Technische Mechanik 4 / FEM

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1 Technische Mechanik / FEM Formesammung und Beispieaufgaben Michae Goeer / Christoph Stapf Inhat: Zugstab Torsionsstab Biegebaken Zugstab D Zugstab 3D

2 Der Zugstab (ZS) Leitbeispie: Technische Mechanik / FEM Ein gegiederter Stab aus GG ist an beiden Enden eingespannt und durch eine Kraft F L = 5 an Knoten 3 beastet. E = 8 Stab Längen und Querschnitte der Eemente: A = mm; A A = 15 B = 16mm; B A = 1 C = mm; C A = 5 Ersteung des FEM-Modes: Festegung der Struktur mit den einzenen Eementen und der Lage der Knoten Zunächst müssen die Steifigkeitsgrößen der einzenen Eemente aufgestet werden, wobei die Größen eines Eements (hier C) as Systemgröße definiert werden: Ae Werte werden auch durch Sys c dividiert, um handichere Werte zu erreichen. Agemein: E A c = Hier: C SysC CC E A 8 5 Cc = Sysc = c = = = = = = 1 Sys C C mm Cc = 1 c B E A 8 1 c = Bcre c = = = 5 1 B 16mm Bc 51 c = = =,5 B = c 1 c,5 c B re Sys A E A 8 15 c = Acre c = = = 3 1 A mm Ac 31 c = = = 1,5 A = c 1 c 1,5 c A re Sys 1 Michae Goeer / Christoph Stapf ZS 1

3 In der 1. Mögichkeit ist die Rechnung mit den Faktoren c beschrieben. In der. Mögichkeit ist die Rechnung mit den echten Werten beschrieben. Das Ergebnis ist beide Mae das geiche, bei der 1. Mögichkeit ist die Berechnung übersichticher, da mit keineren Zahen gerechnet wird. 1. Mögichkeit Anegen der Gesamtsteifigkeitsmatrix aus den ESM: G A1, 5 A 1, 5 1, 5 1, 5 + A 1, 5 A1, 5 B,5 B, 5 1, 5, 5 K = = + B, 5 B, 5 C1 C 1,5 3,5 1 1 C 1 C1 1 Fesseungen durch Hochsetzen der Diagonaeemente (wegen Einspannung): 5 1 1,5 1, 5, 5 = G1K,5 3, Anegen des normierten Lastvektors: FL 5 = = = fl mm (neg. da Kraft in neg. x-richtung wirkt) c 1,5 Berechnen des Verformungsvektors: 1,86 d= = G1K fl mm u = -,86mm; u 3 = -,19mm,19 Berechnen des Gesamt-Kraftvektors: 19 f = c GK d= c ( GK d fred ) = U 1 = 19; U = 581 Berechnung mit 1. Geichung nur mögich, wei äußere Kraft am Knoten angreift (f red = ) Mutipikation mit c, um die echten Werten zu erhaten 1 Michae Goeer / Christoph Stapf ZS

4 . Mögichkeit Anegen der Gesamtsteifigkeitsmatrix aus den ESM: G A3 A 3 A 3 A3 + B5 B 5 K = B 5 B5 + C C C C = K m² 5 7 G m Fesseungen durch Hochsetzen der Diagonaeemente (wegen Einspannung): = G1K Anegen des normierten Lastvektors: = fl (negativ da Kraft in negativer x-richtung wirkt) 5 Berechnen des Verformungsvektors: 1,86 d= = G1K fl mm u = -,86mm; u 3 = -,19mm,19 Berechnen des Gesamt-Kraftvektors: 19 f = GK d= GK d f red = U 5 1 = 19; U = keine Mutipikation mit c, da bereits mit den echten Werten gerechnet wurde! 1 Michae Goeer / Christoph Stapf ZS 3

5 Aufgabe.1 (Verformung im Inneren des ZS) An dem Bautei des Leitbeispies so die Verformung an den von oben gemessenen Steen y = 3mm und y = 5mm berechnet werden. F L = 5 Lösung: Umrechnung der y-koordinaten in x-koordinaten: y(3) = x(6) und y(5) = x(6) Berechnung der Verformungen im Inneren des Zugstabes: uj ui Agemein: ux = ui + x,86 gyu5 = Au6 = + 6 =,5mm,19 (,86) gyu3 = gxu6 = Bu6 =,86+ 6 =,987mm 16 (Index g steht für Goba, x oder y für das jeweiige Koordinatensystem) Aufgabe. (Diskrete Kraft im Inneren des ZS) Im Bautei vom Leitbeispie greift anstee der Knotenast eine Kraft F L = 5 im Abstand von 3mm von oben an. Berechne die Verformungen von Knoten und 3, die Aufagerkräfte, sowie die Eementschnittkräfte von A, B und C. c = 1 (siehe Leitbeispie) Lösung: Reduzierung der inneren Kraft auf Knotenkräfte: a a Agemein: Ujred = U und Uired = U 6mm Ujred = U3red = 5 = 1875 =,9375 c 16mm 1mm Uired = Ured = 5 = 315 =,1565 c 16mm Σ: -5 (Kontroe) Reduzierter Lastvektor:,1565 fl = red oder 315 fl,9375 red = Michae Goeer / Christoph Stapf ZS

6 Berechnung des Verformungsvektors: 1,18 d = G1K flred = mm u,988 = -,18mm; u 3 = -,988mm Berechnen des Gesamt-Kraftvektors: 3 f = c ( GK d fred ) U 1 =3; U = Aufgabe.3 (Innere Verformung bei Kraft im Inneren) Berechne im Eement B der Aufgabe. die Verformungen an der Krafteineitungsstee und an den Steen mit den Eementkoordinaten mm und 1mm. (Index a bezeichnet die Stee der Krafteineitung) Lösung: Verformung an der Krafteineitungsstee: a Agemein: ua = ui Ui E A 6mm u = u =,18mm 3 =,135mm 8 1 gx 6 B 6 Verformungen an den Eementkoordinaten: Agemein: ua ui ux1 = ui + x a j a für x a und u = u + ( x a) x a u u a für a x Für x = mm:,135 (,18) ux =,18mm + =,1159mm 6 Für x = 1mm:,988 (,135) ux1 =,135mm + (1 6) =,187mm Michae Goeer / Christoph Stapf ZS 5

7 Aufgabe. (Linear verteite Streckenängskraft) In das Bautei vom Leitbeispie greift anstee der Knotenast im Eement B eine inear verteite Streckenängskraft an. Am Knoten mit dem Wert - /mm, am Knoten 3 mit - /mm. Berechne die Verformungen von Knoten und 3, die Aufagerkräfte, sowie die Eementschnittkräfte der Eemente A, B und C. Stee die Kräfte an den Eementen grafisch dar. Lösung: Umwandung der Streckenängskraft in verformungsgeiche Knotenkräfte: 6 Agemein: Ujred = ( qui + quj ) 6 und Uired = ( qui + quj ) 16mm Uired = Ured = ( ( ) + ( )) = 133 =,167 c mm mm 6 16mm Ujred = U 3red = ( ( ) + ( )) = 667 =,1333 c mm mm 6 Reduzierter Lastvektor:,1665 fl = red oder,13335 fl red 133 = 667 Berechnung des Verformungsvektors: 1,91 d3 = G1K flred = mm u,13 = -,91mm; u 3 = -,13mm Berechnen des Gesamt-Kraftvektors: 735 f = c ( GK d3 fred ) = U 1 =735; U = Michae Goeer / Christoph Stapf ZS 6

8 Aufgabe.a Wie Aufgabe., Lösung jedoch über Zwischenknoten. Das Eement B wird aufgeteit, so dass 3 neue Eemente entstehen. Das bisherige Eement C ist nun Eement F. Eement B in Aufgabe. Systemgröße: c = c = 1 F c re = 1 (siehe Leitbeispie) F Sys Reativgrößen: A c = 3 1 Ac 31 c = = = 1,5 c 1 A re Sys E A 8 1 c = c = c = c = = = 1 Bc 1 Bcre = Ccre = Dcre = Ecre = = = 1 c 1 B C D E Sys Ersteen der Gesamtsteifigkeitsmatrix: 1,5 1,5 1, 5 11, K = Michae Goeer / Christoph Stapf ZS 7

9 Eemente (1,1) und (7,7) auf 1 5 hochsetzen, da Einspannstee: 5 1 1,5 1, 5 11, Ka = Umwandung der Streckenängskraft in Knotenkräfte:,5 U = = 5 =,15 c,5 7,5 U3 = = 1=,5 c 7,5 3,5 U = = 1=,6 c 3,5 37,5 U5 = = 1=,7 c 37,5 U6 = = 775 =,3875 c Reduzierter Lastvektor:,15,5 fl =,6 mm,7,3875 Berechnung des Verformungsvektors:,911,17 1 d= Ka fl =,19 mm,198,133 Berechnung des Gesamt-Kraftvektors: f = c K d = 1 U 1 =73; U 7 = Michae Goeer / Christoph Stapf ZS 8

10 Aufgabe.5 (Längskraftverauf) Berechne in Aufgabe. die Stee, an der die Längskraft = ist und stee den Längskraftverauf über die Länge des ZS grafisch dar. Lösung: Agemein: qui qui Ui x = ± q q q q q q Uj Ui Uj Ui Uj Ui (usteen) ( ) 16mm ( ) 16mm 16mm 735 x = ± ( ) ( ) ( ) x = 16mm ± 63,mm x1 x = 13,mm innerhab des Zugstabes gütig = 3,mm außerhab des Zugstabes ungütig Längskraftverauf: 1 Michae Goeer / Christoph Stapf ZS 9

11 Aufgabe.6 (Innere Eementverformung bei in. vert. Streckenast) Berechne das Extremum der Verformung von Aufgabe.5 und stee die Längsverformung über der Länge des Zugstabes grafisch dar. Agemein: 1 x q q ux = ui + Ui x qui x E A 6 Uj Ui 3 Die Verformung ist an der Stee maxima, an der die Längskraft U x = ist: (13, mm) ,mm ( ) mm 1 B 13, = + mm mm u, ( )..... (13, mm) 616mm =,113mm Bu13, 3 Verformung: 1 Michae Goeer / Christoph Stapf ZS 1

12 Aufgabe.7 (Innere Vorspannung) Das Eement C wird durch ein Spannschoss um x=,1mm verkürzt. ) Berechne die Verformungen und Einspannkräfte a) Berechne die Spannungen in Eement B b) Berechne die Verformung an der Stee x=5mm c) Wie groß muss der Vorspannweg im Eement C sein, wenn die Spannung im Eement B / Druck sein so? Lösung: ) Verformungen und Einspannkräfte Umwanden der Verformung in Ersatzknotenkraft: Agemein: U jred x = E A und Uired x = E A,1 Ujred = U = 8 5 = =,1mm c mm,1 Uired = U3 = 8 5 = =,1mm c mm Reduzierter Lastvektor: flred = mm,1,1 Verformungsvektor: 1,33 d= G1K flred = mm,516 u =,33mm; u 3 =,516mm Gesamt-Kraftvektor: 968 f = c ( GK d flred ) = 968 U 1 =-968; U 7 = Michae Goeer / Christoph Stapf ZS 11

13 a) Spannungen in Eement B Kraft wird durchgereicht deshab: U 968 = U3 968 B Berechnung der Spannungen: x U jred Agemein: σ= E = A 968 σ= = 9,68 1 b) Verformung an x=5 Agemein: uj ui ux = ui + x (siehe Aufgabe.1),516mm,33mm u = u =,33mm + 1mm =,mm 16mm gx 5 B 1 c) Verformung in Eement C Kann mit Dreisatz berechnet werden, da Spannung und Verformung proportiona zueinander sind.,1mm x,1mm = xges = =,6mm (positiv, da Druck) 9,68 9,68 ges 1 Michae Goeer / Christoph Stapf ZS 1

14 Aufgabe.8 (Temperaturast) Weche Temperaturänderung ruft im Bautei den geichen Zustand wie in Aufgabe.7a hervor? Die Längenänderung wird durch eine im Eement C gegenüber der Umgebung geichmäßig verteiten Temperaturdifferenz bewirkt werden. In der FEM wird dies durch Ersatzknotenkräfte simuiert. Agemein: x =α T α = inearer Wärmeausdehnungskoeffizient α = 3 1 A 6 1 K x,1mm T = = = 1,7K α 3 1 mm 6 1 K oder Agemein: Ujred =α T E A Uired = α T E A U = = = jred T 1,7K 6 1 α E A K Aufgabe.9 (Wegast im ZS) Eine Verformung von,1mm an Knoten 3, wird durch eine Wegast am Knoten bewirkt ( schiefe Wegast). a) Wie groß sind die übrigen Verformungen? b) Wie groß muss die Last am Knoten sein? c) Wie groß sind die Aufager- und Eementschnittkräfte? 1. Mögichkeit 1 U,5 u = c U,5 3,5 u 3 3,1mm =,5 u + 3,5,1 3,5 Verformung: u =,1 =,1mm,5 U = 1,1,5,1 mm = 6 Last an Knoten : ( ) mm 1 Michae Goeer / Christoph Stapf ZS 13

15 . Mögichkeit 5 U1 1 1, 5 u , 5, 5 u = 5 c U 3,5 1 1 u 3 5 U 1 1 u,1mm Berechnet aus,1 1 5 Wiküricher Wert, wesentich größer as die anderen Matrixeemente, jedoch keiner as 1 5. Lastvektor: 1 FL = Verformungsvektor: 1,1 d = K FL = mm,1 u =,1mm Gesamt-Kraftvektor: 6 f = c GK d = U 1=-; U =6; U =- 1 Michae Goeer / Christoph Stapf ZS 1

16 Aufgabe.1 (Äußere Feder am Zugstab) Durch eine äußere Beastung wird am Knoten 3 eine Verformung von,1mm verursacht. Die Aufager von Knoten 1 (bei 6,mm Verformung) und Knoten (bei 6,1mm Verformung) sind eastisch. Wie groß sind die Verformungen, die Last-, Aufager- und Eementschnittkräfte? Lösung: Berechnung der Federsteifigkeiten: 6 c = 3 1,5 c Fed1 Fed mm,mm = = 6 c = 6 3 c mm,1mm = = Die ermitteten Federsteifigkeiten werden zu den entsprechenden Matrixeementen dazuaddiert: U1 3 1, 5 u1 1 U 1, 5, 5 u = 5 c 1,5 1 1,1 U 1 u Lastvektor: FL = 1 Verformungsvektor:,385 1,769 d6 = K6 FL = mm,1,5 u =,385mm; u =,769mm; u =,1mm; u =,5mm 1 3 Gesamt-Kraftvektor: 115 f = c GK d6 = U 1=-115; U 3=65; U =-15 1 Michae Goeer / Christoph Stapf ZS 15

17 Der Torsionsstab (TS) Technische Mechanik / FEM Der Torsionsstab (TS) ist ein gerader Stab, mit konstantem Querschnitt. Ebenso wie der ZS hat der TS zwei Knoten und kann sich an jedem Knoten nur um einen Drehwinke ϕ in Richtung seiner eigenen Stabachse verformen, an jedem Knoten ist aso der Freiheitsgrad = 1. Entsprechend kann der TS nur ein Torsionsmoment Φ in Richtung seiner eigenen Stabachse aufnehmen. Leitbeispie Eine abgesetzte Wee ist an den Enden eingespannt und durch ein Torsionsmoment Φ beastet. Es sind die Verformungen und Spannungen zu berechnen. G = 3 Stab Längen und Querschnitte der Eemente: A = 3mm; A I P = 9mm B = mm; B I P = 16mm C = mm; C I P = 1mm Bei der Lösung mit der FEM ist wie beim Zugstab zunächst das FEM-Mode aufzubauen. Zunächst müssen die Steifigkeitsgrößen der einzenen Eemente aufgestet werden, wobei die Größen eines Eements (hier C) as Systemgröße definiert werden: Ae Werte werden auch durch Sys c t dividiert, um handichere Werte zu erreichen. Agemein: c t GI P = Hier: 3 1mm mm Sysct = Cct = ct = = 15 1 mm = 1c mm t 3 16mm mm mm Bct = = 1 1 mm =,8 c t A c t 3 9mm 3mm mm = = 9 1 mm =,6 c t Michae Goeer / Christoph Stapf TS 1

18 Aufsteen der Gesamtsteifigkeitsmatrix:,6,6,6,6,8,8,6 1,,8 K =,6,6+,8,8 1 1 = +,8 1, Aufsteen des Lastvektors: Φ 6mm, FL1 = = = ct 15 1 Reduzierter Lastvektor ist hier, da das Moment direkt am Knoten angreift: FR1 = Fesseungen durch Hochsetzen der Diagonaeemente (wegen Einspannung): 5 1,6,6 1,,8 K1 =,8 1, Berechnen des Verformungsvektors: 1,383 d 1 18 d1 = K1 F L1 = [rad],17 π,19 = [deg],975 Berechnen des Gesamt-Momentenvektors: 37 6 f = ct K d1 = ct ( K d1 FR1) = mm 553 Michae Goeer / Christoph Stapf TS

19 Aufgabe 3.1 (Innere Verformung) Im Leitbeispie TS sind die inneren Verformungen bei x =, 5 und 8mm zu berechnen. Lösung: Berechnung der Verformungen im Inneren des Zugstabes: ϕ ϕ j i Agemein: ϕ x = ϕ i + x,383 ϕ = + =,55[rad] 3 A,17,383 ϕ = ϕ =, =,33[rad] g 5 B 15,17 ϕ = ϕ = =,85[rad] g 8 C 1 Aufgabe 3. (Diskrete innere Eementast) Im Leitbeispie TS greift bei x = mm ein Torsionsmoment Φ von 6 m an. Berechne die Verformungen an Knoten und 3 und die Aufagermomente. Lösung: Berechnung der äquivaenten reduzierten Knotenmomente: a 1 a Agemein: Φ jred = Φa und Φ ired = Φa mit Φ a =Φ ired +Φ jred 1 Φ 3red = 6mm = 15mm =,1 c Φ red = 6mm 15mm = 5mm =,3 ct t Aufsteen des reduzierten Lastvektors:,3 FR = FL =,1 Michae Goeer / Christoph Stapf TS 3

20 Berechnen des Verformungsvektors: 1,33 d 18 d = K1 F 1, 889 L = [rad] = [deg], π 1,158 Berechnen des Gesamt-Momentenvektors: 968 f = ct ( K d FR) = mm 33 Aufgabe 3.3 (Innere Verformung bei diskreter Eementast des TS) Für Aufgabe 3. soen die Inneren Verformungen bei x=, 5, 8mm berechnet werden. Lösung: ϕ = ϕ,33 = + =,[rad] 3 ϕ = ϕ, = =,11[rad] g A g 8 C 1 siehe auch Aufgabe 3.1 Für das Eement in der Mitte geten agemein wie beim ZS ineare Beziehungen für die beiden Stababschnitte: ϕ = ϕ + a ϕ a i i GI t für die Lasteineitungsstee ϕa ϕi ϕ x1 = ϕ i + x für x a a ϕ ϕ ϕ = ϕ + a ( ) j a x a x a für a x Hier: ϕ =,33 1mm 968mm =,39[rad] a 3.16mm g 5 B 15 ( ),,39 ϕ = ϕ =,39 + ( 15 1) =,36[rad] 1 Michae Goeer / Christoph Stapf TS

21 Aufgabe 3. (Linear verteites Streckentorsionsmoment) Im Bautei vom Leitbeispie wirkt im Eement A ein inear verteites Streckenmoment fogender Größe: q Φ1 =3, q Φ =1. Berechne die Verformungen an Knoten und 3, sowie die Aufagermomente. Agemein: qφi + q Φ ired = 6 Φj q Φ = jred Φi + q 6 Φj 3+ 1 Φ 1red = 3mm = 35mm =,33 ct Φ red = 3mm = 5mm =,167 ct 6 Aufsteen des reduzierten Lastvektors:,33,167 FR3 = FL3 = Berechnen des Verformungsvektors: 1,1598 d 18 d3 = K1 F 1, 889 L3 = [rad] = [deg],711 π 1,158 Berechnen des Gesamt-Momentenvektors: 93 f = ct ( K d3 FR3) = mm 166 Michae Goeer / Christoph Stapf TS 5

22 Aufgabe 3.5 (Längsmomentenverauf bei inear vert. Streckentorsionsmoment) Fortsetzung von Aufgabe 3.. a) Kontroiere ob für x = git: Φ x = Φ j b) Wo ist Φ x =? c) Zeichne den Graphen des Momentenveraufs Lösung: a) Agemein: qφj qφi x Φ x = Φi qφi x Hier: qφj qφi Φ x= = Φi qφi Φ x = = Φi qφi qφj Φ j q + q =Φ +Φ + erfüt! Φi Φj i j b) usteen Agemein: Hier: x qφi Φ i q Φi = ± + qφj qφi qφj q Φi qφj q Φi 3mm 3 3mm 93mm 3mm 3 x = ± x = 5mm ± 33,mm x1 = 683,mm außerhab x = 16,6mm innerhab c) Grafik Michae Goeer / Christoph Stapf TS 6

23 Aufgabe 3.6 (Verformung im Eementinnern bei inear verteitem Streckentorsionsmoment) Fortsetzung von Aufgabe 3.5. a) Berechne den Extremwert von ϕ x b) Zeichne den Graphen des Verformungsveraufs Lösung: Agemein: 1 x q q ϕ x = ϕ i + Φi x qφi x GI t 6 Φj Φi 3 (anaog Aufgabe.6) Hier: 16,6 mm ( 93mm) 16,6mm 3 1 ϕ 16,6 = + 3 9mm ,6 3 mm 3 6 3mm ϕ =,177[rad] 16,6 Verformungsverauf: Michae Goeer / Christoph Stapf TS 7

24 Aufgabe 3.7 (Innere Vorspannung) Im Leitbeispie wird statt einer äußeren Last im Eement C eine Kuppung B gegenüber Kuppung A um 3 verdreht. Wie groß sind die Verformungen an Knoten und 3, wie groß sind die Aufagermomente? Lösung: ϕ ϕ Agemein: Φ ired = GI t und Φ jred = GI t (äquivaente reduzierte Momente) 3 π 3 = =,536[rad] 18,536 jred red 3 1mm 785mm Φ = Φ = =,536 ct mm Φ ired = Φ 3red,536 ct Reduzierter Lastvektor: F L = F R =,536,536 Berechnen des Verformungsvektors: 1,3 d = K1 F L = [rad],39 Berechnen des Gesamt-Momentenvektors: 5 f = ct ( K d FR) = mm 5 Michae Goeer / Christoph Stapf TS 8

25 Aufgabe 3.8 (Wegast beim TS) Im Leitbeispie greift am Knoten ein Torsionsmoment an und erzeugt am Knoten eine Verdriung von 1,5. Wie groß ist die Verformung am Knoten 3, wie groß ist das Moment am Knoten, wie groß sind die Aufagermomente. 5 Φ1 1,6 ϕ ,6 1,8,6 = c t Φ 3,8 1,8 1 ϕ 3 5 Φ 1 1 ϕ FL5 K5 Winke in rad = -1,5 = 1 5 (-,6) = wiküricher Wert x: Matrixeemente < x < 1 5 Berechnen des Verformungsvektors: 1,6 d5 = K5 F L5 = [rad],116 Berechnen des Gesamt-Momentenvektors: 3 73 f = ct K d 5 = mm 1733 Aufgabe 3.9 (Wegast beim TS) Im Leitbeispie greift am Knoten 3 ein Torsionsmoment an und erzeugt am Knoten eine Verdriung von 1,5. Wie groß ist die Verformung am Knoten 3, wie groß ist das Moment am Knoten 3, wie groß sind die Aufagermomente. 5 Φ1 1,6 ϕ1 1 Φ,6 1,,8,6 = 5 ct 6 1 1,8 1 ϕ3 5 Φ 1 1 ϕ FL6 K6 Winke in rad = -1,5 = 1 5 (-,6) = wiküricher Wert x: Matrixeemente < x < 1 5 Michae Goeer / Christoph Stapf TS 9

26 Berechnen des Verformungsvektors: 1,6 d6 = K6 F L6 = [rad],5 Berechnen des Gesamt-Momentenvektors: 3 f = ct K d 6 = mm Aufgabe 3.1 (Diskrete Feder bei TS) Im Leitbeispie TS ist am Knoten 1 eine eastische Einspannung vorhanden mit der gemessenen achgiebigkeit von 1 bei 5 m. Berechne die Verformungen an den Knoten und 3 und die Aufagermomente an den Knoten 1 und. Berechnung der Federsteifigkeiten: 5mm mm c Fed1= = 8679 = 1, 91 c rad 1 π 18 t Die ermittete Federsteifigkeit wird zum entsprechenden Matrixeement dazuaddiert:,6+ 1, 91,6 ϕ1,,6 1,,8 ϕ =,8 1,8 1 ϕ3 1 1 ϕ FL1 K7 Berechnen des Verformungsvektors:,16 1, d7 = K7 F L1 = [rad],197 Berechnen des Gesamt-Momentenvektors: 3 6 f = ct K d 7 = mm 96 d7 Michae Goeer / Christoph Stapf TS 1

27 Kinematische Abhängigkeit von Knotenverformung in Systemen aus TS Leitbeispie TS In einem Zahnradgetriebe wird von einer Eingangswee A ein Drehmoment über ein Zahnradpaar auf eine Verteierwee BC geeitet und an den Kuppungen 3und 5 abgenommen. Das Besondere an diesem Beispie ist die kinematische Zwangsbedingung zwischen Knoten und, sie entsteht durch das Verhätnis der Zähnezahen der Zahnräder an dieser Stee (z =15, z =3 ϕ =,5 ϕ ). Agemein: c t GI P = 8 8mm mm 8 1mm mm = = 6 1 mm = 1, 875 c 16mm mm Sysct = Act = ct = = 3 1 mm = 1c t c B t t C c t 8 16mm mm mm = = 53,3 1 mm = 1, 667 c t Grundgesamtsteifigkeitsmatrix: K = 1, 875 1, 875 = 1,875 1,875 1, 875 1, ,667 1,667 1,875 3,5 1,667 1, 667 1,667 1,667 1,667 Um die kinematische Abhängigkeit einzubauen muss nun: 1. die. Zeie mit,5 mutipiziert und zur. Zeie addiert werden.. die. Spate mit,5 mutipiziert und zur. Spate addiert werden Um dies mit dem HP9G durchzuführen wird fogende Vorgehensweise empfohen: a) in die einzenen Stackebenen eingeben: Matrix (K ) Faktor (-,5) Quezeie () Ziezeie () b) Befeh ausführen: MTH MATRX ROW RCIJ c) Matrix transponieren MTH MATRX MAKE TR d) In die Stackebenen eingeben: Faktor (-,5) Quezeie () Ziezeie () e) Befeh ausführen: MTH MATRX ROW RCIJ f) Ergebnis as K abspeichern g) Fesseungen einarbeiten: Eemente (3,3), (,), (5,5) auf 1 5 hochsetzen. h) Ergebnis as K 1 abspeichern. Michae Goeer / Christoph Stapf TS 11

28 ,885,938 1,771,833 Ergebnis: K1 =,938 1,875 1,875 1,771 1,875 3,5 1,667,833 1,667 1,667 Mit Fesseungen: ,885,938 1,771,833 1,771 1, ,667 5,833 1, K11 =, ,875 5 Lastvektor: Φ 1 = = ct 3 1 mm mm,15.15 FL1 = Berechnen des Verformungsvektors:,66,11 1 d1 = K11 F L1 = [rad] Fasch! Mit kinematischer Randbedingung: ϕ =,5 ϕ,66,11 d 1 = [ra d],76 Berechnen des Gesamt-Momentenvektors: f = ct K d1 = 35 mm Michae Goeer / Christoph Stapf TS 1

29 Aufgabe 3.11 Zusätzich zur Beastung im Leitbeispie TS greift mitten im Eement B ein Torsionsmoment von 6 m an. Berechne die Verformungen an den Knoten 1,, und, sowie die Aufagermomente an den Knoten 3 und 5. Lastvektor: Φ3red Φred 3mm = = =,9375 c c 3 1 mm t t,15,6875 FL11 =,9375,9375 -,5 Reduzierter Lastvektor: FR11 =,9375,9375 Berechnen des Verformungsvektors:,13,88 1 d11 = K11 F L11 = [rad] Muss noch korrigiert werden! (-,5) Mit kinematischer Randbedingung: ϕ =,5 ϕ,13,88 d 11 = [rad],1 Berechnen des Gesamt-Momentenvektors: f = ct ( K d11 FR11) = 353 mm Michae Goeer / Christoph Stapf TS 13

30 Der Biegebaken (BB) Technische Mechanik / FEM Der Biegebaken (BB) ist ein gerader biegesteifer Baken mit konstantem Querschnitt. Er hat Knoten mit jew. Freiheitsgraden (FG), der transatorischen Querverformung und der rotatorischen eigung. Die Geichgewichtsbedingung und die eastische Verformung sind aus der eementaren Festigkeitsehre bekannt. Leitbeispie V = 1 Längen und Fächenträgheitsmomente der Eemente: A = mm; A I äq = 8mm B = 3mm; B I äq = 5mm Wir erkären das Eement A zum Systemeement. Damit ist Systemänge L=mm: Agemein: EI äq C = 7 8mm mm SysCb = ACb = Cb = = 35= 1C b ( mm) B C b 7 5mm mm = = = 1, C ( 3mm) b Agemein git: R = Eement Sys C C b b L R = RO = R R = RU= R L Für Eement A git: R = 1 R = RO = 1 = 1 R = RU= 1 = 1 Für Eement B git: R = 1, R = RO = 1, = 1,6 3 3 R = RU= 1, =,9 Michae Goeer / Christoph Stapf BB 1

31 Aus den Beziehungen für Querkraft, Biegemoment und Anfangsneigung wurde fogende agemein gütige dimensionsose Matrix erstet: 1 RO 6 R 1 RO 6 R 6R RU 6R RU KBB = 1RO 6R 1RO 6R 6R RU 6R RU Um die Gesamtsteifigkeitsmatrix aufzubauen, muss diese Matrix für Eement A und B ausmutipiziert werden: KBB KBB A B = , 7, 19, 7, 7, 3,6 7, 1,8 = 19, 7, 19, 7, 7, 1,8 7, 3, 6 Aus diesen beiden Matrizen wird nun die Gesamtsteifigkeitsmatrix aufgebaut: , 6 + 7, 19, 7, K = , + 3,6 7, 1,8 19, 7, 19, 7, 7, 1,8 7, 3,6 Durch einbauen der Fesseungen entsteht fogende Matrix: , 1, 19, 7, K1= 6 1, 7,6 7, 1,8 5 19, 7, 1 7, 7, 1,8 7, 3, 6 Michae Goeer / Christoph Stapf BB

32 Michae Goeer / Christoph Stapf BB 3 Ersteen des Lastvektors: L b, V 1 F C 35 = = = Reduzierter Lastvektor ist hier, da die Kraft direkt am Knoten angreift: Verformungsvektor: (Verformungen werden as v/l ausgegeben) 1 L,59 L 1,36mm D K1 F,899 [rad],568 [rad] = = = Kraft- und Momentenvektor: (Momente werden as Ψ/L ausgegeben) b b 86,51 6, L 18,56m 1 F C K D C 53,5 = = = R F =

33 Aufgabe a) Berechne die Verformungen, Aufager und Schnittgrößen wenn im Leitbeispie das rechte Aufager eine Führung ist und eine Kraft von 1 senkrecht auf Knoten wirkt. Ersteen der Gesamtsteifigkeitsmatrix durch einbauen der Fesseungen: , 1, 19, 7, K = 6 1, 7,6 7, 1,8 19, 7, 19, 7, 5 7, 1,8 7, 1 Ersteen des Lastvektors: F La V 1, Cb 35 = = = Verformungsvektor: 1,859 3,36mm D1 = K FLa = 1,563 [ rad],15 5,16mm Kraft und Momentenvektor: 1 16,8,73m 1 FA Cb = K D1 Cb = 33,15 13,6m Michae Goeer / Christoph Stapf BB

34 b) Berechne die Verformungen, Aufager und Schnittgrößen wenn wie im Leitbeispie das rechte Aufager wieder eine Unterstützung ist, am Knoten jedoch ein rechtsdrehendes Moment von 56 m wirkt. Fesseungen wie im Leitbeispie, deshab Gesamtsteifigkeitsmatrix: , 1, 19, 7, K1= 6 1, 7,6 7, 1,8 5 19, 7, 1 7, 7, 1,8 7, 3, 6 Ersteen des Lastvektors: F Ψ 56 Lb = = = Cb L 35,m, Verformungsvektor: 1, mm D = K1 FLb =,696 [rad],93 [rad] Kraft- und Momentenvektor: ,16 1,6m FB Cb = K D Cb = 1 9,38 Michae Goeer / Christoph Stapf BB 5

35 c) Berechne die Verformungen, Aufager und Schnittgrößen wenn das rechte Aufager eine Führung ist und am Knoten 3 die Kraft 1 des Leitbeispies wirkt. Gesamtsteifigkeitsmatrix: , 1, 19, 7, K = 6 1, 7,6 7, 1,8 19, 7, 19, 7, 5 7, 1,8 7, 1 Ersteen des Lastvektors: F Lc V 1 Cb 35, 3 = = = Verformungsvektor: 1,15 5,16mm D3 = K FLc =,18 [rad],153 8,61mm Kraft- und Momentenvektor: 1 13,5 53,8m FC Cb = K D3 Cb = 1 11,5,m Michae Goeer / Christoph Stapf BB 6

36 d) Berechne die beiden Lastfäe von a) und b), wenn das Aufager eine Einspannung ist. Gesamtsteifigkeitsmatrix: , 1, 19, 7, K3 = 6 1, 7,6 7, 1,8 5 19, 7, 1 7, 5 7, 1, 8 7, 1 Ersteen des Lastvektors: F Ld, =, Verformungsvektor:,5156mm,81mm 1,189,3 D = K3 FLd =,3,59 [ rad] Kraft- und Momentenvektor: 58,5 119,75 58,5 119,75 8,51 1,3 11,6m 16,5m 1 1 FD Cb = K D Cb = 1 56m 81,5 119,75 81,5 119,75 31, 8, 1,5m 11,9m Michae Goeer / Christoph Stapf BB 7

37 Aufgabe.1: Innere Verformung des BB Koeffizienten der Biegeiniengeichung: A = vi B =ψi 1 C = 3 ( vi vj) ( i j) + ψ +ψ 1 D = 3 ( vi vj) + ( ψ i +ψj) 3 v(x) = A + Bx + Cx + Dx Durchbiegung (x) v (x) B Cx 3Dx ψ = = + + eigung C C B x = ± 3D 3D 3D Extremum C x = Wendepunkt 3D Aufgabe.: Diskrete Querkraft und diskretes Biegemoment im Innern des BB Im Eement A wirkt bei x=3mm eine Last von 1. Da bei FEM nur Knotengrößen berechnet werden können, muss die Last durch äquivaente Knotenkräfte und Momente ersetzt werden, weche die geichen Knotenverformungen hervorrufen wie die inneren Kräfte und Momente. Knoten 1 wird durch eine Einspannung, Knoten 3 durch ein Aufager festgehaten. Agemein git: a a a a Vired = Va Ma 1 + a a a a Vjred = Va 3 6 Ma 1 + a a a Ψ ired = Va a1 Ma a a a a jred Va 1 Ma 3 Ψ = 3 3 V1red = = 1,875 =,65 c 3 3 Vred = 1 3 = 118,15 =,337 c b b 3 Ψ 1red = = 65mm =,1875 Cb L 3 3 Ψ red = mm,565 Cb L = = Michae Goeer / Christoph Stapf BB 8

38 Ersteen des Lastvektors (entspricht auch dem red. Lastvektor): F L,65,1875,3375 = FR =,565 Gesamtsteifigkeitsmatrix: , 1, 19, 7, K1= 6 1, 7,6 7, 1,8 5 19, 7, 1 7, 7, 1,8 7, 3, 6 Verformungsvektor: 1,199,796mm D5 = K1 FL =,16 [ rad],39 [ rad] Kraft- und Momentenvektor: 18,1 9,3 19,7m F= ( K D5 FR) Cb = 31,9 Michae Goeer / Christoph Stapf BB 9

39 Aufgabe.3: Innere Verformung bei diskreten Lasten im Innern des Biegebaken --- Aufgabe.: Linear verteite Streckenquerkraft beim BB Eine inear verteite Streckenquerkraft von q V1 =-,/mm und q V =-,5/mm wird auf Eement A aufgebracht. Auch hier müssen die äquivaenten Knotenkräfte ermittet werden. C b =35 L = mm Agemein git: V = 7q + 3q V = 3q + 7q Ψ = 6 + Ψ = 6 + ( ) ired Vi Vj ( ) jred Vi Vj ( 3q q ) ired Vi Vj ( q 3q ) ired Vi Vj mm V1red = ( 7 (,) + 3 (,5) ) = 58 =,1657 C mm mm Vred = ( 3 (,) + 7 (,5) ) = 8 =,33 C mm mm ( ( ) ( )) Ψ 1red = 3, +,5 = 67mm =,35 Cb L 6 mm mm Ψ red = ( (,) + 3 (,5) ) = 567mm =,36 Cb L 6 mm b b Lastvektor: FL,1657,35,33 =,36 Michae Goeer / Christoph Stapf BB 1

40 Gesamtsteifigkeitsmatrix: , 1, 19, 7, K1= 6 1, 7,6 7, 1,8 5 19, 7, 1 7, 7, 1,8 7, 3, 6 Verformungsvektor: 1,139,556mm D6 = K1 FL =,3 [ rad],76 [ rad] Kraft und Momentenvektor: 117,,1 16m F= ( K D6 FR) Cb =,8 Michae Goeer / Christoph Stapf BB 11

41 Technische Mechanik / FEM Der Zugstab in der Ebene (ZSD) Leitbeispie Daten: (E und A git für ae 3 Eemente) 5 E = 1 A = 5 = 1mm F = 1 Zuordnungsmatrix: Eement Anschuss Anschuss Winke γ 1 (i) (j) A Kn. 1 Kn. B Kn. Kn C Kn. 1 Kn. 3 9 Eement A wird as Systemeement angesehen: 5mm = = = = = 1c 1mm mm Sysc Ac c 1 mm Für Eement C git: Für Eement B git: c = c = 1 = 1c C A mm B 5mm mm c = = 77 =,77 c mm 11mm Mit der Transformationsmatrix kann ins gobae System transformiert werden: Agemein: cos γ sin γ T = sin γ cos γ un müssen die gobaen Eementsteifigkeitsmatrizen ermittet werden: Agemein: c 1 Eement T Kii = T T sysc und Kii = Kjj = Kij = Kji Ausmutipiziert, sieht die Forme für die gobaen ESMs fogendermaßen aus: (Um die Gesamtsteifigkeitsmatrix eines Systems zu ersteen reicht diese aus.) Agemein: K c cos γ sin γcos γ = γ γ γ Eement ii sysc sin cos sin und Kii = Kjj = Kij = Kji 1 Michae Goeer / Christoph Stapf ZSD 1

42 1 sincos sin A cos sin cos A A A K11 = 1 K = = = K1 = K1,35,35 sin135 cos135 sin 135,35,35 B cos 135 sin135 cos135 B B B K =,77 K = = 33 = K3 = K3 sin9 cos9 sin 9 1 C cos 9 sin9 cos9 C C C K11 = 1 K = = 33 = K13 = K31 un muss die Gesamtsteifigkeitsmatrix K aus den Eementsteifigkeitsmatrizen erstet werden: Knoten (K) , 35,35,35,35 K =,35,35,35,35,35,35,35,35 1,35,35,35 1, 35 Eement A hängt an Knoten 1 und. Eement B hängt an Knoten und 3. Eement C hängt an Knoten 1 und 3. Die Fesseungen werden durch Hochsetzen der entsprechenden Diagonaeemente auf 1 5 eingebaut. Einspannungen an Knoten 1, 1 Einspannung an Knoten und keine Einspannung an Knoten ,35,35,35,35 K1 = 5,35 1,35,35,35,35,35,35 1,35,35,35 1,35 Ersteen des Lastvektors: F 1 sin 5,77,77 = =,1mm = mm c 1 cos 5,77,77 mm Kraft wirkt nur an Knoten 3: F L = mm,77,77 1 Michae Goeer / Christoph Stapf ZSD

43 Verformungsvektor:,77 1 D = K1 FL = mm,11,11 Kraftvektor: F = K D c = Kontroe: = = Schnittkräfte (in ): 1 Michae Goeer / Christoph Stapf ZSD 3

44 Bei kompexeren Systemen ist zur Ermittung der Schnittkräfte fogende Rechnung notwendig: Die gobaen Größen müssen in okae Größen umgewandet werden. Eement A: A U1 1 1 u = Ac = 1 mm = U 1 1 u 1 1,77 77 Druck Eement C: C U1 1 1 u = Cc = 1 mm = U3 1 1 u3 1 1,11 11 Druck Eement B: Für Eement B müssen die Verformungen zunächst ins Eementsystem (rück)transformiert werden: Transponierte Transformationsmatrix T T u u cos135 sin135 x 1 1,77,5 = mm =,77 mm = mm v sin135 cos135 u 1 1,5 B y u u 3 cos135 sin135 3x 1 1,11,197 = mm =,77 mm = mm v sin135 cos135 u 1 1,11,397 B 3 3y B U 1 1 u 1 1,5 19 = Bc = 77 mm = Zug U3 1 1 u3 1 1, Michae Goeer / Christoph Stapf ZSD

45 Der Zugstab im Raum (ZS3D) Technische Mechanik / FEM Leitbeispie Um die Verformungen und Kräfte im Zugstabeement A berechnen zu können, muss die Eementsteifigkeitsmatrix in ein gobaes System transformiert werden. Hierfür müssen jedoch zuerst die kartesischen Koordinaten des Zugstabs in Kugekoordinaten umgerechnet werden. Mit dem HP9G empfieht sich fogende Vorgehensweise: Die Modi DEGREE und RECTAGULAR müssen eingestet sein. (MODE Taste) (Im Dispay wird DEG und XYZ angezeigt.) Die Ortsvektoren von Knoten i und j eingeben und die Differenz biden: 1 1 rj ri = 1 = Umschaten auf Kugekoordinaten (Modus SPHERICAL, im Dispay steht: R ) Der Vektor wird nun in Kugekoordinaten angezeigt: 173, r 5 γ (die Winke werden in Grad angezeigt) 5,7 β Die Werte des Vektors soen nun in den Stack bewegt werden: MTH VECTR V Im Stack stehen die Werte nun in fogender Reihenfoge: 3: 173, : 5 1: 5,7 Da -β gefragt ist muss von Stack 1 noch 9 subtrahiert werden. Ergebnis: Kugekoordinaten r = 173, γ= 5 β= 35,3 1 Michae Goeer / Christoph Stapf ZS3D 1

46 un kann mit der Transformationsmatrix für Zugstäbe ins gobae System transformiert werden: cosβ cos γ sin γ sinβ cos γ TZS = cosβ sin γ cos γ sinβ sin γ sinβ cosβ Hier:,577,77,8 T =,577,77,8,577,816 Fogende Transformationsmatrix ist agemein gütig (auch für BB): cosβcos γ sinαsinβcos γ cos αsin γ cos αsinβcos γ+ sin αsin γ T = cosβsin γ sinαsinβsin γ+ cos αcos γ cos αsinβsin γ sinαcos γ sinβ sinαcosβ cos αcosβ Berechnung der gobaen Steifigkeitsmatrizen: Agemein: 1 c = Eement T Kii T T sysc und Kii = Kjj = Kij = Kji 1 Michae Goeer / Christoph Stapf ZS3D