Mechanik, Januar 2008

Transkript

1 Mecanik, Januar Ein Staltift wird it einer Spitze der Fläce A = 20 2 auf ein Kupferblec aufgeetzt. Mit eine Haer der Mae = 400g wird auf den Stift geclagen. er Haer at kurz vor de Aufprall die Gecwindigkeit v = 5,0 und wird in der Zeit t = 4, auf null abgebret. Welcen ruck übt die Spitze de Stifte wärend de Abbrevogang de Haer auf da Kupferblec au? v A Löung: a = v t = 5,0 4, = = F = a = 0,4kg = 5,0 103 N p = F A = 5,0 103 N = 2,5 108 Pa = 2, MPa Löung: 2. Ein Langläufer (Skating) gleitet über eine Harcdecke, da it eine arte Scneecict über weice Pulvercnee. ie Harcdecke brict ein, wenn der ruck auf ie größer al 90Pa it. Wie lang u ein Ski der Breite b = 6,0c indeten ein, dait der Skater it der Mae = 90kg nict einbrict? Beacte, da bei Skaten die eite Zeit nur ein Ski belatet wird. Löung: 3. Abcätzung der icte von Luft er Luftdruck auf Meereöe beträgt bei 20 C i Mittel p 0 = 1013Pa, in Garic (700über demeer) it anebenfall bei 20 Cden ittleren Luftdruck p 1 = 932Pa. Scätze it dieen aten die icte L der Luft bei 20 C ab. Welce Vereinfacungen verwendet du? It die tatäclice icte größer oder kleiner al dein berecneter Näerungwert? 1

2 4. Eine Waerpupe betet au einer Luftpupe P und einer Kaer K. ie Luftpupe entfernt die Luft au K, o da in K idealerweie der ruck p 0 = 0 (Vakuu) errct. Von K reict ein Ror zu tiefer gelegenen Waer, da eraufgepupt werden oll. Nict da Vakuu augt da Waer nac oben, ondern der Luftdruck p L an der Oberfläce de unteren Waerpiegel drückt da Waer inauf. Welce aiale Höe kann da Waer it dieer Pupe geoben werden? p L K p 0 P Luft p L Löung: Löung: 5. Queckilber at die icte = 13,55 g c 3. In welcer Tiefe errct in Queckilber der ruck 1000 Pa? Wie kann an it Queckilber und Glaroren ein Luftdruckegerät (Baroeter) bauen? Löung: 6. a kreiförige Bullauge einer Taucglocke at den Radiu r = 15 c. Welcer Kraft F u da Bullauge tandalten, wenn die Glocke tief tauct(grund de Marianengraben)? Welce Mae at eine Gewictkraft, die gleic der Kraft F it? 7. Für die Flüigkeit in nebenteend abgebildeter Hydraulik darf angenoen werden, da ie total inkopreibel it, ic alo nict zuaendrücken lät. (a) Beweie, da die von der Kraft F 1 a Stepel 1 verrictete Arbeit W 1 gleic der vo Stepel 2 verricteten Arbeit W 2 it. (b) Für die Hydraulik einer Autopree gilt: F 1 = 8, N F 2 = 4, N A 2 = 2500c 2. A 1 F 1 Stepel 1 A 2 F 2 Stepel 2 Berecne A 1. Wie weit u ic der Stepel 1 bewegen, wenn ic Stepel 2 u 1,5 nac rect bewegt? Wie kann an da Proble de langen Wege von Stepel 1 tecnic löen? 2

3 Löung: Löung: 8. Ei at die icte E = 0,917 g c 3. Ein Eiwürfel der Mae E = 20g cwit in eine Gla it V W = 200c 3 Waer, die Grundfläce de zylindricen Glae it (innen) A = 20c 2. Wieviel Prozent de Eivoluen ind oberalb de Waer? U wieviel teigt der Waerpiegel, wenn der Eiwürfel ganz cilzt? 9. er Fülltandanzeiger eine großen Waertank betet au eine Ror it eine gut eingepaten, reibungfrei beweglicen Stepel der Quercnittfläce A = 4,00c 2 und einer Feder it der Härte = 196 N. One Waer ( = 0) cließt der Stepel it de linken Ende de Ror ab (iee Abbildung). er Fülltand de Waer beträgt jetzt = 5,00. Berecne den ruck p a Boden de Tank, die Kraft F auf den Stepel und die Strecke, u die die Feder zuaengedrückt wird. Löung: p = Waer g = 1000 kg 3 9,81 N 5 = 49050Pa 491Pa kg F = pa = N = 19,62N 19,6N p A = 0 0 F = = = F = 19,62N 196 N = 0,100 = 10,0c 10. Ein Aluquader it den Kantenlängen a = 5,00 c, b = 7,00c und c = 9,00c ängt an einer Federwaage, die die Kraft F 1 = 8,35N anzeigt. Welce Kraft F 2 zeigt die Waage an, wenn der ganze Quader in ein it Waer gefüllte Gefäß getauct wird? F 1 F 2 3

4 Löung: Auftrieb = Gewictkraft de verdrängten Waer: F A = Waer Vg = 1 g c }{{} c 3 9,81 N kg = 0,315kg 9,81 N kg = 3,09N 315 F 2 = F 1 F A = 8,35N 3,09N = 5,26N 11. Ein ICE at it der Lok die Geatae M = 327t, die Lok allein at die Mae = 72,0 t. ie Haft- und Gleitreibungzalen zwicen den Rädern de Zuge und den Gleien ind µ H = 0,150 und µ = 9, , die Rollreibung darf vernacläigt werden. (a) Welce aiale Becleunigung a kann der Zug auf waagrecten Scienen erreicen, wenn die Motorkraft beliebig groß it? (b) er Zug beginnt zur Zeit t 0 = 0 bei 0 = 0 eine Bewegung it eben dieer aialen Becleunigung, bi zur Zeit t 1 = 150 die Notbree gezogen wird. abei blockieren alle Räder de Zuge. Berecne den Breweg und zeicne ein tv- und ein t-iagra der ganzen Bewegung in geeignet gewälten Eineiten. (c) Unteruce, ob uner Zug für die Befarung der Strecke Garic-Klai (220 Höeneter auf 11 k Streckenlänge) geeignet it. Je er Apekte dein Gutacten entält, u o beer! Löung: (a) ie aiale Antriebkraft it die Haftreibungkraft der Lok: Ma = µ H g = a = µ H M g = 0,324 2 (b) v 1 = v(t 1 ) = at 1 = 48,6 = 175 k ie Breverzögerung (Betrag der Becleunigung bei Breen) it v 30 a = µmg M = µg = 0,883 2 Mit der Brezeit t = v 1 a = 55,0 it der Breweg (t) = t = a 2 t2 = v2 1 2a = 1,34k { a 2 t2 für t t 1 1 +v 1 (t t 1 ) a 2 (t t 1) 2 für t > t (c) ie Steigung der Strecke it tanϕ = 0,22k 11k = 0,02, d.. ϕ = 1,15. Mit de Hangabtrieb F H = Mginϕ und der Noralkraft der Lok F N = gcoϕ t t

5 it die aiale Antriebkraft bei Bergauffaren F = µ H gcoϕ Mginϕ = Ma er Zug cafft alo noc die Becleunigung ( a = µ H )g M coϕ inϕ = 0,128 2 Maiale Steigung: tanϕ a = µ H M = 0,033 = ϕ a = 1, Ein auf eine Hocaudac in Bedrängni geratener Spion veruct ic durc einen Sprung über die = 12,0 breite Straßenfluct auf da u = 5,00 tiefer gelegene ac de Nacbaraue zu retten. Gee davon au, da e ic bei de Verfolgten u einen guten Sprinter andelt (100 in 10,0 ) und unteruce die Erfolgauicten eine Voraben. eine Ergebnie ind durc Zeicnungen und Recnungen zu belegen, der Luftwidertand darf vernacläigt werden. Löung: Mit v 0 = 10, v 0 = v 0 coϕ und v y0 = v 0 inϕ folgt für die Sprungdauer t: y(t) = +(v 0 inϕ) t g 2 t2 = 0 y v 0 ϕ it der Löung t = 1 g [ ] v 0 inϕ ( ) + 2g+(v0 inϕ) 2 w ie Weite de Sprung it w = (v 0 coϕ) t = v 0coϕ g [v 0 inϕ+ 2g+(v 0 inϕ) 2 ] ϕ ,1 11,8 12,0 13,3 14,2 14,2 13,9 w 13. Ein Zirkuartit ( lebende Kanonenkugel ) der Mae = 68,0kg lät ic von einer Federkanone in die Höe cießen. ie Feder der Härte = 1600 N wird dabei u d = 2,50 zuaengedrückt (iee Abb.). Berecne die Mündunggecwindigkeit v 0 und die aiale Höe de Artiten über der Mündung der Kanone für 5 d v 0 (a) d (b) ϕ v 0

6 (a) eine enkrect teende Kanone (b) eine u ϕ = 60 gegen die Horizontale geneigte Kanone. Veruce auc (b) it de Energieatz zu löen. Überlege dir zuert, welce Gecwindigkeit v 1 der Artit i öcten Punkt einer Flugban at. u kannt auc (a) al Spezialfall von (b) beandeln! Löung: (a) 2 d2 = 2 v2 0 +gd = v 0 = v y0 d 2 2gd = 9,90 2 d2 = g(+d) = = d2 d = 7,50 2,50 = 5,00 2g ( ) ( ) ( ) v0 v0 coϕ v0 (b) v 0 = =, v v 0 inϕ 1 = 0 2 d2 = 2 v2 0 +gdinϕ = d 2 v 0 = 2gdinϕ = 10,2 2 v2 0 = g+ 2 v2 0 = = v2 0 v2 0 2g = 4,00 = v2 0 (1 co2 ϕ) 2g = v2 0 in2 ϕ 2g ie Ergebnie von (a) erält an it ϕ = 90. v 0 v d v 0 ϕ v y dinϕ v Ein Kletterer der Mae = 70kg erklit einen Feltur der Höe = 27,0 und türzt ic dann it eine Hectprung in Meer. (a) Welce Hubarbeit W H verrictet er bei Auftieg? (b) Erläutere genau, welce Arbeit wärend de Sprung a Kletterer verrictet wird und in wa diee Arbeit verwandelt wird. (c) Mit welcer Gecwindigkeit v trifft der Wageutige auf die Waeroberfläce? Ergebni in und in k. v Meer Löung: (a) W H = g = 70kg 9,81 N kg 27 = 1, J (b) Wärend de Sprungwirkt ier die Gewictkraft F G = g auf den Kletterer und zwar über die ganze Strecke. ealb wird a Kletterer die Arbeit W = g verrictet und diee wird in kinetice Energie verwandelt. 6

7 (c) g = 2 v2 = v 2 = 2g = = v = 2g = 23,0 = 82,9 k 15. Ein Eienbanwaggon der Mae = 1, kg prallt it der Gecwindigkeit v = 0,52 auf eine tarke Feder it der Federkontanten. er Waggon kot zu Stilltand, wenn die Feder u = 65 c zuaengedrückt it. v (a) Welce Energieuwandlung tritt wärend de Brevorgang auf? (b) Berecne. Löung: (a) ie kinetice Energie de Waggon wandelt ic in die Spannenergie der Feder u. (b) 2 v2 = 2 2 = = v2 2 = 1,5 104 kg 0, , = 9, N 16. Bei eine Waerkraftwerk fallen in t = 1,50in Waer auf die = 150 tiefer liegenden Turbinen (ein Liter Waer at die Mae 1 kg). er Wirkunggrad der Anlage beträgt 80%. Berecne die Leitung P W de fallenden Waer und die von den Generatoren abgegebene elektrice Leitung P e. Löung: 1 3 = 1000d 3 W = g = 294,3MJ = = kg = kg P W = W = g = 294,3MJ = 3,27MW t t 90 P e = 0,8 P W = 2,62MW 17. Ein Elektrootor nit die elektrice Leitung P e = 60,0W auf und etzt ie it de Wirkunggrad η = 65,0% in ecanice Leitung u. Wie lange dauert e, bi dieer Motor eine Feder it = 3900 N u = 5,00c gedent at? c Löung: ie ecanice Leitung de Motor it P = ηp e = 39W. W = P t = 2 2 t = 2 = 3900 N c 25c2 2P 2 39W = 2500Nc 2J = 25N 2N = 12,5 18. Ein Auto der Mae = 900kg färt auf einer Straße one Steigung. er Motor erteilt de Farzeug die Antriebkraft F A = 2,5kN, die Rollreibungkraft beträgt F R = 400N. Vo Luftwidertand kann abgeeen werden, da da Auto noc langa färt. Berecne die Becleunigung a de Auto und die Reibungzal µ. 7

8 Löung: F = F A F R = 2100N = a = F F R = µg = µ = F R g = 400N 900kg 9,81 N kg = 2100 kg 2 900kg = 0,045 = 2, Nebenteende Abbildung zeigt den Sturz eine Kletterer der Mae in ein Seil. Bei 0 = 0 beginnt der Sturz it der Gecwindigkeit v 0 = 0, bei 1 = 6,0 it da Seil gerade gepannt und beginnt ic zu denen, bei 2 = 9,0erreict der Kletterer den tieften Punkt, der al Nullpunkt der potentiellen Energie verwendet wird. In der ganzen Aufgabe it der Luftwidertand zu vernacläigen und it de Wert g = 10 2 für die Fallbecleunigung zu recnen! (a) Screibe einen kurzen aber volltändigen Zeitungberict über den Sturz, in de e nur u die beteiligten Energieforen und u ire Uwandlungen ineinander get. er Berict oll o beginnen: A Ort 0 it nur (b) Begründe genau, waru der Graf der Funktion W p () (potentielle Energie de Kletterer, it der Ort de Kletterer) eine Gerade it und zeicne ie in da unten angegebene iagra ein. (c) I iagra ind con zwei Werte der Funktion W S () (Spannenergie de Seil in Abängigkeit vo Ort de Kletterer) eingezeicnet; erittle durc Überlegen (natürlic it Protokoll deiner Gedanken) oder durc Recnung noc weitere Werte von W S und zeicne auc den Grafen von W S ein. (d) Zeicne den Grafen der Geatenergie W ge ein. Becreibe kurz, wie an au den vorandenen Grafen den der kineticen Energie W k finden kann. Fülle nebenteende Wertetabelle au und zeicne dann den GrafenvonW k indaiagraein. Welce Gecwindigkeit in k at der Kletterer bei = 6,0? W ge() J W p() J W S () J W k () J 8

9 Verwende verciedene Farben (nict rot!) für die Grafen und becrifte ie! W J W p(0) W S (8) 2000 W S (7) W p(9) (e) Wie groß ind die Mae de Getürzten und die Federkontante de Seil? A Ort 3, an de der Kletterer eine größte Gecwindigkeit at, it die Geatkraft F auf in null, d.. F( 3 ) = 0; waru? Berecne 3. Löung: (a) A Ort 0 it nur die potentielle Energie de Kletterer größer al null. Zwicen 0 und 1 wird W p ier kleiner und verwandelt ic in kinetice Energie; die Spannenergie de Seil it ier noc null. Zwicen 0 und 1 verwandelt ic die retlice potentielle und die kinetice Energie in Spannenergie, bi zu Sclu bei 2 die ganze anfänglice potentielle Energie in Spannenergie ugewandelt wurde. (b) ie Höe de Kletterer über de tieften Punkt it = 9, d.. W p = g = g(9 ) = g 9 g a it eine lineare Funktion von. (c) W S () = 0 für 0 1. WS( 2 ) = 9000J. (d) W ge = 9000J. Au de Energieatz W p +W k +W S = W ge folgt W k () = W ge () W p () W S () W ge() J W p() J W S () J W k () J v2 = g 1 = v 2 = 2g 1 = = v = 11 = 39 k 9

10 W J 9000 W ge 5000 W p W k W S (e) ie aiale Seildenung it = 3. W ge = g 2 = = W ge = 9000J = 100kg g N kg 2 2 = W ge = g 2 = = 2g 2 2 = J 9 2 = 2000 N ie Gecwindigkeit wird größer, olange die Becleunigung nac unten(in Rictung der -Ace) zeigt, d.. a() > 0 für < 3 und a() < 0 für > 3. E gilt alo a( 3 ) = 0 und dait F( 3 ) = 0. F( 3 ) = g 3 = 0 = 3 = g = 100kg 10 N kg 2000 N E gilt alo 3 = = 6,5 = 0,5 20. er Prellbock a Ende eine Gleie entält zwei tarke Federn der Härte = 2, N (je Feder). Ein Waggon der Mae = 18t prallt it der Gecwindigkeit v = 18 k auf den Prellbock. Berecne die kinetice Energie de Waggon vor de Aufprall und die Strecke, u die die Federn zuaengedrückt werden. Federn Löung: W k = ( 2 v2 = 9000kg 5 ) 2 = J = = 2 2 = W k = 0,09, = 0,3 10

11 21. (a) Welce Hubarbeit verrictet ein Bauarbeiter der Mae = 75 kg, der einen Zeentack der Mae 1 = 40kg vo Garten in den zweiten Stock trägt ( = 7,2)? (b) Welce Reibungarbeit wird von Käptn Hook verrictet, der eine Scatzkite it der kontanten Kraft F = 120N 80 über den Boden cleift? (c) Welce Becleunigungarbeit wird an einer Gewerkugel der Mae = 25 g verrictet, die von null auf v = 410 becleunigt wird? (d) Welce Spannarbeit wird an einer Feder der Härte = 4500 N verrictet, die vo entpannten Zutand au u 6,4 c zuaengedrückt wird? Löung: (a) W = (+ 1 )g = 115kg 9,81 N 7,2 = 8,1kJ kg (b) W = 120N 80 = 9600J = 9,6kJ (c) W = 2 v2 = 0,025kg = 2,1 103 J = 2,1kJ (d) W = 2 2 = 4500 N 2 0, = 9,2J 22. (a) Mit welcer Gecwindigkeit prallt ein Stein auf den Boden, der von eine 24,0 oen Tur fällt? Ergebni in und k. (b) Ein Eienbanwaggon der Mae prallt it der Gecwindigkeit v = 0,52 auf eine tarke Feder it der Federkontanten = 9, N. er Waggon kot zu Stilltand, wenn die Feder u = 65c zuaengedrückt it. Berecne. Löung: (a) 2 v2 = g = v 2 = 2g = 470, (b) 2 v2 = 2 2 = = 2 v 2 = v = 21,7 = 78,1 k = 9,6 103 kg 2 0, , = 1, kg 23. Han und Eva pielen it Würfeln der Kantenlänge a = 12c und der Mae = 400g. Han tapelt act der Würfel, die alle auf de Boden liegen, der Reie nac aufeinander zu eine Tur. Eva ciebt ebenfall act Würfel auf de Boden zu eine Tur zuaen und tellt dann den ganzen Tur auf einal enkrect. (a) Welce Geatarbeit W H verrictet Han an den Würfeln? (b) Welce Arbeit W E verrictet Eva bei Auftellen de Tur? Tipp: u darft dir die ganze Mae de Tur in eine Mittelpunkt (Scwerpunkt) vereint denken. Löung: (a) er erte Würfel bleibt liegen, alo 1 = 0, der zweite Würfel wird u 2 = a geoben, der dritte u 3 = 2a uw.: W = g 1 +g g 8 = g(a+2a a) = = ga( ) = 28ga = 13,2J 11

12 (b) Wenn der Tur a Boden liegt, it der Scwerpunkt in der Höe 1 = a 2, bei enkrect teenden Tur in der Höe 2 = 4a. er Scwerpunkt wird u 2 1 geoben: ( W = 8g 4a a ) = 8g 7a 2 2 = 28ga a 2 S S 4a 24. Mit drei quaderförigen, a Boden liegenden Betonblöcken wird ein Modell eine Teil von Stoneenge (recte Figur in der Abbildung) errictet. a 1 = 7,00 a 2 = 5,00 b = 1,60 1 = 45,0t 2 = 32,0t b a 1 a 1 a (a) Welce Geatarbeit W ge wird bei Aufricten der Blöcke verrictet? u darft dir die ganze Mae der Betonblöcke in iren Mittelpunkten (Scwerpunkten) vereint denken. (b) er obere Block wird von eine Kran vo Boden au in eine Endlage gebract. er Kran wird von eine Elektrootor it der elektrice Leitung P e = 10,0kW und de Wirkunggrad 80% angetrieben. Wie lange dauert da Aneben de Block? (c) urc eine Unvorictigkeit fällt der obere Block wieder erunter. Mit welcer Gecwindigkeit v prallt er auf den Boden? ( a1 Löung: (a) W 1 = 2 1 g 2 b ) = 90000kg 9,81 N 2 kg 2,7 = 2, J W 2 = 2 ga 1 = 32000kg 9,81 N kg 7 = 2, J W ge = W 1 +W 2 = 4, J (b) 80% P e t = W 2 = t = W 2 = 2, J 0,8P e 8000 J = 275 (c) 2 v2 = ga 1 = v = 11,7 = 42 k = v 2 = 2ga 1 = 2 9, = 137, Ein Auto färt it der kontanten Gecwindigkeit v = 126 k dain und wird dabei von der Kraft F A = 400N angetrieben. auf der Autoban 12

13 (a) Becreibe ganz genau, waru da Auto trotz der Antriebkraft nict becleunigt wird! (b) Wie it die pyikalice Größe Leitung definiert? Augeend von dieer efinition it die Leitung zu berecnen, die der Autootor wärend der Fart aufbringt. Löung: (a) ie Reibungkraft (Rollreibung und Luftwidertand) wirkt der Antriebkraft entgegen, die Geatkraft auf da Auto it null. F ge = F A F R = a = 0 = a = 0 = v = kontant (b) P = W t = F A t = F A v = 400N 35 = 14kW 26. Screibe in die Kätcen entweder w für war oder f für falc: Energie it gepeicerte Arbeit... it Leitung pro Zeit... at die Eineit J 2 N... it Zeit al Leitung... at die Eineit W... it Kraft durc Weg... it in eine abgecloenen Syte kontant... at die Eineit N c Rau für erforderlice Nebenrecnungen: Löung: Energie it gepeicerte Arbeit w... it Leitung pro Zeit f... at die Eineit J2 N w... it Zeit al Leitung w... at die Eineit W w... it Kraft durc Weg f... at die Eineit N c w Rau für erforderlice Nebenrecnungen: J 2 N = J2 J = J, W = J = J... it in eine abgecloenen Syte kontant w 27. Grundwien: (a) Welce Kraft becleunigt ein Auto der Mae = 900kg in t = 7,5 von null auf v = 90 k und wie lang it der Becleunigungweg? 13

14 (b) Ein ruender Torwart (M = 72,0kg) fängt den Ball der Mae = 450g, der in it der Gecwindigkeit v = 32,2 trifft. Mit welcer Gecwindigkeit V reißt e den Torwart von den Füßen? (c) Welce Gecwindigkeit erreict an nac eine freie Fall au zen Metern Höe? Löung: (a) a = v t = 25 7,5 = 3,3 2, F = a = 3,0 103 N = a 2 t2 = vt = 93, (b) v = (M +)V = V = v M + = 0,20 (c) 2 v2 = g = v = 2g = 14,0 = 50,4 k Löung: 28. EineKugelderMae 1 = 2tößtitderGecwindigkeit v zentralundelatic auf eine ruende Kugel der Mae 2 =. Berecne it Hilfe der Eraltungätze (keine fertigen Foreln!) die Gecwindigkeiten u 1 und u 2 der beiden Kugeln nac de Stoß. Ipulatz: 2v = 2u 1 +u 2 = 2v = 2u 1 +u 2 (1) Energieatz: v 2 = u u2 2 = 2v 2 = 2u 2 1 +u 2 2 (2) (2) in (1) : 2u (v u 1) 2 = 2v 2 u u 1v + 6u 2 1 8vu 1 = 2v 2 ( 2v 3 u 1 = v 3 ) 2 = v v2 9 = v2 9 [u 1 = v] u 2 = 2(v u 1 ) = 4 3 v 29. Eine Kugel der Mae = 40,0g, die reibungfrei in einer Röre gleitet, fällt au der Höe = 5,25c auf eine Feder der Härte = 19,62 N. ei die Koordinate de unteren Rande der Kugel. (a) Berecne ω, T, A und den Nullpunkt 0 der einetzenden aronicen Scwingung. (b) Wäle den Zeitnullpunkt o, da er de tieften Punkt der Bewegung entprict; dadurc wird der Graf von (t) acenyetric. Berecne t 1 und t 2 it (t 1 ) = 0 und (t 2 ) =. Screibe (t) für eine volle Periode der Bewegung in. Beacte, da nict die ganze Bewegung eine aronice Scwingung it! Wie lange dauert eine volle 14 0

15 Periode der Bewegung? Zeicne den Grafen von (t) ( t = 0,1 =2c, = 1c =0,5c). (c) Zeige, da der Graf von (t) eine glatte Kurve it (kein Knick). Zeicne auc die Grafen von v(t) und a(t). Löung: (a) ω = = 22,1 1, T = 2π ω = 0,284 Für 0 it die Kraft auf die Kugel ( it poitiv, zeigt alo nac oben) F() = g In der Gleicgewictlage (Nullpunkt der Scwingung) 0 gilt F( 0 ) = 0 g = 0 = 0 = g = 2,00c Für 0 it die Kraft auf die Kugel (g = 0 ) g F() = g = + 0 = ( 0 ) = it = 0. Für 0 it die Bewegung der Kugel alo tatäclic eine aronice Scwingung u 0. Pot. Energie it Bezugp. = 0: W 0 () = g+ 2 2 Pot. Energie it Bezugp. 0 : W p () = W 0 () W 0 ( 0 ) = g( 0 )+ 2 (2 2 0 ) W p () = g( 0 )+ 2 ( 0)(+ 0 ) = g + 2 (2 0 + ) = = g + }{{} ( )2 = 2 ( )2 g ie Geatenergie der Scwingung berecnen wir bei = 0: W(0) = W p (0)+W kin (0) = }{{} g = g MitderAplitudeAitdertiefte PunktderKugel bei 0 A.Wegen W kin ( 0 A) = 0 und W p ( 0 A) = 2 A2 folgt au de Energieatz W( 0 A) = W(0) = 2 A2 = = A = 0 ( 0 2) = 5,00c 15

16 (b) Für 0 gilt (t) = 0 Acoωt. Au (t 1 ) = 0 folgt coωt 1 = 0 A = t 1 = 0,0895 Fallzeit für die Höe : 2 τ = g = 0,103 ait it t 2 = t 1 +τ = 0,193. ie geate Scwingungdauer it c 4 2 t 2 t 1 t 1 t 2 t T ge = 2t 2 = 0,386. g 2 (t+t 2) 2 für t 2 t t 1 (t) = 0 Acoωt für t 1 < t < t 1 g 2 (t t 2) 2 für t 1 t t 2 (c) Für die Glatteit der Kurve üen wir zeigen, da li t t 1 li t t 1 ẋ(t) = li ẋ(t): t t + 1 ẋ(t) = li (Aωinωt) = Aωinωt 1 = Aω 1 co 2 ωt 1 = Aω t t 1 = ω A = ω g 2 0 = 2 = 2g li ẋ(t) = li ( g(t t 2 )) = g(t 1 t 2 ) = gτ = 2g t t + 1 t t + 1 g(t+t 2 ) für t 2 t t 1 v(t) = ẋ(t) = Aωinωt für t 1 < t < t 1 g(t t 2 ) für t 1 t t 2 g für t 2 t t 1 a(t) = v(t) = Aω 2 coωt für t 1 < t < t 1 g für t 1 t t A 2 = v 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 t 2 t 1 t 1 t 2 0,2 t 0,4 0,6 0,8 1,0 a t 2 t 1 t 1 t 2 t 10 16

17 30. Ein Wagen der Mae = 5,00 kg prallt zur Zeit t = 0 it der Gecwindigkeit v 0 = 1,57 auf eine aeloe Feder der Härte = 49,3 N. Al Ort de Wagen bezeicnen wir die -Koordinate eine recten Rande (iee Abbildung). v 0 t = 0 0 (a) U welce Strecke A wird die Feder zuaengetauct? Zu welcer Zeit t 1 gilt (t 1 ) = A? (b) Berecne den Ort und die Gecwindigkeit de Wagen zur Zeit t 2 = 0,250. (c) Wo it der Wagen zur Zeit t 3 = 2,00? Löung: (a) 2 v2 0 = 2 A2 = A = v 0 = 0,500 t 1 = T 4 = 1 4 2π ω = π 2 = 0,500 (b) (t) = Ainωt it ω = = 3,14 1 = (t 2 ) = 0,5 in0,785 = 0,353 v(t) = Aωcoωt = v(t 2 ) = 1,57 co0,785 = 1,11 (c) Zur Zeit T 2 = 1,00 löt ic der Wagen a Ort = 0 von der Feder: ( (t 3 ) = v 0 t 2 T ) = 1, = 1, Tarzan cwingt ic an einer Liane durc den Urwald (iee Abbildung). abei at ein Scwerpunkt zu repunkt die Entfernung L = 15,0, befindet ic = 25,0 über de Boden. Er tartet ruend zur Zeit t = 0 in der Lage 1 (ϕ 1 = 30 ). (a) Tarzan lät die Liane i tieften Punkt der Pendelbewegung lo (Lage 2 ). Wann (t 2 ) und wo ( 2 ) erreict er den Boden? Berecne die Koordinaten de Punkte P( 4 y 4 ), an de ic Tarzan zur Zeit t 4 = 3,00 befindet. (b) Tarzan lät die Liane i öcten Punkt der Pendelbewegung lo (Lage 3 ). Wann (t 3 ) und wo ( 3 ) erreict er den Boden? 1 L y 1 y y 0 nict aßtabgetreu! 3 T 3 T 2 Berecne die Koordinaten de Punkte Q( 5 y 5 ), an de ic Tarzan zur Zeit t 4 = 3,00 befindet. 17 2

18 Löung: (a) ω = (c) Fertige eine Zeicnung wie die gegebene Abbildung, die jedoc aßtabgetreu it (1 : 200). Zeicne verciedenfarbig die Bankurven von Tarzan in den Fällen (a) und (b) owie die Punkte P und Q ein. g L = 0, ; T = 2π ω = 7,77; T 2 = T 4 = 1,94 y 1 = Lcoϕ 1 = 12,0; y 2 = L = 10,0 y = y 1 y 2 = Lcoϕ 1 = 2,0 Gecwindigkeit in 2: 2 v2 2 = g y = v 2 = 2g y = 6,3 Fallzeit: g 2y2 2 τ2 2 = y 2 = τ 2 = g = 1,43 = t 2 = T 2 +τ 2 = 3,37 2 = v 2 τ 2 = 2 y 2 y = 2 ( L)L(1 coϕ 1 ) = 9,0 4 = v 2 (t 4 T 2 ) = 6,6, y 4 = y 2 g 2 (t 4 T 2 ) 2 = 4,5, P(6,6 4,5) 2y1 (b) v 3 = 0, d.. freier Fall: τ 3 = g = 1,56 = t 3 = T 3 +τ 3 = 5,44 ϕ 3 = 30 = 3 = Linϕ 3 = L 2 = 7,5 ϕ(t) = 30 coωt = ϕ 5 = ϕ(t 4 ) = 22,6 = 0,395 5 = Linϕ 5 = 5,8, y 5 = Lcoϕ 5 = 11,2, Q(5,8 11,2) (c) Kurve zu (a) (t = t T 2 ): (t) = v 2 t = t = v 2 y y(t) = y 2 g 2 t2 = y = y 2 g 2v2 2 2 L 20 ϕ 5 y = 10 0, y 10 9,5 8,0 5,5 2,0 5 Q P Eine Kugel der Mae fürt entlang der -Ace zwicen A und A = 13,0c eine aronice Scwingung au, der Ort der Kugel zur Zeit t it (t). Zur Zeit t 0 = 0 befindet ic die Kugel bei = A, a Ort 1 = (t 1 ) = 5,00c beträgt die Gecwindigkeit der Kugel v 1 = 24,0 c. 18

19 (a) Berecne die Kreifrequenz ω der Scwingung und creibe die Gleicung der Funktion (t) in. (b) Berecne t 1. (c) Berecne (t 2 ) und v(t 2 ) für t 2 = 3,00. Löung: (a) 2 v = 2 A2 = v = A2 = v 2 1 +ω = ω 2 A 2 ω = v 1 A = 24 c 12c = 2,00 1 (t) = Acoωt (b) (t 1 ) = 13c coωt 1 = 5c = coωt 1 = 5 13 t 1 = 0,983 = ωt 1 = 1,966 (c) (t 3 ) = 13c co6 = 12,5c, v(t 3 ) = Aωinωt 3 = 26 c in6 = 7,26 c 33. In der Äquatorialebene eine Planeten it Radiu R und kontanter icte liegt ein Ringtunnel it Radiu r, deen Mittelpunkt it de Mittelpunkt de Planeten zuaenfällt. I evakuierten Tunnel kreit ein kleiner Satellit der Mae u den Planetenittelpunkt. (a) Berecne die Stärke g(r) de Gravitationfelde i Ringtunnel. er Ter oll außer r nur und Kontanten entalten. (b) Berecne die Ulaufdauer T i (r) und die Gecwindigkeit v i (r) de Satelliten in eine (nictrotierenden) Inertialyte. (c) er Planet dret ic i Inertialyte in der Zeit T 0 (T i < T 0 ) einal u eine Ace, der Ulaufinn de Satelliten und der reinn de Planeten ind gleic. T r it die Uaufdauer de Satelliten von eine i Ringtunnel ruenden Beobacter au betractet. rücke T r durc T i und T 0 au. Löung: (a) g(r) = GM(r) r 2 (b) v2 i r 4π G 3 = r3 r 2 = g(r) = 4π2 r 2 r = 4πG 3 = 4πG 3 r = T i = 3π G rti 2 vi 2 4πG r = g(r) = v i = r 3 (c) Ein Punkt de Tunnel dret ic i Inertialyte it der Gecwindigkeit v 0, der Satellit at i rotierenden Syte die Gecwindigkeit v r : v r = v i v 0 1 = 1 1 T r T i T 0 19 = 2rπ T r = 2rπ T i 2rπ T 0 = T r = T 0T i T 0 T i ω 0 r R v i

20 34. er Jupiterond Europa at den Radiu R = 1569 k. Eine Rauonde (deren Start allerding ert für 2015 geplant it) ukreit Europa in der Höe = 441k über der Oberfläce in der Zeit T = 246in44 (in eine Inertialyte geeen). (a) rücke die Fallbecleunigung an der Oberfläce von Europa durc R, und T au und berecne dann den Zalenwert. (b) In welcer Zeit fällt ein Eiklupen von eine 20,0 oen Eiberg auf den Boden Europa? Löung: (a) Mit der Mondae M, der Sondenae und r = R+ gilt: GM r 2 = v2 r = 4π2 r 2 rt 2 = 4π2 r T 2 = M = 4π2 r 3 GT 2 = 4, kg Mit T = it g(r) = GM R 2 = 4π2 r 3 R 2 T 2 = 4π2 (R+) 3 R 2 T 2 g(r) = 4π2 (2, ) 3 (1, ) 2 = 1,30 2 (b) = g 2 2 t2 = t = g = 5,55 20