), Anforderung (, k, ja, außen ).., Ort (, j, stehend ),.. } k Folgeeregnsse { Wll_fahren (, j ( t + c ), Regel : Wrd_angefordert. Wrd_angefordert (, j ( t + Expo_ZV( µ ) }, j Sollte vorher noch kene Anforderung nach Etage j vorhanden sen und steht der Fahrstuhl gerade n der anderen Etage, so wrd de Anforderung n den Zustand aufgenommen und der Fahrstuhl wll außerdem demnächst (n c Zetenheten) losfahren. 3 Dass en Fahrstuhl n ener Etage ankommt, ohne dass ene Anforderung n dese Etage vorlag, st möglch, wenn en Fahrstuhl nur zurück n sene Hematetage gefahren st, um Etage 2 für den anderen Fahrstuhl fre zu machen. 34

14 Kaptel 2: Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton Wrd_angefordert (, j t alter Zustand {.., Anforderung (, j, nen, nen ), Anforderung (, k, nen, nen ),.., Ort (, k, stehend ),.. } neuer Zustand {.., Anforderung (, j, ja, ja ), Anforderung (, k, nen, nen ).., Ort (, k, stehend ),.. } Folgeeregnsse { Wll_fahren (, k ( t + c ), Regel 2: Wrd_angefordert.2 Wrd_angefordert (, j ( t + Expo_ZV( µ ) }, j Ansonsten wrd nur de Anforderung n den Zustand aufgenommen (sofern ncht berets vorhanden) sowe, we n allen Fällen, das Folgeeregns der nächsten Anforderung generert. Wrd_angefordert (, j t alter Zustand {.., Anforderung (, j, _, _ ),.. } neuer Zustand {.., Anforderung (, j, ja, ja ),.. } Folgeeregnsse Regel 3: Wrd_angefordert.3 { Wrd_angefordert (, j ( t + Expo_ZV( µ ) }, j ausführung Wll_fahren Das Wll_fahren stellt das Entstehen enes Anfahrwunsches enes Fahrstuhls dar. Parameter von Wll_fahren snd de Nummer des Fahrstuhls und de Nummer der Etage, von der aus der Fahrstuhl anfahren wll. Das st en Hlfseregns, dass engesetzt wrd, um de Länge der Beschrebung zu reduzeren. Würde man das Smulatonssystem ohne deses spezfzeren wollen, so müssten alle Regeln, de en vom Typ Wll_fahren als Folgeeregns haben, entsprechend der Regeln von Wll_fahren modfzert werden. Des hätte zur Folge, dass das selbe Verhalten des Fahrstuhls an velen Stellen der Spezfkaton beschreben werden müsste, was ene gewsse Redundanz zur Folge hätte. Würde man de Spezfkaton des Verhaltens des Fahrstuhls be enem Anfahrwunsch ändern wollen, so müsste man de glechen Änderungen an mehreren Stellen vornehmen, was ene potentelle Fehlerquelle wäre. Befndet sch der Fahrstuhl n Etage 2 und wll von dort wegfahren, so kann er unmttelbar losfahren. Wll_fahren (, 2 t alter Zustand {.., Ort (, 2, stehend ),.. } neuer Zustand {.., Ort (, 2, stehend ),.. } Folgeeregnsse { Fährt_an (, 2 t } Regel 4: Wll_fahren. Wll er dagegen n Etage 2 fahren, so muss er den anderen Fahrstuhl um Erlaubns fragen. Somt erhält der andere Fahrstuhl 32 demnächst (nach Zetenheten, der Übertragungsdauer ener Nachrcht) ene Erlaubnsanfrage. Der Fahrstuhl wartet nun auf de Erlaubns. 32 Der andere Fahrstuhl wrd her durch de Funkton andererfahrstuhl: {, 2 } {, 2 } bestmmt, wobe andererfahrstuhl ( ) = 2 und andererfahrstuhl ( 2 ) = glt. Kürzer, aber unntutver st de Darstellung andererfahrstuhl ( ) =

15 Kaptel 2: Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton Wll_fahren (, j t alter Zustand {.., Wartend (, nen ),.., Ort (, j, stehend ),.. } neuer Zustand {.., Wartend (, ja ),.., Ort (, j, stehend ),.. } Folgeeregnsse { Erhält_Erlaubnsanfrage ( andererfahrstuhl ( ( t + )} Regel 5: Wll_fahren.2 Befndet sch der Fahrstuhl ncht mehr n der Etage, von der aus er losfahren wll, so st deses rrelevant. Der Zustand ändert sch ncht, es wrd ken Folgeeregns erzeugt. Deser Fall kann entreten, wenn sowohl gemäß ener der Regeln Kommt_an. (Regel 7), Kommt_an.2 (Regel 8), Wrd_angefordert. (Regel ) oder Wrd_angefordert.2 (Regel 2) en Folgeeregns Wll_fahren erzeugt wurde, um Personen n de andere Etage zu befördern als auch gemäß ener der Regeln Kommt_an.3 (Regel 9) oder Erhält_Erlaubnsanfrage.2 (Regel 2) en Folgeeregns Wll_fahren, um Etage 2 für den anderen Fahrstuhl frezumachen. alter Zustand {.. } neuer Zustand {.. } Folgeeregnsse Wll_fahren (, j t Ø Regel 6: Wll_fahren ausführung Fährt_an Das Fährt_an stellt das Anfahren enes Fahrstuhls dar. Parameter snd de Nummer des Fahrstuhls und de Nummer der Etage, von der aus der Fahrstuhl anfährt. In allen Fällen wechselt der Fahrstuhl n den Bewegungszustand fahrend und es wrd en Folgeeregns erzeugt, de Ankunft des Fahrstuhls auf der anderen Etage 33. Fährt der Fahrstuhl von Etage 2 weg und hat er sch vorgemerkt, dass der andere Fahrstuhl auf ene Erlaubns für das Fahren n Etage 2 wartet, so ertelt er hm dese n desem Moment, so dass se nach Zetenheten bem anderen Fahrstuhl ankommt. Er braucht sch nun ncht mehr vorzumerken, dass der andere Fahrstuhl auf ene Erlaubns von hm wartet. Fährt_an (, 2 t alter Zustand {.., Vorgemerkt (, ja ),.., Ort (, 2, stehend ),.. } neuer Zustand {.., Vorgemerkt (, nen ),.., Ort (, 2, fahrend ),.. } Folgeeregnsse { Kommt_an (, andereetage (, 2 ) ( t + Glech_ZV ( a, b ) ), Regel 7: Fährt_an. Erhält_Erlaubns ( andererfahrstuhl ( ( t + ) } Ansonsten wrd nur n den Bewegungszustand fahrend gewechselt und als Folgeeregns de Ankunft des Fahrstuhls erzeugt. 33 De andere Etage wrd her durch de (partelle) Funkton andereetage: {, 2 } {, 2, 3 } {, 2, 3 } bestmmt, wobe andereetage (, ) = 2, andereetage (, 2 ) =, andereetage ( 2, 2 ) = 3 und andereetage ( 2, 3 ) = 2 glt. Undefnert snd andereetage (, 3 ) und andereetage ( 2, ). Kürzer, aber unntutver st de Darstellung andereetage (, j ) = j, wobe her vorausgesetzt werden muss, dass de Funkton nur für Werte ausgewertet werden soll, für de se defnert st. 36

16 Kaptel 2: Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton Fährt_an (, j t alter Zustand {.., Ort (, j, stehend ),.. } neuer Zustand {.., Ort (, j, fahrend ),.. } Folgeeregnsse { Kommt_an (, andereetage (, j ) ( t + Glech_ZV ( a, b ) )} Regel 8: Fährt_an ausführung Erhält_Erlaubnsanfrage Das Erhält_Erlaubnsanfrage stellt dar, dass en Fahrstuhl vom anderen Fahrstuhl ene Erlaubnsanfrage für das Fahren n Etage 2 erhält. Parameter st de Nummer des Fahrstuhls, der de Anfrage erhält. Befndet sch der Fahrstuhl, der de Anfrage erhält, auf dem Weg von Etage 2 weg, so kann er bedenkenlos ene Erlaubns ertelen. Erhält_Erlaubnsanfrage ( t alter Zustand {.., Ort (, 2, fahrend ),.. } neuer Zustand {.., Ort (, 2, fahrend ),.. } Folgeeregnsse { Erhält_Erlaubns ( andererfahrstuhl ( ( t + ) } Regel 9: Erhält_Erlaubnsanfrage. Befndet sch der Fahrstuhl, der de Anfrage erhält, n Etage 2, so kann er dem anderen Fahrstuhl m Moment kene Erlaubns ertelen, merkt sch aber vor, dass er hm ene Erlaubns ertelt, sobald er Etage 2 verlässt. Außerdem wrd er (spätestens) n c 2 Zetenheten anfahren, um dem anderen Fahrstuhl dann ene Fahrt n Etage 2 zu ermöglchen. Erhält_Erlaubnsanfrage ( t alter Zustand {.., Vorgemerkt (, nen ),.., Ort (, 2, stehend ),.. } neuer Zustand {.., Vorgemerkt (, ja ),.., Ort (, 2, stehend ),.. } Folgeeregnsse { Wll_fahren (, 2 ( t + c 2 )} Regel 2: Erhält_Erlaubnsanfrage.2 Befndet sch der Fahrstuhl, der de Anfrage erhält, gerade auf dem Weg zu Etage 2 hn, so kann er dem anderen Fahrstuhl m Moment kene Erlaubns ertelen, merkt sch aber vor, dass er hm ene Erlaubns ertelt, sobald er Etage 2 weder verlässt. Erhält_Erlaubnsanfrage ( t alter Zustand {.., Vorgemerkt (, nen ),.., Ort (, j, fahrend ),.. } neuer Zustand {.., Vorgemerkt (, ja ),.., Ort (, j, fahrend ),.. } Folgeeregnsse Regel 2: Erhält_Erlaubnsanfrage.3 Ø Befndet er sch n sener Hematetage und hat selbst noch kene Erlaubnsanfrage gestellt (wartet also ncht senersets auf ene Erlaubns des anderen Fahrstuhls), so ertelt er dem anderen de Erlaubns. 37

17 Kaptel 2: Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton Erhält_Erlaubnsanfrage ( t alter Zustand {.., Wartend (, nen ),.., Ort (, j, stehend ),.. } neuer Zustand {.., Wartend (, nen ),.., Ort (, j, stehend ),.. } Folgeeregnsse { Erhält_Erlaubns ( andererfahrstuhl ( ( t + ) } Regel 22: Erhält_Erlaubnsanfrage.4 Befndet er sch n sener Hematetage und hat ebenfalls schon ene Erlaubnsanfrage gestellt, so haben sch also de Erlaubnsanfragen der beden Fahrstühle gekreuzt. Demnach st es entschedend, welcher Fahrstuhl der Bevorrechtgte st. Ist der Empfänger der Nachrcht der Bevorrechtgte, so ertelt er dem anderen Fahrstuhl kene Erlaubns, merkt sch aber vor, dass er de Erlaubns ertelt, sobald er dann später rgendwann Etage 2 errecht und auch weder verlassen hat. Dadurch wrd der andere Fahrstuhl der Bevorrechtgte. Erhält_Erlaubnsanfrage ( t alter Zustand {.., Bevorrechtgt (, ja ),.., Vorgemerkt (, nen ),.., Wartend (, ja ),.., Ort (, j, stehend ),.. } neuer Zustand {.., Bevorrechtgt (, nen ),.., Vorgemerkt (, ja ),.., Wartend (, ja ),.., Ort (, j, stehend ),.. } Folgeeregnsse Regel 23: Erhält_Erlaubnsanfrage.5 Ø Ist hngegen der Empfänger der Nachrcht ncht der Bevorrechtgte, so ertelt er dem anderen Fahrstuhl de Erlaubns. Dadurch wrd er selbst der Bevorrechtgte. Erhält_Erlaubnsanfrage ( t alter Zustand {.., Bevorrechtgt (, nen ),.., ( Wartend (, ja ),.., Ort (, j, stehend ),.. } neuer Zustand {.., Bevorrechtgt (, ja ),.., ( Wartend (, ja ),.., Ort (, j, stehend ),.. } Folgeeregnsse { Erhält_Erlaubns ( andererfahrstuhl ( ( t + ) } Regel 24: Erhält_Erlaubnsanfrage ausführung Erhält_Erlaubns Das Erhält_Erlaubns stellt dar, dass en Fahrstuhl vom anderen Fahrstuhl ene Erlaubns für das Fahren n Etage 2 erhält. Parameter st de Nummer des Fahrstuhls, der de Erlaubns erhält. Der Empfänger der Nachrcht ändert senen Zustand dahngehend, dass er jetzt ncht mehr auf de Erlaubns wartet. Er fährt sofort an. Erhält_Erlaubns ( t alter Zustand {.., Wartend (, ja ),.., Ort (, j, stehend ),.. } neuer Zustand {.., Wartend (, nen ),.., Ort (, j, stehend ),.. } Folgeeregnsse { Fährt_an (, j t } Regel 25: Erhält_Erlaubns. 38

18 Kaptel 2: Das Bassmodell der Dskreten--Smulaton 2.3. Abschlussbemerkungen In desem Abschntt werden enge abschleßende Bemerkungen für das Fahrstuhl-Bespel und sener Smulaton vorgenommen. Dabe wrd gezegt, dass es kene Kollson zwschen den Fahrstühlen geben kann. Um scherzustellen, dass es zu kener Kollson zwschen den Fahrstühlen kommt, dürfen sch ncht bede Fahrstühle glechzetg n Etage 2 oder auf dem Weg zu Etage 2 befnden. Da bede Fahrstühle sch anfangs n hrer Hematetage befnden und nur n Etage 2 fahren, wenn se vorher vom anderen Fahrstuhl de Erlaubns dazu erhalten haben, kann ene solche Stuaton nur auftreten, wenn bede Fahrstühle sch gegensetg de Erlaubns gegeben haben. Befndet sch en Fahrstuhl n Etage 2 oder auf dem Weg dorthn, so ertelt er dem anderen Fahrstuhl gemäß Regeln Erhält_Erlaubnsanfrage.2 (Regel 2) bzw. Erhält_Erlaubnsanfrage.3 (Regel 2) kene Erlaubns. Wenn en Fahrstuhl von Etage 2 wegfährt, dann kann er dem anderen gemäß Regel Erhält_Erlaubnsanfrage. (Regel 9) de Erlaubns ertelen, was n desem Fall aber auch unkrtsch st. Krtsch st der Fall, wenn sch bede Fahrstühle n hrer Hematetage befnden. Überkreuzen sch de beden Erlaubnsanfragen, also haben bede hre Anfragen abgeschckt, bevor se de des anderen erhalten haben, so erhält nur der Bevorrechtgte de Erlaubns vom anderen. Zu desem Zweck st es wchtg, dass bede sch eng snd, wer gerade der Bevorrechtgte st. Halten bede den anderen für bevorrechtgt, so ertelen sch bede nach Regel Erhält_Erlaubnsanfrage.6 (Regel 24) gegensetg de Erlaubns, n Etage 2 zu fahren und es kann zu ener Kollson kommen. Halten bede sch selbst für bevorrechtgt, dann ertelt nach Regel Erhält_Erlaubnsanfrage.5 (Regel 23) kener dem anderen de Erlaubns und es kommt zu ener Verklemmung, denn ken Fahrstuhl kann jemals weder n Etage 2 fahren. Da aber bede Fahrstühle dann und nur dann, wenn sch zwe Erlaubnsanfragen überkreuzen, den aktuellen Bevorrechtgten wechseln, st mmer genau ener von hnen der Bevorrechtgte. Des glt nur, sofern es m Anfangszustand auch schon so war, was aber auch der Fall st. Es st ferner schergestellt, dass ene Überkreuzung der Nachrchten durch bede Fahrstühle als solche wahrgenommen wrd, da sch Nachrchten ncht überholen können. Erhält z.b. Fahrstuhl ene Erlaubnsanfrage, nachdem er selber ene abgeschckt hat und bevor er ene Erlaubns erhalten hat, so weß er, dass Fahrstuhl 2 de Erlaubnsanfrage losgeschckt hat, bevor er de von Fahrstuhl erhalten hat. Denn sonst hätte Fahrstuhl 2 hm nach Regel Erhält_Erlaubnsanfrage.4 (Regel 22) sofort ene Erlaubns geschckt und de wäre dann vor der Anfrage von Fahrstuhl 2 be hm angekommen. Dass sch Nachrchten ncht überholen, st n der Smulaton allerdngs nur für Nachrchten gewährlestet, de zu verschedenen Smulatonszetpunkten abgeschckt worden snd, da ncht spezfzert st, welches be mehreren zetglechen sen aus der menge ausgewählt wrd. Zetglech abgeschckte Nachrchten würden allerdngs n der rchtgen Rehenfolge verarbetet, wenn man aus der menge be glechzetgen sen das auswählt, das zuerst engefügt wurde. Da de Zetpunkte der Nachrchten aber kontnuerlch snd und vom Zufall abhängen, st er sehr unwahrschenlch, dass deser Fall überhaupt entrtt. Wenn es aber zu kener Überkreuzung der Nachrchten kommt, also z.b. Fahrstuhl vor Fahrstuhl 2 de Erlaubnsanfrage stellt, d.h. se ankommt, bevor Fahrstuhl 2 sene abschckt, dann kommt de Erlaubns von Fahrstuhl 2 auch vor der Erlaubnsanfrage von Fahrstuhl 2 be Fahrstuhl an, da Nachrchten sch ncht überholen können. Sobald aber de Erlaubns von Fahrstuhl 2 be Fahrstuhl ankommt, wechselt Fahrstuhl nach Regel Erhält_Erlaubns. (Regel 25) und dann nach Regel Fährt_an.2 (Regel 8) sofort n den Bewegungszustand fahrend, wodurch aufgrund Regel Erhält_Erlaubnsanfrage.3 (Regel 2) ausgeschlossen st, dass er Fahrstuhl 2 ene Erlaubns ertelt. Herzu müsste allerdngs schergestellt sen, dass unverzögerte Folgeeregnsse (se, de den glechen Zetpunkt we hr erzeugendes haben) "sofort" ausgeführt werden, also vor anderen sen, de zufällg ebenfalls den glechen Ausführungszetpunkt haben. Im konkreten Fall würde es zu enem Fehler führen, wenn erst das Erhält_Erlaubns, dann das (zufällg zetgleche) Erhält_Erlaubnsanfrage und erst dann das nach Regel Erhält_Erlaubns. (Regel 25) erzeugte Folgeeregns Fährt_an ausgeführt werden würde. Dann würde be Erhält_Erlaubnsanfrage zu Unrecht ene Erlaubns nach Regel Erhält_Erlaubnsanfrage.4 (Regel 22) ertelt werden, da der Zustand des Fahrstuhls, der de Anfrage erhält, n desem Moment benhalten würde, dass der 39