Günstige Voraussetzung für eine erfolgreiche Berechnung des Oberflächenintegrals ist eine Parameterdarstellung der Fläche.

Transkript

1 Obeflächetegal Güstge Voassetzg fü ee efolgeche Beechg des Obeflächetegals st ee Paametedastellg de Fläche Paametedastellg ee Fläche Vostellg: E ebees Flächestück wd stetg z eem Flächestück m Ram efomt abe geht de Pkt übe de Flächepkt ; ; z mt dem z as heßt de Pkt af de Fläche bestzt ämlche Otsekto [ ] Koodate wd abe übe de Paamete gewssemaße adesset e Abbldg mt de Kompoete z z heßt Paametedastellg o e bede abhägge Veädelche d heße Paamete Paametebeech st Hält ma de Paametedastellg des Otsektos [ z ] ee de Paamete kostat wede de Paametele d af de Obefläche dagestellt N lasse sch etlag de Paametele de Tageteektoe dch ffeezee patelle Abletge bestmme Hempel Mathematsche Gdlage Obeflächetegal - 6 -

2 sd damt de Tageteektoe a de Paametele d m Pkt Bede Vektoe spae ee Tagetalebee a m Pkt af - oasgesetzt se sd lea abhägg as Kezpodkt steht sekecht af bede Tageteektoe also sekecht af de Tagetalebee e etspechede Ehetsekto dese Rchtg heßt Flächeomale m Pkt Flächehalt ee gekümmte Fläche e Ihalt ee gekümmte Fläche wd 3 chtte beechet: Zelegg de Fläche Elemete Appomato de Elemete dch klee Paallelogamme mmato d Gezübegag Hez wd de ebe dagestellte Paametedastellg de Fläche beötgt chtt: Zelegg Elemete e dch z z gegebee Fläche wd we obe z sehe dch de Paametele Flächeelemete zelegt chtt: Appomato as o de e Paametele egeschlossee Flächeelemet wd dch e Paallelogamm de Tagetalebee geähet as Paallelogamm wd dch de Vektoe d gebldet e Flächehalt des Paallelogamms ehält ma as dem Kezpodkt: Hempel Mathematsche Gdlage Obeflächetegal - 7 -

3 Hempel Mathematsche Gdlage Obeflächetegal chtt: mmebldg d Gezübegag Wd de Fläche de Elemete zelegt egbt sch als Appomato fü de Flächehalt Be städge Vefeeg de Flächeelemete ehält ma de geae Wet des Flächehalts: lm amt egbt sch de geschte Flächehalt de gekümmte Obefläche z Bespel: Z bestmme st de Obefläche ees hpebolsche Paabolods z de o eem Zlde asgeschtte wd We obe agegebe übefüht ma de astellg de güstg z beabetede Paametefom: Mt d egbt sch [ ] mt Ute Vewedg de obe abgeletete Fomel fü de Obefläche: dd mt dem Paametebeech egebe sch [ ] [ ] [ ] ; ; 8 Fü de geschte Obefläche egbt sch 8 dd E Übegag z Polakoodate ewest sch als soll dd

4 cosϕ ; s ϕ ; ϕ π π π 8 8 ddϕ 3 π Obeflächetegal ee skalae Fkto Nebe de Beechg des Flächehalts tels echt komplzet gefomte Obefläche lässt sch de Fomalsms des Obeflächetegals ach z Lösg adee Afgabestellge tze Bespele dafü: - Masse ee gekümmte Fole mt homogee chte - Obeflächeladg ees Köpes - Momet d chwepkt ees gewölbte Blechs - Flüssgketsstom ode Wämestom dch gekümmte Obefläche az wd af de Obefläche ee Beleggsfkto f defet ese odet jedem Flächepkt ee Wet zb de chte z Ee kostate Beleggsfkto f cost c füht z dem Talegebs de Gesamtbelegg de Obefläche c Ist jedoch f aabel so emttelt ma de Gesamtbelegg mttels Itegato: chtt: Zelegg Elemete We beets be de Beechg o Flächehalte mttels Obeflächetegal gezegt wd de Obefläche Elemete zelegt chtt: Appomato e Beleggsfkto wd ähegswese fü jede Telfläche kostat ageomme Fü jede Telfläche am Pkt z wd f f z ageomme as egbt de Nähegswet f fü de Belegg des Elemets d als Appomato de Gesamtbelegg M de mme M f f f 3 chtt: mmebldg d Gezübegag Vescht ma sch dem geae Wet z ähe glt es de Flächeelemete gege Nll gehe z lasse bzw amt ka de Beleggsfkto da tatsächlch als kostat jedem Flächeelemet ageomme wede e Gesamtbelegg ehält ma z M lm f f e echte ete etspcht de bekate Fomleg des Itegals: fd Hempel Mathematsche Gdlage Obeflächetegal - 9 -

5 also st M fd e paktsche Beechg deses Flächetegals efodet ee geegete astellg o Beechg Voasgesetzt de Fläche st Paametedastellg we obe gezegt gegebe so efolgt de Beechg dch Zelegg de Fläche dch das obe beets dagestellte Netz o Paametele We ach obe scho gezegt glt: amt egbt sch fü de Gesamtbelegg M dd f z wobe de Paametebeech st Zsammegefasst: e Gesamtbelegg de Obefläche egbt sch as de Itegato o te d dd estade wd Itegatosbeech st dabe de Paametebeech de Paamete d dm f d wobe Bespel: Ist ee Fläche mt Masse ee bekate Vetelg ρ dm ρ d belegt so glt e Gesamtmasse läßt sch beeche: m ρ d I gleche Wese läßt sch zb de Gesamtladg ee geladee Fläche be bekate Vetelg emttel Z Asfühg de Beechg empfehlt es sch das obe gezegte chema z tze: - Paametedastellg - Abletg d Flächeomale beeche - Itegatosgeze festlege - Itegato asfühe Hempel Mathematsche Gdlage Obeflächetegal - -

6 chaakte- Flß dch ee Fläche W wolle de betachtete Fläche we scho bshe dch de Nomaleekto see E solche Nomaleekto sollte jedem Pkt de Fläche defet se Wd dese Fläche o eem Vektofeld zb ee tömg mt bekate Geschwdgketsetelg dchsetzt lässt sch a jedem Pkt de Obefläche das kalapodkt as Geschwdgketsekto d Nomaleekto bestmme: amt ehält ma ee af de gesamte Fläche defete skalae Fkto as Flächetegal dese Fkto d wd als Flss ode Vektoflss o dch bezechet Im Bespel see statoäe tömg stellt das Itegal das po Zetehet de Fläche dchstömede Flüssgketsolme da as st lecht achzollzehe das kalapodkt lässt sch als Höhe ees Qades estehe d als desse Gdfläche as Volme hat also ee meso [Fläche Geschwdgket] was be ee statoäe tömg glechzetg [Volme / Zet] st Beechg Z Beechg des Flsses wähle w wede de Paametedastellg des Otsektos d damt de Fläche ; ; z z ese Paametedastellg sollte so gewählt se daß a alle telle de Fläche glt e Ehetsekto egbt sch da z z Ud de geschte Flß des Vektofeldes dch de Fläche st d dd [ ] dd Hempel Mathematsche Gdlage Obeflächetegal - -

7 dabe bezechet [ ] das patpodkt des Vektos d de Tageteektoe odefall e Gaph z h hat de Paametedastellg [ h ] amt egbt sch fü de Flss des Feldes dch de Fläche Rchtg de poste z-achse: d [ ] det h dd h 3 h dd h dd 3 Bespel e Flss des Feldes [ 3 ] dch das ebee Rechteck 3 z 6 m Beech 5; 3 betägt Rchtg de poste z-achse dd Hempel Mathematsche Gdlage Obeflächetegal - -