Im folgenden bezeichen wir mit den Buchstaben i, j, k, l, m, n stets natürliche Zahlen. (Induktionsschritt oder Schluß von n auf n+1)

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1 1 Vollstädige Iduktio; Grudbegriffe der Logik ud Megelehre Wir setze hier das System Z = {...,, 1, 0, 1,, 3,...} der gaze Zahle ud das Reche mit diese Zahle als bekat voraus. Es sei N := {0, 1,, 3,...} die Mege der icht-egative gaze Zahle. Die Elemete dieser Mege heiße atürliche Zahle. Im folgede bezeiche wir mit de Buchstabe i, j, k, l, m, stets atürliche Zahle. Das Beweisprizip der vollstädige Iduktio Um die Aussage Für all 0 gilt A() (kurz, 0 A()) zu beweise, geügt es, zu zeige: (I) A( 0 ) gilt. (Iduktiosafag) (II) Für beliebiges 0 ka aus der Gültigkeit vo A() die Gültigkeit vo A(+1) gefolgert werde (kurz, 0 ( A() A(+1) ). Zur Begrüdug: (Iduktiosschritt oder Schluß vo auf +1) Durch wiederholte Awedug vo (II) erhält ma ausgehed vo (I) acheiader die Gültigkeit vo A( 0 ), A( 0 +1), A( 0 +), usw. [ A( 0 ) A( 0 +1) A( 0 +) A( 0 +3)...] Die Aahme A() im Iduktiosschritt (II) et ma Iduktiosvoraussetzug (kurz I.V.). 1.1 Lemma. (a) Für alle 5 gilt <. (b) Sid a 0,..., a atürliche Zahle mit a i < a i+1 für alle i <, so gilt a. Beweis durch (vollstädige) Iduktio ach : (a) (I) = 5: = 5 < 3 =. (b) (I) = 0: trivial, de es gib keie atürliche Zahl < 0. (II) a 0 <... < a < a +1 IV a < a a +1. Folgerug. (II) ( + 1) = < + I.V. < + = +1. Sid a 0,..., a atürliche Zahle <, so gibt es i, j mit i < j < ud a i = a j. De wäre die a i paarweise verschiede, so köte ma sie der Größe ach orde, so daß ohe Eischräkug der Allgemeiheit (kurz, o.e.d.a.) a 0 <... < a wäre, woraus mit L.1.1b a folge würde. Widerspruch. Defiitio. Für jede Mege A sei P(A) die Potezmege vo A, i.e. die Mege aller Teilmege vo A. Für jede edliche Mege A sei card(a) die Azahl ihrer Elemete. 1. Lemma. Für jede edliche Mege A gilt: card(p(a)) = card(a). Beweis durch Iduktio ach card(a): (I) card(a) = 0: Da ist A = ud P(A) = { }, also card(p(a)) = 1 = 0. (II) card(a) = + 1: Wir wähle ei a A ud setze B := A \ {a} ud C := {X {a} : X P(B)}. Offebar gilt: P(A) = P(B) C, P(B) C = ud card(c) = card(p(b)). Nach I.V. ist aber card(p(b)) =. Damit folgt: card(p(a)) = card(p(b)) + card(c) = card(p(b)) = = +1. 1

2 Das Defiitiosprizip der Rekursio (Defiitio durch Rekursio) Eie (uedliche) Folge (s ) 0 vo Elemete s läßt sich defiiere durch (I) die Agabe vo s 0 ud (II) eie Rekursiosgleichug s +1 := F (s, ) ( 0 ), d.h. eie Vorschrift F, die für jedes 0 das Elemet s +1 i Abhägigkeit vo s ud bestimmt. 1.3 Defiitio (Rekursive Defiitio vo a (für a Z) ud vo!) a 0 := 1 ud a +1 := a a ( 0). 0! := 1 ud (+1)! :=! (+1) ( 0). 1.4 Lemma. Für alle 4 gilt <!, Beweis durch Iduktio ach : (I) 4 = 16 < 4 = 4!. (II) +1 = I.V. <! <! ( + 1) = ( + 1)!. Summe- ud Produktzeiche 1.5 Defiitio. Sei a i Z für alle i 0. Durch Rekursio ach defiiere wir für jedes 0 die Summe a i ud das Produkt a i der a i ( 0 i ) wie folgt: i= 0 i= 0 0 i= 0 a i := a 0, +1 a i := ( i= 0 Ferer setze wir och: 0 1 i= 0 a i ) + a+1 ; i= 0 a i := 0 0 (leere Summe), Bemerkug. (1) a = a (+1 0 ) ud a = a +1 0 ; i= 0 i= 0 ()! = i. i=1 i= 0 a i := a 0, 0 1 i= 0 a i := 1 +1 a i = ( i= 0 i= 0 a i ) a+1. (leeres Produkt). 1.6 Lemma. (Recheregel für Summe- ud Produktzeiche) ( 1) a i = a j ; ( 1) a i = a j ; i= 0 j= 0 i= 0 j= 0 ( ) a i = +k a i k = k a i+k ; ( ) a i = +k a i k = k a i+k ; i= 0 i= 0+k i= 0 k i= 0 i= 0+k i= 0 k ( m 3) a ij = m a ij ; ( m 3) a ij = m a ij ; i= 0 j=m 0 j=m 0 i= 0 i= 0 j=m 0 j=m 0 i= 0 ( m 4) a i + a i = a i ( 0 m ); ( m 4) a i a i = a i ( 0 m ); i= 0 i=m+1 i= 0 i= 0 i=m+1 i= 0 ( 5) a i ± b i = (a i ± b i ); ( 5) a i b i = (a i b i ); i= 0 i= 0 i= 0 i= 0 i= 0 i= 0 ( 6) ( a i ) b = (a i b); i= 0 i= 0 ( 7) ( a i ) ( m b j ) = m (a i b j ); i= 0 j=m 0 i= 0 j=m 0 ( 8) (a i+1 a i ) = a +1 a 0. i= 0 Zur Schreibweise: bidet stärker als +, d.h. a i + b = ( ) a i + b. Etsprechedes gilt für. i=1 i=1

3 Beweise: ( m 4) a i + +1 a i = m a i + I.V. a i + a +1 = a i + a +1 = +1 a i. i= 0 i=m+1 i= 0 i=m+1 i= 0 i= 0 ( 7): I. ( a i ) ( m0 b j ) = ( a i ) b m0 Σ6 = (a i b m0 ) = m 0 (a i b j ). i= 0 j=m 0 i= 0 i= 0 i= 0 j=m 0 II. ( a i ) ( m+1 b j ) = ( a i ) ( m b j + b m+1 ) = ( a i ) ( m b j ) + ( a i ) b m+1 i= 0 j=m 0 i= 0 j=m 0 i= 0 j=m 0 i= 0 = m (a i b j ) + Σ5 a i b m+1 = ( m (a i b j ) + a i b m+1 ) = m+1 (a i b j ). i= 0 j=m 0 i= 0 i= 0 j=m 0 i= 0 j=m 0 ( 0 8): I. = 0 : (a i+1 a i ) = a 0+1 a 0. i= 0 II. +1 (a i+1 a i ) = (a i+1 a i ) + (a + a +1 ) I.V. = (a +1 a 0 ) + (a + a +1 ) = a + a 0. i= 0 i= 0 Aussage, logische Verküpfuge Eie Aussage ist ei sprachliches Gebilde,das etweder wahr oder falsch ist. Ist die Aussage A wahr (bzw. falsch), so sagt ma A habe de Wahrheitswert 1 (bzw. 0). Statt A ist wahr sagt ma auch A gilt. Zur Bildug zusammegesetzter Aussage verwedet ma i der Mathematik gewisse Abkürzuge: A B : A ud B A B : A oder B (Statt schreibe wir oft auch &.) A B : A impliziert B, we A, da B, aus A folgt B, B folgt aus A A B : A geau da, we B A : icht A Erläuteruge: 1. Mit (oder) ist stets das icht ausschließede oder gemeit, d.h. A B ist auch da wahr, we A ud B beide wahr sid.. A B ist geau da wahr, we B wahr oder (icht ausschließed!) A falsch ist. (Die Aussage 4 ist Primzahl 1 < 0 ist z.b. wahr). 3. A ist geau da wahr, we A falsch ist. 4. A B ist geau da wahr, we A ud B deselbe Wahrheitswert habe. I diesem Fall et ma die Aussage A, B äquivalet (zueiader). 5. A B ist äquivalet zu (A B) (B A), A B ist äquivalet zu A B. Die Bedeutug der Symbole,,,, läßt sich durch folgede Wahrheitstafel beschreibe: A B A B A B A B A B A I.V. = 3

4 Ist A( ) ei Ausdruck, der eie Aussage darstellt, we für ei beliebiges Objekt x (eier vorgegebee Gesamtheit vo Objekte) eigesetzt wird, so ee wir A( ) eie Eigeschaft ud sage x hat die Eigeschaft A( ) für A(x) ist wahr. Abkürzug: xa(x): für alle x gilt A(x) xa(x): es gibt ei x, so daß A(x), für midestes ei x gilt A(x). Das Symbol ( ) heißt Allquator ( Existezquator ). Für beliebige Aussage A, B bzw. Eigeschafte A( ) gilt: (A B) A B, A A, (A B) A B, xa(x) x A(x), (A B) A B, xa(x) x A(x). Eiige Sprechweise: B A heißt die Umkehrug vo A B; B A heißt die Kotrapositio vo A B; A B : A ist hireiched für B, B ist otwedig für A; A B : A ist otwedig ud hireiched für B; A : B : A ist per Defiitio äquivalet zu B. Eie wahre Aussage et ma i der Mathematik eie Satz oder ei Theorem oder ei Lemma. Ma beachte: Die Kotrapositio vo A B ist äquivalet zu A B. De Beweis eier Behauptug A B ka deshalb auch durch Nachweis ihrer Kotrapositio B A erbrige (was gelegetlich leichter ist). Eie adere Beweismethode ist der idirekte Beweis (oder Beweis durch Widerspruch) Beim idirekte Beweis vo A B immtma a, die Behauptug B sei falsch, d.h., es gelte B. Da leitet ma uter der Voraussetzug A ud der zusätzliche Aahme B die Wahrheit eier Aussage C ab, vo der ma bereits weiß, daß sie falsch ist. Aus diesem Widerspruch folgt, daß B icht richtig sei ka. Also ist B wahr. Bei der widersprechede Aussage C ka es sich isbesodere um A oder um auch B hadel. Dies mag zuächst etwas irritiered erscheie. Ma macht sich aber leicht klar (z.b. ahad der obige Wahrheitstafel), daß tatsächlich gilt: (A B A) = (A B), ud auch (A B B) = (A B). Weitere Abkürzuge: x < aa(x) : x(x < a A(x)), x < aa(x) : x(x < a A(x)).!xA(x) : x(a(x) y(a(y) x = y). Es gilt: x < aa(x) x < a A(x) ud x < aa(x) x < a A(x).!xA(x) x y(a(y) x = y). 4

5 Naiver Megebegriff ach Cator (1895): Uter eier Mege verstehe wir jede Zusammefassug M vo wohluterschiedee Objekte userer Aschauug oder useres Dekes (welche die Elemete vo M geat werde) zu eiem Gaze. a ist Elemet vo M bedeutet also dasselbe wie a gehört zu M. Abkürzuge: a M : a ist Elemet vo M [ a gehört zu M ] a M : (a M) [ a ist icht Elemet vo M ] a b : (a = b) [ a ugleich b, a verschiede vo b ] Für edlich viele Objekte a 1,..., a bezeichet {a 1,..., a } diejeige Mege M, die geau die Elemete a 1,..., a hat. Erläuteruge Jede Mege ist ei Objekt useres Dekes, ka also selbst wieder Elemet eier adere Mege sei. Bei der Zusammefassug vo Objekte zu eier Mege kommt es icht auf die Reihefolge der Elemete a, ud auch icht darauf, ob ei Elemet ur eimal oder mehrmals vorkommt. Aders gesagt, eie Mege M ist eideutig bestimmt, we festgelegt ist, welche Objekte a Elemet vo M sid ud welche icht. Für Mege M, N gilt also: M = N x(x M x N) (Extesioalität). Beispiele: 1. M := {1, 0, {3, {0}}, 4} ist eie Mege. Die vier Elemete vo M sid 1, 0, {3, {0}}, 4.. Es gilt {3, 6, 9, 1} = {1, 3, 3, 6, 9, 1} {3, 3, 9, 1}. Defiitio. Ist M eie Mege ud A( ) eie Eigeschaft, so bezeichet {x M : A(x)} die Mege aller Elemete x vo M, für die die Aussage A(x) wahr ist (gilt). We M aus dem Zusammehag hervorgeht, so schreibe machmal auch ur {x : A(x)} statt {x M : A(x)}. Für jedes Objekt a gilt also: a {x M : A(x)} a M & A(a). Bezeichet, für jedes x M, t(x) ei Objekt, so sei {t(x) : x M} := {y : x M(y = t(x))} (die Mege aller t(x) mit x M). Zum Beispiel ist {+1 : N} die Mege aller ugerade atürliche Zahle. Aalog defiiert ma {t(x) : A(x)} bzw. {t(x 1,..., x ) : A(x 1,..., x )}. Beispiel: { 3 x : N & x Z}. Abkürzuge: x M A(x) : x(x M A(x)) x M A(x) : x(x M A(x)) := {x : x x} (die leere Mege) Es gilt: x MA(x) x M A(x), x MA(x) x M A(x). Bemerkuge. Die leere Mege besitzt überhaupt keie Elemete. Jede Aussage der Form x M A(x) mit M = ist wahr. Es gilt {a 1,..., a } = {x : x = a 1... x = a }. Ma beachte: Die Mege {a} ist icht dasselbe wie das Objekt a; auch icht, we a ebefalls eie Mege ist. 5

6 Defiitio Seie A, B Mege. A heißt Teilmege vo B (i Zeiche A B), falls jedes Elemet vo A auch Elemet vo B ist: A B : x A(x B). Für A B sagt ma auch A ist i B ethalte oder B umfaßt A. Abkürzug: A B : A ist icht Teilmege vo B. Offebar gilt: (a) A = B A B B A. (b) A B x A(x B). (c) A B A B B A [ x A(x B) x B(x A) ]. Defiitio. (Biomialkoeffiziete) Für jede edliche Mege A sei card(a) die Azahl ihrer Elemete. Für jede Mege A sei P(A) die Potezmege vo A, i.e. P(A) := {X : X A}. ( ) Ferer sei P k (A) := {X P(A) : card(x) = k} ud := card(p k ({0,..., 1})) (k, N) k ( ) Die Werte heiße Biomialkoeffiziete. k Aus der Defiitio folgt umittelbar (1) ( ) ( k = ( k), für k ; () ( 0) = ( ) = 1, ) ( 1 = ( 1) = ; (3) k) = 0, für k >. Aus Lemma 1. folgt ( ) (4) = k i=0 1.7 Lemma. ( ) + 1 = k + 1 ( ) ( ) +. k k + 1 ( 1. k > : +1 ( k+1) = 0 = ) ( k + k+1).. k : Sei A := {0,..., 1} ud B := {X {} : X P k (A)}. Da gilt offebar: P k+1 (A {}) = P k+1 (A) B, P k+1 (A) B = ud card(b) = card(p k (A)). Folglich ( ) +1 k+1 = card(pk+1 (A {})) = card(p k+1 (A)) + card(p k (A)) = ( ( k+1) + k). ( ) k 1 i=0 1.8 Lemma. Für k gilt = ( i)! ( 1) ( ) ( (k 1)) = = k k! k!( k)! 1 3 k Beweis durch Iduktio ach : 1. = 0 oder k = 0: klar.. 0 < k : ( k ) L.1.7 = ( ) ( 1 k k ) I.V. = ( 1)! (k 1)!(( 1) (k 1))! + ( 1)! k!( 1 k)! = ( 1)! k+( 1)! ( k) k!( k)! = ( 1)! k!( k)!. 6

7 Die Rekursiosgleichug ( ( +1 k+1) = ) ( k + k+1) führt zu dem Pascalsche Dreieck, i desse -ter Zeile ( 0) die Biomialkoeffiziete ( ( ) ( 0) 1... ( 1) ) stehe: Megeoperatioe Defiitio Für Mege A, B defiiere wir: A B := {x : x A x B} (Durchschitt vo A ud B) A B := {x : x A x B} (Vereiigug vo A ud B) A \ B := {x : x A x B} = {x A : x B} (Differez vo A ud B, A ohe B) Ma beachte: Im allgemeie gilt icht A \ B = B \ A! Beispiele: {1,, 3} {, 3, 13, 14} = {, 3}, {0, 1} {, 3} =, {1,, 3} {, 3, 13, 14} = {1,, 3, 13, 14} {1,, 3} \ {, 3, 13, 14} = {1} {, 3, 13, 14} \ {1,, 3} = {13, 14} {0, 1} \ {, 3} = {0, 1} {0, 1, 1, 0} \ {, 0, 3, 1} =. 1.9 Lemma. (a) A (B C) = (A B) (A C). (b) A (B C) = (A B) (A C). (c) M \ (M \ A) = M A. (d) M \ (A B) = (M \ A) (M \ B) = (M \ A) \ B. (e) M \ (A B) = (M \ A) (M \ B). (a) Für beliebiges x ist die Äquivalez der Aussage x A (B C) ud x (A B) (A C) zu beweise. Sei also x gegebe. Fall 1: x A. Da x A (B C) x B C x (A B) (A C). Fall : x A. Da x A (B C) ud x (A B) (A C). (c) Fall 1: x M. Da x M \ (M \ A) x M \ A x A x M A. Fall : x M. Da x M \ (M \ A) ud x M A. (d) x M \ (A B) x M x A B x M (x A x B) (x M x A) (x M x B) x M \ A x M \ B x (M \ A) (M \ B). x (M \ A) \ B x M \ A x B (x M x A) x B. 1 wird später fortgesetzt. 7

8 Axiomatische Eiführug der reelle Zahle Wir diskutiere (bzw. beatworte) hier icht die Frage was die reelle Zahle sid, soder sage lediglich wie ma mit Ihe operiert (rechet), d.h. welche Recheregel für die reelle Zahle gelte. Aders gesagt, wir führe die reelle Zahle axiomatisch ei. Gegebe sei eie Mege R (dere Elemete wir reelle Zahle ee) zusamme mit zwei Operatioe + (Additio) ud (Multiplikatio) ud eier Relatio <. R ethalte außerdem zwei ausgezeichete Elemete 0 (Null) ud 1 (Eis), wobei 0 1. Die Struktur (R, 0, 1, +,, <) erfülle die folgede Axiome, wobei a, b, c über alle Elemete vo R laufe. (I) Die Körperaxiome (I.1) a + b = b + a & a b = b a (I.) a + (b + c) = (a + b) + c & a (b c) = (a b) c (I.3) a (b + c) = a b + a c (I.4) a + 0 = a & a 1 = a (I.5) Zu jedem a R existiert geau eie relle Zahl a mit a + ( a) = 0. Zu jedem a R \ {0} existiert geau eie reelle Zahl a 1 mit a a 1 = 1. (Kommutativgesetz) (Assoziativgesetz) (Distributivgesetz) (II) Die Ordugsaxiome (II.1) (a < a) (II.) a < b b < c a < c (II.3) a < b a = b b < a (II.4) a < b a + c < b + c (II.5) a < b 0 < c a c < b c (Irreflexivität) (Trasitivität) (Totalität oder Trichotomie) (Mootoie der Additio) (Mootoie der Multiplikatio) Abkürzuge: a b : a < b oder a = b; a > b : b < a; a b : b a; ab := a b. Defiitio. Eie Mege D reeller Zahle heißt ach obe beschräkt, we es ei a R gibt, so daß x D(x a). Jedes solche a heißt eie obere Schrake vo D. Besitzt die Mege D eie kleiste obere Schrake, so wird diese das Supremum vo D geat ud mit sup(d) bezeichet: a = sup(d) : x D(x a) & s R( x D(x s) a s) (III) Das Vollstädigkeitsaxiom x D(x a) & y < a x D(y < x). Jede ichtleere ach obe beschräkte Mege reeller Zahle besitzt ei Supremum. Defiitio Für a, b R sei a b := a + ( b) ud (falls b 0) Bemerkug. a b := a/b := a b 1. Aus de Körperaxiome lasse sich alle vo der Schule her bekate Regel für die vier Grudrechugsarte ableite. Diese Regel werde hier als bekat vorausgesetzt; ebeso die übliche Regel zur Klammerersparis ( Pukt vor Strich ). 8

9 z.b.: Vorzeicheregel: ( a) b = a ( b) = (a b), ( a) ( b) = a b, (a b) = a + b, ( a) = a, 0 = 0. a Regel der Bruchrechug: b + c ad + bc a =, d bd b c d = ac bd, = ad bc. Wir idetifiziere die gaze Zahle..., 1, 0, 1,, 3,... mit de Elemete..., (1+1), 1, 0, 1, 1+1, 1+1+1,... vo R. Somit gilt also N Z R. Adere wichtige Teilmege vo R sid: Q := { x : x, y Z & y 0} (ratioale Zahle) y R \ Q = {x R : x Q} (irratioale Zahle) R + := {x R : x 0}, R := {x R : x 0}, R + := {x R : x > 0} Bemerkug (a) a, b N a + b, ab N (b) a, b Z a + b, ab, a b Z (c) a, b Q a + b, ab, a b Q & (b 0 a b Q).1 Lemma (Folgeruge aus de Ordugsaxiome) Für alle reelle Zahle a, b, c gilt (< 1) a b = etweder a < b oder b < a. (< ) (0 < a 0 < b) (a < 0 b < 0) 0 < ab. (< 3) a 0 0 < a. Isbesodere 0 < 1. (< 4) 0 < a 0 < a 1, falls a 0 (< 5) a < b b < a (< 6) a < b a + c < b + c (< 7) 0 < c (a < b ac < bc) (< 8) c < 0 (a < b bc < ac) (< 9) 0 < ab (a < b b 1 < a 1 ) (< 10) a < b a < 1 (a+b) < b 1. Aus a < b ud b < a würde a < a folge.. Beweis durch Falluterscheidug: 0 < a 0 < b 0 = 0 b < ab. a < 0 b < 0 0 < a 0 < b 0 < ( a)( b) = ab. a < 0 0 < b ab < 0b = 0. 0 < a b < 0 ab < a0 = 0. a = 0 b = 0 ab = 0. Da es sich hier um eie vollstädige Falluterscheidug hadelt (d.h. für beliebige Zahle a, b R muß jeweils geau eier der Fälle 1 5 vorliege), folgt sofort die Behauptug. (Die Betrachtug der Fälle 3 4 ist 9 a b c d

10 erforderlich um die Richtug der Behauptug zu erhalte.) 3. a 0 0 < a a < 0 0 < aa = a < 1 = < 1 = aa 1 (0 < a 0 < a 1 ) (a < 0 a 1 < 0). 5. a < b b = a + ( a b) < b + ( a b) = a. b < a a = ( a) < ( b) = b. 6. a + c < b + c a = a + c + ( c) < b + c + ( c) = b < c ac < bc 0 < c 1 ac < bc a = acc 1 < bcc 1 = b. 8. Sei c < 0. Da 0 < c ud folglich (a < b ac = a( c) < b( c) = bc bc < ac). 9. Aus 0 < ab folgt 0 < (ab) 1, ud weiter: a < b a(ab) 1 < b(ab) 1 b 1 < a a < b a = a + a < a + b a + b < b + b = b a < 1 (a + b) < b Defiitio vo a p für a R ud p Z Zuächst defiiere wir a rekursiv für N ud a R: a 0 := 1, a +1 := a a. Da setze wir och a := (a ) 1, falls ud a 0. Es gelte die folgede Recheregel (für alle a, b R, p, q Z): (1) a p b p = (ab) p, () a p a q = a p+q, (3) (a p ) q = a pq, (4) 0 a, b & 1 (a < b a < b ).. Lemma (Beroullische Ugleichug). (1 + x) 1 + x, für alle reelle Zahle x > 1 ud alle N. Beweis durch Iduktio ach : 1. (1 + x) 0 = 1 = x.. Wege x > 1 gilt 1 + x > 0. Nach I.V. gilt (1 + x) 1 + x. Folglich (1 + x) +1 = (1 + x) (1 + x) (1 + x)(1 + x) = 1 + x + x + x 1 + ( + 1)x. ( ).3 Satz (Biomischer Satz). (x + y) = x k y k, für alle x, y R ud N. k Beweis durch Iduktio ach ( ) : 0 I. = 0: (x + y) 0 = 1 = x 0 y 0 = 0 0 i=0 II. (x + y) +1 = (x + y) (x + y) IV = (x + y) = = x +1 + = x +1 + = x +1 + = x +1 + ( ) x +1 k y k + k ( k ( k k=1 k=1 k=1 [ ( k ( ) 0 x 0 k y k. k ( ) x k y k k ( ) x k y k+1 k ) x +1 k y k + ) x +1 k y k + ) ( +1 k=1 k 1 ( k k=1 ( k 1 ) x k y k+1 + y +1 ( ) ] + x +1 k y k + y +1 k 1 ) +1 x +1 k y k + y +1 = 10 ) x (k 1) y k + y +1 ( +1 k ) x +1 k y k.

11 Bemerkug. Mittels.3 ka ma Lemma 1. auch folgedermaße beweise: Sei card(a) =. Da gilt P(A) = P 0 (A) P 1 (A)... P (A) (wobei die Mege P 0 (A),..., P (A) paarweise disjukt sid) ud folglich card(p(a)) = ( k) = ( k) 1 k 1 k = (1 + 1) =. Defiitio. Eie Mege D reeller Zahle heißt ach ute beschräkt, we es ei s R gibt, so daß x D(s x). Jedes solche s heißt eie utere Schrake vo D. Besitzt die Mege D eie größte utere Schrake, so wird diese das Ifimum vo D geat ud mit if(d) bezeichet: s 0 = if(d) : x D(s 0 x) & s R( x D(s x) s s 0 ) x D(s 0 x) & y > s 0 x D(x < y)..4 Satz. Jede ach ute beschräkte Mege reeller Zahle besitzt ei Ifimum. Übugsaufgabe. Defiitio. Sei D R ud s 0 R. Ma et s 0 das Maximum bzw. Miimum vo D (ud schreibt s 0 = max(d) bzw. s 0 = mi(d) ), falls s 0 das größte bzw. kleiste Elemet vo D ist, d.h., falls s 0 D & x D(x s 0 ) bzw. s 0 D & x D(x s 0 ) gilt. Offebar gilt: (1) s 0 = max(d) s 0 = sup(d) ud s 0 D; () s 0 = mi(d) s 0 = if(d) ud s 0 D; (3) Jede edliche Mege reeller Zahle besitzt ei Maximum ud ei Miimum. Beispiel: Sei D := {x R : x < 1}, D := {x R : x 1}. Es ist sup(d) = sup(d ) = max(d ) = 1, aber die Mege D besitzt kei Maximum..5 Lemma. Jede ach obe (bzw. ute) beschräkte Mege M Z besitzt ei Maximum (bzw. Miimum). Nach dem Vollstädigkeitsaxiom existiert a := sup(m). Aus a 1 < a = sup(m) folgt die Existez eies p M mit a 1 < p. Offebar ist p = max(m), de: q M q a < p + 1 q p..6 Lemma. (a) Zu jeder reelle Zahl a gibt es eie atürliche Zahl mit a <. (Archimedisches Axiom) [ x (x < )] (b) Zu jeder reelle Zahl a > 0 gibt es 1 mit 1 < a. [ x > 0 1( 1 < x) ] (c) Ist 0 < a R, so gibt es zu jedem b R ei mit b < a. [ x > 0 y (y < x ) ] (d) Ist 1 < a R, so gibt es zu jedem b R ei mit b < a. (e) Ist 0 < a < 1, so gibt es zu jedem ε > 0 ei mit a < ε. (a) Da N kei Maximum besitzt, ist N icht ach obe beschräkt (L..5), d.h. x (x < ). (b) 0 < a (a) (0 < 1 a < ) 1( 1 < a). (c) 0 < a (a) 0 < a & b < für ei N b < a. a (d) 1 < a a 1 > 0 & b. < für ei N b < 1 + (a 1) (1 + (a 1)) = a. a 1 (e) 0 < a < 1 1 < 1 (c) 1 ( 1 a ε a) < für ei N a < ε. 11

12 .7 Lemma. Ist a > 0, so existiert zu jedem b R geau ei p Z mit p a b < (p+1) a. Die Mege M := {p Z : p a b} ist ach obe beschräkt (durch b/a). Ferer ist M, de ach L..6c existiert N mit b < a, also ( ) a < b. Nach.5 existiert also p := max(m). Es folgt p a b < (p+1) a. Ist umgekehrt q Z mit q a b < (q+1) a, so muß q = max(m) sei..8 Lemma. Zu je zwei reelle Zahle a < b existiere uedlich viele ratioale Zahl r mit a < r < b. Offebar reicht es, die Existez weigstes eies q Q mit a < q < b zu zeige. Nach.6b gibt es ei 1 mit 1 < b a. Nach.7 existiert p Z mit p a < p+1. Es folgt a < p + 1 < a + (b a) = b. Defiitio (Itervalle i R) Für reelle Zahle a b sei: [a, b] := {x R : a x x b} = {x R : a x b} (abgeschlossees Itervall) ]a, b[:= {x R : a < x x < b} = {x R : a < x < b} (offees Itervall) [a, [:= {x R : a x} (ausgeartetes Itervall) Aalog defiiert ma [a, b[, ]a, b], ]a, [, ], b], ], b[. Allgemei et ma eie Mege I R ei Itervall, we gilt x, y I(x < y [x, y] I). Lemma. I R ist geau da ei Itervall, we I eie Mege vo eier der folgede Arte ist: R, ], a], ], a[, [a, [, ]a, [, [a, b], ]a, b], [a, b[, ]a, b[ (mit a b). Die eie Richtug ist trivial. Die adere Richtug beweise wir ur für de Fall, daß I ach obe ud ute beschräkt ist. Sei a := if(i), b := sup(i) ud I 0 := I \ {a, b}. Da gilt I 0 =]a, b[ (z ]a, b[ x, y I(x < z < y) z I 0 ) ud folglich ist I eie der Mege [a, b], ]a, b[, [a, b[, ]a, b]. Bemerkug. Lemma.8 ka u auch folgedermaße formuliert werde: a < b card(]a, b[ Q) =. Offebar gelte die Körper- ud Ordugsaxiome alle auch i Q. Die folgede beide Sätze zeige jedoch, daß das Vollstädigkeitsaxiom i Q icht gilt, d.h., es gibt ichtleere ach obe beschräkte Mege M Q, die kei Supremum i Q besitze..9 Satz ( ist icht ratioal). Es gibt keie ratioale Zahl a mit a =. Beweis idirekt: Aahme: a Q ud a =. Da existiere p, q Z (q 0) mit: (1) (p/q) =, () p, q sid teilerfremd (d.h., der Bruch p/q ka icht mehr weiter gekürzt werde). Nu schließt ma wie folgt: (1) p = q p = z für ei z Z 4z = p = q z = q q gerade. Widerspr. zu ()..10 Satz. Zu jedem c R + existiert geau ei a R + mit a = c. Diese Zahl a bezeichet ma mit c. 1

13 Die Eideutigkeit folgt aus ( ) x, y R + (x < y x < y ). Zur Existez vo c: Für c = 0 ist die Behauptug trivial. Sei also c > 0 ud D := {x R : x < c}. D, de 0 D. D ist ach obe beschräkt, de aus x D folgt x 1 oder x < x < c, d.h. max{1, c} ist eie obere Schrake vo D. Sei a := sup(d). Da a 0, da 0 D. Wir beweise u a = c, idem wir die Aahme a < c ud c < a jeweils zum Widerspruch führe. Aahme: a < c. Wir wolle zeige: ε > 0[(a + ε) < c]. Für 0 < ε 1 gilt offebar: (a + ε) = a + aε + ε a + aε + ε ud (a + aε + ε < c ε < c a a+1 ). Für ε := mi{1, 1 c a a+1 } habe wir deshalb a < a + ε D, d.h. a ist keie obere Schrake vo D. Widerspruch zu a = sup(d). Aahme: c < a. Aalog wie im erste Fall erhält ma ei ε > 0, so daß c < (a ε) & 0 a ε. Mit ( ) folgt daraus x(a ε < x x D), d.h. a ε ist eie obere Schrake vo D, ud somit a icht die kleiste obere Schrake vo D. Widerspruch zu a = sup(d)..11 Lemma. Die Mege M := {x Q : x < } besitzt kei Supremum i Q. Trivialerweise ist eie obere Schrake vo M. Mit.8 folgt außerdem y < x M(y < x). Also gilt sogar = sup(m). Wege Q folgt daraus die Behauptug. Defiitio (Absolutbetrag). { a, falls a 0 Für a R sei a := a, falls a < 0 Erläuterug: a ist der Abstad des Puktes a vom Nullpukt. a b ist der Abstad der Pukte a, b. Folgeruge. (A1) 0 a = max{a, a} ud ( a = 0 a = 0 ) (A) a = a ud a b = b a (A3) a b = a b (A4) a/b = a / b (A5) a + b a + b (Dreiecksugleichug) (A6) i= 0 a i i= 0 a i (A7) a b a b ud a b a + b (A8) Für ε 0 gilt: Beweise: {x : x a ε} = [a ε, a + ε] ud {x : x a < ε} =]a ε, a + ε[. (A3) Fall 1: a 0 b 0. Da ab = ab = a b. Fall : a < 0 b < 0. Da ab = ab = ( a)( b) = a b. Fall 3: a < 0 b 0. Da ab = (ab) = ( a)b = a b. Fall 4: a 0 b < 0. Aalog zu Fall 3. (A4) a = a b b a = a b b Beh. (A5) Fall 1: a + b 0. Da a + b = a + b a + b. Fall : a + b < 0. Da a + b = (a + b) = ( a) + ( b) a + b. (A6), (A7) Übugsaufgabe. (A8) x a ε max{x a, a x} ε a x ε x a ε a ε x x a + ε. 13

14 3 Grezwerte vo Zahlefolge Defiitio. Eie Abbildug, die jeder atürliche Zahl eie reelle Zahl a zuordet, et ma eie Folge (reeller Zahle) ud bezeichet sie mit (a ) N oder (a 0, a 1,.a,...). Die Zahle a 0, a 1, a,... heiße Werte oder Glieder der Folge (a ) N. Die Mege {a : N} heißt Wertemege der Folge (a ) N. Bemerkug. Verschiedee Folge köe dieselbe Wertemege habe; z.b. habe die Folge (0, 1, 1, 1,...) ud (1, 0, 1, 0, 1,...) beide die Wertemege {0, 1}. Defiitio (Mootoe Folge). Eie Folge reeller Zahle (a ) N heißt (i) [streg] mooto wachsed, falls a a +1 [a < a +1 ] für alle N; (ii) [streg] mooto falled, falls a a +1 [a > a +1 ] für alle N. Eie Folge (a ) N heißt beschräkt, we es ei K R + gibt, so daß a K für alle N. Defiitio. Eie Folge (a ) N heißt koverget gege a R (i Zeiche: Zu jedem ε > 0 existiert ei ε N mit a a < ε für alle ε. Kurz: ε > 0 ε N ε ( a a < ε). Ma et a da de Grezwert oder Limes der Folge (a ) N. Eie Folge (a ) N heißt diverget, falls sie icht koverget ist, d.h. we es kei a R mit lim a = a gibt. 3.1 Lemma. (Eideutigkeit des Grezwerts) lim a = a & lim a = a = a = a. Wir zeige a a < ε für jedes ε > 0; daraus folgt da a = a. lim a = a), falls gilt: Sei ε > 0. Da auch ε > 0. Wege lim a = a existiert ei 1 mit 1 ( a a < ε ). Wege lim a = a existiert ei mit ( a a < ε ). Für max{ 1, } gilt da a a a a + a a < ε + ε = ε. 3. Lemma. Jede kovergete Folge ist beschräkt. Sei lim a = a. Da existiert ei 1 N mit a a < 1 für alle 1. Es folgt a = a + (a a) a + a a < a + 1 für alle 1 ud weiter a max{ a 0,..., a 1, a + 1} für alle N. Beispiele. (1) lim +1 = 1. Bew.: Sei ε > 0. Nach.6b existiert ei ε mit 1 < ε. Es folgt 1 ε +1 = 1 +1 < ε für alle ε. 14

15 () Ist a = a für alle 0, so gilt lim a = a. [Bew.: ε > 0 0 ( a a = 0 < ε). ] (3) lim = 0. Bew.: Für 4 gilt (siehe Übuge) ud folglich 1. Sei u ε > 0. Nach.6 existiert da ei ε 4 mit 1 ε < ε. Es folgt 0 = 1 < ε für alle ε. (4) lim a = 0, falls a < 1. (5) Für a < 1 gilt lim ( [siehe.6e] a k) = 1 ( ud lim a k) = am 1 a k=m 1 a. Bew.: Sei s := ak. Nach Aufgabe 3c gilt s = 1 a+1 ud somit 1 1 a 1 a s = 1 1 a a+1. Sei u ε > 0. Da auch (1 a)ε > 0, ud ach (4) existiert ei ε mit a +1 < (1 a)ε für alle 1 ε. Es folgt 1 a s < ε für alle ε. Wege Abkürzug. k=m Bemerkuge. a k = a m m ( a k (für m) folgt mit L.3.4a lim a k) = a m lim k=m A() : 0 0 A() (A() gilt für fast alle ). fast (a) A() & B() = (A() & B()). fast fast fast (b) lim a = a ε > 0 ( a a < ε). fast Defiitio. (a ) N ist Nullfolge (i Zeiche: NF(a ) N ) : lim a = 0. Bemerkuge. (a) NF(a ) N NF ( a ). N (b) lim a = a NF ( ) a a. N (c) K > 0 & ε > 0 ( a < K ε) NF(a ) N. fast 3.3 Lemma (Eigeschafte vo Nullfolge). (a) NF(a ) N & fast ( b a ) = NF(b ) N. (b) NF(a ) N & NF(b ) N = NF(a ± b ) N. (c) (a ) N beschräkt & NF(b ) N = NF(a b ) N. ( m (a) ε > 0 ( a < ε) & ( b a a ) ε > 0 ( b a < ε). fast fast fast (b) ε > 0 ( a < ε) & ε > 0 ( b < ε) ε > 0 ( a ± b a + b < ε). fast fast fast (c) ( a < K) & ε > 0 ( b < ε) ε > 0 ( a b < Kε). fast fast a k) = am 1 a. 15

16 3.4 Lemma (Recheregel für kovergete Folge) Sid (a ) N ud (b ) N kovergete Folge, so kovergiere auch die Folge ( ) a +b N, ( a b ) N ( ), a b, ( a N ) ud es gilt: N (a) lim (a b ) = ( lim a ) ( lim b ) für {+,, }. (b) lim a = lim a. Sei lim a = a ud lim b = b. Da NF(a a ) N ud NF(b b ) N ( ). (a) 1. (a±b) (a ±b ) = (a a )±(b b ). Mit ( ) ud Lemma 3.3b folgt daraus NF ( (a±b) (a ±b ) ) N, d.h. lim (a ± b ) = a ± b.. Es ist ab a b = ab a b + a b a b = b(a a ) + a (b b ). Nach Lemma 3.1 ist die Folge (a ) N beschräkt. Mit ( ) ud Lemma 3.3b,c folgt u NF(ab a b ) N, d.h. lim a b = ab. (b) Nach, (A7) gilt a a a a. Mit ( ) ud 3.3a folgt daraus NF ( a a ) N. Korollar. lim a = a & {+,, } = Beispiel: Aus lim = 1 ud lim +1 lim (a b) = ( lim a ) b ud lim ak = a k. 3 = 0 folgt lim ( ) = =. Kleie Verallgemeierug: Sei 0 N. Da et ma eie Abbildug, die jeder atürliche Zahl 0 eie reelle Zahl a zuordet, ebefalls eie Folge (reeller Zahle) ud bezeichet sie mit (a ) 0. Bemerkug. Das Kovergezverhalte eier Folge ist uabhägig vo ihre Afagswerte: Gilt a = b für fast alle, so sid die Folge (a ) N ud (a ) N etweder beide diverget oder kovergiere beide gege deselbe Grezwert. Die Grezwertdefiitio ud alle bisher bewiesee Aussage über Kovergez vo Folge gelte deshalb auch für Folge der Art (a ) Lemma (Fortsetzug) (c) Kovergiere die Folge (a ) N, (b ) N ud ist b := lim b 0, ( ) a so gilt b 0 für fast alle ud es ist lim b = lim a lim b Wege lim b = b 0 gilt ( b b < 1 fast b ). Daraus folgt 1 b < b ud weiter 1 < für fast b b b alle. Ferer gilt 1 b 1 = 1 b b b (b 1 b), falls b 0. Mit 3.3c folgt u lim = 1 ud weiter mit 3.4a b b die Behauptug. Beispiel: Bestimmug vo lim a mit a := Für 1 gilt a = 3 + 7/ 1 /. 1 Aus lim = 0 folgt lim (3 + 7 ) = = 3 ud lim (1 ) = = 1; also lim a = 3 1 = 3. 16

17 Schreibweise: 3.5 Lemma. sup a := sup{a : N}, N if a := if{a : N} N Ist die Folge (a ) N mooto wachsed (bzw. falled) ud beschräkt, so kovergiert sie gege sup a (bzw. if a ). N N Sei (a ) N mooto wachsed ud beschräkt. Da existiert a := sup N a. Sei ε > 0. Da ist a ε < a ud es existiert ei ε mit a ε < a ε. Da (a ) N mooto wächst, folgt ε (a ε a ). Also ist a ε < a a ud somit a a < ε für alle ε. ( 3.6 Lemma. Sei 0 < a R, k, x 0 > 0 ud x +1 = x 1 + a ) xk k x k ( N). Da kovergiert die Folge (x ) N gege ei x R + mit x k = a. Offebar ist x > 0 für alle (Iduktio ach ). Es gilt a xk kx k > 1 > 1 ud deshalb, ach L.., ( k x k +1 x k 1 + k a ) xk = a. Daraus folgt weiter x +1 x für alle 1. Die Folge (x ) 1 ist also kx k mooto falled ud beschräkt; somit existiert x := lim x = if N x. ( Aus 0 < a x k +1 folgt 0 < mi{1, a} x +1 (für alle ) ud somit 0 < x. Aus x +1 = x ud lim x +1 = lim x = x > 0 folgt u mit L.3.4 x = x (1 + a xk k x k ) ; also a x k = 0. Defiitio. Sei k 1. Nach Lemma 3.6 existiert zu jedem a R + geau ei x R + mit x k = a; dieses x wird mit k a (k-te Wurzel aus a) bezeichet. Defiitio vo a r für a > 0, r Q Ist r = z k mit z Z, k N ud z, k teilerfremd, so sei ar := k a z. Folgerug. a > 0 & x Z & 1 m N = a x m = m a x. 1 + a xk k x k Sei b := a x m ud x m = z k mit z, k teilerfremd. Da b = k a z, ud es existiert ei, so daß m = k ud x = z. Es folgt b k = a z ud weiter b m = (a z ) = a x, d.h. b = m a x. ) Recheregel. Für x, y Q ud 0 < a, b R gilt: (1) a x a y = a x+y, () (a x ) y = a x y, (3) a x b x = (a b) x, (4) 0 < x = (a < b a x < b x ). Zu Lemma 3.6: Fehlerabschätzug im Fall k = : a x +1 a = a a a x +1 x +1 x +1 Sei d := x a. Da d +1 = x + a x x Berechug vo : ax x + a = x 0 := 1, x +1 = 1 (x + x 1 ). x (x + a) d 1 d x. x 1 = 0.5(1 + ) = 1.5, x = 0.5( ) = 17 1 = 1.416, x 3 = 0.5( ) = = x 3 =

18 3.7 Lemma. Sei lim a = a ud lim b = b. (a) c < a [ bzw. a < c ] = c < a [ bzw. a < a ] für fast alle. (b) a b für uedlich viele = a b. (a) Sei c < a. Da ist ε := a c > 0, ud es gilt a ]a ε, a + ε[, also c = a ε < a für fast alle. (b) b < a & c := 1 (a) (a + b) (b < c) & (c < a ) (b < a ). Widerspruch. fast fast fast Defiitio (Teilfolge, Häufugspukte). Sei (a ) N eie Folge ud ((k)) k N eie streg mooto wachsede Folge atürlicher Zahle. Da et ma die Folge (a (k) ) k N eie Teilfolge der Folge (a ) N. a R heißt ei Häufugspukt der Folge (a ) N, we es eie Teilfolge vo (a ) N gibt, die gege a kovergiert. Bemerkuge. 1. Gilt lim a = a, so kovergiert auch jede Teilfolge vo (a ) N gege a, d.h. für eie kovergete Folge ist der Grezwert ihr eiziger Häufugspukt.. a ist geau da ei Häufugspukt der Folge (a ) N, we für jedes ε > 0 die Mege { : a a < ε} uedlich ist. Beispiele. 1. (a ) N mit a = ( 1) (oder a = ( 1) + 1 ) hat die Häufugspukte 1 ud 1, de lim +1 a k = 1 k ud lim a k+1 = 1. k. () N hat keie Häufugspukt, de jede ihrer Teilfolge ist ubeschräkt. 3. (a ) N mit a k = k ud a k+1 = 1 ist ubeschräkt ud hat de Häufugspukt 0. k Lemma. Jede Folge reeller Zahle besitzt eie mootoe Teilfolge. Sei (a ) N gegebe. Ei N heiße Gipfelpukt, we m > (a > a m ). Fall 1: Es gibt uedliche viele Gipfelpukte. Seie (0) < (1) < () <... sämtliche Gipfelpukte. Da gilt a (0) > a (1) > a () >..., d.h. (a (k) ) k N ist eie mootoe Teilfolge. Fall : Es gibt ur edlich viele Gipfelpukte. Da defiiere wir rekursiv (0) < (1) < () <... mit a (0) a (1) a ()...: (i) (0) := mi{m : k(k Gipfelpukt k < m)}; (ii) (k+1) := mi{m > (k) : a (k) a m }. [Beachte: (0) (k) (k) kei Gipfelpukt. ] 3.9 Satz (Bolzao-Weierstraß) Jede beschräkte Folge besitzt eie Häufugspukt. Sei (a ) N beschräkt. Nach 3.8 existiert eie mootoe Teilfolge (a (k) ) k N. Diese ist atürlich auch beschräkt, also koverget. 18

19 Defiitio. Die Folge (a ) N heißt Cauchy-Folge, we gilt: ε > 0 ε N m, ε ( a a m < ε) Satz (Cauchysches Kovergezkriterium) Eie Folge reeller Zahle kovergiert geau da, we sie eie Cauchy-Folge ist. I. Sei lim a = a ud ε > 0. Da existiert ei ε mit a ε < a < a + ε für alle ε. Daraus folgt a a m < ε für alle, m ε. II. Sei (a ) N eie Cauchy-Folge. Da existiert ei m 1 N mit m, m 1 ( a a m < 1). Es folgt a a m1 < 1, also a < 1 + a m1 für alle m 1 ; d.h. die Folge (a ) N ist beschräkt. Nach 3.9 besitzt sie eie kovergete Teilfolge (a (k) ) k N. Sei a := lim k a (k). Wir zeige u a = lim a. Sei ε > 0. Da existiert ε mit m, ε ( a m a < ε). Wege lim k a (k) = a gibt es ei k ε mit a a (k) < ε. Da auch (k) ε ud folglich a a a a (k) + a (k) a < ε + ε = ε für ε Lemma. Ist 0 < q < 1 ud gilt ( a + a +1 q a +1 a ), so ist (a ) N eie Cauchy-Folge. Durch Iduktio ach zeigt ma: (1) a +1 a q a 1 a 0, () a m+ a m = m+ 1 (a k+1 a k ). Daraus folgt: (3) a m+ a m m+ 1 k=m q m q k a 1 a 0 a 1 a 0 1 q. Sei u ε > 0. Da existiert ei m ε mit a 1 a 0 1 q < ε für alle m m ε. Mit (3) folgt daraus a a m < ε für alle, m m ε. Beispiel. Sei a 0 :=, a +1 := a. Durch Iduktio ach folgt ( 3 a ) ud weiter a + a +1 = (1 + 1 a +1 ) (1 + 1 a ) = a a +1 a a a +1 a. Nach 3.10, 3.11 ud 3.7b existiert also a := lim a 3. Es folgt a = lim a +1 = lim (1 + 1 a ) = a ud somit a a 1 = 0, a = 1 ± Bestimmte Divergez gege ± Defiitio. Eie Folge (a ) N heißt bestimmt diverget gege [ bzw. ], we gilt K > 0 fast (K < a ) [ bzw. K > 0 fast (a < K) ]. Schreibweise: lim a = [ bzw. lim = ]. Statt bestimmt diverget sagt ma auch ueigetlich koverget. q m k=m, a =

20 Beispiele: (1) Die Folge () N divergiert bestimmt gege. () Die Folge ( ) N divergiert bestimmt gege. (3) Die Folge (( 1) ) N divergiert. Sie ist aber icht bestimmt diverget. 3.1 Lemma. (a) Gilt lim a = oder lim a =, so lim a =. (b) Gilt lim a =, so (c) Ist (a ) N eie Nullfolge mit (a 0) ud lim fast 1 = 0. a (a > 0) [ bzw. fast (a < 0) ], so gilt lim fast 1 = [ bzw. ]. a (a) Sei lim a = ud K > 0. Für fast alle gilt da a < K ud somit K < a = a. (b) Sei ε > 0. Da (c) Gelte ( a > 1 ) ud folglich fast ε (a < 0) ud sei K > 0. Da fast fast ( 1 < ε). a (0 < a = a < 1 ) ud folglich fast K fast ( 1 < K). a 0

21 4 Uedliche Reihe Defiitio. Sei (a ) N eie Folge. Die Folge (s ) N der Partialsumme s := heißt eie (uedliche) Reihe ud wird mit a bezeichet. Kovergiert die Folge (s ) N, so wird ihr Grezwert ebefalls mit a bezeichet. a k, Ma et diese Grezwert auch die Summe der Reihe. ( ) Es gilt also: a = a lim a k = a. Aalog defiiert ma a. = 0 Beispiele: 1. 1 =1 (+1) = 1, de k=1 1 k(k+1) = ud lim = 1. x = 1, falls x < 1 (Geometrische Reihe) 1 x 1 p kovergiert, falls p N. =1 Aus k 1(k k(k+1) 1 ) folgt k=1 k p 1 k=1 k k=1 k(k+1) = +1 <. Die Folge ( 1 ) k=1 k p ist also beschräkt ud mooto wachsed. N 1 divergiert (Harmoische Reihe) =1 k=1 1 k = 1 + m m=1 k= m k > m=1 m=1 m 1 1 m = 1 =. 4.1 Lemma. Sid a ud b kovergete Reihe ud ist λ R, so kovergiere auch die Reihe (a ± b ) ud (λ a ), ud es gilt: Sei c := a k, d := b k ud s := (a ± b ) = a ± b ud (λ a ) = λ a. (a k + b k ). Nach Voraussetzug kovergiere die Folge (c ) N ud (d ) N. Mit Lemma 3.4a folgt daraus die Kovergez vo (s ) N ud (a + b ) = lim s = lim c + lim d = a + b. Ebeso erhält ma die übrige Behauptuge. 4. Lemma. (a) a kovergiert geau da, we a kovergiert. = 0 (b) Kovergiert a, so gilt a = 0 1 a + a, ud folglich = 0 ( ) lim a = 0. 0 = 0 Sei s := a k ud t 0, := k= 0 a k. Für 0 gilt da s = s t 0,. Mit Lemma 3.4 folgt daraus: (s ) N koverget (t 0,) 0 koverget; ud im Fall der Kovergez: a = lim s = s lim t 0, = 0 1 a + = 0 a. 1

22 Korollar. Ist a = b für fast alle, so gilt: a koverget b koverget. Ist a = b für alle 0, so gilt: a kov. a kov. b kov. = 0 = Satz (Cauchy-Kriterium für Reihe). Die Reihe a kovergiert geau da, we gilt: ε > 0 ε m ε m( Sei s := a k. Da gilt k=m+1 a koverget (s ) N koverget Korollar. a k = s s m (für m), ud folglich: k=m a k < ε) 3.10 (s ) N ist Cauchy-Folge (CK). Kovergiert die Reihe a, so ist (a ) N eie Nullfolge. Nach 4.3 gilt ε > 0 ε m ε ( a m = m k=m a k < ε). Bemerkug: Es gibt Nullfolge (a ) N, so daß a divergiert (z.b. a = 1 +1 ). b kov. (CK). 4.4 Lemma. Gilt (a 0), so kovergiert die Reihe a geau da, we die Folge ihrer Partialsumme beschräkt ist. Im Fall der Kovergez gilt a = sup N a k. Wege (a 0) ist die Partialsummefolge (s ) N mooto wachsed. Mit 3. ud 3.5 folgt daraus die Behauptug. Abkürzug: Gelte (a 0): a < : Defiitio (Itervallschachtelug) a kovergiert. Eie Folge vo Itervalle ( [a, b ] ) heißt Itervallschachtelug, we gilt: N (i) a a +1 b +1 b für alle ; (ii) lim (b a ) = Satz. Ist ( [a, b ] ) N eie Itervallschachtelug, so kovergiere die Folge (a ) N ud (b ) N gege eie gemeisame Grezwert x. Ferer ist a x b für alle N, ud die Folge (b 0, a 0, b 1, a 1, b,...) kovergiert ebefalls gege x. Die Folge (a ) N ist mooto wachsed ud beschräkt (durch b 0 ); also kovergiert (a ) N gege x := sup N a ud es gilt (a x). Ebeso erhält ma lim b = y mit (y b ). Ferer gilt 0 = lim (b a ) = y x, also x = y. Bleibt zu zeige lim k x k = x für x := b, x +1 := a. Sei ε > 0. Wege lim a = x = lim b existiert ei ε mit x a < ε & x b < ε für alle ε. Es folgt x x k < ε für alle k ε + 1.

23 4.6 Satz (Leibizsches Kovergezkriterium für alterierede Reihe). Sei (a ) N eie mooto fallede Nullfolge. Da kovergiert die Reihe ( 1) a gege ei x mit ( 1) k a k x ( 1) k a k für alle N. +1 Sei s := ( 1) k a k, c := s +1, d := s. Da gilt: c c + a + a +3 = c +1 c + a + = d +1 = d a +1 + a + d ud d c = a +1. Also ist ( [c, d ] ) eie Itervallschachtelug. N Nach 4.5 kovergiert die Folge (d 0, c 0, d 1, c 1,...) = (s 0, s 1, s, s 3,...) gege ei x mit c x d. Beispiel: ( 1) 1 +1 = kovergiert gege ei x [1 1, 1]. Defiitio (Absolute Kovergez) Eie Reihe a heißt absolut koverget, we die Reihe a kovergiert Satz Ist die Reihe ud es gilt a a. I. a kov. a absolut koverget, so kovergiert sie auch im gewöhliche Si, 4.3 = ε > 0 ε m ε m( k=m a k k=m a k < ε) 4.3 = a koverget. II. Aus ( a, a a ) folgt mit 3.7b a a ud a = a a, ud daraus die Behauptug. 4.8 Satz (Kovergezkriterie). (a) Majoratekriterium. Kovergiert absolut. (b) Quotietekriterium. c ud gilt Ma et da c eie Majorate vo a. ( a c ), so kovergiert die Reihe fast Ist 0 < q < 1 ud gilt ( a 0 & a +1 q ), so kovergiert die Reihe a absolut. fast a (c) Wurzelkriterium. Ist 0 < q < 1 ud gilt ( a q ), so kovergiert die Reihe a absolut. fast (a) Vorauss. 4.3 ε > 0 ε m ε m ( k=m a k k=m c k < ε) 4.3 a kovergiert. a (b) Gelte a 0 ud a +1 q für alle 0. Daraus folgt 0 ( a λ q ), wobei λ := a 0 q 0. a Die kovergete Reihe λq ist also eie Majorate für a. (c) Vorauss. Korollar. (i) θ < 1 ( a q ) fast Kovergiert die Folge wie bei (b) = Beh. ( ) a+1 a oder ( a ) gege θ R N N +, so gilt: a kovergiert absolut; (ii) θ > 1 a divergiert. 3

24 (Im Fall θ = 1, ka die Reihe koverget oder diverget sei. ) (i) Wir wähle ei q mit θ < q < 1. Da gilt a +1 a q bzw. a q für fast alle. (ii) I diesem Fall gilt 1 a +1 bzw. 1 a a für fast alle. Es folgt 0 < a a +1 bzw. 1 a für fast alle. Folglich ist (a ) N keie Nullfolge ud somit a diverget. Beispiele. 1. x! kovergiert für alle x R, de (für x 0) a +1 = x 0. a +1. (+1) kovergiert, de lim 1 +1 = lim (1 + 1 ) = Sei a := 1, b := 1 a. Es gilt lim +1 = lim a +1 Aber die Reihe a divergiert, währed b kovergiert. b = 1 ud lim +1 b ( ) = lim = Es ist auch lim a = lim = 1 ud lim b = lim ( = 1. ) { 4. Die Reihe a 1 falls ugerade a mit a = a +1 (0 < a < 1) kovergiert ach dem Wurzelkriterium, währed das Quotietekriterium keie Etscheidug liefert: a = a, aber a +1 /a falls gerade ist abwechseld a 3 ud a 1 > 1. 1 =1 = π 6, 1 =1 4 = π4 90, 1 =1 6 = π6 945 ( 1) +1 = ±... = l ( 1) k k+1 = ±... = π 4 lim Bemerkuge. (a) Aus ( a +1 < 1) bzw. ( a < 1) ka ma icht auf Kovergez der Reihe a schließe fast a fast (z.b.: Harmoische Reihe). (b) Das Quotiete- bzw. Wurzelkriterium ist eie hireichede, aber keie otwedige Bedigug für die 1 Kovergez eier Reihe (z.b.: ). (c) Liefert das Quotietekriterium Kovergez, so auch das Wurzelkriterium. Die Umkehrug dieser Aussage ist i.a. falsch (siehe obiges Beispiel 4). Defiitio. Ist D R icht ach obe (bzw. ute) beschräkt, so sei sup(d) := (bzw. if(d) := ). R := R {, }. Für x R gelte < x ud x <. Defiitio (Limes superior, Limes iferior) lim sup a := lim sup k a k R, lim if a := lim if k a k R. 4

25 4.9 Lemma. (a) Ist (a ) N beschräkt, so ist lim sup a der größte Häufugspukt der Folge (a ) N. (b) lim sup a < c a < c für fast alle. (c) c < lim sup a c < a für uedlich viele. (d) lim a = α R lim sup a = α. Aaloge Aussage gelte für lim if a. siehe Übuge. Defiitio. Eie Reihe der Form a x et ma eie Potezreihe (mit dem Mittelpukt 0), = 0 ud r := sup{ x : a x kovergiert} R + { } heißt ihr Kovergezradius. = Satz. Sei a x eie Potezreihe ud r ihr Kovergezradius. Sei ferer s := lim sup (a) x < r = a x ud a x kovergiere. (b) r < x = a x divergiert. (c) r = 1 s. (d) a lim +1 = α oder lim a = α (wobei α R + { }) = r = 1 a α. I diesem Zusammehag sei 1 := 0 ud 1 :=. 0 Wir beweise zuächst (a) ud (b), i.e. (a) ud (b) mit 1/s a Stelle vo r. Daraus folgt da r = 1/s ud somit (a),(b),(c). (a) 0 < x < 1/s s < q/ x für ei q < 1 4.9b p := 1 (q+1) q/p < 1 < 1/p (b) 1 s < x 1 x < s 4.9c { : fast ( < 1/p) ( ) ( a < q/ x ) fast ( a x < q/p < 1). fast a R + { }. ( a x < q) ( ). fast 1 x < a } = { : 1 < a x } = { : 1 < a x } ist uedlich. a (d) Sei lim +1 a = α R a + ud x > 0. Da lim +1 x +1 a x = α x, ud mit dem Korollar zu 4.7 folgt: a x a kovergiert absolut für α x < 1, ud divergiert für α x > 1. Ist lim +1 = ud x > 0, a so 0 < a x a +1 x +1 für fast alle ; also divergiert a x. lim 4.11 Satz (Cauchy-Produkt vo Reihe). Die Reihe a ud b seie absolut koverget, ud es sei c := a i b i. Da ist auch die Reihe c absolut koverget, ud es gilt: a = α 4.9d+4.10c r = 1/α. i=0 c = ( ) ( ) a b. A := a, A := a, A := a k, A := a ; aalog seie B, B, B, B defiiert. Da gilt: A B = lim (A B ) ud A B = lim (A B ) = sup N (A B ). 5

26 Ferer gilt: c k = k i=0 a ib k i = i+j a ib j = i i=0 I. Absolute Kovergez: c k i=0 II. c = A B: HS: Für m gilt c k A m B m A B A m B m. i c k A m B m = a i b j m m a i b j = m i m i=0 j=m+1 a i b j + i=m+1 j=0 i=0 j=0 a i b j = i=0 j=0 j=0 a ib j. i j=0 a ib j i=0 j=0 a ib j = A B A B. i=0 j=0 i=0 j=0 i=0 j=m+1 a i b j + i i=m+1 j=0 a i b j m m a i b j = A B A m B m. a i b j Sei u ε > 0. Da existiert ei m mit A B A m B m < ε ud A B A m B m < ε für m. Mit HS folgt daraus c k A B < ε für m. Beispiel. Das folgede Beispiel zeigt, daß die Voraussetzug der absolute Kovergez vo a ud b i Satz 4.11 otwedig ist. Sei a := b := ( 1) +1. Ferer gilt c = Da ist a koverget, aber icht absolut koverget. a k b k = ( 1) k ( 1)k = ( 1) k+1 k+1 1. k+1 k+1 Wir zeige u, daß (c ) N keie Nullfolge ist ud folglich c icht kovergiert. (+) = (+ (k+1) + k + 1) ( + (k+1))(k+1) = ( k + 1)(k + 1) (+1) 1 ( k+1)(k+1) + 1 (k ) (+1) k+1 k+1 + c. Defiitio (Umordug). Ist τ : N N bijektiv, so heißt die Reihe a τ() eie Umordug der Reihe a. 4.1 Satz. Ist a eie absolut kovergete Reihe mit dem Grezwert a, so kovergiert jede Umordug dieser Reihe ebefalls gege a. Sei τ : N N bijektiv ud ε > 0. Da a kovergiert, existiert ei ε mit m ε m( a k < ε). k=m Wege a = a existiert ei m 0 ε mit m0 a a k < ε. Nu wähle wir 0 N so groß, daß {0,..., m 0 } {τ(0),..., τ( 0 )}. Für 0 gilt da {τ(0),..., τ()} = {0, 1,..., m 0, m 1,..., m l } mit m 0 < m 1 <... < m l. Es folgt i=0 a τ(i) m 0 a k = l i=1 a m i l i=1 a m i m l k=m 1 a k < ε. Somit gilt für alle 0 : a i=0 a τ(i) a m0 a k + m0 a k i=0 a τ(i) < ε + ε = ε. Satz. Ist die Reihe a koverget, aber icht absolut koverget, so gibt es zu jedem α R eie Umordug mit a τ() = α. siehe Walter, Aalysis I, S.105. Beispiel: I Forster, Aalysis 1, S.44 wird eie Umordug der kovergete, aber icht absolut kovergete Reihe ( 1) agegebe, welche gege divergiert. +1 d.h. {τ() : N} = N & m, (m τ(m) τ()) 6

27 Die Expoetialreihe Defiitio Nach 4.8b kovergiert exp(x) := Bemerkug Lemma. x! x!, e := exp(1) = für jedes x R absolut. 1! e = ± 10 1 (a) exp(x) 1 + x für x 0; (Eulersche Zahl) (b) exp(x) = 1 + x + x r(x) mit r(x) 1 für x 1; (c) Für jede Nullfolge (x ) N gilt lim exp(x ) = 1; (d) Für jede Nullfolge (x ) N mit (x 0) gilt lim (a),(b) Nach 4. gilt exp(x) = 1 + x + = exp(x ) 1 x = 1. x! = 1 + x + x = x.! r(x) := x = kovergiert absolut (z.b. Quotietekriterium); für x 1 gilt also:! r(x) x = 1! =! 1 = 1 = 1 1 = = 1 ( 1 ) 1 = = 1. (c), (d) Sei (x ) N Nullfolge. Nach (b) gilt da r(x ) 1 für fast alle ; also ist ( r(x ) ) beschräkt. N Es folgt lim exp(x ) (b) = lim (1+x +x exp(x r(x )) = 1 ud lim ) 1 (b) = lim x (1+x r(x )) = Satz (Die Fuktioalgleichug der Expoetialfuktio). exp(x + y) = exp(x) exp(y) für alle x, y R. Nach Satz 4.11 gilt exp(x) exp(y) = c mit c := 1! (x + y), also c = (x + y) = exp(x + y).! 4.15 Lemma. Für alle x, y R gilt: (a) exp( x) = 1 exp(x) (b) exp(x) > 0 (c) exp(q x) = exp(x) q für alle q Q (d) x < y exp(x) < exp(y) (e) lim x = x lim exp(x ) = exp(x) (a) 1 = exp(0) = exp(x x) = exp(x) exp( x). (b) Ist x 0, so exp(x) 1 + x > 0 ach 4.13a. (c) 1. exp(0 x) = exp(0) = 1 = exp(x) 0. x k ( k)! yk k! = 1! Ist x < 0, so 0 < x < exp( x) (a) = exp(x) 1. ( ) x k y k = k. Für 0 N folgt aus 4.14 exp( x) = exp(x x) = exp(x)... exp(x) = exp(x) ud weiter exp(( ) x) = exp( (x)) = 1/ exp(x) = 1/ exp(x) = exp(x). 7

28 3. Für q = z/ mit z Z ud 0 N gilt exp(q x). = exp(q x) = exp(z x) 1.,. = exp(x) z ud folglich exp(q x) = exp(x) z = exp(x) q. (d) x < y y x > 0 1 < exp(y x) = exp(y) exp(x) exp(x) < exp(y). (e) lim x = x lim (x x ) = 0 lim exp(x x ) = 1 lim exp(x ) = lim (exp(x) exp(x x )) = exp(x) lim exp(x x ) = exp(x) Lemma. Zu jedem y > 0 existiert geau ei x R mit exp(x) = y. Nach 4.13a ud 4.15a,b existiere a < b mit exp(a) < y < exp(b). Defiitio eier Itervallschachtelug ([a, b ]) N mit exp(a ) y exp(b ) für alle : { [a, c a 0 := a, b 0 := b, [a +1, b +1 ] := ] falls y exp(c ) [c, b ] falls exp(c ) < y, wobei c := 1 (a +b ). Nach 4.5 existiert ei x mit lim a = x = lim b. Mit 4.15e ud (exp(a ) y exp(b )) folgt u exp(x) = lim exp(a ) y lim exp(b ) = exp(x), also exp(x) = y. Defiitio. Für x > 0 sei l(x) := das eideutig bestimmte y R mit exp(y) = x. Defiitio a x für a > 0 ud x R. Die Eideutigkeit folgt aus 4.15d. Nach 4.15c gilt exp(q l(a)) = exp(l(x)) q = a q für jedes q Q. Wir defiiere deshalb a x := exp(x l(a)) für beliebiges x R. Folgerug. Für alle a R +, x R gilt: e x = exp(x), e l(x) = l(e x ) = x, a x = e x l(a) Lemma (Recheregel). Für a, b R + ud x, y R gilt: (a) l(a b) = l(a) + l(b) (b) l(a x ) = x l(a) (c) a x+y = a x a y (d) a x y = (a x ) y, a x = 1 a x = ( 1) x a (e) a x b x = (a b) x (f) a < b l(a) < l(b) ud a x < b x für x > 0 (g) x < y & 1 < a a x < a y (a) exp(l(a) + l(b)) = exp(l(a)) exp(l(b)) = a b l(a) + l(b) = l(ab). (b) a x = exp(x l(a)) l(a x ) = x l(a). (c) a x+y = exp((x + y) l(a)) = exp(x l(a)) exp(y l(a)) = a x a y. (d) a xy = exp(xy l(a)) = exp(y(l(a x )) = (a x ) y. (e) a x b x = exp(x l(a)) exp(x l(b)) = exp(x(l(a) + l(b)) = exp(x l(ab)) = (ab) x. (f) Sei a < b. Wäre l(b) l(a), so b = exp(l(b)) exp(l(a)) = a; also l(a) < l(b). Für x > 0 folgt daraus x l(a) < x l(b) ud weiter a x = exp(x l(a)) < exp(x l(b)) = b x. (g) 1 < a 0 = l(1) < l(a) x<y x l(a) < y l(a) 4.15d a x < a y. 8

29 ( 4.18 Satz. e x = lim 1 + x), ( isbesodere e = lim 1 + 1). Sei lim x = 0 mit (x 0). Da gilt (1) lim l(1 + x ) = 0, de aus ε > 0 folgt e ε < 1 < e ε, also fast (e ε < 1 + x < e ε ), ud somit ( ε < l(1 + x ) < ε). Es gilt sogar () lim x 1 fast l(1 + x ) = 1, de für y := l(1 + x ) habe wir y (exp(y ) 1) 1 = x 1 l(1 + x ) ud (wg. (1)) lim y = 0. Mit 4.13d folgt daraus lim y 1 (exp(y ) 1) = 1 ud weiter lim x 1 l(1 + x ) = 1. Sei jetzt x := x/. Für > x gilt da 0 < 1+x ud somit (1+ x ) = (1+x ) = exp( l(1+x )) = exp(x x 1 l(1 + x )). Mit () ud 4.15e folgt daraus lim (1 + x ) = exp(x). Veräderugsprozesse ud die Expoetialfuktio u(t) sei eie im Laufe der Zeit t wachsede oder abehmede physikalische Größe (z.b. die Azahl der Bakterie i eier Kultur oder die Mege eier radioaktive Substaz). Abk.: x y : x ist äherugsweise gleich y. Für hireiched kleie Zeititervalle h 0 gelte: u(x + h) u(x) (1) αu(x) (α eie Kostate). h Zu gegebee t wähle ma N so groß, daß h := t hireiched klei, ud setze t k := k t Aus (1) folgt da: () u(t k+1 ) u(t k ) + αu(t k ) t = u(t k)(1 + αt ). Aus () folgt durch Iduktio: (3) u(t k ) u(0) (1 + αt ) k. Isbesodere für k = gilt: (4) u(t) u(0) ( 1 + αt ). Nimmt ma u a, daß i (4) mit wachsedem beliebig geau wird, so erhält ma mit Satz 4.18: u(t) = u(0) e αt. Uter der Halbwertzeit T eies Abahmeprozesses (z.b. radioaktiver Zerfall) versteht ma die Zeitspae, i der die vorhadee Substaz um die Hälfte abimmt: u(t + T ) = 1 u(t). Es gilt T = l() α. [u(0)e α(t+t ) = u(t + T ) = 1 u(t) = 1 u(0)eαt e α(t+t ) = e αt l() + α(t + T ) = αt T = l() α ] 9

30 b-adische Brüche Defiitio. Sei b N. Uter eiem b-adische Bruch verstehe wir hier eie Reihe der Gestalt a b mit a {0, 1,..., b 1}. Im Fall b = 10 spricht ma vo Dezimalbrüche. = Lemma. Jeder b-adische Bruch =m+1 Defiitio. =1 a b (b 1) a b kovergiert gege ei x [0, 1], ud für jedes m N gilt =m+1 b = b m (b 1) =m+1 (b 1 ) = b m b (b 1) 1 1 b 1 = b m. Ei b-adischer Bruch a b heißt ormiert, falls a 0 für uedlich viele. =1 =1 a b b m 4.0 Satz. Jede reelle Zahl x ]0, 1] läßt sich durch geau eie ormierte b-adische Bruch darstelle. Eideutigkeit: Seie a b ud a b ormierte b-adische Brüche, ud sei =1 =1 m := mi{ 1 : a a }. Da gilt ( ) m a b < a b ud o.e.d.a. a m < a m. Daraus folgt =1 a b = m 1 =1 a b + a m b m + =m+1 =1 =1 a b m 1 a b + (a m + 1)b m m =1 =1 a ( ) b < a b. =1 Existez: Wir defiiere rekursiv a {0,..., b 1} mit s < x s + b, wobei s := a k b k : a 0 := 0, a +1 := mi{l : x s + (l+1)b (+1) }. Aus x s + b = s + b b (+1) folgt a +1 < b. Aus s < x folgt (ach Def. vo a +1 ) s +1 = s + a +1 b (+1) < x s + (a +1 +1)b (+1) = s +1 + b (+1). Aus x s < b folgt a b = lim s = x. =1 Bleibt zu zeige, daß der Bruch a b ormiert ist: s m < x = s m + Korollar. Zahle darstelle. =1 =m+1 k=1 a b > m(a > 0). Jede reelle Zahl x läßt sich als Grezwert eier mooto wachsede (fallede) Folge ratioaler Sei o.e.d.a. x (0, 1]. Da x = lim s mit s = k=1 a k b k Q. Außerdem ist (s ) N mooto wachsed. Es gilt aber auch x = lim (s + b ) ud s +1 + b (+1) = s + a +1 b (+1) + b (+1) s + b. Defiitio. Ei b-adischer Bruch a b heißt periodisch, we es m, p N mit p 1 gibt, so daß > m(a = a +p ). =1 4.1 Satz. Für jede b-adische Bruch x = a b gilt: x Q a b ist periodisch. =1 : Sei x = r/q mit 1 r, q N. Sei ferer a 0 für uedlich viele (sost ist die Beh. trivial). Aus 0 x a k b k = a k b k b folgt 0 b r q a k b k = qb a k b k q. k=1 k=+1 =1 k=1 k=+1 30