(Γ a ) αβ. (Γ a ) β α = 4 δ αα δ ββ. (16.5) ( ψγ a χ)( χnγ a Mψ). (16.6)

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1 Prof. Dr. K. Kssner Dipl. Phys. A. Schulz Fortgeschrittene Quntenmechnik Bltt 6 SS Clifford-Algebr Fierz-Theorem 7 Pkt. Wir definieren die folgenden 6 Mtrizen Γ, ohne uns uf eine explizite Drstellung festzulegen: Γ S =, Γ µ V = γµ, Γ µν T = σµν i [ γµ, γ ν ], µ < ν, Γ µ A = γ5 γ µ, Γ P = γ 5. Dbei sind die γ µ mit µ = 0,... 3 Dirc-Mtrizen, definiert durch die Antikommuttor- Reltionen [ γ µ, γ ν ] + = g µν. Die g µν sind die kontrvrinten Komponenten des metrischen Tensors der Minkowski-Metrik. Ferner gilt γ 5 = iγ 0 γ γ γ 3. Die Indizes µ und ν können lle Werte von 0 bis 3 durchlufen, ber unbhängige Mtrizen σ µν erhält mn nur für 6 Kombintionen von ihnen, die mn durch µ < ν festlegen knn. σ νµ = σ µν sind offensichtlich nicht liner unbhängig und für µ = ν verschwindet der Kommuttor. Die unteren Indizes bedeuten: S Sklr, V Vektor, T Tensor, A xiler Vektor, P Pseudosklr. Zeigen Sie die Richtigkeit folgender Behuptungen: Γ = ± für lle Werte von z.b. knn mn von = bis = 6 durchnummerieren b TrΓ = 0 für lle Γ = Γ S c Für jedes Pr Γ, Γ b existiert eine Mtrix Γ c, so dss für ein α {±,±i} gilt Pkt. Pkt. Pkt. d Flls Γ = Γ b, so gilt α steht für eine c-zhl Γ Γ b = αγ c. 6. Γ Γ b = α. 6. Pkt. e f Die Γ sind liner unbhängig. Hinweis: Die Ergebnisse us bis d sind nützlich für den Beweis. Setzt mn Γ b = Γ b, so gilt in einer vierdimensionlen Drstellung: Pkt. Pkt. TrΓ Γ b = 4δ b. 6.3 Berbeiten Sie ferner folgende Punkte: g h i Berechnen Sie die Entwicklungskoeffizienten c in der Entwicklung einer beliebigen 4 4-Mtrix nch den Γ M = c Γ. 6.4 Zeigen Sie dmit die Vollständigkeitsreltion Γ αβ Γ β α = 4 δ αα δ ββ. 6.5 Verwenden Sie die Vollständigkeitsreltion, um zu zeigen, dss für beliebige Dirc- Spinoren ψ, χ und 4 4-Mtrizen M, N gilt: Pkt. Pkt. Pkt. ψmψ χnχ = 4 ψγ χ χnγ Mψ. 6.6 ψ und χ sind die zu ψ und χ djungierten Spinoren, ws hier llerdings nicht wichtig ist. Sie könnten durch irgendwelche ls Zeile geschriebene Spinoren ersetzt werden. Vorrechnen

2 j Benützen Sie dieses Ergebnis, um den Lorentz-Sklr ψγ µ ψ χγ µ χ durch Terme der Form ψ... χ χ... ψ uszudrücken. Ds Ergebnis ist ein Beispiel für eine sogennnte Fierz-Trnsformtion. Hinweis: Vereinfchen Sie zuerst γ µ Γ γ µ = g µν γ µ Γ γ ν für gegebenen tensoriellen Chrkter von Γ. Pkt. Lösung: Der direkteste Weg ist,γ für ein Element us jeder der fünf Gruppen zu bilden. Allerdings sind zwei Vorüberlegungen nützlich. Bei den tensoriellen Gmm-Mtrizen ntikommutieren wegen µ = ν die beiden definierenden Dirc-Mtrizen und folglich gilt [ γ µ, γ ν ] = γ µ γ ν = γ ν γ µ. Dmit können wir schreiben Γ µν T = iγµ γ ν. Die Mtrix γ 5 ntikommutiert mit den Dirc-Mtrizen. Zunächst stellen wir fest, dss gilt wobei [ γ 5, γ µ ] + = ε µν i 3 { für µ = ν für µ = ν. γ ν γ µ + iγ µ 3 γ ν = iγ µ 3 ε µν γ ν + iγ µ 3 γ ν, Dmit ist von den im Produkt uftretenden ε µν genu eines gleich, die nderen drei sind -. Folglich hben wir 3 3 [ γ 5, γ µ ] + = iγ µ ε µν + γ ν = iγ µ + 3 γ ν = 0. Dnn sind die für die Bestimmung der Γ relevnten Rechnungen: Γ S = = Γ µ V = γ µ = [ γµ, γ µ ] + = g µµ = { für µ = 0 für µ {,, 3} µν Γ T = iγ µ γ ν = γ µ γ ν γ µ γ ν = γ µ γ µ γ ν γ ν = γ µ γ ν { für µ = 0, ν = 0 = g µµ g νν = für µ > 0, ν > µ Γ P = γ 5 = γ 0 γ γ γ 3 γ 0 γ γ γ 3 = 3 γ 0 γ γ γ 3 γ γ γ 3 = 3 γ 0 γ γ γ 3 = 3 3 = µ Γ A = γ 5 γ µ γ 5 γ µ = γ 5 γ µ γ 5 = g µµ γ 5 = g µµ b Ds Verschwinden der Spur ller Γ mit Ausnhme der Einheitsmtrix folgt us einem der beiden folgenden Gründe Γ ntikommutiert mit einer Mtrix Γ b, deren Qudrt ± ist Vorrechnen

3 Γ ht die Form eines Kommuttors Der erste Grund trifft für die Dirc-Mtrizen und die γ 5 enthltenden Mtrizen zu. Multipliziert mn die Antikommuttorreltion [ γ µ, γ ν ] + = 0 ν = µ von rechts mit γ ν durch, so findet mn Tr γ µ γ ν + γ ν γ µ γ ν = 0 γ µ γ ν + Trγ ν γ µ γ ν }{{} Dmit ist Tr Γ µ V = 0 gezeigt µ = 0, Tr = 0 γ µ γ ν zykl. Vert. ± Trγ µ = 0 Dieser Beweis gilt wegen[γ 5, γ ν ] + = 0 uch, wenn mn µ durch 5 ersetzt, worus unmittelbr TrΓ P = 0 folgt. Γ µ A ntikommutiert zwr nicht mit llen γν, wohl ber mit γ µ, [ γ 5 γ µ, γ µ ] + = γ 5 γ µ γ µ + γ µ γ 5 γ µ = γ 5 γ µ γ µ γ 5 γ µ γ µ = 0, worus wir sofort Tr Γ µ A = 0 folgern können. Hier gibt es llerdings einen direkteren Weg: Tr Γ µ A = Tr γ 5 γ µ = zykl. Vert. Tr γ µ γ 5 = Tr γ 5 γ µ Tr γ 5 γ µ = 0. Dmit hben wir die Behuptung für lle Γ = Γ S mit Ausnhme der tensoriellen Untermenge gezeigt. Deren Elemente ber sind Kommuttoren, für sie folgt die Eigenschft direkt us der zyklischen Vertuschbrkeit von Fktoren unter der Spur: Tr Γ µν i T = Tr γµ γ ν γ ν γ µ = i Trγµ γ ν Trγ ν γ µ = 0. c Zunächst ist es nützlich, sich klr zu mchen, dss die Gmm-Mtrizen sich lle ls Produkte von Dirc-Mtrizen us null = Γ S bis vier Fktoren = Γ P und einem Vorfktor α {±, ±i} beschreiben lssen. Der einzige Fll, wo ds nicht offensichtlich sein mg, sind die Γ µ A, für die mn es ber uch leicht einsieht: Γ µ A = γ5 γ µ = i 3 γ ν γ µ = s γ ν, 6.7 ν =µ wobei der Vorfktor ± dvon bhängt, ob eine gerde oder ungerde Anzhl von Vertuschungen nötig wr, um γ µ n dieµ+-te Stelle des Produkts zu bringen und ob γ µ = oder γ µ = ist lso s = 0 für µ = und s = für µ = 0, µ = und µ = 3. Außerdem ist zu bemerken, dss sowohl die Einheitsmtrix ls uch jedes Produkt von ein bis vier Dirc-Mtrizen sich unter Ausnützung der Vertuschungsregeln der Dirc-Mtrizen in der Form αγ c mit α {±,±i} Vorrechnen

4 drstellen lssen. Ds heißt, die sechzehn Γ-Mtrizen decken im Wesentlichen lle solchen Produkte b; es gibt ein Produkt ohne Fktoren, vier Produkte mit einem Fktor, sechs Produkte mit zwei verschiedenen Fktoren, vier mit drei verschiedenen Fktoren und eines mit vier verschiedenen Fktoren. Bildet mn nun ds Produkt Γ Γ b, so entsteht erst einml ein Ausdruck us bis zu cht Fktoren von Dirc-Mtrizen und ein Vorfktor α α mit α, α {±,±i}. Die Menge {±, ±i} ist unter der Multipliktion bgeschlossen, d.h., uch ds Produkt α α liegt in ihr. Es hndelt sich um die vierten Einheitswurzeln. D wir nur vier verschiedene Dirc-Mtrizen hben, lässt sich Γ Γ b durch Vertuschen von Mtrizen immer uf die Form Γ Γ b = α γ 0 s 0 γ s γ s γ 3 s bringen, wobei die Exponenten s i zwischen null und zwei vriieren können und α {±,±i}, d beim Vertuschen nur Fktoren oder - produziert werden. Wnn immer ein Exponent s i den Wert zwei ht, ist ds entsprechende Produkt von Dirc-Mtrizen gleich oder, ws eventuell ds Vorzeichen von α ändert und die Summe der Exponenten um zwei verringert. Im Endergebnis entsteht ein Produkt von Potenzen von Dirc-Mtrizen mit Exponentensumme kleiner gleich vier. Dmit ist ds Ergebnis ber von der Form αγ c mit α {±,±i}, q.e.d. d Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Annhme: Γ Γ b = α mit = b. Multiplizieren wir mit Γ von links durch, so erhlten wir: Γ Γ b = αγ Γ b = ±αγ Γ b = βγ. 6.9 Ist β =, so sind wir fertig, denn dnn ist Γ b = Γ, die Annhme = b ist verletzt. Zu zeigen bleibt, dss kein Pr von verschiedenen Mtrizen us unserer Grundmenge die Beziehung Γ b = βγ mit β {,±i} erfüllt. Dies ist offensichtlich, wenn die beiden Mtrizen us Untermengen mit verschiedenen unteren Indizes kommen, denn dnn sind Γ und Γ b bis uf Vorfktoren Produkte us verschiedenen Anzhlen von Dirc-Mtrizen und es müssen zwngsläufig uf einer Seite von 6.9 unblncierte Indizes uftreten, oder nders usgedrückt, bei Drstellung in der Form 6.8 können nicht lle s i null sein. Nehmen wir nun n, dss Γ und Γ b us derselben Untermenge sind. Ds können die Dirc-Mtrizen, die Kommuttoren Γ µν T oder die mit γ5 multiplizierten Dirc- Mtrizen sein. Die beiden nderen Gruppen enthlten jeweils nur ein Element. Die Annhme 6.9 führt uf [ Γ, Γ b ] + = Γ βγ + βγ Γ = βγ = ±β = 0, 6.0 ws für die Dirc-Mtrizen im Widerspruch zu [ γ µ, γ ν ] + = 0 bei µ = ν steht. Auch zwei Mtrizen us der Gruppe der Γ µ A ntikommutieren, [ Γ µ A, Γν A ] + = γ 5 γ µ γ 5 γ ν + γ 5 γ ν γ 5 γ µ = γ 5 γ µ γ ν + γ ν γ µ = 0, Vorrechnen

5 können lso 6.0 nicht erfüllen. Für zwei verschiedene Mtrizen us der Gruppe der Γ µν T rechnet mn leicht direkt nch, dss 6.9 nicht erfüllbr ist: Γ µν T = βγρτ T γ µ γ ν = βγ ρ γ τ γ ρ γ µ γ ν γ τ = βg ρρ g ττ. D µ = ρ oder ν = τ und µ = ν, knn uf der linken Seite höchstens ein Pr der Dirc-Mtrizen ein Produkt oder liefern, mindestens eines bleibt ohne Möglichkeit weiterer Vereinfchung stehen. Dmit sind lle prinzipiellen Kombintionen untersucht. e Sei dnn gilt: c Γ = 0, 0 = 0 = c Γ Γ b = c α, b Γ c,b, c α, b Tr Γ c,b } {{ } ±Nδ,b = ±Nαb, bc b c b = 0. In der ersten Zeile hben wir ds Ergebnis us Teilufgbe c verwendet. Ntürlich hängen α und Γ c dvon b, welches Pr Γ, Γ b multipliziert wird. Aus Teilufgben b und d folgt, dss die Spur von Γ c verschwindet, wenn = b. Ist = b, so ist Γ c = ± und bei einer N N-Drstellung ist die Spur gerde N. N und α sind beide von null verschieden, so dss mn uf c b = 0 schließen knn. f Von nun n ist N = 4. Wegen Γ b = ± ist Γb = Γ b = lbγ b mit lb {, }. Dnn folgt: { Tr = 4 für = b TrΓ Γ b = Tr Γ lγ b = lαtr Γ c,b = 0 für = b = 4 δ b. g Wir setzen n M = c Γ, multiplizieren mit Γ b und bilden die Spur: TrMΓ b = Tr c b = 4 TrMΓ b. c Γ Γ b = c TrΓ Γ b = 4 c δb = 4c b, h Setzen wir die erhltenen Entwicklungskoeffizienten in die Summendrstellung von M ein, so erhlten wir: M = 4 TrMΓ Γ, Vorrechnen

6 ws, d für beliebige M gültig, bereits eine Opertorenform der Vollständigkeitsreltion ist. Wir müssen nur noch Mtrixelemente bilden: M αβ = = 4 4 TrMΓ Γ αβ = 4 MΓ α α Γ αβ α α,β M α β Γ β α Γ αβ, wobei die Summe über α die Definition der Spur ist und die über β die Mtrixmultipliktion von M und Γ explizit mcht. D die Gleichung für beliebige Mtrixelemente M αβ gilt, folgt unmittelbr δ αα δ ββ = 4 Γ αβ Γ β α, ws zu beweisen wr. Alterntiv knn mn M αβ = δ αγ δ βǫ setzen und erhält dnn die Beziehung bis uf Indexumbenennungen durch direkte Rechnung. i Wir schreiben zunächst die Sklrprodukte unter Verwendung der Spinor-Indizes us: ψmψ = ψ α M αβ ψ β, χnχ = χ γ N γǫ χ ǫ, α,β γ,ǫ wobei mit ψ α und χ γ einfch die Komponenten der Zeilenspinoren ψ und χ gemeint seien, ohne dss wir uns im einzelnen überlegen wollen, wie mn diese us ψ und χ berechnet. Ds ist z.b. in der Aufgbe Mjorn-Fermionen erläutert. Dnn gilt ψmψ χnχ = α,β,γ,ǫ ψ α M αβ ψ β χ γ N γǫ χ ǫ. In diesem Ausdruck sind die Spinor-Komponenten einfch Zhlen, lso vertuschbr. Wir schieben ein Pr Kronecker-Delts und dmit eine Vollständigkeitsreltion ein, um den Index α des ersten Spinors von dem der nchfolgenden Mtrix M und den Index ǫ des letzten Spinors von dem der vorusgehenden Mtrix N zu trennen. ψmψ χnχ = α,β,γ,ǫ = 4 = 4 α,ǫ ψ α M α βψ β δ ǫ ǫδ α α χ γ N γǫ χ ǫ α,β,γ,ǫ α,ǫ α,ǫ ψ α M α βψ β Γ ǫ α Γ αǫ χ γ N γǫ χ ǫ ψ α Γ αǫ χ ǫ χ γ N γǫ Γ ǫ α M α βψ β γ,ǫ,α,β = 4 ψγ χ χnγ Mψ, q.e.d. j Aus dem Ergebnis von Teilufgbe i folgt ψγ µ ψ χγ µ χ = 4 ψγ χ χγ µ Γ γ µ ψ, 6. Vorrechnen

7 wobei eine Summtion über µ durch die Einsteinsche Summenkonvention impliziert ist. Wir berechnen zunächst die Ausdrücke γ µ Γ γ µ für die fünf möglichen tensoriellen Chrktere von Γ : γ µ Γ S γ µ = γ µ γ µ = g µν γ µ γ ν = γ 0 3 γ k = 4, k= γ µ Γ V γ µ = g µν γ µ γ γ ν = g µν g µ γ γ µ γ ν = δ νγ ν 4γ = γ, γ µ Γ τ T γ µ = g µν γ µ iγ γ τ γ ν = ig µν γ µ γ g τν γ ν γ τ = ig µν γ µ g τν γ g ν γ τ + γ ν γ γ τ = i δµγ τ µ γ δ µγ µ γ τ + 4γ γ τ = iγ τ γ γ γ τ + 4γ γ τ = iγ τ γ + γ γ τ = 0, γ µ Γ A γ µ = g µν γ µ γ 5 γ γ ν = γ 5 g µν γ µ γ γ ν = γ 5 γ, γ µ Γ P γ µ = γ µ γ 5 γ µ = γ 5 γ µ γ µ = 4γ 5. Bei der Berechnung für die xilen Gmm-Mtrizen hben wir ds Ergebnis für die vektoriellen verwendet, bei der für die pseudosklre Mtrix ds für die sklre. Setzen wir diese Ergebnisse in Gleichung 6. ein und benützen die korrekten Formeln für die Inversen Γ Γ V µ = γ µ, Γ A µ = γ µ γ 5, ΓP = γ 5, so erhlten wir: ψγ µ ψ χγ µ χ = { 4 ψχ ψγ χ χγ ψ+ ψγ γ 5 χ χγ 5 γ ψ 4 4 ψγ 5 χ χγ 5 ψ }, wo ebenflls die Einsteinsche Summtionskonvention verwendet wurde, oder ψγ µ ψ χγ µ χ = ψχ ψγ χ χγ ψ ψγ 5 γ χ χγ 5 γ ψ ψγ 5 χ χγ 5 ψ 7. Verschobener hrmonischer Oszilltor Pkt. Ein eindimensionler hrmonischer Oszilltor mit Msse m und Kreisfrequenz ω 0 bewege sich im Potentil V = Fx einer konstnten äußeren Krft F. b Wie lutet die zeitunbhängige Schrödingergleichung unter Verwendung der Erzeugungs- und Vernichtungsopertoren b und b? Führen Sie zur Lösung dieser Schrödingergleichung die Opertoren Pkt. 3 Pkt. b b = b γ = b γ mit γ = γ = F/ω 0 hmω0 ein und zeigen Sie, dss es sich um Boseopertoren hndelt. Vorrechnen

8 c d Wie luten die Energieeigenwerte und die Eigenzustände? Wie groß ist der Erwrtungswert x des Ortsopertors im n-ten Eigenzustnd? Zeichnen Sie ds Gesmtpotentil ls Funktion des Orts. Drücken Sie die Eigenzustände ψ n mithilfe des Grundzustnds ψ 0 des unverschobenenen hrmonischen Oszilltors us. Hinweis: Setzen Sie n ψ 0 = f b ψ 0. Berechnen Sie die Opertoren 3 Pkt. 3 Pkt. A = e αb be αb B = e αb b e αb Mithilfe des Ergebnisses können Sie eine unitäre Trnsformtion finden, so dss gilt: ψ n = Uψ n. e Wie trnsformiert sich die Schrödingergleichung us unter dieser Trnsformtion? Der verschobene Oszilltor befinde sich in seinem Grundzustnd. Zur Zeit t = 0 werde die äußere Krft bgeschltet. Wie sieht die Zeitentwicklung der Lösung der Schrödingergleichung us, wenn der Abschltvorgng so schnell erfolgte, dss die vorliegende Wellenfunktion sich während seiner Duer nicht veränderte? Pkt. Lösung: Wir beginnen mit der beknnten zeitunbhängigen Schrödingergleichung des eindimensionlen hrmonischen Oszilltors mit Msse m und Kreisfrequenz ω 0 im Potentil V = Fx Ortsdrstellung h d m dx + mω 0 x Fx ψx = Eψx. 7. Impuls- und Ortsopertor sollen durch Erzeugungs- und Vernichtungsopertoren drgestellt werden. Dzu werden die folgenden Reltionen in 7. eingesetzt h x = b hmω0 + b, p = i b b. 7. mω 0 Mn erhält h m d dx + mω 0 x Fx = hω 0 b b+ F = hω 0 b b+ F Mit γ = ω 0 hmω0 ht 7. die Drstellung hω 0 b b+ γb + b ψ = Eψ h b + b mω 0 F hω 0 ω 0 mω0 b + b bzw. mit ε = E hω 0 b b+ γb + b ψ = εψ Vorrechnen

9 b Es werden die Opertoren mit γ = γ = b = b γ, b = b γ 7.4 F ω 0 hmω0 eingeführt. Aus b = b γ folgt Für den Kommuttor von b und b gilt [ b, ] b = b, b sind lso Boseopertoren. b = b γ = b. [ b γ, b γ ] = [ b, b ] =. Der Hmiltonopertor zu 7. ist H = b b+ b γ + b = b γ b γ γ + = b b γ bzw. Hψ = εψ mit H = b b γ + = H γ H ψ = ε ψ mit H = b b+, ε = ε γ. 7.5 Dies ist offensichtlich die Schrödingergleichung eines unverschobenen hrmonischen Oszilltors. Dher gilt für die Energieeigenwerte ε n ε n = n+ ε = n+ γ. Sie sind um einen konstnten Betrg bgesenkt Ẽ n = hω 0 n+ γ = E n hω 0 γ. Die Eigenzustände sind ψ n = n! b n ψ mit b ψ 0 = 0. 3 Berechnung des Erwrtungswertes x: h x = ψ n x ψ n = ψ n b + b ψ n 7. mω 0 h = ψ n mω b + b+γ ψ n 0 h h F = γ = = F mω 0 mω 0 ω 0 hmω0 mω0 Vorrechnen

10 Der Erwrtungswert des Ortsopertors h F x = = F mω 0 ω 0 hmω0 mω0 7.7 ist in llen Eigenzuständen derselbe und entspricht einer konstnten Verschiebung des Oszilltors. 4 Ds Gesmtpotentil Ṽx = Vx Fx = m ω 0x Fx = mω 0 = mω 0 x F mω 0 [ x F mω 0 x ] F m ω 4 0 mω0 Ṽx = x x F 7.7 x = mω 0 x x hω 0 γ ist eine verschobene Prbelfunktion mit dem Scheitelpunkt bei S = x hω 0 γ. Der Scheitelpunkt des Potentils für den unverschobenen hrmonischen Oszilltor liegt bei 0 0. Wichtige Punkte des Gesmpotentils sind Ṽ0 = 0, Ṽx = hω 0 γ, Ṽx = 0. c Gesucht ist zunächst eine Drstellung des Grundzustnds des verschobenen Oszilltors unter Benutzung des beknnten Grundzustnds des unverschobenen Oszilltors. Anstz: Es gilt ψ 0 = fb ψ b ψ 0 = 0 b γ ψ 0 = 0 b ψ 0 = γ ψ 0 b fb ψ 0 = γ fb ψ 0. Weiterhin ist bψ 0 = 0. Weitere Umformungen ergeben eine Differentilgleichung für fb b fb ψ 0 = [ ] b fb fb b ψ 0 = b, fb ψ 0 = fb b ψ 0 = γ fb ψ 0. s.o. Die Definitionsgleichung von ψ 0 ist sicher erfüllt, wenn gilt fb b = γ fb. Vorrechnen

11 Lösung dieser Differentilgleichung für fb ist fb = c e γb. c ist ein beliebiger mit b kommutierender Opertor, der ber keine Funktion von b sein drf, d.h. c ist eine Zhl. Der Beweis dieser Behuptung dürfte nicht gnz trivil sein. Aber wir suchen nur eine Funktion fb, die den Anstz erfüllt und die Normierung von ψ 0 gewährleistet. Dies gelingt uns unter der Annhme, dss c proportionl zum Einheitsopertor ist und wir können diese Annhme vorussetzen. Ds Ergebnis ist durch Einsetzen in b ψ 0 = 0 zu rechtfertigen. Der verschobene Grundzustnd lässt sich dmit wie folgt mit dem unverschobenen Grundzustnd beschreiben ψ 0 = c e γb ψ 0. c wird bis uf einen Phsenfktor us der Normierungsbedingung bestimmt =! ψ 0 ψ 0 = ψ 0 c e γ b e γb c ψ Nun gilt bzw. e γ b+γb = e γ b e γb e [γ b,γb ] = e γ b e γb e γ 7.0 e γ b+γb = e γb +γ b = e γb e γ b e [γb,γ b] = e γb e γ b e + γ 7. worus folgt, dss 3 Dies wird in 7.9 eingesetzt: 4 Wir erhlten lso Probe: e γ b e γb = e γb e γ b e γ. 7. = c c ψ 0 e γb e γ b e γ ψ 0 = c e γ ψ 0 ψ 0 c = e γ = o.b.d.a. c = e γ = γ R e γ. ψ 0 = e γ e γb ψ b ψ [ 0 = b γe γ e γb ψ 0 = e γ b, e γb ] + e γb b γe γb ψ 0 [ Mit [b, b ] = ist b, e γb ] = γe γb einfche Hndrechnung mit Exponentilreihe der Exponentilfunktion und wir erhlten b ψ 0 = e γ γe γb + e γb b γe γb ψ 0 = e γ e γb bψ 0 = 0. Dmit ht die Drstellung der Eigenzustände ψ n die Form setze 7.3 in 7.6 ein: ψ n = n! b γ n e γ e γb ψ Vorrechnen

12 d Der Opertor A knn mit Hilfe der Reihendrstellung der Exponentilfunktion vereinfcht werden: A = e αb be αb = +αb + αb αb +... b αb + αb αb +... = b+αb b+ αb αb b+... αb + αb αb +... = b αbb + α bb b + αb b α b bb + α3 b bb b + α b b b α3 b b bb + 4 α4 b b bb b +... [ ] = b+α b, b + bα b b α b bb α b bb + α b b b + α3 b bb b α3 b b bb + 4 α4 b b bb b +... [ ] = b+α b, b + α[ b, b b bb ] +... [ ] = b+α b, b + ] α[ b,[b, b] +... = b α ] [b α, +... = b α A = b α Ds ist llerdings ein eher umständlicher Weg. Eine systemtische Vorgehensweise besteht drin, eine Differentilgleichung für A ls Funktion des zhlenwertigen Prmeters α ufzustellen und diese zu lösen. daα dα = e αb b be αb e αb bb e αb = e αb [ b, b]e αb = e αb e αb =. Die llgemeine Lösung dieser Gleichung ist eine linere Funktion der Form fα = c α, wobei c ein us der Anfngsbedingung Aα = 0 = b zu bestimmender Opertor ist. Also ist c = b und wir erhlten Aα = e αb be αb = b α, wie gehbt. Eine ebenflls sehr einfche, wenngleich nicht besonders systemtische Methode besteht in der Betrchtung des Kommuttors worus folgt [ b, e αb ] = deαb db = αe αb, be αb = e αb b+αe αb b = e αb be αb + α = A+α A = b α Vorrechnen

13 Eine nloge Überlegung für den Opertor B führt zu Folglich gilt uch Nch 7.4 gilt: B = e αb b e αb = b + α b γ = e γb b e γb. 7.5 ψ n = n! b γ n e γ e γb ψ 0 = 7.5 e γb b e γb n e γ e γb ψ 0 n! = n! e γb b n e γb e γ e γb ψ 0. Wir hätten gerne uf der rechten Seiteb n ψ 0 stehen. Um dies zu erreichen, könnte mn den Kommuttor von b n und e γb errechnen. Es gibt jedoch einen einfcheren Weg. Wenn wir den Kommuttor von e γb und e γb benutzen um e γb uf die rechte Seite von e γb zu bringen, so verschwindet e γb, d der Opertor uf ψ 0 wirkt. ψ n = e γ e γb b n e γb e γb e γ ψ 0 7. n! =e γ e γb e γb n! b n ψ 0 =e γ e γb e γb ψ n ψ n = Uψ n mit U = e γ e γb e γb = 7.0 e γb b. 7.6 Dss U unitär ist, sieht mn der zweiten Drstellung von U in 7.6 unmittelbr n. U = e γb b = e γ b b = e γb b = U denn e γb b e γb b = 7.0 Trnsformtion der Schrödingergleichung: Für die Wellenfunktion ψ des verschobenen hrmonisches Oszilltors gilt die Schrödingergleichung 7.3: b b+ γb + b ψ = ε ψ. Vorrechnen

14 Setzen wir die Trnsformtionsgleichung ψ = Uψ ein, so erhlten wir b b+ γb + b Uψ = Uεψ U b UU b+ γb + b Uψ = εψ 7.7 U b U = 7.6 e γb b b e γb b = e γb e γb e γ [ b,b] b e γb e γb e γ [ b,b ] = e γb e γb e γ b e γb e γb e γ = e γb e } γb b {{ e γb } d: b +γ = b + γ e γb U bu = 7.6 e γb b be γb b = e γb e γb e γ [b, b ] be γb e γb e γ [b, b] Zusmmengefsst ht mn = e γb e γb e γ be γb e γb e γ = e γb e } γb {{ be γb } d: b+γ = b+γ e γb U b U = b + γ, U bu = b+γ Diese Ergebnisse werden in die unitär trnsformierte SDG 7.7 eingesetzt b + γb+γ+ γb + γ+b+γ ψ = εψ b b+γb + b+γ + γb + b γ = εψ b b+ γ = εψ b b+ ψ = ε+γ ψ. Ds ist die Schrödingergleichung eines hrmonisches Oszilltors mit der reduzierten Energie ε+γ. Es folgt sofort ε = n+ γ und ψ n = Uψ n mit ψ n dem Eigenzustnd des unverschobenen hrmonischen Oszilltors. e Zur Zeit t = 0 befindet sich der Oszilltor im Zustnd ψ0 = ψ 0 = Uψ 0. D dnn die äußere Krft entfällt, entwickelt sich der Zustnd gemäß der zeitbhängigen Schrödingergleichung: i h ψt = H 0 ψt = hω 0 b b+ ψt Vorrechnen

15 ψt = e ī h H 0t ψ0 = e iω 0tb b+ Uψ0 = e iω 0 t e iω 0tb b e γ e γb e γb ψ 0 = e iω 0 t e iω 0tb b e γ e γb e iω 0tb b e iω 0tb b }{{} e γb ψ 0 Es wird vor ψ 0 der Term e iω 0tb b eingeführt. Dieser ht uf ψ 0 die gleiche Wirkung wie der Einsopertor. Mit = e iω 0 t e iω 0tb b e γ e γb e iω 0tb b e iω 0tb b e γb e iω 0tb b ψ 0 e iω 0tb b e γb e iω 0tb b = exp e iω0t γb und e iω 0tb b e γb e iω 0tb b = exp e iω0t γb Wrum gilt ds? ht mn ψt = e iω 0 t e γ exp γe iω0t b ψ 0. Es sind insgesmt 9 Punkte zu erreichen. Die Aufgben werden in der nächsten Übung m vorgerechnet. Erinnere n Konstruktionsverfhren für Eigenvektoren beim unverschobenen hrmonischen Oszilltor: n- mliges Anwenden von b uf ψ n liefert Eigenvektoren ψ n+, ψ n+ zu den Eigenwerten n+, n+ usw. ds heißt durch sukzessives Anwenden von b uf den Grundzustnd ψ 0 erhält mn lle ngeregten Zustände. Diese werden über den Vorfktor normiert. n! Bker-Cmpbell-Husdorff Formeln: Für [X, Y] = 0, [X,[X, Y]] = 0, [Y,[Y, X]] = 0 gilt e X+Y = e X e Y e [X,Y] 3 Zählt uch zu den Bker-Cmpbell-Husdorff Formeln: e X e Y = e Y e X e [X,Y] 4 Hinweis: Reihenentwicklung der Exponentilfunktion, bψ 0 = 0, b ψ 0 = ψ, ψ i ψj = δ ij Vorrechnen