Bewertung von Zinsswaps mittels Mehrkurvenbootstrapping

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1 Bewertung von Znsswaps mttels Mehrkurvenbootstrappng OIS-Marktstandard gewnnt m Rahmen des EMIR-Portfoloabglechs an Bedeutung 1. Enletung De Bewertungsmethodk von Znsswaps hat sch gewandelt. Bs vor der Fnanzkrse wurde zur Bestmmung des Far Value enes Znsswaps das Dscounted Cashflow Verfahren (DCF) auf Bass der Standard-Swapkurve verwendet (Enkurvenwelt). Es leferte gute Ergebnsse n dem Snne, dass für de Benchmark-Instrumente der berechnete Far Value nnerhalb der am Markt quoterten Bd-Offer Spanne lag. Set der Fnanzkrse müssen neue Effekte berückschtgt werden, nsbesondere de Auswetung von Bassspreads, de n der Enkurvenwelt ncht abzublden snd. Glechzetg hat de Bedeutung des Far Value n verschedenen Berechen zugenommen, we dem Collateralmanagment oder zuletzt dem Portfoloabglech, we hn de European Market Infrastructure Regulaton (EMIR) für de zwschen zwe Markttenehmern bestehenden OTC-Dervatepostonen vorseht. Deser schleßt den Abglech des Far Values en und kann be ener schlechten Bewertungsmethodk zu (Er)klärungsbedarf gegenüber Geschäftspartnern bzw. m Extremfall meldepflchtger Fälle gegenüber der Aufscht führen. Das Dscounted Cashflow Verfahren auf Bass enes Mehrkurvenunversums hat sch als neuer Standard zur Bestmmung des Far Value etablert. Dese Methode, sauber aufgesetzt, führt zu ener Bewertung, de sch nnerhalb des Bd-Offer Spreads bewegt und damt ene angemessene Bewertungsqualtät betet. Deses Paper stellt dese Mehrkurvenmethodk vor. Das Bespel am Ende zegt de Dfferenzen zur tradtonellen Enkurvenwelt auf. 2. Defnton enes Znsswaps Es wrd der Standardfall enes fxed-to-float Plan Vanlla Znsswaps (IRS) betrachtet. Be enem IRS werden perodsch feste Znszahlungen auf Bass des fxen Kupons des Swaps gegen varable Znszahlungen auf Bass enes Referenzznssatzes (z.b. 6M-Eurbor) getauscht. De Gesamthet der fxen Zahlungen nennt man das fxe Leg, de Gesamthet der varablen Zahlungen das varable Leg. Man unterschedet zwschen Payer- und Recever-Swaps e nachdem, ob man de fxe Sete des Swaps zahlt oder empfängt. Um de Zahlungsstruktur enes IRS endeutg festzulegen, snd verschedene Parameter zu defneren. Dese betreffen: de Zahlungstermne und de Zahlungshöhen. Zahlungstermne. De wesentlchen Faktoren für de Bestmmung der Zahlungstermne snd: das Start- und das Enddatum, de Zahlungsfrequenzen der Legs, en Feertagskalender n Verbndung mt der Busness-Day-Conventon (BDC) zur Bestmmung der Payment-Dates sowe de Rchtung, n de ausgerollt wrd. De Rchtung des Ausrollens kann Vorwärts oder Rückwärts sen. Der Untersched der beden Methoden besteht hauptsächlch darn, wo d-fne Oktober

2 ggf. ene kurze Perode des Swaps zu legen kommt. Der Standard st Rückwärts 1. Nach dem ersten Ausrollen der Zahlungstermne kann es vorkommen, dass en Zahlungstermn auf en Wochenende oder enen Feertag fällt. In desem Fall wrd durch de ausgewählte Busness Day Conventon ene Verschebung der Zahlung auf den entsprechenden Bankarbetstag durchgeführt. Für enen EUR-Swap seht der Standard [2] folgendermaßen aus: Parameter Fxes Leg Varables Leg Frequenz 12M 6M Payment-BDC Modfed Followng Modfed Followng Kalender TARGET TARGET Tabelle 1: Parameter zur Zahlungstermnerzeugung Analog ergeben sch de Cashflows der varablen Znsperoden des varablen Legs aus: dem Nomnal N, dem Referenzzns {dx } =1..m und den Längen { ~ } =1..m der Accrualperoden, de weder m Snne der verwendeten Day-Count- Conventon n Year-Fractons gemessen werden. Für enen EUR-Swap sehen de Standards für de Busness Day- und de Day Count Conventon folgendermaßen aus [2]: Parameter Fxes Leg Varables Leg BDC Modfed Followng Modfed Followng DCC 30/360 Act/360 Tabelle 2: Parameter zur Erzeugung der Zahlungshöhen Zahlungshöhen. Um den Zahlungstermnen echte Zahlungshöhen (Cashflows) zuordnen zu können, werden wetere Informatonen benötgt. Zunächst wrd das fxe Leg betrachtet. De Menge der Zahlungstermne grenzt sogenannte Znsperoden (Accrualperoden) ab 2. De Cashflows der fxen Znsperoden ergeben sch aus: dem Nomnal N, dem fxen Kupon c des Swaps 3 und den Längen {τ } =1..n der Accrualperoden, de m Snne der verwendeten Day-Count- Conventon n Year-Fractons gemessen werden. 1 Das Rückwärtsausrollen der Zahlungstermne gescheht pro Leg folgendermaßen: Man startet mt dem End-Date und subtrahert so oft de Zahlungsfrequenz bs man das Start-Date errecht. 2 Der Vollständgket halber se darauf hngewesen, dass de exakte Defnton der Accrual-Perode von der Art und Wese der Erzeugung der Zahlungstermne abhängt und ggf. gerngfügg von der Dfferenz benachbarter Zahlungstermne abwechen kann. 3 Der fxe Kupon heßt auch Swap-Rate. De Swap-Rate, de zu enem Swap mt dem Barwert Null führt, heßt auch Par-Rate. Es ergbt sch ene Cashflowstruktur, we se n Abbldung 1 gezegt st. Abbldung 1: Cashflowstruktur enes Fxed-To-Float IRS De Zahlungshöhen des varablen Legs werden typscherwese zwe Tage vor Begnn der entsprechenden varablen Accrualperode mt Hlfe des dann gültgen Referenzznses fxert Forecastkurve und varabler Index Um ene Prognose für den Referenzzns zu erhalten, wrd en technsches Konstrukt, der sogenannte varable Index engeführt. Sene Aufgabe st es, auf Bass der sogenannten Forecastkurve Prognosen für noch ncht gefxte Referenzznsen (z.b. 6M-Eurbor) zu erzeugen. Aus der Forecast- 4 Im Fall von In Arrears Swaps fxt der Indes zwe Tage vor Ende der Perode. De Bewertung st dann noch etwas komplzerter und erfordert en sogenanntes Convexty-Adustment. d-fne Oktober M MM 6M N c τ N dx τ ~ Fx. Var.

3 kurve wrd en noch ncht gefxter Referenzzns durch den Indexwert dx geschätzt, der ene Forwardrate über de relevante Accrualperode darstellt und mt Hlfe der folgenden Formel berechnet wrd 5 : Her bezechnen ~ 1 6M df 1 dx 1. 6M df M und df 6 1 df 6 M formale Dskontfaktoren 6 der noch näher zu beschrebenden Forecastkurve an den beden Daten t 1 und t, de de Ränder der Accrualperode defneren. 4. Bewertung enes Znsswaps De Bewertung von Plan Vanlla Interest Rate Swaps verwendet das Dscounted Cashflow Verfahren (DCF). Deses Verfahren bestmmt den Far Value (PV) enes IRS, ndem de vertraglch verenbarten Cashflows mt Hlfe der Dskontfaktoren df Dsc (t ) der anzuwendenden Dskonterungskurve verbarwertet werden 7. PV N dx ~ df ( t ) N c df ( t ) Dsc Das Verfahren spezfzert ncht, welche Znskurve zur Dskonterung und zur Genererung des varablen Index zu verwenden st. Im Gegensatz zur alten Enkurvenwelt, de für bede Zwecke en und deselbe Kurve heranzog, verwendet das moderne Mehrkurvenbootstrappng 5 Es gbt en paar Subtltäten be der Auswahl zu beachten, welche Forwardrate zu berechnen st. Das hängt mt der technschen Defnton des Referenzznses zusammen. De damt verbundenen Effekte snd für de Darstellung des grundsätzlchen Verfahrens aber ncht von Bedeutung. 6 Dese Dskontfaktoren snd formal, wel se nur ene spezelle Darstellung der Forecastkurve realseren. Se werden selbst ncht zur Dskonterung angewendet. 7 Be desem PV handelt es sch um den Drty-Pres enes Payer Swaps. Der Drty-Pres enthält alle berets aufgelaufenen Stückznsen (Accrued Interest). Dese stammen aus den berets angebrochenen Accrual- Peroden auf der fxen bzw. varablen Sete. En Clean- Pres ergbt sch aus dem Drty-Pres durch Abzug der aufgelaufenen Stückznsen. Dsc d-fne Oktober als Dskontkurve.d.R. de rskolose OIS- Kurve 8 und zur Genererung des varablen Index de Forecastkurve. OIS-Kurve. Dese Znskurve wrd aus am Markt quoterten OIS-Swaps gewonnen. De OIS-Kurve kann durch tradtonelles Bootstrappng erzeugt werden, da für OIS-Swaps de Dskonterungskurve und de für de Prognose von Referenzznsen m varablen Index anzuwendende Forecastkurve überenstmmen 9. Der Ensatz der OIS-Kurve zur Dskonterung folgt der gänggen Praxs, Dervategeschäfte zu beschern 10. Im Idealfall ener unendlch schnellen Anpassung der gestellten Scherheten (Collateral) replzert de Summe der Collateralaccounts beder Kontrahenten spegelbldlch den Barwert des Dervateportfolos. Da de beden Collateralaccounts üblcherwese OIS-verznst werden, muss das Dervateportfolo mt dem Äquvalent ener OIS-Verznsung dskontert werden 11. Forecastkurve. De Forecastkurve wrd aus Marktdaten von lquden Swaps (fx versus 6M- Eurbor) ermttelt 12. Der Markt bewertet dese Swaps berets mt zwe unterschedlchen Znskurven (Trennung zwschen Dskonterung und Forecasterzeugung). Um de Forecastkurve - z.b. für de Prognose des 6M-Eurbor durch den varablen Index - zu erzeugen, muß en Mehrkurvenbootsrappng durchgeführt werden. En Enkurvenbootstrappng we be der Erzeugung der OIS-Kurve st ncht mehr ausrechend. Standard- 8 OIS = Overnght Index Swap 9 Ggf. entstehen Probleme be der ncht exakten Berückschtgung der OIS-Marktkonventonen, de lecht von den herkömmlchen IRS-Konventonen abwechen. 10 Für unbescherte OTC-Dervate st de Wahl der Dskontkurve ncht endeutg festgelegt. 11 Der Fall, dass de Geschäftswährung und de Collateralwährung ausenanderfallen, wrd her ncht betrachtete und st gesondert zu dskuteren. 12 Für de Konstrukton der Forecastkurven für andere Eurbor-Indzes snd ggf. gegnete Bassswaps zu verwenden.

4 mplementerungen von Bootstrappern snd häufg noch ncht n der Lage, deses Mehrkurvenbootsrappng umzusetzen. Auf Detals der Konstrukton der Forecastkurve wrd m vorletzten Abschntt engegangen. 5. Bewertungsgenaugket Be der Beurtelung enes Bewertungsverfahrens st zwschen der nternen und der externen Scht zu unterscheden. De nterne Scht verwendet Znskurven zur Bewertung realer Geschäfte. De Qualtät der Znskurven wrd auf Bass von am Markt quoterten Benchmarkpresen beurtelt. Herzu wrd geprüft, we genau de Znskurven (synthetsche Marktdaten) de ursprünglch zur Konstrukton der Znskurven verwendeten Benchmarkprese (observable Markdaten) reproduzeren können. Bem Bootstrappng, dem Prozess der Znskurvenerzeugung, werden.d.r. de Md-Quotes der Benchmarknstrumente verwendet. Dese Md- Quotes müssen be korrekter Parametrserung der Benchmarknstrumente mt extrem hoher Genaugket reproduzert werden können. De externe Scht wrd zur Beurtelung der Güte von Presen unterschedlcher Kontrahenten verwendet. De mplzte Annahme st dabe, dass bede Kontrahenten m Grundsatz de gleche Methodk (Marktkonsensus) ensetzen. De Ausgestaltung des Marktkonsensus lässt aber mmer noch ene Rehe von nsttutsspezfschen Entschedungen zu, de Dfferenzen n den Presen hervorrufen können. Bespele für solche Entschedungen snd de Wahl des Snapshotzetpunkt der Marktdaten und Modelldetals, we z.b. de verwendete Interpolatonmethode bem Aufbau der Znskurven. Aus desem Grund werden n der externen Scht zur Beurtelung der Bewertungsgüte zum enen de Bd-Ask-Spannen der lquden Benchmarkquotes herangezogen (wenge Basspunkte) und zum anderen der PV01 enes konkreten Geschäfts, der den Barwert enes Basspunkts auf dem varablen Leg beschrebt (Fundng Leg). So läßt sch z.b. en PV-Untersched zwschen Kontrahenten für en und denselben Swap mttels Dvson durch den PV01 auf den zusätzlchen Spread transformeren, den man über dem Referenzzns (Fundng) zahlen muss, um de Barwerte anzuglechen. Deser Spread stellt unabhängg von Nomnal und Laufzet en für alle IRS glechermaßen geegnetes Abwechungsmaß dar. Weterhn st deses Maß anschaulch zu nterpreteren als zusätzlcher Fundngspread. Daher muss sch deser Fundngspread nnerhalb der Bd-Offer-Spanne der relevanten Benchmarknstrumente bewegen. Als Faustregel für Ncht-Market-Maker kann das etwas stärkere ökonomsche Krterum ener Abwechung von maxmal enem halben Basspunkt zusätzlchem Spread über dem Referenzznssatz (Eurbor/ Lbor) Verwendung fnden Znskurvenkonstrukton (Bootstrappng) In desem Abschntt werden de Benchmark- Instrumente beschreben, d.h. de am Markt observable Größen, de n de Konstrukton der Znskurven enfleßen. Für den numerschen Algorthmus, der zum Bootstrappng verwendet wrd, se z.b. auf [3] und [4] verwesen. Konkret wrd ene möglche Auswahl von Benchmarknstrumenten für de Eona-Kurve (EUR-OIS-DISC) und de 6M-Eurbor-Forecast-Kurve (EUR-6M-FWD) enschleßlch hrer Reuters-Tcker angegeben (vgl. Tabelle 3 und Tabelle 4). Eona-Kurve (EUR-OIS-DISC) : Term Benchmark RIC Source O/N EONIA Index EUROND= 1W, 2W, 3W Eona Swaps EUREON<Term>=Source ICAP 1M - 11M Eona Swaps EUREON<Term>=Source ICAP 13 Für enen 10-ährgen Swap mt Nomnal von EUR 1 Mo bedeutet das ene Presunscherhet von ca. EUR 500. d-fne Oktober

5 1Y-60Y Eona Swaps EUREON<Term>=Source ICAP Tabelle 3: EUR-OIS-DISC 6M-Eurbor-Forecast Kurve (EUR-6M-FWD): Term Benchmark RIC Source 6M Eurbor 6M EURIBOR6MD= 1Mx7M bs 5Mx11M FRAs EUR<>X<>F=Source ICAP 1Y-50Y Swaps EURAB6E<Term>=Source ICAP Tabelle 4: EUR-6M-FWD Bemerkung: Für de zuletzt beschreben Forecast- Kurve werden am kurzen Ende (bs zu enem Jahr) gelegentlch noch tenornkongruente Eurborsätze verwendet. Das führt zu ener nkonsstenten Gestalt der Kurve am kurzen Ende und st für den Zweck der Prognose von Forwardraten ncht mehr adäquat. 7. Bespel: Forwardkurve und PV enes Znsswaps Für enen enfachen IRS mt enem fxen Kupon von 3% und ener Laufzet von 3 Jahren (vgl. Tabelle 5) sollen de Effekte aus der Verwendung der neuen Znskurven llustratv zusammengestellt werden. Parameter Fxes Leg Varables Leg Währung EUR EUR Nomnal 1,000,000 1,000,000 Start 04/09/ /09/2012 End 04/09/ /09/2015 aber von der glechen Größenordung we der alte PV01. Alte Methodk Neue Methodk PV01 NPV [EUR] 71, , Tabelle 6 : Ergebnsse der alten und neuen Bewertung Man erkennt, dass der Wechsel der Dskonterung enen deutlchen PV-Effekt von ca. anderthalb Basspunkten nach sch zeht. Das bedeutet, dass schon für enen IRS mt verglechswese kurzer Laufzet de Bewertungen - über de n Abschntt 5 als akzeptabel defnerte Bewertungsungenaugket hnaus - vonenander abwechen. Be IRS mt längeren Laufzeten würde en weterer Effekt schtbar werden, der auf der Art und Wese der Erzeugung der Forecastkurve (Verwendung der alten oder der neuen Methodk) beruht. Deser st mt dem ersten Effekt verglechbar und legt damt ebenfalls über der nach Abschntt 5 als akzeptabel defnerten Bewertungsungenaugket. Abbldung 2 zegt den Untersched n der Prognose der 6-Monatsforwardraten für den Zetraum von 2013 bs 2063 be Verwendung der Enkurvenwelt oder des Mehrkurvenunversums. Der Effekt, den das Mehrkurven-Bootstrappng m Verglech zum Enkurvenbootstrappng n de Eurbor-Forecasts mportert, bewegt sch selbst m enstellgen Basspunktberech. Aus desem Grunde sollte sowohl de Parametrserung der IRS als auch de Marktdatenerzeugung an de Regeln der neuen Mehrkurvenwelt angepasst werden. Kupon 3% - Index - Eurbor 6M DCC 30/360 Act/360 BDC Modfed Followng Modfed Followng Tabelle 5 : Bespel enes Plan Vanlla IRS In Tabelle 6 snd de Ergebnsse der alten (Enkurvenwelt) und der neuen Bewertungsmethodk (Mehrkurvenunversum) für den Bewertungsstchtag gegenübergestellt. Der PV01 wurde mt dem neuen Verfahren berechnet, st Abbldung 2 : Effekt des unterschedlchen Bootstrappngs d-fne Oktober

6 8. Referenzen [1] EMIR, Regulaton (EU), No. 648/2012 [2] ICAP Informaton London, Interest Rate Swap Defntons/Conventons [3] H.P.Deutsch, M.Benker, Dervate und Interne Modelle, 5. Auflage, erschent 2014 [4] L.B.G. Andersen, V.V. Pterbarg, Interest Rate Modelng, Atlantc Fnancal Press, 2010 Für Fragen und Dskussonen stehen Ihnen zur Verfügung: Dr. Mark Benker, Partner d-fne GmbH, Frankfurt Dr. André Memec, Manager d-fne GmbH, Frankfurt Dr. Matthas Horn, Manager d-fne GmbH, Frankfurt d-fne Oktober