Homologie und der Rang des Steinberg-Moduls in endlichen Geometrien

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1 Homologe ud der ag des Steberg-Moduls edlche Geometre Dr Gert Hllebradt 990 INHALTSVEZEICHNIS Eletug Allgemee geometrsche Grudlage 7 Homologe ud Kohomologe edlche Geometre 7 3 De Steberg-Modul der sphärsche Gebäude 3 4 Der p-ag vo (0,)-Matrtze 35 A Partelle Leare äume 37 B Partalgeometre 38 C Leare äume 4 5 Leare äume der Dmeso dre 45 Lteraturverzechs 54

2 Eletug Homologe ud Kohomologe habe hre Ursprug der Topologe Herdurch werde topologsche rage mt algebrasche Methode beatwortet Dem topologsche aum werde Modul zugeordet, de Ivarate (Bett-Zahle, Torsoskoeffzete) des topologsche aumes darstelle Ee wchtge Kostrukto zur Berechug vo Homologe- ud Kohomologemodul st de der abstrakte smplzale Komplexe (Hlto, Wyle [0]) E abstrakter smplzaler Komplex K besteht aus eer Mege E vo Ecke ud aus eer Mege E S \ vo Smplexe, für de folgede Egeschafte gelte: Jede aus eer Ecke bestehede Mege st e Smplex Jedes Smplex st ee edlche Mege 3 Jede chtleere Telmege ees Smplex st e Smplex Ist de Azahl der Ecke eem Smplex glech k, so heßt de Zahl k de Dmeso des Smplex E Telsmplex der Dmeso r heßt r-te Sete des darüberlegede Smplexes Dazu e Bespel Wr betrachte u ee affe aum der Dmeso über eem edlche Körper Ee ahe des affe aumes st ee aufstegede olge U U Ul vo affe Telräume der Dmeso dm k U < Defere wr jede Pukt als Telraum der Dmeso ull, so blde de echte affe Telräume de Eckemege ees abstrakte smplzale Komplexes Jede ahe st da e abstraktes Smplex Deser smplzaler Komplex hat ee zusätzlche Egeschaft Wr köe de Ecke des Komplexes ahad der Dmeso uterschede Des führt zum Begrff des Typs De Ecke U st vom Typ, we dmu= st Ma ka auch sage, dass jede Ecke gefärbt st ud e Smplex aus uterschedlch gefärbte Ecke besteht Des führt zur Verallgemeerug vo Geometre, der Theore der geometrsche Komplexe, de wohl Tts [3] zu verdake st Wrd u de Ikluso der affe Telräume durch ee Izdezrelato ersetzt ud de Eckemege dsjukte geometrsche Type (Pukte, Gerade, Ebee, etc) egetelt, so erhalte wr de Defto eer Semgeometre m Se vo Buekehout [5] Ee Semgeometre : ( S; I; t) Γ= über eer Mege J besteht aus eer Mege S, eer surjektve Abbldug t : S J ud eer bäre symmetrsche elato I auf S mt folgeder Bedgug: ür jedes j J st I t j t j ( ) ( ) = Id, de Idettät Paarwese zderede Elemete werde zu eer Mege zusammegefasst ud blde ee ahe (Smplex) Eer Semgeometre ka sbesodere e abstrakter smplzaler Komplex (ahekomplex) zugeordet werde (Tts [33]) Mt jeder Semgeometre st der Izdezgraph verbude De Elemete der Semgeometre blde de Ecke des Izdezgraphe Je zwe Ecke sd verbude, we se mteader zdere Deser Izdezgraph ka u ee affe aum egebettet werde, so dass jede ahe auf e Smplex des affe aumes abgebldet wrd (Hlto, Wyle [0, 96]) Dese Zuordug heßt geometrsche ealserug des abstrakte smplzale Komplexes, her des Izdezgraphe

3 Es se bemerkt, dass es sch herbe cht um de ealserug der Semgeometre hadelt Des erket ma uschwer am Bespel des affe aumes, da er selbst de ealserug der Semgeometre st E Dreeck als Semgeometre bestzt als geometrsche ealserug des Izdezgraphe e Sechseck Am Bespel des affe aumes der Dmeso erket ma, dass zu jeder ahe e Telraum der Dmeso exstert, der alle affe Telräume deser ahe umfasst Dese Egeschaft hat ee Semgeometre m allgemee cht Des führt zum Begrff der Geometre [5] Ee Semgeometre : ( S; I; t) Γ= über eer Mege J heßt Geometre, we zusätzlch glt: Izdere de Elemete eer Telmege L S paarwese, so exstert für jedes j J wegstes e x t ( j), das mt jedem l L zdert Ist das Bld eer ahe uter t glech J, so heßt de ahe maxmal oder ee Kammer olglch legt jede ahe eer Geometre wegstes eer Kammer De Azahl der Elemete eer ahe heßt der ag der ahe Gbt es ee Bjekto vo J auf ee Telmege der atürlche,,, J detfzert ( J= st zugelasse) Zahle N, so wrd J mt { } I deser Arbet werde ur Geometre über J : = N : = {,,, } 3 betrachtet Legt jede ahe vom ag edlch vele Kammer, so heßt de Geometre lokaledlch Mt jeder lokal-edlche Geometre Γ vom ag st ee Algebra H ( Γ ) über dem Körper der C komplexe Zahle we folgt defert (Ott [5]): Es se V der durch de Kammer erzeugte C -Modul, auch Stadardmodul geat ür jedes se σ ( ) : = E de Summe über alle vo verschedee E Kammer, de sch um geau e Elemet vom Typ uterschede Da st σ e Edomorphsmus des Stadardmoduls De Edomorphsme erzeuge de Algebra Se heßt de Hecke-Algebra der Geometre Γ Isbesodere trtt der Darstellug der Hecke- Algebra über dem Körper der komplexe Zahle der Steberg-Modul St k { c V σ c c } : = ( ) = für alle N, als rreduzbler Utermodul des Stadardmoduls auf Der Steberg-Modul hat see ursprüglche Bedeutug der Homologe Vermöge des zugeordete ahekomplexes der Geometre st ee Homologetheore defert (Hlto, Wyle [0, ]) Ee wchtge Kostrukto zur Berechug vo Homologe- ud Kohomologemodul st de der abstrakte smplzale Komplexe (Hlto, Wyle [0]) De Bedeutug der Homologemodul für edlche Gruppe G mt BN-Paare vom ag l erkate Solomo [30] Curts Arbet [8] der Beschrebug des Steberg-Charakters st G Isbesodere fde wr [30, Theorem ] () dm H = st Q Q l G, wobe das Eselemet der Gruppe G ud Q der Körper der ratoale Zahle st Aus dem vo Solomo agegebee smplzale Komplex eer Gruppe mt BN-Paar ka u ee Geometre kostruert werde (Tts [3]), auf der dese Gruppe da als

4 Automorphsmegruppe operert Umgekehrt stmmt der ahekomplex deser Geometre mt dem abstrakte smplzale Komplex übere, der vo Solomo aus der Gruppe mt BN-Paar kostruert wurde I der Arbet vo Curts, Iwahor ud Klmoyer [] ud uabhägg Garlad [5] schet zum erstemal der Zusammehag zur Hecke-Algebra vo Gruppe mt BN-Paare aufzutauche Durch [] ud [5] wsse wr, dass de Hecke-Algebra eer Gruppe mt BN-Paar somorph zur Hecke-Algebra der assozerte Geometre st, da de deferede elatoe überestmme Es stellt sch daher de rage ach eem atürlche Zusammehag zwsche dem Steberg-Modul H eer belebge Geometre vom ag, de für St ud dem Homologemodul ( ) Γ Gruppe mt BN-Paare stmme dese für =Q übere [30] Wr zege, das des ke Zufall st De geometrsche Grudlage herzu werde m erste Tel der Arbet beretgestellt Im Gegesatz zu [0] ud [3] betrachte wr m zwete Tel deser Arbet ur geordete, astatt oreterte ahe, da es aus Scht der Geometre weg svoll erschet, Oreteruge ud kohärete Oreteruge vo ahe de Defto ezubezehe, um ee Homologetheore zu erhalte (Hlto, Stammbach [9; IV, ]) Darüber haus wrd durch geordete ahe de Darstellug sogar verefacht De Homologemodul ees geordete ud ees oreterte ahekomplexes sd aber jeder Dmeso somorph Homologe- ud Kohomologemodul vo geordete ahekomplexe werde m zwete Tel defert ud utersucht Der ag des Homologe- bezehugswese Kohomologemoduls der kleste Dmeso msst bekatlch de Azahl der schwach zusammehägede Kompoete der Geometre (Hlto, Wyle [0, 4]) Der abstrakte smplzale Komplex eer düe Geometre st ee Pseudomagfaltgket ohe ad (Spaer [3, 38]) Der Homologemodul des größte ages wrd m all eer düe Geometre durch ee Zyklus erzeugt, der durch de Geometre selbst duzert wrd, falls de Geometre oreterbar st oder de Charakterstk des ges zwe beträgt Exstere Nullteler r, m g mt r= 0, so wrd der Homologemodul durch Zykle erzeugt, de zu de Nullteler r korrespodere (vgl Spaer [3, 4 E]) Der Kohomologemodul der größte Dmeso wrd m all eer düe Geometre vo eem Elemet erzeugt, falls + m g kee Ehet oder de Geometre oreterbar st Her st jede Kammer e epräsetat Im allgemee all stelle wr zuerst de Zusammehag zwsche dem Steberg-Modul ud dem Homologemodul der größte Dmeso her Herzu ersetze wr der Hecke-Algebra eer Geometre vom ag de Körper der komplexe Zahle durch ee belebge kommutatve g mt Eselemet ud betrachte de durch de geordete Kammer erzeugte free - Modul C als Darstellugsmodulerer defere wr de Utermodul Stk { c C σ c c N } : = ( ) = für alle als Steberg-Modul der Geometre Aderersets st der Homologemodul H ach Defto e Utermodul vo C ( Γ) = ker( ) 4

5 Mt deser Verallgemeerug glt für ee Geometre Γ vom ag : H ( Γ ) St = Im allgemee geht herbe de Irreduzbltät der Steberg-Darstellug verlore [7] Mt Hlfe des Hopf-Spur-Theorems folgt u sofort, dass der Theore der ugerchtete Graphe der ag des Steberg-Moduls mt dem ag der Katezuggruppe detsch st De Katezuggruppe st de udametalgruppe der Graphetheore Der Kohomologemodul der größte Dmeso st cht so efach zu charaktersere Nach dem uverselle Koeffzetesatz der Kohomologe stmme Homologe ud Kohomologe über eem Körper der Charakterstk Null übere Jedoch glt der uverselle Koeffzetesatz ur für Hauptdealrge! Trotzdem exstert ke atürlcher Isomorphsmus zwsche Homologe ud Kohomologe Dazu se e gewöhlches Dreeck betrachtet Deses Dreeck bestzt sechs Kammer ud defert ee Zyklus c über dem Körper Z Der Steberg-Modul st also edmesoal Deser Zyklus, aufgefasst als Kozyklus, legt scher m Ker des zwete Korades Er legt aber auch m Bld des erste Korades olglch lefert es m Kohomologemodul de Klasse ull Es st daher otwedg, de Kohomologemodul über belebge kommutatve ge getret zu bestmme Als Awedug werde m drtte Tel Base der Steberg-Modul sphärscher Gebäude bestmmt Her wrd e vo Solomo uabhägger kombatorscher Bewes gegebe [6]: Ee Bass wrd durch de Apartmets des Gebäudes duzert, de ee fest gewählte Kammer gemesam habe Des verallgemeert ee Tel des Theorems Solomos Aussage [30] Ee Bewes für Geometre, der sch auf Solomo stützt, fdet ma oa [8] Als efache olgerug ergbt sch: Bestzt de Geometre ee Automorphsmegruppe mt eem BN-Paar, so ka der ag sofort durch de Utergruppe B ud durch das lägste Elemet der Weylgruppe agegebe werde, da de Utergruppe B als Permutatosgruppe auf dem Steberg-Modul mt der agegebee Bass operert Herzu vergleche ma auch [8] Der Haupttel deser Arbet st de Utersuchug des p-ages vo (0,)-Matrze m verte Tel t Her beschräke wr us auf (0,)-Matrze A, B mt AA= D+ B, wobe D ee Dagoalmatrx t ud A de zu A traspoerte Matrx st Dese (0,)-Matrze werde durch de Izdezabbldug defert ud lefer ee Code, wobe de Dmeso des Codes über eem edlche Körper durch de ag der (0,)-Matrx gegebe st Daher legt her e besoderes Iteresse Durch de geaue Kets des p-ages ka das Bruck-yser-Theorem für edlche projektve Ebee bewese werde [7]: Ist v= + + de Azahl der Pukte, p ee Prmzahl mt p ud p /, so st der p-ag v+ Ee wetere Awedug durch Kets des p-ages fdet ma [4] I desem Tel beschräke wr us auf partelle leare äume Se sd dadurch ausgezechet, dass durch zwe Pukte höchstes ee Gerade geht olgedes Theorem wrd bewese: Es se Γ e parteller learer aum Es se k e Körper ud M de Izdezmatrx vo Γ, da st 5

6 rg ( M ) dm ( St ) k I leare äume sd je zwe Pukte durch geau ee Gerade verbude Her gebe ch ee - Bass des Steberg-Moduls für jede kommutatve g mt Eselemet a Es se e kommutatver g mt Eselemet Es se Γ e learer aum mt v Pukte Da glt geauer: 6 k ( v a)( a ) ( a j ) dm ( St ) = +, wobe a rgedee fest gewählte Gerade ud { a j J j } cht treffe k j J de Mege aller Gerade st, de Gerade a Ee Bass wrd durch -Ecke duzert, de ee feste Kammer { A, a } gemesam habe: Durch alle Dreecke, de { A, a } ethalte Durch solche Verecke, de we folgt gebldet werde: Zu jeder Gerade a, de a cht j trfft, wrd e fester Pukt auf a gewählt Zu jedem adere Pukt auf j geau e Vereck gewählt, das auch de Kammer { A, a } ethält a wrd da j Es se bemerkt, dass spezelle älle der ag der Izdezmatrx M geau agegebe werde ka Ee erste Abschätzug deser Art st für projektve Ebee vo E S Lader [3] gegebe worde: wobe de Ordug der projektve Ebee st rg ( M ) 3, k Deses Ergebs wurde durch AA Brue ud U Ott [3] auf leare äume verallgemeert ud verbessert: ( ) ( )( ) rg ( M ) v a a, k wobe v de Azahl der Pukte ud a de Azahl der Pukte auf der Gerade a bezechet Im letzte Abschtt werde leare äume der Dmeso dre utersucht Dese äume werde mestes als Izdezstrukture oder Desgs utersucht [], [0] Dese sd jedoch ur Geometre vom ag zwe I dese Klasse falle zum Bespel erweterte projektve Ebee, Möbus-Ebee ud lokal projektve äume Be der Utersuchug deser Geometre mt Parameter ergbt sch e Polyom, aus dem de Nchtexstez eger learer äume der Dmeso dre folgt ür lokal projektve Geometre zegt sch, dass zu jeder Gerade eer Ebee ee Parallelklasse exstert, de ee Partto der Pukte der Ebee bestmmt Hat de Geometre sbesodere Parameter X, Y, Y, ud st Y X Y 0 mod X+ Heraus folgt uter >, so glt de Kogruez ( ) aderem für X=, dass Y ur de Werte,,4,0 aehme ka (vgl [4]) Als letztes gebe ch ee Bass des Steberg-Moduls der leare äume der Dmeso dre a I alle Aweduge wrd außerdem für jede Geometre Γ vom ag e mmales Erzeuge- H bestmmt desystem für de Kohomologemodul ( ) Γ

7 Allgemee geometrsche Grudlage I desem Abschtt werde de geometrsche Grudlage beretgestellt, de der gesamte Arbet beötgt werde erer soll a deser Stelle de folgede Voraussetzug gemacht werde, de überall gelte soll, obwohl de Deftoe och cht vollstädg vorlege Alle Geometre sd edlch ud streg zusammehäged Alle ge sd kommutatv ud bestze e Eselemet Defto : [5], [6], [33] Ee Geometre Γ über eer Mege J besteht aus eer Mege S, eer surjektve Abbldug t : S J ud eer bäre symmetrsche elato I auf S mt folgede Bedguge: ür jedes j J st I t j t j ( ) ( ) de Idettät Izdere de Elemete eer Telmege L S paarwese, so exstert für jedes j J wegstes e x t ( j) das mt jedem l L zdert Da wr ur edlche Geometre studere, setze wr S ud J als edlch voraus ud detfzere N : =,, J mt de erste atürlche Zahle { } Bezechuge: [5], [6], [33] De Elemete J heße Type De aser S = t j j J ethält de Elemete vom : ( ), wobe j Typ j erer heßt t Typeabbldug ud I de Izdezrelato der Geometre ür de Geometre Γ schrebe wr auch Γ= ( S, t, I) oder Γ= ( S,, S, I ) Wr sage x zdert mt y, we ( x, y) I ud bezeche des auch mt x I y De Elemete vom Typ,, 3 ee wr Pukte, Gerade, Ebee De deferte Telmege heße ahe Ist de Eschräkug vo t auf ee ahe ee Bjekto auf J, so heßt de ahe maxmal oder ee Kammer Der Typ eer ahe st defert durch t( ) Etspreched st der Kotyp eer ahe durch defert kot( ) : = J \ t( ) De Kardalzahl eer ahe heßt der ag, Zeche rg( ) Etspreched st der Korag eer ahe durch defert, wobe J de Kardalzahl vo J st korg( ) + rg( ) = J De Mege aller ahe vom ag k bezeche wr mt k ( Γ ) Geht aus dem Zusammehag klar hervor, um welche Geometre es sch hadelt, so bezeche wr dese Mege kurz mt k erer detfzere wr de Mege = S 7

8 We der Eletug berets bemerkt, ka jeder Geometre ( S, t, I) ( ) (, t, U) 8 Γ= hr ahekomplex Γ = zugeordet werde, wobe de Veregug aller ahe st (Tts [33]) Isbesodere st eem ahekomplex durch Vergesse der Type e smplzaler Komplex utergeordet Der ag eer Geometre Γ über N st defert als de Zahl ( ) rg Γ : = Ee Geometre Γ über N bezeche wr daher auch als Geometre vom ag Ist der ag belebg, so spreche wr ur vo der Geometre Γ Defto : [5] Es se Γ ee Geometre Zwe ahe A, B Γ zdere, we hre Veregug A B weder ee ahe st Ist jede ahe vom Korag es höchstes zwe Kammer ethalte, so heßt de Geometre semdü 3 Ist jede ahe vom Korag es geau zwe Kammer ethalte, so heßt de Geometre dü 4 Ist jede ahe vom Korag es mdestes zwe Kammer ethalte, so heßt de Geometre fest 5 Legt jede ahe vom Korag es wegstes dre Kammer, so heßt se dck Defto 3: [5] Es see Γ ud Π Geometre Auf der dsjukte Veregug der Geometre Γ ud Π wrd we folgt ee Izdez defert: Jedes Elemet aus Γ st zdet mt jedem Elemet aus Π Durch dese Izdez st ee Geometre defert Se heßt de drekte Summe der Geometre Γ ud Π ud wrd mt bezechet Defto 4: [5] Es see Γ= ( S, t, I) ud ( T, t, I) Abbldug S S T T Γ Π Π = Geometre E Morphsmus f : Γ Π st ee f : S T de verschedee zderede Elemete auf verschedee zderede Elemete abbldet De Eschräkug auf jede ahe st daher jektv Isbesodere duzert jeder Morphsmus ee smplzale Abbldug auf dem ahekomplex Es se her bemerkt, dass umgekehrt ee smplzale Abbldug ke Morphsmus des ahekomplexes se muss (Spaer [3, 3]), da de Eschräkug auf e Smplex cht jektv se muss Blebt der Typ erhalte, t ( f ( x)) = t ( x), so heßt f e spezeller oder typeerhalteder oder auch T S t-morphsmus Es folge de üblche Deftoe

9 Defto 5: Es see Γ ud Π Geometre Es se f : Γ Π e Morphsmus We für jede Geometre Σ ud für alle Morphsme g, h : Π Σ mt gf Glechhet g = h folgt, so heßt f e Epmorphsmus = hf de We für jede Geometre Σ ud für alle Morphsme g, h : Σ Γ mt fg = fh de Glechhet g = h folgt, so heßt f e Moomorphsmus 3 Exstert e Morphsmus g : Π Γ mt gf = Γ ud fg = Π, da heßt f e Isomorphsmus 4 E Morphsmus f : Γ Γ heßt Edomorphsmus 5 E Edomorphsmus f, der zuglech e Isomorphsmus st, heßt Automorphsmus Proposto 6: Es see Γ, Π ud Σ Geometre Es see f : Γ Π ud g : Π Σ Morphsme Sd f ud g Epmorphsme, da st gf e Epmorphsmus Sd f ud g Moomorphsme, da st gf e Moomorphsmus 3 Sd f ud g Isomorphsme, da st gf e Isomorphsmus 4 Ist gf e Epmorphsmus, da st g e Epmorphsmus 5 Ist gf e Moomorphsmus, da st f e Moomorphsmus 6 Ist gf e Isomorphsmus, da st g geau da e Isomorphsmus, we f e Isomorphsmus st 7 Ist f e Isomorphsmus, da st f e Ep- ud Moomorphsmus 8 Geau da st f e Moomorphsmus, we f jektv st 9 Geau da st f e Epmorphsmus, we f surjektv st Defto 7: [5] Es se ( S, t, I ) Γ = ee Geometre über J Es se S S, t : = t S ud I : = I S S erer se de Bedgug der Defto ud J : t( S ) für S, t, I = erfüllt Da st ( S, t, I ) Γ = ee Geometre über J ud heßt Telgeometre vo Γ Es se ee ahe Γ ud S : { x S x, x I } Eschräkuge vo I ud t auf S, da st ee Telgeometre über J : J \ t ( ) = = Bezeche I ud t de ( S t I ) Γ : =,, Se heßt de der ahe abgeletete Geometre ud st vom ag ( ) ( ) ( ) rg Γ + rg = rg Γ 9

10 3 Es se K J Da st K, S : t ( K) = ud K I bzw K t de Eschräkug vo I bzw t auf ( S t I ) Γ : =,, K K K K ee Telgeometre vo Γ ud heßt de Verstümmelug vo Γ über K 4 E Morphsmus f : Γ Π heßt Homomorphsmus, we für jede ahe Γ das Bld f ( Γ ) der der ahe abgeletete Geometre ee Telgeometre vo Π st Lemma 8: [5] Es see Γ ud Π Es se Morphsmus ür jede ahe K K S Γ de Verstümmelug vo Γ über K ud f : Γ Π e K Γ glt: K K ( Γ ) = ( Γ) Ist f e Homomorphsmus, da glt für jede ahe Γ de folgede Ikluso der Telgeometre: f Γ f Γ Π ( ) ( ) ( ) ( ) 3 Ist E ee ahe Γ, da st E ee ahe Γ Isbesodere st Proposto 9: [5] Es se Γ ee Geometre f f ( Γ ) = Γ = ( Γ ) E E E Γ st geau da semdü, we für jede ahe vom Korag zwe de der ahe abgeletete Geometre Γ semdü st Γ st geau da dü, we für jede ahe vom Korag zwe de der ahe abgeletete Geometre Γ dü st 3 Γ st geau da fest, we für jede ahe vom Korag zwe de der ahe abgeletete Geometre Γ fest st 4 Γ st geau da dck, we für jede ahe vom Korag zwe de der ahe abgeletete Geometre Γ dck st Defto 0: [3] Zwe Kammer A ud B heße beachbart, we se sch um höchstes e Elemet uterschede Se heße -beachbart, N, we se sch um höchstes e Elemet vom Type uterschede Bezechuge: ür jedes defert de -Nachbarschaft ee Äquvalezrelato Zwe Kammer A ud B gehöre zur -te Äquvalezklasse, we A B De Klasse bezeche wr mt [ A ] 0

11 Ee olge beachbarter Kammer heßt ee Galere De Galere heßt efach, we de beachbarte Kammer verschede sd Ist G : E E E E 0 k j j jk jk ee Galere eer Geometre Γ über J, so heßt f = j j j G k der Typ der Galere ud st e Wort m free Mood ( J ) über J De Zahl k heßt de Läge der Galere G bezehugswese des Typs f G, Zeche ( G ) = ( f ) De kostate Galere hat de Läge 0 De Galere k l l G G : E E E E ud G : E E E E 0 j j j k k j k k k k j k jk j j 0 heße de zueader verse Galere Etspreched sd zueader verse Type Isbesodere st also Sd f = j j j ud f = j j j G 0 j j j k k jk k G k k G : E E E E ud k H de zu H verse Galere H : E E E k k+ k l + l zwe Galere, so st de zusammegesetzte Galere GH defert durch GH : E E E E E E 0 j j j k k k k l k jk + + l Ee Geometre heßt zusammehäged, we je zwe Kammer durch ee Galere verbude sd Der Abstad zweer Kammer E, st defert durch { G 0 } j j j j d( E, ) : = f : E= E E E E = ; für alle Galere vo E ach Der Durchmesser eer Geometre Γ st defert durch { } D( Γ ) : = sup d( E, ) E,, für alle Kammer Γ Ee Geometre heßt streg zusammehäged, we alle abgeletete Geometre vom ag größer oder glech zwe zusammehäged sd Ee Geometre heßt schwach zusammehäged, we je zwe Elemete der Geometre durch ee olge vo Elemete verbude werde köe, der aufeaderfolgede Elemete zdere Defto : [33, 34] Es se Γ ee Geometre über J Es see G ud H zwe efache Galere, de ee gemesame Afags- ud Edkammer bestze

12 G ud H heße subelemetar homotop, we G= H st oder de folgede Bedguge erfüllt sd: l G = l H ( ) ( ) De durch G ud H duzerte Telgeometre st e dües l( G) -Eck Sd de zusammegesetzte Galere GK, HK defert ud sd G ud H subelemetar homotop, so heße de Galere GK ud HK elemetar homotop Zwe Galere heße homotop, we se durch ee olge elemetar homotoper Galere verbude werde köe Defto : Ee Galere heßt reduzert, we folgede Bedguge erfüllt sd Alle zu G homotope Galere sd efach I keer zu G homotope Galere exstert ee Telfolge HH 3 Kee homotope Galere ethält ee Telgalere vom Typ für alle J Korollar 3: Ee reduzerte Galere st efach Zwsche zwe Kammer exstert stets ee reduzerte Galere Bewes: Jede Galere st zu sch selbst homotop De Aussage folgt aus Defto Besteht de Galere aus eer Kammer, so st chts zu zege See also A ud B zwe verschedee Kammer Es se G ee Galere kürzester Läge de A mt B verbdet Ee solche exstert, da de Geometre zusammehäge st Wäre G cht reduzert, so fäde wr mt Defto ee kürzere Galere de A mt B verbdet Defto 4: Es se A ee Kammer eer Geometre Γ ür jede Telgeometre Π vo Γ se D( Π ) der Durchmesser vo Π Ee Kammer hat de düe Abstad zu A, we es ee streg zusammehägede düe Telgeometre Σ gbt, de A ud ethält, so dass der d A, = D Σ ud mt dese Egeschafte mmal st Abstad Σ ( ) Σ glech ( ) Ee Geometre Γ heßt dü zusammehäged bezüglch eer Kammer A, we folgede Egeschafte hat Es se G ee reduzerte Galere, de A mt der Kammer E verbdet We E eer streg zusammehägede düe Telgeometre Σ ethalte st, da ka Σ so gewählt werde, dass Σ de G ethält Das System aller deser düe Telgeometre bezeche wr mt ( Γ ) Zusammehagssystem der Geometre Γ bezüglch der Kammer A Z ud heßt dües Defto 5: [33] E Coxeter-Dagramm bezehugswese ee Coxeter-Matrx st ee symmetrsche Abbldug mt M(, ) = ud M( j) M( j ) M : N N N, =, für j,, j N, wobe : { } A N = N

13 E Coxeter-Dagramm wrd mestes als multpler Graph mt Zwe Ecke, j N sd durch (, ) M(, j ) verbude Deser Graph bestzt kee Schlefe Wr sage, M st e Coxeter-Dagramm über Defto 6: [33] N als Eckemege dargestellt M j Kate oder durch ee Kate mt der Belegug N ud setze J=N : Ee Geometre vom ag zwe heßt e verallgemeertes -Eck, we der Durchmesser ud de kleste Läge eer chtkostate geschlossee Galere ohe Wederholug beträgt Ee Geometre Γ vom ag heßt vom Typ M, we für jede ahe vom Kotyp {, j } de der ahe abgeletete Geometre Γ e M(, j) -Eck st Geometre vom Typ M werde ger als Graph m Se vo 5 dargestellt Wchtge Bespele für Geometre vom Typ M lefer de Coxeter-Geometre Defto 7: [33] Es se M e Coxeter-Dagramm über J Es se W ee Gruppe erzeugt durch de Telmege r j J W { j } De Gruppe W heßt Coxeter-Gruppe vom Typ M, we glt: De Mege M ( ) (, j { rr ) j =, j J; M(, j) } ethält ee vollstädge Satz vo deferede elatoe für W bezüglch der Mege = r j J der Erzeuger { j } Das Paar ( W, ) heßt e Coxeter-System Proposto 8: [33] Es se { } W= rj j J ee Coxeter-Gruppe vom Typ M Bezeche W de durch rj j J \{} erzeugte Uterguppe vo W Es se S : { ww w W} = de Mege der Elemete vom Typ für J De Izdezrelato se defert durch ww I vw : ww vw Da st ( W)( : S,, S ; I J ) Γ ee düe Geometre vom Type M Defto 9: [33] M(, j ) k k Es se W ee Coxeter-Gruppe vom Typ M Es se Γ ( W ) de 8 deferte Geometre Ee zu Γ ( W) somorphe Geometre heßt Coxeter-Geometre vom Typ M j 3

14 Lemma 0: [33] Es se W de Coxeter-Gruppe vom Typ M über J ud ( J ) der free Mood über J Da exstert e Moodhomomorphsmus Das Bld vo f ( J) ( f) = ( r f ) l l wrd mt ( ) J W Φ : j j r r f k j j k r bezechet Das Wort f ( J) heßt reduzert, we Sd G ud H elemetar homotope Galere eer Geometre Γ vom Typ M, so heße auch de Type f G ud f H elemetar homotop I der Weyl-Gruppe vom Typ M glt da rf = rf Proposto : [33] G H Es se Γ ee Geometre vom Typ M Ist G ee Galere vom Typ f, ud st f, f,, fk ee olge elemetar homotoper Wörter, da exstert ee olge elemetar homotoper Galere G, G,, G k mt fg = f für jedes j k j j Ist G reduzert, da sd alle Galere G j reduzert, ud de olge der Galere st edeutg Zwe reduzerte Wörter f ud g mt rf= rg sd homotop Ma beachte de Utersched zwsche eem Wort ud eem Typ We ma seht, ege sch Dagramme sehr gut zur Beschrebug vo Geometre Nu möchte ma sch cht auf Geometre vom Typ M beschräke Ee wetere wchtge Klasse vo Dagramme st vo Buekehout [4] ud [5] egeführt worde I deser Arbet wrd de Klasse der partelle leare äume utersucht Als Spezalfälle betrachte wr de Klasse der Partalgeometre ud der leare äume Defto : [] Ee Geometre Γ vom ag zwe heßt e Parteller Learer aum, we glt: ( PL ) Zwe verschedee Pukte sd durch höchstes ee Gerade verbude ( PL ) De Geometre st fest De leare Geometre blde ee Telklasse der partelle leare äume Defto 3: [4] E Learer aum st ee Geometre vom ag zwe mt folgede Bedguge: ( L ) Je zwe verschedee Pukte sd durch geau ee Gerade verbude ( L ) Es gbt e Dreeck E learer aum wrd durch das Dagramm L gekezechet Wr bezeche deshalb de leare aum auch als Geometre vom Typ L I der Klasse der leare äume sd weder ege besoders ausgezechet 4

15 Defto 4: E learer aum heßt projektve Ebee, we glt: ( P ) Je zwe verschedee Gerade schede sch geau eem Pukt De projektve Ebee st vom Typ also e verallgemeertes Dreeck Defto 5: E learer aum heßt affe Ebee, we glt: ( A ) 5, Durch jede Pukt P, der cht auf der Gerade a legt, gbt es geau ee Gerade, de a cht trfft De affe Ebee st vom Typ Sd de Azahl der Gerade durch jede Pukt ud de Azahl der Pukte auf jeder Gerade kostat, so sprcht ma vo Parameter der Geometre Geauer glt: Defto 6: Ee Geometre vom ag bestzt de Parameter X,, X, we mt jeder ahe vom Kotyp geau X + Elemete vom Typ zdere Defto 7: E learer aum heßt Utal, we glt: ( U ) Auf jeder Gerade lege X+ Pukte ( U ) Mt jedem Pukt zdere geau E Utal st vom Typ Bemerkug: X Gerade Utale fad ma zuerst als Kostruktoe projektve Ebee []: Γ= P, L, I sd de Pukte de absolute Pukte ud de Gerade de I eem Utal ( ) chtabsolute Gerade eer utäre Polartät σ der projektve Ebee P, also σ σ : = P P P I P : = g P g/ I g De Izdez I st durch de Eschräkug P { } ud L { } gegebe ür X= st e Utal ee affe Ebee De Umkehrug st auch rchtg Ee adere wchtge Telklasse der partelle leare äume st de der Partalgeometre Defto 8: E parteller learer aum heßt Partalgeometre, we glt: af u ( PG ) Es exstere e Pukt ud ee Gerade, de cht zdere ( PG ) Durch jede Pukt P, der cht auf der Gerade a legt, gbt es geau u+ Gerade, de a treffe

16 Bemerkug 9: De her agegebee Defto uterschedet sch vo dee der Lteratur durch fehlede Parameter Bestzt de Partalgeometre Parameter X, Y, so bezeche wr se durch das Dagramm Im alle eer Partalgeometre ( S, S, I) besoders ausgezechet Γ = mt Parameter X, Y sd ege Geometre Setze wr u= 0, so fde wr verallgemeerte Verecke ür u= X oder u= Y fde wr Bruck-Netze 3 Ist u= X oder u Y X π,u =, so erhalte wr ( S, X,) + -Desgs Dazu gehöre de leare äume, projektve äume mt X= Y, de affe Ebee Y= X+ ud de Utale Y= X Y Defto 30: Ee Geometre st vom Buekehout-Tts-Typ, we jede abgeletete Geometre vom ag zwe etweder e verallgemeertes -Eck, ee Partalgeometre oder e learer aum st 6

17 Homologe ud Kohomologe edlche Geometre Es se dara erert, dass alle Geometre streg zusammehäged sd Defto : Es se Γ ee Geometre über we t( f) < < t( f s ) st N Ee ahe { f f} heßt geordet, Zeche [ f f],, s,, s, Es se K de Mege der geordete ahe vom ag Es se e g Es se C C ( K ) : ( ) : + = Γ =, 0 der free -Modul mt Bass K + ür E K + ad = se c( E) : ae c a C : K + = K + ür se folgt: l K durch \ l : = [ f l ] defert Wr defere de adabbldug we G= ( )( G) = 0 sost k+ k ( ) we, De Auswertug lefert erer se = 0 Da sd C zu -Homomorphsme : C C k k= k+ ( ) ( ) = für alle 0 auf de Base defert ud werde auf gaz fortgesetzt [0; 6] Wr setze och C : = 0 ud : = 0 für alle < 0 ud defert > Da st de olge ( C, ) Z De -Homomorphsme ( ) Z heße admorphsme Bemerkug : De Defto des Idex vo C durch de geordete ahe vom ag + hägt ur mt der Apassug a de Topologe zusamme De Mege aller ahe defert ee abstrakte smplzale Komplex [0; 9], de sogeate ahekomplex der Geometre [33] Astatt geordeter ahe ka de Homologe auch vermöge oreterter ahe defert werde [0, ] Ee geordete ahe st da e fest gewählter epräsetat der oreterte ahe Der epräsetat st durch de ehefolge der Type gegebe Deshalb köe alle Ergebsse aus der Theore der Homologe oreterter smplzaler Komplexe überomme werde, sowet se cht mt de Deftoe vo Geometre ud hre Morphsme kolldere (vgl auch Bemerkug 3) 7

18 Es se jedoch bemerkt, dass ee Oreterug da uerlässlch wrd, we ma als geometrsche Objekte ur de sogeate Puktschatte σ ( x) : = { s S s I x, t( s) = } für x Γ (otma [9]) I der vo otma vorgelegter Arbet st also de Puktmege e Smplex Des st kee ahe ud es legt schleßlch ke ahekomplex vor Letztlch werde auch her kee Steer- Systeme, soder de herzu assozerte Geometre utersucht I der assozerte Geometre st e r-smplex e Elemet vom Type r+ Dese Betrachtugswese glt cht für alle Geometre Erstes muss der Puktschatte jedes Elemetes der Geometre edeutg se Zwetes st cht jeder Puktschatte e Smplex Wr fasse u de wesetlche Egeschafte der admorphsme zusamme Proposto : ür jedes r Z st de Komposto trval, dh r r+ = 0 [0; 8] : C C r r+ r+ r Es exstert e surjektver -Homomorphsmus d : C0 d = 0, mt wobe d durch d( s ) : = für alle s S defert st [0; 73] 3 De olge C : = ( C, ) Z st e freer Lks--Kettekomplex [0; 3] Defto 3: Der free Lks--Kettekomplex d 0 C C C 0 0 heßt Lks--Geometre-Komplex vo Γ, kurz Geometrekomplex vo Γ Wege m( + ) ker( ) ach Proposto, exstere de Homologemodul vom Grad : H ( ( )) : ker( ) / m( ) C Γ = + Wr bezeche de Homologemodul efach mt H ( Γ), wobe Z st Es see C ud C zwe free Lks--Kettekomplexe E Morphsmus Φ : C C st ee amle vo -Morphsme Φ : C C, Z mt Φ C C = Φ 8

19 Bemerkug : Morphsme vo Geometrekomplexe exstere atürlcher Wese Jeder Morphsmus vo Geometre duzert auf dem ahekomplex ee Morphsmus Deser st ee spezelle smplzale Abbldug [3; 3, 4, 4] Ma beachte, dass de Eschräkug eer smplzale Abbldug auf e Smplex cht jektv se muss, aber de Eschräkug ees Morphsmus vo Geometre auf ee ahe mmer jektv st Wr fasse zusamme Theorem 4: [3; 4] Es see Γ ud Π Geometre Es se Φ : Γ Π e Morphsmus Da duzert Φ Φ : C Γ C Π ud deser ee -Morphsmus atürlcher Wese ee -Morphsmus ( ) ( ) ( ) ( ) Φ H Γ H Π für jedes Z, : Bemerkug 3: o Es se ( Γ) C der oreterte ahekomplex, wobe de Oreterug O durch de Ordug der Type gegebe st Bezeche f,, fs [ ] O Θ f,, f : = f,, f s s de oreterte ahe C O ( Γ) e -Isomorphsmus vo C ( Γ) auf C O ( Γ) ( ) duzert Θ O O ee -Isomorphsmus vo H C( Γ) auf H C ( Γ) ( ), so st durch gegebe Isbesodere [0, 3] Aderersets duzert jede Oreterugsäderug ee -Isomorphsmus der Homologemodul, so dass wr der Tat vo de Homologemodul der Geometre spreche dürfe De Betrachtugswese als ahekomplex lefert ee teressate Varate der baryzetrsche Utertelug [0,] Dazu setze wr der Efachhet halber voraus, dass eem smplzale Komplex alle maxmale Smplexe de gleche Dmeso habe Wr spreche desem all vo eem -dmesoale smplzale Komplex E solcher -dmesoaler smplzaler Komplex assozert ee Geometre vom ag + we folgt: Jedes -dmesoale Smplex st e Elemet vom Typ + ud zwe Smplexe zdere, we es vo bede m adere ethalte st Theorem 5: Es se S e -dmesoaler smplzaler Komplex ud Γ de zu S assozerte Geometre Da st der ahekomplex somorph zur erste baryzetrsche Utertelug S vo S Isbesodere glt Bewes: ( Γ) ( S) H H Es se s e Smplex maxmaler Dmeso Es se T : { t t s} u s Defere wr e, u T als eue Pukte, so st [,, 0 0 ] : s {, sl κ l + s sl = e e } = de Mege aller Telsmplexe vo e l-smplex ud κ e Morphsmus vo Lks--Komplexe Isbesodere glt somt ach Bemerkug, ud [0; 39] de erste Isomorphe De zwete Isomorphe folgt mt [0, 357] ( Γ) ( S) ( S) H H H S 9

20 Defto 6: Es se Γ ee Geometre ud C ( Γ) der Geometrekomplex Es se t de Typeabbldug ür c C defere wr Korollar 7: (): t( ) t c = ( ) 0 K + c Ist Γ zu eem smplzale Komplex assozert, so gbt es zu jedem Zykel z ker( ) t( z ) =N k, so dass z+ m( k) = z + m( k) Bewes: Ma betrachte folgede Isomorphsme k, ( ) ( k, k, Γ κ S) α ( S) β ( Γ) H H H H k k k k, e z mt wobe αk,, βk, de [0, 357] deferte Isomorphsme sd Vergleche auch [0, 39] ür Geometre muss 7 m Allgemee cht stmme Es glt jedoch: Korollar 8: Es se Γ ee Geometre ür k { 0;} gbt es zu jedem Zykel ker( k ) t ( z ) = N k+, so dass z+ m( k+ ) = z + m( k+ ) Bewes: ür k = 0 sd je zwe Elemete der Geometre homolog Se also zege zuächst, dass es ee Zykel z gbt mt z m( ) z m( ) ( z ) 0 Γ e Elemet vom Type ethält Dazu se [, ] z ([ x, y] ) = a[ x, y ] 0 ud t ({ x, y} ) [ a, x, y ] mt t ( a ) = Wr erhalte ud z e z mt k = ud ker ( ) z Wr + = +, so dass jede ahe x y ee geordete ahe mt Da Γ ee Geometre st, exstert ee geordete ahe [ a x y] [ x y] [ a y] [ a x],, =,, +, z m ( ) z a[ x, y] ([ x, y] [ a, y] [ a, x] ) m( ) Setze wr z : = z a[ ] ([ x, y] [ a, y] + [ a, x] ) ud fahre mt behauptet Wr dürfe also z x, y + = + + z fort, so erhalte wr e z we = z mt t ( x ) = aehme Ist t ( y ) =, so st chts zu zege Se also t ( y) ud [ u, y ] ee ahe mt ( ) wr Γ y geordete ahe [ x, g],[ x, g],,[ x, g+ ],[ u, g+ ] mt t ( x ) = ud ( ) Betrachte wr t u = Da Γ streg zusammehäged st, fde z = x g y x g y x g y + + u g y + [,, ] ( ) j, j, j, j+, ( ), +,, j= j= t g =

21 so folgt z = x y u y+ x g + u g x g + x g j+ j+ [, ] ( )[, ] [, ] ( ), + ( ) j, j ( ) j, j+ j= j= Setze wr z z a[ x, y] z so erhalte wr e z we behauptet Defto 9: + = +, so glt z ker ( ) ud ([ ]) z x, y = 0 ahre wr mt z weter fort, Es se Γ ee Geometre vom ag, de Mege der Kammer ud ee Kammer Es se Z der g der gaze Zahle Γ heßt oreterbar, we ee Abbldug exstert, wobe ( ) β : Z l E ( ) ( G ) l G de Läge eer efache reduzerte Galere G vo ach E st Γ heßt dü oreterbar bezüglch, we glt: Γ dü zusammehäged bezüglch Jede düe Telgeometre des düe Zusammehagssystems oreterbar st Im olgede schrebe wr kurz G = : ; E ud ee β de Oreterugsabbldug De Defto der düe Oreterbarket st scher svoll, we folgedes Bespel zegt Es se Γ de Geometre des vollstädge Graphe bestehed aus ver Pukte Da exstert zu jeder reduzerte Galere G der Läge ver ee wetere reduzerte Galere G der Läge dre Bede habe ee gemesame Afags- ud Edkammer ür düe Geometre (Pseudomagfaltgkete) glt sogar folgedes Lemma 0: Es se Γ ee düe Geometre vom ag Exstert ee Oreterugsabbldug β bezüglch der Kammer, so st se edeutg bestmmt Geau da exstert ee Oreterugsabbldug β : Z, we es kee geschlossee Galere ugerader Läge Γ gbt Bewes: Es se β gegebe Da glt für zwe belebge -beachbarte Kammer β ( B) β ( D) 0 B D de Glechug + =, de ach Voraussetzug st Γ dü De Edeutgket folgt u aus der Tatsache, dass eer düe Geometre jede Galere zu eer reduzerte Galere homotop st Exstert β, da gbt es ach kee geschlossee Galere ugerader Läge Gbt es kee geschlossee Galere ugerader Läge, so exstert zu jeder Kammer L ee Oreterugsabbldug β L

22 Im alle vo Gebäude vom Type M lässt sch de Oreterugsabbldug vo eem Apartmet auf de gaze Geometre fortsetze Lemma : [3; 3], [33] Es se Γ e Gebäude vom Type M ud ee Kammer Je zwe Kammer lege eem Apartmet I eem Apartmet exstert zu jeder Kammer geau ee Kammer mt maxmalem Abstad 3 Je zwe Kammer mt maxmalem Abstad bestmme e Apartmet 4 Je zwe reduzerte Galere mt gemesamer Afags- ud Edkammer sd homotop 5 Alle Apartmets sd Coxeter-Geometre desselbe Typs M De bede geate Kammer heße oppostoelle bezehugswese dametrale Kammer Proposto : Es se Γ e Gebäude vom Type M ud ee Kammer Es gbt ee Oreterugsabbldug β : Z Γ st dü oreterbar bezüglch jeder Kammer Bewes: Nach Lemma 4 sd eem Gebäude je zwe reduzerte Galere mt gemesamer Afag- ud Edkammer homotop Zwe reduzerte Galere, de homotop sd, bestze ach ud de gleche Läge Es se E ee geordete Kammer Es se Z E das düe Zusammehagssystem bezüglch der geordete Kammer E Nach sd de Apartmets oreterbar bezüglch jeder Kammer, also Z / E 0 Isbesodere st ach ud 0 jede düe Geometre aus Z E oreterbar Es werde u de Homologemodul des kleste ud größte Grades geauer charaktersert Theorem 3: [0; 4] Es se Γ ee Geometre Da st d : 0( Γ) erzeugedes Elemet des Homologemoduls st durch m( ) Elemet der Geometre st Der ullte Homologemodul ( Γ) 0 H e Isomorphsmus (vgl ) E x+ gegebe, wobe x e belebges H msst de Azahl der schwach zusammehägede Kompoete der Geometre, we Γ cht als schwach zusammehäged vorausgesetzt wrd Wr wede us de Homologemodul der größte Grade zu ud betrachte zuerst de Spezalfall der düe Geometre Als abstrakte smplzale Komplexe sd des Pseudomagfaltgkete [3; 38] Proposto 4: [3; 4 E] Es se e g ud Γ ee düe Geometre vom ag

23 l Es se Γ oreterbar ud ee Kammer Es se ( ) ( :, E c ) = H ( Γ) = c Es se Γ cht oreterbar ud c : = E Da st E K Bewes: E K ( Γ) { } { } H = a c a ud a= 0 a a= 0 E Da st Wr skzzere ee egee Bewes Dazu erer wr, dass ( Γ) = ker( ) c a E H Γ : = E K E ( ) H st ür st ( ())( ) ( ) k + c G = ( ac+ ad), k k wobe C = D = G ud damt ac+ ad= 0 für je zwe beachbarte Kammer st Da Γ zusammehäged st, ergbt sch etweder l ( ) (, E ) c= a E, E K wobe a = a für jede Kammer K oder c= b E, E K wobe b = b für jede Kammer K ud b= 0 st Daraus folgt de Behauptug Defto 5: E vo ull verschedeer Zyklus, der we 4 durch ee düe Geometre duzert wrd heßt efacher Zyklus Im düe all st damt der Homologemodul des größte Grades bekat Wr wede us daher dem allgemee all zu ud gebe ee adere Beschrebug deses Homologemoduls a Defto 6: Es se Γ ee Geometre vom ag Es se ( Γ ) wrd vo { σ } N, wobe H de Hecke-Algebra über [5], de erzeugt C σ : E C E 3

24 De Hecke-Algebra st ee Uteralgebra der Edomorphsmealgebra ( ) Der Utermodul St :={ c C σ( c) = c für alle N } vo C heßt Steberg-Modul der Geometre Γ Ed C I der Darstellugstheore der Hecke-Algebra über de komplexe Zahle C trtt der Steberg- Modul mt geau deser Defto auf, ud der ag des Steberg-Moduls st de Velfachhet m st des Charakters st : HC σ ( Γ) C, wobe de Velfachhet m st durch φ, st = m st, st defert st, st de [5] deferte Blerform ud φ der Stadardcharakter Theorem 7: Es se Γ ee Geometre vom ag Da st Bewes: Es se c a K N glt: H st ( Γ) St = c st geau da e Zyklus ( Γ) Aderersets st für jedes N σ + = ( )( ) ( ) = 0 c E a H, we für alle K K E ( c) = a σ( ) = a ( G ) K K G K G = a + a G K K G K G olglch st c geau da m Steberg-Modul, we für alle a K G K G G= 0 N glt: E ud alle Mt adere Worte: c st geau da m Steberg-Modul, we für alle Kammer alle N glt: E K ud 4

25 0= a G ( E) = a K G K K G E Damt st alles bewese Wr wolle och e ausgezechetes Erzeugedesystem des Steberg-Moduls agebe Proposto 8: Es se Γ ee zusammehägede feste Geometre vom ag Es se K ee fest gewählte Kammer () Zu jedem geschlossee Zyklus c des Steberg-Moduls gebe es zwe chtbeachbarte geordete Kammer, vo der jede zu eer geordete Nachbarkammer Γ () c och ee wetere verschedee Nachbarkammer desselbe Typs außerhalb vo c habe Da wrd der Steberg-Modul durch geschlossee Zykle c erzeugt, de K ethalte Bewes: Ist c e Zyklus des Steberg-Moduls mt ( ) c K, so st chts zu zege Es se also c e 0 Zykel mt c( K ) = 0 See E ud zwe chtbeachbarte geordete Kammer mt c( ) ud c( ) 0, de () erfülle See E E c sowe E E ud ud j j E 0 Da Γ zusammehäged st, gbt es ee Galere G vo K ach E über E Da Γ fest st, fde wr ee Galere H vo K ach über, wobe außer K kee Kammer der Galere H der Galere G vorkommt See u o B d A de Galere J: E E c ud L de Galere vo ach E, so dass JL de Zyklus c duzert Da st duzert ee geschlossee Zyklus ĉ des Steberg-Moduls mt ˆ( ) j GL H ee geschlossee Galere ud c K = erer st c : = cˆ c e geschlosseer Zyklus mt c( K ) =, aufgrud der Kostrukto Damt st de Behauptug erbracht Korollar 9: Lässt ma uzusammehägede Zykle zu, so st Proposto 8 auch ohe de Zusatz rchtg Ist de Geometre dck, so st der Zusatz mmer erfüllt Theorem 0: (Hopfsche Spurformel) Es see e Hauptdealrg, Γ ee Geometre vom ag ud Φ e Morphsmus des Geometrekomplexes C ( Γ) sch Es se fg( H ( Γ) ) der ag des free Utermoduls vo H ( Γ) Es se ( Γ) der torsosfree Utermodul vo ( Γ) auf ( Γ) Da glt Φ H ud, ( ) spur( Φ) = ( ) spur ( Φ, ) = 0 = 0 de estrkto vo Φ 5

26 Korollar : Ist sbesodere Φ de Idettät, so ergbt sch de Euler-Pocarè-Charakterstk ( ) ( ) = ( ) K+ ( ) = ( ) H ( ) χ Γ Γ fg Γ = 0 = 0 Ee Bewes vo 0 ud fdet ma [0; 59 ff] ( 0 ) ür Geometre vom ag zwe folgt mt ( ) ( H ( )) rg H Γ = heraus: rg Γ = K S S + Wr wolle och ee wetere Awedug für Edomorphsme vo Geometre aus der hopfsche Spurformel ablete Lemma : Es se Φ : Γ Γ e Edomorphsmus der Geometre Γ vom ag Es se x ( Φ ) de Mege { } der xfahe vom ag vo Φ, also ( Φ) Φ( ) Ist ( ) ( t j) t ( j) Φ x = = + für alle j, so glt ( Φ ) ( ) ( Φ) spur = x ud ( Φ ) = ( ) ( Φ) spur x + Ist Φ typeerhalted, so glt ( Φ ) ( ) ( Φ) spur x = Bewes: Es se,, p ee Bass vo C Es se D ee ormerte Determateform bezüglch {,, p p} Da st spur ( Φ ) = D (,, Φ ( j),, j = p) Da Φ als Edomorphsmus der Geometre de ahe permutert, st ur zu überlege, dass alle Vorzeche f,, fk ee geordete ahe vom ag der geordete Bldfahe überestmme Dazu se [ ] k, also t ( f) < < t ( fk ) Im all glt u für de geordete Bldfahe t ( Φ ( fk )) < < t ( Φ ( f) ) 6 Daraus folgt de Behauptug für Der zwete Tel folgt u aus der Typeerhaltug vo Φ Korollar 3: Es se Φ : Γ Γ e Edomorphsmus der Geometre Γ vom ag Es se De Mege der xfahe vom ag vo Φ { } ( Φ) : Φ( ) x = =

27 ( ) ( ) Ist Φ t ( j) t 3 j für j { ;} Ist Φ typeerhalted, so glt Bewes: olgt umttelbar aus 0 Verbdug mt, so glt ( Φ, ) ( Φ) spur = x + ( Φ, ) ( Φ) ( Φ) spur = x x + Wr stelle jetzt ege Tatsache über Kohomologemodul zusamme Defto 4: [0; 9] Es se C ( Γ) e Geometrekomplex über eem g ür jedes Z se ( C ) C : = Hom ; der zu C duale -Modul Ee Bass vo C st durch de charakterstsche Abblduge ξ ( E): = δ gegebe, wobe E ud geordete ahe vom ag + sd Wr detfzere E ξ mt für alle Basselemete ud defere auf der Bass wobe Vermöge deser Defto st δ : C δ C + ( ) ( δ ( ) )( G) : ( + ( G) ) = (, ): ( C δ = C, δ) e echts--komplex Wr bezeche h als Geometrekokomplex Es st offeschtlch, dass be der charakterstsche Abbldug kee geordete ahe otwedg sd Trotzdem werde weterh geordete ahe betrachtet, da es eersets kee Eschräkug darstellt, aderersets de Darstellug verefacht Wege + + δ δ = 0 glt weder m( ) ker ( ) Z δ δ olglch exstere de Kohomologemodul ( ) = ( ) ( ) H Γ : ker δ m δ 7

28 Bemerkug 4: Da wr C mt C detfzere, glt aufgrud der Defto sbesodere + ( δ ) ( ) m ker We der Homologe msst der erste Kohomologemodul de schwach zusammehägede Kompoete der Geometre Proposto 5: [3; 5,40] Es se e g ud Γ ee Geometre Da st 0 c= x H Γ x K 0 e erzeugedes Elemet Isbesodere st ( ) H Γ Be der Utersuchug vo Kohomologemodul muss ma das Bld m( ) Proposto 6: Es se (,δ) ( ) δ geau kee C e Geometrekokomplex Auf der Mege der geordete ahe K vom ag wrd durch E t ( E) = t ( ) ee Äquvalezrelato egeführt Bezeche Äquvalezklasse, de E ethält, da glt: K T = K, T N T= ( ) K t E de ud de Mege erzeugt das Bld ( δ ) m j+ { ( ) A B K } T N T A K + T=+ B= A j Bewes: Nur der zwete Tel st zu verfzere Dazu se Defto: H K ee geordete ahe Es st ach rg( G) ( δ H) G= H( G) = ( ) für jede geordete ahe G K + olglch st δ T N A K T + T=+ B= A j j= ( ) H= j+ δ j HG j+ A 8

29 Ege Elemete des Keres ker( ) Lemma 7: Ist δ fdet ma lecht δ + gerade, da st ker( ) K A Γ se [, ] y Γ a der ε ( ) -Stelle [ ] Es se C K ee ahe ür jede ahe C Es stehe y y, C Da st Bewes: δ ( K ) C x C ε ( ) ( y ) + [ y C] ( δ ) : =, ker y ΓC + ( ) ( ) r+ K ( ) K K r= K + Es se = = = 0 Da st ( xc ) δ = 0, falls C Se also C 9 A C de geordete ahe A C ud damt = [ a, b, C] < Es stehe a a der j-te Stelle ud b a der k-te Stelle der geordete ahe mt t ( a) t ( b) [ a, b, C ] Wr erhalte j ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) k ( ) ( ) ([ ]) + + C C C C δ x = x = x a, C + x a, C j+ k k+ j+ = + = 0 ach Defto vo x C ud ε Damt st alles gezegt Proposto 8: Es se Γ ee düe Geometre vom ag ud E ee Kammer Ist Γ oreterbar, so st Ist Γ cht oreterbar, so st ( ) ( ) H Γ = E + m δ ( ) ( ) H Γ = E + m δ Ma beachte: Ist verterbar, so st = 0 Bewes: Es se dara erert, dass Γ zusammehäged st Es se zuerst Γ als oreterbar vorausgesetzt Ageomme, m( ae ) δ für rgedee geordete Kammer E ud a, a 0 Da gbt es ach 4 ee vo ull verschedee Zyklus c H ( Γ) Ist ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 ae c = δ ξ c = ξ c = ξ 0 = 0 Es folgt der Wderspruch G E, so glt E + m( δ ) = E + E + G + m( δ ) = G + m( δ ) olglch st desem all m( X ) + δ für jede geordete Kammer X e Erzeuger des Kohomologemoduls ud de

30 Abbldug m( X + δ ) e -Isomorphsmus vo auf ( Γ ) H, da Γ zusammehäged st Heraus folgt Es se u Γ cht oreterbar Es se dara erert, dass für u= de Glechug u= H= : v H K K glt (vgl Bewes zu 4) Ageomme, ae δ ζ m( δ ) rgedee geordete Kammer E ud a, a 0 Da glt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a = ae u = δ ζ u = ζ u = ζ v = ζ v = für Aderersets exstert ach Lemma ee geschlossee Galere E = E,, Ek + = E geordeter Kammer ugerader Läge a jeder Kammer E Damt st δ λ E m( δ ) Es se = ( )( ) λ k E E = + e learer Epmorphsmus mt ker( ) H β : a ae+ m = olglch st ( δ ) β = Damt st auch bewese Wr wolle dese Abschtt mt ege ützlche Bemerkuge beschleße Proposto 9: Es se Π ee Telgeometre vo Γ Es see bede Geometre vom ag Π H Γ lear uabhägg Ee Bass A vo H ( ) st ( ) E epräsetatesystem = { } Bewes: Erzeugedesystems vo ( Π) Erzeugedesystems für ( Γ) :,, r B geordeter ahe ees mmale H ka zu eem epräsetatesystem ees mmale H erwetert werde De Aussage folgt sofort aus ( Π) ( Γ) Wr bewese H H mttels learer Algebra r Ageomme, a ( ) = δ Γ x für e x C ( ) = Γ fde wr C ( Π) als Telraum vo C ( Γ) somt C ( Γ) = C ( Π) C ud x x x Da Π ee Telgeometre vo Γ st, weder Aufgrud der free Base (vgl ) glt = + Es folgt für B l de Glechug Π ( δ ) ( ) ( ) Γ Π ( ) a= x = x = x + x l l l l l Nach Voraussetzug st x ( ) = erer ach Kostrukto x( ) C ( Π) l Π l 0 =, de l 0 30

31 3 De Steberg-Modul der sphärsche Gebäude I desem Abschtt werde de Steberg-Modul der sphärsche Gebäude bestmmt Her wrd e vo Solomo [30] uabhägger Bewes gegebe Isbesodere wrd e Tel des Theorems [30] verallgemeert Ee Bewes, der de Darstellugstheore über C beötgt ud Gruppe mt (B,N)-Paare voraussetzt, fdet ma [9] I [30] wrd e homologscher Bewes für de [8] gegebee Aussage gelefert Ee Bewes für sphärsche Gebäude, der auf [30] beruht, fdet ma [8] Deser Tel der Arbet wurde berets auf der DMV-Tagug Berl vorgetrage [7] Darüber haus werde für de größte Kohomologemodul mmale Erzeugedesysteme agegebe Lemma 3: Es se Γ e sphärsches Gebäude vom ag ud W de Weyl-Gruppe vom Typ M Es se w 0 das lägste Elemet W ud f w 0 de Typ vo w 0 Deses st edeutg bestmmt [3] ür ee Zyklus c bezeche Γ () c de Telgeometre vo Γ, de durch c duzert wrd Dese st möglcherwese uzusammehäged Ist G ee Galere vom Typ fg f w0, so gbt es geau e Apartmet, das G ethält Isbesodere st das Apartmet durch de Afag- ud Edkammer der Galere G edeutg bestmmt Dese sd oppostoell Ist c ( Γ) Bewes: H e vo ull verschedeer Zyklus, da gbt es Γ () c zu jeder Kammer A ee Galere vom Typ f w 0, de mt A begt Dese Aussage st [3; Proposto 35] bewese Es se ee Kammer mt c( ) 0 Da jede Kammer ee -Nachbar bestzt ud reduzert st, gbt es ee Galere vom Typ Galere ach verschede Theorem 3: w 0 f w 0 f Γ () c Isbesodere sd alle Kammer der Es se e g, Γ e sphärsches Gebäude vom ag ud ee Kammer Es se C ( Γ) der Geometrekomplex Es se A de Mege aller Apartmets, de ethalte Es see C Σ für Σ A de oppostoelle geordete Kammer zu Σ (vgl ) De Mege aller efache Zykle, de duzert st durch Isbesodere st rg ( ( Γ) ) H A = A, ee Bass vo ( Γ) H De Mege { C Σ Σ A } st e epräsetatesystem ees free Erzeugedesystems des Kohomologemoduls ( Γ) H 3

32 Bewes: De Mege A st e Erzeugedesystem für ( Γ) H Wr zege zuerst, dass zu jedem vo ull verschedee Zyklus c a K H H = H ( Γ) ee zu oppostoelle Kammer Γ () c exstert Dazu se E ee Kammer Γ () c mt mmalem Abstad zu Es se G ee Galere, de E ud verbdet Dese st ach reduzert Es se g der Typ deser Galere Da c e Zyklus st, hat jede Kammer ee -Nachbar für jedes olglch ka de Galere G Γ () c zu eer Galere L vom Typ f (sehe 3) fortgesetzt werde De Edkammer vo L st oppostoell Es see u E j, j s alle zu oppostoelle Kammer Γ () c Nach 3 bestmme ud E j geau e Apartmet Se des Σ j Es se c j der durch Σ j duzerte efache Zyklus mt c j ( ) = Deser exstert ach Proposto 4 Es se s l j= ( ) ( f ) w0 ( j) c = c c E c Da st ach Kostrukto c ( E j ) = 0 für alle j s Isbesodere gbt es kee zu oppostoelle Kammer D, de sowohl () c I Γ ( c) Γ als auch ( c) j H Γ legt Es glt sogar c = 0 gbt es kee oppostoelle Kammer zu Ageomme, es gbt ee solche Kammer D Da st ach obger Bemerkug c( D ) = 0 Isbesodere st ach 3 c( ) 0 Wr erhalte de Wderspruch c ( D) c( D) j s verschedee Zyklus ee oppostoelle Kammer ethält, folgt c = 0 j w 0 D = für alle 0 = = 0 Da ach aber jeder vo ull De leare Uabhäggket der efache Zykle, de durch de Apartmets duzert werde, ergbt sch u we folgt: Es see C Σ, Σ A alle Kammer, de de Abstad ( f w0 ) wobe c Σ de efache Zykle mt c ( ) l vo habe ud c= A a c, Σ = sd Im all 0 0= cσ CΣ = aσ, de de Kammer C Σ st ach Lemma 3, durch das Apartmet edeutg bestmmt [3] Isbesodere ( ) c( ) st rg ( Γ) H = = A für a Σ = Damt st bewese ür de Kohomologemodul blebt zu zege: a Σ C Σ m δ A folgt a Σ = 0 für alle a) Aus ( ) Σ Σ A c= st ( ) b) ür jede geordete Kammer Γ, de cht { C Σ Σ A } legt, gbt es ee cht trvale Learkombato ayy + a C m Σ A Σ Σ ( δ ) De Aussage a) folgt umttelbar aus m( δ ) ker( ) mt der Bass Σ Σ Σ A des Steberg- Moduls Zu b) se Y ee Kammer Γ Es se x der Typ eer reduzerte Galere vo ach Y ud y der Typ eer reduzerte Galere mt Y beged, so dass f xy st Wr bewese de Aussage durch Idukto ach l ( y) ür l ( y ) = st des Proposto 6 Se also l ( k) = k see Y z, z α de geordete Kammer, de q-beachbart zu Y sd mt y= qy Nach w 0 Es 3

33 Iduktosvoraussetzug glt u ( Y m ) m( z+ δ = Σ A aσcσ+ δ ) Y Σ α Proposto 6 auch Y+ m( δ ) = Y m z z+ ( δ = ) olglch st ( Y + α m δ ) = Σ m( aσcσ + δ ) Damt st alles bewese Korollar 33: z= z z A Y Σ Aderersets st ach Es se Γ e Gebäude vom sphärsche Typ M mt Parameter Da st der ag des Steberg- Moduls der achfolgede Lste agegebe A ( ) C ( ) D ( 4) X = = X = X, rg( H ) = X + rg( H ) = ( X Y) X= = X = X, X = Y, X = = X = X, ( H ) ( ) rg = X ( ) X X X, X Y, H 3 3 = = = rg( H ) = ( X Y) 5 X X X X, X Y, H = = = = rg( H ) = ( X Y) 5 3 X X X, X X Y, = = = = rg( H ) = ( X Y ) 6 3 E X= = X 6 = X, 6 6 ( H ) ( ) 6 rg 5 = X E X= = X 7 = X, 7 7 ( H ) ( ) 9 rg 6 = X E X= = X 8 = X, 8 8 ( H ) ( ) 5 Bewes: Nach Theorem 3 st jeder Geometre ur der Typ des lägste Elemetes der Weyl-Gruppe azugebe: A : f C = ( + ) 0 = w 0 ( ) : f = w m D : f m w = ( ( m ) m ), : f ( ( m ))( ( m ) m )( ( m )) m D m+ w = ( ) H : 3 3 f = w 0 5 ( ) H : 34 4 f = w 0 ( ) : 34 4 f = w rg 7 = X 33

34 E 6 0 ( )( )( ) : f = w 0 ( ) E : f = w 0 9 ( ) E : f = w 5 De lägste Elemete fdet ma we folgt [6]: Bestzt de Weyl-Gruppe e Zetrumselemet, so st das Elemet bekat (vgl [3]) Des sd de Weyl-Gruppe vom Typ C, 3 D, H 3, H 4, 4, E 7 ud E 8 Jedes Elemet bestzt ee edeutge Zerlegug seer Nebeklasse ach eer Utergruppe Bezeche W( M ) de Utergruppe der Weyl-Gruppe W vom Typ M, welcher der Erzeuger r ausgelasse st, so st r r W A ( ) de Lksebeklasse, de das lägste Elemet ethält Da W( A ) somorph zu W( ) de Behauptug durch Idukto ür ( ) W m+ D fdet ma Aus der Isomorphe W( ) W( ) ür W( E 6) fdet ma Da W( ) W( ) Bemerkug: ( D ) r r r r r r r rw m m+ m m m+ D D folgt de Behauptug m+ m E D st, folgt de Behauptug ( ) r r r r r r r r r W E Ist sbesodere Γ e Gebäude mt edlchem BN-Paar, so st (vgl [8]): Bewes: Ist G ee Gruppe mt BN-Paar, dh ( H ( Γ) ) = B B w0 Bw0 rg : Σ, das ethält, so st A = B : B N, de G permutert b, b B folgt mt b( E) B N b b B N G A st, folgt = B ud G = N für ee Kammer ud e Apartmet Es se E de Kammer vo Σ mt ( ) Σ 0 A, ud aus b( Σ) b ( Σ) = für w = E Da folgt aus b B = E, dass alle Kammer Σ fest blebe, also b B N Aderersets st b geau da, we bw( ) b( E) E w( ) 0 0 B N= B w Bw = = =, also w bw B olglch st 34