i-ter Standard-Einheitsvektor, i-te Ecke des Standdard-Simplex, vgl j-te Seiten-Abbildung des q-dimensionalen Standard-Simplex, vgl. 3.1.

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1 Eführug de algebrasche Topologe B Herzog Sommersemester 6 Bezechuge Es Kategore der Mege, vgl 4 Ab Kategore der abelsche Gruppe, vgl 4 B -dmesoale abgeschlossee Vollkugel, vgl 4 B -dmesoale offee Vollkugel, vgl 4 B B σ Baryzetrum des Stadardsmplex, vgl 36 Der Kegel mt der Sptze B über dem (-)-Smplex σ vo, vgl 36 B K Gruppe der -Räder des Komplexes K, vgl β de baryzetrsche Utertelug S X S X der sguläre -Kette ees topologsche Raums X, vgl 36 Cf der Kegel über dem Komplex-Morphsmus f, vgl 6 CK der Kegel über dem Komplex K, vg 6 de smplzale Kategore, vgl 4 -dmesoale Stadard-Smplex m +, vgl 8 ud 3 Kategore der abstrakte Smplzalkomplexe, vgl 8 ud 5 ^ Kategore der geordete Smplzalkomplexe, vgl bzw 5 () Kategore der smplzale Paare, vgl 5 ^ () Kategore der geordete smplzale Paare, vgl bzw 5 e j ε η = η X Radoperator auf de sguläre -Kette, vgl 3 -ter Stadard-Ehetsvektor, -te Ecke des Staddard-Smplex, vgl 3 j-te Sete-Abbldug des -dmesoale Stadard-Smplex, vgl 34 de Augmetato des sguläre Komplexes SX zum topologsche Raum X, vgl 344 γ = γ X de Augmetato des cht-leere topologsche Raumes X, dh de Projekto auf de epuktge Raum, vgl 34 GAb Kategore der graduerte abelsche Gruppe, vgl 4 H K -te Homologe des Komplexes K, vgl ud 3 H X de sguläre Homologe des Raumes X, vgl 33 H (X,A) de sguläre Homologe des topologsche Paares (X,A), vgl 33 H (K,L) de geordete Homologe des smplzale Paares (KL), vgl 5() H X de reduzerte Homologe des topologsche Raumes X, vgl 34 Hom(C,D) Kategore der Fuktore C D, vgl K(Ab) Kategore der Komplexe abelscher Gruppe, vgl K (Ab) Homotope-Kategore über der Kategore der Komplexe, vgl 33 Λ das -Hor des Stadard--Smplex, vgl 4 P der epuktge topologsche Raum, vgl 34 Q Basspukt der -Sphäre, vgl 4

2 S -dmesoale Sphäre, vgl 4 SX Komplex der sguläre Kette auf dem topologsche Raum X, vgl 33 SK S(K,L) Komplex der geordete Kette auf dem abstrakte Smplzalkomplex, vgl 5 Komplex der relatve geordete Kette auf dem smplzale Paar (KL), vg 5 S X Gruppe der sguläre -Kette des topologsche Raums X, vgl 3 SU S(U,U A) Komplex der sguläre U-klee Kette zu eer Famle U vo Telmege ees topologsche Raumes, vgl 37 Komplex der relatve sguläre U-klee Kette zu eer Famle U vo Telmege ees topologsche Paars (X, A), vgl 37 Top Kategore der topologsche Räume, vgl 4 Top De Homotope-Kategore der topologsche Räume, vgl 6 Top () Kategore der topologsche Paare, vgl 7 Top () Homotope-Kategore der topologsche Paare, vgl V(K) Mege der Ecke des abstrakte Smplzalkomplexs K, vgl 8 ud 5 Z K Gruppe der -Zykle des Komplexes K, vgl de Mege der cht-egatve gaze Zahle, vgl 4 x = x, Norm vo x=(x,,x ), vgl 4 = K λ drekte Summe der Komplexe K λ, vgl 5 λ Λ [z] Homologe-Klasse des Zyklus z, vgl C op de zur Kategore C duale Kategore, vgl 5 C D das Produkte der Kategore C ud D, vgl 6 G[] de graduerte Gruppe G mt der um verschobee Graduerug, vgl 4 K + Suspeso über dem Komplex K, vgl 6 p σ der Kegel mt der Sptze p über dem Smplex σ:, vgl 345 s:f _ g Homotope vo stetge Abblduge oder Komplex-Abblduge, vgl 3 bzw 3 x Läge x des Vektors x = = x x σ Durchmesser des Smplex σ:, vgl 36 X Y das Bukett der pukterte topologsche Räume X, Y, vgl 376

3 Vorberetuge Kategore ud Fuktore Vorbemerkug Der Begrff der Kategore systematsert das Pheome, daß es zu de meste mathematsche Objekte atürlcher Wese zugeordete Abblduge gbt Bespele solcher Paare vo Objekte ud Abblduge sd Vektorräume - leare Abblduge Gruppe - Gruppehomomorphsme Rge - Rghomomorphsme metrsche Räume - abstadstreue Abblduge, bzw kotraherede Abblduge topologsche Räume - stetge Abbluge Der Begrff der Kategore Ee Kategore C besteht aus () () () eer Klasse vo Objekte C eer Mege Hom(X,Y) = Hom (X,Y) = C(X,Y) C vo Morphsme vo X ach Y für je zwe Objekte X,Y C eer Abblug Hom(X,Y) Hom(Y,Z) Hom(X,Z), (f,g) a g f, für je dre Objekte X,Y,Z C, welche Morphsmekomposto heßt Ma fordert außerdem, daß de folgede Bedguge erfüllt sd Assozatvgesetz der Morphsmekomposto Für je ver Objekte X,Y,Z,W C ud je dre Morphsme f Hom(Z,W), g Hom(Y,Z), h Hom(X,Y) glt f (g h) = (f g) h Exstez der detsche Morphsme Für jedes Objekt X C ethält de Mege Hom(X,X) ee sogeate detsche Morphsmus d Hom(X,X) X derart, daß für je zwe Objekte X,Y C ud jede Morphsmus f Hom(X,Y) de folgede bede Relatoe bestehe f d = f ud d X Y f = f 3 Bemerkuge zur Defto () Ma seht lecht, daß es jeder der Mege Hom(X,X) geau ee detsche Morphsmus gbt Sd ämlch d, d Hom(X,X) zwe solche Morphsme, so glt d = d d = d () See X ud Y Objekte der Kategore C E Morphsmus f: X Y st da e Elemet der Mege Hom(X,Y) Das Objekt X heßt auch Quelle des Morphsmus X ud Y heßt Zel vo f () De Klasse, welche durch Veregug aller Hom-Mege eer Kategore C etsteht heßt Klasse der Morphsme vo C ud wrd mt Mor(C) bezechet 4 Bespele für Kategore () () De Kategore der Mege wrd mt Es bezechet Ihre Objekte sd de Mege, dh Es st de Klasse aller Mege De Morphsmemege Hom(X,Y) besteht aus alle Abblduge X Y De Kategore der abelsche Gruppe wrd mt Ab bezechet Ihre Objekte sd de abelsche Gruppe, dh Ab st de Klasse aller abelsche Gruppe De

4 Morphsmemege Hom(X,Y) besteht aus alle Gruppehomomorphsme X Y () (v) (v) (v) De Kategore der topologsche Räume wrd mt Top bezechet Ihre Objekte sd de topologsche Räume De Morphsmemege Hom(X,Y) besteht aus alle stetge Abblduge X Y Im ächste Abschtt werde wr de Homotopekategore Top defere Ihre Objekte sd deselbe we de vo Top Ihre Morphsme sd m allgemee kee Abblduge mehr, soder Äuvalezklasse stetger Abblduge Se C ee uasgeordete Mege, dh C se ee Mege, de mt eer reflexve ud trastve Relato versehe se Da defert C ee Kategore, de ebefalls mt C bezechet werde De Objekte der Kategore see de Elemete vo C, C = C De Mege Hom(X,Y) bestehe aus geau eem Elemet, we X Y glt ud st aderfalls leer Ist umgekehrt C e Kategore, für welche C ee Mege st ud dere Hom-Mege aus jewels höchstes eem Elemet besteht, so bestzt dadurch C de Struktur eer uasgeordete Mege Se G ee Gruppe Da defert G ee Kategore, de ebefalls mt G bezechet wrd De Kategore besteht aus ur eem Objekt, sage wr, dem Eselemet der Gruppe, G = {e}, ud de ezge Hom-Mege Hom(e,e) besteht aus de Elemete der Gruppe, Hom(e,e) = G De Morphsmekomposto se gerade durch de Multplkato der Gruppeelemete gegebe Hom(e,e) Hom(e,e) Hom(e,e), (g,g ) a g g (v) De smplzale Kategore hat als Objekte de Mege dh [] := {,,,}, := {}, := {[] } De Morphsme sd de schwach mooto stegede Fuktoe, dh Hom([m], []) = {f:[m] [] f() f(j) für,j [m] ud j} De Morphsmekomposto st de gewöhlche Zusammesetzug vo Abblduge (v) Vergleche 5 für wetere Kategore 5 De duale Kategore Se C ee Kategore De zu C duale Kategore wrd mt C op bezechet ud st we folgt defert De Objekte vo C op sd deselbe we de vo C, C op := C De Morphsme vo C op sd ebefalls deselbe we de vo C, werde aber aderer Wese de Paare vo Objekte zugeordet Es gelte Hom C op(x,y) := Hom (Y,X) C für je zwe Objekte X,Y C E Morphsmus f:x Y vo C st also als Morphsmus vo C op aufgefaßt e Morphsmus mt dem Zel X ud der Quelle Y Morphsmekomposto vo C op st ebefalls deselbe, we de vo C, f C opg := g f C 6 Das Produkt vo Kategore See C ud D Kategore Das Produkt vo C ud D wrd mt C D bezechet ud st de folgeder Wese deferte Kategore De Objekte vo C D st de Paare (X,Y)

5 mt X C ud Y C De Mege Hom((X,Y),(X,Y )) besteht aus de Paare (f,g) mt f Hom(X,X ) ud g Hom(Y,Y ) De Komposto st schleßlch koordatewese defert (f,g) (f,g ) := (f f, g g ) 7 Telkategore Se C ee Kategore Ee Kategore D heßt Telkategore vo C, falls folgede Bedguge erfüllt sd () D C () () (v) Hom (X,Y) Hom (X,Y) für belebge Objekte X,Y vo D D C De Komposto vo Morphsme vo D st deselbe we de der etsprechede Morphsme vo C De detsche Morphsme der Mege Hom (X,X) mt X D sd auch D detsche Morphsme vo C Ee volle Telkategore st ee Telkategore, für welche () stets das Glechhetszeche glt Bespele () () () De Kategore der edlche abelsche Gruppe st e Bespel eer volle Telkategore vo Ab De smplzale Kategore st ee Telkategore vo Es, de cht voll st De Kategore der metrsche Räume ud abstadstreue Abblduge st ee Telkategore der Kategore der metrsche Räume ud kotraherede Abblduge Bede Kategore habe deselbe Objekte De erstere st kee volle Telkategore der zwete Bede sd Telkategore vo Es 8 Spezelle Morphsme See C ee Kategore ud f:x Y, g:y X zwe Morphsme vo C mt f g = d Da heßt f lksvers zu g ud g rechtsvers zu f Der Morphsmus g heßt da auch Schtt vo f ud der Morphsmus f heßt Retrakto vo g E Isomorphsmus st e Morphsmus, zu welche e lksverser ud e rechtsverser Morphsmus exstert Zwe Objekte X,Y heße somorph, X Y, falls e Isomorphsmus X Y exstert E Moomorphsmus st e Morphsmus f:x Y mt der Egeschaft, daß für belebge Morphsme u,v mt dem Zel X glt f u f v falls u v E Epmorphsmus st e Moomorphsmus der duale Kategore Bespele E Isomorphsmus Es st efach ee bjektve Abbldug E Isomorphsmus Top st ee auch topologsche Abbldug (auch Homöomorphsmus geat) 3 Se C ee Kategore, dere Morphsme Abblduge sd (ud dere Komposto de gewöhlche Zusammesetzug vo Abblduge st) Zum Bespel C = Ab, Top, I deser Kategore sd jektve Abblduge moomorph ud surjektve Abblduge epmorph De Umkehrug deser Aussage st m allgemee cht rchtg (Aufgabe!) 9 Fuktore See C ud D Kategore E Fuktor F: C D (oder auch kovarater Fuktor) besteht aus () eer Abbldug F: C D der Objekte, de ebefalls mt F bezechet wrd

6 () eer Abbldug F: Mor(C) Mor(D) der Morphsme, de ebefalls mt F bezechet wrd Dabe wrd gefordert, daß folgede Bedguge erfüllt sd F(Hom(X,Y)) Hom(F(X),F(X)) für belebge X,Y C F(f g) = F(f) F(g) für belebge Morphsme, welche f g defert st 3 F(d ) = d für belebge Objekte X C X F(X) E Kofuktor F vo C ach D (oder auch kotravarater Fuktor) st e Fuktor F:C op D, der auf der zu C duale Kategore defert st E Bfuktor st e Fuktor der Gestalt wobe C, C ud D Kategore see Bemerkug F: C C D, Ist F:C D e (Ko-)Fuktor ud f:x Y e Isomorphsmus, so st auch F(f) e Isomorphsmus Ist ämlch g zu f vers, so st F(g) zu F(f) vers Zum Bespel glt m Fuktorfall F(g) F(f) = F(g f) = F(d ) = d X F(X) Bespele für Fuktore () Se C ee Kategore Der detsche Fuktor Id:C C bldet jedes Objekt vo C ud jede Morphsmus vo C auf sch selbst ab () See C ee Kategore ud A C e Objekt Der zu A gehörge kovarate Hom-Fuktor st der Fuktor h = Hom(A,?): C Es, X a Hom(A,X), A dh für Objekte X C gelte h (X) := Hom(A,X) Auf de Morphsme f:x X A vo C st h durch de Morphsmekomposto defert A h (f): Hom(A,X) Hom(A,X ), g a f g A () See C ee Kategore ud A C e Objekt Der zu A gehörge kotravarate Hom-Fuktor st der Fuktor h A = Hom(?,A): C op Es, X a Hom(X,A), dh für Objekte X C gelte h A (X) := Hom(X,A) Auf de Morphsme f:x X vo C st h A durch de Morphsmekomposto defert h (f): Hom(X,A) Hom(X,A), g a g f A (v) See C ee Kategore Da st der zu C gehörge Hom-Fukter defert als der Bfuktor Hom: C op C Es, (X,Y) a Hom(X,Y), welche kotravarat m erste ud kovarat m zwete Argumet st Auf de Morphsme (f,g):(x,y) (X,Y ) st Hom durch de Morphsmekomposto defert Hom(f,g): Hom (X,Y) Hom (X,Y ), α a g α f C C Ma beachte, als Morphsme vo C habe f bzw g de Gestalt f:x X ud g:y Y (v) We wr de Gruppe G ud H als Kategore auffasse, so st e Fuktor F:G H gerade e Gruppehomomorphsmus ud Kofuktor e Athomomorphsmus (dh ee Abbldug mf F(g g ) = F(g ) F(g)) (v) De Fuktore Es, Ab Es, Top Es,

7 welche jedes Objekt ud jede Morphsmus sch abblde (dh de Eschräkuge des detsche Fuktors sd), sd Bespele für sogeate Vergß-Fuktore (v) Fuktore der Gestalt F: op C mt rgedeer Kategore C heße smplzale Objekte der Kategore C Im Fall C = Es sprcht ma vo smplzale Mege, m Fall C = Ab vo smplzale abelsche Gruppe, m Fall C = Top vo smplzale topologsche Räume usw E solcher Fuktor ordet jeder cht-egatve gaze Zahl e Objekt F := F([]) ud jeder schwach mooto stegede Abbldug ee Morphsmus f: [] [m] F F m ee Morphsmus vo C Wr werde später sehe, daß es geügt, dese Morphsme für gaze spezelle Abblduge f zu defere (v) Vergleche 5 für wetere Fuktore Komposto vo Fuktore See F:C D ud G:D E zwe Fuktore Da st de Zusammesetzug vo F ud G e Fuktor G F: C E, der we folgt defert st Für jedes Objekt X vo C glt G F(X): = G(F(X)) ud für jede Morphsmus f:x Y vo C glt G F(f) := G(F(f)) De Kategore der Kategore wrd mt Cat bezechet Ihre Objekte sd de Kategore, hre Morphsme sd de Fuktore ud als Komposto mmt ma de ebe beschrebee Zusammesetzug vo Fuktore De Kategore st mt Vorscht zu verwede, da se afällg gegeüber de Wdersprüche der Megelehre st Natürlche Trasformatoe See F, G: C D zwe Fuktore mt derselbe Quelle ud demselbe Zel Ee atürlche Trasformato ξ:f G st ee Famle {ξ(x):f(x) G(X)} X C vo Morphsme aus D mt der Egeschaft, daß für jede Morphsmus f:x X vo C das folgede Dagramm kommutatv st ξ(x) F(X) F(f) G(X) G(f) ξ(x ) F(X ) G(X ) Sd de Morphsme ξ(x) sämtlch Isomorphsme, so heßt ξ auch atürlche Äuvalez De Iverse der ξ(x) defere da ebefalls ee atürlche Äuvalez Sd ξ:f G ud η:g H zwe atürlche Trasformtoe, so st durch (ξ η)(x) := ξ(x) η(x) ee atürlche Trasformato ξ η: F H defert, de Zusammesetzug der atürlche Trasformatoe ξ ud η De Kategore der Fuktore aud C mt Werte D wrd mt Hom(C,D) bezechet Ihre Objekte sd de Fuktore C D, hre Morphsme sd de atürlche Trasformatoe ud de Morphsmekomposto st ebe deferte Zusammesetzug atürlcher Trasformatoe

8 3 Bespele atürlcher Trasformatoe () Für jede Fuktor F:C D defert de Famle der detsche Morphsme vo D ee atürlche Trasformato d:f F, de detsche Trasformato vo F () See C ee Kategore ud A C e Objekt Weter see F:C Es e Fuktor ud a F(A) e Elemet Da ka ma we folgt ee atürlche Trasformato Φ a :h F A kostruere We obe bezeche h : C Es, Xa Hom(A,X) de kovarate A Hom-Fuktor Für jedes X C se Φ a (X) de Abbldug Φ a f (X): Hom(A,X) F(X), (A X) a F(f)(a) Ma beachte, F(f) st ee Abbldug F(f):F(A) F(X) De Kommutatvtät der obge udratsche Dagramme st ee Folge der Fuktoregeschaft vo F Φ a (X)(f) := F(f)(a) () See C ee Kategore ud A C e Objekt Weter see F:C op Es e Kofuktor ud a F(A) e Elemet Da ka ma we folgt ee atürlche Trasformato Φ a :h A F kostruere We obe bezeche h A : C op Es, Xa Hom(X,A) de kotravarate Hom-Fuktor Für jedes X C se Φ(X) de Abbldug Φ a (X): Hom(X,A) F(X), (X A) a F(f)(a) Ma beachte F(f) st ee Abbldug F(f):F(A) F(X) De Kommutatvtät der obge udratsche Dagramme st ee Folge der Fuktoregeschaft vo F Das achfolgede Lemma vo Yoeda besagt, es gbt kee wetere atürlche Trasformatoe h F ebe de ebe beschrebee A f 4 Lemma vo Yoeda See F: C Es e Fuktor, A C e Objekt ud ξ: h F ee atürlche A Trasformato Da gbt es geau e Elemet a F(A) mt ξ = Φ a Es glt Bemerkuge a = ξ(a)(d ) A () Ee atürlche Trasformato h F st also berets edeutg durch hre Wert A m Elemet d h (A) bestmmt, ud als Bld ka ma e belebges Elemet A A vo F(A) vorgebe () Ee aaloge Aussage glt auch für Kofuktore F:C op es ud atürlche Trasformatoe h A F (Ma ersetze C durch C op ) Bewes des Yoeda-Lemmas Für jede Morphsmus f:a X vo C hat ma e kommutatves Dagramm ξ(a) h (A) A h (f) A ξ(x) h (X) A F(A) F(f) F(X) Isbesodere erhält ma für das Bld vo d h (A) be de bede möglche A A Kompostoe:

9 ξ(x)(h (f)(d )) = F(f)(ξ(A)(d )) A A A ξ(x)(f) F(f)(a) Dabe habe wr a:= ξ(a)(d ) gesetzt Es glt also ξ = Φ a A Zum Bewes der Edeutgket vo a ehme wr a, es glt Φ a = Φ a, a,a F(A) Da st aber a = F(d )(a) = Φ a (A)(d ) = Φ a (A)(d ) = F(d )(a ) = a A A A A 5 Darstellbare Fuktore See F:C Es e (Ko-)Fuktor ud A C e Objekt E Elemet a F(A) heßt uversell für F, we de zugehörge atürlche Trasformato Φ a :h A F (bzw Φ a :h F) A e Isomorphsmus vo Fuktore (dh ee atürlche Äuvalez) st Das Objekt A heßt da darstelledes Objekt für de Fuktor F E Fuktor, der e darstelledes Objekt bestzt, heßt darstellbar Ncht jeder Fuktor st darstellbar Das Paar (A,a) st, falls es exstert bs auf Isomorphe edeutg bestmmt 6 Edeutgket des darstellede Paares Se F:C Es e darstellbarer Fuktor mt dem uverselle Elemet a F(A) Da glt: () Zu jedem Objekt X C ud jedem Elemet x F(X) gbt es geau ee Morphsmus f:a X vo C mt F(f)(a) = x () Ist x ebefalls uversell, so st f e Isomorphsmus Bewes () Nach Voraussetzug st de Abbldug Φ a (X):Hom(A,X) F(X), f a F(f)(a), bjektv Es gbt also geau e f mt F(f)(a) = x () Ist auch x uversell, so gbt es außerdem och geau e g mt F(g)(x) = a Da st aber Verglech mt der Idettät F(fg)(x) = F(f)F(g)(x) = F(f)(a) = x F(d )(x) = x X zusamme mt der Uversaltät vom x lefert fg = d Aus Symmetregrüde glt da X aber auch fg = d, dh f st e Isomorphsmus A 7 Algebrasche Kostruktoe belebge Kategore Der Begrff des darstellbare Fuktors ka ma beutze um Kostruktoe der Megelehre auf allgemee Kategore zu übertrage Wr führe ege Bespele a () Drekte Summe See A,B C zwe Objekte ud F der Fuktor F = h h : C Es, X a Hom(A,X) Hom(B,X) A B Auf de Morphsme se F we folgt defert Für f:x X Mor(C) se F(f) de Abbldug I der obge Idettät, ξ(a)(f) = F(f)(a), welche für jede Morphsmus f:a X glt, setze ma f=d a sbesodere X=A) Wege ξ = Φ ergbt sch F(d A )(a) = ξ(a)( d A a ) = Φ (A)(d A ) A (ud

10 F(f): Hom(A,X) Hom(B,X) Hom(A,X ) Hom(B,X ), (α,β) a (fα,fβ) Ist F darstellbar ud st S e darstelledes Objekt, so glt für jedes X C : Hom(A,X) Hom(B,X) Hom(S,X) Das Objekt S C heßt da drekte Summe vo A ud B (oder auch Koprodukt) ud wrd mt S = A B bezechet Ist (p,) Hom(A,S) Hom(B,S) das uverselle Elemet, so heße p:a A B ud :B A B atürlche Ebettuge De drekte Summe S vo A ud B st dadurch charaktersert, daß es zu je zwe Morphsme a:a X ud b:b X mt demselbe Zel X geau ee Morphsmus f:s X glt mt a = fp ud b = f Aalog defert ma uedlche drekte Summe () Drekte Produkte sd de drekte Summe der duale Kategore Ma sprcht da vo de atürlche Projektoe A B A ud A B B Bespele De drekte Summe Es ud Top sd gerade de dsjukte Vereguge I Ab sd es de gewöhlche drekte Summe vo Gruppe De drekte Produkte Es, Top ud Ab sd de Produktmege, Produkträume bzw de gewöhlche drekte Produkte 8 Aufgabe Kategore Zege Se, Es st kee Mege Se g lksvers zu f ud h rechtsvers zu f Zege Se g=h Der zu f verse Morphsmus 3 Defere Se de Begrff des Epmorphsmus ohe Verwedug des Begrffs der duale Kategore 4 Gebe Se Bespele vo Epmorphsme ud Moomorphsme verschedee Kategore a Utersuche Se de Bezehuge zu de Begrffe jektv ud surjektv 5 Defere se de Begrff des kotravarate Fuktors ohe Verwedug des Begrffs der duale Kategore 6 Zege Se, de Kategore vo 4 läßt sch mt eer Telkategore der Kategore Top der topologsche Räume detfzere, wobe ma de Mege [] mt dem Stadard-Smplex := {(x,,x ) + = x =, x für =,,} der Dmeso detfzert ud de Morphsmus f: [] [m] vo mt der Eschräkug der leare Abbldug f : -te Stadard-Ehetsvektor e + m+ auf, welche de abbldet e Beschrebe Se dese f() Telkategore vo Top ud etschede Se, ob es sch um ee volle Telkategore hadelt Topologsche Räume 7 Wederhole Se de Begrffe des topologsche Raumes, sbesodere de des Hausdorff-Raumes 8 Zege Se, ee stetge bjektve Abbldug ees kompakte Raumes ee Hausdorff-Raum st e Homöomorphsmus Ka ma de Bedgug, daß der ee Raum e Hausdorff-Raum se soll, weglasse?

11 9 E T -Raum st e topologscher Raum, welchem es zu jedem Puktpaar (x,y) ee offee Mege gbt, welche x aber cht y ethält Versehe Se de reelle Gerade mt eer Topologe derart, daß dese e T -Raum ud trotzdem ke Haussdorff-Raum wrd See X ud Y zwe topologsche Räume de als Mege detsch sd De Topologe vo X heßt schwächer als de vo Y, we jede offee Mege vo X auch offe Y st ud de Topologe cht glech sd Se jetzt {X } e Famle vo Telmege vo X Beschrebe Se de schwächste Topologe vo X, be der alle Mege X offe sd Ma et dese Topologe de vo de X Topologe erzeugte Ermttel Se, wevele topologsch cht-äuvalete Räume es gbt, welche geau dre Pukte bestze Wevele davo sd Hausdorff-Räume? Faktortopologe See X e topologscher Raum ud ee Äuvalezrelato auf der Mege X Bezeche X/ de Mege der Äuvalezklasse bzgl ud γ: X X/ de atürlche Abbldug, welche jedes Elemet auf see Äuvalezklasse abbldet (a) Zege Se, de Telmege vo X/, dere vollstädge Urblder X offe sd, gebe der Mege X/ de Struktur ees topologsche Raumes De etsprechede Topologe heßt Faktortopologe vo X/ Der Raum X/ mt deser Topologe heßt Faktorraum vo X modulo (b) Gebe Se durch ee geegete Defto der folgede Aussage ee exakte mathematsche Gehalt De Faktortopologe vo X/ st de stärkste Topologe der Mege X/, be der de atürlche Abbldug γ: X X/ stetg st (c) Charaktersere Se de Faktorraum X/ (bs auf Isomorphe) durch ee Uversaltätsegeschaft 3 Verheftug topologscher Räume Se {X } I ee Famle vo topologsche Räume Für je zwe Räume X ud X der Famle see Uterräume ud Homöomorphsme A X ud A X f :A A gegebe Für je dre Elemete,, I der Idexmege gelte 3 f 3 auf der Telmege A A 3 f 3 f = Id vo X ud für jedes I gelte f =Id Kostruere Se ee Raum mt X mt folgede Egeschafte a Jedes X der Famle läßt sch mt eem Uterraum vo X detfzere (dh es glt X X für de Mege ud de Topologe vo X Uterraumtopologe) st gerade de b X st de Veregug der Uterräume X Zwe Pukte x X ud x X etspreche geau da demselbe Pukt vo X, we se be der Abbldug f

12 eader übergehe Ma sagt auch, der Raum X etsteht durch Verhefte der Räume X etlag der Telmege A (Hwes: beschrebe Se X als Faktorraum der dsjukte Veregug der X mt Hlfe eer geegete Äuvalezrelato) c Beschrebe se de Rad ees Tetraeders als das Ergebs eer Verheftug vo mehrere Kope ees Stadarddreecks etlag vo desse Sete Zusammehägede topologsche Räume 4 E topologscher Raum X heßt zusammehäged, we er cht de Veregug vo zwe dsjukte ud cht-leere offee Telräume zerlegt werde ka Ee Telmege vo X heßt heßt zusammehäged, we se als Uterraum zusammehäged st Zege Se, ee belebge Famle vo zusammehägede Telmege vo X, vo dee je zwe ee gemesame Pukt bestze, hat ee zusammehägede Veregug 5 Zege Se, de Abschleßug eer zusammehägede Telmege A des topologsche Raumes X st zusammehäged 6 Zege Se, zu jedem Pukt x des topologsche Raumes X gbt es geau ee zusammehägede Telmege C(x) X, welche de Pukt x ethält ud außerdem och de folgede Egeschaft hat: Jede zusammehägede Telmege vo X, welche de Pukt x ethält, st gaz C(x) ethalte Dese Mege C(x) heßt Zusammehagskompoete vo x X 7 Zege Se, de Zusammehagskompoete jedes Puktes ees topologsche Raumes X st abgeschlosse X 8 Gebe Se ee topologsche Raum X a mt eer Zusammehagskompoete, de cht offe st X Smplzalkomplexe 9 E (abstrakter oder kombatorscher) Smplzalkomplex K mt der Ecke- Mege V(K) st ee Mege vo edlche Telmege der Mege V(K), dere Elemete Ecke vo K heße De Elemete vo K heße Smplexe vo K De Telmege ees Smplex s vo K heße auch Sete vo s Dabe wrd gefordert, daß de folgede Bedguge erfüllt sd (a) Für jede Ecke v V(K) st {v} e Smplex vo K (b) Jede Sete ees Smplex vo K st e Smplex vo K (c) Für je zwe Smplexe s ud s vo K mt eer gemesame Ecke st s s e Smplex vo K Ee smplzale Abbldug st ee Abbldug f: V(K) V(L) der Ecke-Mege ees Smplzalkomplexes K de Ecke-Mege ees Smplzalkomplexe K mt f(s) K für jedes s K Zege Se (a) De Smplzal-Komplexe blde mt de smplzale Abblduge ee Kategore (b) De edlche Smplzalkomplexe K (dh dejege mt V(K) edlch) blde ee volle Telkategore vo Für jede Smplzalkomplex K besteht de Realserug K vo K aus der Mege aller Abblduge α:v(k) [,], welche de folgede bede Bedguge geüge

13 (a) α(v) = v V(K) (b) Der Trager Supp(α) := {v V(K) α(v) } vo α st e Smplex des Smplzalkomplexes K Wr detfzere de Mege V(K) mt eer Telmege vo K, dem wr der Ecke v V(K) de Fukto α mt dem Träger Supp(α) = {v} zuorde, V(K) K Zege Se (b) K st mt der Abstadsfukto d(x,y) := (x(e)-y(e)) e K e metrscher Raum (dh es glt d(x,y)= x=y, d(x,y)=d(y,x), d(x,y)+d(y,z) d(x,z)), also sbesodere e topologscher Raum De etsprechede Topologe vo K heßt metrsche Topologe (a) Es gbt geau ee Fuktor : Top welcher jedem Smplzalkomplex desse Realserug zuordet, wobe de folgede Bedguge erfüllt sd (c) Für jede smplzale Abbldug f: K L st de Eschräkug vo f : K L auf auf de Telmege V(K) gerade f, f = f V(K) (d)für jede smplzale Abbldug f: K L st de zugehörge Abbldug f : K L -lear dem Se, daß für je zwe Pukte α,β K der Realserug ud je zwe reelle Zahle λ, µ [,] mt λ+µ = glt f (λα + µβ) = λ f (α) + µ f (β) Se K e Smplzalkomplex E Smplex s K, welches aus + Elemete besteht heßt auch -Smplex oder -dmesoales Smplex ud de Zahl dm s := heßt Dmeso vo s Zege Se (a) Für jedes -Smplex vo K blde de cht-leere Telmege vo s ee Smplzalkomplex, desse Realserug s homöomorph st zur Telmege := {(x,,x ) + = x =, x für =,,} des +, welche -dmesoales Stadard-Smplex heßt Durch dese Idetfzerug wrd s zum topologsche Raum (b) Es glt K = s s K (c) Es gbt geau ee Topologe auf K mt der Egeschaft, daß ee Telmege U K

14 geau da offe st, we U s offe st s für jedes s K Dese Topologe heßt schwache Topologe vo K We cht explzt aders erwäht, werde wr K stets mt der schwache Topologe versehe (d) Für edlche Smplzalkomplexe K stmmt de metrsche mt der schwache Topologe übere (e) Für jede edlche Smplzalkomplex läßt sch der metrsche Raum K mt eem Uterraum ees ees detfzere (dh es gbt ee jektve Abbldug K, de de Abstad erhält) Gebe se e Smplzalkomplex K a, desse Realserug homöomorph st (a) zum epuktge Raum (b) zum Ehetstervall [, ] ( ) (c) (d) (e) (f) (g) (h) zu eem (abgeschlossee) Dreeck zu eer Kresle zu eem Tetraeder zu eem Oktaeder zu eem Torus zu eem Möbusbad () zu eer Hadel (-Oberfläche) Smplzale Objekte 3 Ee smplzale abelsche Gruppe, e smplzaler topologscher Raum, e smplzales Objekt eer Kategore C st e Fuktor F: op C, wobe C de Kategore der abelsche Gruppe, bzw der topologsche Räume, bzw rgedee Kategore st (a) Zege Se, jede smplzale Mege F: op Es, defert ee smplzale abelsche Gruppe <F>: op Ab, dere Werte free abelsche Gruppe sd (b) Zege Se allgemeer, zu jeder smplzale Mege F: op Es ud jede Fuktor G: Es C gbt es e smplzales Objekt G F vo C Beschrebe Se de smplzale Gruppe vo a) auf dese Wese

15 Homotope Vorbemerkuge () Se f:x Y ee stetge Abbldug De Homotopetheore teressert sch für Egeschafte vo f, de sch be klee Veräderuge vo f auch ur weg äder () () (v) De Physk zum Bespel muß m allgemee davo ausgehe, daß des be alle physkalsch teressate Egeschafte der Fall st (wel jede Messug mt Fehler behafte st, also ur Egeschafte erfaßt werde, de sch be gerge Meßfehler ur uwesetlch abäder) Läßt sch ee Egeschaft der agegebee Art durch ee dskrete Größe beschrebe, zum Bespel durch ee atürlche Zahl, so blebt dese Egeschaft überhaupt völlg varat auch be große Veräderuge, sobald sch dese ur aus vele klee zusammesetze Letzteres st de Grudlage des sogeate Przps der Homotope-Ivaraz Der Begrff der Homotope st ee Formalserug des beschrebee Phäomes Der Begrff der Homotope See X,Y topologsche Räume ud I=[,] das Ehetstervall Ee Homotope oder auch Deformato vo X ach Y st ee stetg Abbldug F: X I Y Für jedes t I st da sbesodere de Abbldug F : X Y, x a F(x,t), t stetg Wr werde m folgede auch vo der zugehörge Famle {F : X Y} t t I als vo eer Homotope spreche, bzw mt dem Begrff der Homotope mmer de Vorstellug eer solche Famle vo stetg varerede Abblduge verbde Statt vo eer Homotope werde wr auch vo eer stetge Famle vo Abblduge spreche Bemerkug F : X Y, t I, t We ma x X festhält ud t I varert, so ka ma sch F (x) als ee sch mt der t Zet m Raum Y bewegede Pukt vorstelle Aalog stellt ma sch F (X) als e sch t mt der Zet deformeredes Geblde vor 3 Homotope Abblduge Zwe stetge Abblduge f,g:x Y heße homotop, falls es ee stetge Famle vo Abblduge F : X Y, t I, t gbt mt f = F ud g = F Wr schrebe da f _ g oder F:f _ g ud sage, F st ee Deformato der Abbldug f de Abbldug g Se A X e Telraum Falls de Eschräkug F auf A uabhägg vo t st, so t A heßt F auch relatve Homotope bzgl A Wr schrebe da f _ g rel A oder F:f _ g rel A Ist g = F ee kostate Abbldug, so heßt F auch Nullhomotope ud f = F heßt ullhomotop

16 4 Homotopeklasse De Homotoperelato _ st ee Äuvalezrelato De zugehörge Äuvalezklasse heße Homotopeklasse De Homotopeklasse der stetge Abbldug f:x Y wrd mt [f] bezechet Bewes Reflexvtät De kostate Homotope F (x) = f(x) zegt, es glt F:f _ f t Symmetre Ist ee Deformato vo f g, so st ee Deformato vo g f Trastvtät See Homotope gegebe Wr setze H(x,t) := F : X Y, t I, t F : X Y, t I, -t F:f _ g ud G:g _ h F(x,t) für t Da st H ee Deformato vo f h G(x,t-) für t 5 Verträglchket mt Kompostoe See f,f :X Y ud g,g :Y Z stetge Abblduge mt f _ f ud g _ g Da glt g f _ g f Bewes Mt F:f _ f ud G:g _ g glt H: g f _ g f, we ma H := G t t Bemerkug F setzt t Nach Aussage 5 st de Homotopeklasse [f g] ur vo de Homotopeklasse [f] ud [g] abhägg ud cht vo de ezele Repräsetate Ma ka also [f] [g] := [f g] setzte ud auf dese Wese de Komposto vo Homotopeklasse defere 6 De Homotopekategore De Homotopekategore wrd mt Top bezechet Ihre Objecte sd de topologsche Räume ud hre Morphsme de Homotopeklasse stetger Abblduge De Morphsmekomposto st de obe deferte Komposto vo Homotopeklasse Bemerkuge () () Top hat deselbe Objekte we Top Der Übergag zu de Homotopeklasse defert ee Fuktor de sogeate Homotopefuktor Bemerkuge π: Top Top, X a X, f a [f], () De wchtgste Methode der algebrasche Topologe besteht der Kostrukto vo gewsse Fuktore F: Top A, wobe A ee der algebrasche Kategore st (Gruppe, Rge, ) Mestes sd dese Fuktore homotopevarat, dh aus f _ g Top folgt stets F(f) = F(g) Mt adere Worte, F faktorsert sch über de Homotopefuktor π, dh hat de Gestalt π F Top Top A

17 Der Fuktor F verachlässgt alle Iformatoe, welche auch vo π verachlässgt werde Deshalb teressert ma sch der algebrasche Topologe mehr für de Kategore Top als für Top () Isbesodere macht ma oftmals kee Utersched zwsche topologsche Räume, de Top somorph sd Das sd Räume X ud Y, zu dee es stetge Abblduge f:x Y ud g:y X gbt mt f g _ d Y ud g f _ d Solche Abblduge heße X Homotopeäuvaleze De Räume X ud Y, zwsche dee es Homotopeäuvaleze gbt, heßt homotopeäuvalet, symbolsch, X _ Y (v) Homotopevarae Fuktore habe deselbe Werte auf homotopeäuvalete Räume, geauer X _ Y F(X) F(Y) 7 Topologsche Paare Uter eem topologsche Paar wolle wr m folgede e Paar (X,A) verstehe, wobe X e topologscher Raum st ud A e Uterraum vo X Ee Abbldug vo Paare, f: (X,A) (Y,B), soll ee stetge Abbldug f:x Y se mt f(a) B De topologsche Paare ud hre Abblduge blde bzgl der gewöhlche Komposto ee Kategore, de mt Top () bezechet wrd Mt Hlfe des Fuktors Top Top (), X a (X, ), detfzere wr m folgede Top mt eer volle Telkategore vo Top () 8 De drekte Summe vo Paare Se der topologsche Raum X dsjukte Veregug der Famle {X }, dh X st de I drekte Summe deser Räume Top, X = X I Weter se A X e Uterraum ud es se A = A X Da st das Paar (X,A) Top () de drekte Summe der Paare (X, A ), (X,A) = (X I, A ) 9 E Produkt vo Paare Für Paare (X,A) ud (Y,B) setze wr (X,A) (Y,B) := (X Y, X B A Y) Des st cht das drekte Produkt der bede Paare Top () Homotope vo Paare Zwe Abblduge f,g:(x,a) (Y,B) heße homotop, falls es ee Homotope H:f _ g gbt, für welche alle H Abblduge (X,A) (Y,B) vo Paare sd Ma schrebt da t weder f _ g De Relato _ st ee Äuvalezrelato De Äuvalezklasse werde

18 weder mt [f] bezechet Ma erhält auf dese Wese ee Kategore Top () ud ee Fuktor π:top () Top (), (X,A)a (X,A), f a [f] Trpel vo topologsche Räume Uter eem topologschem Trpel wolle wr e Trpel (X,A,B) vo topologsche Räume verstehe mt B A X Falls ur A X B glt spreche wr vo eer Trade Bede Begrffe führe zu gewsse Kategore, welche Top () ethalte ud sogar zu etsprechede homotopsche Begrffe ud Kategore Aufgabe Defere Se de Kategore () der smplzale Paare (vgl 5) ^ Defere Se de Kategore der geordete Komplexe (vgl 5) ^ 3 Defere Se de Kategore () der geordete smplzale Paare (vgl 5) 4 Defere Se der Kategore der Smplzalkomplexe de Begrff der Homotope zweer Morphsme Homologe vo Komplexe Komplexe De Homologe ees Komplexes E Komplex K st ee Famle { :K K } - vo aufeaderfolgede Homomorphsme abelscher Gruppe mt der Egeschaft, daß de Zusammesetzug vo je zwe aufeaderfolgede Homomorphsme Null st, Schrebwese: - = De Elemete vo K Elemete der Utergruppe K: K + K K - K heße -dmesoale Kette oder auch -Kette vo K De Z K := Ker( ) heße -dmesoale Zykle oder auch -Zykle vo K De Elemete der Utergruppe B K := Im( ) + heße -dmesoale Räder oder auch -Räder vo K Wege de Ikluso B K Z K Ma ka also de Faktorgruppe H K := Z K/B K = besteht + blde Dese heßt -te Homologe des Komplexes K Ihre Elemete heße - dmesoale Homologeklasse Zwe Zykle z,z heße homolog, we se derselbe Homologeklasse lege Symbolsch:

19 z z z-z B K z-z = c für ee c K + Des st ee Äuvalezrelato De Homologeklasse ees Zyklus z wrd mt [z] bezechet De Abblduge heße auch Radabblduge oder Dfferetale des Komplexes E Komplex heßt exakt, we Im( ) = Ker( ) glt für jedes Das st äuvalet + zu de Bedguge H K = für De Homologegruppe ka ma als e Maß für de Abwechug vo der Exakthet auffasse Komplexabblduge See K := { :K K } - ud K := { :K K } - Komplexe Ee Komplexabbldug f:k K oder auch Ketteabbldug oder auch Komplexmorphsmus st ee Famle f := {f :K K } vo Gruppehomomorphsme, welche mt de Radabblduge der Komplexe verträglch sd Das bedeutet, de folgede Dagramme solle kommutatv se K f K K - f - K - Sd f:k K ud f :K K zwe Komplexabblduge, so st durch (f f) := f ee Komplexabbldug K K defert, welche Komposto vo f ud f heßt ud mt f f bezechet wrd De Komplexe blde zusamme mt de Komplexabblduge ud der ebe beschrebee Komposto ee Kategore, de Kategore der Komplexe abelscher Gruppe oder auch Komplexkategore über Ab Dese wrd mt Ab bezechet De Isomorphsme Ab sd dejege Komplexabblduge f, dere Kompoete f Isomorphsme Ab sd f 3 Der Homologefuktor Se f:k K ee Komplexabbldug Aus der Kommutatvtät des obge Dagramms, dh aus der Bedgug ergebe sch de Iklusoe f = f - f (Z K) Z K ud f (B K) B K Nach dem Homomorphesatz duzert f ee Homorphsmus H f: H K H K, [z] a [f (z)] Trvalerwese st H (d) de detsche Abbldug Für je zwe Komplexabblduge f:k K ud f :K K glt H (f f) = H (f ) H (f) Mt adere Worte, für jedes st H e Fuktor

20 H : Ab Ab Bemerkug De Fuktore der algebrasche Topologe sd typscherwese vo der Gestalt Top Ab Ab, dh se setze sch aus zwe Fuktore zusamme, wobe der zwete Fuktor der gerade kostruerte Homologefuktor st Für de erste Fuktor gbt es recht uterschedlche Möglchkete (vellecht sovele we Mathematker) Wr betrachte her also zuächst de formale, alle Homologetheore gemesam Tel der algebrasche Topologe (der machmal auch als geeral osese bezechet wrd) Verebaruge We kee Verwechsluge möglch sd, werde wr astelle vo, f, H (f) auch, f, f schrebe Alle Gruppe see, we cht ausdrücklch aderes erwäht, abelsch 4 Graduerte Gruppe Ee ( -)graduerte Gruppe st ee Gruppe G, welche ee drekte Summe vo Utergruppe G zerfällt, G = G De Utergruppe G heßt -ter homogeer Bestadtel vo G E Morphsmus f:g G graduerter Gruppe st e Gruppehomomorphsmus mt f(g ) G für jedes De graduerte Gruppe blde mt de agegebee Homomorphsme de Kategore der graduerte Gruppe Dese wrd mt GAb bezechet Ist G ee graduerte Gruppe, so bezechet G[] de graduerte Gruppe mt Bespele G[] := G[+] () Ee Komplex K ka ma als graduerte Gruppe K := K betrachte, zusamme mt eem Morphsmus :K K[-], welcher der Bedgug = geügt () Ker ud Bld der Radabbldug sd da graduerte Gruppe ZK = Ker( ) = Z K BK = Im( ) = B K dere -te homogee Bestadtele aus de -Zykle bzw -Räder bestehe () De Homologe vo K st de graduerte Gruppe Des st ee graduerte Gruppe HK := ZK/BK HK = H K dere -ter homogeere Bestadtel aus de -dmesoale Homologeklasse vo K gebldet werde Der Übergag zur Homologe defert ee Fuktor H: Ab Gab Jeder abelsche Gruppe A Ab ud jeder gaze Zahl k ka ma ee Komplex (A,k) zuorde mt

21 (A,k) = A falls =k sost wobe de Radabblduge sämtlch Null sd Dese Kostrukto defert für jedes k ee Fuktor Ab GAb, A a (A,k) 5 Drekte Summe vo Komplexe Se {K λ } ee Famle vo Komplexe (de wr her als graduerte Gruppe λ Λ betrachte wolle) Da heßt der Komplex K := K λ λ Λ mt der Radabbldug := λ drekte Summe der Famle {K λ } Es glt λ Λ λ Λ λ K = K λ Λ ({c λ λ } ) = { λ Λ (cλ )}λ Λ also ZK = ZK λ λ Λ BK = BK λ λ Λ HK = HK λ λ Λ Aaloge Kostruktoe bestehe für das drekte Produkt 6 Der Kegel eer Komplexabbldug Das st e techsch wchtger Begrff, der mt dem Kegel über eem topologsche Raum zusammehägt Se f:(k, ) (K, ) ee Komplexabbldug Der Kegel Cf über f st da defert als Komplex mt (Cf) := K K - De -te Radabbldug st we folgt defert Betrachtet ma de Elemete vo (Cf) (c,c ) = ( c +fc, - c ) gerade der Multplkato mt der Matrx Isbesodere st als zwezelge Spaltevektore, so besteht f = - f f f-f = - = - de Nullabbldug, dh Cf st tatsächlch e Komplex Spezalfälle () Im Fall K=K, K =, f= schrebt ma auch K + := Cf + Es glt da K = K, K+ = - K, also H K + = H K, also - - H(K + ) = (HK)[-] K + heßt Suspeso über K () Im Fall K=K =K, f=d schrebt ma auch

22 CK = Cf CK heßt Kegel über K 7 De kurze exakte Seuez zum Abbldugskegel Se f:k K ee Komplexabbldug Da besteht ee kurze exakte Seuez vo Komplexabblduge ι κ K Cf K [-] mt ι(c ) = (,c ) ud κ(c,c ) = c Es st lecht zu sehe, daß ι ud κ Komplexabblduge sd Offeschtlch glt Im(ι) = Ker(κ), dh de Seuez st tatsächlch exakt Dese Seuez zerfällt als Seuez graduerter Gruppe, jedoch m allgemee cht der Komplexkategore (Nehme K = K = (,) ud f = d) 8 Aufgabe Dagramm-Lemmata FüferlemmaDe Zele des folgede kommutatve Dagramms vo abelsche Gruppe ud Gruppehomomophsme see exakt A B C D E α β γ δ ε A B C D E Weter see α,β,δ,ε Isomorphsme Zege Se, da st auch γ e Isomorphsmus 3 3-Lemma Folgedes Dagramm vo abelsche Gruppe ud Gruppehomorphsme se kommutatv A B C A B C A B C De Komposto vo je zwe zusammesetzbare Homomorphsme derselbe Rchtug se Null Sämtlche Zele ud sämtlche Spalte mt eer Ausahme see exakt Zege Se, auch de verblebede Zele bzw Spalte st da exakt 3 Schlagelemma De Zele des folgede kommutatve Dagramms vo abelsche Gruppe ud Gruppehomomophsme see exakt A B C D E α β γ δ ε A B C D E Außerdem see α surjektv ud ε jektv Zege Se, es gbt ee exakte Seuez der folged Gestalt Ker(β) Ker(γ) Ker(δ) Coker(β) Coker(γ) Coker(δ) Her bezeche Ker(f) de Ker des Homomorphsmus f:x Y ud Coker(f) = Y/Im(f) see Koker Hwes zur Kostrukto vo See K := Ker(C D ) ud K = Coker(B C ) Zege Se, es gbt ee surjektve Homomophsmus K Ker(δ) ud ee jektve Homomorphsmus Coker(β) K Zege Se weter, es gbt

23 geau ee Homomorphsmus :Ker(δ) Coker(β) derart, daß de bede folgede Kompostoe überestmme γ K C C K K Ker(δ) Coker(β) K 4 Für je zwe Komplexe abelscher Gruppe K ud L defere wr ee Komplex Hom(K,L) dem wr für jedes setze Hom(K,L) := k Hom(K,L ), k k+ dh e Elemet vo Hom(K,L) st ee Famle f = {f :K L } k k k+ k vo Gruppehomomorphsme Der Rad vo f se durch (f) := { f - (-) f k k- } k () () () gegebe Zege Se, auf dese Wese st tatsächlch e Komplex defert Beschrebe Se de Zykle Z Hom(K,L) Beschrebe Se de Räder B Hom(K,L) 5 Zege Se, der Kegel C(K) über eem belebge Komplex K st homologsch trval, dh H(C(K)) = 6 Zerfallede exakte Seeze Zege Se, für ee kurze exakte Seuez α A B C vo abelsche Gruppe sd de folgede Bedguge äuvalet () () zerfällt () Es gbt ee zu α lksverse Homomorphsmus () Es gbt ee zu β rechtsverse Homomorphsmus (v) Es gbt Homomorphsme a :B A ud b C B mt β 7 α α = d, β β = d, α α + β β = d Smplzalkomplexe 8 Geordeter smplzaler Kettekomplex Se K e Smplzalkomplex E geordetes -Smplex vo K st e (+)-Tupel (e,,e ) derart, daß {e,,e } e -Smplex vo K st Für jede Smplzalkomplex K bezeche S (K) de vo de geordete -Smplexe erzeugte free abelsche Gruppe (a) Zege Se, de Famle der S (K) bldet mt de Radhomomorphsme :S (K) S (K), (e,,e ) a (-) (e,,e,e,,e ) = ee Kettekomplex S(K) Deser heßt geordeter smplzaler Kettekomplex vo K (b) Se K der Smplzalkomplex, welcher aus alle echte Telmege der Dreermege {A,B,C} besteht (dh K st der Rad ees Dreecks) Bestmme Se S(K) ud H (S(K)) Äder Se de Defto vo S(K) so ab, daß S(K) de rchtge Homologe bekommt (dh de Homologe ees Dreecksrades) (c) Setze se de Zuordug K a S(K) fort zu ee Fuktor S: K(Ab) vo der Kategore der Smplzalkomplexe de Kategore der Kettekomplexe

24 9 Oreterter Kettekomplex Se K e abstrakter Smplzalkomplex, desse Eckemege mt eer leare Ordug versehe st (dh eer Halbordug, bezüglch welcher je zwe Ecke verglechbar sd) E geordetes Smplex vo K heßt oretert, we glt (e,,e ) e < < e (a) Zege Se, de vo de oreterte Smplexe erzeugte free abelsche Gruppe hat de Struktur ees Telkomplexes C(K) S(K) des geordete smplzale Kettekomplexes (welcher oreterter smplzaler Kettekomplex vo K heßt) Zege Se weter, dese Iklusoe defere ee atürlche Trasformato C S : ^ K(Ab) Fuktore auf der Kategore der geordete Smplzalkomplexe der Kategore K(Ab) der Komplexe abelscher Gruppe ^ mt Werte (b) Für jedes geordete Smplex (e,,e ) mt paarwese verschedee Ecke setze wr [e,,e ] := sg(σ) (e,, e ), σ σ wobe σ de Permutato bezeche mt e σ Smplex mehrfache Ecke hat, setze wr Zege Se, durch [e,,e ] := S(K) C(K), (e,,e ) a [e,,e ], st ee Komplex-Abbldug defert < < e Falls das geordete σ (c) Gebe Se ee Defto vo C(K) a, de uabhägg vo der Wahl eer leare Ordug auf der Eckemege st Zege Se, de Komplex-Abblduge S(K) C(K) defere ee atürlche Trasformato S C : K(Ab) vo Fuktore auf der Kategore der Smplzalkomplexe Kategore K(Ab) der Komplexe abelscher Gruppe mt Werte der (d) Setze se de (a) -(c) deferte Fuktore ud atürlche ^ Trasformatoe auf de jewelge Paar-Kategore () bzw () fort Smplzale Objekte 6 Se F: op Ab ee smplzale Gruppe Zege Se, F defert ee Komplex mt ud de Radabblduge K(F) F([]) für K(F) = sod

25 K(F) K(F), x a - j= (-) j j F(ε )(x) 7 Wr betrachte de Kategore vo 4 we Aufgabe 6 vo 8 als Telkategore vo Top ud fxere ee topologsche Raum X Top Se F = h X : op Es, [] a Hom (, X), Top de Eschräkug des kotravarate Hom-Fuktors auf h X auf de Telkategore Beschrebe Se de Komplex K(<F>) = K(<h X >) zur smplzale abelsche Gruppe <F> vo 8 Aufgabe 3 De lage exakte Homologeseuez Telkomplexe ud Faktorkomplexe See K ud K zwe Komplexe Falls K K für jedes ud de Radabblduge vo K de Eschräkuge der Radabbdluge vo K sd, so heßt K Telkomplex vo K Es glt da (K ) K, dh de Radabbldug : K - K duzert ee Homomorphsmus - _ : K /K K /K, cl(c) a cl( (c)), - - wobe cl(c) de Restklasse vo c bezechet Wr setze _ K := K /K Da st das folgede Dagramm kommutatv, K K - ud es glt für jedes _ _ _ K K - _ - Letzteres bedeutet, de Famle _ = K := { : _ K _ K } - st e Komplex Auf Grud der Kommutatvtät der obge Verecke setze sch de atürlche Abblduge γ : K K zu eer Ketteabbldug γ:k K zusamme E Komplex der Gestalt _ K heßt _ Faktorkomplex, ud γ:k K heßt we üblch atürlche Abbldug Bezechug: _ K = K/K

26 Bespele für Tel- ud Faktorkomplexe Se f:k K ee Ketteabbldug Der Ker vo f wrd mt Ker(f) bezechet ud st e Telkomplex vo K mt Ker(f) := Ker(f ) Das Bld vo f wrd mt Im(f) bezechet ud st e Telkomplex vo K mt Im(f) := Im(f ) Auf Grud des Homomorphesatzes für Gruppe st der Faktorkomplex K/Ker(f) somorph zu Im(f), Ee Seuez vo Ketteabblduge Im(f) K/Ker(f) α K K K heßt exakt a der Stelle K, we Im(α) = Ker(β) glt Se heßt exakt, we se a alle Stelle exakt st Zum Bespel st für jede Telkomplex L K de kurze Seuez β L K K/L exakt We m Fall vo abelsche Gruppe sd alle kurze exakte Seueze somorph zu eer Seuez deser Gestalt 3 De Halbexakthet des Homologefuktors Se α K K K ee kurze exakte Seuez vo Ketteabblduge Da st de folgede Seuez vo Homomorphsme graduerter abelscher Gruppe ebefalls exakt H(α) H(K ) H(K) H(K ) β H(β) Bemerkug Dese Aussage st bedeutet gerade, daß jedes der Seueze H (α) H (β) H (K ) H (K) H (K ) exakt st Bewes vo 3 Wr habe zu zege, Im(H(α)) = Ker(H(β)) Nach Voraussetzug st Im(α) = Ker(β), sbesodere st also β α = de Nullabbldug Da H e Fuktor st, folgt H(β) H(α) =, also Im(α) Ker(β) Zum Bewes der umgekehrte Ikluso ehme wr a, wr hätte e Elemet [c] Ker(H(β)) gegebe Wr habe zu zege, [c] legt m Bld vo H(α)Es glt = H(β)(c) = [β(c)] H(K ) Das bedeutet, β(c) st e Rad, β(c) = (d ) für ee Kette d vo K Nu st ach Voraussetzug de Ketteabbldug β surjektv, dh es gbt ee Kette d vo K mt d = β(d) Nach Kostrukto glt β( d) = β(d) = (d ) = β(c) also β(c- d) = Nu st de gegebee Komplexseuez aber exakt, dh es gbt ee Kette c vo K mt ( ) α(c ) = c- d Da auf der Rechte Sete ee Dfferez vo Zykle steht, st auch α(c ) e Zyklus, = α(c ) = α( c )

27 Da a ach Voraussetzug jektv st, folgt c =, dh c st e Zyklus vo K Bereche wr das Bld der zugehörge Homologeklasse be H(α) Nach () glt H(α)[c ] = [α(c )] = [c- (d)] = [c] Isbesodere legt [c] m Bld vo H(α) Bemerkuge () De obge exakte Seuez vo Homologegruppe läßt sch m allgemee cht zu eer kurze exakte Seuez erweter Um das ezusehe, ka ma zum Bespel K = K = (,) setze, dh für K ud K ehme wr de m Grad kozetrerte Komplex, desse ezge vo Null verschedee Kompoete st Als kurze exakte Komplexseuez ehme wr de zum Abbldugskegel der detsche Abbldug d:(,) (,) gehörge (,) C(d) (,) De Dfferetale der bede äußere Komplexe sd detsch Null Der Komplex der Mtte st kozetrert de Grad ud ud dort somorph zu Se Dfferetal m Grad st de detsche Abbldug Alle adere Dfferetale sd ebefalls Null C(d): d Damt glt H(,)= (,) HC(d) = H(,)= (,) De Seuez H(,) HC(d) H(,) st somt cht Tel eer kurze exakte Seuez () User ächstes Zel st es, e Maß für de Abwechug des Homomorphsmus H(K) H(K ) vo der Surjektvtät zu fde (bzw e Maß für de Abwechug vo H(K ) H(K) vo der Ijektvtät) Etwas geauer, zu jedem h H(K ) wolle wr e Elemet h H(K ) kostruere, welches geau da Null st, we h e Urbld H(K) bestzt Ma sagt auch, h st e Hders für de Exstez ees Urbldes vo h H(K) Ma ka zege, durch dese Egeschaft st de Abbldug : H(K ) H(K ), de wr jetzt kostruere werde, vollstädg charaktersert 4 Kostrukto des Zusammehagshomomorphsmus Se ee kurze exakte Seuez α β K K K vo Ketteabblduge gegebe Betrachte wr de Homomorphsme H (K ) - β β - (Z (K )) H (K ) mt _ β(c) := [β(c)]

28 _ (c) := [α - (c)] Wr habe us zuächst zu überzeuge, daß de Homomorphsme wohldefert sd Zur Korrekthet der Defto vo _ β Für c β - (Z (K )) glt β(c) Z (K ), dh β(c) st e Zyklus ud [β(c)] e wohldefertes Elemet vo H (K ) Zur Korrekthet der Defto vo _ Für c β - (Z (K )) glt β(c) Z (K ), also = ( β)(c) = (β )(c), dh (c) Ker(β) = Im(α) Da α ach Voraussetzug jektv st, gbt es geau ee Kette c :=α - ( (c)) Κ mt α(c ) = (c) Wr habe och zu zege, c st e Zyklus Zumdest glt α( (c )) = (α(c )) = ( (c)) = Da aber α jektv st, folgt (c ) =, dh c defert e Elemet vo H (K ) - _ (c) := [c ] Defto des Zusammehagshomomorphsmus : H (K ) H (K ), [c ] a ezges Elemet der Mege - ( β - ([c ])) (mt adere Worte, de Zuordug hat de Gestalt [β(x)]a [α - ( x)] Zur Korrekthet der Defto vo Wr habe zu zege, de Mege ( β - ([c ])) besteht aus geau eem Elemet Zuächst beachte wr,de durch β duzert Abbldug β - (Z (K )) Z (K ) st surjektv (da β surjektv st) De Zusammesetzug mt der atürlche Abbldug Z (K ) H (K ) st also auch surjektv Mt adere Worte, β st ee Surjekto Isbesodere st also de Mege ( β - ([c ])) cht-leer See jetzt c,d β - ([c ]) zwe Elemete Wr habe zu zege (c) = (d) f K - c,c-d a [c ], H (K ) β α K β β - (Z (K )) Z (K ) f a c-d,c-d-e a e, Auf jede Fall glt β(c) = [c ] = β(d), dh β(c)-β(d) = e st e Rad vo K Se e ee Kette vo K mt β(e) = e Da glt β(c-d- e) = β(c-d) - β(e) =, dh c-d- e Ker(β) = Im(α) Se f ee Kette vo K mt α(f ) = c-d- e Da glt α( f ) = (α(f )) = c - d - e = c - d, also f = α - ( c) - α - ( d) Übergag zu de Homologeklasse lefert c = d

29 Bemerkug Als ächstes zege wr, der Zusammehagshomomorphsmus st ee atürlche Trasformato : H (K ) H (K ) - we ma H ud H als Fuktore auf der Kategore der kurze exakte Seueze - vo Komplexe auffaßt H : K K K a H (K ) H : K K K a H (K ) Fuktoraltät des Zusammehagshomomorphsmus Se K K K f f f L L L e kommutatves Dagramm vo Ketteabblduge, desse Zele exakt sd Da st das folgede Dagramm kommutatv H (K ) H (K ) - H(f ) H(f ) - H (L ) H (L ) - Bewes De bede be der Kostrukto vo auftretede Abblduge sd atürlche Trasformatoe, dh lefer kommutatve Dagramme des obge Typs Dese setze sch zu dem gesuchte kommutatve Dagramm zusamme 6 De Exakthet der lage Homologeseuez Se α K K K ee kurze exakte Seuez vo Ketteabblduge Da st de zugehörge Seuez H α (K ) H β (K) ebefalls exakt β H (K ) H - α (K ) Bewes Nach 3 geügt es, de Exakthet a de Stelle H(K ) ad H(K ) zu bewese Das führt auf de achfolged bewesee ver Iklusoe Schrtt Im( ) Ker(α ) E Elemet aus dem Bld vo hat de Gestalt Awede vo α lefert [α - ( x)] mt [β(x)] H(K ) α ([α - ( x)]) = [ x] = Schrtt Ker(α ) Im( ) Lege [z ] H (K ) m Ker vo α, dh se =α [z ] = [αz ] Mt adere Worte, αz soll e Rad se: αz = c mt eer Kette c K Es glt βc = β c = βαz =, dh βc defert ee Homologeklass [βc] H (K ) Ihr Bld be st

30 dh [z ] legt m Bld vo [βc] = [α - ( c)] = [α - (αz )] = [z ], 3 Schrtt Im(β ) Ker( ) Für [z] H (K) glt (β ([z])) = ([βz]) = [α - ( z)] = (da z e Zyklus st) 4 Schrtt Ker( ) Im(β ) Lege [z ] H (K ) m Ker vo, dh es gbt e c K mt [z ] = [βc] ud [α - ( c)] = H (K ) - De zwete Bedgug bedeutet, α - ( c) st e Rad, dh es gbt e c K mt Damt st aber α - ( c) = c (c-αc ) = c - α c =, dh c-αc defert ee Homologegruppe [c-αc ] H (K) Dere Bld be β st β ([c-αc ]) = [βc - βαc] = [βc] = [z ], dh [z ] legt m Bld vo β 7 Quas-Isomorphsme Se K K K f f f L L L e kommutatves Dagramm vo Ketteabblduge, desse Zele exakt sd Falls zwe der dre vertkale Ketteabblduge ee Isomorphsmus der Homologegruppe duzert, so glt des auch für de drtte Bewes Des ergbt sch aus de bede lage Homologeseueze zu de Zele de Dagramms ud dem Füferlemma 8 Zerfallede Seueze Se α β () A A A ee kurze exakte Seuez vo abelsche Gruppe De Seuez heßt zerfalled, we we se zu eer Seuez der Gestalt p () A A A A mt (a ) = (a,) ud p(a,a ) = a somorph st ( der Kategore der kurze exakte Seueze) Mt adere Worte, es gebe e kommutatves Dagramm α A A β A f f f p A A A A desse vertkale Homomorphsme Isomorphsme sd Zerfällt de Seuez (), so exsterte e zu α lksverse Abbldug α ud ee zu β rechtsverse Abbldug β mt α α +β β = d (Für () glt das trvalerwese) Durch dese Bedgug st das Zerfalle der Seuez charaktersert Ma sagt, e Komplex vo Ketteabblduge

31 K K K zerfällt jeder Dmeso, we für jedes de zugehörge Seuez abelscher Gruppe K K K zerfällt I deser Stuato st de Beschrebug des Zusammehagshomomorphsmus besoders efach 8 Komplexseueze de jeder Dmeso zerfalle Se () K K K α ee kurze exakte Seuez vo Ketteabblduge, welche jeder Dmeso zerfällt Weter see für jedes Homorphsme α, β gegebe mt β α α = d, β Da setze sch de Homomorphsme β' = d, α α +β β = d zu eer Ketteabbldug d := α β : K K = (K + ) - d:k K + zusamme De vo d auf der Homologe duzerte Abbldug H(d): H(K ) H(K + ) st gerade der Zusammehagshomomorphsmus zu () Bewes Zege wr, d kommutert mt de Radabblduge Es glt α d = α α β = αα β = (d-β β) β = β - β β β = - β ββ = - β = -(αα +β β) β = -αα β - β β β = αd - β ββ = αd - b = αd Also glt d = d, dh d st ee Ketteabbldug Für z Z(K ) glt weter [z ] = [α - β z ] = [α β z ] = [dz ] 9 Zusammehagshomomorphsmus ees Abbldugskegels See f:k K ee Ketteabbldug ud α β K C(f) K[-] de exakte Seuez zum Abbldugskegel vo f Der zugehörge Zusammehagshomomorphsmus st da gerade de vo f duzerte Abbldug H(f):H(K) H(K ) der Homologegruppe Bewes De Seuez zerfällt jeder Dmeso Ee Schtt vo b ka ma durch β (c) = (,c) defere ud ee Retrakto vo a durch α (c,c) = c Nach 8 wrd der Zusammehagshomorphmus duzert durch de Abbldug duzert, dh durch f K K, c a c a f fc - = a fc, c -dc