Berichte des Instituts für Mechanik. Bericht 1/2009

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1 Beichte des Instituts fü Mechanik Beicht 1/2009

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3 Sylveste Lindemann Model Updating an einem biegeelastischen oto kassel univesity pess

4 Die voliegende Abeit wude vom Fachbeeich Maschinenbau de Univesität Kassel als Dissetation zu Elangung des akademischen Gades eines Doktos de Ingenieuwissenschaften (D.-Ing.) angenommen. Este Gutachte: Pof. D.-Ing. Host Ietie Zweite Gutachte: Pof. D.-Ing. Michael Link Tag de mündlichen Püfung: 11. Apil 2008 Bibliogafische Infomation de Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek vezeichnet diese Publikation in de Deutschen Nationalbibliogafie; detailliete bibliogafische Daten sind im Intenet übe abufba Zugl.: Kassel, Univ., Diss ISBN pint: ISBN online: , kassel univesity pess GmbH, Kassel Umschlaggestaltung: Heike Aend, Uniduckeei de Univesität Kassel Duck und Veabeitung: Uniduckeei de Univesität Kassel Pinted in Gemany

5 Vowot Die voliegende Abeit entstand wähend meine Tätigkeit als wissenschaftliche Mitabeite am Institut fü Mechanik Fachgebiet Maschinendynamik des Fachbeeichs Maschinenbau de Univesität Kassel. Mein besondee Dank gilt Hen Pof. D.-Ing. H. Ietie fü seine Beteuung de Abeit. Außedem möchte ich Hen Pof. D.-Ing. M. Link fü die Übenahme des Koefeates danken. Bei Hen D.-Ing. T. Keuzinge-Janik bedanke ich mich fü den Einstieg in die expeimentelle Modalanalyse und Unwuchtidentifikation an biegeelastischen otoen. Mein Dank gilt fene Hen Dipl.-Ing. G. Schneide und Hen Dipl.-Ing. D. Stohschein fü die Untestützung und Weiteentwicklung des otovessuchstandes sowie bei de Ezeugung und Zusammenstellung de expeimentellen Daten fü diese Abeit. Den Otto Baun Fonds danke ich, dass sie diese Abeit im ahmen de Födeung des wissenschaftlichen Nachwuchses an de Univesität Kassel untestützten. Auch danke ich den Kollegen und Mitabeiten des Institutes, die zum Gelingen diese Abeit beigetagen haben. Mein Dank gilt zuletzt meine Fau Vea, die mi duch ihe Untestützung und Mitabeit bei de Koektu fachlich und pesönlich eine goße Hilfe wa. Koblenz, im Juni 2007 III

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7 Inhaltsvezeichnis 1 Einleitung Poblemstellung Stand de Technik Motivation und Zielsetzung de Abeit Gliedeung de Abeit Mathematische Gundlagen de otodynamik Bewegungsgleichung eines otos De Veschiebungsvekto Die Systemmatizen Die Bewegungsgleichung im Zustandsaum Modale Gößen, Fequenzgangmatix Feie Schwingungen - modale Gößen Ezwungene Schwingungen - Fequenzgangmatix Bestimmung de modalen Paamete mittels expeimentelle Modalanalyse Identifikationsvefahen zu Bestimmung de Unwuchtveteilung an otoen Unwuchtidentifikation mittels ekonstuiete Fequenzgangmatix Unwuchtidentifikation mittels angepasstem FE-Modell Identifikationsmodell zu Bestimmung de Unwuchten Unwucht de Balkenelemente Unwucht de Scheibenelemente Bestimmung de Unwuchtpaamete ekonstuktion de Fequenzgangmatix aus modalen Paameten De otovesuchsstand Allgemeine Anmekungen Mechanische Komponenten Messtechnische Komponenten Theoetische Betachtung des otos Das Finite-Elemente-Modell des Vesuchsotos Beechnung de modalen Paamete des FE-Modells Das Messmodell des Vesuchsotos V

8 VI INHALTSVEZEICHNIS 4 Gundlagen de Paameteidentifikation Mathematische Gundlagen de Paameteidentifikation Paametisieung des echenmodells Definition de Test/Analyse esiduen esiduum de Eigenwete esiduum de Eigenvektoen esiduum de Fequenzgänge esiduum de Eigenwete und Eigenvektoen esiduum de Eigenwete und Fequenzgänge Aufbeeitung des FE-Modells und de Messdaten zu Modellkoektu Kondensation de Bewegungsgleichung Statische Kondensation Dynamische Kondensation Auswahl und Aufbeeitung de Eigenwete Auswahl und Aufbeeitung de Eigenvektoen Auswahl de Fequenzgänge FAC-Kiteium FSC-Kiteium Aufbau und Wahl de Submatizen Wichtungsmethoden Wichtung mit Hilfe von Eigenweten und Eigenvektoen Anwendungsbeispiele und Beuteilung Anwendungsbeispiel eingespannte Balken Anwendungsbeispiel Laval-oto Wichtung mit Hilfe de Fequenzgänge Egebnisse Modellkoektu mit Hilfe simuliete Messdaten Modellkoektu mit Hilfe von Eigenweten und Eigenvektoen Simulationsegebnisse bei 1080 pm Simulationsegebnisse bei 1800 pm Modellkoektu mit Hilfe von simulieten Fequenzgängen Expeimentelle Vountesuchungen am stillstehenden oto oto mit Lageung fei-fei oto mit Lageung fest-los Identifikationsegebnisse de EMA des otos fü veschiedene Dehzahlen Identifikationsegebnisse de EMA des otos bei 1080 pm Identifikationsegebnisse de EMA des otos bei 1800 pm Beuteilung de identifizieten Eigenwete, Eigenvektoen und Fequenzgänge Beuteilung und Aufbeeitung de Eigenwete Beuteilung und Aufbeeitung de Eigenvektoen Beuteilung und Aufbeeitung de Fequenzgänge Egebnisse de Modellkoektu

9 INHALTSVEZEICHNIS VII Modellkoektu mit Hilfe von Eigenweten bei 1080 pm Modellkoektu mit Hilfe von Eigenweten bei 1800 pm Unwuchtidentifikation mit koigieten FE-Modell Duchfühung de Unwuchtidentifikation Egebnisse de Unwuchtidentifikation Zusammenfassung 119 A Mathematische Anhang 123 A.1 Beweis Gleichung (4.35) und (4.41) A.2 Numeische Stabilität B Technische Daten zum otovesuchsstand 127 B.1 Geometie B.2 Vesuchstechnik C Daten des FE-Modells 129 Liteatuvezeichnis 131

10 VIII INHALTSVEZEICHNIS

11 Vewendete Fomelzeichen Skalae a Koektupaamete, Entwicklungskoeffizient i imaginäe Einheit c Element de Dämpfungsmatix k Element de Steifigkeitsmatix m Element de Massenmatix n Anzahl, Dehzahl t Zeit u Veschiebung in x-ichtung v Veschiebung in y-ichtung w Veschiebung in z-ichtung x, y, z Achsenbezeichnung des katesischen Koodinatensystems ᾱ β δ ϕ ψ ϑ κ λ ω Ω Ω Nomieungspaamete de Eigenvektoen im Zustandsaum Nomieungspaamete de Eigenvektoen im Zustandsaum Abklingkonstante Summe de Nomieungspaamete Vedehung in x-ichtung Vedehung in y-ichtung Vedehung in z-ichtung ezipoke Eigenwet Eigenwet Eigenkeisfequenz des ungedämpften Systems Eegekeisfequenz Winkelgeschwindigkeit des otos IX

12 X Vewendete Fomelzeichen Matizen und Vektoen A Zustandsmatix im Zustandsaum B Zustandsmatix im Zustandsaum C globale Dämpfungsmatix, Matix de geschwindigkeitspopotionalen Käfte D globale Lagedämpfungsmatix S Funktionalmatix (Sensitivitätsmatix) G globale Keiselmatix, gyoskopische Matix W Wichtungsmatix K globale Steifigkeitsmatix, Matix de veschiebungspopotionalen Käfte M globale Massenmatix Ψ Modalmatix im Zustandsaum ā b f (t) p (t) v w (t) ȳ(t) φ Ψ λ a φ a i L φ a i Koektupaametevekto Diffeenzenvekto Kaftvekto Kaftvekto im Zustandsaum esiduenvekto Veschiebungsvekto im Veschiebungsaum Veschiebungsvekto im Zustandsaum Eigenvekto im Veschiebungsaum Eigenvekto im Zustandsaum Ableitung des Eigenwetes nach dem Koektupaamete Ableitung des echtseigenvektos nach dem Koektupaamete Ableitung des Linkseigenvektos nach dem Koektupaamete Indizes (siehe auch Abküzungen)

13 Vewendete Fomelzeichen XI Hochgestellte Indizes B Balken Im Imaginäteil K Koigiet L Links, Lage echts e ealteil S Scheibe T Tansponiet H Hemitesche Tansponiete 1 Invetiete Matix + Pseudoinvese Matix Tiefgestellte Indizes A Analytisch, Paamete de Matix A B Paamete de Matix B FG Globale Feiheitsgade i, j Zählvaiable Kn Knoten k Messot de Schwingungsantwot l Messot des Kaftangiffspunktes M Messung, s Zählvaiable 0 Este Iteationsschitt Abküzungen z z ż diag(z i ) det(z) MIF SIF MSF MAC FAC FSC Komplexe Zahl Konjugiet komplexe Zahl Ableitung nach de Zeit Diagonalmatix mit den Komponenten z i Deteminante de Matix Z Mode Indikato Funktion Single Mode Indikato Funktion Modal Scale Facto Modal Assuance Citeion Fequency esponse Assuance Citeion Fequency esponse Selection Citeion

14 XII Vewendete Fomelzeichen

15 Kapitel 1 Einleitung 1.1 Poblemstellung Vo Inbetiebnahme von otoen ist es notwendig, die teilweise mit hohen Dehzahlen otieenden Bauguppen auszuwuchten. Bei axialen Maschinen bestehen diese Bauguppen aus gekoppelten Wellen, die mit eine unteschiedlichen Anzahl von Scheiben besetzt sind. Bei adialvedichten besteht de oto im Allgemeinen aus de Welle und häufig nu einem Laufad am übekagenden Ende de Welle. Beim Hestellungspozess ist es unmöglich, dafü Soge zu tagen, dass de Velauf de Schweelinien und Tägheitsachsen mit de Dehachse übeeinstimmt. Unte otation teten dahe Käfte und Momente auf, die zum einen die Lage belasten und Spannungen in den oto einbingen und zum andeen den oto als schwingungsfähiges System anegen. Die umlaufenden Lagekäfte und die Schwingungen zu minimieen, ist Ziel des Auswuchtens. Die dabei emittelten Koektuunwuchten sind diskete Unwuchten an meheen otopositionen, die nichts übe die wikliche Unwuchtveteilung aussagen. Sie haben lediglich unte den Bedingungen, unte denen sie emittelt wuden, die gleiche, abe entgegengesetzte Anegung wie die tatsächliche Unwucht. Dahe ist eine möglichst exakte Kenntnis de Unwuchtveteilung zu Emittlung de Koektuunwuchten von goßem Nutzen. Andeeseits emöglichen diese Kenntnisse Simulationsechnungen unte andeen andbedingungen. In bisheigen Abeiten wuden am Institut fü Mechanik unte Vewendung modale Paamete Aussagen übe die Unwuchtveteilung im ahmen eine Disketisieung des otos getoffen. Hiezu wuden die modalen Paamete duch Simulationsechnungen mit einem numeischen Modell (Finite-Elemente-Modell) gewonnen [4]. Vegleiche diese numeisch emittelten modalen Paamete mit entspechenden expeimentell emittelten Weten zeigen, dass das numeische Modell deutlich von de ealen Stuktu des dehenden otos abweichen kann [24]. Hieaus egibt sich als nächste Schitt eine Anpassung des numeischen Modells an die expeimentellen Daten. Dabei ist die Fage zu kläen, ob und wie das numeische Modell mit seinen Paameten an das Vesuchsmodell angepasst weden kann. 1

16 2 Einleitung 1.2 Stand de Technik Die theoetische Systemanalyse liefet mit ihem numeischen Modell Egebnisse, deen Genauigkeit von de Modellieung (einschließlich Disketisieung) und de Güte de Modellpaamete abhängt. Geneell lässt sich sagen, dass sich z.b. die Dämpfung eines Systems nu seh unzueichend modellieen lässt. Beim oben genannten oto zum Beispiel ist davon auszugehen, dass die Dämpfungs- und Steifigkeitseigenschaften de Lage nu seh ungenau efasst weden können. Diese Sachvehalt füht zu eine meh ode wenige abweichenden Vohesage des Systemvehaltens. Fü die Beuteilung de Abweichung de expeimentell und numeisch emittelten Wete wid ein Gütekiteium eingefüht, welches eine Aussage übe die Qualität de Egebnisse zulässt. Wid eine gegebene Fehleschanke efüllt, ist das numeische Modell veifiziet und das Ziel de Veifizieung de Annahme und das Egebnis de Systemanalyse sind eeicht. Andenfalls muss eine Koektu (Updating) des numeischen Modells vogenommen weden. Geht man davon aus, dass man die modalen Paamete im Expeiment hineichend genau bestimmen kann, so kann aufgund diese Egebnisse vesucht weden, das numeische Modell bezüglich diese Daten zu koigieen. Ist das numeische Modell hineichend genau, konzentiet sich die Koektu auf eine Paameteanpassung [37], [34]. Bei de Lokalisieung geht es nunmeh daum, die unsicheen Paamete fü einen folgenden Koektuschitt zu lokalisieen und das Modell zu koigieen. Das so gewonnene koigiete echenmodell vemag ealistischee Vohesagen zu liefen als das a pioi echenmodell. 1.3 Motivation und Zielsetzung de Abeit Ziel diese Abeit ist es, das numeische Modell eines otos auf Basis expeimentell bestimmte Gößen zu koigieen und somit die Genauigkeit de numeischen echnung zu ehöhen. Hiezu wuden bishe eine eihe von Methoden entwickelt, deen gemeinsames Kennzeichen die Minimieung eine Zielfunktion ist, die aus esiduen, d.h. den Diffeenzen von numeisch beechneten und expeimentell bestimmten Gößen, gebildet wid. Dazu sind die Eigenwete eine Stuktu, die Eigenfomen ode die gemessenen Eegungen und Antwoten geeignet. Die Vefahen de Modellkoektu haben in de Stuktudynamik beiten Eingang gefunden. Auf dem Gebiet de otodynamik sind diesbezügliche Methoden ebenfalls in de Entwicklung. Im ahmen diese Abeit soll untesucht weden, inwiefen die Vefahen de Modellkoektu de Stuktudynamik auf die otodynamik anwendba sind und vebesset weden können. Die in de Stuktudynamik vewendeten Vefahen haben als wesentliches Kennzeichen, dass die dot voliegenden Stuktuen symmetische Systemmatizen liefen. Im Gegensatz hiezu haben Stuktuen in de otodynamik unsymmetische und dehzahlabhängige Systemmatizen. Das hat zu Folge, dass beeits bestehende Vefahen, die in de Stuktudynamik Einzug gefunden haben, diesem Sachvehalt angepasst weden müssen. Die meisten bisheigen Vefahen gehen davon aus, dass Dämpfungseigenschaften des betachteten Systems nu seh unzueichend bzw. ga nicht beücksichtigt

17 Einleitung 3 weden [30]. Weitehin soll untesucht weden, welches Koektuvefahen sich am besten eignet, da in de egel davon auszugehen ist, dass die Messegebnisse fehlebehaftet sind und meh ode wenige von den Vesuchsbedingungen abhängig sein können. Ein weitee Punkt ist, eine Aussage daübe zu teffen, welche physikalischen Paamete des Systems koigiet weden sollen, da die oben genannten Vefahen diese Fage offen lassen. Sind diese Punkte efüllt, soll mit dem so gewonnenen koigieten Modell eine Unwuchtidentifikation duchgefüht weden. 1.4 Gliedeung de Abeit Die Abeit ist in sieben Kapitel gegliedet. Kapitel 1 und 2 befassen sich mit de Modellbescheibung des otos sowie de Unwuchtidentifikation. Zunächst wid das FE-Modell eines otos vogestellt. Dabei wid die Bewegungsgleichung sowie de Aufbau de Systemmatizen beschieben. Anschließend weden die modalen Paamete sowie die Fequenzgangmatix fü otieende Systeme definiet. Danach weden zwei Vefahen zu Unwuchtidentifikation an biegeelastischen otoen vogestellt sowie das Identifikationsmodell zu Bestimmung de Unwucht beschieben. In Kapitel 3 wid de otovesuchsstand betachtet. Dabei weden als Estes gundlegende Aspekte bei de Duchfühung eine expeimentellen Modalanalyse an otieenden Stuktuen diskutiet. Daan anschließend weden die mechanischen Komponenten des otos vogestellt und die messtechnischen Komponenten sowie de Messablauf eläutet. In einem weiteen Untekapitel weden das FE-Modell vogestellt, die modalen Paamete dazu beechnet (Eigenwete, Eigenvektoen, Dämpfungsgade) und die Egebnisse intepetiet. Egänzend hiezu wid abschließend noch das CAMPBELL-Diagamm beechnet. Kapitel 4 beschäftigt sich mit de Paameteidentifikation, die im ahmen diese Abeit einen besondeen Stellenwet einnimmt. Hie wid als Estes die Gundidee hegeleitet (Stichwot: Zielfunktional, esiduum). Danach weden die in diese Abeit vewendeten esiduen (Eigenwete, Eigenvektoen, Fequenzgänge) eingefüht und eläutet. Es wid des Weiteen ein Vefahen zu Bestimmung de Ableitungen de Eigenwete und echtsund Linkseigenvektoen vogestellt. In den beiden Kapiteln 5 und 6 weden gundlegende Aspekte und Vefahen zu Aufbeeitung des FE-Modells (Stichwot: Kondensation) und die Auswahl de esiduen und de Submatizen zu Modellkoektu vogestellt und diskutiet. Dabei weden die Auswahl und de Aufbau de Submatizen zu Modellkoektu an einem oto eläutet. Es sollen Vefahen gezeigt weden, die eine effizientee Anwendung und Beuteilung bezüglich de Auswahl de Submatizen und Messdaten zu Modellkoektu emöglichen. In einem zweiten Schitt weden dann Wichtungsmethoden vogestellt und diskutiet. Abschließend wid in Kapitel 7 eine Modellkoektu und Unwuchtidentifikation an dem in de Abeit vogestellten oto mit Hilfe von identifizieten modalen Paameten duchgefüht. Dabei weden in einem esten Schitt die Daten bezüglich ihe Eignung zu

18 4 Einleitung Modellkoektu beuteilt. In einem zweiten Schitt wid dann die Modellkoektu und die Unwuchtidentifikation duchgefüht. Als letzte Punkt efolgt in Kapitel 8 eine Zusammenfassung und Beuteilung de Egebnisse.

19 Kapitel 2 Mathematische Gundlagen de otodynamik Dieses Kapitel soll einen Übeblick übe die vewendeten Systemmatizen, die Bewegungsgleichung und modalen Paamete elastische otoen geben. Des Weiteen findet eine Betachtung de Fequenzgangmatix statt, da sie eine zentale olle bei de hie duchgefühten Modellkoektu des numeischen echenmodells eines otos spielt. 2.1 Bewegungsgleichung eines otos De Veschiebungsvekto Die Bewegungsgleichung eines viskos gedämpften, disketisieten, zeitinvaianten Schwingungssystems, das die Dynamik eines otos bescheibt, ist duch die Gleichung Mẅ + Cẇ + Sw = f (t) (2.1) gegeben. Hiein ist de Veschiebungsvekto, de die Veschiebungen und Vedehungen w alle n Kn Knoten beinhaltet. u i (t) v i (t) w w (t) = i (t) mit i = Knotennumme. (2.2) ϕ i (t) ψ i (t) ϑ i (t). n F G Dain stehen u i, v i, w i fü die Veschiebungen und ϕ i, ψ i, ϑ i fü die Vedehungen des Knotens i in x-, y-, z-ichtung. Po Knoten egeben sich daaus 6 lokale Feiheitsgade und damit n FG = 6 n Kn globale Feiheitsgade fü den oto (Abb. 2.1). De zeitveändeliche, genealisiete Kaftvekto f (t) enthält an den jeweiligen Knoten angeifende, zeitabhängige Käfte und Momente. 5

20 6 Mathematische Gundlagen de otodynamik S 1 S 2 x M w i u i v i i z y L 1 L 2 i i Abbildung 2.1: Finite-Elemente-Modell eines otos Die Systemmatizen Die Massenmatix M des otos setzt sich aus den Elementmatizen und Einzelmassenmatizen zusammen (vgl.[4]). Hiebei beinhalten die Elementmassenmatizen M B die kontinuieliche Veteilung de Masse übe dem jeweiligen Wellenabschnitt. Die diagonale Massenmatix M S enthält die einzelnen Massen und Tägheitsmomente de aufgesetzten Scheiben. Die Gesamtmassenmatix M ist eine positive definite Matix mit dehzahlunabhängigen Elementen M = M B + M S mit m B ij = mb ji und M S = diag(m S ii ). (2.3) Die Matix de geschwindigkeitspopotionalen Käfte C setzt sich aus de Dämpfungsmatix und de gyoskopischen Matix zusammen C = G(Ω ) + D(Ω ). (2.4) Fü ein viskos gedämpftes System wäe die Dämpfungsmatix D eine symmetische und positiv definite Matix. Da de oto jedoch in Gleitlagen gelaget ist, kommen zusätzlich nichtsymmetische und dehzahlabhängige Teme dazu, so dass fü die Dämpfungsmatix D = D(Ω ) mit d ij d ji (2.5) gilt. Die gyoskopische Matix beücksichtigt die Keiselwikung de Balken- und Scheibenelemente. Sie ist antimetisch und dehzahlabhängig: G = G(Ω ) mit g ij = g ji, g ii = 0. (2.6) Die Matix de veschiebungspopotionalen Käfte S setzt sich aus de Steifigkeitsmatix K und de schiefsymmetischen zikulatoischen Matix N S = K + N (2.7) zusammen. Bei dem hie betachteten oto ist die Matix N = 0, da hie nu die Steifigkeiten de Balken- und Lageelemente beücksichtigt weden. Die Wellenabschnitte weden duch die Steifigkeitsmatix K B beschieben. Diese Matix ist symmetisch und positiv

21 Mathematische Gundlagen de otodynamik 7 semidefinit und enthält bezüglich de Zeit und de Dehzahl konstante Elemente. Weden Staköpebewegungen des otos ausgeschlossen, wid die Steifigkeitsmatix positiv definit. Zusätzlich zu den Steifigkeiten de Balkenelemente weden die Lagesteifigkeiten K L beücksichtigt. Die Lagesteifigkeiten von Gleitlagen sind in de egel dehzahlabhängig und liefen eine unsymmetische Steifigkeitsmatix. Damit egibt sich fü die Gesamtsteifigkeitsmatix K = K B + K L (Ω ) mit k B ij = k B ji und k L ij k L ji. (2.8) Die Bewegungsgleichung im Zustandsaum Mit den beschiebenen Systemmatizen egibt sich fü die Bewegungsgleichung (2.1) im Veschiebungsaum Mẅ + Cẇ + Kw = f (t). (2.9) Diese Gleichung stellt eine Diffeentialgleichung 2. Odnung da und kann duch Einfühen eines Zustandsvektos und eines eweiteten Kaftvektos [ ] [ ] f (t) ȳ(t) = w und p (t) = (2.10) 0 ẇ in eine Zustandsdiffeentialgleichung Aẏ + Bȳ = p (t) (2.11) bestehend aus zwei Diffeentialgleichungssystemen 1. Odnung übefüht weden. Die Zustandsmatizen in de Zustandsaumdastellung enthalten die Systemmatizen de Stuktu ] ] A = [ C M M 0 und B = und besitzen die doppelte Dimension (2n FG 2n FG ). [ K 0 0 M 2.2 Modale Gößen, Fequenzgangmatix Feie Schwingungen - modale Gößen (2.12) Die Diffeentialgleichung 2. Odnung aus dem Veschiebungsaum lässt sich mittels des Exponentialansatzes w = 2n F G =1 φ e λ t lösen. Damit egibt sich das allgemeine Eigenwetpoblem im Veschiebungsaum (2.13) ( λ 2 M + λ C + =. (2.14) K) φ 0 Dain sind λ die Eigenwete und die dazu koespondieenden Eigenvektoen. Die φ Eigenwete sind wie folgt aufgebaut (nu untekitisch gedämpfte Eigenwete voausgesetzt): λ = δ + jν. (2.15)

22 8 Mathematische Gundlagen de otodynamik In diese Gleichung bezeichnen δ > 0 die Abklingkonstante und ν > 0 die Eigenkeisfequenz des gedämpften Systems. Des Weiteen lassen sich de Dämpfungsgad D und die (ungedämpfte) Eigenkeisfequenz ω > 0 analog zu einem Einfeiheitsgadsystem definieen: D = δ /ω ; ω = ν / 1 D 2. (2.16) Da bei dem hie betachteten oto unsymmetische Matizen M, C und K aufteten, ist zwischen echts- und Linkseigenwetpoblem zu untescheiden. Die Eigenwete aus dem Eigenwetpoblem (2.14) bezeichnet man als echtseigenvektoen und die aus dem tansponieten Eigenwetpoblem als Linkseigenvektoen: ( λ 2 M + λ C + K) φ = 0 ; ( λ 2 MT + λ C T + K T =. (2.17) ) φ 0 Beide Eigenwetpobleme liefen gleiche Eigenwete, abe unteschiedliche Eigenvektoen. Analog zu Lösung de Diffeentialgleichung 2. Odnung im Veschiebungsaum, lässt sich die Zustandsdiffeentialgleichung 1. Odnung gemäß Gleichung (2.11) mittels Exponentialansatz ȳ = 2n F G =1 Ψ e λ t lösen. Somit egibt sich das allgemeine Eigenwetpoblem im Veschiebungsaum: L (2.18) ( λ A + B) Ψ = 0. (2.19) Wiede untescheidet man analog zum Eigenwetpoblem im Veschiebungsaum zwischen echts- und Linkseigenwetpoblem: ( λ A + = ; B) Ψ 0 ( λ A T + B T L =. (2.20) ) Ψ 0 Auch hie liefen beide Eigenwetpobleme gleiche Eigenwete, abe unteschiedliche Eigenvektoen. Die Eigenvektoen fü das System 2. Odnung sind in den Eigenvektoen de Zustandsaumdastellung enthalten: Ψ = φ λ φ L ; Ψ = φ L λ φ L. (2.21) Mit den echts- und Linkseigenvektoen lassen sich aufgund ihe Biothogonalitätseigenschaften die modalen Paamete ᾱ und β definieen: Ψ LT A Ψ = ᾱ ; Ψ LT = B Ψ β = λ ᾱ. (2.22) Ezwungene Schwingungen - Fequenzgangmatix Die ezwungenen Schwingungen weden duch die patikuläe Lösung de Bewegungsgleichung (2.1) im Veschiebungsaum beschieben. Die Lösung efolgt im Zustandsaum gemäß Gleichung (2.11). Mittels des Modalansatzes ȳ(t) = 2n F G =1 Ψ q (t) = Ψ, (2.23) q

23 Mathematische Gundlagen de otodynamik 9 wobei die Matix Ψ als echtsmodalmatix bezeichnet wid, kann die Zustandsaumdiffeentialgleichung (2.11) in den modalen Koodinaten q dagestellt weden A Ψ q + B Ψ q = p. (2.24) Duch Vomultiplikation mit de tansponieten Linksmodalmatix Ψ LT und Beücksichtigung de Biothogonalitätsbedingungen aus Gleichung (2.22) Ψ LT A Ψ }{{} + Ψ diag(ᾱ ) q LT B Ψ }{{} = Ψ q LT p diag( β ), (2.25) egeben sich 2n FG entkoppelte Diffeentialgleichungen im Zustandsaum, die sich in de Fom ᾱ q + β LT q = Ψ mit = 1...2n FG (2.26) p dastellen lassen. Duch die FOUIE-Tansfomation de modalen Diffeentialgleichung (2.26) mit den FOUIE-Tansfomieten F( q ) = Q (Ω) ; F( q ) = jω Q (Ω) ; F( p ) = P (Ω) (2.27) und duch Einsetzen von β aus Gleichung (2.22), ehält man die modalen Koodinaten im Fequenzbeeich Q (Ω) = 1 ᾱ (jω λ ) (Ω) mit = 1...2n FG. (2.28) Dain ist (Ω) das modale Eegespektum, das sich aus (Ω) = Ψ LT P (Ω) (2.29) zusammensetzt. Wid die modale FOUIE-tansfomiete Koodinate Q in den FOU- IE-tansfomieten Modalansatz (2.23) eingesetzt, egibt sich die patikuläe Lösung de Zustandsaumdiffeentialgleichung im Fequenzbeeich zu 2n F G F(ȳ(t)) = Ȳ (Ω) = =1 Ψ Ψ LT ᾱ (jω λ ) P (Ω). (2.30) Esetzt man den FOUIE-tansfomieten Zustandsvekto [ ] W Ȳ (Ω) = jω W mit F(w (t)) = (Ω) W (Ω) und F(f (t)) = F (Ω) (2.31) duch die gesuchte Antwot im Fequenzbeeich W (Ω), ehält man fü Gleichung (2.30) mit Gleichung (2.21) [ W jω W (Ω) ] = 2n F G =1 1 ᾱ (jω λ ) φ φ λ φ φ LT LT λ φ φ λ 2 φ φ LT LT [ F (Ω) 0 ]. (2.32)

24 10 Mathematische Gundlagen de otodynamik Die obee Hälfte dieses Gleichungssystems liefet dann die ezwungene Antwot des Systems im Fequenzbeeich 2nF G W (Ω) = φ φ LT ᾱ (jω λ ) F (Ω) (2.33) =1 = H(Ω) F (Ω). Die Elemente de Fequenzgangmatix H(Ω) weden als Fequenzgänge (Fequency esponse Function, FF) bezeichnet und lassen sich duch die komplexen Eigenvektoen und Eigenwete aus Gleichung (2.17) zu H kl (Ω) = 2n F G =1 φ k φ L l ᾱ (jω λ ) (2.34) beechnen. De Fequenzgang H kl (Ω) stellt damit den Zusammenhang zwischen einem im Punkt l anegenden Kaftspektum F l (Ω) und dem daduch ezwungenen Antwotspektum W k (Ω) am Punkt k im Fequenzbeeich he Bestimmung de modalen Paamete mittels expeimentelle Modalanalyse Die Bestimmung de modalen Paamete aus Fequenzgängen ist Ziel de expeimentellen Modalanalyse. Das zugunde liegende mathematische Modell des otos ist zeitinvaiant und linea, d.h. die expeimentelle Modalanalyse kann auch nu an Stuktuen mit zeitlich invaiantem und lineaem Vehalten angewandt weden. Die zeitliche Invaianz wid hiebei duch einen stationäen Zustand eeicht, indem de oto mit konstante Dehzahl betieben wid (eute). Im Gegensatz zu nicht-otieenden Stuktuen eicht es bei otoen nicht aus, nu eine Zeile ode Spalte de Fequenzgangmatix zu messen. Aufgund de unsymmetischen Systemmatizen muss hie mindestens eine Zeile und eine Spalte de Fequenzgangmatix gemessen weden [4]. Wie man in den Gleichungen (2.33) und (2.34) ekennt, emöglicht demnach die Messotvaiation = 1...n, die de Messung de l-ten Spalte de Fequenzgangmatix entspicht, die Identifikation de echtseigenvektoen. Die Eegeotvaiation l = 1...n l, die de l-ten Zeile de Fequenzgangmatix gleichkommt, emöglicht entspechend die Identifikation de Linkseigenvektoen. Hieduch ist im Vegleich zu nichtotieenden Stuktuen ein gößee Aufwand in de Vesuchstechnik nötig [25]. Zu Bestimmung de modalen Paamete gibt es eine Vielzahl von veschiedenen Identifikationsvefahen in de expeimentellen Modalanalyse. Bei den hie vewendeten Fequenzgängen aus [25] wude das Phasentennungsvefahen vewendet. Die expeimentelle Modalanalyse wude mit de Stuctual Dynamic Toolbox [3] fü MATLAB duchgefüht. Dieses Pogamm stellt Pogamm-Module zu expeimentellen und numeischen Modalanalyse sowie zum Abgleich von Finite-Elemente-Modellen zu Vefügung.

25 Mathematische Gundlagen de otodynamik Identifikationsvefahen zu Bestimmung de Unwuchtveteilung an otoen Im folgenden Kapitel sollen zwei Vefahen zu Bestimmung de Unwuchtveteilung an otoen vogestellt weden. Hiezu wid als Estes de Gundgedanke de beiden Identifikationsvefahen eläutet (Abb. 2.2). Identifikation de Fequenzgangmatix _ F _ H kl _ W _ _ W U EMA + H, H _ F U -2 _ U _ + _ _ F MU _ H kl _ W Beechnung de Fequenzgangmatix Abbildung 2.2: Identifikationsvefahen und -schitte zu Unwuchtidentifikation Zu Identifikation de Unwuchtveteilung des otos wid als Estes die unwuchtezwungene Schwingung ˆ W U (Ω ) gemessen. Die Messung efolgt hiebei an gut zugänglichen Messstellen, an denen die gößte Schwingung vemutet wid. In einem zweiten Schitt efolgt bei gleiche Dehzahl des otos und gleichen Messstellen eine expeimentelle Modalanalyse (EMA). Die Modalanalyse liefet die identifizieten modalen Paamete. Mit Hilfe de so gewonnenen modalen Paamete ist es möglich, die Unwuchtveteilung zu bestimmen. Dieses kann auf zwei veschiedene Aten efolgen: Einmal mittels ekonstuiete Fequenzgangmatix [25] bzw. altenativ aus de Fequenzgangmatix, die aus einem angepassten Finite-Elemente-Modell (Model-Updating (MU)) beechnet wid. Die Fequenzganggleichung (2.33), die den Zusammenhang zwischen Eegeund Antwotsignal bescheibt, gibt auch den Zusammenhang zwischen de Unwuchtkaft U ˆ F (Ω ) bzw. de Unwuchtveteilung und de unwuchtezwungenen Schwingungsantwot wiede Ū U ˆ W = H(Ω ) ˆ F U (Ω ) = H(Ω ) Ω 2 Ū. (2.35) Mittels Pseudoinvesion de Fequenzgangmatix ist dann die Bestimmung des Unwuchtkaftvektos möglich. Aus diesem lässt sich übe eine Pseudoinvesion eine Massen- und

26 12 Mathematische Gundlagen de otodynamik Geometieeigenschaften beücksichtigenden Matix Θ de Unwuchtvekto ε = 1 Ω Θ + ˆ F U (Ω ) (2.36) 2 bestimmen. Zusammenfassend ist de Ablauf beide Vefahen zu Unwuchtidentifikation in den beiden nächsten Abschnitten dagestellt Unwuchtidentifikation mittels ekonstuiete Fequenzgangmatix Bei diesem Identifikationsvefahen weden die Fequenzgangmatix und daaus die Unwuchten nu aus Messdaten identifiziet. Hiezu dient eine Modalanalyse, aus de alle benötigten Paamete zu Identifikation de Unwucht emittelt weden. Die Identifikation läuft in de aufgefühten Abfolge ab: Messung de unwuchtezwungenen Schwingung ˆ W Duchfühung eine expeimentellen Modalanalyse: - Messung eine Zeile und Spalte de Fequenzgangmatix - Identifikation de modalen Paamete (Eigenwete, Eigenvektoen) ekonstuktion de Fequenzgangmatix H Beechnung des Unwuchtkaftvektos ˆ F U duch Invesion de extapolieten Fequenzgangmatix H Bestimmung de Unwuchten Ein goße Nachteil dieses Vefahens ist, dass zu ekonstuktion de Fequenzgangmatix eine Spalte und Zeile diese Matix gemessen weden müssen. Somit egeben sich (2 n FG 1) Fequenzgänge, die identifiziet weden. D.h. bei dem in diese Abeit untesuchten oto, dessen FE-Modell aus 80 Feiheitsgaden besteht, weden theoetisch insgesamt 159 Fequenzgänge identifiziet. Diese Sachvehalt vedeutlicht, dass bei diesem Vefahen eine goße Datenmenge aufgenommen weden muss, woduch ein ehebliche Zeitaufwand esultiet. Weitehin ist anzumeken, dass in de Paxis nicht alle Feiheitsgade fü eine Messung zugänglich sind und dementspechend eine Extapolation de Daten efodelich ist, woduch eine weitee Fehlequelle bei de Datenauswetung entsteht Unwuchtidentifikation mittels angepasstem FE-Modell Bei diese Identifikationsmethode wid die Unwucht aus Messdaten und FE-Modell gewonnen. Hiebei weden an ausgesuchten Stellen des otos Fequenzgänge gemessen und eine EMA duchgefüht, bei de die modalen Paamete identifiziet weden. Anschließend weden mit dem FE-Modell die modalen Paamete beechnet und danach eine Modellkoektu duchgefüht. Die Abeitsschitte bei diese Identifikationsmethode sind: U

27 Mathematische Gundlagen de otodynamik 13 Messung de unwuchtezwungenen Schwingung ˆ W Duchfühung eine expeimentellen Modalanalyse: - Messung ausgewählte Fequenzgänge - Identifikation de modalen Paamete (Eigenwete, Eigenvektoen) Beechnung de modalen Paamete mittels FE-Modell Vegleich de identifizieten und beechneten modalen Paamete Anpassung des FE-Modells an die identifizieten modalen Paamete Beechnung de Fequenzgangmatix H mittels angepasstem FE-Modell Beechnung des Unwuchtkaftvektos ˆ F U duch Invesion de extapolieten Fequenzgangmatix H Bestimmung de Unwuchten Diese At de Identifikation bietet den Voteil, dass nu eine bestimmte Anzahl an Fequenzgängen gemessen weden muss, woaus eine ehebliche Veingeung de Vesuchszeit esultiet. Des Weiteen lässt sich mit dem so angepassten FE-Modell die vollständige Fequenzgangmatix beechnen, woduch eine Extapolation de Daten übeflüssig wid. Anzumeken hiebei ist jedoch, dass diese Methode eine gute Kenntnis bezüglich de Modellieung des FE-Modells efodet. D.h. es müssen mögliche Fehlequellen bekannt sein, um diese duch eine Modellkoektu zu minimieen. 2.4 Identifikationsmodell zu Bestimmung de Unwuchten Die Dastellung des Unwuchtkaftvektos des disketisieten otos efolgt mittels Supepositionspinzip Ū = Ū Ū B + Ū S. (2.37) In diese Gleichung bescheibt Ū B die Unwuchten de Balkenelemente und Ū S die Unwuchten de Scheibenelemente Unwucht de Balkenelemente Die Schweelinie des gesamten otos wid duch eine stückweise lineae Vebindungslinie B εe (x, t) de Schwepunktexzentizitäten ε i de einzelnen Balkenelemente e in y- und z- ichtung appoximiet [4] (Bild 2.3). Unte otation entsteht aufgund de Exzentizität eine lineae Zentifugalkaft (x, t) fü jedes Balkenelement e, die sich aus de Winkelgeschwindigkeit Ω und de Massendichte e f e zusammensetzt U B e f (x, t) = Ω2 e A e ε B e (x, t). (2.38)

28 14 Mathematische Gundlagen de otodynamik Die übe x veteilte Zentifugalkaft kann mit Hilfe des Pinzips de vituellen Abeit auf eine diskete Zentifugalbelastung an den Knoten tansfomiet weden, wobei man fü jeden Knoten zwei Käfte und zwei Momente, also insgesamt acht Komponenten po Balkenelement e enthält. Somit egibt sich B Ū e = Γ B e m B e I }{{} Θ B e [ ε B i ε B i+1 ]. (2.39) In diese Gleichung bescheiben m e die Balkenmasse und Γ B e die Geometie und Mateialeigenschaften des Balkenelements (siehe [4], Seite ). Damit kann aus den lokalen y (x) (x) 1 S 1 1 x 2 S 2 2 z Abbildung 2.3: Lineae Vebindungslinie de Schwepunktexzentizitäten de Balkenelemente [4] Elementunwuchten Ū B e die Unwuchtveteilung de gesamten Welle des otos modelliet weden Ū B = Θ B ε B. (2.40) Die Unwuchtpaamete fü die Unwucht de Balkenelemente setzen sich aus ε B = [...ε B i e jαb i...] T mit i = 1...n Kn (2.41) zusammen, woin ε B i und α B i die Schwepunktexzentizität des Knotens i und dessen Winkellage bescheiben (siehe Abb. 2.3) Unwucht de Scheibenelemente Die Gesamtunwucht de Scheiben eines otos setzt sich aus den statischen und dynamischen Unwuchten zusammen. Mit de statischen Unwucht wid eine Scheibe beschieben, deen Schwepunkt außemittig liegt. Unte otation titt aufgund des Schwepunktsatzes eine adiale, mit de Dehzahl umlaufende Zentifugalkaft e auf (Abb. 2.4 links). F S Mit de dynamischen Unwucht wid eine schiefstehende Scheibe beschieben, die unte

29 Mathematische Gundlagen de otodynamik 15 x z w S w W S F e S m e S y y t+ t+ x e S ae M e S, pe z Abbildung 2.4: Statische und dynamische Unwucht de Scheibenelemente [25] S otation aufgund des Dallsatzes zu einem ückstellenden Moment e füht (Abb. 2.4 M echts). Fü den Unwuchtkaftvekto eine Scheibe [4] egibt sich mit den axialen und polaen Widestandsmomenten θ ae und θ pe S f e = Ω2 ejω t m S e 0 j m S e 0 0 θ ae θ pe 0 j(θ ae θ pe ) } {{ } Θ S e woin die dehzahlunabhängige Scheibenunwucht sich aus [ ε S e β S e ], (2.42) S e = Ū Θ S S e e (2.43) ε zusammensetzt. Die Tansfomation in globale Koodinaten liefet fü die Scheibenunwucht des gesamten otos Ū S S ε S = Θ. (2.44) Die Unwuchtpaamete fü die Scheibenunwucht setzen sich aus ε S = [...ε S e e jαs e, βe S e jγs e...] T mit e = 1...n S (2.45) zusammen. Hie bezeichnen ε S e und αs e die Schwepunktexzentizität sowie deen Phasenlage. βe S und γs e bescheiben den Schägstellwinkel und die Phasenlage de e-ten Scheibe Bestimmung de Unwuchtpaamete De Unwuchtkaftvekto ˆ F U ist gegeben duch U f = (Ω ) e (t) ˆ F jωt = Ω 2 Ū ejω t. (2.46)

30 16 Mathematische Gundlagen de otodynamik Duch die Gleichungen (2.37), (2.40), (2.43) und (2.45) kann de Unwuchtkaftvekto duch U ˆ F = Ω 2 Θ ε (2.47) dagestellt weden. Unte Beücksichtigung de Phasenbeziehung zwischen den z-komponenten und den y-komponenten de Unwuchtkäfte und -momente ˆ F y = j ˆ F z ; ˆ My = j ˆ Mz (2.48) ehält man aus Gleichung (2.45) 2n K Gleichungen zu Beechnung von (n k + 2n S ) unbekannten, komplexen Unwuchtpaameten ε. In de Paxis sind in de egel viel meh Knoten als Scheiben zu ewaten, so dass Gleichung (2.47) zu einem übebestimmten Gleichungssystem wid, welches duch ε = 1 Θ + U Ω 2 ˆ F mit Θ+ = ( Θ T Θ) 1 ΘT (2.49) gelöst weden kann. 2.5 ekonstuktion de Fequenzgangmatix aus modalen Paameten In diesem Abschnitt soll die ekonstuktion de Fequenzgangmatix [4],[25] aus den modalen Paameten, die zu Identifikation de Unwuchtveteilung des otos vewendet wuden, eläutet weden. Die modalen Paamete des otos können mittels eine expeimentellen Modalanalyse emittelt weden. Hiefü müssen die Fequenzgänge eine Spalte und Zeile identifiziet weden, wozu (n + n l 1) Messungen efodelich sind. n gibt die Länge des Antwotvektos und n l die Länge des Kaftvektos an. Die ekonstuktion de Fequenzgangmatix lässt sich mit Hilfe de modalen Paamete entspechend de Beziehung H(Ω) = n M =1 LT LT φ φ φ φ ᾱ (jω λ ) + ᾱ (jω λ ) = φ Λ φ LT (2.50) dastellen. In diese Gleichung bezeichnet Ω die Eegekeisfequenz. Um ein gutes Identifikationsegebnis bei de Unwuchtidentifikation zu ehalten, empfiehlt es sich, die Anzahl de zu bestimmenden Unwuchtpaamete möglichst klein zu halten. D.h., wenn a pioi Kenntnisse bezüglich de zu emittelnden Unwuchten bekannt sind, sollten diese beücksichtigt weden. Mit de so eduzieten Anzahl de zu identifizieenden Paamete lässt sich die Anzahl de Gleichungen in dem Gleichungssystem (2.47) veingen. Diese Veingeung kann duch die Auswahl einzelne Komponenten aus dem

31 Mathematische Gundlagen de otodynamik 17 Kaftvekto fü die zu identifizieenden Stellen eeicht weden, so dass n l < n wid. Daduch egibt sich fü die ekonstuktion de Fequenzgangmatix, dass die Linkseigenvektoen, entspechend de Auswahl de Kaftvektokomponenten, ebenfalls auf die Länge n l eduziet weden müssen H(Ω ) }{{} (n n l ) = φ }{{} (n 2n M ) Λ }{{} (2n M 2n M ) φlt }{{} (2n M n l ) (2.51) mit Λ =... 1 α (jω λ )... 1 α (jω λ ).... (2.52) Ein Nachteil bei de ekonstuktion de Fequenzgangmatix mittels modale Paamete ist, dass die Fequenzgangmatix mit identifizieten und daduch mit fehlehaften Gößen aufgebaut wid. Ein weitee Nachteil ist, dass die Einflüsse de Eigenvektoen, die außehalb des zu untesuchenden Fequenzbeeiches liegen, nicht beücksichtigt weden. In [25] wid eine Methode zu Beücksichtigung de Einflüsse beschieben, wobei diese duch sogenannte esidualteme dagestellt weden. Als Voteil ist zu nennen, dass im Vegleich zu diekten Messung de gesamten Fequenzgangmatix, bei de (n l n ) Messungen efodelich sind, nu (n l +n 1) Messungen nötig sind. Weitehin können nicht zugängliche Stellen in de Fequenzgangmatix ekonstuiet weden, indem eine Expansion de Eigenvektoen vo de ekonstuktion duchgefüht wid (siehe Kapitel 5.3).

32 18 Mathematische Gundlagen de otodynamik

33 Kapitel 3 De otovesuchsstand 3.1 Allgemeine Anmekungen Im Allgemeinen lassen sich die Eigenwete und somit die Eigenkeisfequenzen und Dämpfungsgade sowie Eigenvektoen elativ einfach mittels eine expeimentellen Modalanalyse (EMA) aus Fequenzgängen (FFs) bestimmen. Bei nicht otieenden Stuktuen kann die Eegung de Stuktu z.b. mittels Modalhamme ode mit Hilfe eines Shakes efolgen. Bei otieenden Stuktuen ist dies in de egel nu eingeschänkt möglich. Die Vewendung eines Shakes bei otieenden Stuktuen bzw. bei einem oto [7], [47], [50] hat den Voteil, dass hekömmliche Eege- und Messsysteme vewendet weden können. De Nachteil des Shakes ist, dass die Ankopplung des Eeges an den oto und die damit vebundene Massenkopplung die dynamischen Eigenschaften de zu untesuchenden Stuktu veänden. Außedem können duch eibung Tosionsschwingungen angeegt weden, deen Kaftanteile nicht messba und somit als Stöungen in die Fequenzgänge eingehen. Bei de Vewendung eines modifizieten Modalhammes zu Eegung des otos [41], [40], [52] hat man die ähnlichen Voteile eines Modalhammes wie z.b. leichte Handhabung, abe auch dieselben Nachteile wie schlechte epoduziebakeit de Messegebnisse und die begenzte Anegungsenegie. Neben den beiden genannten gibt es noch weitee Methoden einen oto anzuegen, wie es in den weitefühenden Veöffentlichungen [36], [6], [23] eläutet ist. Eine Altenative zu Eegung eine otieenden Stuktu bietet ein Magneteege - Messsystem [25], [51], wie es bei den hie identifizieten modalen Daten vewendet wude. Hie efolgt eine beühungslose Eegung bei gleichzeitige Kaft- und Wegmessung. Diese At de Eegung bietet außedem die Möglichkeit eine Eegeotvaiation, womit eine Identifikation von Linkseigenvektoen möglich ist. Abb. 3.1 und Abb. 3.2 zeigen den otovesuchsstand. An ihm wuden die Daten zu Modellkoektu gewonnen. Im esten Punkt sollen kuz die mechanischen und messtechnischen Komponenten vogestellt weden. Eine genauee Bescheibung ist in [51] nachzulesen. Anschließend folgt eine theoetische Betachtung an dem Finite-Elemente- Modell des otovesuchsstandes. Hiezu wuden die Eigenfequenzen und -fomen sowie das CAMPBELL-Diagamm mit MATLAB emittelt und die Egebnisse intepetiet. 19

34 20 De otovesuchsstand Abschließend wid das Messmodell zu EMA vogestellt Abbildung 3.1: Pinzipskizze des otovesuchsstandes Goße Scheibe Loslage Magneteege Festlage Kleine Scheibe Dehzahlmesse Laselichtschanke Manomete Asynchonmoto Magnetkupplung Abbildung 3.2: Foto des otovesuchsstandes [51] 3.2 Mechanische Komponenten De Vesuchsoto ist auf eine schwingungsisolieten Spannplatte (1) aufgebaut. E wid übe einen Fequenzumfome, de den oto auf konstante Dehzahl hält, mit einem Asynchonmoto (2) angetieben. De Moto ist übe eine Magnetkupplung (3) an die otowelle (8) angekoppelt. Die beühungslose Vebindung zwischen Moto und otowelle mittels Magnetkupplung soll vehinden, dass die otowelle duch den Moto zu Schwingungen angeegt wid. Zu Minimieung de duch das Magnetfeld entstehenden

35 De otovesuchsstand 21 Wibelstomveluste sind fei veschiebbae, geblechte Hülsen (5) auf de Welle angebacht. Weitehin sind an de otowelle zwei Scheiben (6) und (10) mit unteschiedlichen Duchmessen mittels zentische Konus-Spannelementen angebacht. Daduch können die Scheiben an unteschiedlichen Positionen auf de Welle befestigt weden. Zusätzlich sind in den Scheiben Gewindebohungen eingebacht, die das Anbingen von Testunwuchten emöglichen. Die otowelle ist auf einem Festlage (4) und einem Loslage (9) gelaget. Bei den Lagen handelt es sich um hydodynamische Gleitlage, die duch nicht symmetische Fede- und Dämpfeeigenschaften gekennzeichnet sind. 3.3 Messtechnische Komponenten Fü die Duchfühung eine Modalanalyse wid die otowelle mit einem beühungslosen Magneteege-Messsystem am Diving-Point (DP) 1 (7) zu Schwingungen angeegt. Das Magneteege-Messsystem kann zu Duchfühung eine Eegeotvaiation entlang des otos veschoben weden und in zwei senkecht zueinande liegenden ichtungen die Schwingungen messen. Die Messung de Magnetkaft, die die otowelle zu Schwingungen anegt, efolgt duch einen piezoelektischen Kaftsenso im Magneteege. Die Schwingungsantwot des otos wid mit wegmessenden Laselichtschanken in jeweils dei Messebenen aufgenommen. Po Messebene weden zwei zueinande othogonal messende Lichtschanken eingesetzt, die jeweils die Auslenkung de Welle bzw. de Scheibe in y- und z- ichtung messen können. Zwei Messebenen sind hiebei fei entlang des otos vesetzba. Die ditte Messebene ist so angebacht, dass sie die Bewegung de geblechten Hülsen am Magneteege misst. Hieduch soll eine Beühung zwischen Magneteege und otowelle vehindet weden. Die Dehzahlmessung efolgt mit Hilfe eine Lichtschanke, die einen Impuls po otodehung abgibt. Fü eine Messotvaiation müssen die beiden fei veschiebbaen Messebenen nach jede Messung vesetzt weden, so dass nacheinande in Messguppen gemessen wid. Jede Messguppe beinhaltet die Signale von den beiden veschiebbaen Laselichtschanken in de jeweiligen y- und z-ichtung sowie die Signale de ditten Messebene am Eegeot. Des Weiteen wid das Signal des Kaftsensos und die Dehzahl übe die Lichtschanke aufgenommen (Abb. 3.3). Die Messsignale weden dann simultan übe ein Messsystem de Fima IOtech mit de Bezeichnung WaveBook/512A abgetastet und digitalisiet. Mit Hilfe eine PC-Kate/EPP (enhanced paallel pot) mit Namen WBK20A, efolgt die Datenübetagung an ein Notebook. Hie wid die weitee Datenefassung mit de Softwae DASYLab duchgefüht, die die Daten in einem IEEE-32-Bit-Float-Fomat abspeichet. Die weitee Messdatenveabeitung und Analyse efolgt dann in MATLAB. Die Steueung des Magneteeges efolgt duch einen PC, de unabhängig von dem Notebook abeitet. Auch hie wid die egelung duch ein selbstgeschiebenes Pogamm in DASYLab ealisiet. Die dafü benötigten Messdaten weden von de PC-Kate PCI- MIO-16E-4 von de Fima National Instuments aufgenommen. Die Kate besitzt neben acht analogen Eingängen auch zwei analoge Ausgänge, die das Steuesignal fü den Leis- 1 Ot des Magneteeges zu Duchfühung eine expeimentellen Modalanalyse

36 22 De otovesuchsstand tungsvestäke des Magneteeges liefen. Weitee Details zu den messtechnischen Komponenten sowie de egelung des Magneteeges können in [51] nachgelesen weden. Abbildung 3.3: Messaufbau des otovesuchsstands [51] 3.4 Theoetische Betachtung des otos In den Abeiten [4] und [25] wuden ausfühliche Paametestudien an dem Vesuchsoto zu dynamischen Auslegung und Unwuchtidentifikation duchgefüht. Bei de dynamischen Auslegung des otos wa die Hauptanfodeung eine optimale Ausgangskonfiguation bezüglich de Scheiben und de Lageung zu finden, um aussagekäftige Studien

37 De otovesuchsstand 23 duchfühen zu können. Ziel wa es hiebei, eine goße Anzahl an Eigenfequenzen und Eigenfomen am oto identifizieen zu können. Dieses ist notwendig, weil Paametestudien zeigten, dass bei de Unwuchtidentifikation von jeweils eine Testunwucht je Scheibe, mindestens sechs Modes zu Identifikation benötigt weden. Eine Einschänkung ist hiebei die Auswahl des zu analysieenden Fequenzbeeiches. Bei dem hie betachteten oto wid diese duch die Auslegung des Magneteeges festgelegt, woduch sich ein Fequenzbeeich von f s 1 bzw. Ω s 1 egibt. Eine weitee Fodeung wa, dass sich die modalen Paamete in Abhängigkeit de otodehzahl deutlich änden. Daduch wid die Tennung de Gegenlauf- und Gleichlaufmodes gewähleistet. Außedem egibt sich die Möglichkeit, bei veschiedenen Dehzahlen eine Unwuchtidentifikation duchfühen zu können. Man ehält dann fü die zu invetieende Fequenzgangmatix einen gößeen Infomationsgehalt und damit eine Vegößeung des anges de Fequenzgangmatix im Vegleich zu Identifikation bei nu eine Dehzahl. Die Vesuche bzw. das Model Updating wude fü die Dehzahlen von 1080 pm (Dehkeisfequenz Ω = 113, 1 s 1 ) und 1800 pm (Dehkeisfequenz Ω = 188, 5 s 1 ) duchgefüht. Die Wahl de Dehzahlen efolgte dabei unte Beücksichtigung veschiedene Kiteien. Die gewählten Dehzahlen sollten nicht in esonanznähe liegen. Des Weiteen sollte die entspechende Betiebsschwingfom möglichst viele Eigenschwingfomen enthalten, was den Betieb in esonanz ebenfalls ausschließt. Die Wahl de Dehzahl 1080 pm besitzt den Voteil, dass beim Hochlauf keine biegekitische Dehzahl duchfahen weden muss (siehe Abb. 3.17), da die Gegenlaufschwingungen von den Unwuchtkäften nicht angeegt weden Das Finite-Elemente-Modell des Vesuchsotos Betachtet sei das modifiziete Finite-Elemente-Modell (Abb. 3.4), welches die äußeen Dämpfungseinflüsse bezüglich des Umgebungsmediums an den Scheiben S 1 und S 2 sowie die Einflüsse de Magnetfelde an de Magnetkupplung (M) und des Magneteege- Messsystems am Diving-Point (DP) beücksichtigt. x M S 1 DP S 2 w i u i v i i z y L 1 L 2 i i Abbildung 3.4: Finite-Elemente-Modell des Vesuchsotos

38 24 De otovesuchsstand Fü das Umgebungsmedium wude eine Abschätzung zu Bestimmung de Dämpfungspaamete duchgefüht [13]. Dazu wude ein Einscheibenoto im stationäen Umlauf (Gleichlauf) untesucht und die Dämpfungspaamete fü die Scheiben beechnet. Die Dämpfung de Magnetfelde wude mittels Testechnung abgeschätzt. Fühee Untesuchungen [25] zeigten, dass de Einfluss de Dämpfung des Magnetfeldes auf die modalen Paamete des otos nu seh geing ist. Das FE-Modell des hie betachteten otos beinhaltet somit: Balkenelemente fü die otowelle, die Schedefomation, otationstägheit und gyoskopische Effekte beücksichtigen, Scheibenelemente (S 1, S 2 ), die Tansvesal- und otationstägheit sowie gyoskopische Effekte beücksichtigen, Dehzahlabhängige Fede- und Dämpfeelemente zu Bescheibung de Eigenschaften des Ölfilms in den Lagen (L 1, L 2 ), Zusätzliche Dämpfeelemente an de Magnetkupplung (M) und dem Diving-Point (DP) zu Bescheibung des Einflusses de Magnetfelde auf die Dämpfung, Zusätzliche Dämpfeelemente an den Scheiben (S 1, S 2 ) zu Bescheibung des Einflusses des Umgebungsmediums auf die Dämpfung Beechnung de modalen Paamete des FE-Modells Mode δ/s 1 ν/s 1 ω/s 1 D/% 01 30,93 67,07 73,86 41, ,63 112,16 139,31 59,31 1 2,90 83,74 83,79 3,46 2 5,48 131,74 131,85 4,16 3 6,82 238,35 238,45 2,86 4 6,09 261,51 261,58 2,33 5 7,77 642,09 642,14 1,21 6 5,38 796,75 796,77 0, ,27 913,64 913,71 1, , , ,71 1, , , ,75 2, , , ,30 2,63 Tabelle 3.1: Modale Paamete des Vesuchsotos bei 1080 pm Es wuden zunächst die modalen Paamete des FE-Modells beechnet (siehe Anhang C). Hiezu wuden bei den Dehzahlen 1080 pm und 1800 pm die esten 12 Eigenwete und

39 De otovesuchsstand 25 die dazugehöigen Eigenvektoen mit Hilfe de Daten des otos (Anhang C) beechnet und dagestellt. In den Tabellen 3.1 und 3.2 sind die modalen Paamete, die aus den Eigenweten bestimmt wuden, angegeben. Hiebei bezeichnet δ die Abklingkonstante, ν die Eigenkeisfequenz des gedämpften Systems, ω die Eigenkeisfequenz des ungedämpften Systems und D die Dämpfungskonstante (vgl. Kapitel 2.2.1). Bei de Bezeichnung de Modes wuden die stak gedämpften Modes 01 und 02 exta betachtet und gezählt. Diese beiden Modes können nicht bei de Identifikation de modalen Paamete aus den Messdaten aufgund ihe staken Dämpfung aus den Fequenzgängen identifiziet weden (siehe Abschnitt 7.3.1). Mode δ/s 1 ν/s 1 ω/s 1 D/% 01 33,78 102,04 107,49 31, ,32 156,36 189,65 56,59 1 2,12 71,40 71,43 2,96 2 5,94 147,26 147,38 4,03 3 5,96 233,15 233,23 2,56 4 4,54 272,02 272,06 1,67 5 3,24 609,51 609,52 0,53 6 7,42 862,67 862,70 0,86 7 2,67 870,21 870,21 0, , , ,00 1, , , ,83 2, , , ,53 2,27 Tabelle 3.2: Modale Paamete des Vesuchsotos bei 1800 pm Als Nächstes seien die Eigenvektoen des Vesuchsotos betachtet. Es wuden hiezu die esten 12 echtseigenvektoen (Abb. 3.5 bis 3.16) bei 1080 pm dagestellt. Hiebei lassen sich die Eigenvektoen in Gleichlauf- und Gegenlauf-Modes unteteilen. Da bei dem hie betachteten System nicht-popotionale Dämpfung voliegt, liegen die Eigenvektoen in komplexe Fom vo. Stellt man diese Eigenvektoen bzw. die Elemente diese Eigenvektoen in eine äumlichen Dastellung da, in de eal- und Imaginäteil übe dem Knoten aufgetagen sind, bedeutet das, dass diese Punkte im aum liegen. Im Gegensatz hiezu liegen die Elemente de Eigenvektoen eines ungedämpften Systems, die sich in eelle Fom dastellen lassen, alle in de Ebene (siehe [21]). Fü die Dastellung de esten 12 echtseigenvektoen wuden diese mit dem Pogamm FEOS [5] beechnet. Außedem weden im Folgenden nu die tanslatoischen Feiheitsgade am Knoten i betachtet: e φ = i i φ φ e φ Im + j φ Im yi yi = + j. (3.1) i e Im zi zi φ φ Zum Aufteten eine Päzessionsbewegung ist es efodelich, dass de ealteil φ e und i

40 26 De otovesuchsstand Im de Imaginäteil φ äumlich nicht in eine Ebene liegen. Anhand de Lage de Vektoen i e φ und φ Im zueinande, efolgt eine Bewegung in ode gegen die ichtung des duch die i i Winkelgeschwindigkeit Ω vogegebenen Umlaufsinns (Gleich- bzw. Gegenlauf). Bescheibt die Päzessionsbewegung eine Keisbahn, was nu im ungedämpften Fall möglich ist, muss de eal- und de Imaginäteil des Eigenvektos identisch sein. Fü ungleiche eal- und Imaginäteile egibt sich eine Ellipsenbahn. Fü die stak gedämpften Modes 01 und 02 (Abb. 3.5 und 3.6) zeigt sich, dass die Eigenfomen im Beeich de Lage jeweils einseitig Schwingungsknoten ausbilden bzw. ihe gößte Auslenkung aufweisen. Bei den Modes 1 bis 4 (Abb. 3.7 bis 3.10) ist zu beobachten, dass sich die Schwingungsknoten in beiden Lagen ausbilden. Die gößte Auslenkung liegt zwischen den beiden Lagen vo, abe auch in dem Beeich de Scheiben ist eine ausgepägte Auslenkung zu beobachten. Ab Mode 5 (Abb. 3.11) bilden sich neben den Knoten an den Stellen de Lage zusätzlich Knoten an den Stellen de Scheiben aus, wobei zu beobachten ist, dass die Auslenkungen in den Beeichen zwischen den Scheiben und Lagen mit aufsteigendem Mode sich deutlich veingen und unteschiedlich stak ausgepägt sind. Die gößte Auslenkung liegt zwischen de Scheibe (S 1 ) und dem Lage (L 2 ) im Beeich des Diving-Points (DP) vo. Ab Mode 9 (Abb. 3.15) ist die Auslenkung in dem Beeich zwischen den beiden Lagen und den Scheiben vollständig minimiet und es ist nu noch eine deutliche Auslenkung in dem Beeich des Diving-Points festzustellen. Auf eine Dastellung de Eigenvektoen fü die Dehzahl 1800 pm wude vezichtet, da die Beechnungen zeigten, dass die Dehzahl keinen goßen Einfluss auf die Eigenvektoen hat. Abschließend wude noch das CAMPBELL-Diagamm fü die Eigenfequenzen beechnet (Abb und 3.18). Dazu wuden in einem esten Schitt die Dämpfe- und Steifigkeitskoeffizienten mit Hilfe des Pogamms Gleiko [9] in einem Intevall von 250 pm bis 4000 pm bestimmt. Dieses Pogamm emittelt die Gleitlagekoeffizienten mit Hilfe de analytischen Kuzlagelösung fü die eynoldsche Diffeentialgleichung. Anschließend wude zu Dastellung in 250 pm Schitten das Eigenwetpoblem gelöst (Beechnungsintevall: 250 bis 4000 pm) und die ungedämpften Eigenkeisfequenzen des Systems in Abhängigkeit de Dehzahl dagestellt. Die duchgezogenen Linien geben in den beiden Diagammen die Gegenlauf- und die gestichelten Linien die Gleichlauf-Modes an. Hie wid die Dehzahlabhängigkeit de Eigenwete und somit de Eigenkeisfequenzen esichtlich. Weitehin zeigt das Diagamm, dass in diesem Beeich zwei elevante biegekitische Dehzahlen bei ca pm und 2750 pm voliegen (siehe Kap.3.4).

41 De otovesuchsstand 27 =Diving-Point e{ 01 } Im{ 01 } Abbildung 3.5: Mode 01 (Gleichlauf) =Diving-Point e{ 02 } Im{ 02 } Abbildung 3.6: Mode 02 (Gegenlauf) =Diving-Point e{ 1 } Im{ 1 } Abbildung 3.7: Mode 1 (Gegenlauf)

42 28 De otovesuchsstand =Diving-Point Im{ 2 } e{ 2 } Abbildung 3.8: Mode 2 (Gleichlauf) =Diving-Point Im{ 3 } e{ 3 } Abbildung 3.9: Mode 3 (Gegenlauf) =Diving-Point e{ 4 } Im{ 4 } Abbildung 3.10: Mode 4 (Gleichlauf)

43 De otovesuchsstand 29 =Diving-Point Im{ 5 } e{ 5 } Abbildung 3.11: Mode 5 (Gegenlauf) =Diving-Point e{ 6 } Im{ 6 } Abbildung 3.12: Mode 6 (Gleichlauf) =Diving-Point Im{ 7 } e{ 7 } Abbildung 3.13: Mode 7 (Gegenlauf)

44 30 De otovesuchsstand =Diving-Point Im{ 8 } e{ 8 } Abbildung 3.14: Mode 8 (Gleichlauf) =Diving-Point Im{ 9 } e{ 9 } Abbildung 3.15: Mode 9 (Gegenlauf) =Diving-Point Im{ 10 } e{ 10 } Abbildung 3.16: Mode 10 (Gleichlauf)

45 De otovesuchsstand Dehzahl Mode 01 Mode 02 Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 CAMPBELL Diagamm ω / s n / min 1 Abbildung 3.17: CAMPBELL-Diagamm fü Mode 01 bis CAMPBELL Diagamm ω / s Mode 5 Mode 6 Mode 7 Mode 8 Mode 9 Mode n / min 1 Abbildung 3.18: CAMPBELL-Diagamm fü Mode 5 bis 10

46 32 De otovesuchsstand Das Messmodell des Vesuchsotos Neben dem FE-Modell (Abb.3.4) bedaf es nun noch eines Messmodells (Abb. 3.19). Dieses Modell gibt die Feiheitsgade an, die eine Messung zugänglich sind. Zu sehen sind das FE-Modell (entspicht Abb.3.4), welches aus 20 Knoten besteht, und das Messmodell (14 FE-Modell x M S 1 DP S 2 w i u i v i i z y L 1 L 2 Knoten FE-Modell: 1 i i Knoten-Messmodell: Abbildung 3.19: Messmodell des Vesuchsotos Knoten). Hiebei geben die blauen inge die Feiheitsgade an, die eine Messung nicht zugänglich sind bzw. keine Messung duchgefüht wude. Dieses sind die Knoten an den Scheiben S 1, S 2 sowie an de Magnetkupplung M und an den Lagen L 1 und L 2. Weitehin weden nu die Tanslationsfeiheitsgade in v und w gemessen. Hieaus folgt, dass das Messmodell insgesamt 28 Feiheitsgade hat, wähend das FE-Modell 80 Feiheitsgade besitzt. Daaus egibt sich, dass die identifizieten Eigenvektoen an den entspechenden Stellen eweitet weden müssen, um eine Koektu des FE-Modells mittels Eigenvektoen und somit eine Unwuchtidentifikation an den Scheiben zu emöglichen (siehe Kapitel 5.3).

47 Kapitel 4 Gundlagen de Paameteidentifikation Die Untesuchung eines FE-Modells liefet Egebnisse, deen Genauigkeit von de Modellieung und de Güte de Modellpaamete abhängen. Vesuche mit ealen Stuktuen egeben Identifikationsegebnisse, z.b. Eigenwete, Eigenvektoen, Fequenzgänge und dynamische Antwoten im Zeit- und Fequenzbeeich. Vegleicht man nun beide Egebnisse miteinande, so weden diese in de egel voneinande abweichen. Teten nu Abweichungen auf, die in einem vogegebenen Fehlebeeich liegen, so ist das echenmodell veifiziet. Übescheiten die Abweichungen diesen Fehlebeeich, so ist eine Koektu des echenmodells notwendig. Ist die Stuktu des FE-Modells hineichend genau, so wid eine Paameteanpassung duchgefüht, welche ein koigietes echenmodell egibt. Das so gewonnene koigiete echenmodell emöglicht dann eine genauee Vohesage als das uspüngliche echenmodell. Die so duchgefühte Koektu de Paametematizen des echenmodells duch Identifikationsegebnisse, z.b. Fequenzgänge, stellt wiede eine Identifikation da. Die indiekte Identifikation beginnt mit dem Vegleich von Egebnissen des FE-Modells mit dem Vesuchsmodell. Hiebei wid zwischen diektem und indiektem Vegleich unteschieden. Im esten Fall weden die diekten ode indiekten Paamete des FE-Modells mit dem Vesuchsmodell veglichen, im zweiten nichtpaametische Gößen, insbesondee dynamische Antwoten, welche die modalen Paamete implizit enthalten. Sind die Paamete des betachteten Modells identifiziet und stimmt die Anzahl de Feiheitsgade des FE-Modells mit dem Vesuchsmodell übeein, so lässt sich de Vegleich diekt duchfühen. Das zu untesuchende FE-Modell muss in de egel mindestens die Feiheitsgade des Vesuchsmodells enthalten. Ist ein Modell mit geingee Anzahl von Feiheitsgaden als das voliegende efodelich, so kann ein veeinfachtes echenmodell aufgestellt weden ode man kondensiet das uspüngliche FE-Modell. 33

48 34 Gundlagen de Paameteidentifikation FE-Modell Vesuchsmodell Paametisietes FE-Modell Test Modellkoektu Beechnung Analyseegebnisse (z.b. Eigenwete, Eigenvektoen) Testegebnisse (z.b. Eigenwete, Eigenvektoen) Gütekiteium (Vegleich) Iteative Beechnung de Paamete Zielfunktional nein Abbuchkiteium efüllt ja FE-Modell identifiziet Abbildung 4.1: Ablauf de Paameteidentifikation

49 Gundlagen de Paameteidentifikation 35 Die Messgößen sollen im Allgemeinen so gewählt weden, dass sie den Veschiebungskoodinaten des FE-Modells entspechen. Hieduch weden zusätzliche Abeiten (wie z.b. Intepolation o.ä.) und damit zusätzliche Fehlemöglichkeiten vemieden. Enthält de Vekto des Vesuchsmodells meh Komponenten als das FE-Modell, kann diese duch das Weglassen de zusätzlichen Komponenten eduziet weden ode das FE-Modell muss entspechend eweitet weden. In de egel hat das Vesuchsmodell wenige Veschiebungskoodinaten als das FE-Modell. Ist eine eduktion des FE-Modells nicht sinnvoll, so kann vesucht weden, die fehlenden Komponenten mitzuschätzen (Filtemethoden), ode sie duch a pioi Wete des FE-Modells mit eine Wichtung entspechend ihe Unsicheheit zu esetzen. Im Folgenden soll nun die Paameteanpassung fü lineae, zeitinvaiante Systeme efolgen. Bild 4.1 zeigt den schematischen Ablauf. De Vegleich des FE-Modells mit dem Vesuchsmodell soll hiebei eine Koektu efodelich machen. Hiebei wid das FE-Modell in Teilsysteme zelegt, die duch die entspechenden Submatizen beschieben weden. Man spicht hiebei von eine Paametisieung des FE-Modells. Diese Koektu wiedeum füht auf ein koigietes FE-Modell, das sich von dem uspünglichen FE-Modell duch die Wahl de feien Paamete (Koektuansatz) untescheidet. Eine eindeutige Zuodnung de identifizieten Gößen zu den entspechenden Gößen des koigieten FE- Modells und des uspünglichen FE-Modells sei ebenfalls voausgesetzt. Gemäß de Aufgabenstellung sind nun esiduen bezüglich de Wete des Vesuchsmodells und de Gößen des koigieten FE-Modells zu bilden (Vegleich, Wahl des Gütekiteiums). Die Wahl eines Zielfunktionals in Vebindung mit eine Fehlenom füht mit de Minimieungsfodeung bezüglich des Zielfunktionals zu einem Gleichungssystem mit den Unbekannten. In einem nächsten Schitt muss zu Lösung des Gleichungssystems ein Lösungsalgoithmus gewählt weden. Im Allgemeinen egeben sich die gesuchten Paameteschätzwete iteativ. Wähend de Iteation ist daauf zu achten, dass die Zuodnung zwischen Vesuchsmodell und zu koigieendem FE-Modell nicht veloen geht. 4.1 Mathematische Gundlagen de Paameteidentifikation Die Vefahen de Paameteidentifikation basieen auf de Anpassung ausgewählte Paamete (z.b. Eigenfequenzen, Eigenvektoen und Fequenzgänge) eines echenmodells an Messdaten. Man spicht bei diese At de Identifikation auch von indiekte Identifikation. Die Vefahen de Paameteanpassung bezeichnet man auch als Schätzvefahen, wenn nicht venachlässigbae stochastische Stöungen in den Messdaten zu beücksichtigen sind. Die Methode de gewichteten kleinsten Fehlequadate (WLS: Weighted least Squaes) stellt das fü die Paxis wichtigste Schätzvefahen da [37]. Gundlage jede Paameteidentifikation ist die Definition eines Fehlevektos v. Bei de

50 36 Gundlagen de Paameteidentifikation duchgefühten Koektu ist de Fehle duch die Diffeenz zwischen gemessenem Wet ū M und beechnetem Wet ū A definiet: v := ū M ū A. (4.1) Die Fehle setzen sich aus dem Modellfehle und eine zufälligen Stöung zusammen. Neben diese Fehledefinition muss noch ein Zielfunktional (Fehlekiteium) J( v ) = J(ā) eingefüht weden, das zu Bestimmung de Modellpaamete ā T := (a 1,..., a J ) bezüglich de Fehle zu minimieen ist. Das hie vewendete Funktional ist die gewichtete Fehlequadatsumme, die unte Beücksichtigung, dass J(ā) eine eelle Göße ist, und duch die v Gleichung T J(ā) = Min(ā) (4.2) v W v gegeben ist. W ist eine Wichtungsmatix, die hemitesch und positiv definit ist. Das Minimum des Funktionals wid bestimmt, indem die Ableitung Null gesetzt wid. Die notwendigen Bedingungen fü das Minimum des Zielfunktionals fühen mit den Beziehungen J(ā) a j = 0 ; j = 1...J (4.3) ( T v W v = a j v J(ā) = v T a j a j ) T T v T W v = a j a j WT v T + W v W v v = ( v T T T v W v = v a j a j a j W v a j, (4.4) W T v auf die Ausgangsgleichung zu Beechnung de Schätzwete : ) = ( v T a j W v ) (4.5) (4.6) [( ) J(ā) v T ] [ ] v T = + v T a j a j W v a j W v ā = 2e a j W v ā = 0. (4.7) Duch Einfühung eine sogenannten Funktionalmatix (Sensitivitätsmatix) S := ( v,..., v ) a 1 a J lässt sich Gleichung (4.7) in Matixfom scheiben:, (4.8) ) ] ] [ ST W v + ( ST = 2e[ ST =. (4.9) W v ā j W v ā j 0 Aus diesem Gleichungssystem egeben sich J Gleichungen zu Emittlung von J Schätzweten (Koektupaamete) aus N esiduen. Hiein ist N die Anzahl de zu Vefügung stehenden Wete zu Koektu (Anzahl de Elemente von v ).

51 Gundlagen de Paameteidentifikation 37 Im Allgemeinen ist de Modellvekto ū A eine nichtlineae Funktion des Koektupaametevektos ā, so dass die Minimieung von J(ā) zu einem nichtlineaen Minimieungspoblem füht. Wenn man den nichtlineaen Modellvekto in eine Tayloeihe bezüglich de Paamete entwickelt, so lässt sich die Minimieungsaufgabe schittweise linea lösen: ū A = ū A (ā 0 ) + n i=1 ū A a i ā a0 A = 0 + ū S ā. (4.10) Damit egibt sich fü das esiduum unte Vewendung von Gleichung (4.1) A v = ū M 0 ū S ā = b S ā. (4.11) Einsetzen de Gleichung (4.11) in (4.9) und Auflösen nach ā, füht auf ā = [ S T W S + ( S T W S ) ] 1 [ S T W b + ( S T W b ) ] ā = [e( S T W S )] 1 e( S T W b ). (4.12) Das vostehende Gleichungssystem kann unte Umständen bei schwache Sensitivität de einzelnen Paamete die Lösung ungünstig beeinflussen, ode sie lässt sich ga nicht emitteln. Gleichungssystem (4.12) lässt sich altenativ auch in eelle Fom scheiben [46]. Dazu weden die gemessenen und beechneten Wete ū M und ū A sowie die Wichtungsmatix W und die Sensitivitätsmatix S wie folgt dagestellt : ū M = e{ū M } Im{ū M } ; ū A = e{ū A } Im{ū A } (4.13) und W = e{ W} Im{ W} Analog zu Gleichung (4.2) gilt Im{ W} e{ W} ; S = e{ S} Im{ S}. (4.14) J(ā) = v T W T W v Min(ā). (4.15) Hieaus folgt J(ā) a j Mit de Definition (4.8) folgt = v T W T W + a j v v T W T W v T. (4.16) a j S T W T W v + v T W T W S = 2S T W T W v = 0. (4.17)

52 38 Gundlagen de Paameteidentifikation Mit Gleichung (4.11) egibt sich S T W T W b = S T W T W S ā. (4.18) Mit den Definitionen S W = WS und b W = Wb egibt sich fü die Bestimmung des Koektupaametevektos In diese Gleichung bezeichnet man das Podukt ā = ( S T W S W ) 1 SW b W. (4.19) ( S T W S W ) 1 SW = S + W (4.20) als Pseudoinvese de Matix S W. Damit egibt sich folgendes Gleichungssystem zu Bestimmung des Koektupaametevektos a ā = S + W b W. (4.21) 4.2 Paametisieung des echenmodells Die hie betachteten Systeme sind gekennzeichnet duch eelle unsymmetische und dehzahlabhängige, zeitinvaiante Matizen. Eine Koektu alle Elemente de betachteten Paametematizen gemäß Gleichung (2.1) ist seh aufwendig. Diese Aufwand wid duch eine globale, faktoielle Koektu de Paametematizen von Teilen des Systems deutlich eduziet. Hiezu weden die Paametematizen gemäß den Ansätzen M = M 0 + n M i=1 M i ; C = C 0 + n C i=1 C i ; S = S 0 + n S i=1 S i (4.22) additiv aus Summandenmatizen mit jeweils unabhängigen Summanden zusammengesetzt [37], [12], [30]. Die faktoielle Koektu mit den zu schätzenden Paameten a Mi, a Ci bzw. a Si füht übe die Koektuansätze M K = M 0 + n M i=1 a Mi M i ; C K = C 0 + n C i=1 a Ci C i ; S K = S 0 + a Si S i (4.23) auf die Paametematizen des koigieten echenmodells. Hiebei weden nu die indizieten Matizensummanden koigiet. Die Elemente de Paametematizen setzen sich aus Kennweten (Paameten) de einzelnen (ealen) Konstuktionselemente zusammen. Sollen diese Paamete, Anzahl m, koigiet weden, so muss gelten: J = n M + n C + n S m. (4.24) Die Summandenmatizen in Gleichung (4.22) sind eelle Matizen de Odnung n FG n FG, die man allgemein auch als Submatizen bezeichnet. Duch den veeinfachten Koektuansatz in de Gleichung (4.23) ist die indiekte Identifikation auf die Schätzung de Koektupaamete in den Paametevektoen ā Mi, ā Ci und ā Si zuückgefüht. n S i=1

53 Gundlagen de Paameteidentifikation 39 De Koektupaametevekto ā T := (a 1,..., a J ) setzt sich aus den Vektoen ā Mi, ā Ci ode/und ā Si zusammen, abhängig davon, welche Paametematizen koigiet weden sollen. Die Koektuansätze (4.23) efolgen unte folgenden Gesichtspunkten: Das echenmodell ist so aufgebaut, dass die Paametematizen aus Teilen bestehen, die fü Subsysteme emittelt wuden und die unteschiedlichen Annahmen und Genauigkeiten beücksichtigen. Die Paametematizen fü die Subsysteme sind hineichend genau beechenba bzw. einzeln koigieba. Die Vebindungen de Subsysteme miteinande sind jedoch u.u. wegen ihe Komplizietheit nu schwieig efassba, so dass eine Koektu de Paametewete bezüglich de Vebindungselemente zu einem Modell mit hineichende Genauigkeit fühen kann. Wid ein diekte Vegleich zugunde gelegt, dann ist das Vesuchsmodell im Allgemeinen unvollständig, da nu Eigenfequenzen identifiziet ode bei de Identifikation von Eigenfequenzen, Eigenschwingungsfomen und andeen genealisieten Weten diese nicht fü alle Feiheitsgade des echenmodells emittelt wuden. Hinzu kommt, dass unte Umständen keine eindeutige Zuodnung de identifizieten Eigenschwingungsgößen zu denen des echenmodells möglich ist, und deshalb nu mit de Teilmenge de identifizieten Eigenschwingungsgößen geabeitet weden muss, die sich den entspechenden Weten des echenmodells eindeutig zuodnen lässt. Um ein übebestimmtes Gleichungssystem mit den zu schätzenden Paameten zu ehalten, muss ein veeinfachte Koektuansatz eingefüht weden. 4.3 Definition de Test/Analyse esiduen Ziel bei de Modellkoektu ist es, Abweichungen zwischen gemessenen und analytischen Daten des echenmodells zu minimieen. Hiebei spielt die Auswahl eines geeigneten esiduums eine wichtige olle. In den meisten Fällen stellen die zu koigieenden Paamete Systempaamete eine Stuktu mit lineaen Systemeigenschaften da. Somit lassen sich esiduen definieen, fü welche die efodelichen Sensitivitätsmatizen analytisch hegeleitet weden können. Hiebei haben sich in den letzten Jahen folgende esiduen etabliet [31]: esiduum de Eigenwete, esiduum de Eigenvektoen, esiduum de Fequenzgänge. In den folgenden Abschnitten weden die esiduen zu Identifikation de Paamete im Einzelnen vogestellt.

54 40 Gundlagen de Paameteidentifikation esiduum de Eigenwete Die Eigenwete λ eines lineaen Schwingungssystems egeben sich aus dem echts- bzw. Linkseigenwetpoblem (2.17). Die Abweichung zwischen den identifizieten Eigenweten λ M und den beechneten Eigenweten λ wid als Fehlevekto v λ definiet: v λ = λ M λ. (4.25) Die Minimieung des Fehlevektos efodet gemäß Gleichung (4.11) die Beechnung de Sensitivitätsmatix S. Diese egibt sich aus de Ableitung de beechneten Eigenwete λ nach dem gesuchten (siehe Kap ) Koektupaametevekto ā: S = λ 1 λ 1 a 1 a J..... λ m λ m a 1 a J. (4.26) Mit Hilfe von Gleichung (4.21) lassen sich die Massen-, Dämpfungs- und Steifigkeitspaamete koigieen esiduum de Eigenvektoen Das esiduum de Eigenvektoen, die in eine Modalmatix φ eingeodnet sind, wid definiet als die Abweichung zwischen den identifizieten Eigenvektoen φ M und den beechneten Eigenvektoen φ: v φ = φ M φ. (4.27) In Gleichung (4.27) ist zu beücksichtigen, dass die Vektoen φ echts- und Linkseigenvektoen zusammensetzen: M und φ sich aus den M M φ φ φ = ; ML φ φ = ; = 1...m. (4.28) L φ Auch hie efodet die Minimieung des Fehlevektos gemäß Gleichung (4.11) die Beechnung de Sensitivitätsmatix S. Diese egibt sich aus de Ableitung de beechneten Eigenvektoen nach dem gesuchten Koektupaametevekto ā: φ S = φ 1 φ 1 a 1 a J..... φ m a 1 φ m a J. (4.29) Somit lassen sich mit Hilfe von Gleichung (4.21) die Massen- und Steifigkeitspaamete koigieen.

55 Gundlagen de Paameteidentifikation 41 Bestimmung de Ableitungen de Eigenwete und Eigenvektoen In diesem Abschnitt sollen die Ableitungen de Eigenwete λ / a i und Eigenvektoen φ / a i bestimmt weden. Hiefü findet man in de Liteatu veschiedene Methoden. Im Allgemeinen weden die Ableitungen de Eigenwete und Eigenvektoen nach de Methode von FOX/KAPOO [11] beechnet. Mit diese Methode lassen sich die Ableitungen de Eigenwete nach den Koektufaktoen elativ einfach bestimmen. Die Bestimmung de Ableitungen de Eigenvektoen ist jedoch eheblich aufwendige, da zu Beechnung de Ableitung mit Hilfe de beechneten Eigenvektoen in de egel die doppelte Anzahl de identifizieten Eigenvektoen vewendet wid. Dieses kann bei goßen Stuktuen einen eheblichen echenaufwand bedeuten. Altenativ und deutlich wenige aufwendig lassen sich die Ableitungen de Eigenvektoen nach NELSON [39] beechnen. Auch in [1] wid eine seh effiziente Methode zu Beechnung de Ableitungen de Eigenwete und Eigenvektoen vogestellt. Alle oben genannten Vefahen lassen sich auch auf die otodynamik anwenden. Hiefü muss jeweils beücksichtigt weden, dass unsymmetische Systemmatizen voliegen, und man somit bei de Bestimmung de Ableitung de Eigenvektoen zwischen echts- und Linkseigenvektoen untescheiden muss. In [33] wude die Methode von FOX/KAPOO auf komplexe Eigenwete und Eigenvektoen eweitet und bietet somit die Möglichkeit oben genannten Sachvehalt geecht zu weden. Ziel in diese Abeit ist es, eine Methode zu Bestimmung de Ableitungen de Eigenwete und Eigenvektoen zu finden, welche elaubt, die Ableitungen elativ einfach und in einem echenschitt zu emitteln. Dazu wude eine Methode von [28] und [22] modifiziet und auf unsymmetische Matizen angepasst [29]. Die Eigenvektoen weden in einem esten Schitt auf ᾱ = 1 nomiet: Ψ LT = A Ψ φ L λ φ L T [ C M M 0 ] φ λ φ = 1. (4.30) Ausmultiplikation diese Gleichung füht auf [ φ LT C + λ φ LT M φ LT M ] φ λ φ = φ LT ( C φ + λ M φ + λ M φ ) = 1 bzw. φ LT ( 2 λ M + C ) φ = 1. (4.31) Zu Bestimmung de Ableitungen de echtseigenvektoen betachtet man das Eigenwetpoblem aus Gleichung (2.17) ( λ2 M + λ C + K ) φ = 0. (4.32)

56 42 Gundlagen de Paameteidentifikation Diffeenziet man die Gleichung (4.32) nach dem Koektupaamete a i, egibt sich ( λ2 M + λ C + K ) φ + ( 2 λ M + C ) λ = a i φ a i ( λ 2 M + a λ C + K ) φ. (4.33) i a i a i Betachtet wid zusätzlich die Gleichung (4.31), welche ebenfalls nach dem Koektupaamete a i abgeleitet wid. Daaus egibt sich φ LT +2 φ LT Weitehin gilt (siehe Anhang A.1) φ LT LT ( 2 λ M + C ) φ + φ ( 2 λ M + C ) a i a i φ + ( λ + M φ a φ LT M 2 λ + C ) φ i a i a i = 0. (4.34) LT ( 2 λ M + C ) φ = φ a i a i ( 2 λ M + C ) φ Einsetzen von Gleichung (4.34) in Gleichung (4.35) liefet bzw. LT 2 φ ( 2 λ M + C ) φ a i φ LT + 2 φ LT M φ ( 2 λ M + C ) φ a ( i 1 2 φ LT λ + a φ i + φ T ( LT M φ ) φ 2 λ M a i + C a i 2 λ M a i + C a i λ a i =. (4.35) ) φ = 0. (4.36) Gleichung (4.33) und (4.36) können in Matizenscheibweise dagestellt weden λ 2 M + λ C + K ( 2 λ M + C ) φ ( LT φ 2 λ M + C ) LT φ M φ ( λ 2 M + a λ C + K ) φ i a i a i 1 ( 2 φ LT M 2 λ + C ) φ a i a i φ a i λ a i =. (4.37)

57 Gundlagen de Paameteidentifikation 43 Zu Bestimmung de Ableitungen de Linkseigenvektoen wid die Beziehung aus Gleichung (4.31) ( T φ 2 λ M T + C ) T L φ = 1 (4.38) und das Linkseigenwetpoblem nach Gleichung (2.17) vewendet. Diffeentiation diese Gleichung (2.17) nach dem Koektufakto a i egibt ( λ2 M T + λ C T + K ) T φ L + ( 2 λ M T + C ) T λ φl a i a i ) = ( λ 2 M T a i + λ C T a i + KT a i Die Ableitung de Gleichung (4.38) nach dem Koektufakto a i egibt φ L. (4.39) φ T T ( 2 λ M T + C ) φ L T + φ a i a i +2 φ T M T λ φl + a φ i T Weitehin gilt analog zu Gleichung (4.35) (2 λ M T a i ( 2 λ M T + C ) T L φ + ) + CT L φ a i = 0. (4.40) φ T ( 2 λ M T + C ) φ T = φ a i a i Einsetzen de Gleichung (4.41) in (4.40) liefet dann φ T L T ( 2 λ M T + C ) φ L T + a φ T M T i φ 1 ( T M 2 λ + C ) 2 φ a i a i ( 2 λ M T + C T ) φ L λ a i = φ L L. (4.41). (4.42) Gleichungen (4.42) und (4.41) können ebenfalls in Matizenscheibweise angegeben weden: λ 2 M T + λ ( C T + K T 2 λ M T + C ) L T φ L ( T φ 2 λ M T + C ) φ T T M φ T a L i λ φ = a i ( λ 2 M T C T ) + λ + KT a i a i a i 1 T M (2 λ T ) + CT. (4.43) L φ 2 φ a i a i Mit den Gleichungen (4.37) und (4.43) lassen sich die Ableitungen de echts- und Linkseigenvektoen φ / a L i und φ / a i sowie die de Eigenwete λ / a i diekt bestimmen.

58 44 Gundlagen de Paameteidentifikation esiduum de Fequenzgänge Die Fequenzgangmatix H eines lineaen Schwingungssystems egibt sich aus den Gleichungen (2.33) und (2.34). Man definiet dabei die Abweichung zwischen den identifizieten Fequenzgängen H M l und den beechneten Fequenzgängen H l als Fehlevekto v H: v = H M l H l ; = 1...m, l = 1...n. (4.44) H Hiein bezeichnen die Indizes die Spalte und l die Zeile des gemessenen Fequenzganges. Die Minimieung des Fehles efodet gemäß Gleichung (4.11) die Beechnung de Sensitivitätsmatix S. Diese egibt sich aus de Ableitung de beechneten Fequenzgangmatix H nach dem gesuchten Koektupaametevekto ā. Zu Bestimmung de Ableitungen 1 de Fequenzgänge sei die Invese de dynamischen Steifigkeitsmatix K dyn betachtet: K 1 dyn (Ω) = H(Ω) = ( Ω 2 M + jωc + K) 1. (4.45) Die Ableitung de Fequenzgangmatix H nach dem Koektupaametevekto ā liefet die Sensitivitätsmatix S: bzw. S = H ā ( 1 = K dyn Ω 2 M ā + jω C ā + K ) H (4.46) ā S = H 11 H m1 a 1 a J..... H 1m H mn a 1 a J. (4.47) Üblicheweise wählt man einen Satz von Fequenzgängen (Spalte ode Zeile) zu Koektu de Systemmatizen. Hiebei ist daauf zu achten, dass die Abweichungen zwischen den gemessenen und beechneten Fequenzgängen nicht zu goß sind. Um diese Fodeung zu efüllen, lassen sich mittels veschiedene Gütekiteien wie z.b. dem Fequency esponse Assuance Citeion (FAC) [38] ode dem Fequency Domain Assuance Citeion (FDAC) [45] Fequenzbeeiche festlegen, die sich zu Koektu de Systemmatizen eignen (siehe Kapitel 5). Weitee esiduen egeben sich duch Kombination de hie vogestellten esiduen und weden nachfolgend kuz angegeben und diskutiet esiduum de Eigenwete und Eigenvektoen Bei diesem esiduum wid das esiduum de Eigenwete (4.25) mit dem esiduum de Eigenvektoen (4.27) kombiniet. Somit egibt sich v λφ = [ v λ v φ ] = [ λ M λ φ M φ ]. (4.48)

59 Gundlagen de Paameteidentifikation 45 Die Sensitivitätsmatix egibt sich aus de Beechnung de Sensitivitätsmatix de Eigenwete (4.26) und de Sensitivitätsmatix de Eigenvektoen (4.29) S = λ 1. λ 1 a a J. λ m. λ m a 1 a J φ 1 φ 1. a 1 a J..... φ m a 1. φ m a J. (4.49) Das so koigiete FE-Modell emöglicht daduch eine höhee Genauigkeit bezüglich de Eigenvektoen als dieses mittels de alleinigen Koektu de Eigenwete de Fall ist esiduum de Eigenwete und Fequenzgänge Hie wid das esiduum de Eigenwete (4.25) mit dem esiduum de Fequenzgänge (4.44) kombiniet. Somit egibt sich v λh = [ λ M λ H M l H l ]. (4.50) Die Sensitivitätsmatix setzt sich aus de Sensitivitätsmatix de Eigenwete (4.26) und de Sensitivitätsmatix de Fequenzgänge (4.46) zusammen S = λ 1. λ 1 a a J. λ m. λ m a 1 a J H 11 m1 a 1 a J..... H 1m mn a 1 a J. (4.51) Eine Altenative zu (4.51) ist in [48] angegeben. Dot wid das esiduum de Eigenwete (4.25) mit dem esiduum de Imaginäteile de Fequenzgänge kombiniet v λh = [ λ M λ H l MIm Im H l ]. (4.52)

60 46 Gundlagen de Paameteidentifikation Auch hie egibt sich die Sensitivitätsmatix aus de Beechnung de Sensitivitätsmatix de Eigenwete (4.26) und de Sensitivitätsmatix de Fequenzgänge (4.46), wobei hie nu de Imaginäteil de Fequenzgänge betachtet wid S = λ 1. λ 1 a a J. λ m. λ m a 1 a J Im H 11 a 1 a J..... Im H 1m a 1 a J H Im m1 H Im mn. (4.53) Das esiduum (4.52) emöglicht es zusätzlich neben de Koektu de Massen- und Steifigkeitsmatix, die modalen Dämpfungspaamete zu beücksichtigen und anzupassen. Die Vewendung des Imaginäteils de Fequenzgänge ist damit begündet, dass die Peakhöhen bei den Fequenzgängen im Wesentlichen von de Dämpfung abhängen und somit die modalen Dämpfungspaamete übe die Peakhöhen angepasst weden können. In Tabelle 4.1 sind abschließend alle vogestellten esiduen und die Systemmatizen, die mit ihnen koigiet weden können, aufgefüht. esiduum Eigenwete Eigenvektoen Fequenzgänge Eigenwete und Eigenvektoen Eigenwete und Fequenzgänge koigiebae Systemmatizen M, K, C M, K, C M, K, C M, K, C M, K, C Tabelle 4.1: esiduen und koigiebae Systemmatizen Neben den hie aufgefühten gibt es noch weitee esiduen. Hie sind zu nennen: das esiduum de Mode-Indikato-Funktionen (MIF) bzw. Single-Mode-Indikato-Funktion (SIF) [16], das esiduum de Antiesonanzen [26] und das esiduum de Veschiebungsgößen [35]. Es wid im ahmen diese Abeit nicht weite auf diese esiduen eingegangen, da sie hie nicht benutzt wuden.

61 Kapitel 5 Aufbeeitung des FE-Modells und de Messdaten zu Modellkoektu Eine gundlegende Fagestellung bei de Modellkoektu ist die Wahl de Koektumatizen (Submatizen) und de esiduen, welche zu Koektu vewendet weden sollen. Hiebei sind veschiedene Aspekte zu beachten, wie z.b. welche Messdaten hat man voliegen, welche Kenntnisse hat man zu Modellieung des Finite-Elemente-Modells und welches Ziel soll die Koektu haben? Die oben aufgefühten Punkte zeigen, dass bei de Wahl de esiduen und Submatizen zu Duchfühung de Modellanpassung veschiedene Aspekte beücksichtigt weden müssen. Hie ist die Kenntnis übe die zu untesuchende Stuktu zu nennen, d.h. wie genau ist das FE-Modell bzw. wo können Fehle liegen? Zu nennen sind hie z.b. Vebindungsstellen zwischen veschiedenen Elementen (Scheiben- und Balkenelemente), andbedingungen. Ein weitee Punkt ist die Messung an de zu untesuchenden Stuktu. Dabei ist die Fage zu kläen, wie und was kann man messen? Dabei ist ein gundlegendes Poblem die Anzahl de Feiheitsgade des FE-Modells, welche in de egel deutlich göße sind als die des Messmodells. So weden z.b. die otationsfeiheitsgade nicht gemessen, sonden nu die zugänglichen Tanslationsfeiheitsgade. Hieaus folgt, dass das FE-Modell auf die Feiheitsgade des Messmodells angepasst weden muss. Man spicht in diesem Zusammenhang auch von eine Kondensation bzw. Expansion de Bewegungsgleichung. Bei de Kondensation handelt es sich um eine eduzieung de Feiheitsgade des FE-Modells auf das Messmodell. Man untescheidet hiebei zwischen statische Kondensation (GUYAN-Tansfomation) [17] und dynamische Kondensation. Bei de statischen Kondensation geht man davon aus, dass ein Teil de Tägheits- und Dämpfekäfte im Vegleich zu den übigen Käften nu einen seh geingen Einfluss auf das dynamische Vehalten eine Stuktu hat und somit zu venachlässigen ist. Weitehin wid voausgesetzt, dass keine äußeen Lasten angeifen. Die dynamische Kondensation beücksichtigt auch die Tägheitskäfte. Ih goße Nachteil ist abe de ehebliche echenaufwand. Die Nachteile de statischen und dynamischen Kondensation lassen sich mit Hilfe de Sensitivitätsmethode deutlich veingen bzw. umgehen. In de hie voliegenden Abeit wid ausschließlich die Sensitivitätsmethode Sensitivity Update vewendet. Bei diese Methode ist eine Kondensation bzw. Expansion de Eigenvektoen nicht notwendig. 47

62 48 Aufbeeitung des FE-Modells und de Messdaten zu Modellkoektu 5.1 Kondensation de Bewegungsgleichung In diesem Abschnitt soll die statische und dynamische Kondensation de Bewegungsgleichung vogestellt weden. Ausgangspunkt hiebei ist die Einfühung eine lineaen Abhängigkeitstansfomationsvoschift zwischen den abhängigen und unabhängigen Feiheitsgaden. Die Feiheitsgade des zu untesuchenden Systems sind dabei in Haupt- und Nebenfeiheitsgade einzuteilen. De Index M (Maste) bezeichnet hiebei die Hauptfeiheitsgade, die in de egel den Feiheitsgaden des Messmodells entspechen. De Index S (Slave) hingegen bezeichnet die Nebenfeiheitsgade, die eine Messung nicht zugänglich sind. Somit egibt sich fü die Veschiebungen und die Käfte die Beziehungen w = [ w M w S ] ; f = [ f M f S ]. (5.1) Die Hauptfeiheitsgade stellen dabei die vebleibenden physikalischen Feiheitsgade da. Besteht zwischen den Hauptfeiheitsgaden w M und den Nebenfeiheitsgaden w S eine lineae Abhängigkeit in de Fom so lässt sich de Gesamtveschiebungsvekto w in de Fom w = w S = T w M, (5.2) [ I T ] w M = Tw M (5.3) angeben. In Gleichung (5.3) ist I eine Einheitsmatix mit de Dimension de unabhängigen Feiheitsgade. Weitehin bezeichnet T die Tansfomationsmatix zu Beechnung de jeweiligen Feiheitsgade. Zusätzlich wid ein Esatzkaftvekto eingefüht, welche an den unabhängigen Feiheitsgaden S angeift. Zu Bestimmung de kondensieten Bewegungsgleichung gilt die w f E Fodeung, dass die Käfte, die im eduzieten Feiheitsgadsystem aufgebacht weden, die gleiche vituelle Abeit leisten müssen wie die Käfte im vollständigen f E System Einsetzen von Gleichung (5.3) liefet T E f δw U = f T = δw f T M. (5.4) Tδw f E = f M + T T f S = TT f. (5.5) Gleichung (5.5) zeigt, dass die zu M gehöenden Käfte nicht ausschließlich von w f E beschieben weden, sonden auch von abhängen. Nu im Sondefall, dass an den unabhängigen Feiheitsgaden keine Käfte angeifen, gilt f E = f S f M. Die hegeleitete Tansfomationsvoschift soll im nächsten Schitt auf die lineae Bewegungsgleichung (2.1) im Fequenzbeeich ( Ω 2 M + jωc + S) W = F (5.6)

63 Aufbeeitung des FE-Modells und de Messdaten zu Modellkoektu 49 angewendet weden. Die Systemmatizen de Bewegungsgleichung können ebenfalls entspechend den Veschiebungsfeiheitsgaden in Haupt- und Nebenfeiheitsgade aufgeteilt weden. Somit egibt sich Gleichung (5.6) zu ( [ ] [ ] [ ]) ] [ ] Ω 2 MMM M MS CMM C + jω MS SMM S + MS [ W M = F M. M SM M SS C SM C SS S SM S SS W F S S (5.7) Wendet man die Tansfomationsvoschift (5.3) auf Gleichung (5.7) an, so egibt sich die kondensiete Bewegungsgleichung zu In diese Gleichung bezeichnet bzw. in ausmultipliziete Fom ( Ω 2 M C + jωc C + S C ) W M = F E. (5.8) M C = T T MT ; C C = T T CT ; S C = T T ST, (5.9) M C = T T M MM T + M MS T T M SM + M MM, C C = T T C MM T + C MS T T M SM + C MM, (5.10) S C = T T S MM T + S MS T T S SM + S MM Statische Kondensation Bei de statischen Kondensation (GUYAN Tansfomation) weden die Teile de Tägheitsund Dämpfungskäfte venachlässigt, die im Vegleich zu den andeen Käften nu einen seh geingen Einfluss auf das dynamische Vehalten de Stuktu haben. Weitehin wid voausgesetzt, dass an den zu kondensieenden Feiheitsgaden keine äußeen Lasten angeifen ( F S = 0 ). Somit eduziet sich Gleichung (5.7) zu S SM W M + S SS W S = 0. (5.11) Löst man diese Gleichung nach W S auf, so ehält man den gesuchten Zusammenhang zwischen Haupt- und Nebenfeiheitsgaden W S = S 1 SS S W SM M = T WM (5.12) mit de von de Eegekeisfequenz Ω unabhängigen Tansfomationsmatix T = S 1 SSS SM, (5.13) die fü jedes System nu ein einziges Mal beechnet weden muss. Damit veeinfacht sich die Kondensieungsvoschift aus Gleichung (5.10) fü die Steifigkeitsmatix auf S M = S T SS S 1 SS S SM + S MM. (5.14) Die Anwendung de statischen Tansfomationsmatix auf die Massen- und Dämpfungsmatix in Gleichung (5.10) liefet keine Veeinfachung.

64 50 Aufbeeitung des FE-Modells und de Messdaten zu Modellkoektu Dynamische Kondensation Fü den Fall, dass die Tägheitskäfte an den abhängigen Feiheitsgaden nicht venachlässigt weden können, ist die Beechnung de Schwingungsantwot fü eine statisch kondensiete Bewegungsgleichung ungeeignet. Hieaus folgt, dass eine eweitete Kondensationsvoschift notwendig ist. Diese Eweiteung füht auf die dynamische Kondensation, bei de die Kondensieungsvoschift von de Eegekeisfequenz Ω abhängig ist und fü jeden Fequenzpunkt neu beechnet weden muss. Die Patitionieung de Feiheitsgade de Massen-, Dämpfungs- und Steifigkeitsmatix gemäß Gleichung (5.7) liefet ( [ ] [ ] [ ]) ] [ ] Ω 2 MMM M MS CMM C + jω MS SMM S + MS [ W M = F M M SM M SS C SM C SS S SM S SS W S 0 (5.15) Aus de unteen Zeile de Gleichung (5.15) egibt sich de folgende Zusammenhang zwischen den Hauptfeiheitsgaden und den Nebenfeiheitsgaden: mit W S = (S SS + jωc SS Ω 2 M SS ) 1 (S SM + jωc SU Ω 2 M) W M = T(Ω)U M (5.16) T = (S SS + jωc SS Ω 2 M SS ) 1 (S SM + jωc SU Ω 2 M SM ). (5.17) Die Tansfomationsmatix T(Ω) beechnet sich analog zu Gleichung (5.3). Damit egibt sich die kondensiete Bewegungsgleichung zu In diese Gleichung sind ( Ω 2 MC + jω C C + S C ) W M = F M. (5.18) M C (Ω) = T(Ω) T M T(Ω) = M C,e (Ω) + jm im (Ω), C C (Ω) = T(Ω) T C T(Ω) = C C,e (Ω) + jc im (Ω), (5.19) S C (Ω) = T(Ω) T S T(Ω) = S C,e (Ω) + js im (Ω).. Die kondensieten Systemmatizen stellen nun, ebenso wie de Veschiebungsvekto W M und de Kaftvekto F M komplexe Gößen da. Beim Aufbau de dynamischen Steifigkeitsmatix K C,dyn sind neben den ealteilen auch die Imaginäteile de kondensieten Systemmatizen zu beücksichtigen. Somit egibt sich bei de Übefühung de dynamischen Steifigkeitsmatix in die eelle Scheibweise K C,dyn = [ Ω 2 M C,e + S e jωc C,im jωc C,e + Ω 2 M C,im S im jωc C,e Ω 2 M C,im + S im Ω 2 M C,e + S e jωc C,im ]. (5.20) Bei Systemen mit symmetischen Systemmatizen lässt sich Gleichung (5.20) weite veeinfachen. Ist man ausschließlich an de Schwingungsantwot de Feiheitsgade inteessiet, die zu Guppe de Hauptfeiheitsgade zählen, so haben umfangeiche numeische Untesuchungen gezeigt, dass die Imaginäteile de kondensieten dynamischen

65 Aufbeeitung des FE-Modells und de Messdaten zu Modellkoektu 51 Steifigkeitsmatix ohne ekennbaen Genauigkeitsvelust bei de Antwotbeechnung venachlässigt weden können. Damit eduziet sich die dynamische Steifigkeitsmatix aus (5.20) zu [ Ω K C,dyn = 2 ] M C,e + S e ΩC C,e ΩC C,e Ω 2. (5.21) M C,e + S e Voaussetzung fü diese Veeinfachung ist, dass schwache popotionale Dämpfung voliegt. Soll die Schwingungsantwot an den Nebenfeiheitsgaden duch ücktansfomation entspechend de Gleichung (5.2) bestimmt weden, so ist daauf zu achten, dass die exakte dynamische Tansfomationsmatix aus (5.16) vewendet wid. 5.2 Auswahl und Aufbeeitung de Eigenwete In de egel lassen sich die Eigenwete eine Stuktu, auch wenn diese einen komplexen Aufbau, wie z.b. eine Bücke ode de oto in Abb. 3.2, einfach mittels EMA mit Hilfe eines Modalhammes ode mittels Magneteeges an wenigen Messpunkten bestimmen. Hie können schon wenige Messungen zu Identifikation de Eigenwete auseichen. Dabei ist sichezustellen, dass man in dem zu untesuchenden Fequenzbeeich alle Eigenwete identifizieen kann und die Zuodnung zwischen identifizieten und beechneten Eigenweten gewähleistet ist. 5.3 Auswahl und Aufbeeitung de Eigenvektoen Die Eigenvektoen eine Stuktu lassen sich wie auch die Eigenwete aus eine EMA gewinnen. De Nachteil des Eigenvektoesiduums ist, dass die zu untesuchende Stuktu fü die EMA gut zugänglich sein muss, um möglichst viele Messpunkte auf de Stuktu anzubingen. Bei den hie etachteten oto waen die Messpunkte an den Scheiben eine Messung nicht zugänglich. Um hie eine Abhilfe zu schaffen, wude an diesen Stellen eine Expansion de Eigenvektoen duchgefüht. Die lineae Expansion de Eigenvektoen stellt eine lineae Intepolation zwischen zwei Knoten ode Expansion de eal- und Imaginäteile de Eigenvektoen da [25]. Hiebei wid eine Intepolation zwischen zwei Stellen x n und x n+1, an denen die Eigenvektoenkomponenten φ n und φ n+1 bekannt sind, duchgefüht, um die gesuchte Stelle x i zu ehalten. Somit kann die zu de Stelle x i zugehöige Komponente des Eigenvektos φ i duch φ e i = e i (x i x n ) + φ e n und φ Im i intepoliet weden. De Gadient egibt sich aus e i = φe n+1 φ e n und Im i x n+1 x n = Im i (x i x n ) + φ Im n (5.22) = φim n+1 φ Im n. (5.23) x n+1 x n Dabei ist daauf zu achten, dass de Eigenvekto so sotiet ist, dass e einen geometischen Zusammenhang bescheibt.

66 52 Aufbeeitung des FE-Modells und de Messdaten zu Modellkoektu Eine weitee Möglichkeit de Expansion de Eigenvektoen bietet die Dastellung de gemessenen Eigenvektoen als Lineakombination de Eigenvektoen aus dem FE-Modell. Hiebei lässt sich de Zusammenhang mittels eine Tansfomationsmatix T analog zu Gleichung (5.3) Φ M = Φ T (5.24) bescheiben. Hiein bezeichnet Φ M die Modalmatix de gemessenen Eigenvektoen und Φ die Modalmatix de Eigenvektoen des FE-Modells, wobei die Feiheitsgade de Eigenvektoen auf die Anzahl de Feiheitsgade de identifizieten Eigenvektoen eduziet woden ist. Man kann nun mit Hilfe de Pseudoinvesen die Tansfomationsmatix bestimmen T = Φ + ΦM. (5.25) Mit Hilfe diese Tansfomationsgleichung lassen sich die gesuchten eweiteten Feiheitsgade de Eigenvektoen bestimmen Φ M ex = Φ ex T. (5.26) Weitehin lässt sich die Tansfomationsmatix (wenn keine Expansion efolgen soll) zu Glättung de gemessenen Eigenvektoen vewenden Φ M G = Φ T. (5.27) Diese vogestellte Methode ist ähnlich wie die SEEP-Methode (System eduction Expansion Pocess) [43]. Neben diesen Methoden gibt es noch weitee Methoden zu Kondensation und Expansion von Eigenvektoen [42]. Ein weitee Aspekt bei de Anwendung des Eigenvektoesiduums ist die lineae Unabhängigkeit de Eigenvektoen bzw. die ichtige Zuodnung de gemessenen und beechneten Eigenvektoen zu gewähleisten. Hiezu eignet sich das Modal Assuance Citeion (MAC) [2]. Hiebei handelt es sich um eine Beziehung, die es emöglicht, eine Aussage bezüglich de Othogonalität de Eigenvektoen zu teffen. Gleichzeitig eignet sich dieses Kiteium auch als ein Gütekiteium zu Beuteilung de identifizieten Eigenvektoen. Fü echtseigenvektoen lautet das Kiteium bzw. fü Linkseigenvektoen MAC = ( φ H H φ φ φ )( φ M 2 MH M φ ) (5.28) MAC L = ( φ LH LH φ φ L φ )( φ ML 2 MLH ML φ ). (5.29) Ist de MAC-Wet 1, so sind die Eigenvektoen paallel und es liegt eine gute Übeeinstimmung zwischen identifizieten und beechneten Eigenvektoen vo. Ist de Wet kleine 1 bzw. geht gegen 0, so liegt eine schlechte bzw. ga keine Übeeinstimmung vo. Als wünschenswete ichtwet lässt sich ein MAC-Wet von 0,8 vogeben. Eigenvektoen,

67 Aufbeeitung des FE-Modells und de Messdaten zu Modellkoektu 53 die unte diesem Wet liegen, sollten nicht zu Koektu heangezogen weden. Neben den oben aufgefühten Methoden zu Aufbeeitung de Eigenvektoen fü die Anwendung zu Fehlekoektu, muss als Letztes de Vegleich bezüglich de Nomieung de Eigenvektoen emöglicht weden. Im Allgemeinen weiß man nicht, wie die identifizieten Eigenvektoen nomiet sind, d.h. man muss sichestellen, dass die identifizieten und beechneten Eigenvektoen vegleichba sind. Die Eigenvektoen können sich im Vozeichen untescheiden und somit phasenveschoben sein. Dieses Poblem lässt sich mittels eine Skalieung de identifizieten Eigenvektoen ausschließen. Hiezu wid de sogenannte Modal Scale Facto (MSF) [12] emittelt MSF = φ φ H φ M HM M φ. (5.30) Modal Scale Facto φ M φ A φ M MSF φ M, MSF= φ A Abbildung 5.1: Modale Scale Facto zwischen identifizietem und gemessenem Eigenvekto Diese Skalieungsfakto lässt sich wie folgt intepetieen: Sotiet man die Elemente de identifizieten und beechneten Eigenvektoen φ M bzw. φ A de Göße nach und stellt dann die Elemente des identifizieten Eigenvektos übe denen des beechneten Eigenvektos da, so ehält man die Dastellung (Abb. 5.1 ). Besteht zwischen beiden Eigenvektoen eine gute Koelation und sind sie in gleiche Weise nomiet, so liegen alle Punkte auf eine Geaden, die unte einem Winkel von 45 geneigt ist. Allgemein wid die Neigung de Geaden als Modal Scale Facto beschieben. Damit lautet de esiduenvekto v = MSF φ φ M φ. (5.31)

68 54 Aufbeeitung des FE-Modells und de Messdaten zu Modellkoektu 5.4 Auswahl de Fequenzgänge Das esiduum de Fequenzgänge bietet den Voteil, dass keine EMA duchgefüht weden muss. Bei de so duchgefühten Koektu wid nu eine bestimmte Anzahl an Fequenzgängen vewendet. Wie schon ausgefüht, kann die Fequenzgangmatix bei Systemen mit unsymmetischen Systemmatizen nu duch die Identifikation eine kompletten Zeile und Spalte ekonstuiet weden. Ziel ist es, diesen Aufwand zu minimieen und nu eine bestimmte Anzahl an Fequenzgängen zu vewenden (z.b. nu eine Zeile ode Spalte de Fequenzgangmatix). Ein weitees Poblem ist, dass man den Fequenzbeeich bei de Koektu mittels Fequenzgänge einschänken muss, was anhand Abb. 5.2 esichtlich wid. Dagestellt ist de Ausschnitt eines Fequenzgangs eines 4-Feiheitsgadmodells Fequenzgang in Abhängigkeit de Eegekeisfequenz x FF FE Modell 1.8 FF Identifikation H 11 / m/n Beeich 1 Beeich 2 Beeich Ω / s 1 Abbildung 5.2: Ausschnitt eines Fequenzgangs eines 4-Feiheitsgadmodells [10]. Zu sehen ist die esonanz bei de zweiten Eigenkeisfequenz. Das Bild zeigt den Fequenzgang H 11 des FE-Modells (FF FE-Modell) und das des dazugehöigen Testmodells (FF Identifikation). Man kann anhand Abb. 5.2 dei Beeiche bezüglich de Koektu betachten: Im Beeich 1 entfenen sich beide Fequenzgänge mit zunehmende Eegekeisfequenz. D.h. die Diffeenz zwischen beiden Fequenzgängen wid mit zunehmende Eegefequenz göße. Im Beeich 3 veinget sich de Abstand de Fequenzgänge mit zunehmende Eegefequenz. Hie sieht man ein gegensätzliches Vehalten zu Beeich 1. Bezüglich de Emittlung des Koektufaktos kann sich daduch die Anzahl de Iteationsschitte vegößen bzw. auch veingen. Weitehin daf die Ändeung des Koektufaktos po Iteationsschitt auch nicht zu goß ausfallen, da sonst de Koektufakto eine unvehältnismäßige Veändeung efahen wüde. De Beeich 2 gestaltet sich fü die Koektu

69 Aufbeeitung des FE-Modells und de Messdaten zu Modellkoektu 55 poblematisch, da hie bei de Emittlung de Ändeung des Koektufaktos ein Vozeichenwechsel auftitt. Daaus folgt, dass sich diese Beeich nicht zu Koektu eignet. Eine ausfühliche Untesuchung des Vehaltens des Koektufaktos in den veschiedenen Fequenzbeeichen findet man in [35]. Ziel ist es nun, ein geeignetes Kiteium zu finden, mit dessen Hilfe man den Fequenzbeeich zu Koektu emitteln kann. In den folgenden zwei Unteabschnitten sollen zwei Kiteien vogestellt weden FAC-Kiteium Als Estes soll das sogenannte FAC-Kiteium (Fequency esponse Assuance Citeion) [38] vogestellt weden. Dieses Kiteium basiet auf dem MAC-Kiteium (Gleichungen (5.27) und 5.28)). Hie wid anstelle eines Vektos eine Spalte de Fequenzgangmatix H (Ω) (Opeating Deflection Shape) betachtet, d.h. man vegleicht eine Spalte φ de identifizieten Fequenzgangmatix H M (Ω) mit de beechneten Spalte H (Ω). Somit egibt sich FAC(Ω) = H H M (Ω) H (Ω) 2 ( H H (Ω) H (Ω))( H MH (Ω) H M. (5.32) (Ω)) Analog zum MAC ehält man auch hie Wete zwischen 0 und 1, wobei ein Wet bei 1 eine 10 5 Fequenzgang in Abhängigkeit de Eegekeisfequenz FF FE Modell FF Identifikation H 11 / m/n Ω / s 1 FAC in Abhängigkeit de Eegekeisfequenz 1 FAC FAC Ω / s 1 Abbildung 5.3: Fequenzgang und FAC eines 4-Feiheitsgadmodells gute Übeeinstimmung dastellt. In Abb. 5.3 sind die Fequenzgänge H 11 des FE-Modells und de Identifikation sowie de dazugehöige FAC fü das 4-Feiheitsgadmodell aus [10] dagestellt. Hiebei wude die este Spalte de Fequenzgangmatix zu Beechnung

70 56 Aufbeeitung des FE-Modells und de Messdaten zu Modellkoektu de FAC-Wete vewendet. Die Abbildung zeigt, dass bei geingen Abweichungen de beiden Fequenzgänge zueinande (FE- und identifiziete Fequenzgang) im Fequenzbeeich 0 40 s 1 eine gute Übeeinstimmung voliegt (FAC-Wet 1), d.h. dass diese Fequenzbeeiche (este und zweite Eigenkeisfequenz) mit zu Koektu heangezogen weden können. In dem Fequenzbeeich s 1 zeigt sich eine deutlich gößee Abweichung (FAC-Wet < 1), diese Beeich sollte nicht zu Koektu heangezogen weden. De Beeich daübe eignet sich wiede zu Koektu (Fequenzbeeich s 1 ) FSC-Kiteium Eine modifiziete Methode des FAC-Kiteiums, ist das so genannte FSC-Kiteium (Fequency esponse Selection Citeion) [35], welches auf de Idee des FDAC-Kiteiums (Fequency Domain Assuance Citeion) [45] basiet. Auch hie wid jeweils eine Spalte de Fequenzgangmatix betachtet. Das FDAC-Kiteium ist gegeben duch FDAC(Ω) = ( H T M (Ω) H (Ω)) T ( H T M (Ω) H (Ω)) ( H T M T M (Ω) (Ω))( (Ω) H H H (Ω)). (5.33) Gleichung (5.33) soll nun auf die eal- und Imaginäteile de beechneten und gemessenen Fequenzgänge angewendet weden. Damit egibt sich fü die Imaginäteile de Fequenzgänge FDAC Im (Ω) = H ImT (Ω) H ImM (Ω) H Im (Ω) H ImM (5.34) (Ω) und fü die ealteile FDAC e (Ω) = H H ImT e (Ω) H (Ω) H em em (Ω) (Ω). (5.35) Die Gößen FDAC Im und FDAC e können Wete zwischen +1 und 1 annehmen, wobei ein Wet von +1 eine seh gute Übeeinstimmung zwischen beechnetem und gemessenem Fequenzgang am betachteten Fequenzpunkt zeigt. Ziel ist es, eine Kenngöße zu bestimmen, die beide Infomationen von FDAC Im und FDAC e beinhalten. Dazu wid in einem esten Schitt die Vozeicheninfomation zwischen FDAC Im und FDAC e bestimmt. Diese egibt sich aus de Beziehung FSC sign (Ω) = FDACIm FDAC e FDAC Im FDAC e. (5.36) FSC sign kann die Wete +1 ode 1 annehmen. In einem zweiten Schitt wid die endgültige FSC-Kenngöße beechnet [( FDAC Im ) (Ω) 2 ( FDAC Im ) (Ω) 2 ] FSC(Ω) = FSC sign (Ω) (5.37) Die F SC-Kenngöße liefet Wete zwischen 1 und +1. Ein Wet von +1 bedeutet eine seh gute Übeeinstimmung zwischen beechneten und gemessenen Fequenzgängen. Ein

71 Aufbeeitung des FE-Modells und de Messdaten zu Modellkoektu Fequenzgang in Abhängigkeit de Eegekeisfequenz FF FE Modell FF Identifikation H 11 [m/n] Ω / s 1 FSC in Abhängigkeit de Eegekeisfequenz 1 FSC 0.5 FSC Ω / s 1 Abbildung 5.4: Fequenzgang und FSC eines 4-Feiheitsgadmodells Wet von 1 bedeutet ebenfalls eine gute Übeeinstimmung, wobei hie eine Phasenveschiebung von 180 voliegt. Es sollten bei de Bestimmung de Koektupaamete nu Wete vewendet weden, deen FSC-Wete bei +1 liegen. Um den Voteil dieses Kiteiums zu vedeutlichen, sind in Abb. 5.4 wiedeum die Fequenzgänge H 11 des FE-Modells und de Identifikation sowie de dazugehöige FSC fü das 4-Feiheitsgadmodell aus [10] dagestellt. Hie ist deutlich zu sehen, dass die Fequenzbeeiche im Beeich de Antiesonanzen deutlich von +1 abweichen. 5.5 Aufbau und Wahl de Submatizen Neben de Auswahl de esiduen ist die Auswahl de Submatizen, die koigiet weden sollen, eine Hauptfage. Die Auswahl diese Submatizen efodet vom Anwende eine seh gute Kenntnis des FE-Modells. De hie untesuchte oto besteht aus Balkenund Scheibenelementen sowie aus Fede- und Dämpfeelementen, die die Steifigkeitsund Dämpfungseigenschaften de Lageung des otos sowie die Dämpfungseigenschaften des Umgebungsmediums bescheiben. D.h. die Submatizen, die hie zu Koektu zu Vefügung stehen bzw. gebildet weden können, sind einzelne Balkenelemente bzw. Teile diese Elemente ode die Dämpfe- und Steifigkeitselemente de Lage bzw. de Scheiben (siehe Abb. 3.4). Bei eine Koektu de Steifigkeitsmatix kann z.b. entwede die komplette Steifigkeitsmatix ode ein Teil de Steifigkeitsmatix zu Koektu feigegeben weden. Letztees ist

72 58 Aufbeeitung des FE-Modells und de Messdaten zu Modellkoektu de Fall, wenn eine Koektu an eine Vebindungsstelle (Scheiben- und Balkenelement) efolgen soll. Hiebei wid die Steifigkeitsmatix eines Balkenelements an den Vebindungsstellen feigegeben. Efolgt eine Feigabe de Steifigkeitspaamete nu an einem Knoten de Balkenelemente, so entsteht ein Gleichgewichtsfehle de zu geedeten Feden im FE-Modell füht. Die Abbildung 5.5 zeigt die Vebindungsstelle de Balkenelemente 5 und 6 mit de Schei- M S 1 DP S 2 Teilausschnitt Scheibe 1 L 1 L 2 S K B 5 K B 6 Abbildung 5.5: Teilausschnitt Vebindung Scheibe 1 mit Balkenelement 5 und 6 be S 1 des Vesuchsotos. Zu Emittlung de Steifigkeitseigenschaften de Vebindungsstelle können die beiden Steifigkeitsmatizen de Balkenelemente 5 und 6 zu Koektu feigegeben weden. Hiebei können die beiden Submatizen de Steifigkeitsmatizen de Balkenelemente unteschiedlich aufgebaut weden. Die este Möglichkeit ist, dass man die beiden vollständig besetzten Steifigkeitsmatizen de Balkenelemente 5 und 6 zu Koektu feigibt: S K = S 0 + a S1 K B 5 + a S2K B 6 ; S 0 = K B + K L K B 5 KB 6. (5.38) In diese Gleichung sind die Matizen K B 5 und K B 6 die vollbesetzten Steifigkeitsmatizen de Balkenelemente 5 und 6. Diese Matizen haben die Dimension n FG n FG. Eine weitee Möglichkeit ist, dass man nu einen Teil de Steifigkeitsmatix de Balkenelemente zu Koektu feigibt, z.b. bei Balkenelement 5 und 6 den Teil de Steifigkeitsmatix, de die Steifigkeitseigenschaften bezüglich des Knotens 6 (Vebindung Scheibe S 1 mit den Balkenelementen 5 und 6) bescheibt. Die Steifigkeitsmatizen de Balkenelemente 5 und

73 Aufbeeitung des FE-Modells und de Messdaten zu Modellkoektu 59 6 sind wie folgt aufgebaut: K B S 5 = 5 S ; K B 6 = S6 S (5.39) Hiein sind die mit den Bezeichnungen S 5 bis S 7 de Dimension 6 6 (3 Tanslationsund 3 otationsfeiheitsgade po Knoten), die die lokalen Steifigkeitseigenschaften an den Knoten 5 bis 7 bescheiben. Soll nun die Steifigkeitsmatix an Knoten 6 koigiet weden, so weden jeweils nu die Teilmatizen bezüglich des Knotens 6 feigegeben K B 5 =... S ; K B 6 =... S (5.40) Neben dem Aufbau ist die Wahl de Submatizen, die zu Koektu feigegeben weden, eine zentale Fage bei de Modellkoektu. Hiezu gibt es veschiedene Methoden, die eine Beuteilung de Auswahl de Submatizen emöglichen. Die einfachste Möglichkeit stellt die Sensitivitätsanalyse da. Hiebei wid z.b. bei de Koektu mittels Eigenwete und/ode Eigenvektoen, die Ableitung de Eigenwete und Eigenvektoen (Gleichung (4.39)) nach den Koektufaktoen betachtet und als Gütekiteium zu Beuteilung heangezogen. Eine weitee Methode wid in [32] beschieben. Hiebei weden sogenannte Enegiefunktionen zu Beuteilung de Wahl de Submatizen vewendet. Man untescheidet hiebei zwischen de Stain Enegy Function, welche gegeben ist duch die Beziehung N Π S A i = =1( φ φ M )T A K i ( φ φ M ) (5.41) und de Kinetic Enegy Function die gegeben ist duch N Π K A i = =1( φ φ M )T A M i ( φ φ M )(ωm ) 2. (5.42) Eine Enegiefunktion, welche einen goßen Wet egibt, ist ein Indikato fü eine fehlebehaftete Substuktu. Ein kleine Wet besagt ebenfalls einen kleinen Fehle bezüglich de Substuktu ode die Daten haben gegenübe de Paameteändeung nu eine geinge Sensitivität. Neben diesen genannten Vefahen sind noch weitee Vefahen wie z.b. das estkaftvefahen [49] und die Best Subspace Method [27] bekannt.

74 60 Aufbeeitung des FE-Modells und de Messdaten zu Modellkoektu In de Paxis hat sich die Sensitivitätsanalyse als Indikato fü die Auswahl de Submatizen duchgesetzt. Hiebei wid die Sensitivitätsmatix, die die Ableitung de zu analysieenden esiduen nach den Koektupaameten (Eigenwete, Eigenvektoen, Fequenzgänge) enthält, untesucht. Die Ableitungen de Eigenwete und Eigenvektoen nach den Koektufaktoen folgen aus den Gleichungen (4.37) und (4.43) zu φ a i λ a i = Ū 1 V ; L φ a i λ a i = Ū 1 V L L, (5.43) mit den Matizen Ū und V sowie ŪL und V L λ 2 Ū = M + λ C + K ( 2 λ M + C ) φ ( LT φ 2 λ M + C ) (5.44) LT φ M φ und bzw. und V = + a λ C + K ) φ i a i a i M 2 λ + C ) φ a i a i ( λ 2 M ( 1 LT 2 φ (5.45) λ 2 M T + λ ( C T + K T 2 λ M T + C ) T φ L Ū L = ( T φ 2 λ M T + C ) T T M φ T (5.46) L φ ( λ 2 M T C T ) + λ + KT V L = a i a i a i 1 T M (2 λ T ) + CT L φ 2 φ a i a i. (5.47) Die Sensitivitätsmatix S λ de Eigenwete bezüglich de Ableitung nach den Koektupaameten λ / a i, hat die Dimension n M n A, wobei n M die Anzahl de gemessenen Eigenwete und n A die Anzahl de Koektufaktoen bezeichnet. Um eine bessee Beuteilung de einzelnen Sensitivitäten duchfühen zu können, weden die Spalten de Eigenwetsensitivitätsmatix nomiet. Hiebei weden die Betäge de Elemente eine Spalte auf die Gesamtsumme de Betäge de Spalte bezogen. Somit egibt sich S λ = S λi n M =1 S λi ; i = 1...n A. (5.48) Die Sensitivitätsmatizen S φ und S φ L de Eigenvektoen φ / a i bzw. φ / a i haben ebenfalls die Dimension n M n FG. Zu Beechnung de Sensitivitätsmatix de Eigenvektoen wid vohe die Nom de Spalten bezüglich de Sensitivitätsmatix ausgeechnet. L

75 Aufbeeitung des FE-Modells und de Messdaten zu Modellkoektu 61 Diese egibt fü die Spaltennom ( ) n 2 φ a i = m φ l ; i = 1...n A. (5.49),l=1 a i Des Weiteen wid die Nom S φ de Sensitivitätsmatix gebildet. Fü die abschließende Beuteilung de Sensitivität egibt sich ( ) 1 φ S φ = diag S a i φ ; = 1...m. (5.50) Man ehält nun mit den so hegeleiteten Gleichungen fü die Sensitivität de Eigenwete und Eigenvektoen eine nomiete Sensitivitätsmatix, deen Wete zwischen 0 und 1 liegen, wobei 1 seh sensitiv bedeutet. Stebt de Wet gegen Null nimmt die Sensitivität ab. Die Sensitivitätsmatix fü die Fequenzgänge lässt sich mit Hilfe de Gleichung (4.47) beechnen. In de Paxis wid keine Sensitivitätsanalyse bezüglich de Fequenzgangmatix duchgefüht, da de echenaufwand bei goßen Systemen seh aufwendig sein kann, da die Sensitivität de Fequenzgangmatix fü jede Eegekeisfequenz Ω neu beechnet weden müsste. In de egel wid sich die Göße de Fequenzgangmatix eduzieen, da nicht alle Feiheitsgade eine Identifikation zugänglich sind. Totzdem bleibt de echenaufwand goß. Fü einen Koektufakto a i wüde sich eine Matix de Dimension n FG n FG n Ω egeben, wobei n Ω die Eegekeisfequenzpunkte angibt. Ein weitee Indikato bei de Auswahl de Submatizen zu Koektu bietet die Betachtung de Eigenvektoen. Betachtet man die Eigenvektoen des Vesuchsotos (Abb. 3.5 bis 3.16), so zeigt sich, dass an den Lagen fü die Modes 1 bis 10 quasi ein Knoten voliegt. Hieaus folgt, dass an diese Stelle eine Koektu de Steifigkeits- ode Dämpfungsmatix mit den Modes 1 bis 10 keine bauchbaen Egebnisse liefen wüde. Um hie eine Koektu de Steifigkeits- und Dämpfungsmatix duchzufühen, müssten die Modes 01 und 02 identifiziet weden.

76 62 Aufbeeitung des FE-Modells und de Messdaten zu Modellkoektu

77 Kapitel 6 Wichtungsmethoden In diesem Kapitel soll das Lösungsvehalten des Gleichungssystems (4.21) untesucht weden ā = S + W b W. (6.1) Duch die Einfühung eine Wichtungsmatix W in Gleichung (6.1) ist es möglich, die Sensitivitätsmatix und den esiduenvekto mittels de Wichtungsvoschift S W = WS und b W = Wb zu wichten, woduch eine Bewetung de Fehle möglich ist. 6.1 Wichtung mit Hilfe von Eigenweten und Eigenvektoen In [8] wuden veschiedene Wichtungsmethoden fü Eigenwete und Eigenvektoen vogestellt und das Lösungsvehalten untesucht. Dabei wude das Konvegenzvehalten und de Einfluss veschiedene Fehle bei de Emittlung de Koektupaamete betachtet. Insgesamt wuden 9 Methoden untesucht, wobei sich diese Methoden in 3 Guppen einteilen lassen: Eigenwete, Eigenvektoen, Kombiniete Vefahen aus Eigenweten und Eigenvektoen. Tabelle 6.1 zeigt die veschiedenen Wichtungsmethoden, die bei Eigenweten und Eigenvektoen vewendet weden, wobei die Vefahen anhand von zwei Beispielen untesucht wuden (siehe Kap und 6.2.2). In de Tabelle sind veschiedene Wichtungsmethoden und die dazugehöigen Gleichungen aufgefüht. Es ist jeweils angegeben, wie de Koektupaamete ā und die dazugehöige Wichtungsmatix W beechnet wid. Die Beechnung de Sensitivitätsmatizen wude in Kap. 4.1 eläutet. 63

78 64 Wichtungsmethoden N. Wichtungsmethode Gleichung 1 Eigenwetsensitivität mit Einheitsmatix ā = (WSλ) + Wb λ ; W = I 2 Eigenwetsensitivität mit elative Eigenwetdiffeenz ā = (WλSλ) + Wλb λ ; Wλ = diag (λ) 1 3 Eigenwetsensitivität mit de Invesen de Wuzel de Eigenwete a = (W λ S λ) + W λ b λ ; W λ = diag ( λ ) 1 4 Eigenvektosensitivität mit Einheitsmatix ā = (WSφ) + Wb φ ; W = I 5 Eigenvektosensitivität mit Einheitsmatix und MSF ā = (WSφ) + FE M MSF W(φ φ ) ; W = I 6 Eigenvektosensitivität mit de Nom de Eigenvektoen a ā = (W φ Sφ) + W φ b φ ; W φ = diag ( φ ) 1 7 Eigenwet- und Eigenvektosensitivität mit elative Eigenwetediffeenz 8 Eigenwet- und Eigenvektosensitivität mit elative Eigenwetediffeenz und de Nom de Eigenvektoen a = a = 9 Eigenwet- und Eigenvektosensitivität mit Einheitsmatix ā = ( [ ( [ ( [ ] [ Wλ 0 0 W Sλ Sφ ] [ Wλ 0 0 W φ W 0 0 W ] [ Sλ Sφ ] ) + [ ] [ ] Wλ 0 b λ 0 W b φ ] ) + [ ] [ Sλ Wλ 0 b λ Sφ 0 W φ b φ ] ) + [ W 0 0 W ] [ b λ b φ ] Tabelle 6.1: Wichtungsmethoden bei Eigenweten und Eigenvektoen a Nom: φ = nf G φ2 l l=1 ]

79 Wichtungsmethoden Anwendungsbeispiele und Beuteilung Anwendungsbeispiel eingespannte Balken In [8] wuden die oben aufgefühten Wichtungsmethoden an veschiedenen Fehlemodellen getestet. Hiezu wude ein eingespannte Balken betachtet: 1) Modellpaametefehle, 2) Fehle in den Messdaten (Messdaten beinhalten auschen). Als Ausgangsmodell wude ein einseitig eingespannte Balken vewendet (Abb. 6.1). Abbildung 6.1: FE-Modell Balken [8] In Tab. 6.2 sind die Daten des untesuchten Balkens sowie die vogegebenen Fehle angegeben. FE-Modell Vesuchsmodell Element 1-12 Element E / Nm 2 2, , , / kgm a i 0, 666 (a 1 ) 1, 333 (a 2 ) Tabelle 6.2: Paamete FE-Modell Fü die nachfolgende Modellkoektu wude de Ansatz K = K 0 + a 1 K 1 und M = M 0 + a 2 M 1 (6.2) gewählt sowie die esten 8 Eigenwete und Eigenvektoen vewendet. In Tab. 6.3 sind die Egebnisse de Modellkoektu aufgefüht. Angegeben sind die vewendete Wichtungsmethode, die Anzahl de Iteationsschitte, die emittelten Koektupaamete a 1 und a 1 2 sowie das Stat- und Endesiduum b stat und b 2 end. De Index stat meint hiebei den [ ] 1 a1 Aufbau Koektupaametevekto: ā = [ ] a 2 2 b1 Aufbau esiduuenvekto: = b b 2

80 66 Wichtungsmethoden Wet des esiduums nach dem esten Iteationsschitt und end den Wet des esiduums nach dem letzten Iteationsschitt. Weitehin wude de Einfluss des auschens auf die Koektuvefahen untesucht. Tab 6.3 zeigt die Egebnisse de in [8] duchgefühten Beechnungen. Hiebei wuden zwei Fälle untesucht: Im esten Fall wude de Einfluss von Modellpaametefehlen mit und im zweiten Fall ohne auschen betachtet. In Tab. 6.3 ezielen die Wichtungsmethoden mit den Eigenweten die besten esultate, wobei auffällt, dass eine Wichtung de Eigenwete (Bildung des elativen Fehles) eine deutliche Vebesseung bei de Fehleminimieung bewikt, da die minimieende Diffeenz (esiduum) duch diese Wichtung deutlich veinget wid. Ein ähnliches Vehalten stellt man bei den Methoden mittels Eigenvektoen fest, wobei hie die besten Egebnisse mittels Modal Scale Facto ezielt wuden. De Einfluss des auschens macht sich in de Anzahl de Iteationsschitte bemekba, die sich teilweise deutlich duch das auschen ehöhen. Fene ist festzustellen, dass sich de Einfluss des auschens bei de Bestimmung de Koektufaktoen mittels Eigenvektoen negativ bemekba macht. Es zeigt sich, dass hie die Abweichung de emittelten Koektufaktoen zu den gesuchten Koektufaktoen deutlich zunimmt. Dieses lässt sich mittels de deutlich geingeen Sensitivität de Eigenvektoen auf die vogegebenen Fehle ekläen. Festzuhalten bleibt, dass sich mit allen Methoden bis auf Methode 5 eine deutliche Vebesseung des esultats ezielen lässt.

81 Wichtungsmethoden 67 Daten ohne auschen Daten mit auschen W.-M. a It.-Schitte a1 a2 bstat bend W.-M. It.-Schitte a1 a2 bstat bend ,669 1,331 9, , ,660 1,353 1, , ,666 1,333 2, 84 3, ,677 1,360 2, 88 4, ,666 1,332 3, , ,608 1,255 3, , ,667 1,329 2, , ,661 1,336 6, , ,674 1,317 1, , ,464 1,899 6, , ,667 1,332 0, 931 7, ,643 1,371 3, 24 2, ,666 1,333 2, 86 1, ,658 1,320 2, 94 6, ,668 1,330 3, 77 8, ,662 1,332 6, 12 4, Tabelle 6.3: Egebnisse Modellkoektu: Vegleich de Egebnisse mit und ohne auschen [8] a Wichtungsmethode

82 68 Wichtungsmethoden Anwendungsbeispiel Laval-oto In einem nächsten Schitt wuden die aufgefühten Methoden (ohne Methode 9) an einem Laval-oto untesucht [15]. Hiebei ging es um die Fage, ob die hie aufgefühten Wichtungsmethoden sich auch auf Systeme mit unsymmetischen Systemmatizen anwenden lassen. Fü die Untesuchung wude das FE-Modell (Abb. 6.2) des otos mit Modellpaametefehlen vesehen und Testdaten simuliet (Tab. 6.6). S x w i u i v i i z y L 1 L 2 i i Abbildung 6.2: FE-Modell Laval-oto [15] Fü die Modellieung de Welle wuden folgende Daten vewendet: Linke Seite: L 1 = 0, 125m und echte Seite L 2 = 0, 2m A = 7, m 2 ; = 0, 05m; I = 4, m 4 ; G = 0, Pa; ν = 0, 3; E = 2, Pa; = 7800kg/m 3 ; κ = 0, 9009 sowie fü die Scheibe: m = 45, 95kg; I = 0, 50m 2 kg; J = 0, 98m 2 kg. Die Steifigkeits- und Dämpfungspaamete de Lage sind in Tab. 6.4 angegeben: k yy / N/m k yz / N/m k zy / N/m k zz / N/m , , c yy / Ns/m c yz / Ns/m c zy / Ns/m kc zz / Ns/m 1, , , Tabelle 6.4: Steifigkeits- und Dämpfungspaamete Laval-oto Die Winkelgeschwindigkeit des otos betägt Ω = 314, 16s 1 bzw. n=3000pm. Zu Ezeugung de simulieten Messdaten wude die Steifigkeitsmatix de Balkenelemente K B sowie die einzelnen Steifigkeitselemente de Steifigkeitsmatix de Lage K L mit einem Fehlefakto multipliziet. In Tab. 6.5 sind die einzelnen Faktoen aufgefüht:

83 Wichtungsmethoden 69 Lage 1 Lage 2 K B k yy k yz k zy k zz 0,7 1,5 2 1,5 2 Tabelle 6.5: Fehlefaktoen Steifigkeitsmatizen Mode D M /% ω M /s 1 D FE /% ω FE /s 1 D /% ω /% MAC /% MAC L /% 1 8,57 455,71 4,04 404,01 52,85 11,34 84,89 84,89 2 2,26 459,87 0,37 413,30 83,59 10,13 84,49 84, , ,74 5, ,25 56,13-1,16 78,74 78, , ,42 4, ,12 74,40-1,43 72,26 72, , ,50 15, ,46 33,29-6,73 82,52 82, , ,51 12, ,48 60,83-12,06 63,80 63, , ,35 19, ,80-3,53 1,12 95,17 95, , ,46 20, ,68 21,45-10,03 88,76 88,76 Tabelle 6.6: Vegleich de Dämpfungsgade und Eigenkeisfequenzen vo de Koektu In Tab. 6.6 sind die Dämpfungsgade D und Eigenkeisfequenzen ω des FE-Modells mit (Index F E) und ohne Fehle (Index M) angegeben. Weitehin sind die elativen Fehle bezogen auf die Messung angegeben. De elative Fehle liegt bei den esten 8 Eigenkeisfequenzen in einem Intevall von 1 bis 12% und bei den Dämpfungsgaden zwischen 3 und 83%. De geinge Fehle bei den Eigenkeisfequenzen ist damit zu ekläen, dass diese im Wesentlichen von de Gesamtsteifigkeitsmatix de Balkenelemente beeinflusst weden, wähend de Einfluss de Steifigkeitsmatizen de Lage als geing bezeichnet weden kann. Ih Einfluss wid im Dämpfungsgad sichtba. Fene ist festzustellen, dass sich die MAC-Wete de echts- und Linkseigenvektoen nu geingfügig untescheiden, was daauf schließen lässt, dass nu seh geinge gyoskopische Effekte bei dem betachteten oto voliegen.

84 70 Wichtungsmethoden Methode 1,2,3,8 Methode 5 Methode 7 k D/% ω/% MAC /% MAC L /% D/% ω/% MAC /% MAC L /% D/% ω/% MAC /% MAC L /% 1 0,02 0, ,97-0, ,42-34,82 96,80 96,80 2 0,00 0, ,29-0, ,22-35,76 96,69 96,69 3 0,00 0, ,29-0, ,37-37,30 98,17 98,17 4 0,00 0, ,32-0, ,99-32,08 97,41 97,41 5 0,00 0, ,47-0, ,94-37,57 98,50 98,50 6 0,00 0, ,46-0, ,63-31,96 98,14 98,14 7 0,00 0, ,58-0, ,02-37,42 99,50 99,50 8 0,00 0, ,63-0, ,29-35,42 99,31 99,31 Tabelle 6.7: Egebnisse Modellkoektu [44]

85 Wichtungsmethoden 71 In Tab. 6.7 sind die Egebnisse de Modellkoektu ohne Messauschen mit de Steifigkeitsmatix des Laval-otos aufgefüht. Betachtet wuden hiebei die elativen Fehle de Dämpfungsgade und Eigenkeisfequenzen sowie die MAC-Wete de echts- und Linkseigenvektoen nach dem letzten Iteationsschitt. Es zeigt sich, dass die Methoden 1-3 sowie 8 die Fehle vollständig minimieen, d.h. auch hie wid wie schon bei dem zuvo gezeigten Beispiel deutlich, dass sich mit den Eigenwetmethoden die besten esultate ezielen lassen. Methode 5, bei de die Koektu mittels Eigenvektoen und Multi Scale Facto efolgte, ezielt bezüglich de Eigenkeisfequenzen und de MAC-Wete ein gutes esultat. Auffallend ist, dass sich hie de Dämpfungsgad bezüglich des esten Modes veschlechtet, was daauf zuückzufühen ist, dass die Schätzung de Dämpfung zu ungenau ist. Methode 7, bei de eine Koektu mittels gewichteten Eigenweten und ungewichteten Eigenvektoen duchgefüht wude, liefet deutlich schlechtee Egebnisse. Dies ist daauf zuückzufühen, dass die Eigenvektoen nicht mit dem Multi Scale Facto skaliet wuden. Die Methoden 4 und 6 konvegieen nicht, da hie die Eigenvektoen ebenfalls nicht skaliet wuden. Außedem zeigt Methode 6, dass auch eine Nomieung de Eigenvektoen keine Vebesseung bingt. Methode 9 konvegiet gleichfalls nicht, da bei diese Methode die unnomieten und unskalieten Eigenvektoen mit einbezogen wuden. 6.3 Wichtung mit Hilfe de Fequenzgänge Betachtet seien als Nächstes die Wichtungsmethoden fü die Fequenzgänge. Hie lassen sich die Fequenzgänge z.b. analog zu den Wichtungsmethoden de Eigenwete und Eigenvektoen wichten. Eine weitee Methode ist, dass man die Imaginäteile de Fequenzgänge in Kombination mit den Eigenweten zu Identifikation de Koektupaamete vewendet [14] [ ] [ ] [ ] [ ] Wλ 0 Sλ Wλ 0 ā = b λ. (6.3) 0 W S H 0 W b H In diese Gleichung ist die Matix W die Wichtungsmatix fü die Imaginäteile de Fequenzgänge (Index H). In de Paxis wid die Wichtungsmatix fü die Fequenzgänge vom Anwende selbst eingegeben weden, wobei eine goße Efahung mit Identifikationsvefahen efodelich ist. Diese manuelle Wichtung kann efodelich sein, wenn bei de Nomieung de Eigenwete de elative Fehle deutlich kleine ist als de elative Fehle de betachteten Imaginäteile de Fequenzgänge. Dabei können Unteschiede bis zu einem Fakto 10 und göße aufteten. Um eine bessee Vegleichbakeit hezustellen, beücksichtigt man diesen Fakto bei de Wichtung de Fequenzgänge.

86 72 Wichtungsmethoden

87 Kapitel 7 Egebnisse In diesem Kapitel sollen die vogestellten Methoden zu Modellkoektu an simulieten Testdaten und späte an expeimentellen Daten übepüft weden. Anschließend efolgt in einem weiteen Schitt eine Unwuchtidentifikation mittels koigieten Finite-Elemente- Modellen. 7.1 Modellkoektu mit Hilfe simuliete Messdaten In diesem Abschnitt sollen die ausgesuchten Modellkoektuvefahen am otomodell anhand simuliete Messdaten übepüft weden. Es weden hiezu die ausgewählten Vefahen zu Modellkoektu mittels Eigenwete und Eigenvektoen betachtet. Anschließend efolgt eine Übepüfung de Fequenzgänge bezüglich de Eignung zu Koektu de Systemmatizen Modellkoektu mit Hilfe von Eigenweten und Eigenvektoen Betachtet seien die Modellkoektuvefahen die mittels Eigenwete und Eigenvektoen duchgefüht weden. Zu Geneieung de Simulationsegebnisse wude die Steifigkeitsmatix auf de Hauptdiagonalen des FE-Modells (Abb. 3.4) an den Stellen de Scheiben S 1 (2 Elemente) und S 2 (1 Element) sowie am Diving-Point DP (2 Elemente) mit Fehlen modelliet (Tab. 7.1). Weitehin wude die Dämpfungsmatix an den Stellen de Scheiben S 1 und S 2 mit Fehlen vesehen. Dazu wuden die Dämpfungselemente jeweils mit einem Fehlefakto vesehen (Tab. 7.2). Scheibe 1 Diving-Point Scheibe 2 0,70 1,10 0,90 0,80 1,15 Tabelle 7.1: Vogegebene Fehlefaktoen Steifigkeitsmatizen 73

88 74 Egebnisse Scheibe 1 Scheibe 2 0,70 1,10 Tabelle 7.2: Vogegebene Fehlefaktoen Dämpfungsmatizen Bei de Simulation de Messdaten wuden die esten 10 Eigenwete und Eigenvektoen bei den Dehzahlen 1080 pm und 1800 pm zu Modellkoektu vewendet. Dabei wude zwischen zwei Konfiguationen unteschieden, einmal ohne auschen (o..) und einmal mit auschen (m..). Das auschen de Eigenwete wude mit Hilfe de Beziehung λ N = λ (1 + N λ () 2%) (7.1) ezeugt. Bei den Eigenvektoen wude das auschen mit Hilfe de Beziehung φ N l = φ l (1 + N φ (l) 30%) (7.2) beechnet. In diesen beiden Gleichungen bezeichnen N ω () und N φ (l) Zufallszahlen, die zwischen Null und Eins liegen und in MATLAB geneiet wuden Simulationsegebnisse bei 1080 pm Tab. 7.3 und Tab. 7.4 zeigen die beechneten Dämpfungsgade D FE und Eigenkeisfequenzen ω FE des FE-Modells und die simulieten Dämpfungsgade D M und Eigenkeisfequenzen ω M (ohne und mit auschen) vo de Modellkoektu de Dämpfungs- und Steifigkeitsmatix. Weitehin sind de elative Fehle de Dämpfungsgade in Pozent D = D M D FE D M 100 (7.3) sowie de elative Fehle de Eigenkeisfequenzen ω = ω M ω FE ω M 100 (7.4) jeweils bezogen auf die Messung angegeben. Zusätzlich sind die MAC-Wete fü die echts- und Linkseigenvektoen dagestellt.

89 Egebnisse 75 Mode D M /% D FE /% D /% ω M /s 1 ω FE /s 1 ω /% MAC /% MAC L /% 1 3,33 3,72-11,57 83,63 82,46 1,40 99,91 99,91 2 4,14 4,34-4,82 131,74 128,86 2,19 99,91 99,91 3 2,89 2,59 10,33 238,29 233,54 1,99 99,80 99,80 4 2,30 2,11 8,42 261,48 255,58 2,26 99,78 99,78 5 1,21 1,23-1,25 642,01 667,74-4,01 95,74 95,74 6 0,67 0,79-17,80 796,72 824,51-3,49 95,83 95,87 7 1,24 1,35-9,20 913,61 854,69 6,45 98,23 98,21 8 1,42 1,47-3, , ,30 5,37 98,69 98,69 9 2,93 2,96-1, , ,10 0,34 99,78 99, ,63 2,66-1, , ,30 0,26 99,75 99,75 Tabelle 7.3: Identifiziete und beechnete Dämpfungsgade und Eigenkeisfequenzen (ohne auschen) bei 1080 pm Mode D M /% D FE /% D /% ω M /s 1 ω FE /s 1 ω /% MAC /% MAC L /% 1 3,33 3,72-11,57 85,12 82,46 3,13 99,17 99,16 2 4,14 4,34-4,82 133,75 128,86 3,66 99,43 99,43 3 2,89 2,59 10,33 240,47 233,54 2,88 99,35 99,33 4 2,30 2,11 8,42 261,58 255,58 2,29 99,16 99,15 5 1,21 1,23-1,25 652,56 667,74-2,33 95,54 95,57 6 0,67 0,79-17,80 803,81 824,51-2,58 95,61 95,66 7 1,24 1,35-9,20 924,86 854,69 7,59 97,80 97,65 8 1,42 1,47-3, , ,30 6,84 98,45 98,43 9 2,93 2,96-1, , ,10 2,14 99,05 99, ,63 2,66-1, , ,30 1,72 99,34 99,28 Tabelle 7.4: Identifiziete und beechnete Dämpfungsgade und Eigenkeisfequenzen (mit auschen) bei 1080 pm De Vegleich de Tab. 7.3 und 7.4 zeigt, dass sich das auschen bei den Eigenweten im Wesentlichen bei den Eigenkeisfequenzen bemekba macht, welche hauptsächlich aus dem Imaginäteil des Eigenwetes bestehen. Die Dämpfungsgade weden von dem Fehle kaum bzw. ga nicht beeinflusst. Auch das auschen bei den Eigenvektoen von 30% macht sich seh geing bemekba, wobei hie de Einfluss auf die Dämpfungsgade und Eigenkeisfequenzen zu venachlässigen ist. Aus Untesuchungen ist bekannt, dass Eigenvektoen nu eine seh geinge Sensitivität bezüglich de Eigenwete zeigen [37].

90 76 Egebnisse Methode ohne auschen mit auschen ohne auschen mit auschen ohne auschen mit auschen Mode D/% ω/% D/% ω/% D/% ω/% D/% ω/% D/% ω/% D/% ω/% 1-2,42 0,01-3,16-0,16-6,30-0,17-2,53-0,62-6,31-0,16-2,53-0,62 2-0,25 0,01 2,49 0,07-0,73-0,04 3,57 0,39-0,74-0,03 3,57 0,39 3 8,88 0,01 11,05 0,22 9,82-0,05 14,08 3,42 9,82-0,03 14,08 3,42 4 7,59 0,00 7,25-0,34 6,66-0,03 10,30 2,51 6,67-0,02 10,30 2,51 5-1,18 0,00-0,31 0,23-1,00-0,04 0,65-1,46-1,00-0,02 0,65-1,46 6-0,80 0,00-0,05-0,27-1,20-0,02-0,67-1,72-1,19-0,01-0,67-1,72 7 0,16 0,00 7,30-0,12 0,54-0,03 23,80 2,37 0,56-0,01 23,80 2,37 8 0,10 0,00 7,76 0,21 0,14-0,03 24,69 1,58 0,15-0,02 24,69 1,58 9 0,03 0,00 2,53 0,12 0,16-0,07-2,95 3,07 0,13-0,05-2,95 3, ,03 0,00 1,78-0,07 0,08-0,06-5,03 3,18 0,05-0,04-5,03 3,18 Tabelle 7.5: Abweichung de koigieten Dämpfungsgade und Eigenkeisfequenzen des FE-Modells nach Koektu de Steifigkeitsmatix bezogen auf die simulieten Dämpfungsgade und Eigenwete bei 1080 pm

91 Egebnisse 77 Als Nächstes efolgte eine Koektu de Steifigkeitsmatix mit den hie vogestellten Methoden. In Tab. 7.5 sind die Egebnisse de Koektu de Steifigkeitsmatix aufgefüht. Angegeben sind die elativen Fehle de Dämpfungsgade und Eigenkeisfequenzen bei den veschiedenen Methoden mit und ohne auschen. Tab. 7.5 zeigt, dass die Koektu mittels Eigenwete (Methode 2) die besten esultate ezielt. De elative Fehle de Eigenkeisfequenzen wid ohne und mit auschen vollständig minimiet. Bei de Koektu mittels Eigenvektoen (Methode 5) egibt sich ein ähnliches Vehalten, wobei sich hie de Einfluss des auschens auch bei den Eigenkeisfequenzen deutliche bemekba macht. Bei de Koektu mit Hilfe von Eigenweten und Eigenvektoen (Methode 7) titt eine leichte Vebesseung im Vegleich zu Methode 5 auf. De Vegleich de Egebnisse alle dei Methoden zeigt, dass die fehlebehafteten Substeifigkeitsmatizen, wie schon zuvo beschieben, die gößte Sensitivität bezüglich de Eigenwete haben und somit die besten esultate mit de Koektumethode mittels Eigenwete bzw. aus de Kombination Eigenwete und Eigenvektoen ezielt weden. Weitehin wid bei allen Methoden sichtba, dass de Einfluss des auschens sich bei den Dämpfungsgaden und Eigenkeisfequenzen bei den höheen Modes deutlich bemekba macht. Diese bekannte Sachvehalt wid auch in [8] beschieben. Geneell bleibt festzuhalten, dass alle dei Methoden ein gutes Konvegenzvehalten zeigen und schon nach wenigen Iteationsschitten (4 bzw. 10 Schitte) die vogegebene Fehleschanke eeicht wid. Methode o.. m.. Scheibe 1 Diving-Point Scheibe modifiziet modifiziet Soll Koektufaktoen 1,4285 0,9091 1,1111 1,2500 0,8696 Tabelle 7.6: Emittelte Koektufaktoen de Substeifigkeitsmatizen bei 1080 pm In Tab. 7.6 sind die emittelten Koektufaktoen fü die Substeifigkeitsmatizen aufgefüht. Es sind hiebei jeweils die Koektufaktoen ohne auschen (o..) und mit auschen (m..) angegeben. Bei de Koektu mittels Eigenwete (Methode 2) zeigt sich eine gute Übeeinstimmung. Nu am Diving-Point ist beim auschen eine gößee Abweichung festzustellen. Dieses kann daauf zuückgefüht weden, dass sich bei Beücksichtigung des auschens die Sensitivität de Koektufaktoen an diese Stelle deutlich veinget, woaus folgt, dass das Lösungsvehalten des Gleichungssystems ungünstig beeinflusst wid. Bei de Koektu mittels Eigenvektoen (Methode 5) ist ein ähnliches Egebnis festzustellen, wobei sich hie de Einfluss des auschens deutlich bemekbae macht. Am Diving-Point ist eine deutliche Abweichung ( 200%) festzustellen. Auch an de Scheibe S 1 ist eine Abweichung zu sehen. Die Koektu mittels Eigenwete und

92 78 Egebnisse Eigenvektoen (Methode 7) ezielt ohne auschen eine gute Übeeinstimmung. Insgesamt bleibt festzuhalten, dass de Einfluss des auschens am deutlichsten bei den Koektumethoden unte Einbeziehung de Eigenvektoen sichtba ist. Eine Koektu mittels Eigenvektoen liefet eine schlechtee Lösung als eine Koektu mittels Eigenwete. Diese Umstand ist auch daauf zuückzufühen, dass das Konvegenzvehalten bei den Koektumethoden mittels Eigenvektoen deutlich schlechte ist als mit Eigenweten. Auch die Nomieung de Eigenvektoen kann sich negativ auf das Lösungsvehalten auswiken [49]. In einem zweiten Schitt efolgte die Koektu de Dämpfungsmatix. In Tab. 7.7 sind die Egebnisse de Koektu mittels Eigenwete (Methode 2) dagestellt. Es zeigte sich, dass eine Koektu mittels Eigenvektoen (Methode 5) und eine Koektu mittels Eigenwete und Eigenvektoen (Methode 7 modifiziet) nicht konvegiete und somit keine Koektufaktoen emittelt weden konnten. Hie wid deutlich, dass die Eigenvektoen auf die Dämpfung keinen Einfluss haben. Im Gegensatz dazu lässt sich bei de Koektu mittels Eigenwete de elative Fehle de Dämpfungsgade noch einmal eheblich veingen (siehe Tab. 7.5). Diese Sachvehalt lässt sich damit ekläen, dass bei den Eigenweten die Dämpfung als Abklingkonstante mit in die Koektu eingeht. Bei de Koektu mittels Eigenwete wude de Fehle bei den Weten ohne auschen vollständig minimiet. Methode 2 ohne auschen mit auschen Mode D /% ω /% D /% ω /% 1 0,00 0,00-2,14-0,16 2 0,00 0,00 1,67 0,06 3 0,00 0,01 2,03 0,22 4 0,00 0,00-0,85-0,33 5 0,00 0,00 0,45 0,23 6 0,01 0,00 0,47-0,27 7 0,01 0,00 7,13-0,12 8 0,01 0,00 7,66 0,21 9-0,01 0,00 2,49 0, ,01 0,00 1,75-0,08 Tabelle 7.7: Abweichung de koigieten Dämpfungsgade und Eigenkeisfequenzen des FE-Modells nach Koektu de Dämpfungsmatix bezogen auf die simulieten Dämpfungsgade und Eigenwete bei 1080 pm In Tab. 7.8 sind die emittelten Koektufaktoen fü die Subdämpfungsmatizen dagestellt. Es zeigt sich, dass die Koektufaktoen fü die Subdämpfungsmatizen fü die Wete ohne und mit auschen seh gut übeeinstimmen. Hie stellt sich ebenfalls eine gute Konvegenz ein und die vogegebene Fehleschanke wid nach 4 bzw. 6 Iteationsschitten eeicht.

93 Egebnisse 79 Methode o.. m.. Scheibe 1 Scheibe 2 2-1,4281 0, ,4326 0,9354 ges. Koektufaktoen 1,4285 0,9091 Tabelle 7.8: Emittelte Koektufaktoen de Subdämpfungsmatizen bei 1080 pm

94 80 Egebnisse Simulationsegebnisse bei 1800 pm Die zuvo duchgefühten Untesuchungen wuden in einem nächsten Schitt bei eine Dehzahl von 1800 pm duchgefüht. Tab. 7.9 und Tab zeigen die emittelten Dämpfungsgade und Eigenkeisfequenzen ohne und mit auschen. Man sieht hie ein ähnliches Vehalten wie bei de Dehzahl 1080 pm. Mode D M /% D FE /% D /% ω M /s 1 ω FE /s 1 ω /% MAC /% MAC L /% 1 2,80 3,05-9,17 71,25 70,35 1,26 99,89 99,88 2 4,19 4,32-3,07 147,03 143,64 2,31 99,90 99,90 3 2,62 2,31 11,54 232,43 228,17 1,83 99,81 99,81 4 1,88 1,70 9,21 270,54 264,69 2,16 99,75 99,75 5 1,32 0,87 34,47 603,69 628,42-4,10 95,30 95,30 6 0,25 0,06 74,59 863,83 800,97 7,28 51,25 60,26 7 0,71 0,22 69,41 864,16 894,19-3,47 30,27 24,08 8 1,06 0,89 16, , ,90 5,03 98,70 98,70 9 1,94 1,98-2, , ,60 0,37 99,77 99, ,83 1,85-1, , ,30 0,23 99,73 99,73 Tabelle 7.9: Identifiziete und beechnete Dämpfungsgade und Eigenkeisfequenzen (ohne auschen) bei 1800 pm Mode D M /% D FE /% D /% ω M /s 1 ω FE /s 1 ω /% MAC /% MAC L /% 1 2,80 3,05-9,17 71,64 70,35 1,81 99,42 99,39 2 4,19 4,32-3,07 148,57 143,64 3,32 99,24 99,24 3 2,62 2,31 11,54 233,10 228,17 2,11 99,43 99,45 4 1,88 1,70 9,21 274,33 264,69 3,51 98,97 98,98 5 1,32 0,87 34,47 605,39 628,42-3,80 94,95 95,00 6 0,25 0,06 74,59 877,96 800,97 8,77 52,09 61,16 7 0,71 0,22 69,41 867,22 894,19-3,11 28,77 21,42 8 1,06 0,89 16, , ,90 6,01 98,11 98,10 9 1,94 1,98-2, , ,60 1,83 99,15 99, ,83 1,85-1, , ,30 1,71 99,10 99,11 Tabelle 7.10: Identifiziete und beechnete Dämpfungsgade und Eigenkeisfequenzen (mit auschen) bei 1800 pm Als Nächstes efolgt auch hie eine Koektu de Steifigkeitsmatix (Tab. 7.11).

95 Egebnisse 81 Methode modifiziet ohne auschen mit auschen ohne auschen mit auschen ohne auschen mit auschen Mode D/% ω/% D/% ω/% D/% ω/% D/% ω/% D/% ω/% D/% ω/% 1-2,99 0,00-1,79-0,71 0,67-1,48 6,81-2,36-0,69-0,83 7,71-2,79 2 0,77 0,01 1,71-0,61 3,84-1,13 8,16-0,87 2,67-0,58 8,88-1, ,32 0,00 10,05-0,73 11,89-0,70 16,21 3,98 11,44-0,23 16,06 3,18 4 7,32 0,00 6,63-0,59 8,30 0,03 10,72 3,70 8,28 0,27 10,43 3,20 5 1,36 0,00-1,65-0,56 3,31-0,18-7,03 3,90 4,56 0,21-7,79 3,78 6 0,28 0,00-88,07-0,67-19,09 0,79 18,22 3,62-31,71 1,48 17,81 3,55 7-0,10 0,00-31,52-1,06 90,64-0,34 31,25 2,49 91,79-0,13 31,25-3,29 8 0,10 0,00-0,10-0,92 9,67 0,09 32,75-3,26 7,12 0,63 32,43-3,79 9 0,04 0,00 3,20-1,55 8,26-1,93 20,50 1,96 5,25-1,11 22,71 1, ,03 0,00 2,74-1,50 4,55-1,60-10,16 3,71 2,75-0,90-7,48 2,77 Tabelle 7.11: Abweichung de koigieten Dämpfungsgade und Eigenkeisfequenzen des FE-Modells nach Koektu de Steifigkeitsmatix bezogen auf die identifizieten Dämpfungsgade und Eigenwete bei 1800 pm

96 82 Egebnisse Tab zeigt die Dämpfungsgade und Eigenkeisfequenzen analog zu Tab. 7.5 nach de Koektu de Steifigkeitsmatix bei 1800 pm. Im Vegleich zu Koektu bei 1080 pm fällt auf, dass die Ehöhung de Dehzahl eine Veschlechteung de Egebnisse sowohl bei den Dämpfungsgaden als auch bei den Eigenkeisfequenzen zu Folge hat. Diese Veschlechteung de Egebnisse kann auf die gyoskopischen Effekte zuückgefüht weden, die sich im höheen Dehzahlbeeich deutliche bemekba machen (Abb und 3.18). Methode o.. m.. Scheibe 1 Diving-Point Scheibe modifiziet modifiziet ges. Koektufaktoen 1,4285 0,9091 1,1111 1,2500 0,8696 Tabelle 7.12: Emittelte Koektufaktoen de Substeifigkeitsmatizen bei 1800 pm In Tab sind die emittelten Koektufaktoen fü die Substeifigkeitsmatizen aufgefüht. Festzustellen ist, dass ein deutlich schlechtees Egebnis eeicht wid als bei de Dehzahl 1080 pm. Methode 2 ohne auschen mit auschen Mode D /% ω /% D /% ω /% 1 0,00 0,00-0,72-0,15 2 0,00 0,00 0,03 0,43 3 0,00 0,01 0,51-0,44 4 0,01 0,00-0,82 0,80 5-0,03 0,00-2,42-0,28 6-0,68 0,00-88,28 0,95 7-0,28 0,00-31,70-0,71 8-0,03 0,00-0,24 0,13 9-0,02 0,00 3,15-0, ,02 0,00 2,69 0,01 Tabelle 7.13: Abweichung de koigieten Dämpfungsgade und Eigenkeisfequenzen des FE-Modells nach Koektu de Dämpfungsmatix bezogen auf die identifizieten Dämpfungsgade und Eigenwete Tab zeigt die emittelten Koektufaktoen fü die Subdämpfungsmatizen. Es zeigt sich auch hie, dass die Koektufaktoen bei eine Dehzahl von 1800 pm fü

97 Egebnisse 83 die Subdämpfungsmatizen fü die Wete ohne und mit auschen seh gut übeeinstimmen. Es stellt sich eine gute Konvegenz ein und die vogegebene Fehleschanke wid nach 4 bzw. 6 Iteationsschitten eeicht. Methode o.. m.. Scheibe 1 Scheibe ges. Koektufaktoen 1,4285 0,9091 Tabelle 7.14: Emittelte Koektufaktoen de Subdämpfungsmatizen bei 1800 pm Vegleicht man die emittelten Koektufaktoen de Steifigkeits- und Dämpfungsmatix fü die beiden Dehzahlen 1080 pm und 1800 pm, so fällt auf, dass die Koektufaktoen de Steifigkeitsmatix bei 1800 pm (Tab. 7.12) deutlich schlechte sind als die Koektufaktoen bei 1080 pm (Tab. 7.6). Es kann zwa auch hie noch eine deutliche Fehleminimieung eeicht weden, abe es zeigt sich, dass sich bei den Eigenvektoen de Einfluss de Dehzahl deutlich bemekba macht. Dieses Vehalten ist insbesondee bei de Beücksichtigung des auschens festzustellen. Hingegen stimmen die Koektufaktoen de Dämpfungsmatix fü beide Dehzahlen gut übeein.

98 84 Egebnisse Modellkoektu mit Hilfe von simulieten Fequenzgängen In diesem Abschnitt soll die Eignung de Fequenzgänge zu Modellkoektu beuteilt weden. Es wude die Fequenzgangmatix fü die Dehzahl 1080 pm und 1800 pm mit den fehlehaften Systemmatizen beechnet und anschließend mit de Fequenzgangmatix des fehlefeien FE-Modells veglichen. Fü die Beuteilung de Güte de Fequenzgänge wuden in Kapitel 5.4 zwei Gütekiteien vogestellt. Diese Gütekiteien (FAC- und FSC-Kiteium) emöglichen es, einen Fequenzbeeich auszuwählen, de sich zu Modellkoektu eignet. Die Abbildungen 7.1 und 7.2 zeigen den simulieten und unkoigieten Fequenzgang am Diving-Point sowie das FAC- und FSC-Kiteium in Abhängigkeit de Eegekeisfequenz bei 1080 pm. Zu Beechnung de beiden Kiteien wude jeweils die Spalte de Fequenzgangmatix am Diving-Point vewendet (Spalte 41 de FF-Matix im FE-Modell). Beim FAC-Kiteium liegt ein Goßteil des Fequenzbeeiches übe einem Wet von 0,8. Nu im Beeich de esonanzen ist ein deutliche Einbuch festzustellen. Da das FAC-Kiteium die Phasenlage unbeücksichtigt lässt, wude zusätzlich das FSC- Kiteium beechnet. Hie zeigt sich deutlich, dass ein Goßteil des Fequenzbeeiches unte 0,5 liegt, was auf einen Fehle bei de Phasenlage hindeutet. Hevozuheben ist hie de Eegekeisfequenzbeeich zwischen 100 und 1300 s 1. Festzustellen ist, dass ab eine Eegekeisfequenz von 1300 s 1 bei beiden Kiteien ein Wet von 0,8 voliegt. D.h., diese Beeich wüde sich fü eine Modellkoektu eignen. Nachteil ist abe, dass de fü die Koektu elevante Fequenzbeeich von 500 bis 1300 s 1 unbeücksichtigt bleiben wüde. Hieaus folgt, dass die identifizieten Fequenzgänge sich nicht fü eine Modellkoektu eignen. Abbildungen 7.3 und 7.4 zeigen den simulieten und beechneten Fequenzgang am Diving- Point sowie das FAC- und FSC-Kiteium in Abhängigkeit de Eegekeisfequenz bei 1800 pm. Zu Beechnung de beiden Kiteien wude ebenfalls die Spalte de Fequenzgangmatix am Diving-Point vewendet. Es zeigt sich dasselbe Vehalten wie bei de Dehzahl 1080 pm. Festzuhalten bleibt, dass die Systemmatizen von otoen mittels Fequenzgängen nicht koigiet weden können, wenn man das FSC-Kiteium als Gütekiteium vewendet. Zieht man zu Beuteilung das FAC-Kiteium hean, so ist eine Modellkoektu fü beide Dehzahlen duchfühba. In [35] wude gezeigt, dass mit Hilfe von Fequenzgängen ein elativ gutes Egebnis bei de Koektu de Systemmatizen eeicht weden kann. Im ahmen diese Abeit wude auf eine Koektu de Systemmatizen mittels Fequenzgängen vezichtet.

99 Egebnisse Fequenzgang in Abhängigkeit de Eegekeisfequenz (Diving Point) H DP [m/n] unkoigiete FF simuliete FF Ω / s 1 1 FAC in Abhängigkeit de Eegekeisfequenz 0.8 FAC Ω / s 1 Abbildung 7.1: Unkoigiete und simuliete Fequenzgang am Diving-Point und FAC-Kiteium bei 1080 pm 10 5 Fequenzgang in Abhängigkeit de Eegekeisfequenz (Diving Point) H DP [m/n] unkoigiete FF simuliete FF Ω / s 1 FSC in Abhängigkeit de Eegekeisfequenz FSC Ω / s 1 Abbildung 7.2: Unkoigiete und simuliete Fequenzgang am Diving-Point und FSC-Kiteium bei 1080 pm

100 86 Egebnisse H DP [m/n] 10 5 Fequenzgang in Abhängigkeit de Eegekeisfequenz (Diving Point) unkoigiete FF simuliete FF Ω / s 1 1 FAC in Abhängigkeit de Eegekeisfequenz 0.8 FAC Ω / s 1 Abbildung 7.3: Unkoigiete und simuliete Fequenzgang am Diving-Point und FAC-Kiteium bei 1800 pm 10 5 Fequenzgang in Abhängigkeit de Eegekeisfequenz (Diving Point) H DP [m/n] unkoigiete FF simuliete FF Ω / s 1 1 FSC in Abhängigkeit de Eegekeisfequenz 0.5 FSC Ω / s 1 Abbildung 7.4: Unkoigiete und simuliete Fequenzgang am Diving-Point und FSC-Kiteium bei 1800 pm

101 Egebnisse Expeimentelle Vountesuchungen am stillstehenden oto Vo de Modellkoektu des otos wuden im ahmen von Vountesuchungen veschiedene Tests duchgefüht. Es wuden zwei Vesuchskonfiguationen betachtet: oto mit Lageung fei-fei (hiezu wude de oto an Gummiseilen aufgehängt), oto mit Lageung fest-los (Ausgangskonfiguation im Stillstand im Vesuchsstand) oto mit Lageung fei-fei Abbildung 7.5: Aufgehängte oto Fü die expeimentelle Modalanalyse wude de oto, wie in Abb. 7.5 dagestellt, ausgebaut und an zwei Gummiseilen aufgehängt. Die Anegung de Welle efolgte mit einem Modalhamme an veschiedenen Punkten de Welle. Die Schwingungen de Welle wuden duch einen Beschleunigungsaufnehme am Diving-Point gemessen. Anschließend wuden die esten 8 Eigenkeisfequenzen mit Hilfe de Stuctual Dynamic Toolbox (SDT) emittelt [18]. Zusätzlich wuden die esten 8 Eigenkeisfequenzen des otos mit Hilfe des FE-Modells beechnet, wobei die Dämpfung venachlässigt wude. Tab zeigt den Vegleich de esten 8 identifizieten Eigenkeisfequenzen mit den esten 8 beechneten Eigenkeisfequenzen. Aufgund de Symmetie teten die Eigenkeisfequenzen des