VORKURS MATHEMATIK. Hermann König, Oktober 2008

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1 VORKURS MATHEMATIK Herma Köig, Oktober 008 Im. Semester des Mathematikstudiums werde die aus der Schule bekate Begriffe ud Ergebisse der Aalysis ud der Lieare Algebra eu behadelt, ud die Resultate werde sauber aus Grudaahme, de Axiome, abgeleitet. Diese logische Strege macht erfahrugsgemäß viele Studieafäger Schwierigkeite, da - aders als i der Schule - die Rechefertigkeite weiger im Vordergrud stehe als die saubere Grudlegug der Begriffe (wie etwa Stetigkeit oder Differezierbarkeit ud die logisch klare Beweise der Sätze (wie etwa des Hauptsatzes der Differetial- ud Itegralrechug. Die Rechetechike falle dabei ebebei ab: a dieser Stelle wird auf diese aus der Schule bekate Fähigkeite implizit zurückgegriffe, da sie ur kurz (ereut eigeübt werde. Der Vorkurs soll zur Erleichterug des Übergags Schule-Uiversität daher dazu diee - Rechetechike (Brüche, Poteze, Wurzel, Logarithme, trigoometrische Fuktioe zu wiederhole - de sichere Umgag mit Gleichuge ud Ugleichuge eizuübe - wichtige Beweisprizipie der Mathematik zu behadel (direkter ud idirekter Beweis, Beweis durch vollstädige Iduktio. Dies ist also kei axiomatischer Aufbau vo Themebereiche der Aalysis oder lieare Algebra (der erst i de Vorlesuge erfolgt. Isbesodere gehe wir vo eiem aive Verstädis der reelle Zahle aus. Wir werde allerdigs typische Techike mathematischer Schlussfolgeruge ud Beweisprizipie erörter. Zahle N = {,, 3, 4, 5,...} Mege der atürliche Zahle Z = {0,,,,,...} Mege der gaze Zahle Für a, b Z besteht geau eie der Beziehuge a < b, a = b, a > b. Aordugsregel: für a, b, c Z : (a b ud b < c a < c a < b a + c < b + c (a < b ud c > 0 a c < b c (a < b ud c < 0 a c > b c

2 Für alle a, b Z gibt es geau eie Zahl x = b a Z mit a + x = b; x ist i N, we b > a ist. Q = {[ p ] p, q Z, q 0} Mege der ratioale Zahle: q Ei Bruch p repräsetiert die gleiche Zahl wie der Bruch r, we ps = rq gilt: ratioale q s Zahle sid Äquivalezklasse solcher Brüche [ p ] = [ r ]. Durch Kürze fidet ma eie q s Darstellug x = p mit q N ud (p, q teilerfremd. Für alle a, b Q mit b 0 q gibt es geau eie Zahl x = b Q mit a x = b. a Nicht alle Läge auf der Zahlegerade köe durch ratioale Zahle dargestellt werde: so ist x = (Lösug vo x =, x > 0 icht ratioal, wird aber beliebig geau durch ratioale Zahle approximiert:.4 =.96 < <.5 =.5.4 =.988 < <.4 =.064 Somit.4 < <.5,.4 < <.4, < <.44 usw. ist irratioal, die ratioale ud irratioale Zahle bilde zusamme die Mege der reelle Zahle R, die durch uedliche Dezimalbrüche dargestellt werde. Die obige Orduge <, =, > lasse sich für alle reelle Zahle eiführe, mit de gleiche Recheregel. Der (Absolut- Betrag a eier Zahl a R wird durch { } a für a 0 a = eigeführt. a für a < 0 Dreiecksgleichug: a + b a + b ; a, b R Zur Bruchrechug: a c ± b c = a±b c ; a, b, c Q, c 0 (oder i R Es gilt icht: a b + c d = a+c b+d. Beispiele. ( S= also S= = 8 30 = 4 5. a ± c = ad±bc ; b, d 0 : Haupteerbildug b d bd : Haupteer ist kgv (, 3, 5, 6, 5 = 30, ( a + a+ a a a a a a+ = a a+(a+ ( a ( aa (a (a+ a a a (+a = a( a a(+a = + a a = a + a.

3 Poteze ud Wurzel Die -te Potez a eier reelle Zahl a R ist das -fache Produkt vo a mit sich selbst, wobei N ist. Ma setzt auch a 0 =. We b = a ist, ist b der Potezwert, a die Basis ud der Expoet. Für a, b R,, m N gelte die Recheregel a b = (a b, a a m = a +m a /b = (a/b, a /a m = a m (b, a 0 (a m = a m, a = a (a 0 Die -te Wurzel a = a / aus eier positive Zahl b, für die b = a gilt (mit N. reelle Zahl a > 0 ist diejeige positive Bemerkug: Für gerade =, 4, 6,... existiert für a < 0 keie Wurzel b = a im Bereich der reelle Zahle R (etwa. Für a > 0 hat da aber b = a zwei reelle Lösuge b (b > 0 ud b < 0. Für a R, a 0 ist a > 0. Es gilt i. a. icht a = a : ur korrekt für a > 0. Ma hat a = a. Recheregel für die Wurzelbildug: Für a, b > 0 ud, m N gilt a b = a b, a m a = m a +m a/ b = a/b, m a = m a Gleiche Gesetze wie bei de Poteze, we ma a = a / beachtet. Beispiele: ( 94 (a a b 8 (3ab 3 = 38 a 4 a b a 3 b 3 = 3 a 4 b ; a > 0, b 0 ( 3 5 = 5 /6 = (5 3 /6 = 5 / = 5.36 (3 Für a > b, also a > b gilt a a b a + a b = (a a b (a + a b = a a b = a (a b = b = b. (4 5+ = = 5 4 (5 + 3 = = 3 = 3 Für a > 0 ud α R lässt sich die allgemeie Potez a α eiführe, die für α = N mit der -te Potez ud α = /, N mit der -te Wurzel übereistimmt. Ma macht dies zuächst für ratioale Zahle α = m/, idem ma setzt a α = a m ud für beliebige reelle Zahle α da durch geeigete Approximatio, etwa.657 4/00 =.4 < <.4 = 4/00 =.676 (.665 3

4 Es gelte da die Potezrecheregel a 0 =, a α =, a α a = a /, a α b α = (a b α, a α a β = a α+β a α /b α = (a/b α, a α /a β = a α β. am = a m/ Beispiel: a + a ab + b = [a(a + ] / [b(a + ] / = (ab / (a + = (a + ab. Logarithme Seie a, b > 0 reelle Zahle, b, ud x R so, dass a = b x. Da heisst x = log b a der Logarithmus vo a zur Basis b. Dieser Logarithmus ist für a, b > 0, b eideutig bestimmt. Typische Base: b = 0, (0 er System, Dualsystem oder b = e.788 (Eulersche Zahl: Für b = e Schreibweise l := log e (atürlicher Logarithmus. Beispiel: log 6 = 4, da 4 = 6 log 3 ( 9 =, da 3 = 3 = 9 log 5 (5 = 3, da 5 3 = 5 Es gilt a = b log b a = log b (b a, log b = 0, log b b = Logarithmegesetze Für b > 0, b ud x, y > 0, a R gilt log b (xy = log b x + log b y ( log b (x/y = log b x log b y log b (x a = a log b x ( log b x = log b x (3 Herleitug vo (: Setze c := log b (xy, c := log b x, c := log b y. Da gilt b c = xy, b c = x, b c = y, also b c = xy = b c b c = b c +c, woraus c = c + c folgt. Zu (3: Sei c := log b x, c := log b x. Also b c = x = x /, b c = x = (x / = b c, woraus sich c = c ergibt. Zu (: Für ratioales a = m/ mit m, N ist ach (, (3 log b (x a = log b (x / m = m log b x / = m log b x = a log b x. Gesetz ( wurde früher (mit Hilfe vo Logarithmetafel oder mittels Recheschieber zum Multipliziere vo Zahle x, y beutzt (vor Eiführug der Tascherecher ud 4

5 wird auch heute iter i Computer verwadt. Übergag vo eier Basis b zu eier Basis d : log d a = (log b a (log d b (4 Beweis vo (4: Sei c := log b a, c := log d b, also b c = a, d c = b. Es ergibt sich d c c = (d c c = b c = a, also c c = log d a. Speziell gilt: Beispiele log 0 a = (log a (log 0, log 0 0, 3003 log a = (log 0 a (log 0, log 0 = 3, 39 log 0 l a = (log 0 a (l 0, l log 0 a = (l a (log 0 e, log e 0 = l 0 ( log 0 x = : x = 0 = /00 ( 5 x = 0, 04 = 5 : x = log 5 ( 5 = (3 l e 3(l e +l e 6 = l (e3 (l e +l e 6 = (e l 3 l(e e6 = l (e l(e8 3 = 3 l el e8 = 3 l e8 = 8 3 = (4 x = log 0 5 log (log 0 = log (log 0 = + (log 0 + 0, (5 x = ( e 3 l 5 = (e 3 l 5 = ( e l 5 3/ = 5 3/ = 5 (6 x = 0 +log 0 9 = 0 0 log 0 9 = 0 9 = 30 Trigoometrische Fuktioe Eie Ebee ka mit dem R = R R, dem kartesischem Produkt vo R mit sich selbst, idetifiziert werde. Ei Kreis vom Radius r > 0 mit Mittelpukt 0 = (0, 0 R wird durch K = {(x, y R x + y = r } gegebe (Pythagoras. Die (mathematisch positive Umlaufrichtug um de Kreis ist die Bewegug im Gegeuhrzeigersi. Der Wikel zwische der positive x-achse ud eiem i 0 R begiede zweite Halbstrahl (positiv oder egativ je ach Umlaufsi ka i 5

6 - Grad gemesse werde: eie Umdrehug 360, ei rechter Wikel 90 - Bogemaß gemesse werde: Läge des Wikelboges eies Kreises vom Radius r =, eie Umdrehug π, ei rechter Wikel π/ ( π = α etspricht im Bogemaß β = π 360 α = π 80 α ; α = 80 π β. Bogemaß β = etspricht i Grad α 57, 96. Wikelfuktio im rechtwiklige Dreieck O P Q im Eiheitskreis (Fig. Sius si β := Gegekathete Hypotheuse Kosius cos β := Akathete Hypotheuse Tages ta β := Gegekathete Akathete Kotages cot β := / ta β. Ma hat da ta β = si β/ cos β, ( π ( π si β = cos β, cos β = si β, (cos β + (si β =, + (ta β = / (cos β. Spezielle Werte der trigiometrische Fuktioe β cos β si β ta β 0 = π = / / / 3 π = 4 45 / / π = 3 60 / 3/ 3 π = 90 0 ± Siussatz I eiem allgemeiem Dreieck (ABC mit de Seite a, b, c, de Wikel α, β, γ gilt der Siussatz si α a = si β b = si γ c Mit de Bezeichuge aus Fig., speziell der Höhe h c : auf die Seite c, gilt si α = h c b, si β = h c a, 6

7 also h c = b si α = a si β, si α a = si β. b Kosiussatz Es gilt a = b + c bc cos α : Aus dem Satz des Pythagoras folgt h c = b q = a p. Mit p = c q ud cos α = q / b erhalte wir a = b + p q = b + (c q q = b + c cq = b + c bc cos α. Da cos α für α zwische 0 ud π ur für α = π/ Null wird, folgt aus a = b + c, dass α = π/ 90 ist: Umkehrug des Satzes vo Pythagoras. Additiostheoreme si (x ± y = si x cos y ± cos x si y ( cos (x ± y = cos x cos y si x si y ( si (x = si x cos x, cos (x = (cos x (si x (3 ta (x ± y = ta x± ta y. (4 (ta x(ta y Wir leite ( aus Fig. ab, we x, y (0, π/ ist: setze dort γ := x, γ := y, γ = x + y. Nach dem Kosiussatz gilt ab cos γ = a + b c Mit Pythagoras: a = p + h c, b = q + h c, c = (p + q. Also ab cos γ = p + h c + q + h c p q pq = (h c pq, cos γ = hc h c a b p q = cos γ a b cos γ si γ si γ. Der Beweis vo ( ist ählich. Für x = y ergibt sich (3. Beweis vo (4: ta (x + y = si (x + y cos (x + y = si x cos y + cos x si y cos x cos y si x si y 7

8 Teilt ma Neer ud Zähler durch (cos x (cos y, so erhält ma ta (x + y = ta x + ta y ta x ta y. Mit si 0 = si (π = si (π = 0, cos 0 = cos (π =, cos (π = gilt: cos (x + π = cos x cos (π si x si (π = cos x si (x + π = si x cos (π + cos x si (π = si x : die trigoometrische Fuktioe sid (π- periodisch. Ferer gilt cos (π ± x = cos π cos x si π si x = cos x si (π ± x = si π cos x ± cos π si x = si x Die Graphe vo si, cos, ta, cot sid i Fig. 3 ud 4 veraschaulicht. Doppelte-Wikel-Formel cos (x = cos x = si x impliziere für x = α, dass cos( α = +cos α, si ( α = cos α ta ( α = cos α +cos α Beispiel: cos(5 = = ( cos α (cos α = cos α si α +cos(30 = + 3 /, si(5 = 3/. Beispiele zu de Additiostheoreme: si (3x = si (x + x = si (x cos x + cos (x si x = si x (cos x + ( (si x si x = si x (si x 3 + si x (si x 3 = 3 si x 4 (si x 3 cos (3x = cos (x + x = cos(x cos x si (x si x = ((cos x cos x (si x cos x = (cos x 3 cos x cos x + (cos x 3 = 4(cos x 3 3 cos x Gleichuge Lieare Gleichuge i eier Ubekate / Variable x habe die Form ax + b = c ; aufgelöst x = c b, we a 0 ist. a 8

9 Beispiele: a 6x + 3 x + = 8, vereifacht 4x + 4 = 8, 4x = 4, x =. b x a = ur sivoll, we die Lösug x b ist. Für x b gilt die Gleichug, x b geau we x a = x b, x = a b : x b, we a b ist. Quadratische Gleichuge i eier Ubekate x habe die Form ax + bx + c = 0, x + px + q = 0 mit p = b, q = c. a a Quadratische Ergäzug: (x + p + q ( p = 0 x + px + q = 0 Lösuge also x = p ± ( p q : geau zwei Lösuge, we p = 4q eie doppelte Nullstelle x = p. p 4q, für Ugleichuge Multipliziert ma die Ausdrücke i eier Ugleichug a < b mit eier { positive / egative } Zahl c, { bleibt sie erhalte / kehrt sie sich um} : (c > 0 ac < bc / (c < 0 ac > bc Beispiele ( 5 < 6 5 = 0 < 6 = ( 5 = 0 > ( 6 = ( Fide die reelle x R, für die die Ugleichug gilt: x + 4x 5 < 0 Mit x + 4x 5 = (x + 9 gilt das, geau da, we (x + < 9 = 3 ist. Das bedeutet x + < 3, also x + < 3 ud (x + < 3. Ersteres bedeutet x <, zweites 5 < x. Lösugsitervall also ( 5,. (3 Fide die reelle x R mit x x > 0. Es ist x x = (x 5 4 > 0 (x > 5 4, also für x > 5 : x > 5 oder (x > 5. Dies gilt für x > + 5 oder x < 5. Lösugsmege x (, 5 ( 5+,. (4 Lösugsmege x M vo (* 3x x+4 < gesucht, x. a Falls x + 4 > 0 ist, also x >, darf ma die Ugleichug mit x + 4 multipliziere: 3x < 3x < (x + 4 = 4x < x x+4 Da x > x > 9, gilt (* also für alle x >. b Falls x + 4 < 0 ist, also x <, ergibt die Multiplikatio mit x + 4 < 3x > (x + 4 = 4x + 8 x < 9. 3x x+4 9

10 (* gilt also auch für alle x < 9. Lösugsmege daher M = (, 9 (,. (5 Lösugsmege M vo (3x 5 (x 4(x gesucht. Divisio durch (x ergibt: a für x > : 3x 5 4, 3x 9, x 3 : Itervall [,3]. b für x < : 3x 5 4, 3x 9, x 3 : keie Lösug. M=[,3]. (6 Fide die reelle x R mit x 6x + 5 < 3. (+ a Es ist x 6x + 5 = (x 5(x 0 x 5 oder x x (, ] [5, =: M. Für x M gilt (+, we x 6x + 5 < 3 ist, d.h. x 6x + < 0 ist. Lösuge vo x 6x + = 0 sid x ± = 3 ± 7. Es ist x 6x + < 0 geau da, we x (x, x + = (3 7, (0, 354, 5, 646 Lösuge vo (+ also für x (3 7, ] [5, b x 6x + 5 < 0 x (, 5 =: M. Für x M gilt (+, we (x 6x + 5 < 3 ist, also x 6x + 8 > 0 gilt. Lösuge vo x 6x + 8 = (x 4(x = 0 sid x =, 4. Also (+ erfüllt für x (, (4, 5. Zusammegeomme gilt (+ für x M := (3 7, (4, Skizziere de Graphe vo y = x 6x + 5. Aussagelogik Mathematische Aussage sid wahr (w oder falsch (f, eie dritte Möglichkeit wird ausgeschlosse. Aussageform = Aussagesatz mit eier freie Variable, weder w och f. Es wird eie Aussage daraus, we ma für die Variable kostate Werte eisetzt. Aussage 7 ist eie Primzahl w 7 ist eie gerade Zahl f 7 < 3 f Aussageform x + x + = 0 : für x = w für x = + f Zuächst ist offe, ob es überhaupt Werte gibt, für die die Aussageform w wird. Dazu die Existezaussage: x R = es gibt x R mit... : Sei A(x eie Aussageform mit eier freie Variable x : x X A(x. x R x + = 0 w (wähle x = x R x + 4x + 4 = 0 w (wähle x = x R x + = 0 f (x 0 x + > 0 0

11 Uiversalaussage: x R A(x = für alle x R gilt A(x. x [, x > x w x R x > x f (0 = 0 0 Negatio vo Aussage A: A mit umgekehrtem Wahrheitswert: A w f A f w Negatio vo Existez- ud Uiversalaussage: ( x R A(x gleichbedeuted mit ( x R A(x ( x R A(x gleichbedeuted mit ( x R A(x Kojuktio zweier Aussage A, B : A B = A ud B A B ist geau da wahr, we beide Aussage wahr sid. Disjuktio zweier Aussage A, B : A B = A oder B A B ist geau da wahr, we midestes eie Aussage wahr ist. A B A B A B w w w w w f f w f w f w f f f f Beispiele: A: 3 < 7 w B: 3 ist gerade f C: 3 teilt 6 w Da ist A B : f, A B : w, A C : w, A C : w. D : a < c F : a > c E : b < c G : b > c Da bedeutet D E : max{a, b} < c F G : max{a, b} > c. Implikatio: Seie A, B Aussage. Aus A folgt B, A B, bedeutet: we A gilt ( w ist, gilt auch B ( ist w. A ist die Voraussetzug / Prämisse, B die Behauptug / Koklusio. Die Implikatio A B ist geau da falsch (f, we A wahr ud B falsch ist (aus A

12 ka B icht gefolgert werde. A B A B ( A B B A ( B ( A w w w w f f w w f f f w f f f w w w f w w f f w w w w w A B ist also gleichbedeuted mit ( A B. Die Implikatio ist die Grudlage mathematische Schließes. We allerdigs A falsch ist, ka B w oder f sei, auch bei wahrer Implikatio: Aus eier falsche Aussage ka ma beliebig usiige (f Aussage folger: Beispiel A : 4 8 w, B: 8 w C : 4 6 f, D: 4 5 f Implikatio A B ist wahr (w Implikatio A C ist falsch (f (A : w, aber B : f Implikatio C D ist wahr (w (C, D beide f Implikatio C B ist wahr (w (C : f, B : w Zur letzte Implikatio: Aus eier falsche Aussage ka durch korrektes Schließe sowohl eie wahre wie auch eie falsche Aussage gefolgert werde (Implikatio als solche ist wahr: Aus - = (f folgte durch Quadriere = (w, durch kubische Potezbildug ( 3 = 3, d.h. - = (f. Äquivalez A B bedeutet A B ud B A A gilt geau da, we B gilt. We die Implikatioe A B wahr ist, d.h. aus Aussage A Aussage B gefolgert werde ka, sagt ma A ist eie hireichede Bedigug für B B ist eie otwedige Bedigug für A. Beispiel: A : 6 teilt B : 3 teilt A B ist wahr (3 teilt 6, 6 teilt, also 3 teilt Hireiched dafür, dass 3 teilt, ist, dass 6 die Zahl teilt. Notwedig dafür, dass 6 teilt, ist, dass 3 die Zahl teilt. Beweismethode. Direkter Beweis Er besteht aus eier Folge vo Implikatioe, begied mit eier wahre Aussage, so dass die letztedliche Schlussfolgerug auch wahr ist.

13 Beispiel: Voraussetzug : a, b R, a 0, b 0 a+b Behauptug : ab Beweis. Die Aussage (a b 0 ist wahr. Also a + b ab 0 a + b + ab 4ab, d.h. (a + b 4ab (a + b ab durch Wurzelziehe. Daher folgt a+b ab. Problem: Aussage A fide, vo der ausgegage wird: (a b 0. Oft versuchsweise Umformulierug der Behauptug, bis ma auf eie solche wahre Aussage (wie A kommt: das ist aber die falsche Schlussrichtug: ma muss da die Schlüsse umkehre köe.. Idirekter Beweis A B ist logisch äquivalet zu B A : we B icht gilt, gilt auch A icht (de aus A soll ja B folge. Dies ist das Prizip des idirekte Beweises: ma immt a, die Behauptug B gelte icht ud führt dies zu eiem Widerspruch zur Aahme, dass A gilt. Beispiel. Voraussetzug: a, b R, a 0, b 0 a+b Behauptug: ab Beweis. Die Negatio der Behauptug ist, dass Zahle a 0, b 0 existiere mit a+b < ab. Quadriere: (a+b < ab, a + ab + b < 4ab, a ab + b < 0, (a b < 0 4 Widerspruch, da Quadrate reeller Zahle 0 sid. Beispiel. Behauptug: ist irratioal ( / Q. Beweis. Ageomme Q gelte. Da gibt es p, q N mit = p q. Durch Kürze köe wir aehme, dass p ud q teilerfremd sid. Quadriere ergibt q = p. Wäre p ugerade, wäre auch p ugerade (p = k + p = 4k(k + +. Aber p = q ist gerade. Somit muss auch p gerade sei, p = l, l N. Folglich gilt 4l = p = q, q = l. Aalog zu vorher folgt daraus, dass q gerade ist. Also habe p ud q de gemeisame Teiler. Widerspruch. Die Aahme Q muss also falsch gewese sei. 3. Vollstädige Iduktio Die vollstädige Iduktio ist ei Beweisverfahre, um Aussage über alle atürliche 3

14 Zahle ab eier gewisse Zahl 0 N 0 := N {0} zu beweise, etwa die Richtigkeit der Aussage A( für alle N : A( : = (+ Der Iduktiosbeweis erfolgt i zwei Schritte:. Iduktiosafag: Es wird gezeigt, dass die Aussage A( 0 für = 0 gilt.. Iduktiosschritt: Uter der Voraussetzug, dass für ei 0 die Aussage A( gilt, wird die Aussage A( + gezeigt. Also: a. Iduktiosvoraussetzug: A( gilt. b. Iduktiosbehauptug: Es wird behauptet, dass A( + richtig ist. c. Iduktiosbeweis: Aus A( wird A( + hergeleitet. Typischerweise ist 0 = 0, oder. We A( 0 gemäß. gilt, gelte sukzessive gemäß. auch A( 0 +, A( 0 + etc., d.h. alle A( mit 0. Wichtig aber: Afag A( 0 gültig. Beispiele: i A( : = (+ wahr. Afag: A( : = wahr. Schritt: Es gelte, dass = (+ wahr ist. Wir behaupte: ii = (+((++ = (+(+. Mit der Iduktiosvoraussetzug ergibt sich ( ( + = (+ + ( + = (++(+ = (+(+. A( : = ( (+ falsch Die Beh. ist falsch, der. Schritt (Iduktiosafag gilt icht 0 3 = 0. Aber der. Schritt (Iduktiosschritt würde fuktioiere: Aus A( : = ( (+ folgte ( ( + = ( (+ + ( + = ( + + (+ = +3 = ((+ ((++, also A( +. Es ist also wichtig, dass der Iduktiosafag gilt, ggf. = 0, oder, aber erst später: auch och icht für iii A( : > wahr für 5, falsch für =, 3, 4. Iduktiosafag: = 5, A(5 : 5 = 3 > 5 = 5 4

15 . Iduktiosschritt: Aahme: > gelte. Behauptug + > ( +, also > + +. Wir wisse >, also >. We + + wäre, folgte die Behauptug. Wir beötige also 0 d.h. (. Für 3 gilt 0, also + = > + + = ( +. Biomialkoeffiziete Seie, k N 0 := N {0}, 0 k. Sei (! k :=. ( ( k!( k! 0 =, =. Es ist ( ( k = k. Behauptug. ( ( k + ( k = + k für k. Beweis. ( ( k + k =! +! = (+ k+k! = (+! = ( + k! ( k! (k! (+ k! k!(+ k! k!(+ k! k I Dreiecksform ( aufgeschriebe, erhält ma das Pascalsche Dreieck. Der Biomialkoeffiziet k gibt die Azahl der Möglichkeite wieder, k verschiedee Elemete aus eier Mege vo Elemete auszuwähle. So ist etwa die Azahl der Möglichkeite im Lotto ( 49 6 = : Satz. Sei N ud 0 k. Da ist ( k die Azahl der Möglichkeite, k Elemete aus eier -elemetige Mege auszuwähle. Beweis. Mit A( bezeiche wir die Aussage für N : 0 k ( k = Zahl der Auswahlmöglichkeite vo k aus Elemete. Wir beweise dies durch Iduktio über N: Iduktiosafag: = : ( ( 0 = = ur jeweils eie Möglichkeit. Iduktiosschritt: A( gelte. Wir betrachte da eie ( + elemetige Mege ud wolle k Elemete davo auswähle. O. B. d. A. sei k ; die Fälle k = 0 ud k = + sid trivial. Es gibt da zwei Möglichkeite: Eies der ausgewählte k Elemete ist das ( + te, da müsse ach (k aus de erste Elemete ausgewählt werde oder icht. Das ergibt isgesamt ( ( + = k k ( + Auswahlmöglichkeite. Für alle k durchgeführt, ergibt das A( +. k 5

16 Biomischer Satz Seie a, b R ud N. Da gilt die Biomische Formel A( : (a + b = ( 0 a + ( = a i b i. i=0 ( i a b + ( a b ( ab + ( b Beweis der Aussage A ( durch vollstädige Iduktio:. Iduktiosafag: A( gilt, da (a + b = a + b = ( 0 a + ( b.. Iduktiosschritt: Es gelte A(. Wir beweise A( + : (a + b + = (a + b (a + b Iduktiosvoraussetzug awede = (( 0 a + ( a b ( ab + ( b (a + b = (( 0 a + + ( a b ( a b + ( a b + (( 0 a b + ( a b ( a b + ( b + Vorfaktore beider Terme a b addiere sich zu ( + ( 0 ( = + = +. ( + ( = + Vorfaktore der Terme a (+ i b i addiere sich zu (, also i i i (a + b + = ( + 0 a + + ( + a b + ( + a b ( + + b + = + a + i b i, also A ( +. i=0 Es folgt also z. B. = ( + = ( + i i=0 ( i, 0 = ( = i=0 ( i ( i. (a + b 4 = a a 3 b + 6 a b + 4a b 3 + b 4, mit ( 4 = 6. Komplexe Zahle Nicht alle quadratische Gleichuge habe reelle Lösuge; so besitzt etwa x + = 0, x = keie reelle Lösug x R, da stets x 0 ist. Ma führt die imagiäre Eiheit i := als icht-reelle Zahl ei, um komplexe Lösuge beliebiger quadratischer (ud aderer algebraischer Gleichuge zu bekomme. Paare reeller Zahle (a, b R kombiiert mit i, a + ib bezeichet ma als komplexe Zahle C := {a + ib a, b R}. Auf C führt ma eie Additio ud eie Multiplikatio ei (idem ma formal kompoeteweise addiert ud mit Kommutativ - ud Distributivgesetz - axiomatisch vorausgesetzt - arbeitet: für a, a, b, b R setze (a + i b + (a + i b := (a + a + i(b + b (a + i b (a + i b := (a a b b + i(a b + a b. 6

17 Dabei beutzt ma formal i =. Die quadratische Gleichug x + px + q = 0 hat da auch für p < 4q zwei Lösuge, ämlich x ± = p p ± 4 q = p ± i q p 4 C. Sei z = a + ib C mit a, b R. Da heißt a der Realteil ud b der Imagiärteil vo z, a = Re z, b = Im z, z = Re z + i Im z. Die Zahl z := a ib heißt die zu z kojugiert komplexe Zahl ud z : a + b der Betrag vo z. Es ist z z = z. Ma ka C als Vektore i der Gaußsche Zahlebee veraschauliche, durch Idetifikatio vo C = R + ir mit R, vgl. Fig. 5. Da etspricht die Additio komplexer Zahle die Vektoradditio im Parallelogramm. Ma ka i C auch Quotiete z z = a +i b a +i b bilde, we der Neer a + i b icht 0 ist, d.h. we a 0 oder b 0 ist: z z = z z z z = (a + i b (a i b (a + i b (a i b = (a a + b b + i(b a a b a + b Es gilt übriges z z = z z, z z = z z für z 0. Beispiele: (( + 3 i(3 i = (6 6 i + i(3 3 ( i 3 7 i = = ( (3 3 i (3 + 7 i(3 7 i = = 4 (3 3a+4b i 4a 3b i + 4a 3b i 4a+3b i = (3a+4b i(4a+3b i+(4a 3b i(4a 3b i (4a 3b i(4a+3b i (4(5 i(6 i + ( 5 i 6 i = 6a +9b ([(a b + i(6ab + 9ab] + [(6a 9b i(ab + ab] = 6a +9b ((8a b + iab = 7(4a 3b +iab 6a +9b = (9 i + (5 i(6+i (6 i(6+i = 9 i + 3 i 37 = i Ableitugsregel Sei I = (a, b R ei Itervall ud f : I R eie differezierbare Fuktio, d.h. eie eideutige Abbildugsvorschrift f, so dass für alle x 0 I der Grezwert f (x 0 := f(x f(x 0 lim x x0 x x 0 7 existiert.

18 Die geaue Defiitio vo Grezwerte erfolgt i der Vorlesug: Steigug der Tagete a de Graphe vo f im Pukt (x 0, f(x 0 R als Grezwert der Steiguge vo Sekate durch (x 0, f(x 0 ud (x, f(x, vgl. Figur 6. Potezfuktioe f(x = x α ; α R f (x = αx α ; x R (x > 0 we α / R. Recheregel: Sid f, g : I R differezierbar ud α, β R, gelte die Formel (α f + β g (x = α f (x + β g (x Summeregel (fg (x = f (x g(x + f(x g (x Produktregel ( f g (x = f (xg(x g (x f(x Quotieteregel (g(x 0 g(x Beh. si (x = cos (x, cos (x = si(x, ta (x = (cos(x Beweisidee: Der Differezequotiet für si(x i x 0 ist für h R (x = x 0 + h si(x 0 + h si(x 0 h = si( h cos(x 0 + h h Dabei wurde beutzt, dass gilt ( si x 0 + h ± h ( = si x 0 + h Wir behaupte, dass lim x 0 si x x ( = cos x 0 + h. cos h ( ± cos x 0 + h si = ist (Wikel x im Bogemaß. si(h/. h/ ( h. Es ist si x < x < ta x = si x cos x, also cos x < si x x <. Nähert sich x der Null a, so ähert sich cos x der a. Für x = h ud h 0 folgt si(x lim 0 +h si(x 0 = cos (x h 0 h 0, de lim cos(x 0 + h = cos(x h 0 0. Beweis für cos = si ählich. Quotieteregel: Für cos(x 0 gilt ta (x = ( si (x = cos(x + si(x = cos cos(x cos(x. Expoetialfuktio ( Für Ziseszis - Betrachtuge ist vo Bedeutug, dass der Grezwert e := lim + 8

19 existiert (Beweis i der Vorlesug, e.788. Ma hat für festes h R, we ma m = h setzt e h = lim Somit gilt für de Differezequotiete D := eh e 0 h ( + h ( = lim + h m. m m = eh h = lim m ( + h m m h ach dem Biomische Lehrsatz [( D = lim + m h + ( ] m(m h m m m + /h ( = lim + m h + ( m m m 3 /m 3 h +... Für h 0 muss ma zeige, dass ma beide Grezwerte vertausche ka, um zu folger lim h 0 e h e 0 h (e x = lim h 0 =, woraus mit e x+h = e x e h e x+h e x h = e x lim h 0 e h e 0 h folgt. Die Bedeutug der Eulersche Zahl e resultiert aus dieser Formel f = f, we f(x = e x, x R ist. Folgerug. Für a > 0 gilt (a x = a x l a. De: (a x = [ (e la x] = ( e x l a = (l a e x la = (l a a x, mit der Ketteregel = e x 9

20 (f g (x = f (g(x g (x, wobei f (y = e y, g(x = x la ist. 0