Frustration ist ein alltägliches Phänomen, und

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1 FESTKÖRPERPHYSIK Topologische Spinflüssigkeiten Frustrtion mgnetischer Momente durch widerstreitende Kopplungen knn zu Spinflüssigkeiten mit topologischer Ordnung führen. Ki Phillip Schmidt und Simon Trest Frustrtion knn phsiklisch gesehen durchus positiv wirken und komplee, reichhltige Phänomene hervorrufen. Dzu gehört eispielsweise die topologische Ordnung in Quntenmgneten, die nicht nur us der Sicht der Festkörperphsik, sondern uch der Qunteninformtion oder Mthemtik esonders interessnt ist. Inzwischen ist uch die eperimentelle Relisierung solcher topologisch geordneter Ssteme in Reichweite gerückt. A. 1 Die geometrische Frustrtion tritt z. B. in einem Gitter us Dreiecken mit gemeinsmen Ecken uf, wenn direkt enchrte Spins (lue Kugeln) ntiferromgnetisch wechselwirken (). Konkret sind lle mit Frgezeichen mrkierten Spins frustriert. Die Austusch Frustrtion in () ist für den zentrlen mit einem Frgezeichen versehenen Frustrtion ist ein lltägliches Phänomen, und sie ist ntürlich uch Phsikern nicht fremd. Sie wissen er Frustrtion durchus zu schätzen, etw wenn sich diese ei einem Sstem einstellt, uf ds gleichzeitig widerstreende Kräfte wirken und es nicht llen gleichermßen folgen knn. Denn ds knn interessnte Konsequenzen hen. Ein Beispiel us dem Bereich der Festkörperphsik sind frustrierte Qunten mgnete, in denen die elementren mgnetischen Momente meist Spins gennnt miteinnder üer verschiedene Austuschwechselwirkungen koppeln, die jedoch nicht lle gleichzeitig minimiert werden können. Die geometrische Frustrtion tritt immer dnn uf, wenn die von einem Antiferromgneten fvorisierte ntiprllele Anordnung enchrter Spins (Néel-Ordnung) nicht kommensurel ist mit den elementren Busteinen eines Gitters. Besonders klr wird dies ei Spins uf einem isolierten Dreieck: D es nie möglich ist, lle drei Spins ntiferromgnetisch nzuordnen, leit ein Spin immer frustriert. Geometrisch frustrierte Gitter sind deswegen häufig us Dreiecken ufgeut, woei sich enchrte Dreiecke eine Ecke teilen (A. 1). Wichtige Beispiele sind ds dreidimensionle Prochlor-Gitter oder ds zweidimensionle Kgomé-Gitter. Besonders usgeklügelte Formen der Austuschwechselwirkung, deren gleichzeitige Minimierung für einen gegeenen Spin niemls erfüllr sein können, erluen es eenflls, einen Quntenmgneten zu frustrieren. Dies ist eispielsweise der Fll für einen Quntenspin, der mit ll seinen nächsten Nchrn rein durch ferromgnetische Ising-Wechselwirkungen koppelt, letztere er unterschiedliche, orthogonle Quntisierungschsen ufweisen. Als Konsequenz stellt sich ei diesem Spin eine Austusch-Frustrtion ein, d er seine Energie genu dnn minimieren würde, wenn er sich entlng ller Quntisierungschsen prllel usrichten würde, ws ntürlich unmöglich ist (A. 1). Ds wohl eknnteste Modell mit Austusch- Frustrtion ist ds Kitev-Honig wengitter-modell. Dieses relisiert eine gnze Reihe eotischer Quntenphsen, in denen die mgnetischen Momente uch ei tiefsten Temperturen keinerlei konventionelle Ordnung zeigen. Stttdessen ildet sich eine sutile lngreichweitige Ordnung, welche uch ls topologische Ordnung ezeichnet wird. Letztere wollen wir in diesem Artikel näher eleuchten. KOMPAKT geometrische Frustrtion z z σ? i σj??? Ds Kitev Modell uf einem Honigwengitter weist eine Austusch Frustrtion uf und zählt zu den wenigen quntenmechnischen Vielteilchen Modellen, die sich ekt lösen lssen. Je nch Whl der Prmeter ist der Grundzustnd dieses Modells eine von zwei möglichen Spinflüssigkeiten: Bei Tp I treten msselose Anregungen uf, eim Tp II mssive Anregungen sowie eine nichtlokle topologische Ordnung. Dieses Modell ist uch eng verwndt mit dem eenflls ekt lösren Toric Code Modell, ds im Zusmmenhng mit rousten Quntenits für die Qunteninformtions verreitung diskutiert wird. Austusch-Frustrtion σj σj Spin vernschulicht, der durch verschiedene ferromgnetische Ising Wechselwirkungen in,, z Richtung mit seinen drei Nchrn koppelt. D sich der zentrle Spin nicht gleichzeitig prllel zur,, z Achse usrichten knn, ist er rein ufgrund der Austuschwechselwirkung frustriert. Dr. Ki Phillip Schmidt, Lehrstuhl für Theoretische Phsik 1, Technische Universität Dortmund, Dortmund; Prof. Dr. Simon Trest, Institut für Theoretische Phsik, Universität zu Köln, Zülpicher Str. 77, Köln 2015 Wile-VCH Verlg GmH & Co. KGA, Weinheim /15/ Phsik Journl 14 (2015) Nr. 4 39

2 Konventionelle... Topologische Ordnung ist ein in der Tt höchst unge wöhnliches Phänomen, ds sich drstisch von konventioneller Ordnung unterscheidet, wie mn sie eispielsweise im Bereich des Mgnetismus von Ferromgneten kennt. Bei diesen ordnen sich die loklen mgnetischen Momente ei Akühlung n, d. h. lle Spins zeigen ei niedrigen Temperturen in die gleiche Richtung. Generell eschreit mn ein phsiklisches Sstem wie dieses in der Regel mit einem Hmiltonin, der insesondere uch lle Smmetrien des Sstems reflektiert. In konventionell geordneten Phsen kommt es zu spontner Smmetrierechung, d. h. der Grundzustnd richt eine oder mehrere Smmetrien des Sstems. Ins esondere edeutet dies, dss der Grundzustnd weniger Smmetrie ls der zugehörige Hmiltonin ufweist. Im Flle des Ferromgneten richt der geordnete Zustnd die kontinuierliche Rottionssmmetrie der mgnetischen Momente m (thermischen) Phsenüergng. Die resultierende Ordnung mit endlicher Mgnetisierung lässt sich somit lokl verstehen und uch gut durch kleine klssische Mg nete (Pfeile) illustrieren. Konventionelle Ordnung lässt sich llgemein durch lokle Ordnungsprmeter chrkterisieren, etw die (lokle) Mgnetisierung eim Ferromgneten. Ein endlicher Ordnungsprmeter impliziert mgnetische Ordnung, wohingegen ein verschwindener Ordnungsprmeter signlisiert, dss ein Sstem mgnetisch ungeordnet ist. Insgesmt ist der Grundzustnd eines tpischen (unfrustrierten) Quntenmgneten nur leicht verschränkt und eine Ahängigkeit von der Topologie des Sstems liegt definitiv nicht vor. Beispielsweise ist der Grundzustnd eines Ferromgneten der unverschränkte Produktzustnd, in welchem lle Spins in die gleiche Richtung zeigen. Ssteme mit topologischer Ordnung, wie wir sie hier vorstellen werden, verhlten sich uf fszinierende Weise grundlegend nders. Elementre Eigenschften solcher mkroskopisch verschränkter Quntenssteme, wie die Anzhl der Grundzustände, hängen von der glolen Topologie : In diesem Sinne verhält sich ein topologisch geordnetes Sstem uf einem Donut genu wie uf einer Kffeetsse, er verschieden uf einem Fußll. Im Folgenden stellen wir diese verrückt nmutenden Quntenwelten nhnd der ekt lösren Kitev-Modelle vor.... und topologische Ordnung Aleei Kitev, Professor für Theoretische Phsik m Cltech und Träger des kürzlich erstmls usgeloten Fundmentl Phsics Preises, ist es gelungen, ds heute nch ihm ennnte Modell nltisch zu lösen. Eine derrtige ekte Lösung eines elementren quntenmechnischen Modells ist nicht nur ein äußerst ungewöhnlicher Einzelfll Genertionen n Phsikern hen sich erfolglos n Lösungen der ähnlich einfch E(k) Tp I Dirc Kegel k A. 2 Die msselosen Spinon Anregungen der Spinflüssigkeiten vom Tp I ilden einen Dirc Kegel (), während ds Energiespektrum für Tp II eine Anregungslücke ufweist die elementren Spin Anregungen sind mssiv (). Spinflüssigkeiten von Tp II zeigen nichtlokle, topologische Ordnung. nmutenden Heisenerg- oder Hurd-Modelle versucht, sondern uch deshl hnrechend, weil die gefundenen quntenmechnischen Grundzustände lng gesuchte Beispiele für so gennnte Quntenspinflüssigkeiten sind, die uch die oen schon erwähnte topologische Ordnung zeigen können. Quntenspinflüssigkeiten sind recht unkonventionelle quntenmechnische Zustände, in denen die loklen Momente hochgrdig korreliert sind, er dennoch jede Art von konventionellem Ordnungsverhlten und entsprechendem Phsenüergng vermeiden und is zu den tiefsten Temperturen strk fluktuieren [1]. Mittlerweile ist ein gnzer Zoo unterschiedlicher Quntenspinflüssigkeiten eknnt, welche sich gro in zwei Klssen unterteilen lssen: Zum einen sind ds Spinflüssigkeiten, deren elementren Anregungen, die so gennnten Spinonen, msselos leien. Ds Energiespektrum dieser Tp-I-Spinflüssigkeiten ht dher üer dem quntenmechnischen Grundzustnd keine Anregungslücke und weist oftmls eine linere Energiedispersion uf (Dirc-Kegel, A. 2). Die zweite große Klsse von Spinflüssigkeiten esitzt eine Anregungslücke zu mssiven Qusiteilchen im Energiespektrum (A. 2). Die uszeichnende Eigenschft dieser Tp II-Spinflüssigkeiten ist er die Ausprägung einer nichtloklen, topologischen Ordnung, weshl diese Phsen trotz endlicher Korreltionslänge lngreichweitig verschränkt sind. Um Quntenspinflüssigkeiten und topologischer Ordnung uf den Grund zu gehen, wollen wir nun Kitevs Modell in seiner Honigwengitter-Vrinte genuer eschreien. Der elementre Freiheitsgrd in diesem Modell sind uf den Eckpunkten des Gitters loklisierte Spins mit hlzhliger Spinquntenzhl, s = 1/2 (A. 3). Benchrte Spins koppeln üer eine Ising-rtige Wechselwirkung, die jeweils eine prllele Ausrichtung der Spins entlng einer der drei möglichen Spinquntisierungschsen in -, - oder z-richtung fvorisieren. Der Clou ist nun, dss diese evorzugte Ausrichtung der Spins n die räumliche Orientierung der Austuschwechselwirkung gekoppelt ist, sodss die drei unterschiedlichen Orientierungen der Knten im Honigwengitter jeweils eine der drei Spin chsen evorzugen und strke Austusch- E(k) Tp II k 4 Phsik Journl 14 (2015) Nr Wile-VCH Verlg GmH & Co. KGA, Weinheim

3 Frustrtion vorliegt. In der Form eines mikroskopischen Hmiltonins lässt sich dies wie folgt for mlisieren Η Kitev = J σ j σ k, (1) j,k { link} woei die Spinfreiheitsgrde durch die drei us der Quntenmechnik eknnten Puli-Mtrizen σ gegeen sind und =,, z die drei Richtungen im Spin- und Ortsrum prmetrisieren. Die Summe läuft dei üer lle Pre nächster Nchrn j und k, die hängig vom Linktp (-link) durch die Ising-Wechselwirkung σ j σ k mit {,, z} gekoppelt sind. Die Stärke der drei Austuschkopplungen J soll im weiteren ferromgnetisch gewählt sein (J 0), drf er für die drei verschiedenen Kopplungen J, J, und J z unterschiedlich strk sein. Dieses Modell ist ufgrund einer Vielzhl von Erhltungsgrößen ekt lösr [2]. Im resultierenden Grundzustndsphsendigrmm (ei T = 0) findet mn insgesmt vier usgedehnte Phsen, die zwei von Ntur us verschiedene Quntenspinflüssigkeiten relisieren (A. 3). Rund um den isotropen Punkt J = J = J z erstreckt sich eine Spinflüssigkeit vom Tp I, in welcher ds Energiespektrum lückenlos leit. Ähnlich zu Grphen, welches durch konventionelle elektronische Freiheitsgrde uf dem Honigwengitter eschrieen wird, weist uch ds Energie- Spektrum des Kitev-Modells in dieser Phse zwei Dirc-Kegel uf, d. h. mn findet eine reltivistische (linere) Energie-Impuls-Beziehung für die elementren Spinon-Anregungen in dieser Spinflüssigkeit. Die nderen drei Phsen im Kitev-Modell sind Spinflüssigkeiten vom Tp II, sie zeigen lso eine endliche Anregungslücke im Energiespektrum und ilden topologische Ordnung us. Ttsächlich hndelt es sich wegen der zklischen Vertuschrkeit der drei -, -, z-richtungen ei llen drei Phsen um Repräsentnten derselen topologisch geordneten Spinflüssigkeit vom Tp II. Mn knn lle drei Grenzfälle, in welchen eine der Kopplungen J viel größer ls die eiden nderen Kopplungen ist, uf ein von Kitev ursprünglich schon 1997 eingeführtes Modell ilden, den so gennnten Toric Code [2, 3]. Letzterer ht sich seitdem zu einem Stndrdmodell einer Spinflüssigkeit mit topo logischer Ordnung entwickelt. Vom Qudrtgitter zum Torus Wir etrchten konkret den Grenzfll J z > >J, J, um die Verknüpfung zum Toric-Code-Modell zu eschreien (A. 3c). In diesem Grenzfll erhält mn schwch gekoppelte J z -Ising-Dimere, die effektiv uf einem Qudrtgitter ngeordnet sind. Jeder dieser isolierten Ising-Dimere esitzt die eiden ferromgnetischen Konfigurtionen mit Energie J z ls zwei entrtete Niederenergiezustände (die eiden ntiferromgnetischen Konfigurtionen hen jeweils die Energie J z ). Folglich tritt eine hohe Entrtung n Grundzuständen uf, wenn mn viele isolierte Dimere etrchtet. Der Einfluss der eiden nderen Kopplungen J und J lässt sich nun mit entrteter Störungstheorie untersuchen [2, 4]. Identifiziert mn die eiden ferromgnetischen Konfigurtionen mit den eiden Einstellungen eines Pseudo-Spins τ = 1/2, findet mn in vierter Ordnung Störungstheorie ein effektives Quntenspinmodell uf dem Qudrtgitter der Ising-Dimere (A. 3c), ds per Konstruktion dem Toric-Code-Modell von Kitev entspricht [2, 3] und die Wechselwirkungen zwischen den ferromgnetischen Konfigurtionen uf den Dimeren eschreit. Der Toric Code ist eenso wie ds gerde eschrieene Kitev-Modell ein ekt lösres Quntenspinmodell [3]. Es ist uf dem Qudrtgitter definiert, woei nun die Pseudo-Spins τ uf den Knten des Gitters loklisiert sind (A. 4). Der Toric Code esteht us zwei verschiedenen Tpen von Vierspinwechselwirkungen A s und B p, die sich us oiger Störungstheorie vierter Ordnung zwischen den jeweils vier Plätzen der so gennnten Sterne s und Plketten p ergeen (A. 4). Kitev-Modell Wp Phsendigrmm J z topologische Spinflüssigkeit c Toric-Code-Limes (c) Toric Code Limes E z A z J z J J z = const. z σ j z σ j σj A B A Dirc-Spinflüssigkeit J. J A. 3 Beim Kitev Modell uf dem Honigwengitter () koppeln die Spins üer Ising rtige Wechselwirkungen, die unterschiedliche Ausrichtungen fvorisieren. In Ahängigkeit von den Kopplungskonstnten J, J und J z mit J J J z = 1 weist ds Phsendigrmm eine Phse vom Tp I und drei vom Tp II uf (). Im Grenzfll J z >> J, J erhält mn schwch gekoppelte Ising Dimere (Ellipsen), die ein effektives Qudrtgitter ilden (c). Ds Inset zeigt ds Energiespektrum eines einzelnen Ising Dimers, ds us den eiden ferromgnetischen (ntiferromgnetischen) Konfigurtionen mit Energie J z (J z) esteht Wile-VCH Verlg GmH & Co. KGA, Weinheim Phsik Journl 14 (2015) Nr. 4 41

4 Der mikroskopische Hmiltonin des Toric Codes ist nun einfch die Summe ller Vierspinopertoren A s und B p uf dem Gitter. Hierei ist ds Besondere, dss elieige Opertoren im Toric Code kommutieren. Als Konsequenz ht mn pro Stern- und Plketten-Opertor A s und B p eine Erhltungsgröße mit Eigenwerten ± 1, ws eine ekte Lösung des Toric Codes ermöglicht. Grundzustände sind dnn lle Zustände mit llen diesen Erhltungsgrößen 1, d so die Gesmtenergie des Sstems minimiert wird. Die Anzhl der Grundzustände des Toric Codes hängt interessnterweise von der Topologie des zugrunde liegenden Gitters. Auf einer offenen Eene sind lle Erhltungsgrößen unhängig und es eistiert genu ein Grundzustnd. Studiert mn ds gleiche Modell hingegen uf einem Torus einer Topologie mit Genus g = 1 erhält mn im Gegenstz zur offenen Eene vier Grundzustände. Allgemein ist die Grundzustndsentrtung 4 g, sie wächst lso eponentiell mit dem Genus der Topologie. Diese Ahängigkeit der Zhl der entrteten Grundzustände von der Topologie des zugrundeliegenden Gitters ist eine zentrle Chrkteristik für topologische Ordnung und illustriert nschulich ihren nichtloklen Chrkter. Letzterer offenrt sich uch in der quntenmechnischen Verschränkung der Spinfreiheitsgrde mn spricht dei von einer mkroskopischen Verschränktheit im Gegenstz etw zum unverschränkten Ferromgneten (A. 5). Die vier Grundzustände uf dem Torus lssen sich durch die Quntenzhlen ± 1 so gennnter Loop-Opertoren unterscheiden, die uch wieder Erhltungsgrößen drstellen (A. 4). Diese Loop-Opertoren entsprechen Produkten von Puli-Mtrizen uf genu den Plätzen des Gitters, die sich entlng der zwei nicht kontrhierren Schnitte eines Torus um ds gesmte Sstem winden und somit in der Lge sind, die glole Topologie des Sstems zu spüren. Ttsächlich rührt der Nme Toric Code von der weiterführenden Idee Kitevs her, die vier Grundzustände uf dem Torus ls topologisch geschützten Quntenspeicher für zwei Qunten-Bits zu nutzen. Hierei entsprechen die Quntenzhlen ± 1 jeweils eines Loop-Opertors den eiden Einstellungen eines Qunten-Bits. Ds Besondere ist nun, dss die Informtion in einer nichtloklen (topologischen) Größe gespeichert ist, die per Konstruktion roust gegenüer jeglichen loklen Störungen ist. nicht verschränkt A. 5 Wenn mn die Zustände zw. eines zweidimensionlen Mgneten mit Spin 1/2 mit luer zw. schwrzer Fre illustriert, dnn entspricht der nicht verschränkte ferromgnetische Grundzustnd 0 ferro ei T =0 einer homogenen luen Fläche (). Der mkroskopisch verschränkte Grundzustnd des Toric Codes () entspricht hingegen der gleichgewichteten Üerlgerung ller Zustände mit geschlossenen Schleifen us geflippten Spins reltiv zu 0 ferro. Unkonventionelle Phsenüergänge mkroskopisch verschränkt 0 ferro Die Mnifestierung topologischer Ordnung im Toric Code und im Kitev-Modell wirft ufgrund des unkonventionellen, nicht-loklen Chrkters dieser Ordnung eine Reihe sustnzieller Frgen uf: Wie knn mn die Entstehung solcher Ordnung verstehen? Lssen sich die gut verstndenen Theorien zur Bildung quntenmechnischer Ordnung uch für diese Phsen nutzen? Git es neue quntenkritische Phänomene, die mit der Bildung topologischer Ordnung einher gehen? Konventionelle Ordnung lässt sich wie oen schon erwähnt, durch lokle Ordnungsprmeter chrkterisieren, etw die lokle Mgnetisierung im Flle eines Ferromgneten. Ein verschwindener Ordnungsprmeter signlisiert, dss ein Sstem ungeordnet ist, wohingegen ein endlicher Ordnungsprmeter eine Ordnung impliziert. Auf dem Konzept des loklen Ordnungsprmeters siert die sehr erfolgreiche Theorie der kontinuierlichen Phsenüergänge nch Ginzurg und Lndu. Topologische Ordnung knn nicht durch lokle Ordnungsprmeter klssifiziert werden, d die phsiklischen Eigenschften dieser mkroskopisch verschrängten Phsen von der glolen Topologie hängen. Gleichzeitig findet mn im kompletten s n 2 n 1 p i A. 4 Ds Toric Code Modell ist uf einem Qudrtgitter definiert, woei die Spin 1/2 Freiheitsgrde n den Knten des Gitters (rote Kreise) loklisiert sind (). Die eiden Opertortpen A s und B p sind uf den orngen Sternen s zw. dem luen Plketten p definiert. Die eiden nicht kontrhierren Loop Opertoren wirken uf den roten zw. luen Plätzen uf dem Torus. 42 Phsik Journl 14 (2015) Nr Wile-VCH Verlg GmH & Co. KGA, Weinheim

5 Gegenstz zu spontner Smmnetrierechung, dss der Grundzustnd eine höhere Smmtrie ufweist ls der zugehörige Hmiltonin des Sstems. Folglich ist die Theorie der Phsenüergänge nch Ginzurg und Lndu nicht nwendr, sodss die Suche nch einer llgemeineren Theorie der Phsenüergänge ktuell in den Fokus der Forschung gerückt ist. Als eine Art Drosophil für einen Quntenphsenüergng zwischen einer topologischen und einer konventionellen Phse ht sich ds Studium des Toric Codes in einem eternen Mgnetfeld etliert [5]. Für strke Mgnetfelder erwrtet mn eine konventionelle Phse, in der die Spins im wesentlichen in Mgnetfeldrichtung zeigen, d. h. es liegt definitiv kein topologisch geordneter und hochverschränkter Grundzustnd vor. Als Konsequenz muss es mindestens einen Quntenphsenüergng ls Funktion der Stärke des Mgnetfeldes geen. Interessnterweise findet mn schon in diesem prdigmtischen Beispiels eines Sstems mit topologischer Ordnung ein sehr reichhltiges Phsendigrmm [5]. Der Zusmmenruch der topologischen Phse knn, hängig von der Richtung des Mgnetfeldes, sowohl ein Phsenüergng erster ls uch zweiter Ordnung sein. Insesondere die Möglichkeit, neues quntenkritisches Verhlten ufgrund der eotischen Eigenschften topologisch geordneter Steme zu finden, ist hier von esonderem Interesse. Vom Modell zu Mterilien Die een eschrieene reichhltige Phsik der Kitev- Modelle ht eine Suche nch eperimentell zugänglichen Relisierungen gestrtet. Während erste Ansätze die Idee verfolgten, die mikroskopischen Wechselwirkungen in optischen Gittern oder suprleitenden Schltkreisen zu konstruieren, konzentriert sich die Suche heute uf festkörpersierte Ssteme. Dei sind insesondere 5d-Üergngsmetlloide wie die Iridte oder Osmte in den Fokus gerückt, deren Phsik von einem kompleen Wechselspiel zwischen elektronischen Korreltionen, strker Spin-Bhn-Wechselwir- kung und verschiedensten Kristllfeld-Effekten dominiert wird. Die eher zufällige energetische Blnce dieser drei konkurrierenden Kräfte wird in verschiedenen 5d-Mterilien unterschiedlich ufgelöst, ws zu einer großen Vielflt n elektronischen Zuständen führt. Wir wollen uns hier uf ein esonders interessntes Szenrio einschränken, welches sich etw in den Iridten Sr 2 IrO 4, N 2 IrO 3 oder Li 2 IrO 3 ergit die Bildung von neurtigen Mott-Isoltoren, deren lokle Freiheitsgrde effektive Quntenspins j = 1/2 sind, die ufgrund der Spin-Bhn-Wechselwirkung zustnde kommen. Diese Ssteme zeichnen sich insesondere uch durch eine ungewöhnliche Form der Wechselwirkungen zwischen een jenen Spins us. Wie die Gruppe um Ginit Khliullin m M-Plnck-Institut für Festkörperforschung in Stuttgrt zeigen konnte, einhltet diese nicht nur eine us dem Quntenmgnetismus wohleknnte Heisenerg-Wechselwirkung, welche lle Komponenten zweier enchrter j = 1/2-Spins gleichermßen koppelt [6]. Hinzu kommt uch eine hochgrdig nisotrope Wechselwirkung, welche estimmte Komponenten zweier enchrter j = 1/2-Spins einer Ising-Wechselwirkung ähnlich koppelt mit der Besonderheit, dss die Vorzugschse mit der räumlichen Orientierung des Austuschpfdes verndelt ist und uf die oritlen Beiträge der effektiven Spins zurückzuführen ist. Für eine hegonle Anordnung der Iridium-Ionen ergit dieser nisotrope Austusch dnn een jenes Kitev-Modell uf dem Honigwengitter, welches wir oen esprochen hen. Auf der Mterilseite findet sich eine derrtige hegonle Anordnung der Iridium-Ionen in den geschichteten Iridten N 2 IrO 3 und Li 2 IrO 3, wie sie erstmls in den Areitsgruppen rund um Hidenori Tkgi m M-Plnck-Institut für Festkörperforschung in Stuttgrt und jener um Philipp Gegenwrt n der Universität Augsurg snthetisiert wurden. Die schnelle Verfügrkeit hochwertiger (Ein-)Kristlle ht insesondere zu einem großen Fundus eperimenteller Dten geführt, welcher nun im Wechselspiel mit A-initio-Rechnungen und modellsierten Anlsen zu einer sehr produktiven Diskussion der tieferliegenden Ordnungsmechnismen dieser Honigwengitter hper-honigwengitter c hper-oktgongitter A. 6 In den Iridten N 2IrO 3 und Li 2IrO 3 formen die von oktedrischen Suerstoffkäfigen (rot) umgeenen Iridium Atome (lu) Gitter mit Koordintionszhl drei in zwei und dreidimensionlen Anordnungen. Für eide Mterilien wurden geschichtete Lgen hegonler Anordnungen in einem Honigwengitter snthetisiert (). Li 2IrO 3 wurde kürzlich uch in einer zweiten kristllinen Vrinte gewchsen, in der die Iridium Atome im dreidimen sionle hper Honigwengitter ngeordnet sind (). Ds eenflls drei koor dinierte hper Oktgongitter wurde theoretisch ls weitere lterntive Kon figurtion für Li 2IrO 3 vorgeschlgen (c) Wile-VCH Verlg GmH & Co. KGA, Weinheim Phsik Journl 14 (2015) Nr. 4 43

6 ungewöhnlichen Spin-Bhn-gekoppelten Ssteme geführt ht. Durch den Austusch mit den Mterilwissenschftlern ht sich erst in den letzten Monten ein weiteres, völlig neues Terrin erschlossen, ds viele weitere eperimentelle wie theoretische Durchrüche hoffen lässt die unerwrtete Snthetisierung von Mterilien, in denen die Iridium-Ionen dreidimensionle Gitterstrukturen formen, welche die für ds Honigwengitter chrkteristische Dreifchkoordinierung ller Gitterplätze ufweisen und somit eine direkte Verllgemeinerung des Kitev-Modells in drei Dimensionen erluen. Ausgelöst wurde diese Entdeckung durch die Versuche, hochwertige Einkristlle für ds Li 2 IrO 3 - Sstem zu wchsen ws wegen der hohen Moilität der Li-Ionen während des Wchstumsprozesses eine große Herusforderung drstellt. Bei der Verfeinerung dieser Wchstumsprozesse wurden unhänging voneinnder in den Areitsgruppen von Hidenori Tkgi in Stuttgrt und jener um Jmes Anltis in Berkele een jene neurtigen kristllinen Formen von Li 2 IrO 3 gefunden, welche diese esondere dreidimensionle, trikoordinierte Form des Iridium-Gitters ufweisen [7] (A. 6). Unser Verständnis der Phsik solcher dreidimensionler Kitev-Modelle, welche sich ähnlich zu ihrem zweidimensionlen Vorfhren nltisch ekt untersuchen lssen, ist erst m Anfng. Doch Interessntes zeichnet sich ereits nch den ersten Schritten so ht die Konstruktion derrtiger 3D-Modelle eine Quntenspinflüssigkeit ls Grundzustnd eines nltisch lösren, mikroskopischen Modells [8] hervorgercht, deren elementre Spinonnregungen durch eine Fläche im Impulsrum eschrieen werden können ähnlich zu der Fermi-Fläche der elementren Anregungen eines Metlls. Derrtige Spinflüssigkeiten mit einer Spinon-Fermi-Fläche werden seit lngem ls Grundzustände einer gnzen Reihe nderer frustrierter Quntenmgnete vermutet, sodss die Gewissheit, ein derrtiges Modellsstem nunmehr theoretisch festgemcht zu hen, sicherlich ihren gnz eigenen Beitrg dzu liefert, die lltägliche Frustrtion des einen oder nderen Phsikers zu mindern. Fzit Die Phsik topologisch geordneter Quntenmgnete ist üerus vielfältig und stellt in ll ihren Fcetten einen wichtigen Bustein der modernen Festkörperphsik dr. In diesem Üersichtsrtikel hen wir ktuelle Entwicklungen in diesem Geiet eleuchtet, woei wir usgehend von den nltisch lösren Kitev- Modellen einen Einlick in ktuelle Forschungsfrgen gegeen hen etw die Untersuchung des quntenkritischen Verhltens eim Zusmmenruch topologisch geordneter Phsen oder die ktive Suche nch eperimentellen Relisierungen von Kitev-Modellen. Dieses sich rsch entwickelnde Forschungsfeld n der Grenze zwischen Grundlgenforschung, Mterilwissenschften und Qunteninformtion mit interdisziplinären Verindungen zu Mthemtik und Informtik verspricht sicherlich noch einige spnnende Entdeckungen in der nhen Zukunft. Litertur [1] L. Blents, Nture 464, 199 (2010) [2] A. Kitev, Ann. Phs. 321, 2 (2006) [4] K.P. Schmidt, S. Dusuel und J. Vidl, Phs. Rev. Lett. 100, (2008) [3] A. Kitev, Ann. Phs. 303, 2 (2003) [5] S. Trest, P. Werner, M. Troer, K. Shtengel und C. Nk, Phs. Rev. Lett. 98, (2007); S. Dusuel, M. Kmfor, R. Orus, K. P. Schmidt und J. Vidl, Phs. Rev. Lett. 106, (2011) [6] G. Jckeli und G. Khliullin, Phs. Rev. Lett. 102, (2009); J. Chloupk, G. Jckeli und G. Khliullin, Phs. Rev. Lett. 105, (2010) [7] K. A. Modic et l., Nture Communictions 5, 4203 (2014); T. Tkm et l., Phs. Rev. Lett. 114, (2015) [8] M. Hermnns und S. Trest, Phs. Rev. B 89, (2014) DIE AUTOREN Ki Phillip Schmidt (FV Tiefe Temperturen) studierte in Bonn und Sdne, promovierte in Köln und solvierte einen Postdoc n der EPF Lusnne im Bereich strk korrelierter Qunten ssteme. Dnk eines Europen Young Investigtor Awrds üernhm er 2008 die Leitung einer Forschungsgruppe n der Technischen Universität Dortmund. Er eschäftigt sich mit emergenten und kollektiven Quntenphänomenen in Vielteilchensstemen der kondensierten Mterie, in der Atomphsik und in Modellen für Qunteninformtion. Simon Trest (FV Tiefe Temperturen) efsst sich seit seiner Promotion in Bonn und einem Postdoc n der ETH Zürich mit numerischen Simultionen quntenmechnischer Vielteilchenssteme. Er verrchte mehrere Jhre m Microsoft Reserch L Sttion Q n der UCSB in Snt Brr, wo sein Interesse n topologischen Aspekten der Festkörperphsik und Qunteninformtionsverreitung geweckt wurde folgte er einem Ruf uf eine Professur für Theoretische Phsik n der Universität zu Köln. 44 Phsik Journl 14 (2015) Nr Wile-VCH Verlg GmH & Co. KGA, Weinheim