Produktionsprogrammplanung unter Einbeziehung von Preis- Absatz-Funktionen und Lernkurveneffekten

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1 Marti-Luther-Uiversität Halle-Witteberg Juristische ud Wirtschaftswisseschaftliche Fakultät Wirtschaftswisseschaftlicher Bereich Produktiosprogrammplaug uter Eibeziehug vo Preis- Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte Taïeb Mellouli, Rolf Rogge, Mike Steglich Beitrag r. 18 Diskussiosbeiträge zu Wirtschaftsiformatik ud Operatios Research

2 Die Deutsche Bibliothek CIP-Eiheitsaufahme Mellouli, Taïeb; Rogge, Rolf; Steglich, Mike: Produktiosprogrammplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte - / Taïeb Mellouli; Rolf Rogge; Mike Steglich. Marti-Luther-Uiversität Halle-Witteberg, Juristische ud Wirtschaftswisseschaftliche Fakultät, Wirtschaftswisseschaftlicher Bereich.- Halle (Saale): Marti-Luther-Uiversität Halle-Witteberg, Techische Fachhochschule Wildau, Fachbereich Wirtschaft, Verwaltug ud Recht. (Diskussiosbeiträge zu Wirtschaftsiformatik ud Operatios Research; Beitrag r. 18) ISS: ISB: Schlagworte: Produktiosprogrammplaug, Preis-Absatzfuktioe, Lerkurveeffekte, ichtlieare Optimierug, gazzahlige lieare Optimierug Korrespodezaschrift: Prof. Dr. Rolf Rogge Marti-Luther-Uiversität Halle-Witteberg Juristische ud Wirtschaftswisseschaftliche Fakultät Istitut für Wirtschaftsiformatik ud Operatios Research Halle (Saale) Tel.: Fax: rolf.rogge@wiwi.ui-halle.de Homepage: www: Halle (Saale), 2008

3 I Ihaltsverzeichis IHALTSVERZEICHIS I 1 EILEITUG UD PROBLEMSTELLUG 1 2 GRUDMODELL ZUR BESTIMMUG DES OPTIMALE PRODUKTIOSPROGRAMMS 2 3 PRODUKTIOSPROGRAMMPLAUG UTER EIBEZIEHUG VO PREIS-ABSATZ-FUKTIOE DAS COUROT-MODELL ALS AUSGAGSPUKT ICHTLIEARER MODELLASATZ LIEARER MODELLASATZ 6 4 PRODUKTIOSPROGRAMMPLAUG UTER EIBEZIEHUG VO LERKURVEEFFEKTE ABBILDUG VO LERKURVEEFFEKTE ICHTLIEARER MODELLASATZ Modellasatz mit leruabhägige Etlohugsforme Modellasatz mit lerabhägige Etlohugsforme LIEARER MODELLASATZ Modellasatz mit leruabhägige Etlohugsforme Modellasatz mit lerabhägige Etlohugsforme 16 5 PRODUKTIOSPROGRAMMPLAUG UTER EIBEZIEHUG VO PREIS-ABSATZ-FUKTIOE UD LERKURVEEFFEKTE ICHTLIEARER MODELLASATZ Modellasatz mit leruabhägige Etlohugsforme Modellasatz mit lerabhägige Etlohugsforme LIEARER MODELLASATZ Modellasatz mit leruabhägige Etlohugsforme Modellasatz mit lerabhägige Etlohugsforme 21 6 ZUSAMMEFASSUG UD AUSBLICK 22 LITERATUR 24

4 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 1 1 Eileitug ud Problemstellug Eie der Maagemetaufgabe besteht im Treffe vo Etscheiduge, wobei im Sie der ormative Etscheidugstheorie ei reales Etscheidugsproblem i Form eies Etscheidugsmodells abzubilde ud mit geeigete Verfahre zu löse ist. Die Modellierug betriebswirtschaftlicher Etscheidugsprobleme erfolgt im operative ud taktische Bereich vielfach uter der Aahme liearer Koste- ud Erlösfuktioe. Dieser Sachverhalt ergibt sich i erster Liie aus de verwedete Systeme der itere Uterehmesrechug. So werde etscheidugsrelevate Koste ud Erlöse üblicherweise mit der Grezkoste- ud Grezerlösrechug geplat, wobei gemäß de Prämisse dieser Systeme alle Eiflussgröße bis auf die Produktios- bzw. Absatzmege als kostat uterstellt werde. 1 Ei weiterer Grud für die Verwedug liearer Fuktiosverläufe besteht dari, dass die Eibeziehug ichtliearer Zusammehäge vielfach zu Modellstrukture führt, dere Lösbarkeit bei größere Modelldimesioe als problematisch azusehe ist. Allerdigs ka die Beschräkug auf lieare Erlös- ud Kostestrukture zu eier zu vereifachede Modellierug der reale Etscheidugssituatio führe, da die Absatzpreise ud Stückkoste oft i ichtlieare Zusammehäge zu de Absatz- ud Produktiosmege stehe. 2 Exemplarisch lasse sich Preis-Absatz-Fuktioe, Lerkurveeffekte, sprugfixe Koste- bzw. Erlösverläufe ud Variableprodukte ee. I diesem Si besteht das erste Ziel dieser Arbeit i der Erarbeitug vo Asätze zur Eibeziehug ichtliearer Zusammehäge i betriebswirtschaftliche Etscheidugsprobleme. Da hisichtlich der Behadlug sprugfixer Ergebiseffekte sowie vo Variableprodukte 3 adäquate Asätze existiere, werde i dieser Arbeit eizig Lerkurveeffekte bzw. Preis-Absatz-Fuktioe als ichtlieare Koste- bzw. Erlösverläufe betrachtet. Dazu wird exemplarisch mit der Bestimmug des optimale Produktiosprogramms eies der klassische Probleme der operative bzw. taktische Plaug utersucht. Mit diesem Modell gilt es, die Produktiosmege der eizubeziehede Absatzproduktarte uter Beachtug der Beschaffugs-, Fertigugs- ud Absatzrestriktioe deckugsbeitragsmaximiered zu bestimme. 4 I der Literatur existiert eie Azahl vo Modelle zur Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 5, die allerdigs diese Effekte isoliert betrachte ud weiterhi zum große Teil als ichtlieare Optimierugs Vgl. Ewert/Wagehofer (2005), S. 548ff. Vgl. Hillier/Lieberma (2005), S. 548ff. Vgl. Rogge/Steglich (2007). Vgl. Küpper (2005), S Vgl. Laarma (2005), S. 65ff.; Liao (1979), S. 116ff.

5 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 2 modelle formuliert sid, dere umerische Lösbarkeit für reale Aweduge problematisch erscheit. I dieser Arbeit wird das Grudmodell der Produktiosprogrammplaug sukzessive um die Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte erweitert, wobei beide Effekte vorerst isoliert betrachtet ud i eiem weitere Schritt i eiem abschließede Modell zusammegefasst werde. Als Preis-Absatz-Fuktio wird idealtypisch vo eier lieare Preis-Absatz-Fuktio ausgegage. Die Lerkurveeffekte beziehe sich eizig auf die Persoalkapazitäte der die Produktio ausführede Mitarbeiter. Diese Modellasätze stelle erhebliche Erweiteruge des Grudmodells der Produktiosprogrammplaug dar, für die allerdigs als ichtlieare Etscheidugsmodelle die geate Eischräkuge i der umerische Lösbarkeit gelte. Um die Lösbarkeit dieser Modelle für größere Probleme sicherzustelle, werde i dieser Arbeit Liearisierugsasätze auf der Basis stückweiser liearer Fuktioe vorgeschlage. Damit besteht das zweite Ziel dieser Arbeit i der Erarbeitug kokreter Liearisierugsasätze, mit dee diese ichtlieare Modelle i lieare Modellasätze überführt werde köe. Somit ka mit diese Modelle aufgrud der Eibeziehug der Preis-Absatz- Fuktioe ud de Lerkurveeffekte die eischräkede Prämisse kostater Parameter im Grudmodell der Produktiosprogrammplaug aufgegebe ud durch die stückweise Liearisieruge dieser Fuktioe die Awedugsvorteile der lieare Optimierugsalgorithme geutzt werde. Da es mit de Asätze der itere Uterehmesrechug aufgrud der Prämisse liearer Koste- ud Erlösverläufe icht möglich ist, die ichtlieare Effekte der Preis-Absatz- Fuktioe sowie der Lerkurveeffekte abzubilde, stellt die stückweise Liearisierug dieser Effekte weiterhi eie Beitrag dar, derartige Effekte mit der Grezkoste- ud -erlösrechug i agepasster Form zu plae ud für die Lösug etsprecheder Etscheidugsprobleme bereitzustelle. 2 Grudmodell zur Bestimmug des optimale Produktiosprogramms Als Ausgagspukt für die weitere Ausführuge soll die Plaug des optimale Produktiosprogramms betrachtet werde. Dabei sid die Produktios- ud Absatzmege 6 der Absatzprodukte eies Uterehmes uter Beachtug der durch strategische Etscheiduge gegebee Beschaffugs-, Fertigugs- ud Absatzpotetiale deckugsbeitragsmaximiered mit dem folgede lieare Optimierugsmodell zu bestimme. 6 Bei fehleder bzw. kostater Lagerhaltug der Fertigerzeugisse köe die Produktios- ud Absatzmege gleichgesetzt werde.

6 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 3 GDB = u.d.. d max! t k T k ;k =11 ()K a m b m ;m =11 0 x x ; =11 ()M () (1) (2) (3) (4) mit GDB - Gesamtdeckugsbeitrag d - Stückdeckugsbeitrag der -te Absatzproduktart x - Produktiosmege der -te Absatzproduktart t k - Zeitliche Iaspruchahme des k-te Arbeitsplatzes je Megeeiheit der -te Absatzproduktart T k - maximal zur Verfügug stehede Persoalkapazität des k-te Arbeitsplatzes je Periode a m - Produktioskoeffiziet des m-te Produktiosfaktors je Megeeiheit der -te Absatzproduktart b m - Obergreze des m-te Produktiosfaktors Idizes - Idex der Absatzproduktarte, (1) k - Idex der Arbeitsplätze, k=1(1)k m - Idex der weitere Produktiosfaktore, m=1(1)m - Azahl der Absatzproduktarte K - Azahl der Arbeitsplätze M - Azahl der weitere Produktiosfaktore Da die Beaspruchug der Persoalkapazitäte als spezieller Produktiosfaktor separat betrachtet werde soll, werde die Arbeitsplätze getret vo de sostige Produktiosfaktore m =11 ()M ausgewiese. Die Persoalkapazitäte liege i Form vo Arbeitsplätze k = 11 ()K vor, die vo de eizele Absatzproduktarte zu durchlaufe sid. Hisichtlich der a eiem Arbeitsplatz tätige Mitarbeiter wird ageomme, dass diese eie vergleichbare Qualifikatio ud homogee Fähigkeite ud Erfahruge besitze. Für die weitere Betrachtuge werde die Stückdeckugsbeiträge wie folgt spezifiziert: d = p k (5) mit p - Absatzpreis der -te Absatzproduktart k - direkte Stückkoste der -te Absatzproduktart

7 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 4 3 Produktiosprogrammplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz- Fuktioe 3.1 Das Courot-Modell als Ausgagspukt Grudsätzlich wird im Weitere vo eier achfrageorietierte Preisbildug im Falle eies Moopols ausgegage. Es wird uterstellt, dass das betrachtete Uterehme absatzpolitisch frei agiert, d.h. der Moopolist ka de Verkaufspreis eies Produktes autoom festsetze, auf de die Käufer mit eier etsprechede achfrage reagiere. Üblicherweise geht ma vo eier lieare Beziehug zwische dem Absatzpreis eies Produktes ud seier achgefragte Mege aus, so dass sich folgede Preis-Absatz- Fuktio formuliere lässt: px ()= p r x (6) mit p - Prohibitivpreis der betrachtete Absatzproduktart r - Preisreduktiosfaktor je Megeeiheit der betrachtete Absatzproduktart x - Produktiosmege der betrachtete Absatzproduktart Wie i Ausdruck (6) ersichtlich, ist ausgehed vom Prohibitivpreis, bei dem keie achfrage hisichtlich des betrachtete Produktes besteht, eie gewüschte achfrage durch eie reduzierte Preis zu realisiere, wobei diese Preisreduktio durch de Faktor r zu parametrisiere ist. Bei eiem Preis vo p(x)=0 ist die so geate Sättigugsmege erreicht. 7 Im Courot-Modell wird vo eier derartige Preis-Absatz-Fuktio ausgegage ud uterstellt, dass das Uterehme de Verkaufspreis gewimaximiered festsetze ka. Es wird eie Gewifuktio G(x) als Differez der Erlösfuktio E(x) ud der Kostefuktio K(x) i Abhägigkeit der Produktiosmege x eier Produktart ohe Kapazitätsbeachtuge maximiert. 8 Gx ()= E() x Kx () max! x 0 wobei gilt: (7) (8) Kx ()= k x + Kf E()= x px () x px ()= p r x (9) (10) (11) 7 8 Vgl. Zetes (2005), S Vgl. Meffert/Burma/Kirchgeorg (2008), S. 533ff.

8 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 5 mit Kf - Fixkoste des betrachtete Uterehmes k - direkte Stückkoste des betrachtete Absatzproduktes Auf eie Herleitug der Lösug sowie eie Iterpretatio der Lösug des Courot-Modells im Sie preispolitischer ud aderer Etscheidugsprobleme soll i dieser Arbeit icht eigegage ud auf die Literatur verwiese werde. 9 Grudsätzlich sid die Prämisse dieses Modells im Sie der Produktiosprogrammplaug zu eigeschräkt. So werde i diesem Eiproduktmodell keie Kapazitäte i die Etscheidugsfidug eibezoge. Es stellt aber aufgrud der simultae Bestimmug optimaler Mege ud Preise eie sehr iteressate Ausgagspukt für Erweiteruge des Grudmodells der Produktiosprogrammplaug dar. 3.2 ichtliearer Modellasatz Da offesichtlich die fixe Koste für die Lösug des Courot-Models etscheidugsirrelevat sid, ist es zur Eibeziehug dieser Effekte ausreiched, die Zielfuktio des Grudmodells der Produktiosprogrammplaug gemäß Ausdruck (1) bzw. die dari ethaltee Fuktio des Stückdeckugsbeitrags gemäß (5) um die lieare Preisabsatzfuktio gemäß Ausdruck (6) zu erweiter, wobei diese Erweiterug für alle Absatzproduktarte vorzuehme ist. Für die Stückdeckugsbeitrag der -Absatzproduktart gilt da: d ( x )= p x p ( x )= p r ( ) k (12) (13) Daraus folgt eie eue Zielfuktio für die Bestimmug des optimale Produktiosprogramms uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe: GDB = p ( x ) k = ( p r ) k (14) (15) 9 Vgl. Pepels (2004), S 511ff.

9 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 6 Das gesamte Modell zur Bestimmug des optimale Produktiosprogramms uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ka da wie folgt formuliert werde: GDB = u.d.. ( p r ) k max! t k T k ;k =11 a m b m ;m =11 0 x x ; =11 ()K ()M () (16) (17) (18) (19) Mit dem Ziel der Maximierug des Gesamtdeckugsbeitrags köe simulta die optimale Produktiosmege ud die Absatzpreise der betrachtete Absatzproduktarte bestimmt werde, wobei die optimale Absatzmege sofort der Lösug des Modells etomme ud die Absatzpreise mit p * = p r x * bestimmt werde köe. Dieses Modell ist aufgrud der vo de Preis-Absatz-Fuktioe beeiflusste Erlösfuktioe ei Modell mit eier ichtlieare Zielfuktio ud lieare ebebediguge. Dieses Modell ist mit etsprechede ichtlieare Lösugsasätze lösbar 10, wobei für reale Probleme die umerische Lösbarkeit eigeschräkt erscheit. Aus diesem Grud soll im folgede Abschitt ei Asatz verfolgt werde, mit dem dieses ichtlieare Modell äherugsweise i ei lieares Modell überführt werde ka. x * 3.3 Liearer Modellasatz Der i dieser Arbeit verfolgte Liearisierugsasatz setzt a de Erlösfuktioe E ( x )= p r mit E x ( ) (20) ( ) - Gesamte Erlöse der -te Absatzproduktart, (1) a ud soll ahad stückweiser liearer Fuktioe erfolge. 11 Dazu wird der Wertebereich der Produktiosmege x i Itervalle aufgeteilt ud etsprechede Utermege x i eigeführt. I() (21) x = x i i=1 0 x i x i (22) Vgl. euma/morlock (2002), S. 567ff. Vgl. Hillier/Lieberma (2005), S 583ff.

10 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 7 mit x i - Produktiosmege der -te Absatzproduktart im Liearisierugsitervall i Idex i - Idex der Liearisierugsitervalle der -te Absatzproduktart, i=1(1)i() I() - Azahl der Liearisierugsitervalle der -te Absatzproduktart Die Erlösfuktio jedes der Itervalle besitzt eie spezifische Astieg: e i = E i j=1 x j i 1 E x j j=1 ; x 0 = 0, =11 (), i =11 ()I x i () (23) Da der Astieg der kokave Erlösfuktio eier Absatzproduktart E ( )= p 2r (24) x mit steigede Werte für die Mege x immer fällt, ist es icht otwedig, hisichtlich der Itervallutermege Reihefolgebediguge eizuführe, da aufgrud der Maximierug der gesamte Zielfuktio der Fall x i > 0, x i 1 = 0 icht eitrete ka. Die gesamte Erlöse eier Absatzproduktart lasse sich da äherugsweise durch die folgede Ausdrücke formuliere: I() E ( x )= e i i i=1 I() x = x i i=1 0 x i x i (25) (26) (27) Das gesamte lieare Etscheidugsmodell zur Bestimmug des optimale Produktiosprogramms uter Eibeziehug vo Preis-Absatzfuktioe lautet da wie folgt:

11 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 8 GDB = u.d.. I() I() e i i k i=1 max! x = x i ; =11 (), i =11 ()I i=1 t k T k ;k =11 ()K a m b m ;m =11 ()M () (28) (29) (30) (31) 0 x x ; =11 () 0 x i x i ; =11 (), i =11 ()I () (32) (33) Mit diesem Modell köe die Produktiosmege ud die Absatzpreise der Absatzproduktarte simulta deckugsbeitragsmaximiered bestimmt werde, wobei zur Lösug dieses Modells aufgrud der stückweise Liearisierug der Erlösfuktio die bekate Algorithme der lieare Optimierug geutzt werde köe. 12 * Die optimale Produktiosmege x köe umittelbar der Lösug des Modells etomme ud die optimale Absatzpreise mit E ( x )/ x * * bestimmt werde. 4 Produktiosprogrammplaug uter Eibeziehug vo Lerkurveeffekte 4.1 Abbildug vo Lerkurveeffekte Die Lerkurvetheorie geht vo der Hypothese aus, dass mit eier Verdopplug der kumulierte Produktiosmege die direkte Arbeitskoste je Stück eies betrachtete Produktes um eie bestimmte Faktor verrigert werde köe. 13 So schreibt Laarma: Mit jeder Veräderug der kumulierte Ausbrigugsmege ergebe sich Kostesekugspotetiale, durch die es möglich ist, die durchschittliche Stückkoste um eie kostate Prozetsatz zu seke. 14 Die Lerkurvetheorie wurde i der Literatur vielfältige Betrachtuge uterzoge, so dass i dieser Arbeit auf die Fudierug der theoretische Grudlage, de Lerkurveeffekte ud isbesodere auf de Lerbegriff icht eigegage werde braucht Vgl. Suhl/Mellouli (2006), S. 42ff.; Vaderbei (2008). Vgl. Erwert/Wagehofer (2005), S. 141.; Hase/Mowe (2006), S. 95f. Vgl. Laarma (2005), S. 17. Vgl. z.b. Laarma (2005) bzw. Kuow (2006) ud die dort agegebee Theorie. Weiterhi wird i dieser Arbeit icht auf die Zusammehäge Ler- ud Areizeffekte eigegage. Vgl. dazu Kuow (2006).

12 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 9 Bezieht ma Lereffekte eizig auf meschliche Arbeit, ist es offesichtlich, dass Mitarbeiter bei steigede Ausbrigugsmege i der Lage sid, zu lere ud es so zu eier Reduzierug der eigesetzte Arbeitszeit je eier Megeeiheit eier betrachtete Produktart kommt. I der Systematik des hier vorgestellte Grudmodells der Produktiosprogrammplaug ist dieser Effekt für jede Arbeitsplatz k=1(1)k abzubilde. Uter Verwedug der allgemeie Defiitio dieser Lereffekte 16 köe die Lerkurveeffekte bezoge auf de Zeitkoeffiziete t k wie folgt dargestellt werde: t k ( x )= t a k log x 2 ( 1 α k ) (34) mit t k (x ) - Durchschittliche zeitliche Iaspruchahme des k-te Arbeitsplatzes je Megeeiheit der -te Absatzproduktart ach Erreichug der Mege x t a k - Zeitliche Iaspruchahme des k-te Arbeitsplatzes je Megeeiheit der -te Absatzproduktart für die erste produzierte Megeeiheit α k - prozetuales Kostesekugspotetial des k-te Arbeitsplatzes; 0 α k < 0,5. 17 Allgemei wird davo ausgegage, dass ei Zusammehag zwische Lere ud de direkte Arbeitskoste eies Produktes besteht. Hisichtlich dieser Hypothese ist zu utersuche, iwieweit die vo der Mege abhägige Reduzieruge der Zeitkoeffiziete t k tatsächlich zu eier Verrigerug der direkte Arbeitskoste eies betrachtete Produktes führe. Dazu solle mit Gehälter bzw. fixe Zeitlöhe, Akkordlöhe ud direkte Zeitlöhe drei verschiedee Etlohugsarte i die Betrachtuge eibezoge werde. Ei Gehalt bzw. fixer Zeitloh repräsetiert eie defiierte Persoalkapazität, für die ei Mitarbeiter pauschal vergütet wird. 18 Da der Afall fixer Koste ubeeiflusst vo Megeetscheiduge ist, sid diese Koste für die Bestimmug des optimale Produktiosprogramms etscheidugsirrelevat. Damit ka kei Zusammehag zwische Lereffekte ud Kosteafall festgestellt werde. Lereffekte führe allerdigs aufgrud der Reduzierug der Zeitkoeffiziete gemäß Ausdruck (34) zu eier effizietere utzug der Persoalkapazitäte, so dass eie potetielle Ausweitug der Produktiosmege ud damit eie Steigerug des Gesamtdeckugsbeitrags zu verzeiche ist Vgl. Hase/Mowe (2005), S. 96.; Laarma (2005), S. 67. Der Wertebereich ergibt sich umittelbar aus der verwedete Lerfuktio. Multipliziert ma Ausdruck (34) mit der zugehörige Produktiosmege x erhält ma t a log k x 2 ( 1 α ) k = t a 1+log k x 2 ( 1 α ) k. Setzt t a 0 ma das prozetuale Kostesekugspotetial α k auf de Wert 0,5, ergibt sich k. I diesem Fall würde die Beaspruchug der Zeitkapazität eies Arbeitplatzes für jede beliebige produzierte Mege a usiigerweise immer t k etspreche. Bei eiem Wert über 0,5 würde der Expoet 1+ log 2 ( 1 α k ) eie Wert kleier 1 aehme, was bei steigede Produktiosmege x zu eier absolut kleier werdede Kapazitätsbeaspruchug führe würde. Vgl. Laarma (2005), S. 36. Vgl. Kloock/Siebe/Schildbach/Homburg (2005), S.84f.

13 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 10 Ei Akkordloh ist eie leistugsabhägige Etlohugsform ud setzt sich i der Regel aus eiem fixe Grudloh ud eiem leistugsabhägige Akkordzuschlag zusamme. Hisichtlich des fixe Grudlohs sei auf die Ausführuge zu de Gehälter bzw. fixe Zeitlöhe verwiese. Grudsätzlich uterscheidet ma Akkordzuschläge i Geld- ud Zeitakkorde. Bei beide Forme wird die Produktiosmege mit eiem kostate Akkordzuschlag je Megeeiheit eier betrachtete Produktart multipliziert, der sich beim Zeitakkord aus dem Produkt aus eiem Geldfaktor pro Zeiteiheit mit eier Vorgabezeit hadelt, wobei beide Größe getret ausgewiese werde. Fasst ma de Geldfaktor pro Zeiteiheit ud die Vorgabezeit zu eiem Faktor zusamme, hadelt es sich um eie Geldakkord. 19 Der Akkordzuschlag je Megeeiheit ist als Bestadteil der direkte Stückkoste ud damit des Stückdeckugsbeitrages eies Produktes als etscheidugsrelevat für die Bestimmug des optimale Produktiosprogramms azusehe. Damit köe die Stückdeckugsbeiträge wie folgt spezifiziert werde: d = p k K = p k c k ˆ K k=1 = d c k ˆ k=1 t k t k (35) (36) (37) mit p - Absatzpreis der -te Absatzproduktart k - direkte Stückkoste der -te Absatzproduktart k - direkte Stückkoste der -te Absatzproduktart exklusive der direkte Arbeitskoste d - vorläufiger Deckugsbeitrag der -te Absatzproduktart exklusive direkte Arbeitskoste c k - Kostesatz je Zeiteiheit des k-te Arbeitsplatzes t k - Vorgabezeit für de k-te Arbeitsplatz ud der -te Absatzproduktart. Die i de Stückdeckugsbeiträge ethaltee direkte Stückkoste eier Absatzproduktart setze sich aus de direkte Arbeitskoste ud de sostige Stückkoste zusamme, wobei sich die gesamte direkte Arbeitskoste aus de Koste der eizele Arbeitsplätze ergebe. Für jede Arbeitsplatz existiert ei Kostesatz je Zeiteiheit, der mit der Vorgabezeit des betrachtete Produkts zu multipliziere ist. Allerdigs sid für die i de Stückdeckugsbeiträge ethaltee direkte Arbeitskoste kurzfristig keie Zusammehäge zu de Lereffekte zu verzeiche, da eie auf de Lereffekte basierede Reduzierug des Akkordzuschlages egative Areizeffekte bei 19 Vgl. Kloock/Siebe/Schildbach/Homburg (2005), S.85f.

14 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 11 de Mitarbeiter hervorrufe würde ud auch arbeitsrechtlich problematisch erscheit. 20 Aalog zu de Gehälter ud fixe Zeitlöhe führe auch bei Vorliege vo Akkordlöhe die Lereffekte zu eier effizietere utzug der Persoalkapazitäte ud so zu eier Ausweitug der Produktiosmege sowie Steigerug des Gesamtdeckugsbeitrags. Bei eier Etlohug mit direkte Zeitlöhe, werde Mitarbeiter proportioal zur geleistete Arbeitszeit etloht. Damit stelle diese Löhe eie Bestadteil der direkte Koste eier Produktart dar. Die Stückdeckugsbeiträge köe da wie folgt spezifiziert werde: K d = d c k t k (38) k=1 Die i de Stückdeckugsbeiträge ethaltee direkte Arbeitskoste eies Arbeitsplatzes je Megeeiheit setze sich aus dem Kostesatz je Zeiteiheit ud der zeitliche Iaspruchahme zusamme. Da die Zeitkoeffiziete t k gemäß Ausdruck (34) de Lereffekte uterliege, besteht ei direkter Zusammehag zwische de Lereffekte ud dem Afall der direkte Arbeitskoste: K ( ) d = d c k t k x k=1 K = d c k t a k k=1 log x 2 ( 1 α k ) (39) (40) Zusätzlich zu diese Kostesekugseffekte ist wie bei de adere Etlohugsforme eie bessere utzug der Persoalkapazitäte ud de darauf basierede Steigeruge des Gesamtdeckugsbeitrags zu verzeiche. 4.2 ichtliearer Modellasatz I eiem weitere Schritt werde die Lerkurveeffekte mit dem Grudmodell der Produktiosprogrammplaug zusammegefasst. Da im letzte Abschitt gezeigt werde kote, dass Lereffekte i Abhägigkeit der Etlohugsforme uterschiedliche Eifluss auf die Zielfuktio dieses Etscheidugsproblems besitze, solle zwei Modellasätze betrachtet werde. Für Gehälter, fixe Zeitlöhe ud Akkordlöhe wird ei gemeisames Modell ohe Beeiflussug der Zielfuktio durch Lereffekte hergeleitet, dem sich für direkte Zeitlöhe ei Modell mit Beeiflussug der Zielfuktio durch Lereffekte aschließt. 20 Mittel- ud lagfristig müsse jedoch mit eier auf Lereffekte basierede Reduzierug der durchschittliche Zeitkoeffiziete je Megeeiheit eier Produktart die Vorgabezeite ud letztlich die Akkordzuschläge sike. Für diese Zeiträume ist ei Zusammehag zwische Lereffekte ud direkte Arbeitskoste gegebe.

15 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte Modellasatz mit leruabhägige Etlohugsforme Da im Fall fixer Löhe bzw. Gehälter sowie beim Vorliege vo Akkordlöhe keie Zusammehäge zwische de Lereffekte ud de direkte Arbeitskoste bestehe, ka die Zielfuktio des Grudmodells der Produktiosprogrammplaug gemäß Ausdruck (1) beibehalte werde. Isofer ur fixe Löhe bzw. Gehälter vorliege, beihaltet die Zielfuktio keie Arbeitskoste, währed im Fall vo Akkordlöhe die Zielfuktio gemäß Ausdruck (37) azupasse ist. Die Zeitkoeffiziete der eizele Arbeitsplätze gemäß Ausdruck (2) stelle i diesem Modellasatz aufgrud der Lerkurveeffekte Variable dar ud sid gemäß Ausdruck (34) zu ersetze. Das gesamte ichtlieare Modell lautet da wie folgt: GDB = d max! u.d.. t a log k x 2 1 α ( ) k T k ;k =11 ()K a m b m ;m =11 ()M 0 x x ; =11 () (41) (42) (43) (44) Es hadelt sich um ei Etscheidugsmodell mit eier lieare Zielfuktio, K kokave Fuktioe i de ebebediguge gemäß Ausdruck (42) ud weitere lieare ebebediguge, mit dem simulta die Produktiosmege ud die gemäß Ausdruck (34) abzuleitede Zeitkoeffiziete t k optimal bestimmt werde köe. Hisichtlich der ichtlieare Lösugsverfahre sei auf die Literatur verwiese. 21 Gemäß de Ausdrücke (34) ud (42) wird i diesem Modellasatz davo ausgegage, dass bisher och keie Produktio der eizubeziehede Produktarte erfolgte ud damit vor Begi des betrachtete Produktiosprogramms och kei Lere erfolgte. We allerdigs scho eie Produktio der betrachtete Produktarte erfolgte, sid die bisherige Produktiosmege ud somit die bisherige Lereffekte i Ausdruck (34) gemäß t k ( x )= t a k ( x ˆ + x ) log 2( 1 α k ) (45) mit x ˆ - Summe der i frühere Periode produzierte Mege der -te Absatzproduktart 21 Vgl. euma/ Morlock (2002), S. 567ff.

16 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 13 bzw. Ausdruck (42) gemäß t a k ( x ˆ + x ) log ( 2 1 α ) k x T ; k =11 ()K (46) eizubeziehe. Diese Zusammehäge gelte auch für alle weitere Modellasätze ud werde daher im Folgede icht weiter problematisiert Modellasatz mit lerabhägige Etlohugsforme Liegt eie Etlohug mit direkte Zeitlöhe vor, uterliege die direkte Arbeitskoste dem Eifluss der Lereffekte. Da die Zeitkoeffiziete der eizele Arbeitsplätze ud damit die direkte Koste aufgrud der Lerkurveeffekte u Variable darstelle, ist die Zielfuktio des Grudmodells uter Eibeziehug vo Ausdruck (40) etspreched azupasse: K GDB = d c k t k ( x ) (47) k=1 Das gesamte ichtlieare Modell lautet da wie folgt: 22 GDB = d c k t a k u.d.. K k=1 log x 2 ( 1 α ) k max! t a log k x 2 1 α ( ) k T k ;k =11 a m b m ;m =11 ()K ()M 0 x x ; =11 () (48) (49) (50) (51) Dieses Etscheidugsmodell besitzt aufgrud der vo de Lereffekte abhägige Gesamtzeitbedarfe r k ( x )= t k x = t a k ( ) (52) log x 2 ( 1 α ) k (53) mit r k (x ) - gesamte zeitliche Beaspruchug des k-te Arbeitsplatzes durch das -te Absatzprodukt 22 Vgl. zu ähliche Modellasätze: Liao (1979), S.119; Laarma (2005), S. 68f.; Werkmeister (2000), S. 171ff.

17 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 14 eie kovexe Zielfuktio, K kokave Fuktioe i de ebebediguge gemäß Ausdruck (49) ud weitere lieare ebebediguge. Zur Lösug dieses Modells köe etsprechede ichtlieare Asätze geutzt werde. 23 Mit diesem Modell köe simulta die Produktiosmege, die gemäß Ausdruck (34) abzuleitede Zeitkoeffiziete t k sowie die direkte Arbeitskoste der eizele Produkte mit K c k t a * k x log 2 1 α k ( ) (54) k=1 optimal bestimmt werde. 4.3 Liearer Modellasatz Beide vorgestellte Asätze der Eibeziehug vo Lereffekte i das Grudmodell der Produktiosprogrammplaug ist gemei, dass Sie aufgrud lerabhägige Zeitkoeffiziete t k ( ) x isgesamt K kokave ebebediguge ud im Fall der lerabhägige Etlohuge eie kovexe Zielfuktio besitze. Für reale Aweduge erscheie diese Modelle i ihrer umerische Lösbarkeit problematisch, so dass im Folgede Asätze erarbeitet werde, die ichtlieare Zusammehäge auf der Basis stückweiser liearer Fuktioe äherugsweise abzubilde Modellasatz mit leruabhägige Etlohugsforme Die ichtliearität im Modellasatz mit leruabhägige Etlohugsforme besteht gemäß Ausdruck (42) i de lerabhägige Beaspruchuge der Zeitkapazitäte der K Arbeitsplätze. Die gesamte Beaspruchug der Zeitkapazitäte eies Arbeitsplatzes r k ist eie Variable, die gemäß Ausdruck (52) vo de Produktiosmege sowie de Zeitkoeffiziete abhägig ist. Der Verlauf dieser Fuktio ist aufgrud der Lerkurveeffekte kokav. Die Liearisierug dieser Fuktio soll auf der Basis stückweiser liearer Fuktioe erfolge. Dazu wird wiederum der Wertebereich der Produktiosmege x i Itervalle aufgeteilt ud etsprechede Utermege x i eigeführt. Jedes der Itervalle besitzt eie spezifische Astieg: t ki = r k i i=1 x j i 1 r k x j i=1 ; x 0 = 0, =11 (), k =11 ()K, i =11 ()I () (55) x i ( ) x 23 Vgl. euma/ Morlock (2002), S. 567ff.

18 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 15 Die gesamte zeitliche Beaspruchug des k-te Arbeitsplatzes durch die eizubeziehede Produktarte gemäß Ausdruck (42) lasse sich da wie folgt äherugsweise darstelle: I() t ki i T k ;k = 11 i=1 I() x = x i ; = 11 i=1 ()K () () 0 x i x i ; = 11 (), i = 11 ()I (56) (57) (58) Da i de eue ebebediguge gemäß Ausdruck (56) der Astieg t ki eies achfolgede Liearisierugsitervalls geriger als der des vorherige Itervalls ist, köte der Fall x i > 0, x i 1 = 0 eitrete. Es ist daher für die Itervallutermege eie Reihefolgebedigug eizuführe. 24 Eie Mege x i soll ur da eie Wert größer ull aehme, we die vorherige Utermege x i-1 ihre Maximalwert ageomme hat. Dazu werde Boolesche Realisatiosvariable y i eigeführt, die der Kodierug der Reihefolgebedigug diee: x i y i i ; = 11 (), i = 11 ()I ( ) 1 (59) x i y i 1 i ; = 11 (), i = 21 ()I (60) () y i { 0,1} ; = 11 (), i = 11 ()I () (61) Das gesamte lieare Modell zur Produktiosprogrammplaug uter Eibeziehug vo Lerkurveeffekte lautet zusammefassed wie folgt: 24 Vgl. Hillier/Lieberma (2005), S. 585.

19 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 16 GDB = u.d.. I() d max! t ki i T k ;k =11 i=1 I() x = x i ; =11 i=1 ()K () x i y i i ; =11 (), i =11 ()I () 1 x i y i 1 i ; =11 (), i = 21 ()I a m b m ;m =11 ()M 0 x x ; =11 () 0 x i x i ; =11 (), i =11 ()I y i { 0,1} ; =11 (), i =11 ()I () () () (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) Wie scho bei dem ichtlieare Modellasatz diskutiert, beihaltet die Zielfuktio im Fall fixer Löhe bzw. Gehälter keie Arbeitskoste, währed bei Vorliege vo Akkordlöhe die Zielfuktio gemäß Ausdruck (37) azupasse ist. Mit diesem Modell köe die Produktiosmege ud die Zeitbedarfskoeffiziete der Absatzproduktarte simulta deckugsbeitragsmaximiered bestimmt werde, wobei zur Lösug dieses Modells aufgrud der stückweise Liearisierug der kokave ebebediguge die bekate Algorithme der gazzahlige lieare Optimierug geutzt werde köe. 25 x * Die optimale Produktiosmege köe umittelbar der Lösug des Modells etomme ud die daraus ableitbare Zeitbedarfskoeffiziete mit * t k I() * * t ki i / x i=1 (71) bestimmt werde Modellasatz mit lerabhägige Etlohugsforme Da die Eibeziehug lerabhägiger Etlohugsforme eie spezifische Eifluss auf die Zielfuktio besitzt, ist diese etspreched azupasse, wobei die i der bisherige 25 Vgl. Suhl/Mellouli (2006), S. 42ff.; Vaderbei (2008).

20 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 17 Zielfuktio gemäß Ausdruck (48) beihaltete lerabhägige Beaspruchuge der Kapazität der eizubeziehede Arbeitsplätze r k ( x )= t a log k x 2 ( 1 α ) k ahad der scho dargestellte Liearisieruge approximativ zu ersetze sid. Da sich der Modellasatz mit lerabhägige Etlohugsforme vo dem bisher erörterte Modellasatz mit leruabhägige Etlohugsforme lediglich durch die Zielfuktio uterscheidet, köe alle weitere Formulieruge des Modellasatzes mit leruabhägige Etlohugsforme überomme werde. Das gesamte lieare Modell zur Produktiosprogrammplaug uter Eibeziehug vo Lerkurveeffekte lautet zusammefassed wie folgt: K I() GDB = d c k t ki i max! k=1 i=1 u.d.. I() t ki i T k ;k =11 i=1 I() x = x i i=1 ; =11 ()K () x i y i i ; =11 (), i =11 ()I () 1 x i y i 1 i ; =11 (), i = 21 ()I a m b m ;m =11 ()M 0 x x ; =11 () 0 x i x i ; =11 (), i =11 ()I y i { 0,1} ; =11 (), i =11 ()I () () () (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) Dieses lieare Modell diet der simultae Bestimmug der optimale Produktiosmege der Absatzproduktarte, der daraus ableitbare Zeitbedarfskoeffiziete ud der direkte Stückarbeitskoste, wobei zur Lösug dieses Modells wiederum die bekate Algorithme der gazzahlige lieare Optimierug geutzt werde köe. Die optimale Produktiosmege köe umittelbar der Lösug dieses Problems etomme werde, währed die Zeitbedarfskoeffiziete gemäß Ausdruck (71) ud die direkte Arbeitkoste je Megeeiheit eier Produktart mit c k * t k ermittelt werde köe.

21 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 18 5 Produktiosprogrammplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz- Fuktioe ud Lerkurveeffekte Im letzte Abschitt dieser Arbeit werde die bisher dargestellte Erweiteruge des Grudmodells der Produktiosprogrammplaug zusammegefasst. Damit wird es mit diese Modelle möglich sei, ebe der Bestimmug der optimale Produktiosmege auch de Preis eies Absatzproduktes gemäß de eizubeziehede Preis-Absatz- Fuktioe, die Zeitbedarfskoeffiziete gemäß de Lerkurveeffekte sowie bei Vorliege lerabhägiger Etlohugsforme die direkte Arbeitskoste optimal zu bestimme. 5.1 ichtliearer Modellasatz I diesem Abschitt solle die Preis-Absatz-Fuktio gemäß Ausdruck (13) bzw. die daraus resultierede Zielfuktio sowie die Lerkurveeffekte gemäß Ausdruck (34) bzw. die etspreched azupassede Kapazitätsbeaspruchuge der eizele Arbeitsplätze i die Bestimmug des optimale Produktiosprogramms eibezoge werde, so dass vorerst ichtlieare Modellasätze vorliege. Dabei ist wiederum hisichtlich der Erfolgswirksamkeit der Lereffekte i Modelle mit leruabhägige ud lerabhägige Etlohugsforme zu uterscheide Modellasatz mit leruabhägige Etlohugsforme Geht ma i eiem erste Schritt vo leruabhägige Etlohugsforme aus, ka zur simultae Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte die um die Preis-Absatz-Fuktio modifizierte Zielfuktio der Produktiosprogrammplaug gemäß Ausdruck (15) verwedet werde. Zusätzlich sid die vo de Lerkurveeffekte beeiflusste Kapazitätsbeaspruchuge der K Arbeitsplätze gemäß Ausdruck (42) eizubeziehe. Das gesamte Modell der Produktiosprogrammplaug uter Eibeziehug vo Preis- Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte bei leruabhägige Etlohugsforme ka wie folgt formuliert werde: GDB = ( p r ) k max! u.d.. t log k x 2 1 α ( ) k T k ;k =11 ()K a m b m ;m =11 ()M 0 x x ; =11 () (81) (82) (83) (84)

22 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 19 Es hadelt sich um ei Etscheidugsmodell mit eier ichtlieare Zielfuktio, K kokave Fuktioe i de ebebediguge gemäß Ausdruck (82) ud weitere lieare ebebediguge. Mit diesem Modell ist es möglich, ebe der optimale Bestimmug der Produktiosmege simulta de optimale Preis eies Absatzproduktes sowie die vo der Produktiosmege abhägige Zeitkoeffiziete pro Absatzproduktart ud Arbeitsplatz zu bestimme Modellasatz mit lerabhägige Etlohugsforme Möchte ma das im letzte Abschitt erarbeitete Modell um lerabhägige Etlohugsforme erweiter, sid die Stückkoste der bisherige Zielfuktio um die lerabhägige Etlohugseffekte gemäß Ausdruck (41) zu erweiter. Damit beihaltet die Zielfuktio im erste Term die gesamte, vo de zu bestimmte Produktiosmege ud de Preis- Absatz-Fuktioe abhägige Erlöse, vo dee die gesamte variable Koste abzuziehe sid. Diese bestehe im dritte Term der Zielfuktio aus de lerabhägige Arbeitskoste sowie im zweite Term aus de sostige variable Koste. Alle weitere Bestadteile dieses Modells sid idetisch zu dem im letzte Abschitt vorgestellte Modellasatz mit leruabhägige Etlohugsforme. Das gesamte Modell der Produktiosprogrammplaug uter Eibeziehug vo Preis- Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte bei lerabhägige Etlohugsforme lautet wie folgt: GDB = ( p r ) k c k t a log k x 2 ( 1 α ) k max! k=1 u.d.. t a log k x 2 1 α ( ) k T k ;k =11 a m b m ;m =11 K ()K ()M (85) (86) (87) 0 x x ; =11 () (88) Auch mit diesem Modell ist es möglich, ebe der optimale Bestimmug der Produktiosmege de optimale Preis eies Absatzproduktes sowie die vo der Produktiosmege abhägige Zeitkoeffiziete pro Absatzproduktart ud Arbeitsplatz simulta zu bestimme. Zusätzlich köe die vo de Lerkurveeffekte abhägige direkte Arbeitskoste je Megeeiheit eier Absatzproduktart gemäß Ausdruck (54) ermittelt werde.

23 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte Liearer Modellasatz Beide ichtlieare Modellasätze beziehe i die Etscheidug der optimale Produktiosmege Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte ei ud stelle somit eie erhebliche Erweiterug der bisherige Betrachtuge der Produktiosprogrammplaug dar. Allerdigs erscheit für derartige ichtlieare Modelle die umerische Lösbarkeit für reale Probleme problematisch, so dass beide Modellasätze ahad der beschriebee Liearisieruge i lieare Modellformulieruge überführt werde solle Modellasatz mit leruabhägige Etlohugsforme Für diese Modellasatz besteht die ichtliearität eierseits i de kokave Erlösfuktioe der eizele Absatzproduktarte sowie i de vo de Lerkurveeffekte beeiflusste Kapazitätsbeaspruchuge der eizele Arbeitsplätze. Für beide ichtlieare Modellstrukture wurde i dieser Arbeit Liearisierugsasätze mittels stückweiser liearer Fuktioe vorgeschlage, die i diese Modellasatz eifließe solle. Ersetzt ma die Erlösfuktioe i Ausdruck (81) durch die Ausdrücke (25) bis (27) sowie die lerabhägige Kapazitätsbeaspruchuge i Ausdruck (82) durch die Ausdrücke (56) bis (58) eischließlich der Reihefolgebediguge für die etsprechede Utermege gemäß de Ausdrücke (59) bis (61), ka ma das Modell der Bestimmug der optimale Produktiosmege uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte bei Vorliege vo leruabhägige Etlohugsfuktioe wie folgt formuliere: GDB = I() e i i k i=1 max! u.d.. I() t ki i T k ;k =11 i=1 I() x = x i i=1 ; =11 ()K () x i y i i ; =11 (), i =11 ()I () 1 x i y i 1 i ; =11 (), i = 21 ()I a m b m ;m =11 ()M 0 x x ; =11 () 0 x i x i ; =11 (), i =11 ()I y i { 0,1} ; =11 (), i =11 ()I () () () (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97)

24 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 21 Es hadelt sich aufgrud der vorgeommee Liearisieruge um ei lieares Etscheidugsmodell, so dass zur simultae Bestimmug der optimale Produktiosmege, der optimale Preise der Absatzprodukte sowie de optimale, vo der Produktiosmege abhägige, Zeitkoeffiziete pro Absatzproduktart ud Arbeitsplatz die gägige Verfahre der gazzahlige lieare Optimierug geutzt werde köe Modellasatz mit lerabhägige Etlohugsforme Wie hisichtlich des ichtlieare Asatzes beschriebe, beihaltet die Zielfuktio des erweiterte Modells der Produktiosprogrammplaug bei lerabhägige Etlohugsforme ebe de Preis-Absatz-Fuktioe auch die lerabhägige Arbeitskoste als ichtlieare Modellbestadteile. Alle weitere Bestadteile dieses Modells sid idetisch zu dem Modellasatz mit leruabhägige Etlohugsforme. Da die lerabhägige Arbeitskoste, wie i Ausdruck (85) ersichtlich, sich letztlich aus der Multiplikatio der zeitliche Iaspruchahme der Arbeitsplätze mit kostate Kostesätze je Zeiteiheit ergebe, sid zur Liearisierug der lerabhägige Arbeitskoste lediglich die scho verwedete stückweise Liearisieruge der lerabhägige Kapazitätsbeaspruchuge zu verwede. Das Modell zur Bestimmug der optimale Produktiosmege uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte bei Vorliege vo lerabhägige Etlohugsfuktioe ka da wie folgt formuliert werde: I() GDB = e i i k c k t ki i max! i=1 K I( ) k=1 i=1 u.d.. I() t ki i T k ;k =11 i=1 I() x = x i i=1 ; =11 ()K () x i y i i ; =11 (), i =11 ()I () 1 x i y i 1 i ; =11 (), i = 21 ()I a m b m ;m =11 ()M 0 x x ; =11 () 0 x i x i ; =11 (), i =11 ()I y i { 0,1} ; =11 (), i =11 ()I () () () (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) Mit diesem lieare Modell köe die optimale Produktiosmege der Absatzproduktarte, die daraus ableitbare Zeitbedarfskoeffiziete, die direkte Stückarbeitskoste so-

25 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 22 wie die optimale Absatzpreise der eizele Produktarte simulta bestimmt werde, wobei zur Lösug dieses Modells wiederum die bekate Algorithme der gazzahlige lieare Optimierug geutzt werde köe. 6 Zusammefassug ud Ausblick Ei grudsätzliches Problem operativer ud taktischer Etscheiduge besteht i der oft verwedete Aahme liearer Koste- ud Erlösverläufe, obwohl vielfach mit Preis- Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte ichtlieare Zusammehäge zwische Stückerlöse bzw. Stückkoste ud de Absatz- bzw. Produktiosmege vorliege. Da im Rahme der Formulierug dieser Etscheidugsmodelle auf Pladate der itere Uterehmesrechug zurückgegriffe wird, basiert diese Eischräkug vor allem auf de Prämisse der etsprechede Koste- ud Erlösrechugssysteme. Weiterhi ist für etsprechede ichtlieare Modellformulieruge zu kostatiere, dass für größere Probleme die umerische Lösbarkeit problematisch ist. Das erste Ziel dieser Arbeit bestad i der Erarbeitug vo Asätze zur Eibeziehug derartiger ichtliearer Zusammehäge i betriebswirtschaftliche Etscheidugsprobleme, wobei exemplarisch mit der Bestimmug des optimale Produktiosprogramms eies der klassische Probleme der operative bzw. taktische Plaug utersucht wurde. Das Grudmodell der Produktiosprogrammplaug wurde sukzessive um die Preis-Absatz- Fuktioe ud die Lerkurveeffekte erweitert ud i eiem weitere Schritt i eiem abschließede Modell zusammegefasst. Um die Lösbarkeit der daraus resultierede ichtlieare Modelle für größere Probleme sicherzustelle, bestad das zweite Ziel dieser Arbeit i der Erarbeitug kokreter Liearisierugsasätze auf der Basis stückweiser liearer Fuktioe, mit dee diese ichtlieare Modelle i gazzahlige lieare Optimierugsmodelle überführt werde köe. Da mit diese Modellasätze ebe de optimale Produktiosmege, auch die optimale Absatzpreise der betrachtete Produktarte, die vo de Produktiosmege abhägige Zeitbedarfskoeffiziete sowie die im Fall lerabhägiger Etlohugsforme beeiflusste direkte Arbeitskoste simulta bestimmt werde köe, stelle diese Modellasätze erhebliche Erweiterug der bisherige Betrachtuge der Produktiosprogrammplaug dar. Zusätzlich zu dieser Erweiterug der Etscheidugsbasis köe zur Lösug dieser Modelle aufgrud der stückweise Liearisieruge der geate ichtlieare Zusammehäge die stadardmäßige gazzahlige lieare Optimierugsalgorithme geutzt werde, so dass die Lösbarkeit derartiger Probleme auch bei große Modelldimesioe mit der verfügbare Software gegebe sei sollte. Weiterhi köe die i diese Modelle verwedete Koste- ud Erlösiformatioe mit der Grezkoste- ud -erlösrechug i age-

26 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 23 passter Form geplat werde, so dass zur Behadlug derartiger Probleme keie zusätzliche Plarechugssysteme otwedig sid. Diese Modellasätze köe im Rahme zuküftiger Arbeite erweitert werde. So stellt die Eibeziehug vo Areizsysteme zur Verbesserug vo Lereffekte ei sehr iteressates Gebiet dar, wobei erste - icht auf die Produktiosprogrammplaug bezogee - Asätze auf der Basis der Priciple-Aget-Theory existiere 26. Eie weitere iteressate Erweiterug köte i der Verwedug variabler Persoalkapazitäte bestehe, i dem i die bisherige Modellasätze die Persoalkapazitäte als variable Größe eibezoge werde. Diese köte durch die Azahl der eizubeziehede Mitarbeiter, die Gestaltug des Eisatzes dieser Mitarbeiter i Form vo bezahlter Mehrarbeit, flexibel eisetzbare Arbeitsgruppe oder Schichte defiiert werde. Weiterhi erscheit es sivoll, die Produktiosprogrammplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte mehrperiodig zu betrachte ud mit eier Ivestitiosprogrammplaug zu kombiiere. 26 Vgl. Kuow (2006).

27 Produktiosplaug uter Eibeziehug vo Preis-Absatz-Fuktioe ud Lerkurveeffekte 24 Literatur: Ewert, R./Wagehofer, A.: Itere Uterehmesrechug, 6. Aufl., Spriger, Berli u.a., Hase, D. R./Mowe, M. M.: Cost Maagemet, 5th ed. Thomso South-West Hillier F. S./Lieberma, G. J.: Itroductio to Operatios Research, 8th ed., Mcgraw-Hill Higher Educatio Kloock, J./Siebe, G./Schildbach, Th./Homburg, C.: Koste- ud Leistugsrechug, 9. Aufl., Lucius & Lucius, Stuttgart Kuow, A.: Areizsteuerug uter Berücksichtigug vo Lerkurveeffekte, Gabler, Wiesbade Küpper, H.-U.: Cotrollig, 4. Auflage, Schäffer-Poeschel, Stuttgart Laarma, A.: Lereffekte i der Produktio, Gabler, Wiesbade Liao, W. M.: Effects of learig o resource allocatio decisios, i: Decisio Scieces, Vol 10, 1979, S Meffert, H./Burma, Ch./Kirchgeorg, M.: Marketig Grudlage marktorietierter Uterehmesführug, 10. Aufl., Gabler, Wiesbade euma, K./Morlock, M.: Operatios Research, 2. Aufl., Haser, Müche-Wie, Pepels, W.: Marketig, 4. Aufl., Oldebourg, Müche-Wie, Rogge, R./Steglich, M.: Betriebswirtschaftliche Etscheidugsmodelle zur Verfahreswahl sowie Auflage- ud Lagerpolitike, i: Diskussiosbeiträge zu Wirtschaftsiformatik ud Operatios Research 10/2007, Marti-Luther-Uiversität Halle- Witteberg Suhl, L./ Mellouli, T.: Optimierugssysteme, Spriger, Berli u.a Vaderbei, R.J.: Liear Programmig Foudatios ad Extesios, 3rd ed., Spriger Werkmeister, C.: Periodebezogee Produktiosprogrammplaug bei betriebliche Lere, i: ZfB 70(2000)2, S Zetes, J.: Marketig, i: Vahles Kompedium der Betriebswirtschaftslehre, Bad 1, Hrsg. vo Bitz u.a., 5. Aufl., Vahle, Müche 2005.

28 WIRTSCHAFTSWISSESCHAFTLICHE DISKUSSIOSBEITRÄGE MARTI-LUTHER-UIVERSITÄT HALLE-WITTEBERG r.1 r.2 r.3 r.4 r.5 r.6 r.7 r.8 r.9 r.10 r.11 r.12 r.13 r.14 r.15 r.16 r.17 r.18 r.19 r.20 r.21 r.22 R.K. vo Weizsäcker Staatsverschuldug ud Demokratie. April 1992 M. Becker Theoretische ud ideegeschichtliche Asätze zur Begrüdug der Persoalwirtschaftslehre als betriebswirtschaftliche (Teil)Diszipli. Februar 1995 M. erlove/a. Razi/E. Sadka/R.K vo Weizsäcker Comprehesive Icome Taxatio, Ivestmets i Huma ad Physical Capital, ad Productivity. Mai 1992 R.K. vo Weizsäcker Bildug ud Theorie der Lebeseikommesverteilug. Mai 1992 V. Meier Log-Ru Migratio Icetives ad Migratio Effects: The Case of Differet Fertility Rates. Jui 1993 R.K. vo Weizsäcker Public Pesio Reform, Demographics, ad Iequality. Dezember 1993 G. Steima Zusammehag zwische Alterugsprozeß ud Eiwaderug. Dezember 1993 G. Schmitt-Rik Optimal Rates of Migratio or The Goldeest Golde Rule of Ecoomic Growth. Dezember 1993 V. Meier O the Demad for Log-Term Care Isurace. Juli 1994 V. Meier Altruism ad the Demad for Log-Term Care Isurace. Juli 1994 M. Becker Wertede oder werturteilsfreie Betriebswirtschaftslehre? Aktuelle Amerkuge zu eier alte Streitfrage. September 1994 B. Wigger Huma Capital ad Iteratioal Patters of Ecoomic Growth. Oktober 1994 B. Wigger Bevölkerugswadel, Alterssicherug ud idividuelle Wohlfahrt. Dezember 1994 A. Brüggema/M. Klei Privatizatio ad Foreig Direct Ivestmet i Trasitio Ecoomies. Februar 1995 V. Meier Log-Term Care Isurace ad Moral Hazard. Februar 1995 V. Meier Coflicts o Care for the Elderly, Log-term Care Isurace, ad Bequests. Mai 1995 U. Eiteljörge Das Abkomme über de iteratioale Hadel mit Diestleistuge Eie erste Bewertug. Jui 1995 U. Eiteljörge/M. Klei Size, Flexibility ad Power i a Itegrated World Ecoomy. August 1995 A. Brüggema/M. Klei Ist die Treuhad ei Modell für die Trasformatiosläder? Eiige skeptische Amerkuge. Jauar 1996 M. Klei WTO, IMF, IBRD usw.: Koordiatiosprobleme zwische iteratioale Wirtschaftsorgaisatioe. Dezember 1995 V. Meier Log-Term Care Isurace ad Savigs. Februar 1996 U. Eiteljörge/M. Klei Trade i Kow-how, Direct Ivestmet ad Welfare: The Duopoly Case. Mai 1996

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30 r. 17 r. 18 r. 19 r. 20 r. 21 r. 22 r. 23 r. 24 r. 25 r. 26 r. 27 r. 28 r. 29 r. 31 r. 32 r. 33 r. 34 r. 35 r. 36 r. 37 r. 38 M. Becker Uterehmesformatio ud Persoaletwicklug. Oktober 1997 D. Gramlich Modellgestützte Aalyse bakbetrieblicher Cross Risks - Ei Beitrag zur Theorie des Risikoverbudes bei Fiazmärkte. ovember 1997 B. Siebehüer/R. Ates/H.-U. Zabel Prevetio Through Process Policy ad Product Policy - A Study of Europea ad Germa Evirometal Policy. Dezember 1997 S. Tamm Rakig Joit Stock Compaies: A Aalysis of Differet Multi-criteria Methods. Dezember 1997 R.M. Ebelig/H. Kuschel Auswirkuge der dritte Stufe der Europäische Währugsuio auf die Währugsumrechug im Kozerabschluß. März 1998 M. Becker/G. Rother Kompetezetwicklug. April 1998 M. Becker Flow statt Frust. Mai 1998 M. Becker Gruppearbeit - Theoretische Grudlage ud Evaluierug a ausgewählte Praxisbeispiele. Mai 1998 A. Sapusek Fudametal Performace of Iitial Public Offerigs: Empirical Evidece from Germay. Jui 1998 P. Schweri/G. Wäscher A ew Lower Boud for the Bi-Packig Problem ad its Itegratio ito MTP. August 1998 F. Scheider Bakbetriebliches Preismaagemet Ergebisse eier Umfrage bei Filial- ud Direktbake. August 1998 R.M. Ebelig/K.F. Bauma Kosolidierug mehrstufiger Kozere ach der Methode der Itegrierte Kosolidierugstechik. Jauar 1999 H. Foerster/G. Wäscher Patter Reductio i Oe-dimesioal Cuttig Stock Problems. April 1999 H.-U. Zabel Verhaltesmodell eier Ökologische Ökoomik. Dezember 1999 S. Dierkes Erlöscotrollig im Moopol ud Oligopol. Dezember 1999 K. Reger Effektivzisberechug ach de eue EU-Regeluge. Dezember Ehretreich/R. Schmidt The Germa Corporate Goverace System with Special Respect to Iovatio. Dezember 1999 S. Dierkes/S. Harath Ermittlug ud Etscheidugsrelevaz kalkulatorischer Ziskoste für das Alagevermöge bei utzugsabhägigem Verschleiß ei ivestiostheoretischer Lösugsasatz. Dezember 1999 R. Schmidt Cross-Border Mergers ad Corporate Goverace A Empirical Aalysis from 1988 to Dezember 1999 A. Sapusek Comovemet ad Divergece of Europea Growth Markets: The Case of EURO.M Markets. Dezember 1999 D. Möhlebruch/B. Claus/.U.-M. Schmieder Corporate Idetity, Corporate Image ud Itegrierte Kommuikatio als Problembereiche des Marketig. Juli 2000