Modul 3: Schaltnetze. Informatik I. Modul 3: Schaltnetze. Formale Grundlagen. Schaltnetze. Huntingtonsche Axiome.

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1 Modul 3: Shltnetze Informtik I Modul 3: Shltnetze Formle Grundlgen logisher Beshreiungen Booleshe Alger, Shltlger Norml- und Minimlformen Relisierung von Shltnetzen uf Shlter- und Gttereene Entwurf von Shltnetzen Logikminimierung, KV-Digrmme Progrmmierung von Funktionen Lufzeiteffekte ei Shltnetzen 22 Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3 2 Shltnetze Formle Grundlgen Shltnetze: Rein komintorishe logishe Shltungen Kein Speiherverhlten Logishe Funktionen Beispiele: Liht-Aus Wrnung im Krftfhrzeug Motor us und Tür uf und Liht n Alrm Zur Untersuhung und Beshreiung der Eigenshften und des Verhltens von logishen Funktionen ist die Booleshe Alger hervorrgend geeignet. Entwikelt wurde sie von dem Mthemtiker George Boole (8 8) ls Alger der Logik. 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 Booleshe Alger Huntingtonshe Axiome Als eine Booleshe Alger ezeihnet mn eine Menge V = {,,,...}, uf der zwei zweistellige Opertionen und derrt erklärt sind, dß durh ihre Anwendung uf Elemente us V wieder Elemente us V entstehen (Ageshlossenheit). H Kommuttivgesetz: = = H2 Distriutivgesetz: ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) Ageshlossenheit: Für lle, V gilt: V V H3 Neutrles Element: Es existieren zwei Elemente e, n V, so dss gilt: e = (e wird Einselement gennnt) n = (n wird Nullelement gennnt) Weiterhin müssen die vier Huntingtonshen Axiome gelten. H Inverses Element: Für lle V existiert ein Element V, so dss gilt: = n = e 22 Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3

2 Shltlger Die Shltlger ist eine spezielle Booleshe Alger, die durh die folgende Korrespondenztelle definiert wird: Booleshe Alger n e Zusätzlih lterntive Shreiweise: + für zw. Benennung ODER &, für zw. Benennung UND 22 Burkhrd Stiller M3 V Shltlger {,} Relisierung von logishen Verknüpfungen () Für die tehnishe Relisierung logisher Verknüpfungen knn mn sih zunähst einfhe Shltermodelle für logishe Busteine vorstellen. UND-Verknüpfung: Btterie Die Lmpe rennt (Funktionswert ) nur, wenn eide Shlter geshlossen sind ( UND gleih ), sonst leit die Lmpe dunkel (Funktionswert ). 22 Burkhrd Stiller M3 8 Lmpe Relisierung von logishen Verknüpfungen (2) Shltlger ODER-Verknüpfung: Die Lmpe rennt, wenn einer der eiden Shlter geshlossen ist. Btterie Die Verknüpfungen können leiht in Funktionstellen drgestellt werden: Lmpe Tehnishe Relisierung mit Shltern 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 Shltlger Shltlger Huntingtonshe Axiome in der Shltlger: H: = = H2: ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) H3: = = Aus den vier Huntingtonshen Axiomen lssen sih weitere Sätze leiten: Assozitivgesetz: ( ) = ( ) ( ) = ( ) Idempotenzgesetz: = = Asorptionsgesetz: ( ) = ( ) = H: = = DeMorgn-Gesetz: = = Auh ennnt ls: NAND NOR 22 Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3 2

3 Boolesher Ausdruk () Boolesher Ausdruk (2) Ein Boolesher Ausdruk ist eine Zeihenfolge, die us inären Vrilen, den Opertoren und und Klmmern esteht und syntktishe Regeln erfüllt, die durh folgendes Syntxdigrmm gegeen sind: Beispiele: syntktish korrekte Booleshe Ausdrüke:,, ( ) Keine Booleshen Ausdrüke, d syntktish niht korrekt:,, ( ) inäre Vrile Negtion Boolesher Ausdruk Für die Konstnten und verwendet mn in der Shltlger mnhml uh in Anlehnung n die Aussgenlger die Bezeihnung Whrheitswerte: : flsh : whr Boolesher Ausdruk ( Boolesher Ausdruk Boolesher Ausdruk ) Ein Boolesher Ausdruk ht in der Regel zunähst keinen Whrheitswert, d er inäre Vrilen enthlten knn. Erst durh Belegung der inären Vrilen mit Whrheitswerten erhält der Booleshe Ausdruk einen Whrheitswert. 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 Definitionen Booleshe Funktionen Die Belegung einer Menge von inären Vrilen eines Booleshen Ausdruks mit Whrheitswerten ezeihnet mn ls Interprettion. Die Interprettion eines Booleshen Ausdruks liefert eine Aussge, die entweder whr oder flsh ist. Gegeen: Tupel von inären Vrilen (x,x 2,...,x n ) Eine (n-stellige) Booleshe Funktion ordnet jeder möglihen Whrheitswertelegung dieser Vrilen genu einen Whrheitswert zu: f : {,} n {,} Vershiedene Interprettionen eines Booleshen Ausdruks können zu dem selen Whrheitswert führen. Wieviele Belegungen git es? 2 n Belegungen Ein Boolesher Ausdruk, ei dem lle möglihen Interprettionen zum Whrheitswert whr führen, heißt Tutologie. Beispiel: ist eine Tutologie (häufig uh ls T mrkiert). 22 Burkhrd Stiller M3 Wieviele vershiedene n-stellige Funktionen git es? 2 (2n ) Funktionen (denn es git zu jedem Argument einer Booleshen Funktion zwei vershiedene Funktionswerte) 22 Burkhrd Stiller M3 Beispiele Drstellung oolesher Funktionen Negtion: Eine einstellige Booleshe Funktion f : {,} {,} die jedem Opernden us dem Definitionsereih {,} einen Funktionswert us dem Werteereih {,} zuordnet. und : Zwei zweistellige Booleshe Funktionen: f : {,} x {,} {,}. Durh eine Funktionstelle 2. Durh einen lgerishen Ausdruk (symolishe Form) 3. Durh einen Grphen Funktionstelle symolishe Form Grph f f = (z.b. Shnnon-Bum) f 22 Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3 8

4 Booleshe Funktionen möglihe zweistellige ooleshe Funktionen Wie kommt mn von der symolishen Drstellung zur Funktionstelle? Durh rekursive Auswertung des symolishen Ausdruks! Konvention: Negtion vor Konjunktion und Konjunktion vor Disjunktion Durh Klmmern knn eine ndere Reihenfolge der Auswertung festgelegt werden Wieviele zweistellige Funktionen git es? Wieviele dreistellige Funktionen git es? x verle Form symolishe Bezeihnung x Drstellung f konstnt Kontrdiktion, Symol: (unerfüllr) f x und x x x Konjunktion f 2 niht x, er x x x Inhiition f 3 identish x x Identität f niht x, er x x x Inhiition f identish x x Identität f x ungleih x x x Antivlenz, XOR f x oder x x x Disjunktion f 8 niht (x oder x ) x x NOR-Funktion, Peiresher Pfeil f 9 x gleih x x x Äquivlenz f niht x x Negtion f wenn x, dnn x x x Impliktion f 2 niht x x Negtion f 3 wenn x, dnn x x x Impliktion f niht (x und x ) x x NAND-Funktion, Sheffersher Strih f konstnt Tutologie, Symol: T (llgemeingültig) T 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 2 Vollständige Opertorensysteme Vollständige Opertorensysteme Ein System von Opertoren, mit dem lle ooleshen Funktionen drgestellt werden können, heißt vollständiges Opertorensystem. Opertorensystem Drstellung der... Negtion Konjunktion Disjunktion Die Opertoren (,, ) ilden ein vollständiges Opertorensystem. (,, ) (, ) (, ) Beispiel: liefert ds gleihe Ergenis wie ( ) ( ). ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) läßt sih durh die Grundopertionen, und ersetzen Hinweis: wird häufig weggelssen, Bsp: 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 22 Tutologie () Tutologie (2) Wnn repräsentieren zwei Ausdrüke A und B diesele Booleshe Funktion? Gleihedeutend: Ist A B eine Tutologie? Gegeen seien zwei Booleshe Funktionen: f (,) = ( ) ( ) f 2 (,) = ( ) ( ) Ist f identish mit f 2 oder ist ( ) ( ) ( ) ( ) eine Tutologie? Beweis mit Hilfe von Funktionstellen oder mittels Umformungen von Ausdrüken unter Verwendung der lgerishen Gesetze. Zwei Ausdrüke sind äquivlent, flls die Ergenisse ihrer Auswertung für lle möglihen Komintionen von Vrilenelegungen identish sind. ( ) ( ) ( ) ( ) x y 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 2

5 Tutologie (3) Modul 3: Shltnetze Mittels lgerisher Umformung: ( ) ( ) = [ ( ) ] [ ( ) ] (Distriutivgesetz) (Distriutivgesetz) (Inverses Element) (Neutrles Element) (Kommuttivgesetz) = [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] = [ ( ) ] [ ( ) ] = ( ) ( ) = ( ) ( ) Formlen Grundlgen logisher Beshreiungen Booleshe Alger, Shltlger Norml- und Minimlformen Relisierung von Shltnetzen uf Shlter- und Gttereene Entwurf von Shltnetzen Logikminimierung, KV-Digrmme Progrmmierung von Funktionen Lufzeiteffekte ei Shltnetzen 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 2 Normlformen Eine ooleshe Funktion knn durh vershiedene ooleshe Ausdrüke eshrieen werden. Eine Stndrddrstellung oolesher Funktionen im vollständigen Opertorensystem (,, ) ist die konjunktive (KNF) und die disjunktive Normlform (DNF). Ein Literl L i ist entweder eine Vrile x i oder ihre Negtion x i d.h., L i {x i, x i } Produktterme Ein Produktterm K(x,...,x m ) ist die Konjunktion von Literlen L i = L L m oder die Konstnte "" oder " " Beispiele: x i x i i {,...,m} Jeder Produktterm K(x,...,x m ) = L i knn so drgestellt i {,...,m} werden, dß eine Vrile x in höhstens einem Literl vorkommt. 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 28 Literle und Produktterme Impliknt und Minterm Flls L h = x, L j = x, h j (mehrfh ejhtes Auftuhen) L h L j = x m K(x,...,x m ) = L i i= Mehrfhes Auftreten von x knn nh Idempotenzgesetz gestrihen werden ( x x = x). Ein Produktterm K(x,...,x n ) heißt Impliknt einer Booleshen Funktion y(x,...,x n ), wenn K y Ds heißt, für jede Belegung B {,} n gilt: Wenn K(B) =, dnn ist uh y(b) = Flls L h = x und L j = x (gemishtes ejhtes und negiertes Auftreten) L h L j = K(x,...,x m ) = (Produktterm wird zu ) Ein Impliknt einer Booleshen Funktion y(x,...,x n ) heißt Minterm, wenn ein Literl jeder Vrilen x i der Funktion y im Impliknten genu einml vorkommt. 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 3

6 Minterme Disjunktive Normlform Minterme einer Booleshen Funktion y(x,...,x ): Dmit läßt sih die disjunktive Normlform definieren: x x 2 x 3 x x x 2 x 3 x Keine Minterme der Booleshen Funktion y(x,...,x ): x x 2 x x 2 x 3 x 3 x Es sei eine Booleshe Funktion y(x,...,x n ) gegeen. Ein Boolesher Ausdruk heißt disjunktive Normlform (DNF) der Funktion y, wenn er us einer disjunktiven Verknüpfung ller Minterme K i esteht: y = K K... K k, k 2 n - Es drf dei keine zwei Konjunktionen K i, K j mit i j geen, die zueinnder äquivlent sind. 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 32 Disjunktive Normlform Implikt Beispiele f (,, ) = ist in DNF. f (,, ) = ( ) ist niht in DNF, denn: enthält niht lle Vrilen und sind äquivlent ( ) ist keine reine Konjunktion Es sei D(x,...,x m ) eine Disjunktion von Literlen L i = L L m oder die Konstnte "" oder "" i {,...,m} Der Term D (x,...,x m ) heißt Implikt einer Booleshen Funktion y(x,...,x m ), wenn D y Ds heißt für jede Belegung B {,} n gilt: Wenn D(B) =, dnn ist uh y(b) =. 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 3 Mxterm Konjunktive Normlform Ein Implikt einer Booleshen Funktion y(x,...,x m ) heißt Mxterm, wenn ein Literl jeder Vrile x i der Funktion y im Implikten genu einml vorkommt. Mxterm-Beispiele für die Booleshen Funktion y(x,...,x 3 ): x x 2 x 3 x x 2 x 3 Es sei eine Booleshe Funktion y(x,...,x m ) gegeen. Ein Boolesher Ausdruk heißt konjunktive Normlform (KNF), wenn er us einer konjunktiven Verknüpfung ller Mxterme D i esteht: y = D D... D k, k 2 n - Es drf dei keine zwei Disjunktionen D i, D j mit i j geen, die zueinnder äquivlent sind. 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 3

7 Deutung: Disjunktive/Konjunktive Normlform DNF und KNF Jeder Minterm einer DNF entspriht einer Zeile in der Funktionstelle, die den Funktionswert liefert. Jeder Mxterm einer KNF entspriht einer Zeile in der Funktionstelle, die den Funktionswert liefert. Disjunktive und konjunktive Normlformen sind eindeutige Drstellungen! Bis uf Permuttionen (z.b.,,,,, sind äquivlent) In einer Funktion mit n Vrilen können is zu 2 n Minterme zw. Mxterme uftreten. Für n = 3 sind diese: 2 3 Minterm Mxterm 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 38 Beispiel: DNF und KNF Um eine Funktion zu eshreien, reiht die Ange ller Minterme (oder ller Mxterme) us. y Minterme Mxterme Herkunft der Bezeihnungen Funktionen us genu einem Minterm liefern für genu eine Belegung den Funktionswert, d.h., gesehen von der trivilen Nullfunktion hen sie eine minimle Anzhl n Einsen. Entsprehend liefern Funktionen us nur einem Mxterm für genu eine Belegung ls Ergenis, d.h., sie hen gesehen von der Einsfunktion die mximle Anzhl n Einsen. DNF: y = ( ) ( ) ( ) ( ) KNF: y = ( ) ( ) ( ) ( ) 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 DNF oder KNF us der Funktionstelle DNF oder KNF us elieiger Form DNF: Aus der Funktionstelle einer Funktion erhält mn die Minterme, indem mn in llen Zeilen mit dem Funktionswert jeweils lle Eingngsvrilen mit verknüpft und dei Eingngsvrilen mit dem Wert negiert. Durh die disjunktive Verknüpfung dieser Minterme knn ein Boolesher Funktionsusdruk in DNF hergeleitet werden. KNF: Aus der Funktionstelle einer Funktion erhält mn die Mxterme, indem mn in llen Zeilen mit dem Funktionswert jeweils lle Eingngsvrilen mit verknüpft und dei Eingngsvrilen mit dem Wert negiert. Durh die konjunktive Verknüpfung dieser Minterme knn ein Boolesher Funktionsusdruk in KNF hergeleitet werden. 22 Burkhrd Stiller M3 Um Funktionen us der DF zw. KF in die DNF zw. KNF zu üerführen, ist der Shnnonshe Entwiklungsstz ehilflih. Entwiklung nh der Vrilen x i : die Vrile wird in der Funktion uf den Wert gesetzt, der entstehende Term konjunktiv mit x i verknüpft, und -verknüpft mit: die Vrile wird in der Funktion uf den Wert gesetzt und der entstehende Term konjunktiv mit x i verknüpft y = f(x,..., x n ) = [ x i f(x,..., x i-,, x i+,..., x n )] [ x i f(x,..., x i-,, x i+,..., x n )] 22 Burkhrd Stiller M3 2

8 y = Shnnon-Entwiklung nh und Beispiel: = [ ] [ ] H: = und H3: x = x = [ ] [ ] Syntktishe Anpssung der Terme, Sortierung von nh niht- und negierten Literlen und H3: x = x = [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] Erweiterung von im letzten Term üer H: = = [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] Distriutivgesetz (Ausmultiplizieren) = Beispiel: Shnnon-Bum Nhdem die Funktion nh llen Vrilen entwikelt wurde, können die Minterme durh Verfolgen der Äste des Bums gefunden werden, die zu einer führen. 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 DNF und KNF Wiederholung: Disjunktive und konjunktive Normlformen sind eindeutige Drstellungen! is uf Permuttionen (z.b.,,,,, sind äquivlent) Beispiel: y = DNF: y = KNF: y = ( ) ( ) ( ) Minimlformen () Ziele: Möglihst kurze Booleshe Ausdrüke für eine gegeene Booleshe Funktion. Tehnishe Relisierung einer Shltung mit möglihst geringen Kosten. Ähnlih zum Aufu der disjunktiven und konjunktiven Normlform git es eine disjunktive (DMF) und konjunktive (KMF) Minimlform. Es knn mehrere disjunktive und konjunktive Minimlformen für die gleihe Funktion geen. Beispiel: y = und y = stellen diesele Funktion dr, eides sind disjunktive Minimlformen. 22 Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3 Minimlformen (2) NAND/NOR-Konversion Ds Auffinden einer Minimlform ist insesondere für Funktionen mit einer größeren Anzhl von Vrilen keine trivile Aufge. Oft können nur suoptimle Lösungen unter Verwendung von Heuristiken gefunden werden. Bei Minimierungsverfhren geht mn in zwei Shritten vor: Es wird eine Menge von Impliknten zw. Implikte der Funktion y mit einer möglihst geringen Anzhl von Literlen geildet. Aus dieser Menge wird eine möglihst geringe Anzhl von Impliknten zw. Implikte herusgesuht, deren Disjunktion zw. Konjuktion die Funktion y ergeen. 22 Burkhrd Stiller M3 ( )-System (NAND-System) und ( )-System (NOR-System) sind vollständige Opertorensysteme elieige disjunktive und konjunktive Ausdrüke können mit NAND- und NOR-Verknüpfungen drgestellt werden. Üerführungen (vier Fälle):. Fll: Funktion in disjunktiver Form ( )-System 2. Fll: Funktion in disjunktiver Form ( )-System 3. Fll: Funktion in konjunktiver Form ( )-System. Fll: Funktion in konjunktiver Form ( )-System Wrum sind diese Üerführungen relevnt? Einfhe Implementierung in Hrdwre! NANDs/NORs sind sehr einfh in Shltungen relisierr. 22 Burkhrd Stiller M3 8

9 NAND-Konvertierung (Beispiel:. Fll). Fll: Funktion in disjunktiver Form ( )-System Gegeen sei eine Funktion in disjunktiver Form. Üerführung:. Doppelte Negtion 2. Anshließende Anwendung der DeMorgnshen Regeln Beispielrehnung y= = = = NAND (NAND 3 (,, ), NAND 3 (,, ), NAND 3 (,, ), NAND 3 (,, )) Dei ist NAND k (x,...,x k ) eine k-stellige Funktion, für die gilt: Dnn erhält mn einen Ausdruk, der nur noh NAND ls Opertor enthält. NAND k (x,...,x k ) für x =... = x k = sonst 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 NAND 2 -Funktion Wihtige Zusmmenfssung Drstellung der NAND 2 -Funktion durh den Opertor: Prolem: Die Opertoren und sind niht ssozitiv. ( x x 2 ) x 3 x ( x 2 x 3 ) ( x x 2 ) x 3 x ( x 2 x 3 ) NAND 3 (x, x 2, x 3 ) = x x 2 x 3 = (x x 2 ) x 3 (x x 2 ) x 3 = x x 2 x 3 x ( x 2 x 3 ) = x x 2 x 3 22 Burkhrd Stiller M3 Shltlger Booleshe Ausdrüke und Funktionen Vollständiger Opertorensysteme Drstellung Funktionstelle Symolishe Form Shnnon Bum (Grph) Normlformen Produktterm und Literl Disjunktive Normlform: Impliknt und Minterm Zeile einer Funktionstelle mit dem Funktionswert Konjunktive Normlform: Implikt und Mxterm Minimlformen Zeile einer Funktionstelle mit dem Funktionswert Niht eindeutig, er kurz in Form notwendiger Min-/Mxterme 22 Burkhrd Stiller M3 2 Modul 3: Shltnetze Relisierung von Shltnetzen Hierrhie: Formle Grundlgen logisher Beshreiungen Booleshe Alger, Shltlger Norml- und Minimlformen Relisierung von Shltnetzen uf Shlter- und Gttereene Entwurf von Shltnetzen Logikminimierung, KV-Digrmme Progrmmierung von Funktionen Lufzeiteffekte ei Shltnetzen Register-Trnsfer-Eene: logishe Busteine ls Grundelemente (Grundlge der Progrmmierung) Multiplexer, Shieeregister, Addierer,... In folgenden Modulen ein wenig diskutiert Gttereene: logishe Gtter UND, ODER, NAND,... In M3 soeen theoretish gezeigt, jetzt in Gtter üersetzt Shltereene: Trnsistoren ls Shlter Elektrotehnishe Grundlgen Beispiel in M erwähnt Lyouteene: Trnsistortehnologie Elektrotehnishe Grundlgen Beispiel in M erwähnt Bottom-up 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3

10 Gttereene Shltsymole (DIN 9 Teil 2, ANSI/IEEE- Stndrd 9-98, IEC-Stndrd & US-Symole) Astrhierung von der internen Relisierung der Verknüpfungsusteine Beshränkung uf ds logishe Verhlten Aildung logisher Funktionen uf Shltungen ohne tiefergehende elektrotehnishe Kenntnisse & UND-Verknüpfung y y y y ODER-Verknüpfung Negtion Verknüpfungsusteine werden durh Shltsymole drgestellt & y NAND-Verknüpfung y y NOR-Verknüpfung y Verknüpfungsusteine dieser Art werden Gtter gennnt. 22 Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3 Bedeutung der Zeihen Antivlenz-Gtter & : ndere Shreiweise für : der Ausgng ist genu dnn, wenn n Eingängen eine liegt : Negtion Weitere Symole, lte Drstellungen und die Logik hinter den Symolen finden sih im We! Aus einfheren Gttern lssen sih hierrhish komplexere Gtter ufuen, die teilweise eigene Symole esitzen. & / Antivlenz ls Komposition fünf einfherer Shltglieder. Geeignet zur Üerluferkennung (siehe M2) = / 22 Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3 8 Äquivlenz-Gtter Modul 3: Shltnetze & & = Äquivlenz ls Komposition fünf einfherer Shltglieder. Formle Grundlgen logisher Beshreiungen Booleshe Alger, Shltlger Norml- und Minimlformen Relisierung von Shltnetzen uf Shlter- und Gttereene Entwurf von Shltnetzen Logikminimierung, KV-Digrmme Progrmmierung von Funktionen Lufzeiteffekte ei Shltnetzen 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3

11 Entwurf von Shltnetzen () Entwurf von Shltnetzen (2) Prktisher Entwurf von Shltnetzen muß ehten, dß rele Gtter keine idelen Verknüpfungen sind, sondern z.b. Wärme geen, rele Gtter Pltz enötigen (Qudrtmirometer), rele Gtter Verzögerungszeiten esitzen (Mirosekunden),... Teil : Tehnishe Kriterien: Leistungsufnhme, Shltzeit, Pltzedrf, Mteril, Leensduer Teil 2: Ökonomishe Kriterien Geringe Kosten für den Entwurf (Entwurfsufwnd), z.b. Lohnkosten, Kosten für Rehnerenutzung zur Entwurfsunterstützung Geringe Kosten für die Relisierung (Relisierungsufwnd), z.b. Kosten für die eingesetzten Buelemente (ei der Herstellung integrierter Shltkreise wird die Relisierung uf einer möglihst kleinen Chipflähe gefordert) Geringe Kosten für Inetrienhme, lufenden Betrie, z.b. Test, Wrtung Korrekte Relisierung unter Behtung des sttishen und dynmishen Verhltens der verwendeten Buelemente (Hsrds und Wettläufe) Berüksihtigung tehnisher Beshränkungen, z.b. egrenzte Anzhl von Eingängen der Logikelemente, egrenzte Belstrkeit von Elementusgängen 22 Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3 2 Entwurf von Shltnetzen (3) Minimierungsverfhren Grenzen zwishen tehnishen und ökonomishen Kriterien sind teilweise fließend. Einzelne Kriterien stehen uh im Widerspruh zueinnder. z.b. Erhöhung der Zuverlässigkeit Erhöhung der Kosten geringere Relisierungskosten höhere Entwurfskosten Aufge des Entwerfers esteht drin, für eine estimmte Prolemstellung den günstigsten Kompromiss zu finden. Ziel des Entwurfs: Unter Einhltung estimmter tehnisher Kriterien vor llem einen günstigen Kompromiss ezüglih der ökonomishen Kriterien nzustreen, um so zu einem Minimum n Gesmtkosten zu gelngen. 22 Burkhrd Stiller M3 3 Grundlge: Relisierung der Shltnetze in zweistufiger Form Drstellungsform, deren Relisierung die geringsten Kosten verursht, ezeihnet mn ls Minimlform Der Vorgng der Erzeugung einer Minimlform wird ls Minimierung ezeihnet. Es git drei Arten von Minimierungsverfhren: Algerishe Verfhren Grphishe Verfhren Tellrishe Verfhren Algerishe und grphishe Verfhren eignen sih nur für Funktionen mit is zu / Vrilen, dnh werden sie zu unüersihtlih. Dnh wendet mn tellrishe Verfhren n. 22 Burkhrd Stiller M3 Prktishe Einordnung Grphishe Verfhren Aufgenstellung Primterme Auswhl Ds KV-Digrmm (nh Krnugh und Veith) Auh oft nur Krnugh mp, Krnugh-Digrmm Vrilennzhl KV-Digrmm KV-Digrmm Üerdekungstelle Ausgngspunkt ist ein Rehtek, dessen rehte Hälfte der Vrilen und dessen linke Hälfte zugeordnet wird: Geg. DF(KF) Ges. DMF(KMF) [Disj./Konj. Minimlform] Consensus Quine-MCluskey Üerdekungstelle Geg. DF(KF) Ges. KMF(DMF) [Disj./Konj. Form] Nelson Üerdekungstelle KV-Digrmm für eine Vrile Für erweiterte/leistungsfähigere Verfhren wird uf die Litertur verwiesen! 22 Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3

12 KV-Digrmm () KV-Digrmme (2) Die Zhl in den Feldern git den Index der Vrilenelegung n: Index des Minterms, der dort den Wert nnimmt. KV-Digrmme für mehrere Vrile erhält mn durh Spiegelung (für jede neue Vrile verdoppelt sih die Anzhl der möglihen Belegungen) Durh Eintrgen der Whrheitswerte oder in die Felder des KV-Digrmms wird eine Booleshe Funktion hrkterisiert. Ds KV-Digrmm ist eine weitere Drstellungsform Boolesher Funktionen (Alterntive zur Funktionstelle). y: y = z: z = d Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3 8 KV-Digrmme (3) KV-Digrmme Erstellung () Jedes Feld ht eine eindeutige Vrilenzuordnung, die n den Rändern gelesen werden knn: Feld ht die Zuordnung: d. Funktion sei in Tellenform gegeen: Jede Zeile der Funktionstelle entspriht einem Feld im KV-Digrmm. Für jede Zeile der Funktionstelle suht mn ds zugehörige Feld im KV- Digrmm und trägt den Funktionswert ein. Der Index in den Feldern git den Index der zum Feld gehörenden Vrilenelegung n (Vrilen in umgekehrter lphetisher Reihenfolge ngetrgen). Feld = 2 = d d Trik, um ds Auffinden der Felder im KV-Digrmm zu erleihtern: Mn shreit die Eingngsvrilen in umgekehrter lphetisher Reihenfolge in die Telle. Dnn knn ds KV-Digrmm gemäß der Indizierung seiner Felder mit den Werten usgefüllt werden, welhe die Telle eim Durhlufen von oen nh unten liefert. 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 KV-Digrmme Erstellung (2) Eigenshften der KV-Digrmme () Beispiel: y = Funktionstelle: Index y 2 3 Dmit ergit sih ds folgende KV-Digrmm: Wesentlihe Eigenshft: Symmetrish zu einer Ahse liegende Minterme untersheiden sih lediglih in einer Vrilen. Beispiel: oder oder Minterm = Minterm = Minterm = Minterm = Minterm = Minterm 3 = 22 Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3 2

13 Eigenshften der KV-Digrmme (2) Primimpliknt Nh den Regeln der Booleshen Alger lssen sih Terme, die sih nur in einer Vrilen untersheiden, zusmmenfssen: Beispiel: = ( ) = Es entsteht ein Term ohne diese Vrile. Symmetrish zu den Ahsen des KV-Digrmms liegende Minterme lssen sih zu einem einfheren Term zusmmenfssen. 22 Burkhrd Stiller M3 3 Ein Impliknt p ist Primimpliknt, flls es keinen Impliknten q p git, der von p impliziert wird q: q p (p q) d.h., p ist von größtmögliher Ordnung (p umfsst einen mximl großen Einslok). Es gilt: Jede Funktion ist ls Disjunktion ihrer Primimpliknten drstellr. 22 Burkhrd Stiller M3 Heruslesen der Primimpliknten Beispiel Heruslesen der Primimpliknten us dem KV-Digrmm: Mn versuht, möglihst große Blöke von Einsen im Digrmm zu finden, woei jeder Einslok 2 k Felder umfssen muß. Beispiel: f= Vier Minterme: (,,, ) Drei Primimpliknten: Impliknten erster Ordnung (,, ) Aer: (, ) genügen eigentlih! f = = = 22 Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3 Heruslesen einer Funktion Auffrishung: Es sei D(x,...,x m ) eine Disjunktion von Literlen L i = L L m oder die Konstnte oder Der Term D (x,...,x m ) heißt Implikt einer Booleshen Funktion y(x,...,x m ) [f Funktion von x i ], wenn D y [y Produktterm us Literlen dieser x i ] Ds heißt für jede Belegung B {,} n gilt: Wenn D(B) =, dnn ist uh y(b) =. yist Impliknt von y, wenn y die Funktion y impliziert, d.h. wenn die Menge ller Einsstellen von y in der Menge ller Einsstellen von y enthlten ist. Beispiel () Beispiel: f = Minterme (,2,,,,) f : g = g = g = ist Impliknt ist Impliknt ist Impliknt 22 Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3 8

14 Beispiel (2) Implementtion von Funktionen Beispiel: f = Minterme (,2,,,,) f : g = g = g = ist KEIN Impliknt ist Impliknt ist KEIN Impliknt (Impl.) Implementtion regelmäßig wiederkehrender Funktionen. Zwei Vrinten werden diskutiert: Üer Multiplexer/Demultiplexer Speiher Ein Multiplexer (Akürzung: MUX) ist ein Bustein mit mehreren Eingängen und einem Ausgng, woei üer n Steuerleitungen einer der 2 n Eingänge uf den Ausgng geshltet wird. Multiplexer werden nh ihrer Größe ls 2 n : - Multiplexer (lterntiv ls -us-2 n - Multiplexer) klssifiziert. 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 8 -us--multiplexer Logishe Funktionen mit Multiplexern s s e e Shltild und logishes Verhlten: MUX G s s e e s s e e Ein Multiplexer knn niht nur zur Steuerung von Dtenflüssen sondern uh zur Relisierung logisher Funktionen verwendet werden. Mn knn mit einem 2 n : - Multiplexer eine logishe Funktion mit n+ Vrilen implementieren. Hierzu wird die sog. Implementierungstelle verwendet. 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 82 Implementierungstelle Beispiel Die Telle esteht us: 2 n Splten für die möglihen Belegungen der n Steuereingänge 2 Zeilen für die negierte und niht negierte (n+)-te Vrile In die Telle werden die Funktionswerte in Ahängigkeit von den Vrilen eingetrgen. Anshließend etrhtet mn jede Splte für sih und ordnet ihr eine einstellige Funktion g {,,, } zu, mit der dnn der Eingng elegt wird, der zu der entsprehenden Steuervrilenkomintion gehört. Relisierung einer Funktion mit Multiplexer: f = Implementierungstelle ei Whl von und ls Steuereingänge: = = f= } Relisierung 2 3 MUX G 3 f 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 8

15 Demultiplexer/Dekoder () Demultiplexer/Dekoder (2) Der zum Multiplexer korrespondierende Bustein, der einen Eingng hängig von n Steuerleitungen uf einen von 2 n Ausgängen shltet, heißt Demultiplexer. Beispiel: s s e } G DX s s 2 3 e e e e Shltild und logishes Verhlten eines -uf--demultiplexers Mn ehte: der Demultiplexer ht einen Enle-Eingng e sowie n Eingänge s i für eine Dulzhl, die n den 2 n Ausgängen j dekodiert ereitgestellt wird. Enle-Eingng e =, dnn liegen lle Ausgänge uf nsonsten wird ein-it-zhl dekodiert, z.b. wird ei Anlegen der Zhl 2 (s =, s = ) der Ausgng 2 = und lle nderen Ausgänge leien. Der Demultiplexer wird deshl uh Dekoder gennnt. (Speih.) 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 8 Relisierung mittels Speiherusteinen Shemtisher Aufu eines Speiherusteins Bei den isher ehndelten Busteinen (Gtter, Multiplexer, Dekoder) wr die Funktion fest vorgegeen. Speihernordnung, in der elieige Funktionstellen gelegt werden. festverdrhtete Logik Höherintegrierte Verknüpfungsusteine müssen die Flexiilität ieten, n viele vershiedene Anwendungen npßr zu sein. Diese Anpssung wird ls Personlisierung oder ls Progrmmierung ezeihnet. mikroprogrmmierte Logik (siehe M für entsprehende CPUs) n Eingngsvrilen n- DX G n 2-2 n 2 n 2 n.... m- m Ausgngsvrilen 2 n Minterme/ Adressen 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 88 Orgnistion von Speiherusteinen Erläuterung zum Speiherustein Durh ds Anlegen von Eingngssignlen wird eine Speiherzelle usgewählt (dressiert) und der dort gespeiherte Funktionswert n den Ausgängen zur Verfügung gestellt. Die Leitungen, die den Dekoder verlssen, entsprehen lso den Mintermen von n Eingngsvrilen, lso den Zeilen der Funktionstelle. Ds Speihern einer für eine estimmte Ausgngsvrile i edeutet, dß dieser Minterm in die ODER-Verknüpfung m i- ten Ausgng einezogen wird, eine heißt, dß der Minterm niht enutzt wird. 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 9

16 Speihertypen () Speihertypen (2) Je nh Personlisierung des Speiherusteins untersheidet mn vershiedene Speihertypen. ROM (Red Only Memory): PROM (Progrmmle Red Only Memory): Progrmmierre ROMs, die erst vom Benutzer progrmmiert werden. Speiherusteine, uf die nur lesend zugegriffen werden knn. Progrmmierung eim Hersteller (mskenprogrmmierre ROMs), wird während der gnzen Leenszeit des Busteins eiehlten. Progrmmierung: Durhrennen von mikroskopish kleinen Verindungen (engl.: fusile link) Auf den Bustein ufgerhte Ldungen, die üer Jhre hinweg durh physiklishe Prozesse festgehlten werden (engl.: stored hrge). 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 92 Speihertypen (3) Speihertypen () EPROM (Ersle Progrmmle Red Only Memory): RAM (Rndom Aess Memory): Ein enutzerprogrmmierrer Speiherustein, durh UV- Liht wieder löshr und dnn neu progrmmierr. Qurzfenster uf der Busteinoerflähe. Es git uh Speiherusteine, die elektrish (durh ds Anlegen höherer Spnnungen) gelösht werden können EEPROM: Eletrilly Ersle PROM EAROM: Eletrilly Alternle ROM. Anwendung z.b. Speiher ei Digitlkmers (Compt Flsh, Memory Stik) Speiher, uf die während des Normletries lesend und shreiend zugegriffen werden knn. Ein RAM-Bustein verliert seine Progrmmierung, wenn er von der Spnnungsversorgung getrennt wird. Mn untersheidet : Dynmishe RAM-Busteine (DRAM) Sttishe RAM-Busteine (SRAM). 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 9 Dynmishe RAM-Busteine (DRAM) Sttishe RAM-Busteine (SRAM) Ein Kondenstor dient ls Ldungsspeiher, und ein Trnsistor wird zum Ankoppeln n diesen Ldungsspeiher enötigt. Der Speiherinhlt muß in regelmäßigen Zeitständen ufgefrisht" werden (memory refresh). Als Speiherzelle wird ein Flipflop verwendet (Erklärung folgt in Modul ). Die Speiherzelle hält ihre Progrmmierung uh ohne Regenertion. Die Zugriffszeit ei einem sttishen RAM ist wesentlih kürzer ls ei einem dynmishen RAM. Eine sttishe Speiherzelle enötigt etw is 8 Trnsistoren, eine dynmishe dgegen deutlih weniger (z.b. ein Trnsistor). 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 9

17 Memresistor Gegenüerstellung von RAMs und ROMs Untershiede zwishen RAMs und ROMs etreffen vor llem: Lese-/Shrei-Möglihkeiten (RW; red-write) Zugriffszeiten (ZZ; für R/W) Speiherpermnenz ohne Spnnungsversorgung (SP) Relisierre Speihergröße (SG) 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 98 PLA (Progrmmle Logi Arry) FPLA und PAL Bisher wurde die gesmte Funktionstelle in einem Speiherusteinen gespeihert und die Funktion durh ihre DNF (Disjunktive Normlform) relisiert. Verwendet mn stttdessen die DMF (Disjunktive Minimlform), lssen sih Funktionen oft sehr viel kompkter drstellen. PLA (Progrmmle Logi Arry): Im Untershied zum ROM werden ei PLA eingngsseitig niht Minterme, sondern Primimpliknten der Minimlüerdekung erzeugt. Dzu wird der Dekoder durh eine UND-Mtrix ersetzt. PLAs werden ähnlih wie ROMs ereits ei der Herstellung personlisiert. Ein vom Benutzer zu progrmmierendes PLA mit fest vorgegeener Anzhl von Eingngsvrilen n, Produkttermen k und Ausgngsvrilen m wird FPLA (field progrmmle logi rry) gennnt. Alterntiv dzu werden PAL-Busteine (progrmmle rry logi) ngeoten, ei denen die UND- zw. ODER-Mtrix ereits in der Herstellung personlisiert wurde. 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 Beispiel: PAL-Relisierung Modul 3: Shltnetze Die (shon minimierten) Funktionen f = und f 2 = sollen mit einem PAL relisiert werden: & Formle Grundlgen logisher Beshreiungen Booleshe Alger, Shltlger Norml- und Minimlformen Relisierung von Shltnetzen uf Shlter- und Gttereene Entwurf von Shltnetzen Logikminimierung, KV-Digrmme Progrmmierung von Funktionen Lufzeiteffekte ei Shltnetzen f f 2 22 Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3 2

18 Lufzeiteffekte Reler und ideler Signlverluf (Inverter) Auf der Gttereene wurden die Gtter isher ls idele logishe Verknüpfungen etrhtet. U x(t) x(t) U y(t) y(t) In der Relität werden Gtter jedoh z.b. mittels Trnsistoren, Widerstände, Kpzitäten relisiert (Lyouteene). Eingngsspnnung x(t) U x(t) Zeit t Der zeitlihe Signl-Verluf eines relen Gtters weiht vom Verluf der idelen ooleshen Größen. Ausgngsspnnung y(t) U (t) y Zeit t 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 Relistishere Beshreiung von Gttern Beispiel: Totzeitmodell eines Inverters Um die Effekte uf der Gttereene nnähernd zu eshreien, git es eine Reihe vershieden komplexer Modelle. Einfhes Modell: Totzeitmodell Es werden lediglih die durh Gtter und Leitungen entstehenden Totzeiten erüksihtigt. Ein reles Verküpfungsglied (Gtter) wird modelliert durh: Ein ideles Verknüpfungsglied ohne Verzögerungsnteil und Ein Totzeitglied ls reines Verzögerungsglied (steht für die Shltzeit des Gtters und ggf. für Leitungsverzögerungen). Ds zeitlihe Verhlten einer inären Größe hinter einem Totzeitglied ist dssele wie dsjenige vor dem Totzeitglied, er um die Zeit versetzt: Mit Hilfe dieses einfhen Modells lssen sih Lufzeiteffekte ereits sehr gut modellieren (uh wenn dieses Modell noh sehr idelisierend ist!). x y x(t) y(t) (t) (t) = (t- ) 22 Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3 Beispiel: Inverternwendung Zeit-Digrmm Gegeen: e = e e = e e Beide Gtter hen eine Verzögerungszeit von ns t/ns 22 Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3 8

19 Verhlten eines Shltnetzes ei Änderung der Eingeelegung () Verhlten eines Shltnetzes ei Änderung der Eingeelegung (2) Ideles Shltnetz: Reles Shltnetz: Ds Ausgngssignl ändert sih niht, wenn lte und neue Belegung denselen logishen Verknüpfungswert liefern. Ds Ausgngssignl ändert sih genu einml, wenn lte und neue Belegung vershiedene logishe Verknüpfungswerte liefern. Die Änderung läuft uf vershieden lngen Wegen mit vershiedenen Verzögerungen durh ds Shltnetz. Mehrfhe Änderungen des Ausgngssignls sind möglih, is sih der stile Endwert einstellt Hsrdfehler 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 Beispiel Eingewehsel Funktion: = e e Es sollen die folgenden Eingewehsel etrhtet werden: e x & x 2 ) Die Eingänge und seien konstnt, der Eingng e wehsle von uf & 3 x 3 ) Die Eingänge und seien konstnt, der Eingng e wehsle von uf e 22 Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3 2 Funktion: = e e Ds Verhlten nhnd des Totzeitmodells Funktionswerte ei den Üergängen: (,,e ) = (,,) = (,,e ) = (,,) = e e x & x2 e t korrektes Verhlten ei den Üergängen. Bei eiden Üergängen drf sih der Wert von niht ändern. Er muß konstnt leien. Genu dieses Verhlten knn jedoh niht grntiert werden! & 3 x 3 x x 2 3 x 3 Hsrdfehler 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3

20 Ds Verhlten nhnd des Totzeitmodells Ergenis t e x & x2 e Beim Wehsel e von uf liefert ds Ausgngssignl niht ständig den korrekten Funktionswert Hsrdfehler & 3 x 3 x x 2 3 x 3 Beim Wehsel e von uf ist ds Ausgngssignl hingegen korrekt kein Hsrdfehler 22 Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3 Begriffe: Eingewehsel, Üergng Begriffe: Hsrdfehler - Hsrd Ein Eingewehsel ist die Änderung einer oder mehrerer Eingngsvrilen zu einem estimmten Zeitpunkt. Flls sih mehrere Eingngsvrilen ändern sollen, so müssen sie dies gleihzeitig tun. Ein Üergng ist der Vorgng im Shltnetz, der vom Eingewehsel usgelöst wird. Er eginnt mit dem Eingewehsel und endet mit dem Eintreten des neuen Ruhezustndes. Ein Hsrdfehler ist eine mehrmlige Änderung der Ausgngsvrilen während eines Üergngs. Ein Hsrd ist die durh ds Shltnetz gegeene logishstrukturelle Voredingung für einen Hsrdfehler, ohne Berüksihtigung der konkreten Verzögerungswerte. 22 Burkhrd Stiller M3 22 Burkhrd Stiller M3 8 Hsrdehftete Üergänge () Hsrdehftete Üergänge (2) Jeder Hsrd ist eine Eigenshft eines estimmten Üergnges im Shltnetz. Zur Betrhtung, o ein estimmter Üergng hsrdehftet ist oder niht, interessiert nur: Die logishe Funktion, die durh ds Shltnetz relisiert wird. Die Struktur des Shltnetzes, d.h. die Anzhl, die Verknüpfungsfunktionen und die genue Anordnung der Gtter zur Relisierung der Funktion, niht jedoh die ttsählihen Verzögerungswerte der verwendeten Gtter. Tritt in einem konkreten Shltnetz ei einem estimmten Üergng ein Hsrdfehler uf, so ist dieser Üergng hsrdehftet, lso: Hsrdfehler Hsrd Die Umkehrung gilt jedoh niht: Ist ein Üergng hsrdehftet, so folgt hierus niht notwendigerweise ds Eintreten eines Hsrdfehlers. Hsrd ungünstige Verzögerungswerte Hsrdfehler 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 2

21 Beispiel Funktionshsrd e t x x 2 3 x 3 Hsrdfehler 22 Burkhrd Stiller M3 2 e x x 2 3 x 3 t kein Hsrdfehler Der Üergng (,,e ) : (,,) (,,) ist hsrdehftet, d es die Möglihkeit zu einem Hsrdfehler git. Ein Funktionshsrd ist ein Hsrd, dessen Urshe in der zu relisierenden Funktion liegt. Er tritt in jedem möglihen Shltnetz für diese Funktion uf. Er knn niht ehoen werden. Für ein konkretes Shltnetz mit Funktionshsrd knn zwr der Funktionshsrdfehler durh günstige Whl der Verzögerungswerte ehoen werden, niht jedoh der Hsrd selst. 22 Burkhrd Stiller M3 22 Strukturhsrd Sttisher -Hsrd Ein Strukturhsrd ist ein Hsrd, dessen Urshe in der Struktur des relisierten Shltnetzes liegt. Ein Strukturhsrd knn deshl immer durh Änderung der Shltnetzstruktur ei gleiher Shltnetzfunktion ehoen werden. Es ist grundsätzlih möglih, ein nderes Shltnetz zu entwerfen, welhes diesele Funktion relisiert und den Strukturhsrd eseitigt. Anlog zu den Üergängen werden die Hsrds ls sttish zw. dynmish ezeihnet, je nhdem, ei welher Art von Üergng sie uftreten. Ein Hsrd in einem sttishen -Üergng heißt sttisher - Hsrd. Beispiele für sttishe -Hsrdfehler: 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 2 Sttisher -Hsrd Ein Hsrd in einem sttishen -Üergng heißt sttisher - Hsrd. Beispiele für sttishe -Hsrdfehler: Dynmisher -Hsrd Ein Hsrd in einem dynmishen -Üergng heißt dynmisher -Hsrd. Beispiele für dynmishe -Hsrdfehler: Der Üergng (,,) (,,) im Beispiel enthält lso einen sttishen -Hsrd. 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 2

22 Dynmisher -Hsrd Klssifizierung von Hsrds Ein Hsrd in einem dynmishen -Üergng heißt dynmisher -Hsrd. Üergng Beispiele für dynmishe -Hsrdfehler: Sttish Dynmish 22 Burkhrd Stiller M Burkhrd Stiller M3 28 Üergngseispiele e Sttisher -Üergng: Üergng (,,e ): (,,) (,,) Dynmisher -Üergng: Üergng (,,e ): (,,) (,,) Dynmisher -Üergng Üergng in umgekehrter Rihtung: (,,) (,,) 22 Burkhrd Stiller M3 29