Vorwort. Hans-Jochen Bartsch. Kleine Formelsammlung Mathematik ISBN: Weitere Informationen oder Bestellungen unter

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1 Vorwort Hns-Jochen Brtsch Kleine Formelsmmlung Mthemtik ISBN: Weitere Informtionen oder Bestellungen unter sowie im Buchhndel. Crl Hnser Verlg, München

2 Vorwort Die Kleine Formelsmmlung enthält die wichtigsten Formeln usgewählter Stoffgebiete der Mthemtik, die Studierende ingenieurwissenschftlicher Fchrichtungen n Hochschulen für Angewndte Wissenschften und Technischen Universitäten sowie Schülerinnen und Schüler in der Oberstufe der Gmnsien benötigen. Sie soll den Lernenden ein zuverlässiger Rtgeber bei der Bewältigung mthemtischer Probleme in llen technischen und uch ökonomischen Fächern sein, wobei uf Verfhren, die uf Spezilfächer zugeschnitten sind, verzichtet werden musste. Ds Buch knn und will kein Lehrbuch ersetzen. Es enthält keine Herleitungen und Beweise, sondern nur die Formeln selber, und dient dem Nchschlgen und der Auffrischung von bereitsfrüher einml erlerntem Wissen. Der Inhlt reicht von der Elementrmthemtik der Gebiete Arithmetik, Algebr und Geometrie bis zur Anlsis und Stochstik, d erfhrungsgemäß einerseits die Schulmthemtik immer wieder der Auffrischung bedrf, zum nderen die Methoden der Sttistik und Whrscheinlichkeitsrechnung bei der Bewältigung technischer und ökonomischer Probleme zunehmend von Bedeutung sind. Trotz des beschränkten Umfnges des Buches wurde Wert gelegt uf die vollständige Drstellung der Bedingungen für die Anwendung der Formeln. Die Bezeichnungen und Smbole entsprechen den gültigen DIN-Empfehlungen. In der 5. Auflge wurden beknnte Druckfehler verbessert. Für Hinweise, die der Verbesserung des Buches dienen, sind der Berbeiter und der Verlg stets dnkbr. München, im Herbst011 MichelSchs Berbeiter

3 Leseprobe Hns-Jochen Brtsch Kleine Formelsmmlung Mthemtik ISBN: Weitere Informtionen oder Bestellungen unter sowie im Buchhndel. Crl Hnser Verlg, München

4 .4 Vektoren 59 Vektor PP 1 in Koordintendrstellung PP z z 1 Koordinten eines Einheitsvektors 0 e e cos e cos e cos z Ortsvektor, Drstellung mit Richtungskosinus r r e cos e cos e cos z.4.3 Vektorlgebr Addition, Subtrktion, Summe, Differenz s b AC AB BC Grundbegriff im Vektorrum b b (Kommuttivgesetz) ( b) c ( b c) (Assozitivgesetz) d b b ( ) C In Komponentendrstellung z z 1 1 z1 z b b b b e e e z Zerlegung in gegebene Richtungen Ein Vektor s in der Ebene knn eindeutig in die Richtung von Vektoren b, der gleichen Ebene zerlegt werden, wenn diese nicht kolliner sind: s s1 s ne meb sb,, komplnr n und m us se n m eeb seb neeb m s b n. e b b + b m.e b A e b e B

5 60 Linere Algebr Orthogonle (Krft-)Zerlegung, F und s gegebene Größen F F s F v mit Fs s, F s v s F Fs s= Feses s Probe: F F 0 F s v s F s e F e s v s s Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr (s, tir ) b sb b s s b sb b sb z z (Koordintendrstellung) s: s (Kommuttivgesetz) ( s t) s t (Distributivgesetz) s( b) s sb (Distributivgesetz) s( t) ( st) (Assozitivgesetz) 1 ( 1) 0 o so o Aus s o folgt s 0 oder o. Sklrprodukt (inneres Produkt) zweier Vektoren b 1 b1 n : b 1 1 b n nibi i1 n bn (ein Sklr) b b b cos (,) b 0 ( b, ) b Projektion von b uf : b b b e cos (, ) b 0genu dnn, wenn orthogonl b, d.h. b für b, ooder ooder b o Der Nullvektor o ist zu jedem Vektor orthogonl. Bemerkung: Ds Sklrprodukt ist nicht umkehrbr, d.h., us b und knn nicht uf b geschlossen werden.

6 .4 Vektoren 61 Regeln: b b (Kommuttivgesetz) ( b) c c b c (Distributivgesetz) ( s) b ( sb) s( b ) sir, 0 Es gilt: e i 1 e j 1 ez k 1 e e i j 0 e e jk 0 e e ki 0 Cuch-Schwrzsche Ungleichung b b Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt) im IR 3 c b b sin (, b) ( b) und ( b) b bc,, IR 3 bilden ein Rechtssstem. Speziell: o (kollinere Vektoren) c ist gleich der Fläche des us und b gebildeten Prllelogrmms. z b b b b b b c b e e e z z z z z Regeln: b ( b) (Alterntivgesetz, Anti-Kommuttivgesetz) s( b) ( s) b ( sb, ) sir (Assozitivgesetz) ( b) c c b c (Distributivgesetz) Es gilt: e e o e e o ez ez o e e e e e e e e e z z z b 90 z b b Sptprodukt (gemischtes Produkt), Rechtssstem (, bc, ) b c ( b) c b c ( bc) [ bc,, ] 0 z bz cz

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8 116 4 Funktionen Potenzfunktionen Potenzfunktion mit positivem gnzzhligem Eponenten f() k kin, IR, D( f) IR Grph: Prbeln n-ten Grdes,Bilder: ungerde Potenzfunktionen = 7 (1;1) = 5 = 3 = = 3 = (1; 1) 1 = 1_ = ( 1; 1) Potenzfunktion mit negtivem gnzzhligem Eponenten 1 f() k : kin, D( f) IR *,W( f) IR * k Grph: Hperbel, Bild rechts Asmptoten: 0 (für ), 0 (Pol) Sonstige (elementre) Funktionen Betrgsfunktion (Bild nächste Seite) ( ) für f() für Signumfunktion (Bild nächste Seite) 1 für 0 f() sgn 0 für D( f) IR D( f) IR W( f) IR 0 für W( f) 101 ; ;

9 4.4 Rtionle reelle Funktionen 117 = ] Integerfunktion (gnzzhliger Anteil von ) f: int : sgn D( f) IR,W( f ) Z :größte gnze Zhl kleiner oder gleich,ds n Z mit n n1 :kleinste gnze Zhl größer oder gleich,ds n Z mit n1 n Restfunktion (gebrochener Anteil von ) frc: int Rechteckimpulsfunktion 1für 05, rect (): 0für 05, =sgn 1 ( ( ) 1 ( ] =int [ 1 ) Dreiecksimpulsfunktion 1 für tri ( ): 1 0 für 1 [ ) ) 4 Einheitssprungfunktion, Heviside-Funktion, Thet-Funktion 0für ( ) H( ) ( ): 1 für () () Setzt mn ( 0) 1,gilt: () 1 sgn () ( ) 1 Deltfunktion, Dirc-Impulsfunktion, Stoßfunktion, Distribution 0 für ( ) für 1 1 für 1 ( ) d 0 sonst ( ) ordnet einer stetigen Funktion f()ihren Wert bei zu: 1 f()( ) d f( ) flls 1 Es gilt: ( ) ( ) (gerde) f()( ) f( )( )

10 118 4 Funktionen 4.5 Nichtrtionle Funktionen Wurzelfunktion (nichtrtionl und lgebrisch), vgl p q q p f() :, 0,kq, IN *, p Z, p kq Ungerder Wurzeleponent: n1 für 0 f() n1 für 0 = = +3 = _ p_ q >1 0< p _ q <1 p_ q <0 1 = _ 4 = _ Bemerkung: Nchfolgende Funktionen sind nichtlgebrisch Eponentilfunktion f() IR >0, 1, D( f) IR,W( f) IR >0 Asmptote -Achse, keine Nullstellen keine Etrem, keine Wendepunkte e-funktion (Sonderfll e, es.s. 3) e ep Mit e ln knn us der e-funktion gewonnen werden. Ntürliches (orgnisches) Wchstum nt () 0 e n kt n 0 (G 0 )Grundmenge, Anfngsbestnd =e k IR Wchstumsintensität, t Vrible, meist Zeit =10 =4 =e >1 =