Formelsammlung Mathematik - Integralrechnung Seite 1 Stand: 26. März 1999
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- Jacob Burgstaller
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1 & + Forelsalug Matheatik - Itegralrechug Seite Stad: 6. Mär 999 Gruditegrale () d () si d cos (5) () (3) (4) d (9) cos d () ür (5) e c (6) a (7) cos d l d c ec a d la () () si (3) cosh d ta (6) d cot (7) arcsi d arccos cosh sih () (9) arcta d arccot d sih d si (4) sih d cosh d tah d coth d d d arsih l arcosh l artah l arcoth l () Itegralor () (3) ' (4) (5) (6) Speielle Sustitutioe Sustitutio " # a d $ a ( ( - ) ) + - ' d. - - d. - l a d. asi oder. a cos 3 - a d. acosh - a d. asih u v' d. u v 3 Partielle Itegratio u' v d. evtl. Ausdividiere (ei uecht gerocheer Fuktio). Nullstelle des Neers estie 3. Asat der Partialrucherlegug: Fall : Alle Neer - Nullstelle eiach ud reell - -. P Q A 3 A A 6 Partialrucherlegug Fall : 7 Neer - Nullstelle reell aer icht alle verschiede P 7 9 A 5 A A Q B B Fall 3: Neer - Nullstelle paarweise kojugiert kople ud eiach B 7 5 A B 5 5 : 7 a ür jedes Nullstellepaar it a Fall 4: Mehrache koplee Nullstelle i Neer A B a = 4. Bestiug der oeiiete A A Itegratio? = = 6 B? it =? =? A a
2 Forelsalug Matheatik - Itegralrechug Seite R e d e R si cos ta cot R si cos Sustitutio ür estite Itegrale d ta d d si cos d ta d ta d si cos ta cot cot () si c d si c cosc () cos c d (3) ta c d (4) cot (5) (6) (7) () sic cosc si c cos c (9) sih () sih () cosh () cosh (3) tah (4) coth (5) (6) sihc coshc c d d c cos c sic c ta c c ta cot c c cot c l tac d c l ta c 4 d d sih c d c coshc c sih c d c coshc c Eiige esodere Itegrale si c d cos c d c d c d cosc c si c si d ür c sic c cos c cos d ür c sih c d ür sih cosh c d & ' c sihc $ c cosh c d & $ ) + c sihc $ c $ tah c d & $ + ' c c $ tah ' coth c d & $ + ' c c $ ' coth d & c l tah c d & c arctaec c d ür " # $ cosh ' c d ür ( cosh ) c d ür # c d ür # c d ür " # $
3 Forelsalug Matheatik - Itegralrechug Seite 3 Stad: 6. Mär 999 Wikeluktioe si cos ta cot si cos ta cot cos ta ta cot si cot ta cot si si si si cos cos cos cos ta cot Arcusuktioe arcsi arccos arcta arccot arcsi arccos arcta arccot arccos arcta arcsi arccot arcsi arccot arccos arcta Hpereluktioe sih cosh tah coth sih cosh tah coth cosh tah sih tah coth coth tah coth sih sih sih sih cosh cosh cosh cosh tah coth Areauktioe arsih arcosh artah arcoth arsih arcosh artah arcoth arcosh arsih artah arcoth artah arsih arcosh arcoth arcoth arsih arcosh artah
4 J E H N. $ c U W Forelsalug Matheatik - Itegralrechug Seite 4 Itegralkriteriu vo 'auch a a. a a a 3 ooto allede Glieder. a Fourier A a d a ist koverget ist diverget oeiiete ei gerader Fuktio ugerader Fuktio Reihe Fourier - Itegral T a " T # $ & ' " ) a A & ' ". cos t dt & ' & ' si t dt ( & ' & ' a ta+ " a & ' cos t & ' - si t A si t 3 4 d d Restglied ach agrage R : 9 : = v 7 9 A B B so wähle daß das Restglied ögl. groß wird Treug der Variale For: 'D E F G E F E F 'D d H d D Hoogee Dieretialgleichuge For: 'D E F Sustituiere it u D D u d D du d I u F J Eakte Dieretialgleichuge For: 'D P Eakt we: P N Q J F N cn P Q E F Dierietialgleichuge. rdug d M Q N cn F M F d M g M h M F 3 Ipliite Dieretialgleichuge.For: ' N kot icht epliit vor.for: 'N N J d p N p d N Q J d p N Q J ' p d N pq ' p N pq ' p N pq ' p ' 'N d N p J d V Ergeis: Paraeterdarstellug: ieare Dieretialgleichuge For: 'X Z ösug: V [ \ d ce N kot icht epliit vor S T V N R S T U p V R S T ' p V R S T ' p p S T S T p p Sustitutio For: 'N a M M c un a M M J du c N d a M J ' 'N u'p a N u N a M M c 'N u'p a ^ _ ` ^ _ g Ihoogee Dieretialgleichuge For: '] Z [ \ d ^ _ Z e e c] g [ \ d d d
5 D E Forelsalug Matheatik - Itegralrechug Seite 5 Stad: 6. Mär 999. rdug. rdug.for: '' ' d c.for: '' ' kot icht epliit vor d c ' p '' d p' 3.For: Dieretialgleichuge. rdug '' ' kot icht epliit vor ' p '' p d c p' p (Dgl. rdug) p p Hoogee lieare Dieretialgleichuge For: '' ösug: ' c e ' d d c Hoogee lieare Dieretialgleichuge it kostate oeiiete For: '' a ' a " # e ' $ '' $ Bestiug vo $ it pq - Forel e Fall : $ & ' ( ) - allgeeie ösug: h+ e Fall : allgeeie ösug: h e Fall 3:. a 5 j 6 7 allgeeie ösug: h9 e a cos : si Ihoogee lieare Dieretialgleichuge. rdug it veräderliche oeiiete For: '': ': 9 g 9 '? hh c I c ''B?? D E H W pj ' ' J J M M N N g W d P M M N N g W d M N J h P p
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n n n n n n n n n n k = 2 3 3ü0à ü0à k n+ 1
äò3 äò3 0 í a í ü6ð6 í ( + a) í + ( ü6ë) a ( + a) = + a í + ( ü6ë ) a = + a + + ( + a) í + ( ü6ë) a ( + a) í + ( ü6ë) a ( IV ) + ( + a) = ( + a) ( + a) í ( + a)( + ( ü6ë) a) = + ( ü6ë ) a + a + ( ü6ë)
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4. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
4. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 6: Bestimme Sie alle Häufugspukte der Folge mit de Folgeglieder a) a 2 + cosπ), b) b i) i j, ud gebe Sie jeweils eie Teilfolge a, die gege diese Häufugspukte kovergiert.
FUNKTIONEN. a) Symmetrie. Beispiele. b) Monotonie. Beispiele I) ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN. = x x
FUNKTIONEN I) ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN a) Symmetrie Beispiele a) f ( ) e e b) f ( ) c) f ( ) ta( ) d) f ( ) si( ) b) Mootoie Beispiele a) f ( ) b) f ( ) 3 ( ) d) f ( ) ta( ) c) f Prof. Dr. Da Euge Ulmet
Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Eperte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge
Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen
Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud -ugleichuge 6 Für Eperte 9 Polyomgleichuge ud -ugleichuge Defiitio: Ei Term
Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Folge zu definieren. Die zwei häufigsten Methoden
Folge ud Reihe Folge Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle N = {0, 1,,...} i die Mege der (zumidest i de meiste Fälle) reelle Zahle R. I diesem Fall ka ma sich eie Folge als Pukte i eiem Koordiatesystem
Klausur zur Analysis II
Uiversität Würzburg Mathematisches Istitut Prof Jör Steudig SS 007 807007 Klausur zur Aalysis II Aufgabe Die Mege M R 3 sei gegebe durch Zeit: 7:45-9:45 M := { x, y, z R 3 expx + y + z = } a Ist M abgeschlosse?
Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien
www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit
5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
5. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 2: Bestimme Sie alle Häufugspukte der komplexe) Folge mit de Glieder a) a = ) 5 + 7 + 2 ) b) b = i Lösug 2: a) Die Folge a ) zerfällt vollstädig i die beide Teilfolge
Gaußsches Integral und Stirling-Formel
Gaußsches Itegral ud Stirlig-Formel Lemma. Gaußsches Itegral Es gilt für alle a > : e ax dx π a Beweis: Wir reche: e dx ax e ax dx e ay dy e ax e ay dx dy mit dem Satz vo Fubii e ax +y dx dy. Nu verwede
3. Taylorformel und Taylorreihen
Prof Dr Siegfried Echterhoff Aalysis Vorlesug SS 9 3 Taylorformel ud Taylorreihe Sei I R ei Itervall ud sei f : I R eie Fuktio Ziel: Wolle utersuche, wa sich die Fuktio f i eier Umgebug vo eiem Pukt I
Analysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übungsblatt
Aalysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr. Robert Haller-Ditelma 05.05.200 David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergez vo Folge) Beweise Sie:
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker I (Witersemester 00/004) Aufgabeblatt 7 (5. Dezember
Analysis II für M, LaG und Ph, WS07/08 Übung 2, Lösungsskizze
Gruppeübug Aalysis II für M, LaG ud Ph, WS7/8 Übug, Lösugsskizze G 4 (Zum warm werde). Begrüde die vo Physiker beliebte Näheruge si(x) x, cos(x) ud ta(x) x für kleie x R. Dies folgt direkt aus der Tayloretwicklug
6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 $Id: folge.tex,v. 0/06/05 ::8 hk Exp $ 6 Folge 6.4 Folge reeller Zahle I der letzte Sitzug habe wir de Begriff des Grezwerts eier Folge i eiem metrische Raum
Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion. Musterlösung
Feriekurs Seite Techische Uiversität Müche Feriekurs Aalysis Haah Schamoi Folge, Reihe, Potezreihe, Expoetialfuktio Musterlösug 0.0.0. Folge I Utersuche Sie die Folge a N auf Kovergez bzw. Divergez ud
1.2. Taylor-Reihen und endliche Taylorpolynome
1.. aylor-reihe ud edliche aylorpolyome 1..1 aylor-reihe Wir köe eie Fuktio f() i eier Umgebug eies Puktes o gut durch ihre agete i o: t o () = f(o) + f (o) (-o) aäher: Wir sehe: Je weiter wir vo o weg
Thema 8 Konvergenz von Funktionen-Folgen und - Reihen
Them 8 Kovergez vo Fuktioe-Folge ud - Reihe Defiitio Sei (f ) eie Folge vo Fuktioe vo D R i R. Wir sge, dß f puktweise gege eie Fuktio f kovergiert, flls gilt: f () f() für jedes D. Dies ist der türliche
Übungen zu Einführung in die Analysis, WS 2014
Übuge zu Eiführug i die Aalysis, WS 2014 Ulisse Stefaelli 19. Jauar 2015 1 Wiederholug 1. Seie p, q ud r Aussage. Zeige Sie, dass dei Aussage Tautologie sid. p ( p q), (b) ( p q) ( p q), [ ((p ) ( ) ]
Die erste Zeile ("Nummerierung") denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen.
Folge ud Reihe (Izwische Stoff der Hochschule. ) Stad: 30.03.205. Folge Was sid Zahlefolge? Z.B. oder Das ist die vereifachte Wertetabelle eier Fuktio geschriebe wie üblich bei Fuktioe i eier Wertetabelle.
Mathematik Abiturwissen. Script von Michael Telgkamp Vorlesung Dr. Bruder
Mathematik Abiturwisse Script vo Michael Telgkamp Vorlesug Dr. Bruder . Eiführug Abiturwisse Mathematik / 9. Zahlebereiche: N atürliche Zahle Z gaze Zahle Q ratioale Zahle R reelle Zahle C komplee Zahle
Handout. Instationäre Wärmeleitung. ka t. kat V. ktg D. Mit dem Körperfaktor G = bzw. = folgt. ktga. ktg = D. λkörper. ktga. kdfog. Mit = + folgt.
T T T T k ex t ρcv D G Mit dem Körerfaktor G bzw. folgt V V D kt ρc V ktg ρc D Körer Körer Mit a bzw. ρc folgt ρc a ktg ρc D ktga D Körer at at Mit Fo bzw. D Fo folgt D D ktga D Körer kdfog Körer Mit +
6. Fourier-Transformation
6. Fourier-rasformatio Wir betrachte zuächst eie periodische Fuktio: f t+ f t. (6- Die Idee ist, das sie sich durch eie Überlagerug periodischer, harmoischer Schwiguge darstelle lässt. Aalogie: ( + cos(
Infinite Impulse Response-Filter Rekursivfilter DSP-8-IIR 1
Ifiite Impulse Respose-Filter Rekursivfilter DSP-8-IIR IIR-Filter. Ordug y [ ] ay [ ] bx o [ ] bx [ ] FIR-Teil x[] b v[] y[] x + + z - z - b a x Feed-forward Teil (FIR-Filter) x y[-] Feed-back Teil DSP-8-IIR
Ergebnis: Abhängigkeit y(x) in der impliziten Form G(y) = F(x) + C. y =
Lösugsmethode Differetilgleihuge erster Ordug Für gewisse Tpe vo Differetilgleihuge läßt sih ei Weg gee, uf dem m, die Lösug der Differetilgleihug uf Qudrture d.h. uf ds Ausrehe vo Itegrle, urükführe k..
2 Konvergenz von Folgen
Kovergez vo Folge. Eifache Eigeschafte Defiitio.. Eie Abbildug A : N C heißt Folge. Ma schreibt a statt A) für N ud a ) oder a ) statt A. We a R N, so heißt a ) reelle Folge. Defiitio.. Seie a ) eie Folge
mit einem rationalen Kosinus-Wert: < q 1 !, ggt p 1 , p ,q 1 Dann hat auch jedes ganzzahlige Vielfache dieses Winkels einen rationalen Kosinus- Wert:
Has Walser, [019010] Ratioaler Kosius 1 Wikel ud Vielfache Wir arbeite mit eiem Wikel α 1 mit eiem ratioale Kosius-Wert: cos( α 1 ) = p 1, p
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof Dr R Köig Dr M Prähofer Zetralübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik Mathematik für Physiker (Aalysis ) MA90 Witersem 07/8 Lösugsblatt 4 http://www-m5matumde/allgemeies/ma90 07W (007)
Angewandte Mathematik und Programmierung
Agewadte Mathematik ud Programmierug Eiführug i das Kozept der objektorietierte Aweduge zu wisseschaftliche Reches mit C++ ud Matlab SS03 Orgaisatorisches Dozete Gruppe: Ago (.50), Ludger Buchma(.50) Webseite:
KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen
KAPITEL 8 Zahlereihe 8. Geometrische Reihe................................. 53 8.2 Kovergezkriterie................................. 54 8.3 Absolut kovergete Reihe............................ 64 Lerziele
6. Die Gamma-Funktion
6.. Die Gamma-Futio ist für C mit Re > 0 defiiert durch Γ( := 0 t e t dt (Euler-Itegral. Bemerug. Es ist t e t = t x e t mit x = Re. Beatlich overgiert 0 t x e t dt für x > 0 (das ist die reelle Gamma-Futio.