Reguläre Grammatiken

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1 1 eguläre Grmmtiken 2 Grundlgen der Theretischen Infrmtik Till Msskwski Fkultät für Infrmtik Ott-vn-Guericke Universität Mgdeburg Wintersemester 2014/15 Definitin: ( ine Grmmtik G = (V,Σ,, heißt rechtsliner, flls lle egeln in vn der Frm A B der A sind mit A,B V und Σ. (b ine Grmmtik G = (V,Σ,, heißt linksliner, flls lle egeln in vn der Frm A B der A sind mit A,B V und Σ. (c ine Grmmtik heißt regulär, wenn sie rechtsliner der linksliner ist. 3 4 tz: Die vn den regulären Grmmtiken erzeugten prchen sind genu die regulären prchen. b s b,b p b P P Q P bq P Q P Q b A A ba A B B A B b A B 5 6 Kntextfreie prchen ei G = (V,Σ,, eine Grmmtik. ine Flge heißt Ableitung vn y in G us x. x = w 0 w 1 w n = y Wir nennen n die änge der Ableitung und sgen, y ist in G in n chritten us x bleitbr. Die durch G erzeugte prche der uch die vn G definierte prche der uch die vn G generierte prche ist die Menge ller in G us bleitbren Wörter: (G = {w Σ G w} 7 8 Kntextfreie Grmmtiken G = (V,Σ,, Definitin: ine Grmmtik G = (V,Σ,, heißt kntextfrei, flls V (V Σ. Auf der linken eite einer egel steht ls stets genu ein Nichtterminl. Definitin: ine prche heißt kntextfrei, flls es eine kntextfreie Grmmtik G gibt, s dss = (G. V = {T,F,} Σ = {+,,(,,} = { + T, T, T T F, T F, F (, F } G ( + ( + (G : Arithmetische Ausdrücke über Opertinen +,

2 9 10 G = (V,Σ,, = { 2n b n n 1} V = {,A,B} Σ = {, b} = { AB,, A, B b} AB AABB AABB G bb (G = { n b n n 0} G = (V,Σ,, V = {,T,A,B} Σ = {, b} = { ATB, T ATB, T, A, B b} ATB AATBB AABB ABB BB G bb Bckus-Nur-Frm A β 1 A β 2. A β k A β 1 β 2 β k ine Grmmtik für reguläre Ausdrücke über einem Alphbet Σ: G = (V,Σ,, mit Σ = Σ {(,,, /0, } V = {} = { Σ} { /0 ( ( } b /0 ( ( ( (( (( ((b (( b ((( b ((( b ((( b b B if C then A B A A if C then A else B A C cnditin sttement Σ = {if, then, else, cnditin, sttement} G = ({A,B,C,}, Σ,, B Σ = {<ul>, </ul>, <li>, </li>, wrds} wrds wrds U <ul> </ul> <li> </li> wrds wrds U G = ({U,,}, Σ,,U U <ul> </ul> <ul><li> </li> </ul> <ul><li> </li><li> </li> </ul> <ul><li> </li><li> </li></ul> <ul><li> wrds </li><li> </li></ul> <ul><li> wrds </li><li> wrds </li></ul>

3 17 18 = {w {0,1} w = w } = { i b j c k i + 2j = k} G = (V = {}, Σ = {0,1},, = { 00, 11, 0, 1, } G = ({,T}, {,b,c},, = { T, c, T, T btcc} = { i b j c k i + 2j k} = { i b j c k i + 2j k} G = ({,T}, {,b,c},, = { T, c,, T, T btcc, T btc, T bt} G = ({,T}, {,b,c},, = { T, c, T, T btcc, T Tc} = { i b j c k d l i + k = j + l} G = ({,U,W,Z}, {,b,c,d},, = { d, UWZ, U Ub, U, W bwc, W, Z czd, Z } = { i b j c k d l i + k = j + l} = { i b j c k d l d i k = j + l} { l i b j c k d l i + k = j} G = ({,U,W,U 1,U 2,W 1,W 2 }, {,b,c,d},, = { d, U, W, U U 1 U 2, U 1 bu 1 c, U 2 cu 2 d, U 1, U 2, W W 1 W 2, W 1 W 1 b, W 2 bw 2 c, W 1, W 2 } Knnische Ableitungen ine Ableitung heißt inksbleitung, flls in jedem chritt ds m weitesten links stehende Nichtterminlsymbl ersetzt wird. Wir definieren eine eltin uf (V Σ (V Σ durch x y genu dnn wenn es gibt A V, α,β (V Σ und w Σ, s dss x = waβ, y = wαβ und A G α ine Ableitung heißt echtsbleitung, flls in jedem chritt ds m weitesten rechts stehende Nichtterminlsymbl ersetzt wird. Wir definieren nlg eine eltin uf (V Σ (V Σ durch x y genu dnn wenn es gibt A V, α,β (V Σ und w Σ, s dss x = αaw, y = αβw und A G β

4 25 26 Wie üblich bezeichnen und die reflexive, trnsitive Hülle der eltinen bzw.. yntxbäume G = ({},{(,},{ ( },, w = ((( ( (( (( ((( ((( ( ( (( ((( ((( in yntxbum (Ableitungsbum repräsentiert die Ableitungsstruktur eines Wrtes, hne die eihenflge der rsetzungen in den Vrdergrund zu stellen = { + T T, T T F F, F ( } w = + T + T T F in yntxbum bezüglich einer Grmmtik G = (V,Σ,, ist ein gerdneter Wurzelbum, bei dem die Wurzel mit beschriftet ist, lle Blätter mit ymblen us Σ {} und die übrigen Knten mit ymblen us V beschriftet sind, s dss für lle mit Vriblen beschrifteten Knten n des Bumes gilt: Flls n mit A beschriftet ist und die Kinder vn n mit σ 1, σ 2,...,σ k beschriftet sind, s ist A σ 1 σ k eine egel in. F F Ferner muss gelten: Flls ein Bltt mit beschriftet ist, s ist es ds einzige Kind seines lter(nkntens In JFAP lssen sich die egeln llgemeiner Grmmtiken eingeben, ls insbesndere uch die kntextfreier Grmmtiken. ( ( ( ( ( ( ls uch ein yntxbum knstruiert werden. Für eine Grmmtik G knn für ein Wrt w (G swhl eine Ableitung...

5 33 34 Mehrdeutigkeit Beispiele: ine kntextfreie Grmmtik G heißt eindeutig, flls es für jedes w (G genu einen yntxbum gibt, snst mehrdeutig. = { i b j c k i,j,k 1 und (i = j der j = k} G = ({},{+,,},{ + },, w = + A 1 C 1 A 1 A 1 b b C 1 cc 1 c A 2 B 2 A 2 A 2 B 2 bb 2 c bc + tz: Jede kntextfreie Grmmtik G mit + ist mehrdeutig. (G = { i b j c k i,j,k 1 und (i = j der j = k} Nrmlfrmen G = ({},{(,},{ ( }, ist mehrdeutig. G = ({ 0, 1, 2 },{(,},, 0 mit ist eindeutig und (G = (G ( 1 2 ( ine kntextfreie Grmmtik G = (V,Σ,, heißt in Chmsky Nrmlfrm, flls lle Prduktinsregeln in eine der beiden flgenden Frmen hben: A A BC für ein us Σ für B,C V yntxbäume sind bis uf die letzten chritte binär limintin vn -egeln (U : Beispiel einer Trnsfrmtin in Chmsky Nrmlfrm: AC A B B C c C cc AC A B B C c C cc AC C A A B B C c C cc c limintin nichtislierter Terminlsymble limintin vn Kettenregeln (U W: AC C A A B B C c C cc c AC C A A cc c B cc c C cc c AC A C A c cc B c cc C c cc T ACT T AT T CT T T A c T c C B c T c C C c T c C T T c c und lnger rechter eiten:

6 41 42 T ACT T AT T CT T T. T c c T 1 T 3 T 4 T T 1 A 2 2 CT 3 AT 4 CT A c T c C B c T c C C c T c C T T c c Trnsfrmtin llgemein: limintin vn -egeln: ei G = (V,Σ,, eine kntextfreie Grmmtik mit (G. ei V = {A V A G }. Wir streichen lle egeln der Frm T und fügen für jede egel der Frm U vw mit V und vw eine egel U vw ein. Flls es uf einer rechten eite mehrere Vrkmmen vn Vriblen us V gibt, s müssen wir für lle möglichen Kmbintinen dieser Vriblen neue egeln einführen limintin vn Kettenregelzyklen: ei G = (V,Σ,, eine kntextfreie Grmmtik hne -egeln. Flls es eine Menge vn Vriblen T 1,...,T k mit T 1 T 2,..., T k 1 T k und T k T 1 gibt, ersetzen wir lle Vrkmmen vn T 1,...,T k durch eine einzige neue Vrible T limintin vn Kettenregeln: ei G = (V,Σ,, eine kntextfreie Grmmtik hne -egeln und Kettenregelzyklen. D es keine Kettenregelzyklen gibt, können wir die Vriblen s bezeichnen, dss V = {A 1,...,A n } und us A i A j flgt, dss i < j. Wir gehen die egeln für k = n 1,...,1 durch: Flls es eine egel A k A k mit k > k gibt mit egeln A k α 1 α m streichen wir A k A k und fügen die egeln hinzu. A k α 1 α m limintin vn nichtislierten Terminlsymblen uf rechten eiten: ei G = (V,Σ,, eine kntextfreie Grmmtik hne -egeln und Kettenregeln. Bei jeder egel, die ein Terminlsymbl uf einer rechten eite der änge mindestens zwei enthält, ersetzen wir ds Terminlsymbl durch eine neue Vrible T und fügen die egel T hinzu.

7 49 50 limintin vn lngen rechten eiten: ei G = (V,Σ,, eine kntextfreie Grmmtik, bei der lle egel vn der Frm A der vn der Frm sind. A B 1 B 2 B k Flls bei einer egel der zweiten Frm k 3 ist, führen wir neue Vriblen C 2,...,C k 1 ein und ersetzen die egel durch A B 1 C 2 C 2 B 2 C 3. C k 1 B k 1 B k Zwei Grmmtiken G und G heißen äuivlent genu dnn wenn (G = (G. tz: ei G eine kntextfreie Grmmtik mit (G. Dnn gibt es eine äuivlente kntextfreie Grmmtik G in Chmsky Nrmlfrm. Beweisskizze: Trnsfrmiere G wie ben beschrieben in eine kntextfreie Grmmtik G in Chmsky Nrmlfrm. Dnn gilt (G = (G. 53 Kellerutmten 54 ine kntextfreie Grmmtik G = (V,Σ,, heißt in (strenger Greibch Nrmlfrm, flls V ΣV, d.h., lle Prduktinsregeln hben die Frm A B 1 B 2...B k ndliche Autmten hben zuwenig peicher, um prchen wie { n b n n 0} erkennen zu können. b b b b für ein Σ, k 0 und B 1,B 2,...,B k V. tz: ei G eine kntextfreie Grmmtik mit (G. Dnn gibt es eine äuivlente kntextfreie Grmmtik G in Greibch Nrmlfrm. // s // b// f Kellerutmten lesen wie (nichtdeterministische endliche Autmten die ingbe ymbl für ymbl vn links nch rechts. Kellerutmten können ber zusätzlich ymble uf einem Keller (tck verwlten und ddurch Infrmtin speichern. esekpf b b b b b b ingbebnd endliche Zustndskntrlle b b c Keller (tck Definitin: in Kellerutmt ist ein 6-Tupel (K,Σ,Γ,,s,F, wbei gilt: K ist eine endliche Menge vn Zuständen, Σ ist ein Alphbet, ds ingbelphbet, Γ ist ein Alphbet, ds Kellerlphbet, s K ist der trtzustnd, (K (Σ {} Γ (K Γ ist die Übergngsreltin, ist endlich und F K ist die Menge der ndzustände. in Kellerutmt ist ls nch Definitin nichtdeterministisch.

8 57 58 Grphische Drstellung der Übergngsreltin: M = ({s,f },{,b,c},{,b},,s,{f } Zustnd trtzustnd ndzustnd ((p,α,β,(,γ p α/β/γ : ((s,,,(s, ((s,b,,(s,b ((s,c,,(f, ((f,,,(f, ((f,b,b,(f, // s b//b c// // f b/b/ Zustnd restliches ingbewrt Kellerinhlt s bcb s bcb s bcb s cb b s cb b f b b f b b f f f ei M = (K,Σ,Γ,,s,F ein Kellerutmt. in lement (,w,α vn K Σ Γ heißt Knfigurtin vn M. Dbei ist der ktuelle Zustnd, w der nch nicht gelesene Teil der ingbe und α der Kellerinhlt (vn ben nch unten gelesen. Wir definieren eine binäre eltin M uf K Σ Γ, den Knfigurtinen vn M, wie flgt: (p,x,α M (,y,ζ genu dnn wenn es einen Übergng ((p,,β,(,γ gibt und x = y, α = βη und ζ = γη für ein η Γ. Wir sgen, (p,x,α geht in einem chritt in (,y,ζ über M = (K,Σ,Γ,,s,F, wbei K = {s,,f }, Σ = {,b}, Γ = {,b, } und F = {f } und in Kellerutmt M = (K,Σ,Γ,,s,F kzeptiert ein Wrt w Σ genu dnn wenn (s,w, M (p,, für ein p F. ine Flge vn Knfigurtinen C 0,C 1,...,C n, n 0, mit C i M C i+1 für i = 0,1...,n 1 heißt eine Berechnung vn M der änge n. Die vn einem Kellerutmten M kzeptierte prche ist (M= {w Σ M kzeptiert w}. : ((s,,,(, ((,,,(, ((,,,(, ((,,b,(, ((,b,,(,b ((,b,b,(,bb ((,b,,(, ((,,,(f, (M = {w Σ w enthält gleichviele und b} 63 Zustnd restliches ingbewrt Kellerinhlt s bbbbb bbbbb bbbbb bbbb bbbb bbb bb b bb bb bb b f