A Kinematische Beschreibung von Industrierobotern

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1 287 A Kinematishe Beshreibung von Industrierobotern A.l Einführung Wie in Kapitel 3.1 erwähnt, besteht ein Industrieroboter aus mehreren Ahsen, die gelenkig mit einander verbunden sind. Diese Ahsen werden im mehanishen Sinn als starre Körper idealisiert, und die Gelenke stellen die Verbindungen zwishen diesen starren Körpern dar. Die Art der Gelenke beeinflußt den Getriebefreiheitsgrad des Industrieroboters (vgl. Kapitel 3.2). Die Stellung des Roboters im Raum ergibt sih durh die jeweilige Stellung der Gelenke; bei rotatorisehen Ahsen somit durh die Winkelstellung des jeweiligen Gelenkes und bei translatorishen Ahsen durh die Ausfahrlänge der jeweiligen Ahse. Wihtig ist in diesem Zusammenhang, daß die Art des Gelenkes natürlih eine große Rolle hinsihtlih des Getriebefreiheitsgrades spielt. Der Einfahheit halber sollen hier nur Gelenke behandelt werden, die für die nähst folgende Ahse einen zusätzlihen Freiheitsgrad mehr zulassen. Ahs 6 Ahse n-1 Gelenk ahse 6 Ahse 2 Ahse 1 Gelenkahse ?"'*"--Gelenkahse 2 Bild A-1 Aufbau einer offenen kinematishen Kette (nur rotatorisehe Ahsgelenke)

2 288 A Kinematishe Beshreibung von Industrierobotern Den kinematishen Aufbau eines Roboters idealisiert man nah VDI-2861 als sog. offene kinematishe Kette. Die Lage der aufeinander folgenden Ahsen bzw. Segmente ist einmal durh die geometrishe Form der Segmente und zum anderen durh die Stellung der Ahsgelenke gegeben. Weiterhin sieht man sehr deutlih, daß sih die Lage aller folgenden Ahsen (von n-k bis n) im Raum ändert, wenn die Winkelstellung der Ahse n-k verändert wird. Ein Industrieroboter besteht aus einer solhen Folge von Ahsen bzw. Segmenten (Verbindungselementen, engl.: links), die durh Ahsgelenke (engl.: joints) verbunden sind. In Kapitel wurde bereits darauf hingewiesen, daß es zur Beshreibung der Bewegungen eines Roboters mehrere Koordinatensysteme gibt. Man benutzt einmal das sog. Raumkoordinatensystem - meist ein kartesishes -, und zum anderen verwendet man das Gelenkkoordinatensystem, das die Stellungen der einzelnen Gelenkahsen angibt. Das Raumkoordinatensystem stellt also in diesem Fall das Basiskoordinatensystem dar, an dem das Segment I mit der Gelenkahse I angeflansht ist. Heutige Robotersteuerungen bieten dem Bediener fast immer die Möglihkeit, die Bewegungen bzw. die Punkte im Raum wahlweise mit Hilfe des Basis-/Raumkoordinaten- oder mit Hilfe des Gelenkkoordinatensystems zu beshreiben. Der Stellbefehl für die einzelnen Ahsen wird aber von der Steuerung immer als Wert für die Gelenkvariable (also bei rotatorisehen Ahsen ein Winkelwert und bei translatorishen Ahsen eine Streke) an die Regelung weitergegeben. Somit muß die Steuerung immer eine Koordinatentransformation durhführen, wenn der Bediener im Basis-/Raumkoordinatensystem arbeitet, um auf die Gelenkkoordinaten zu gelangen. Diesen Vorgang nennt man Rükwärtstransformation bzw. inverse kinematishe Transformation. Die Steuerung muß aber dem Bediener Raumpunkte im Basis-/Raumkoordinatensystem anzeigen. Dies bedeutet, daß bei gegebenen Ahsstellungen, d.h. bei bekannten Ahswinkeln bei rotatorisehen Ahsen bzw. bei bekannten Streken bei translatorishen Ahsen, aus diesen Werten die Lage (d.h. Position und Orientierung) des letzten Segmentes- des Endeffektors - in Raurn-/Basiskoordinaten anzuzeigen ist. Diesen Vorgang nennt man Vorwärtstransformation bzw. kinematishe Transformation. Gelenkkoordinaten Basiskoordinaten oder Raumkoordinaten Vorwärts transfor mation Rükwärts Iransformation Lage und Orientierung Endeffektor mit TCP ~ f(a 1; a2; a3; a4; as: as) Lage und Orientierung Endeffektor mit TCP ~ f(xo; Yo; Zo; ao; ba; Co) ao; bo; eo: Orientierungswinket im Raum Bild A-2 Vorwärts- und Rükwärtstransformation

3 A.2 Mathematishe Grundlagen 289 Um Position und Orientierung des letzten Segmentes einer solhen offenen kinematishen Kette im ortsfesten Basiskoordinatensystem beshreiben zu können, ist es notwendig, eine mathematishe Beziehung zwishen diesem Basiskoordinatensystem und dem Körperkoordinatensystem des n-ten Segmentes und allen Zwishensegmenten zu kennen. Es sind somit bei einem n-ahsigen Roboter immer mathematishe Beziehungen zwishen n+ 1 Koordinatensystemen (n Ahsen + 1 Basiskoordinatensystem) herzuleiten. Hierzu benutzt man ein Verfahren, das ursprünglih von Denavit und Hartenberg zur Beshreibung von mehanishen Starrkörperketten verwendet und von Paul erweitert wurde. Lage und Orientierung Endeffektor mit TCP ~ f(a 1; a2; a 3; a 4; a 5; a 6) Bild A-3 Kinematik und Koordinatensysteme eines sehsahsigen Knikarmroboters Kapitel A.2 gibt einige mathematishe Grundlagen, die notwendig sind, um dieses Lösungsverfahren zu beshreiben. A.2 Mathematishe Grundlagen Vorab eine Anmerkung zur verwendeten Kurzshreibweise der Vektoren w: Der "Hohindex" gibt an, in welhem Koordinatensystem der Vektor gemessen wird. Der "Tiefindex" gibt an, welhen "Zielpunkt" der Vektor hat. Das allgemeine mathematishe Grundproblem zur Beshreibung der Kinematik der Roboterahsen liegt darin, daß eine Lage (d.h. Position und Orientierung) in vershiedenen Koordinatensystemen beshrieben werden muß.

4 290 A Kinematishe Beshreibung von Industrierobotern Beispiel/ Es seien zwei Koordinatensysteme in der Ebene gegeben. Der Ursprungsvektor Owo 1 des Koordinatensystems I (weiterhin als KS I abgekürzt) gemessen im KS 0 sei bekannt: 0wo,? = (5;4). Weiterhin sei die Lage des Punktes P im KS I bekannt: 1wPT = (2;4). Gesuht ist die Beshreibung des Punktes P im KS 0, also der Vektor Owp. Es sheint sih folgende Beziehung durh einfahe Vektoraddition zu ergeben: Owp=Owo,l +lwp Berehnet man nah dieser Gleihung den Vektor Owp, so erhält man als Ergebnis: 0w/ = (7;8) Vergleiht man dies mit Bild A-4, so ist dieses Ergebnis offensihtlih rihtig. yo (I) p (2;4) 0 p (7 ; 8) s-- I I I I I x1 I Bild A-4 I I Lage der Koordinatensysteme 5 10 xo Beispiel I in Komplizierter wird es, wenn das KS I niht mehr die gleihe Orientierung wie das KS 0 hat. Beispie/2 Es seien zwei Koordinatensysteme in der Ebene gegeben, die untershiedlihe Orientierung haben. Der Ursprungsvektor 0w 0 1 des KS I gemessen im KS 0 sei bekannt: 0wo,? = (5;4). Weiterhin sei die Lage des Punktes P im KS 1 bekannt: 1wPT = (2;4). Gesuht ist die Beshreibung des Punktes P im KS 0, also der Vektor 0wp. Das KS I sei um 45" nah links um seinen Ursprung gedreht. Berehnet man auh hier wieder nah GI. (I) den Vektor 0wp, so erhält man: 0w/ = (7;8) Vergleiht man dieses Ergebnis mit Bild A-5, so stellt sih heraus, daß es falsh ist.

5 A.2 Mathematishe Grundlagen _.. s-- ow:.., :==0' '.w" 1-0,1 1 I I I I I I I 1 2 J 4 5 I 10 Bild A-5 Lage der Koordinatensysteme in Beispiel2 Die Ursahe liegt darin, daß zwei Vektoren addiert werden, die in untershiedlihen KS liegen. Bevor man eine solhe Addition durhführen kann, muß einer der Vektoren in das KS des anderen transformiert werden. Diese Basistransformation kann entfallen, wenn beide KS die gleihe Orientierung haben, also nur translatorish vershoben sind. Die allgemeine mathematishe Beziehung für eine solhe Koordinatentransformation, bei der sih auh die Orientierung der Koordinatensysteme ändert, lautet: Hierbei ist die Matrix? K die Matrix der Basiseinheitsvektoren des KS l beshrieben im KS 0, drükt also die Rotation des KS 1 beshrieben im KS 0 aus. [ kll ~ K = k21 k31 Das Beshreiben dieser Rotation kann unter Umständen sehr aufwendig sein, da die KS ja im Raum gedreht sein können. Allgemeine Rotationsbeshreibungsvarianten sind: Rihtungskosinus Euler-Winkel Ahs-Drehwinkel Auf nähere Erläuterungen zu diesen Varianten sei hier verzihtet, da sie zur Beshreibung der Roboterkinematiken im Folgenden niht benötigt werden. (2)

6 292 A Kinematishe Beshreibung von Industrierobotern Für Beispiel 1 ergibt sih die Rotationsmatrix zu: o K = [1 0] I 0 1 Anmerkung: Da es sih nur um ein ebenes Problem handelt, reduziert sih die 3*3- Matrix zu einer 2*2-Matrix Man sieht, daß es sih hierbei um eine Einheitsmatrix handelt. Dies drükt aus, daß keine Rotation des KS 1 bzgl. des KS 0 stattgefunden hat. Berehnet man für Beispiel 1 nah GI. (2) den gesuhten Vektor, erhält man das erwartete Ergebnis: 0w/ = (7;8) [! -!g] Für das Beispiel 2 ergibt sih die Rotationsmatrix zu:.j2 o K _ 2 2 I -!_g!_g 2 2 Wendet man nun GI. (2) auf Beispiel 2 an, so erhält man in Übereinstimmung mit Bild A-5 als Ergebnis Ow/ = (5-../2;4+3../2) "' (3,59;8,24). Erweitert man das Problem dergestalt, daß man mehr als ein KS hinter das Basiskoordinatensystem shaltet, so verallgemeinert sih GI. (2) zu: mit (3) und RK=?K*dK*~K*]K* bzw. n-1 RK = II k+fk k=o Hierbei beshreibt die Rotationsmatrix R K die Gesamtrotation zwishen dem Basiskoordinatensystem und dem letzten, dem n-ten Koordinatensystem. Diese Art der Darstellung der Koordinatentransformation führt zu Problemen, wenn man mehrere Koordinatensysteme hintereinander shaltet. Dann wird diese Art der Darstellung sehr umständlih, da sie mit erheblihem Rehenaufwand verbunden ist. Beispiel3 Es seien drei KS in der Ebene gegeben, die untershiedlihe Orientierung haben. Der Ursprungsvektor 0w0,1 des KS 1 gemessen im KS 0 sei bekannt: 0w0,1 T = (4;2). Auh die Lage des Ursprungvektors sei gegeben: 1w 0,2T = (6;4). Weiterhin sei die Lage des (4)

7 A.2 Mathematishe Grundlagen 293 Punktes P im KS 2 bekannt: 2wPT = (2;4). Gesuht ist die Beshreibung des Punktes P im KS 0, also der Vektor Dwp. Das KS 1 sei um 4SO nah links um seinen Ursprung und das KS 2 nohmals um 45 nah links um seinen Ursprung gedreht. 0 P (1.42;11 ) ><N 1 P (4.59;8.24) 2 P (2 ;4) Bild A-6 Lage der Koordinatensysteme in Beispiel3 Nah den GI. (3) und (4) ergibt sih: Owp=owo,I+?K*Iwp Ow =Owoi+OK*(Iwo2+ IK*2w ) P, I, 2 P OK-OK* IK Für Beispiel 3 ergeben sih folgende Ergebnisse: OK _ IK _ 2 [ I -2-1 }_J2 -J2 2 OK-OK* IK- [ Man sieht an der Gesamtrotationsmatrix, daß eine Rotation um 90 durhgeführt wurde. Für die Vektoren ergeben sih: 0w 02 T =(4+J2;2+5J2) "' (5,41;9,07) Iw/ =(6-J2;4+3J2) "' (4,59;8,24) Owl =(J2;4+5J2) "' (1,41;11,07)

8 294 A Kinematishe Beshreibung von Industrierobotern Diese Art der Berehnung ist sehr umständlih, vor allem, wenn noh mehr Koordinatensysteme hintereinander geshaltet werden. An den drei Beispielen sieht man, daß sih jede Koordinatentransformation prizipiell aus einem rotatorisehen und einem translatorishen Teil zusammensetzt. Durh die Verwendung von homogenen Koordinaten werden die Berehnungen vereinfaht. Auf nähere Erläuterungen zu den homogenen Koordinaten sei hier verzihtet. Man erhält folgende Transformationsgesetzmäßigkeit (5) Hierbei ist die obere 3*3-Matrix der Rotationsanteil, und der vierte Spaltenvektor ergibt den TranslationsanteiL Es ergeben sih folgende allgemeine Transformationsgesetzmäßigkeiten für das Transformieren eines Ortsvektors nwp, der im n-ten Koordinatensystem gegeben ist und der als Ortsvektor 0 wp im Basiskoordinatensystem gesuht ist. und oy=ot* I T*2T* n n-1 bzw. ~T = IJ k+~t k=o Wendet man die GI. (6) und (7) auf die drei Beispiele an, so erhält man folgende Gleihungen und Lösungen: Beispiel] (6) (7) I 0 [ mit qr = 0 I 0 0

9 A.2 Mathematishe Grundlagen 295 Beispie/2 Ow _ot*nw p-j p mit qt = /2 5 2 l...[i 4 ergibt sih: 2 0 Ow - p /2 2 l...[i 2 0 [ 5-../2] 0 w P = 4 + ~../2 stimmt mit vorheriger Lösung überein. Beispiel] 0w - 0T*nw p-2 p l...[i 2 mit qt = l...[i /2 2 l...[i l...[i 2 2 und!t= l...[i /2 2 l...[i ergibt sih: 0-1 [ ~T= Daraus ergibt sih: 0 -] [ wp = 1 0 [..fi l [ 1,42] 0 w P = 4 + ~../2 ""' 1 \07 stimmt mit vorheriger Lösung überein. Man sieht bei allen Beispielen, daß sih die Berehnungen vereinfahen und vor allen Dingen wesentlih leihter als Algorithmus programmieren lassen.

10 296 A Kinematishe Beshreibung von Industrierobotern Noh einfaher wird das Problem der Koordinatentransformation, wenn kein Ortsvektor im letzten Koordinatensystem gegeben ist, sondern lediglih der Ursprung des letzten Koordinatensystem nah Position und Orientierung gefragt ist. Dies sei am nähsten Beispiel verdeutliht. Beispiel4 Gegeben seien ein Basiskoordinatensystem 0 und drei dahinter geshaltete KS 1 bis KS 3. Es sei jeweils die Translationsmatrix i+it bekannt, also ~T, :it, 1T. Die KS sollen alle untershiedlihe Orientierungen haben. Gesuht sind Lage und Orientierung von KS 3 in Koordinaten von KS 0. Bild A-7 erläutert dieses Beispiel. 0 w 0,3 + X Bild A-7 Lage der Koordinatensysteme in Beispiel 4 Um Lage und Orientierung von KS 3 im Basiskoordinatensystem 0 ausdrüken zu können, brauht man lediglih die Matrix ~T nah GI. (7) zu berehnen und erhält: ~T=~T* :it* 1T Auf ein Zahlenbeispiel sei hier verzihtet. Betrahtet man in Beispiel 3 die ~T -Matrix, ~T = [~ ~I 2 4 : 5~], 0 0 I so sieht man, daß sih im dritten Spaltenvektor die Gesamttranslation des Ursprunges des KS 2, der Vektor 0wo,2T = (4+.fi;2+5.fi) "' (5,4I;9,07) in homogenen Koordinaten abbildet. Ferner drükt die obere 2*2-Matrix die Gesamtrotation des KS 2 beshrieben im KS 0 aus.

11 A.3 Roboterahsenbeshreibung nah Denavit und Hartenberg 297 ZUSAMMENFASSUNG Mit Hilfe dieses Verfahrens ist man also in der Lage, die einzelnen Koordinatensysteme mathematish so zu verknüpfen, daß man jedes einzelne in das Basiskoordinatensystem transformieren kann. Paul hat, aufbauend auf den Überlegungen von Denavit und Hartenberg, ein Verfahren entwikelt, das diese Art der Koordinatentransformation mit homogenen Koordinaten benutzt. Ferner hat Paul Regeln aufgestellt, mit deren Hilfe es relativ einfah möglih ist, den Rotations- und den Translationsanteil in der Gesamttransformationsmatrix zu beshreiben. Diese Vorgehensweise wird im nähsten Kapitel erläutert. A.3 Roboterahsenbeshreibung nah Denavit und Hartenberg Die Vorgehensweise sei hier an einer allgemeinen Roboterahse dargestellt. Drehahse Gelenk n + 1 Bild A-8 Aufbau einer allgemeinen Roboterahse Eine solhe Roboterahse verbindet im allgemeinen Fall zwei Ahsgelenke (rotatorishe bzw. lineare) miteinander. In Bild A-8 sind dies zwei niht fluhtende Drehgelenke (Gelenk n und Gelenk n+ I). Die jeweiligen Drehahsen, um die die Ahse drehen kann, sind entsprehend eingezeihnet. Für die Berehnungen spielt lediglih die Lage der beiden Gelenke zueinander eine Rolle. Diese Lage wird durh zwei Größen beshrieben: Abstand an. - im allgemeinen liegen die beiden Drehahsen n und n+ I windshief im Raum. Dadurh ist der Abstand dieser Geraden über die Länge der gemeinsamen Normalen bestimmt - bei parallelen Geraden ist der Abstand in jedem Punkt gleih - bei sih shneidenden Geraden ist der Abstand Null Winkel an zwishen den beiden Gelenkahsen, wenn eine Gelenkahse entlang der gemeinsamen Normalen vershoben wird, bis sie die andere shneidet Man bezeihnet die beiden Größen an und an auh als Länge und Verdrillung der Roboterahse.

12 298 A Kinematishe Beshreibung von Industrierobotern Bei einfaheren Kinematiken - und nur solhe seien hier weiterhin betrahtet - sind die beiden Drehahsen parallel zueinander bzw. um 90 gedreht oder shneiden sih. In Bild A-9 sind alle Roboterahsen als rehtwinklige Quader idealisiert. Drehahsen +1 Roboterahse n Drehahse n +1 (l = 90 n Drehahse (rotatorlsh fluhtende Ahse) (rotatorlsh Drehahse niht n + 1 ~~~~jnde Bild A-9 Aufbau einer Roboterahse Ein Industrieroboter besteht nah der gültigen Definition aus mindestens drei Ahsen. Will man nun die Lage zweier Roboterahsen zueinander beshreiben, benötigt man zwei weitere Parameter. n -1 a n+1 Drehahse n Roboterahse n+1 Drehahse n+2 Bild A-10 Lage zweier Roboterahsen (die Roboterahsen sind als rehtwinklige Quader idealisiert.)

13 A.4 Beshreibung der Roboterkinematik nah Paul 299 Die Lage zweier Roboterahsen zueinander läßt sih durh die folgenden Größen beshreiben: Der Abstand der beiden gemeinsamen Normalen an und an-l auf der Drehahse n wird als dn bezeihnet. Der Winkel, den diese beiden gemeinsamen Normalen bilden, erhält die Bezeihnung Sn- Durh die vier Größen am am dn und Sm die im Folgenden als DH-Parameter bezeihnet werden, kann die Lage zweier Roboterahsen zueinander eindeutig angegeben werden. ZUSAMMENFASSUNG DENAVIT-HARTENBERG-PARAMETER Die Länge der gemeinsamen Normalen zwishen den beiden Gelenkahsen wird durh die Größe an beshrieben. Der Winkel an ist als Winkel zwishen den beiden Gelenkahsen n und n+ I definiert, wenn eine Gelenkahse entlang der gemeinsamen Normalen bis zum Shnittpunkt vershoben wird. Der Abstand dn ist definiert als die Streke zwishen den beiden gemeinsamen Normalen an und an-l, welhe auf der Drehahse n liegt. Die Größe Sn beshreibt den zwishen den gemeinsamen Normalen an und an-l eingeshlossenen Winkel. A.4 Beshreibung der Roboterkinematik nah Paul Wie shon erwähnt, muß bei einer kinematishen Kette die Lage (d.h. Position und Orientierung) eines jeden Kettengliedes bekannt sein, da Veränderungen eines Kettengliedes (linear oder rotatorish) bekanntlih auh die Lage aller nahfolgenden Kettenglieder verändert. Gesuht ist ein Verfahren, das die einzelnen Roboterahsen in Koordinaten der direkten Vorgängerahse beshreiben kann. Die Vorgehensweise von Denavit und Hartenberg gibt keine Beshränkung zur Lage der Koordinatensysteme zueinander an, da die Ermittlung der DH-Parameter niht an Koordinatensysteme gebunden ist. Paul hat eine handhabbare Form entwikelt, mit der es möglih ist, die Lage von Koordinatensystemen in Roboterahsen mit Hilfe der DH-Parameter zu ermitteln. Die allgemeine Vorgehensweise läßt sih überblikartig in drei Unterpunkte gliedern: jede Roboterahse erhält ein eigenes, körperfestes Koordinatensystem jede Roboterahse wird im Koordinatensystem des direkten Vorgängers beshrieben es werden homogene Koordinaten für die Beshreibung benutzt Somit ist es möglih, die Lage der Roboterahsen durh Transformationsmatrizen zu beshreiben. Diese Transformationsmatrizen sind nur noh von den geometrishen Abmessungen der einzelnen Roboterahsen und den Drehgelenksteilungen abhängig.

14 300 A Kinematishe Beshreibung von Industrierobotern Es ergibt sih nah Paul folgendes Shema zur Ermittlung des Koordinatensystems n, das die Roboterahse n (mit rotatorisehen Drehgelenken) beshreibt: Der Shnittpunkt der Drehahse n+ I mit der gemeinsamen Normalen an der Drehahsen n und n+ I bildet den Ursprung des Koordinatensystems der Roboterahse n, wenn die beiden Drehahsen windshief sind. Gibt es keine gemeinsame Normale- dies ist der Fall, wenn sih die beiden Drehahsen n und n+ I shneiden -, so ist der Shnittpunkt der beiden Drehahsen n und n+ I der Koordinatenursprung des Koordinatensystems der Roboterahse n. Gibt es unendlih viele gemeinsame Normalen - dies ist der Fall, wenn beide Drehahsen n und n+ I parallel sind -, so vershiebt man den Ursprung des Koordinatensystems der Roboterahse n so auf der Drehgelenkahse n+ I, daß der DH -Parameter dn zu Null wird. Die z-ahse des Koordinatensystems der Roboterahse n- als Zn bezeihnet - zeigt in Rihtung der Drehahse des Drehgelenkes n+ I. Die Rihtung der verlängerten gemeinsamen Normalen von Drehgelenk n zu Drehge~ lenk n+ I ergibt die Rihtung der x-ahse des Koordinatensystems der Roboterahse n - als Xn bezeihnet. Shneiden sih die beiden Drehahsen n und n+ I, dann wird die Rihtung der x-ahse durh das Kreuzprodukt der beiden Drehahsen n und n+ I festgelegt. Durh die Yn Ahse wird das Koordinatensystem der Roboterahse n zu einem Rehtssystem. Drehahse n- 1 Drehahse n+1 Drehahse n Drehahse n+2 Bild A-11 DH-Parametr und Koordinaten ystme nah Pau/ Der weitaus größte Teil der im Moment auf dem Markt befindlihen Industrieroboter zeihnet sih durh die Spezialfälle parallele Gelenkahsen oder sih shneidende Gelenkahsen aus. Die Regeln von Paul vereinfahen sih dadurh wie folgt:

15 A.4 Beshreibung der Roboterkinematik nah Paul 301 Für parallele Drehgelenke n und n+ I gilt: - Der Koordinatenursprung des Koordinatensystems der Roboterahse n wird auf der Drehgelenkahse n+ I so vershoben, daß der DH-Parameter dn zur folgenden Roboterahse zu Null wird. - Die Drehahse des Drehgelenkes n+ I wird zur Zn-Ahse. - Die Rihtung der gemeinsamen Normalen von Drehgelenk n und n+ I ergibt die Rihtung der Xn-Ahse. Shneiden sih zwei aufeinander folgende Gelenkahsen n und n+ I, so ergibt sih: - Der Shnittpunkt der beiden Drehgelenkahsen wird zum Ursprung des Koordinatensystems der Roboterahse n. - Die Gelenkahse des Drehgelenks n+ I ergibt die Zn-Ahse. - Das Kreuzprodukt der Drehahsen n und n+ I ergibt die Rihtung der Xn-Ahse. - Die Yn-Ahse ergänzt das Koordinatensystem zu einem mathematishen Rehtssystem. Zur vollständigen Beshreibung fehlt noh das Basiskoordinatensystem, welhes das Bezugssystem darstellt. Die Lage dieses Koordinatensystems muß auh den Regeln von Paul entsprehen, und somit ergibt sih: Der Ursprung des Basiskoordinatensystems wird so vershoben, daß der Parameter d 1 zu Null wird. Die Gelenkahse 1 gibt die Rihtung der zo-ahse an. Die x 0-Ahse paßt sih den nahfolgenden x-ahsen an. Da zur Festlegung des Koordinatensystems der jeweiligen Roboterahse zwei Drehgelenke notwendig sind, ist das Koordinatensystem der letzten Ahse niht eindeutig definiert. Meist wird der Ursprung in die Mitte des Anshlußflanshes für den Endeffektor gelegt, da sih dadurh die mathematishen Berehnung für den Endeffektor vereinfahen. Man sollte alle x-ahsen der Roboterahsenkoordinatensysteme in die gleihe Rihtung zeigen lassen, da sih dadurh Sn = 0 für alle Ahsen ergibt. Man nennt diese Stellung auh Nullstellung, wobei sie niht mit der Nullstellung des Wegmeßsystems der einzelnen Ahsen zu verwehseln ist. ZUSAMMENFASSUNG BESCHREIBUNG NACH PAUL Jede Roboterahse erhält ein eigenes, körperfestes Koordinatensystem. Jede Roboterahse wird im Koordinatensystem des direkten Vorgängers beshrieben. Für die Beshreibung werden homogene Koordinaten benutzt. Als Bezugsbasis wird ein System 0 vereinbart, auh Basiskoordinatensystem genannt, das keine Bewegungsmöglihkeit besitzt. Für parallele Drehgelenke n und n+ I gilt: - Der Koordinatenursprung des Koordinatensystems der Roboterahse n wird auf der Drehgelenkahse n+ 1 so vershoben, daß der DH-Parameter dn zur folgenden Roboterahse zu Null wird. - Die Drehahse des Drehgelenkes n+ I wird zur Zn-Ahse. - Die Rihtung der gemeinsamen Normalen von Drehgelenk n und n+ I ergibt die Rihtung der Xn-Ahse.

16 302 A Kinematishe Beshreibung von Industrierobotern Shneiden sih zwei aufeinander folgende Gelenkahsen n und n+ I, so ergibt sih: - Der Shnittpunkt der beiden Drehgelenkahsen wird zum Ursprung des Koordinatensystems der Roboterahse n. Die Gelenkahse des Drehgelenks n+ I ergibt die Zn-Ahse. - Das Kreuzprodukt der Drehahsen n und n+ 1 ergibt die Rihtung der Xn-Ahse. - Die Yn-Ahse ergänzt das Koordinatensystem zu einem mathematishen Rehtssystem. Man kann nun zeigen, daß sih der Übergang vom Koordinatensystem n-1 zum Koordinatensystem n durh folgende Transformationen beshreiben läßt: Rotation um die Ahse Zn-! mit dem Winkel 8m ROT(zn-t; 8n) Translation in Rihtung der Zn-1-Ahse mit der Länge dm TRANS(zn-l; dn) Translation in Rihtung der Xn-Ahse mit der Länge am TRANS(x 11 ; an) Rotation um die Ahse Xn mit dem Winkel an, ROT(xn;a 11 ) Es ergibt sih eine Transformationsmatrix, die die Lage von Koordinatensystem n im Koordinatensystem n-1 in homogenen Koordinaten beshreibt: n-}zt =ROT (Zn-! ;Sn )*TRANS (Zn-! ;dn )*TRANS (xn ;an)* ROT(xn;a 11 ) rm,e, -sin 8 11 osa 11 sin8n sinan a,o,e, j n-lt= sin8n os8 11 osan -os8 11 sina 11 ansin en n 0 sinan osan dn I Wie shon im letzten Kapitel erwähnt, beshreibt der obere Teil, die 3*3-Matrix, den Rotationsanteil, während der vierte Spaltenvektor den Translationsanteil der Transformation beshreibt. Durh konsequente Anwendung dieser Beshreibung auf die Roboterahsen eines Industrieroboters lassen sih so die Beziehungen zwishen beliebigen Ahsen herleiten. Es ergibt sih allgemein für einen Roboter mit k Ahsen: OT-OT*'T*2T* *k-2t*k-lt k-l k -, k-l k bzw. ~T = IJ i+\t i=o (8) vgl. GL (7) Somit ist es gelungen, mit Hilfe der Methode von Paul Transformationsmatrizen herzuleiten, die es ermöglihen, jedes Teilsegment des Roboters (d.h. jede Ahse) ins Basiskoordinatensystem zu transferieren. Es brauht also lediglih die Gesamttransformationsmatrix ~T berehnet zu werden, und man kann die Lage und die Orientierung des Endeffektors bestimmen. Für einen sehsahsigen Roboter ergibt sih somit obige Gleihung zu: OT-OT*'T*2T*3T*4T*5T 6 -,

17 A.4 Beshreibung der Roboterkinematik nah Paul 303 Bild A-12 Transformationsmatrizen eines sehsahsigen Industrieroboters z Bild A-13 Realer sehsahsiger Knikarmroboter und kinematishes Ersatzshaltbild

18 304 A Kinematishe Beshreibung von Industrierobotern / / Os / - D, o,--~ """" 4 -r{';{/ v. /K! x. -- Os / Xs Bild A-14 Körperfeste Koordinatensysteme der Ahsen I bis 5 eines sehsahsigen Knikarmroboters nah Paul (die Ahsen sind vereinfaht dargestellt).. Y Yo ~ Xo Basiskoordinatensystem Bild A-15 Nullstellung der Koordinatensysteme eines sehsahsigen Knikarmroboters nah Paul

19 A.4 Beshreibung der Roboterkinematik nah Paul 305 z Bild A-16 Realer fünfahsiger Knikarmroboter und kinematishes Ersatzshaltbild / 03 y3 / / o. / / / / o. / --Os X3 Bild A-17 Körperfeste Koordinatensysteme der Ahsen 3 und 4 eines fünfahsigen Knikarmroboters nah Paul (die Lage der körperfesten Koordinatensysteme der Ahsen I und 2 ist wie in Bild A-14)

20 306 A Kinematishe Beshreibung von Industrierobotern o, ~ _... z, ~ Bild A-18 Nullstellung der Koordinatensysteme eines fünfahsigen Knikarmroboters nah Paul Graphishes Modell des Puma 560 0/0 d;/mm a;lmm e, e, e, e, Els Els DH-Parameter air ~ lt, Bild A-19 Lage der Koordinatensysteme und DH-Parameter am PUMA 560 (Shwinn)

21 A.4 Beshreibung der Roboterkinematik nah Paul 307 Graphishes Modell des AdeptOne 0/0 d/mm ajlmm a/o e, e, d, e, DH-Parameter Bild A-20 Lage der Koordinatensysteme und DH-Parameter am ADEPTONE (Shwinn) Graphishes Modell des Asea lab L 6/2 Elj/o dj/ mm ajlmm air e, e, e, e, e, DH-Parameter if= ~. tp z ~3. ~~rrr ~: z3. Bild A-21 Lage der Koordinatensysteme und DH-Parameter am ASEA IRB L 6/2 (Shwinn)

22 308 A Kinematishe Beshreibung von Industrierobotern A.S Vorwärts- und Rükwärtstransformation beim Zweiarmmanipulator Hier soll am einfahen Beispiel des planaren (d.h. ebenen) Zweiarmmanipulators die Vorgehensweise mit Hilfe der DH-Parameter zur Berehnung der Transformationsmatrizen aufgezeigt werden. Vorwärtstransformation: aus gegebenen Drehwinkeln der Drehahsen Lage und Orientierung des Endeffektors im.xy-basiskoordinatensystem berehnen; und Rükwärtstransformation: aus gegebener Lage und Orientierung des Endeffektors im.xy-basiskoordinatensystem die Drehwinkel der Drehahsen berehnen. Beide Berehnung sind eine der wihtigsten Aufgaben einer jeden Robotersteuerung, die neben dem Gelenkkoordinatensystem noh andere Koordinatensysteme benutzt. Nah der strengen Industrieroboterdefinition handelt es sih hier natürlih niht um einen Roboter. Die prinzipielle Vorgehensweise bei der Vorwärts- und der Rükwärtstransformation kann aber relativ einfah aufgezeigt werden. Ferner erhält man Einblik in die prinzipiellen mathematishen Probleme, die bei der Berehnung entstehen und kann die Auswirkungen - hier speziell die Mehrdeutigkeilen - sehr shön demonstrieren. Ahse 2 Dreh ahse 1 Bild A-22 Planarer Zweiarmmanipulator -+82 z 1 xo Zo Y"//////#/##/#/"0 ARBEITSBEREICHE Ahse 1: ± 180 Ahse 2: ± 180 l ei d l a l a l 1 et 0 lt 0 2 e2 0 [2 0 Bild A-23 Koordinatensysteme, DH-Parameter und Arbeitsbereih am Zweiarmmanipulator

23 A.5 Vorwärts- und Rükwärtstransformation beim Zweiarmmanipulator 309 Nah GI. (8) ergeben sih folgende Transformationsbeshreibungen Koordinatensysteme: r os91 sir ~T~ 0 -sin 92 os o 0 12os92j 12sin 92 I 0 0 I der körperfesten Nah GI. (7) ergibt sih die resultierende Transformationsmatrix durh Multiplikation der beiden Transformationsmatrizen und Anwendung der Additionstheoreme zu: r os(91 +92) -sin(91 +92) o 12os(91 +92)+11os91j 0T= sin(91 +82) os(91 +92) 0 12sin(91 +92)+11sin91 (8a) I I A.S.l Vorwärtstransformation Wie bereits erwähnt, sollen hier aus den Gelenkvariablen 9 1 und 82 Position und Orientierung des Endeffektors berehnet werden. Es sind somit die Gelenkkoordinaten 81 und 82 bekannt. Diese sollen in das kartesishe Basiskoordinatensystem 0 umgerehnet werden. (beahten Sie die Zählrihtung von 9i laut Bild A-23) Beispiel I fj1 = -90" und fj2 = 90" seien gegeben. Gesuht sind Lage und Orientierung des KS 2 beshrieben im KS 0. Gesuht ist also die Transformationsmatrix ~T, in der die Gesamtrotation und die Gesamttranslation des KS 2 beshrieben in Basiskoordinaten abzulesen sind. Vorab zur Verdeutlihung die Lage des Zweiarmmanipulators in der Ebene für die beiden Winkel werte. zo Yo ~--~---~ ~z7,-l-l~ ~~~~~~~~~~~ x, Bild A-24 Zweiarmmanipulator für 81 = -90 und 82 = 90

24 310 A Kinematishe Beshreibung von Industrierobotern Die resultierende Transformationsmatrix für diese beiden Winkelwerte ergibt sih nah GI. (8a) zu: Man sieht hier sehr shön, daß die obere 3*3-Matrix eine Einheitsmatrix ist, und kann somit interpretieren, daß keine Rotation des KS 2 stattfand. Den translatorishen Anteil kann man am vierten Spaltenvektor ablesen, und die Koordinaten des Ursprungs des KS 2 gemessen im Basiskoordinatensystem 0 ergeben sih zu: x0 = 12 und Yo = -/1. Berehnet man zur Kontrolle auh noh die Transformationsmatrix OT = r~l ~ ~ -~1 1 I 0 0 I 0 ' I so zeigt sih, daß der Ursprung des Koordinatensystems der Ahse I bei x0 = 0 und Yo = -1 1 liegt; das Koordinatensystem I ist um -90 zur Ausgangslage gedreht (vgl. Bild A-24). In einem weiteren Beispiel soll gezeigt werden, daß auh Rotationen des KS 2 in der Transformationsmatrix abgebildet werden. Beispie/2 0 1 = -90 und 0 2 = 1 35" seien gegeben. Gesuht sind Lage und Orientierung des KS 2 beshrieben im KS 0. Gesuht ist also die Transformationsmatrix gt. in der Gesamtrotation und Gesamttranslation des KS 2 beshrieben in Basiskoordinaten abzulesen sind. x 0 : b <=> x 0 = 12' os 45 = a <=> = ~ - I sin 45 y = C <=> y = 1 2 sin Bild A-25 Zweiarmmanipulator für e 1 = -90 und e 2 = 135

25 A.5 Vorwärts- und Rükwärtstransformation beim Zweiarmmanipulator 311 formationsmatrix für diese beiden Winkelwerte zu: 1 Unter Anwendung der Gesetzmäßigkeit sin 45 = os 45 = -.J2 ergibt sih die Trans- OT- 2 - }_.J2 }_.J J2 0 l2os 45 }_.J2 0 -l! + l2sin Die obere 2*2-Matrix verdeutliht die 45 -Rotation des KS 2 nah links ausgedrükt im KS 0. Der dritte Spaltenvektor gibt die Lage des Ursprungs gemessen im KS 0 an. ZUSAMMENFASSUNG Man sieht mit Hilfe der beiden Beispiele, daß durh Berehnung der Gesamttransformationsmatrix ~T sowohl die Gesamtrotation als auh die Gesamttranslation abgebildet wird. Die Berehnung dieser Matrix läßt sih sehr gut in eine Programmiersprahe übertragen, was einen großen Vorteil gegenüber anderen Methoden darstellt. 2 A.5.2 Rükwärtstransformation Bei diesem Rehenweg muß aus der Angabe von Position und Orientierung des KS 2 im Basiskoordinatensystem 0 auf die Gelenkwinkel 9; geshlossen werden. Beispiel3 Der Einfahheit halber werde Beispiel 2 "rükwärts" gerehnet. Es ist somit die Gesamttransformationsmatrix mit folgenden Werten gegeben: }_.J J2 2 0 l2os 45 OT- }_.fi }_.fi l2sin I Mit Hilfe dieser Matrix müssen dann die Winkelwerte 0; berehnet werden. Zur Lösung des Problems betrahtet man sih die allgemeine Transformationsmatrix gt os(8i +82) -sin(81 +82) 0 l2os(81 +82)+lloselj [ 0T= sin(81 +82) os(81 +82) 0 l2sin(81 +82)+l1sin Man sieht, daß man die Gesamttransformationsmatrix vereinfaht shreiben kann als -b 0 txj a 0 ty (8a)

26 312 A Kinematishe Beshreibung von Industrierobotern Setzt man beide Matrizen gleih, erhält man folgende Gleihungen: a = os (81 +82) b=sin(81+82) fx = /2os(81 +82)+/1COS 81 fy = /2sin(81 +82)+/1sin 81 (9) (10) (ll) ( 12) Die Werte von a, b, fx, ty, 11 und /2 sind vorgegeben, gesuht sind die beiden Winkelwerte für die Gelenkstellungen. Setzt man GI. (I 0) in GI. ( 12) ein, erhält man: fy = l2b+llsin 91. ty -l2b ==> sm 91 =...::... ll t -l2b ==> 81 = arsin-'y Mit GI. (9) ergibt sih: a = os(81 +82) aros a = = aros a- 92 II (13) (14) Setzt man die gegebenen Zahlenwerte für a, b, tx, fy,! 1 und /2 ein und berehnet das Ergebnis "mit einem Tashenrehner", so erhält man als Ergebnis 91 = -90 und 92 = 135. Damit sheint auf den ersten Blik das gewünshte Ergebnis erzielt und die Rükwärtstransformation gelöst. Dem ist jedoh niht so. Nimmt man an, daß beide Ahsen des Zweiarmmanipulators links oder rehts herum drehen können, d.h. negative und positive Winkelwerte annehmen können, so können diese beiden bislang errehneten Winkel niht die einzige Lösung sein. Das "Problem" liegt beim Tashenrehner und an der Eindeutigkeit der Cosinus- und Sinus-Funktion. Die Arus-Cosinus-Funktion z.b. bildet "im Tashenrehner" nur Winkelwerte im Bereih 0 -;::: a -;::: 180 ab. Es existiert aber für 91 niht nur die Lösung 9 1 = -90 sondern auh 91 = Ähnlih bildet die Arus-Sinus-Funktion "im Tashenrehner" nur für Winkelwerte im Bereih -90 -;::: a -;::: 90 ab. Auh hier exisitert neben der Lösung 82 = 135 noh die Lösung 92 = -225 Dies führt somit zu insgesamt vier Lösungsmöglihkeiten der Ahsstellungen bei der Rükwärtstransformation des Zweiarmmanipulators: LI ( -90 ; 135 ) L2 ( -90 ;-225 ) L3 ( 270 ; 135 ) L4 ( 270 ;-225 ) Aus diesen vier Lösungsmöglihkeiten muß die Steuerung nun diejenige berehnen, die vom Roboter überhaupt angefahren werden kann; d.h. diejenige Stellung, die innerhalb des vorgegebenen Arbeitsbereihes liegt. In diesem Beispiel ist dies nur LI.

27 A.5 Vorwärts- und Rükwärtstransformation beim Zweiarmmanipulator 313 ZUSAMMENFASSUNG Es zeigt sih, daß bei der Rükwärtstransformation immer Mehrdeutigkeiten auftreten, da mit transzendenten Funktionen gearbeitet werden muß und diese niht eineindeutig sind. Dies führt dazu, daß die Steuerung aus einer Vielzahl von Lösungsmöglihkeiten die rihtige auswählen muß. Die Anzahl der Lösungsmöglihkeiten und somit auh der Rehenaufwand steigen mit der Anzahl der Ahsen. Ferner ist es bei mehrahsigen Robotern niht mehr so einfah wie beim Zweiarmmanipulator möglih, durh einfahes Gleihsetzen von Matrizen die Lösungen herzuleiten. Dazu sind wesentlih kompliziertere Lösungsalgorithmen notwendig, auf die hier niht eingegangen werden kann. Es sei auf die Literatur (z.b. SCHWINN, Grundlagen der Roboterkinematik) verwiesen.

28 314 B Bahnberehnungen B.l Grundlagen Das prinzipielle Vorgehen bei der Roboterprogrammierung ist immer gleih. Der Anwender teaht die relevanten Punkte, die zur Durhführung der Handhabungsaufgabe benötigt werden. Die Steuerung speihert diese Punkte ab, meistens in Gelenkkoordinaten. Dann wird im eigentlihen Roboterprogramm vom Programmierer festgelegt, in welher Reihenfolge die Punkte abzufahren sind. Ferner wird bestimmt, wie die Bahn des TCP; d.h. das Bewegungsmuster der Ahsen, zwishen den Punkten aussieht. Hierzu stehen prinzipiell folgende Möglihkeiten zur Verfügung: PTP-Steuerung (asynhron und synhron) Multipunkt-Steuerung Bahnsteuerung (Gerade, Kreis et.) Wie erwähnt, brauht die Steuerung dazu einen sog. Interpolator, der die Aufgabe hat, den Stellweg (Winkel bei rotatorisehen Ahsen und Wege bei linearen Ahsen) und die Ahsgeshwindigkeit für jede Ahse für die auszuführende Bewegung zu berehnen. Art und Umfang der Berehnungen untersheiden sih je nah Steuerungsart, die verwirkliht werden soll. Bei der PTP-Steuerung interessieren nur Anfangs- und Endpunkt der Bewegung. Den Anwender interessiert es niht, auf welhem Weg die Roboterahsen das Ziel erreihen. Der Interpolator brauht also keine mathematishe Bahn zwishen den Anfangs- und den Endpunkt zu legen. Er kann direkt die Differenz der Gelenkkoordinaten der einzelnen Ahsen, die zwishen Anfangs- und Endpunkt liegen, berehnen und mit diesen Werten dann den Bewegungsablauf berehnen. Je nahdem, ob die Ahsen zur gleihen Zeit zum Stillstand kommen oder niht, untersheidet man zwishen synhroner und asynhroner PTP-Steuerung. Bei synhroner PTP-Steuerung ist neben den zu verfahrenden Gelenkwinkeln auh noh ein Geshwindigkeitsprofil für jede Ahse zu berehnen. Bei der asynhronen PTP-Steuerung entfällt dies, da jede Ahse versuht, sih mit maximaler Ahsgeshwindigkeit zu bewegen; die Ahse, die den kürzesten Weg zurükzulegen hat, beendet ihre Bewegung zuerst. Bei der Multipunkt-Steuerung- die auh als Quasi-Bahnsteuerungbezeihnet wird- ist der Anwender daran interessiert, daß die Bewegung zwishen Anfangs- und Endpunkt auf einer bestimmten Bahn erfolgt. Man untersheidet zwei Arten der Multipunkt-Steuerung (vgl. Kapitel 7.3.3): Beim Abfahren einer beliebigen Raumkurve muß der Bediener alle Zwishenpunkte geteaht haben. Die Bewegung zwishen den einzelnen Punkten ist eine PTP Bewegung und wird genauso berehnet wie diese. Diese Art der Bewegung stellt somit mehr eine softwaremäßige Erleihterung für den Bediener dar, damit er sih Programmieraufwand sparen kann; bei I 00 Zwishen punkten, die alle angefahren werden müssen, ist die Zeitersparnis beim Programmieren erheblih.

29 B.2 Industrieroboter mit maximal drei Ahsen 315 Beim Linearisieren einer Bahn muß vom lnterpolator eine Gerade im Raum berehnet werden, die zwishen Anfangs- und Endpunkt liegt. Auf dieser Geraden werden dann Zwishenpunkte berehnet - die Anzahl wird entweder vom Bediener vorgegeben oder ist im Interpolator implementiert. Diese berehenten Zwishenpunkte werden dann wieder in PTP-Fahrt angefahren, wobei auh hier wieder das "PTP-Berehnungs-Verfahren" angewendet wird. Ganz anders verhält es sih bei der Bahnsteuerung. Hier muß sih der Roboter auf einer genau definierten mathematishen Kurve - meistens Gerade oder Kreis - zwishen Anfangs- und Endpunkt bewegen. Die einzelnen Ahsen müssen also in Lage und Geshwindigkeit so abgestimmt werden, daß diese Bahn abgefahren werden kann. Dies ist mit erheblihem Rehenaufwand verbunden. Der Rehenaufwand hängt ferner auh noh von der Anzahl der bewegten Roboterahsen ab. Wie in Anhang A aufgezeigt, muß bei Robotern mit mehr als drei Ahsen die Transformationsmatrix bestimmt werden. Dies und die Lösungsermittlung für die Vorwärtsund Rükwärtstransformation führen zu aufwendigen Berehnungen. Bei fast allen Roboterherstellern wird als Basiskoordinatensystem ein feststehendes kartesishes Koordinatensystem verwendet. Dies bedeutet, daß sämtlihe Gelenkkoordinaten immer in kartesishe Koordinaten umgerehnet werden müssen. Das kartesishe Grundsystem hat den Vorteil, daß die Bedienbarkeit gesteigert wird, da man davon ausgehen kann, daß dieses Koordinatensystem vielen bekannt ist. B.2 Industrieroboter mit maximal drei Ahsen Auh hier lassen sih prinzipiell die drei oben genannten Steuerungsarten (PTP et.) verwirklihen. Bei den dreiahsigen Industrierobotern brauht man niht so aufwendige Lösungsstrategien zu ermitteln, da sie mit ihren drei Ahsen immer eine feste Orientierung haben und lediglih die Bewegung des TCP im Raum interessiert. Dadurh bekommt man einfahe Transformationsgesetzmäßigkeiten. Den kinematishen Aufbau dieser Roboter gestaltet man so, daß sie einem der drei Koordinatensysteme kartesishes Koordinatensystem, Zylinderkoordinatensystem oder Kugelkoordinatensystem entsprehen. Man hat allerdings auh hier bei der Rükwärtstransformation von Zylinderbzw. Kugelkoordinaten in kartesishe Koordinaten mit Eindeutigkeitsproblemen zu kämpfen (vgl. Kapitel 7.2.1). Allerdings ist ein Interpolator für solhe Anwendungen wesentlih einfaher zu entwikeln als für mehrahsige Industrieroboter.

30 316 B Bahnberehnungen B.2.1 Dreiahsiger Roboter mit kartesishem Arbeitsraum Dieser Roboter soll aus drei rehtwinklig im Raum zu einander angeordneten Shubgelenken (d.h. Linearahsen) bestehen. z-ahse TCP Bild B-1 x-ahse Dreiahsiger Roboter mit kartesishem Arbeitsraum Die Stellung des Endeffektors ist gegeben durh die drei Ahspositionen (Ahse 1, Ahse 2, Ahse 3), also durh (sb sz, s3). Die Steuerung brauht lediglih die eingegebenen Werte SJ, sz und s3- die Verfahrwege der Linearahsen- an die Lageregelung weiterzugeben und kann damit den Endeffektor zum gewünshten Zielpunkt bewegen. Die Umrehnung der Punkte im Raum ins kartesishe Koordinatensystem, das hier als Basiskoordinatensystem eingezeihnet ist, ist trivial. Es gilt: P (x,y,z) mit X=S( y=s2 Z = S3 Bei dieser Anordnung der Roboterahsen sind die Gelenkkoordinaten gleih den Koordinaten im xyz-basiskoordinatensystem; das Gelenkkoordinatensystem entspriht somit dem Basiskoordinatensystem (auh Weltkoordinatensystem genannt). Von daher treten auh bei der Koordinatentransformation keine Probleme auf. B.2.2 Dreiahsiger Roboter mit zylindrishem Arbeitsraum Hierbei handelt es sih um einen Roboter mit einem Drehgelenk (Ahse 1) und zwei translatorishen Ahsen (Ahse 2 und Ahse 3). Die drei Ahsen sind folgendermaßen angeordnet: Ahse 1 dreht um die in der Skizze eingezeihnete z-ahse, während Ahse 2 Ahse 3 in z-rihtung auf- bzw. abwärts bewegen kann. Ahse 3 selbst kann als Shubahse linear ein- bzw. ausfahren.

31 B.2 Industrieroboter mit maximal drei Ahsen 317 z-ahse Ahse 3 (Teleskopahso) Ahso 2 (Vershiebe ahse) TCP Bild B-2 Dreiahsiger Roboter mit zylindrishem Arbeitsraum Auh hier gilt, wie shon in Kapitel erwähnt: Wenn man die Lage des TCP 1m Raum angeben will, hat man zwei Möglihkeiten: Angabe der jeweiligen Ahsstellung (Gelenkkoordinaten) Die Koordinatenbeshreibung des TCP in Bezug auf das Gelenkkoordinatensystem ergibt sih zu P (Ahse 1, Ahse 2, Ahse 3) mit Ahse 1 = a 1 Ahse 2 = s2 Ahse 3 = s3. Bei dieser Angabe treten keine Probleme mit Mehrdeutigkeilen auf. Angabe mit dem Bezugssystem Basiskoordinaten xyz Die Koordinatenangabe des TCP erfolgt bezogen auf das Basiskoordinatensystem xyz: P (x,y,z) Will man von Ahskoordinaten in das Basissystem xyz umrehnen, so ergeben sih dabei keine Probleme, und die Transformationsgesetze für den Punkt P (x,y,z) lauten: X= s3 COS UJ y=s 3 sina 1 z = s2 Will man hingegen vom Basissystem xyz in Ahskoordinaten umrehnen, so ergeben sih die beshriebenen Transformationsprobleme. Die Transformationsgleihungen lauten: a 1 = artan ylx s 2 = z S3 = ~rx-::2-+-y-::-2

32 318 B Bahnberehnungen B.2.3 Dreiahsiger Roboter mit kogeiförmigem Arbeitsraum Dieser Roboter besteht aus zwei rotatorisehen Ahsen (Ahse I und Ahse 2) und einer translatorishen Ahse (Ahse 3). Ahse I dreht um die in der untenstehenden Abbildung eingezeihnete z-ahse. Ahse 3 sitzt mit einem weiteren Drehgelenk an Ahse I. Dieses Drehgelenk stellt Ahse 2 dar. Das Drehgelenk der Ahse 2 dreht niht wie Ahse I um die z-ahse, sondern senkreht dazu. Ahse 3 ist eine Shubahse und kann somit linear ein- und ausfahren. x-ahse Bild B-3 Dreiahsiger Roboter mit kugelförmigem Arbeitsraum Auh hier ist die Stellung des Endeffektors eindeutig durh die Stellung der Ahspositionen (Ahse I, Ahse 2, Ahse 3) gegeben. Dabei ist die Lage des TCP im Raum durh die Angabe P (Ahse 1, Ahse 2, Ahse 3) mit Ahse 1 = a 1 Ahse 2 = a2 Ahse 3 = s3. eindeutig beshrieben. Auh hier ergeben sih keine Mehrdeutigkeiten, was die Stellung des Roboters angeht. Die Steuerung brauht lediglih die eingegebenen Werte a" a2 und s 3 an die Lageregelung weiterzugeben und kann damit den Endeffektor zum gewünshten Zielpunkt bewegen. Ähnlih wie bei dem dreiahsigen Roboter mit zylindrishem Arbeitsraum hat man, neben den Gelenkkoordinaten, eine weitere Möglihkeit, die Lage des TCP im Raum anzugeben: sie kann auh im Basiskoordinatensystem xyz beshrieben werden: P (x,y,z) mit x = s3 sin a2 os a, y = s3 sin a2 sin a, z=s3 osa2+l1 (L 1 = Abstand zwishen Drehgelenk Ahse 1 und Drehgelenk Ahse 2) Diese Transformationsgesetze gelten, wenn man von gegebenen Ahskoordinaten in Basiskoordinaten umrehnen will. Hierbei ergeben sih keine Probleme mit der Eindeutigkeit der Winkelfunktionen.

33 B.3 Punktsteuerungen für mehr als drei Ahsen 319 Anders verhält es sih beim Umrehnen von Basiskoordinaten in Gelenkkoordinaten. Hier hat man wieder die Probleme der Eindeutigkeit. Es gelten die Transformationsgleihungen: a1 = artan ylx a2 = aros ((z- L1) I s3) SJ = ~x2+y2 +(z-lj)2 B.3 Punktsteuerungen für mehr als drei Ahsen B.3.1 Interpolation für eine einzelne Ahse Das prinzipielle Vorgehen bei der Berehnung der Bahnparameter soll zunähst der Einfahheit halber an einer einzelnen Ahse dargestellt werden. Es sollen ferner folgende grundlegende Bedingungen gelten: für die Beshleunigungs- und Bremsphase der Ahse gilt a = konst der Betrag der Beshleunigung soll gleih dem Betrag der Verzögerung sein abeshl = -abrems Mit Hilfe der kinematishen Grundgleihung für die gleihförmig beshleunigte Bewegung (a = konst) und für die gleihförmige Bewegung (a = 0 und v = konst) ergeben sih die nahfolgende Beziehungen. 1-=-t-----i--'-lf'-1!$:--- t [ s l ~~~~~-r-~r-6~1~ \ : ' tr s J t[ s l Bild B-4 a+, v+ und s-t-diagramm für eine Bewegung einer Roboterahse mit Erreihen der maximalen Ahsgeshwindigkeit vmax

34 320 B Bahnberehnungen Aus Bild B-4 ergeben sih anshaulih die folgenden Beziehungen für die Zeiten: to fbeshl,beginn ( 1) tbeshl,ende fvkonst,ende fbeshl,ende Somit ergibt sih At beseht fvkonst,beginn fbrems,beginn fges = tbeshl,ende- fbeshl,beginn = tbeshl,ende - to (2) (3) (4) (5) (Zeit, in der aus der Ruhe bis Vmax beshleunigt wird; d.h. a > 0) Atvkonst = fvkonst,ende - fvkonst,beginn (6) (Zeit, in der mit Vmax = konst gefahren wird; d.h. a = 0) = fbrems,ende- tbrems,beginn = fges- tbrems,beginn (Zeit, in der bis zum Stillstand verzögert wird; d.h. a < 0) Ferner gilt Atbrems = Atbeshl (Bremszeit = Beshleunigungszeit, da abeshl = -abrems) Somit ergibt sih für die Gesamtzeit fges des Vorganges folgende Gleihung: fges = Atbeshl + Atvkonst + Atbrems fges = 2 Atbeshl + Atvkonst Für die Beshleunigung ergibt sih: a(t) amax für to = fbeshl,beginn ~ t ~ tbeshl,ende a(t) 0 für fvkonst,beginn < t ~ fvkonst,ende a(t) -amax für tbrems,beginn < t ~ fbrems,ende = fges Für die Geshwindigkeit ergibt sih: v(t) v(t) amaxt Vmax = amax Atbeshl für to = fbeshl,beginn ~ t ~ tbeshl,ende für fvkonst,beginn < t ~ fvkonst,ende v(t) amax (Atbeshl + tbrems,beginn) - amax t (15) für tbrems,beginn < t ~ tbrems,ende = fges Für den zurükgelegten Weg ergibt sih: 1 s(t)"" 2amaxt 2 für tbeshl,beginn ~ t ~ tbeshl,ende (16) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) 1 2 s(t) = amax Arbeshi t -2amax Arbeshi für tvkonst,beginn < t ~ tvkonst,ende (17) s(t) = amax ( -~(Atteshl +ttrems,beginn )+( Arbeshi +tbrems,beginn )r -~t 2 ) (18) für fbrems,beginn < t ~ tbrems,ende = fges

35 B.3 Punktsteuerungen für mehr als drei Ahsen 321 Herleitung von GI. (15): v(t) Vmax- Gmax (t- tbrems,beginn) Herleitung von GI. (17): Gmax ßtbeshl- Gmax (t- tbrems,be[?inn) Gmax ßtbeshl- Gmax t + Gmax fbrems,beginn Gmax (ßtbeshl + tbrems,beginn) - Gmax t s(t) = _!_Gmax M{;eshl + Vmax (t- Mbeshl) 2 ±amax ßt{;eshl + Gmax ßtbeshl (t- ßtbeshl) I Gmax ßt beshl + Gmax ßtbeshl t- Gmax ßt beshl Gmax ßtbeshl t--gmax ßt beshl 2 Herleitung von GI. (18): Für den bis im dritten Zeitintervall zurükgelegten Weg ergibt sih: s(t) Sbeshl + Svkonst + Sbrems mit beshl - 2Gmax ßt beshl Svkonst = Vmax ßtvkonst = Gmax ßtbeshl ßtvkonst (I) (II) (III) sbrems = vo t + ~at 2 (allgemein) hier: t = t- tbrems,beginn ergibt vo = Vmax = Gmax ßtbeshl a = -Gmax Sbrems - Gmax ßtbeshl (t- tbrems,beginn)- 2amax (t- tbrems,beginn) (IV) Setzt man nun (II), (III) und (IV) in (I) ein ergibt sih: s(t) = 2 a max ßt beshl + a max ßt beshl ßt vkonst 1 2 +amax ßtbeshl (t- tbrems,beginn )-± Gmax (t- tbrems,beginn f 2 a max ßt beshl + a max ßt beshl ßt vkonst + a max ßt beshl t ( 2 2 ) -Gmax ßtbeshl tbrems,be[?inn- 2Gmax t -2 t tbrems,beginn + tbrems,beginn 2 a max ßt beseht + a max ßt beshl ßt vkonst + a max ßt beshl t 1 2 ( ) -Gmax ßtbeshl tbrems,beginn- Gmax 2t -t tbrems,beginn +2tbrems,beginn

36 322 B Bahnberehnungen amax ( ~ ßtEeshl + ßtbeshl ßtvkonst + ßtbeshl t I 2 I 2 ) - ßtbeshl fbrems,beginn- 2t + t fbrems,beginn -2 t brems,be[?inn mit tbrems,be[?inn = ßtbeshl + ßtvkonst ergibt sih: s(t) = amax ( ~ ßtEeshl + ßtbeshl ßtvkonst + fbshl t amax ( ~ ßtEeshl + ßtbeshl ßtvkonst + fbeshl t 2 I 2 I 2 ) - ßtbeshl- ßtbeshl ßtvkonst-2t + t tbrems,beginn -2 t brems,be[?inn a (_!_ ß 2 - ß 2 - _!_ 2 ß max 2 tbeshl tbeshl 2 + t tbrems,be[?inn -2 t I 2) tbrems,be[?inn + fbeshl t s(t) = amax ( -~(ßrleshl +t1jrems.beginn )+r(ßrbesh/ +tbrems.be[?inn )-~t 2 ) ( 18) Im allgemeinen Berehnungsfall muß man davon ausgehen, daß von der Herstellerseite die Werte für Vmax und amax bekannt sind. Die Aufgabenstellung wird also folgendermaßen lauten: Die Roboterahse steht auf dem Startwert s(t0) und soll auf den Endwert s(tf?e:j gefahren werden (Bsp.: Drehung einer rotatorisehen Ahse vom Startwinkel 0 bis zum Endwinkel 200 ). Aufgrund dieser Angaben sind die entsprehenden Werte zu ermitteln. Relativ einfah lassen sih die Beshleunigungszeiten ßtbeshl = Mbrems- GI. (8) - ermitteln. Nah GI. (14) gilt (19) Shwieriger wird es für die Bestimmung der Gesamtzeit des Vorganges tf?es Hierzu ist folgende Herleitung notwendig: Nah GI. (18) gilt s(t) = ~Qltl{LX ßt1Jesh/ + Vmax ßtvkonst + Vmax (t-tbrems,be[?inn) für tbrems,be[?inn < t::; tbrems,ende = t f?i's

37 B.3 Punktsteuerungen für mehr als drei Ahsen 323 für t = tges ergibt sih somit nah den GI. (1), (II), (III) und (IV) s(tgs) = ~amat 11tl;eshl + Vmm 11tvkonst + Vmm (t,r;es-tbrems.beginn) -~amm (t,r;es -tbrems,be,r;inn ) 2 Diese Gleihung vereinfaht sih mit GI. (7) und GI. (8) zu s(t,r;s) I 2 I 2 2amax 11t beseht + Vmax 11tvkonst + Vmax 11tbsht - 2amax 11t beseht Vmax 11tvkonst + Vmax 11tbesht V mm ( 11t vkonst + 11tbesht ) Aus dieser Gleihung läßt sih die Unbekannte Mvkonsl ermitteln: s(t gs) 11t vkons/ = t beseht Vmax Mit GI. ( 19) läßt sih dann auh GI. (9) lösen: \'(t ) Vma.x ges tf'cs = Mbeseht amat Vmm (20) V mat s(t f;es) V mm tf;cs = amat Vmar amax \'(t ) Vmax,,r;es tf;cs = amax Vmm Dieses einfahe Interpolationsverfahren soll zunähst an einem Beispiel erläutert werden. (20a) Beispiel 1 Eine rotatorisehe Roboterahse soll vom Wert s(to) = 0" auf den Endwert s(tgs) = 200" gebraht werden. Die Herstellerangaben für die maximale Ahsgeshwindigkeit Vmax und die maximale Ahsbeshleunigung amax sind: Vmax = IOOo s-1 und amax = 200o s-2 Nah GI. (19) ergeben sih für die Beshleunigungs- und die Bremszeit folgende Werte: A A Vmax IOOos-l ufbeseht = utbrms = amm = 2000 S_2 => 11tbseht = 11tbrems = 0,5s Mit Hilfe von GI. (20) kann dann Mvkonst ermittelt werden: S( t f;cs) t vkom/ = t beseht = 1 0,5 S => 11t vkons/ = 1,5 S ' V nl(lt I ooo s- Somit ergibt sih die Gesamtzeit des Bewegungsvorgangs nah GI. (9) zu: t~s = 211tbsht + 11tvkons/ = 2 0,5 S +I,5 S => t,r;s = 2,5 S Damit ist der gesamte Bewegungsvorgang berehenbar. Man hat mit diesen Gleihungen leider noh niht alle Möglihkeiten abgedekt, die eintreten können. Dies sei an einem einfahen Beispiel demonstriert:

38 324 B Bahnberehnungen Beispiel2 Eine rotatorisehe Roboterahse soll vom Wert s(to) = 0 auf den Endwert s(tges) = 200 gebraht werden. Die Herstellerangaben für die maximale Ahsgeshwindigkeit Vmax und die maximale Ahsbeshleunigung amax sind: Vma.x = 200 s 1 und ama.x = 50 s 2 Nah Gl. (19) ergibt sih für die Beshleunigungs- und die Bremszeit folgender Wert: v 200 s-1 Mbeshl = Mbrems =...!!2!!:!... = 2 ~ 11tbesh/ - 11tbrems = 4s amax 50 S- Mit Hilfe von Gl. (20) kann dann Mvkonst ermittelt werden: s( t ges) tvkonst =----!1tbeshl = 1-4s ~ Mvkonst =-3s Vmax 200 S- Eine negative Zeit, in der mit konstanter Geshwindigkeit Vma.x gefahren wird, gibt physikalish keinen Sinn. Die Interpretation dieser Variante liegt darin, daß der Gesamtweg für diesen Vorgang so kurz ist, daß die Maximalgeshwindigkeit vmax niht erreiht werden kann. Vielmehr muß die Bewegung der Ahse direkt vom Beshleunigen (a > 0) ins Verzögern (a < 0) übergehen. Diesen Vorgang verdeutliht Bild B-5. Tritt dieser Fall ein, so wird die maximale Geshwindigkeit der Ahse zu keinem Zeitpunkt erreiht. Vielmehr geht die Ahse direkt vom Beshleunigungszustand in den Bremszustand über. Damit müssen auh die Bewegungsgleihungen geändert werden. Es ergeben sih somit nur noh zwei Bewegungszustände, sprih Zeitintervalle, für die die entsprehenden Bewegungsgleihungen zu finden sind. t [ s) "-lv[m'-[: : -~ : 0. ' t[s) s [m) Bild B-5 a-t-, v-t- und s-t-diagramm für die Bewegungen einer Roboterahse, bei der die maximale Ahsgeshwindigkeit vmax niht erreiht wird

39 B.3 Punktsteuerungen für mehr als drei Ahsen 325 Vorab eine Zusammenfassung der Zeiten to fbeshl,ende fbesh/,ende Somit ergibt sih!j.tbeshl fbeshl,beginn lbrems,beginn fges fbeshl,ende- fbeshl,beginn fbesh/,ende - to lbrems,beginn - to (Zeit, in der aus der Ruhe beshleunigt wird; d.h. a > 0) Ferner gilt IJ.tbrems = /J.tbeshl (Bremszeit = Beshleunigungszeit, da abeshl = -abrems) Somit ergibt sih für die Gesamtzeit tges des Vorgangs folgende Gleihung: t ges l!.tbeshl + l!.tbrems fges 2 IJ.tbeshl t ges 2 l!.tbrems Für die Beshleunigung ergibt sih: a( t) = amax für to = fbesh/,beginn ~ t ~ fbeshl,ende (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) a(t) = -amax Für die Geshwindigkeit ergibt sih: v(t) = amax t v(t) = 2amax fbeshl,ende- amax t Für die Wege ergibt sih: s ( t ) --amaxl - I 2 2 für tbrems,beginn < t ~ lbrems,ende = t ges s( t) = amax ( -t fesh/,ende + 2t fbeshl,ende - ~ t 2 J (28) für to = fbesh/,beginn ~ t ~ fbesh/,ende (29) für fbrems,beginn < t ~ tbrems,ende = t ges (30) für to = fbeshl,beginn ~ t ~ fbesh/,ende (31) Herleitung von GI. (30): allgemein v(t) vo + a t für to = fbeshl,beginn ~ t ~ fbesh/,ende (32) hier gilt vo amax fbesh/,ende und a = -amax somit v(t) amax fbeshl,ende - amax (t- fbrems,beginn) mit GI. (22) v(t) amax fbeshl,ende- amax(t- fbeshl,ende) amax fbeshl,ende- amax t + amax fbeshl,ende 2amax fbeshl,ende - amax t

40 326 B Bahnberehnungen Herleitung von GI. (32): 1 allgemein s(t) =so +vot+-at2 2 mit t = t - tbrems )Jeginn = t - fbeshl,ende und ( ) s 0-2amax tbeshl,ende v( 0) = amax tbeshl,ende a = -amax somit s(t) ±amax iteshl,ende + amax fbeshl,ende (t-tbeshl,ende) -±amax(t-tbeshl,ende ) ( 2 ) 2amax tbeshl,ende +amax ttbeshl,ende-tbeshl,ende 1 ( 2 2 ) -2 amax t - 2t fbeshl,ende + t beshl,ende ( amax 2 t beshl,ende + t fbeshl,ende - t beshl,ende ) 2 t + t fbeshl,ende - 2 t beshl,ende s(t) = amax( -teshl,ende +2ttbeshl,ende -±t 2 ) Zur Berehnung des Umshaltpunktes setzt man wiederum den bekannten Wert für s(tges) in GI. (32) ein und erhält dann s(tges) fbeshl = -- amax Eine andere Möglihkeit, GI. (33) herzuleiten, ist der Ansatz, daß nah tbeshl der halbe Weg zurükgelegt sein muß. Somit ergibt sih GI. (31) zu: s(tbeshl)- -amax tbeshl- -s(tges) 2 2 ~ s(t ges) = amax feeshl s(tges) ~ fbeshl = --- amax Für das oben erwähnte Beispiel ergibt sih dann folgende Lösung: s(tges) ~ooo r;:; 50 s- tbeshl = --- = =...;2 S amax (33)

41 B.3 Punktsteuerungen für mehr als drei Ahsen 327 B.3.2 Kopplung mehrerer Ahsen Für einen Industrieroboter, der ja per Definition aus mindestens drei frei programmierbaren Ahsen besteht, muß das oben beshriebene Verfahren für eine Ahse entsprehend erweitert werden. Die prinzipiellen Bahngleihungen aus dem vorherigen Kapitel verändern sih niht. Zunähst sei auh hier der Fall betrahtet, daß die Maximalgeshwindigkeit Vmax erreiht wird. Der Index i bezeihnet die Nummer der jeweiligen Roboterahse. Somit ergibt sih für die Ahsbeshleunigungen für to,i = tbeshlbeginnj ::; t::; fbeshl,endej (34) für fvkonstbeginn,i < t::; fvkonst,ende,i (35) für tbremsbeginnj < t::; tbrems,ende,i = t gesj (36) Oj (t) = Omaxj ai(t)=o für diegeshwindigkeiten Vj (t) = Omaxj t für toj = fbeshlbeginnj ::; t::; tbeshl,ende,i (37) vi(t)=vmax,i =amaxjlltbesh/j für fvkonstbeginn,i <t::=;tvkonst,endej (38) v;(t) = Omax,;{lltbeshl,i + tbrems,beginn,i )- Omax,i t für den zurükgelegten Weg I Si (t) = -amax,i t 2 2 s; (t) = Omaxj Mbeshl.i t-2 maxj M{;esh/j I für tbremsbeginnj < t::; tbrems,ende,i = t gesj (39) für foj = fbeshlbeginnj::; t::; fbeshl,ende,i (40) für fvkonstbeginnj < t::; fvkonst,ende,i (4I) s; (t) = 0 maxj ( -~(llt{;eshl,i + t{;remsbeginn,i )+ t( Mbeshl,i + fbremsbeginn,i )- ~ f 2 ) für tbremsbeginnj < t::; fbrems,ende,i = fgesj (42) Hierbei tritt allerdings folgendes Problem auf: Wenn eine Bewegung des Roboters von einem Punkt im Raum zu einem anderen Punkt erfolgen soll, so müssen sih eventuell alle gekoppelten Ahsen bewegen. Sie werden aber nur in Ausnahmefällen den gleihen Weg zurükzulegen haben. Mit den obigen Gleihungen [GI. (34) bis GI. ( 42)] lassen sih für jede der i Ahsen Bahnfunktionen berehnen, die von allen anderen Ahsen unabhängig sind. Werden diese unabhängigen Funktionen an die Steuerung - und von da aus die Lageregelung der jeweiligen Ahse - weitergegeben, so spriht man von einer unsynhronisierten PTP Bewegung - auh asynhrone PTP-Bewegung genannt. Das Bewegungsende der einzelnen Ahsen fällt hierbei im allgemeinen niht zusammen.

42 328 B Bahnberehnungen Will man die Bewegung der einzelnen Ahsen synhronisieren - synhrone PTP Bewegung -, so müssen die Bewegungsgleihungen der einzelnen Ahsen angeglihen werden. Man ermittelt die Ahse, deren Bewegungsvorgang am längsten dauert, und gleiht alle anderen daran an. tges,max = max (tges) Auh hier ergibt sih die Beshleunigungszeit der Ahse i nah GI. (19) zu: amax,i Atbeshl,i = -- Vmax,i Ferner läßt sih nah GI. (20a) die Gesamtzeit für die Bewegung ausrehnen nah: tges,i = Vmax./amax,i + s(tges)lvmax,i Zur Synhronisation wird nun tges,i der einzelnen Ahse gleih dem Maximum tges,max gesetzt. Es ergibt sih: tges,max = Vmax,/amax,i + s(tges)fvmax,i (43) Wie man sieht, hat man zur Anpassung der jeweiligen Ahse zwei Möglihkeiten: Man kann in GI. (43) Vmax,i oder amax,i variieren, um die Zeitanpassung durhzuführen. Dadurh ist der Index max niht mehr gerehtfertigt und soll durh red ersetzt werden. Für die Reduzierung der Ahsbeshleunigung ergibt sih folgende Gleihung: _ Vmax,i s(tges) tges,max (44) ared,i Vmax,i Für die Reduzierung der Maximalgeshwindigkeit erhält man: _ Vred,i s(tges) tges,max (45) amax,i Vred,i Löst man GI. (44) nah ared,i auf, erhält man: Vmax,i ared,i = '--,-(-----,-) s tges,i tges,max Vmax,i Löst man GI. ( 45) nah Vred,i auf, erhält man die quadratishe Gleihung: _I 1 2 Vred,i -lamax,i tges,max ± 4amax,i tges,max -s(tges,i)amax,i Es ergeben sih zwei Lösungmöglihkeiten, von der nur eine physikalish sinnvoll ist. Die reduzierte Geshwindigkeit Vred,i muß ja kleiner sein als die Maximalgeshwindigkeit vmax,i der jeweiligen Ahse. Da der Wurzelterm größer Null ist, muß das negative Vorzeihen gewählt werden. Man erhält: Vred,i -lamax,itges,max- 4amax,itges,max -s(tges,i)amax,i (48) Ähnlih wie bei der Interpolation für eine Ahse, kann es auh hier vorkommen, daß eine bzw. mehrere Ahsen niht die Maximalgeshwindigkeit in der zur Verfügung stehenden Zeit erreihen. Man erhält aus den GI. (27) bis (32): (46) (47)

43 B.3 Punktsteuerungen für mehr als drei Ahsen 329 für die Beshleunigung ai (t) = arnax,i für to,i = fbeshl,beginn,i ~ t ~ tbeshl,ende,i (49) für tbrernsbeginn,i < t ~ tbrerns,ende,i = t ges,i (50) für die Geshwindigkeiten Vi (t) = arnaxi t für to,i = fbeshl,beginn,i ~ t ~ tbeshl,ende,i (51) V i ( t) = 2arnax,i tbeshl,ende i - arnax,i t für tbrernsbeginnj < t ~ tbrerns,endej = t gesj (52) für die zurükgelegten Wege 1 Si (t) = -arnax,i t 2 2 für foj = tbeshl,beginnj ~ t ~ fbeshl,endej (53) Si ( t) = arnax,i ( -t leshl,ende,i + 2tbeshl,ende j t - ~ t 2 } für tbrerns}jeginnj < t ~ tbrerns,ende,i = t ges,i (54) Zur Berehnung des Umshaltpunktes setzt man wiederum den bekannten Wert für s(tges,i) in GI. (54) ein und erhält dann s(tges) lltbeshl,i = --- (55) arnax,i Eine andere Möglihkeit, GI. (55) herzuleiten, ist der Ansatz, daß nah Mbeshl,i der halbe Weg zurükgelegt sein muß. Somit ergibt sih wieder GI. (55). Damit ergibt sih die Gesamtzeit für den Vorgang zu: s(tges,i) fges,i = 2 -- arnax,i Bei der Synhronisation mehrerer Ahsen kann in GI. (56) der Wert tges,rnax eingesetzt und die Gleihung nah ared,i aufgelöst werden. Dadurh erhält man: _ s(tges,i) t ges,rnax ared,i (56) 4s(t ges,i) ~ ared,i = ---'-'--'- ( ges,rnax (57) Die andere Möglihkeit ist, daß man durh die Reduzierung der Maximalgeshwindigkeit Vrnax,i auf Vred,i wieder in ein Bewegungsmuster mit zwishenzeitliher konstanter Geshwindigkeit Vred,i kommt. Auf diese Herleitung sei hier verzihtet. Abshließend sei zu diesem Themengebiet bemerkt, daß es noh andere Verfahren wie z.b. Polynominterpolation zwishen zwei Punkten bzw. Interpolation mit kubishen Splines gibt, um die Bahnberehnung durhzuführen. Auf die Herleitungen sei hier mit Hinweis auf die weiterführende Literatur (z.b. Shwinn: Grundlagen der Roboterkinematik) verzihtet.

44 330 B Bahnberehnungen B.4 Bahnsteuerungen für mehr als drei Ahsen Viele Anwendungsgebiete in der Fertigungstehnik, in der Industrieroboter eingesetzt werden, wie Montage, Entgraten, Spritzlakieren Shweißen, Brennshneiden et. erfordern die Möglihkeit, den Endeffektor auf genau definierten Bahnen zu bewegen Bild B-6 Zusammenspiel mehrerer Bewegungsahsen eines IR zum Erzeugen einer Geraden (KUKA) Wie in Bild B-6 deutlih zu sehen ist, erfordert die Bewegung auf einer genau definierten Bahn im Raum, daß im allgemeinen Fall alle Ahsen des Roboters entsprehend vershieden geführt werden müssen. Der in der Anwendung am häufigsten vorkommende Fall bei der Bahnsteuerung ist, daß zwishen zwei oder mehreren geteahten Punkten irgendeine - mathematish definierte - Bahn gefahren werden muß, d.h. der TCP soll sih genau auf dieser Bahn bewegen. Dabei spielt die Orientierung des Endeffektors eine untergeordnete Rolle. Die Orientierung wird von der Anfangsorientierung kontinuierlih in die Endorientierung überführt. Diese beiden Orientierungen sind durh die geteahten Punkte gegeben.

45 B.4 Bahnsteuerungen für mehr als drei Ahsen 331 Endeffektor 0 Z Anfang ~ ) / \ P,;...: zu fahrende P. Bahn y X Bild B-7 Kontinuierlihe Überführung der Orientierung des Endeffektors von einer Anfangs- in eine Endorientierung Es gibt aber Anwendungen, die verlangen, daß die Orientierung bezüglih der Bahn konstant gehalten werden muß (z.b. beim Shweißen). ~ffektor... rr. ~l \ p D / ~~ P.A 1 zu fahrende n ang z y Bahn X Bild B-8 Konstante Orientierung des Endeffektors bezüglih der Bahn Ferner gibt es auh Roboterbewegungen, bei denen die Werkzeugposition bezüglih des TCP konstant bleibt (x-, y- und z-koordinaten) und nur die Orientierungswinkel verändert werden. Man kann dabei eine sog. Nikbewegung ausführen oder zusätzlih noh eine sog. Gierbewegung und eine sog. Rollbewegung. Diese Bewegungskombination nennt man Quirlen. Dabei rotiert die Mittelahse des Endeffektors auf einer Kegelmantellinie, während der Endeffektor sih zusätzlih um die eigene Ahse dreht.

46 332 B Bahnberehnungen Bild B-9 Nikbewegung (KUKA)...: -:-~ ~;~t ~ Bild B-10 Quirlen (KUKA) Dieses Quirlen nutzen manhe Roboterhersteller zum einfahen Vermessen eines Werkzeuges, das seinen Arbeitspunkt niht im TCP des Flanshes hat. Man kann damit auf eine relativ einfahe Art und Weise die Werkzeugkorrekturdaten ermitteln. In den Werksunterlagen der Firma REIS ist dazu folgendes zu finden: "Die Spezialfunktion Hand-/Werkzeugvermessung erlaubt, die Daten von unbekannten Werkzeugen (Handlänge, Werkzeuglänge und Werkzeugwinkel) automatish in der Robotersteuerung zu vermessen. Hierzu steht eine komfortable Bedienoberflähe zur Verfügung. Verändert sih die Werkzeugspitze während des Prozesses, können durh Anfahren eines Referenzpunktes in 4 vershiedenen Stellungen die vorhandenen Programme ohne weitere Korrektur genutzt werden. Stillstandzeiten durh Programmänderungen entfallen."

47 B.4 Bahnsteuerungen für mehr als drei Ahsen 333 Es zeigt sih, daß prinzipiell zwei Anforderungen an eine Bahnsteuerung gestellt werden: Die Bahnverfolgung muß auf einer mathematish beshreibbaren Kurve im Raum mit einem definierten Punkt des Endeffektors (meist der TCP) möglih sein. Die Orientierung des Endeffektors muß bezüglih dieser Bahn beeinflußbar sein. Stellung 2 Stellung 4 Bild B-11 Automatishe TCP Vermessung mit einem Shweißbrenner (REIS) Zusammenfassend kann man sagen, daß die mathematishen Herleitungen zu diesem Thema sehr komplex und umfangreih sind und somit den Rahmen dieses Buhes sprengen würden. Ferner bringt die Bahnberehnung gerade bei der Bahnsteuerung informationstehnishe Probleme, da die Berehnungen dermaßen umfangreih sind und in sehr kurzen Zeitintervallen wiederholt werden müssen, daß man Interpolationstakte hat, die zeitkritish bezogen auf den Prozessor sind. Dies hat Auswirkungen auf die Taktzeiten für die Lageregelung und somit auf das Fahrverhalten des Roboters. Deswegen werden heute auh Mehrprozessorsteuerungen in Industrierobotern eingesetzt, die sih die "Arbeit" teilen. Auh auf diese Problematik kann nur hingewiesen werden.

48 334 Anhang C Beispiele ausgeführter Roboter C.l Portalroboter der Firma DÜRR Bild C-1 Portalroboter der Firma DÜRR Bild C-2 Shemazeihnung (DÜRR)

49 C.l Portalroboter der Finna DÜRR 335 Tabelle C-1 Tehnishe Daten der Portalroboter Baureihe 025 (DÜRR) Lin ienportol ~,! ~ I % ~ J:iO ~ I I I Arbeitsraum I L...J X Vvtf'nrobQAd!-1 I ~,. I I j' I I I ~ I ""' : Flahenporto I """"'' I I I I ~))I r I I Arbeitsraum _j - I I I I 1 Arbeitsroum 1 _L j Tabelle: Tehnishe Daten

50 336 C Beispiele ausgeführter Roboter Tabelle C-2 Tehnishe Daten der Portalroboter Baureihe 400 (DÜRR) , Arbeitsraum ~ Q L j I r~ Linienportal ro. ;;; ~.!;..,!. ) :r ~ 1 I \ i 5 ~ I j,.. ~ I j '"' F laehenporta I Tabelle: Tehnishe Daten

51 C.2 Sara-Roboter der Firma BOSCH 337 C.2 Sara-Roboter der Firma BOSCH Bild C-3 BOSCH-Turbosara Roboterfamilie Bild C-4 BOSCH-Turbosara Universalgerät

52 338 C Beispiele ausgeführter Roboter Tabelle C-3 Tehnishe Daten Universalgerät Turbosara (BOSCH) _.,... """ ""' ""' St.andatl abweihende Daten der Optionen.: Stand!lrd.abweiChende Oaten der Optionen: Arbeitsbereih SR60 SR60HT SRIO SRIOHT - ~......"...,.._.,..., """ "" ""...._ = = H\:b At:hN J """"' SUndMd J1X),.. """ ~Ahw4 """ """ - Traglast ,.,.,,.,,. JnA.T~A' "" "" mu. Geshwindigkeit ~A.Ifl ,,..._, """"'... "_...",.. "_.,.. """" _.... ""' Beshleunigung biinii'rill.t..."..,.,......",., """'''... I """ no '"""' """"' """"' Reaktlons1rlfte b\mmdl-o:\ Hoti:ont.aiF'A..f'l H f/j/150 Vef\iqlfz H 1!012$ ,., Gen ulgkeit P~Ae... """ """"""'" Moto(leistung..., ""',,.... w "' Masse.... z0.025 :t~u 001 Shuttart OIN 40050,.,. Temperaturbereih 10bil 40 AAwenderslgnale -lllklrilh: - ~....,..,...". vo,,,. Stt~ ~ LUft~lW2 """""""""" "'

53 C.3 Knikarmroboter der Firma KUKA 339 C.3 Knikarmroboter der Firma KUKA KCP D KR Cl KR3012 KR 4512 KR60P KR 100P KR KR 200/1 KL250 Kl1500 Bild C-5 Knikarmroboter (KUKA)

54 340 C Beispiele ausgeführter Roboter Tabelle C-4 Tehnishe Daten Knikarmroboter (KUKA) Typen/ Type/ Referenes Grunddaten/ Prinipal data/ Carateristiques de base I KR 6/2 (1:) Skg 10kg <±0,1 mm 205kg KR kg 10kg <±0,1 mm 222 kg KR 30/2 KR 30L 15/2 KR kg 15kg 45kg 35 kg 35kg 35 kg <±0,15mm <±0,15mm <:0,15mm 867 kg 930kg 880kg au- BodM,Ilol<e/ floo,-,-.g/ """"' KR 125/1 KR 150/1 125kg 100kg 90kg 150kg 150kg 120kg 120kg 120 kg 120kg 95 kg 80kg 80 kg <±0,2mm <:0,2 mm 975kg 990kg 995kg 1120kg 1135kg 1140kg Bodon,llol<e/ Floo< --.g/ Auaol. au- KR200/1 200kg 80kg <±0,2 mm 1120kg KR 125W/1 125kg 120kg <±0,2 mm 1590 kg KR60P 60kg 30kg <±O,Smm 1540 kg KR 100 P 100kg 50kg <±O,Smm 1545 kg Bodon,llol<e/ Aoor. --.g/ Auool, lljpia/ond KR 125 S/1 125 kg 80kg <±0,3nvn 1450 kg BodMI Aoor/ Au sol KR 125K 125 kg 125kg <±0,3nm 1670kg BodM/ Aoor/ Auool KR250 KL kg 1500kg MOdui Baukasten aus Uneareinheiten Modular system or linear units Solutions modulai.as d'unh6s lineaires <±0,2 rnrn BodM, Del<oi Aoor.~ / Au sei, aupllllond Roboter-Sonderbaufarmen auf Anfrage I Speial robot designs available upon request /'l}tpes de robots speiaux disponibles KRIKL-'l}tpen mit Robotersteuerung KR C1/ KRIKL models with robot ontroller KR C1/ Types KR/KL ave ornmande de rob J Gültig für Standardausführung I \fajid for standard version I Yalable pour l'exeution standard 2 ) Angaben in mm, bezogen auf Shnittpunkt Ahsen 4/5 I Speifiations in mm, referred to intersetion of axes 4 and 5 I Speifiations en mm, par rappor1

55 C.4 Industrieroboter der Firma REIS 341 C.4 Industrieroboter der Firma REIS )_;. TabelleC-5 Tehnishe Daten RH130 (Reis) ~.~ C) aufgebaut - VORTEILE: REIS ROBOTstar IV: - FEM-optimierte Konstruktion, modular Wihtige Steuerungsfunktionen: Hohe Steifigkeit - Automatishe Programmanpassung AC-Servomotoren Fehlertolerantes Wegmeßsystem Alle Ahsen gebremst - Programmierbares Regelverhalten - Serviefreundlih, Bauteiltaush in Minuten Mehrahsen Transformation Absolutes Resolver-Wegmeßsystem - Werkstükinterpolation ~ Gekapselte Antriebe Lihtbogenpendelsensor Geshwindigkeiten RH130 Bild C-6 RoboterRH130 (Reis) Automatishe Hand-Werkzeugvermessung Prozeßdatenerfassung - Online-Parameteroptimierung - Online-Positionskorrektur Online-Geshwindigkeitskorrektur Ahse 1 90Q/s und viele weitere wihtige Funktionen Ahse2 800mmls Ahse3 90 /s Ahse4 140'/s Maximallast 130kg Arbeitsraum in mm A 600 Option F 2350 Hardwarekonfiguration: Modulares Multiprozessorsystem mit VME-Bus AhseS 130"/s Rehenleistung erweiterbar Ahse6 215 "/s Ansteuerbare Ahsen: 6 bis max. 18 Speiherkapazität: 128 KB bis 2 MB/3500 bis 8000 Raumpunkte Speiher barteriegepullert Shnittstellen: Binäre Ein-/Ausgänge: 16bismax. 128 B 1500 (2000"/2500") Analog Ein-/A4sgänge: 4 bis 8 erweiterbar 3565 (4065"/4565") Serielle Shnittstellen: RS 232/RS Sensorshnltlstellen: fürlasersanner, Bildverarbeitungssysteme, E 5700 Analogsensoren und Suhsensoren Arhivierung: 3,5" Diskette. DNC Rehner. Offline PC Bewegungsmöglihkeiten A1 330' Orukeranshluß Option A mm (2000'!2500") A3 280' Bewegungsarten: A4 360' PTP (Punkt zu Punkt). Synhrone Ahseninterpolation A5 240' CP-linear-Zirkular: Geraden und Kreisinterpolation mit wahlbaren Option A6 720' Arten zur kontinuierlihen Nahstellung der Werkzeugorientierung CP-Setrieb mit Zusatzahsentransformation bis zu 18 Ahsen Wiederholgenauigkeit :0,2 mm Programmierung: Teah-ln-Koordinatensysteme: ansteuerbar über Elektrisher Anshlußwert 11 kva und Drehtishkoordinaten Verfahrtasten oder Joystik; Ahskoordinaten, kartesishe World Werkzeug Programmierverfahren: Teah-ln am PHG. Numerishe Eingabe, Off. Gewiht ohne Shaltshrank 2820 kg line-programmierung am PC wahlweise unter Verwendung von CAO Daten. grafishe Offline-Programmierung und S1mulation mit ROBCAO.