Vorlesungsmanuskript zur Umweltökonomik Teil II: Natürliche Ressourcen

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1 Vorlesungsmanuskrip zur Umwelökonomik Teil II: Naürliche Ressourcen Georg Müller-Fürsenberger, Winer März 2010 Der vorliegende Tex verief die Vorlesung Umwelökonomik, gehalen im Winersemeser 2009/2010. Er riche sich an Sudierende, die den Vorlesungsso in einer ewas särkeren Mahemaisierung wiederholen möchen. Die Noaion is sellenweise deulich formaler als in der Vorlesung. In der Ressourcenökonomik geh es um die Umwel als Rohsoieferan. Unerschieden werden erneuerbare und nich-erneuerbare Ressourcen. Erneuerbare Ressourcen besizen eine Eigendynamik, sie wachsen nach. Beispiele sind Wälder und Fischbesände. Nich-erneuerbare Ressourcen hingegen wachsen nich nach, jedenfalls nich in für Menschen relevanen Zeiskalen. Beispiele sind die fossilen Energieräger Erdöl, Erdgas und Kohle. 1 Nicherneuerbare Ressourcen Gegeben is ein Ressourcenbesand R. Dieser wird über einen Zeiraum = 0, 1,..., T abgebau. Ein Abbauprol {x } = x 0, x 1,..., x T is zulässig, wenn x R. Dabei bezeichne x die in abgebaue Ressourcenmenge. 1.1 Hoellings Modell Das HoellingModell (Hoelling 1931) erklär Preisenwicklung und {x } einer endlichen Ressource in einem markwirschaflichen Umfeld. 1 In der einfachsen Version gil: R gehör einer gewinnmaxmimierenden Firma. Sie bau die Ressource kosenfrei ab und verkauf sie auf einem Mark uner vollkommener Konkurrenz. Für die Firma is {p } gegeben. Die Firma kann sich zum (konsanen) Zins r verschulden oder Kapial anlegen. Die Nachfrage häng von p ab, insbesondere lim x 0 p =. Daraus folg x > 0 für alle, da ansonsen der Ressourcenpreis gegen unendlich gehen würde. Alle Wirschafssubjeke haben perfeke Voraussich. Der Unernehmensgewinn (Neobarwer) beräg G = p x T (1 + r), wobei x = R einzuhalen is. Um das gewinnmaximale {x } zu charakerisieren, leien wir nach x ab. Zuvor jedoch sezen wir die Ressourcenresrikion in den Gewinn ein: 1 Markwirschafliches Umfeld heiÿ: die Eigenumsreche an einer Ressource sind vereil und durchsezbar, die Ressource wird auf einem Mark gehandel. 1

2 Daraus folg im Opimum G = p 0 (R ) x + =1 =1 p x (1 + r). : dg dx = p 0 + p 1 (1 + r) = 0. Für zwei beliebige aufeinanderfolgende Zeipunke und + 1 gil somi p 0 (1 + r) = p und p 0 (1 + r) +1 = p +1. Dividieren wir die beiden Bedingungen durcheinander, so resulier mi p +1 = (1 + r)p die sogenanne HoellingRegel. Sie besag, dass der Ressourcenpreis mi dem Kapialmarkzins r wächs. Die HoellingRegel läss sich inuiiv gu erfassen: Die Verzinsung der Ressource im Boden (in siu) muss dem Kapialmarkzins ensprechen. Für p +1 > (1 + r)p is es besser, in keine Ressourcen zu verkaufen und zu waren. Wäre hingegen p +1 < (1 + r)p, so würde das Unernehmen in + 1 nichs anbieen. In beiden Fällen häen wir in einer Periode kein Angebo, was mi den Annahmen über die Nachfrageseie unvereinbar is. (Der Preis würde in diesem Fall gegen unendlich gehen.) Die HoellingRegel beschreib die Preisdynamik, nich aber p 0 und {x }. Dazu benöigen wir die Nachfrageseie. Zum Preis p wird x(p ) nachgefrag (mi x (p ) < 0 und p für x(p ) 0 ). Über den gesamen Zeiraum wird somi x(p ) = x(p 0 (1 + r) ) nachgefrag. Diese Nachfragemenge muss gleich dem gesamen Ressourcenangebo R sein. Somi denier x(p 0 (1 + r) ) = R implizi den Sarpreis p 0. Dami is der gesame Preispfad charakerisier. Lösen und einsezen in die Nachfragefunkion ergib das opimale Abbauprol. 1.2 Exkurs: Hoelling mi Abbaukosen Zwei Typen von Abbaukosen reen auf: (1) exrakionsmengenabhängige und (2)besandsabhängige Kosen. Besandsabhängige Kosen blenden wir aus, so dass C = C(x ), mi C > 0, C 0. Eine gewinnmaximierende Eigenümerin der Ressource maximier dann den Unernehmenswer 2

3 Abbildung 1: Das Hoelling Modell. Die Summe der nachgefragen Mengen muss R ergeben. G = p x C(x ) (1 + r), wobei x R einzuhalen is. Das Problem können wir wie oben durch Einsezen der Resrikion in die Zielfunkion lösen. Einsezen kann bei kompliziereren Funkionen jedoch schwierig oder unmöglich sein. Deshalb führen wir unen ein Verfahren zur Opimierung uner Nebenbedingungen ein, das LagrangeVerfahren. Vorweg aber die resulierde Opimalbedingung, die sich ökonomisch gu begründen läÿ. Sie laue p +1 C (x +1 ) = (1 + r) ( p C (x ) ). Auf der linken Seie seh der Grenzgewinn einer zusäzlich in + 1 verkaufen Ressourceneinhei. Dieser Grenzgewinn muss dem Grenzgewinn der Ressource zum Zeipunk zuzüglich der Kapialmarkverzinsung ensprechen. Wir leien dieses Ergebnis nun über das LagrangeVerfahren her. Dazu werden vier Schrie durchgeführ. Schri 1: Alle Resrikionen werden auf 0 gebrach. Auÿerdem muss sicher sein, dass alle Resrikionen im Opimum mi = 0 halen. Andernfalls is das aufwändigere KuhnTucker Verfahren nöig. Im vorliegenden Fall erhalen wir R x 0. Diese Bedingung wird sicher mi = 0 halen, da es nich sinnvoll is, einen Teil des Ressourcenbesandes nich zu verkaufen. (Es sei denn der Preis wäre Null. Das is aber durch Annahmen bezüglich der Nachfrage ausgeschlossen.) 3

4 Schri 2: Sa die Resrikionen aufzulösen und in die Zielfunkion einzusezen, werden sie einfach zur Zielfunkion (hier dem Gewinn) hinzugezähl. Dazu werden sie aber ers noch mi einem LagrangeMuliplikaor muliplizier. Die neue Funkion L heiÿ Lagrange-Funkion: L = ( p x C(x ) (1 + r) + µ R ) x. Schri 3: Die LagrangeFunkion wird nach allen Variablen abgeleie, einschliesslich der LagrangeMuliplikaoren, und gleich Null gesez. : dl dx = p C (x ) (1 + r) µ! = 0 und dl T dµ = R! x = 0. Das resulierende Gleichungssysem kann nun ausgewere oder gelös werden. Die Gleichungen werden als FirsOrderCondiions (FOC) bezeichne, weil sie eine nowendige Voraussezung für ein Opimum denieren. Zu beachen is: die Ableiungen nach den Lagrange Muliplikaoren sichern, dass die Resrikionen im Opimum halen. Dami gil für und + 1 Zusammengefass folg die HoellingRegel p C (x ) (1 + r) = µ und p +1 C (x +1 ) (1 + r) +1 = µ. p +1 C (x +1 ) = (1 + r) ( p C (x ) ). In Woren: der Grenzgewinn einer Ressourceneinhei muss sich mi der Zinsrae enwickeln. Aus : p C (x ) (1 + r) = µ folg, dass der Gegenwarswer des Grenzgewinns einer Ressourceneinhei für alle gleich sein muss. Für das µ ergib sich daraus eine ineressane Inerpreaion: sei x das gewinnmaximierende Abbauprol. Dann is L = ( p x C(x ) (1 + r) + µ R der maximale Gewinn. Leien wir diesen nach R ab um zu sehen, wie eine zusäzlich Ressourceneinhei den Gewinn verändern würde, und gehen dabei gleichzeiig davon aus, dass sich das opimale Abbauprol {x } nich veränder, dann dl dr = µ. Der LagrangeMuliplikaor gib also an, wie sich der Unernehmenswer änder, wenn eine zusäzliche Ressourceneinhei zur Verfügung sell. Dies wäre auch der maximale Berag, x ) 4

5 den das Unernehmen für das Rech, eine zusäzlich Ressourceneinhei abbauen zu können, bezahlen würde. Mi anderen Woren is µ der Preis für eine Einhei der Ressource in-siu. BackSopTechnologien verhindern, dass der Ressourcenpreis über eine obere Schwelle hinweg anwächs. Backsop Technologien für Erdöl sind die regeneraiven Energieräger. 1.3 Die Dasgupa-Heal-Sigliz Modellwel Das HoellingModell is ein Parialmodell. Deshalb bleiben viele Fragen oen: (1) Die Ressourcen Preisdynamik wird an den Zinssaz gekoppel. Dami wird die Ressourcenpreisprognose lezlich zu einer Zinsprognose. (2) Seigende Ressourcenpreise vergröÿern das Einkommen von Ressourcenbesizern und führen dami lezlich wieder zu mehr Nachfrage. Bei nur sehr schwachen Subsiuionseeken würde der nachfragedämpfende Impuls im Aggrega deshalb sehr mild ausfallen. (3) Wie is die HoellingRegel gesamwirschaflich zu beweren? Insbesondere is hier zu fragen, ob sie mi der Vorsellung einer nachhaligen Wirschaf vereinbar is Nachhaligkei Nachhaligkei (susainabiliy) bezieh sich auf die Wohlfahr zukünfiger Generaionen. Eine Enwicklung is nachhalig, wenn nachfolgende Generaionen das gleiche oder ein höheres Wohlfahrsniveau als die gegenwärige Generaion erreichen können. In der Ökonomik wird üblicherweise angenommen, dass Wohlfahr im Konsum von Güern realisier wird. Angenommen c sei der Konsum der Generaion. Generaion bewere dies mi u(c ). Dann bedeue Nachhaligkei : u(c ) u(c 0 ). Dami aber würde die gegenwärige Generaion zur Referenz. Alernaiv könne auch von jeder Generaion geforder werden : u(c +1 ) u(c ). Jedenfalls würde ein konsaner Konsumpfad (c = c) der Vorsellung von Nachhaligkei ensprechen Ressourcenvereilung als Cake-Eaing CakeEaing Modelle unersuchen die Vereilung eines gegebenen Besandes (an Konsumgüer oder einer Ressource) auf mehrere Personen. In unserem Konex is R der Kuchen, x die der Generaion zukommende Ressourcenmenge. Eine nachhalige Vereilung der Ressource is mi x = R/(T + 1) gegeben. Angenommen, eine übergeordnee Insiuion, der wohlwollende Dikaor, vereil die Ressource. Welchem Opimierungskalkül soll er folgen? Dazu formulieren wir die Enscheidung als Opimierung uner Nebenbedingungen. Maximier wird eine Wohlfahrsfunkion δ u(c ) mi x = c und x = R. Die Ressource kann also direk konsumier werden (x = c ), der Fakor δ > 0 gewiche den Nuzen der Generaion. Für δ = 1 werden alle Generaionen gleich gewiche, für δ < 1 wird das Gewich immer kleiner. Die dazugehörige Lagrange laue L = Als Opimalbedingung erhalen wir δ u(c ) + µ(r : δ u (c ) = µ. x ). 5

6 Daraus folg δ u (c +1 ) u (c ) Für δ = 1 folg eine nachhalige Vereilung. Dieser Diskonfakor is eine Schlüsselgröÿe in ineremporalen Opimaliäskalkülen. Im Sern Repor beispielsweise wurde ihm in der Diskussion sehr viel Raum gegeben. = Die HoellingRegel im Dasgupa-Heal Modell Das Dasgupa-Heal Modell bau auf dem Cake-Eaing Ansaz auf. Auch hier wird eine Wohlfahrsfunkion uner Resrikionen maximier. Die Wohlfahrsfunkion übernehmen wir von oben, ebenso die Ressourcenbeschränkung. Zusäzlich hinzu komm eine Produkionsfunkion f, die Ressourcen und Kapial zum Oupu zusammenfüg. Dieser Oupu wird konsumier oder invesier. Wenn sich der Kapialsock nich abschreib, folg als Resrikion : f(k, x ) c (k +1 k ) = 0. Die Lagrange sieh dann ewas komplizierer aus, nämlich L = δ u(c ) + ( λ (f(k, x ) c k +1 + k ) + µ R x ) Die Opimaliäsbedingungen erser Ordnung erhalen wir durch Ableien der Lagrange nach c, x und k : Die drie Bedingung sellen wir um zu : dl dc = δu (c ) λ! = 0, : dl dx = λ f x(k, x )! = µ, : dl dk = λ ( f k (k, x ) + 1 ) λ 1! = 0. f k (k, x ) + 1 = λ 1 λ, weil sich daraus eine Inerpreaion ergib: auf der linken Seie seh der zusäzliche Oupu einer zusäzliche Einhei Kapial plus eins. Da wir eine Einhei Oupu brauchen um eine Einhei Kapial bereizusellen, is der Neo-Eek dieser Invesiion und dami die reale Verzinsung mi f k gegeben. Bezeichne r diese Verzinsung, so erhalen wir Aus der zweien Opimalbedingung folg 1 + r = λ 1 λ. λ 1 f x(k 1, x 1 ) λ f x(k, x ) = 1. 6

7 Das Grenzproduk der Ressource f x is der Ressourcenpreis, somi Daraus wiederum folg mi λ 1 λ p 1 p = 1. (1 + r )p 1 p = 1, die bereis bekanne HoellingRegel. Dami können wir feshalen, dass die HoellingRegel mi einer gesamwirschaflich opimalen Verwendung der Ressource vereinbar is. Kommen wir nun zur zenralen Frage: Uner welcher Bedingung enwickel sich eine Ökonomie nachhalig? Die Anwor darauf gib die HarwickRegel HarwickRegel Diese Regel besag, dass der Errag aus der Ressource vollsändig invesier werden muss. Dann is konsaner Konsum über die Zei (sogar für T ) möglich. Um diese Regel zu beweisen, überführen wir die HoellingRegel zunächs in ihre zeiseige Version: ṗ = rp, d.h. der Ressourcenpreis veränder sich mi der Zinsrae. Zur Vereinfachung der Noaion lassen wir als Index weg; der Punk über einer Variablen signalisier ihre Ableiung nach der Zei. Sezen wir für die Preise die jeweiligen Grenzproduke ein, so erhalen wir Die Verwendungsresrikion des Oupus schreiben wir als Diese Gleichung leien wir nochmal nach der Zei ab: f x = f k f x. (1) k = f(k, x) c. (2) k = f k k + f xẋ ċ. (3) Wir wollen nun ċ = 0 zeigen, falls die HarwickRegel angewand wird. Dann nämlich is der Konsum über die Zei konsan und dami auch der Nuzen. Die HarwickRegel laue Wir leien diese nochmal nach ab: k = xf x. (4) und erseen f x durch (1): k = ẋf x + x f x (5) Wir sellen den zweien Term auf der rechen Seie um, k = ẋf x + xf k f x. (6) 7

8 k = ẋf x + xf xf k, (7) um (4) einzusezen: Direker Vergleích von (8) mi (3) ergib ċ = 0, q.e.d. k = ẋf x + kf k. (8) 2 Erneuerbare Ressourcen Viele naürliche Ressourcen regenerieren sich von selbs. Beispielsweise wachsen Wälder nach, Fischbesände vergröÿern sich, Schadsoe werden abgebau. Für diese Ressourcen läÿ sich die srengere Version des Nachhaligkeiskonzepes anwenden, die srong susainabiliy. Sarke Nachhaligkei forder, dass der Besand einer naürlichen Ressource über die Zei konsan is. Demzufolge darf nur die jeweils nachgewachsene Menge ennommen werden. 2.1 Grundlegende Konzepe Der Ressourcenbesand zum Zeipunk sei V, die naürliche Veränderung F (V ). Dami ergib sich folgendes naürliches Wachsum: V +1 = V + F (V ), gezeig in Abbildung 2. Abbildung 2: Wachsumsdynamik einer regeneraiven Ressource 8

9 Das ökologische Gleichgewich is für F (V ) = 0 erreich. In einem bioökonomischen Gleichgewich wird die nachgewachsene Menge ennommen, d.h. x = F (V ). Die maximale nachhalige Erragsmenge (maximum susainable yield) is beim Besand V M mi F (V M ) = 0 gegeben. 2.2 Gewinnmaximierende Nuzung Sei p der Ressourcenpreis, es ensehen keine Abbaukosen. Dann folg ein gewinnmaximierendes Unernehmen uner vollkommener Konkurrenz der HoellingRegel für regeneraive Ressourcen p 1 (1 + r) = p (1 + F (V )) (9) Auf der linken Seie seh der akuelle Errag aus dem Verkauf einer Ressourceneinhei in 1, angeleg zu r am Kapialmark. Rechs sehen die Opporuniäskosen: wird die Ressource ers in verkauf, so beräg der Erlös p (1 + F (V )). Die naürliche Verzinsung (biologische Verzinsung F ) zuzüglich der Verzinsung durch den Preisansieg muss der Kaialmarkverzinsung ensprechen. 2.3 Gesellschaflich opimale Nuzung Für die gesellschafliche Beureilung der Ressourcennuzung is ein Wohlfahrskrierium erforderlich. Wir benuzen einen uiliarisischen Ansaz, bei dem die Nuzen der einzelnen Generaionen (-ie. Zeipunke) diskonier und aufsummier werden. Dami sell sich für einen wohlwollenden Dikaor das Problem max x δ u(c ), mi V +1 = V + F (V ) x. (10) Dieses Problem is dem der Gewinnmaximierung sehr ähnlich. Wir ersezen lediglich die Gewinnfunkion durch eine Wohlfahrsfunkion. Die Opimalbedingungen können über Lagrange hergeleie werden, hier genüg aber eine inuiive Begründung. Das Prol {x } is opimal, wenn u (x 1 ) = δu (x )(1 + F (V )). (11) Auf der linken Seie seh der engangene Nuzen, wenn in 1 auf den Konsum einer Ressourceneinhei verziche wird. Rechs seh der zusäzliche Nuzen in, wobei jez nich nur die Ressourceneinhei, sondern auch die biologische Verzinsung konsumier werden kann. Dieser Nuzengewinn wird durch die Diskonierung mi δ vergleichbar mi den Nuzenverzich in 1. 9