Karl Schwalen 1.12 (Stand 11.14) Prime Restklassengruppen Aufbau und Eigenschaften

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1 Karl Schwale.2 (Stad.4) Prme Restlassegrue ufbau ud Egeschafte Wetere ufsätze des Verfassers uter htt:// Vorleged hadelt es sch um e Komedum elemetarer ussage mt Bezug zu de rme Restlassegrue, ergäzt um Besele ud ege ur exermetelle Ergebsse. Überscht zum Ihalt: Sete. usammehag mt dem Rg ( +, ) Bestmmug der Grueelemete ud hrer Iverse Ordug der Grue... 4 Egeschafte der Euler sche ϕ - Futo Ordug der Grueelemete... 6 Sätze betr. Elemetordug... 6 zahl rmer Restlasse vorgegebeer Ordug... 8 Berechug der Ordug ees Elemetes... 2 Telersuche va Elemetordug ylsche rme Restlassegrue... 4 Bestmmug vo Prmtvwurzel Utergrue... 5 st lsch... 5 st cht lsch... 6 zahle lscher / cht-lscher Utergrue De Utergrue Quadratsche Reste Vertelug der qua. Reste ordug l. Utergrue zahl qua. Reste Max. QR-Utergrue u somorhe Grue Elemetarteler; Strutur; Mmale Erzeugedesysteme Vorbemerug: De Bewese zu de aufgeführte ussage fdet ma zahlreche Bücher / Srte der elemetare Grue- bzw. ahletheore agegebe. De meste ussage, de her ur auf bezoge werde, gelte atürlch vel allgemeerem usammehag, ämlch geerell für edlche abelsche oder och allgemeere Grue, ohe dass deses laufed besoders agemert wrd. Es wrd durchgägg de multlatve Schrebwese verwedet. Wege der umstädlchere Schrebwese wrd her de Bezechug ( / ), de zum usdruc brgt, dass es sch um de Ehetegrue des Fatorrgs zum Rg hadelt, cht verwedet. Ebeso wrd de uedlch vele ahle umfassede Restlasse a verefached durch de Vertreter a agegebe, wobe m orete Fall für a her der leste ostve Vertreter gewählt wrd. Ee mt bezechete ahl st m folgede ausahmslos ee Prmzahl; ebeso bedeutet u stets ee ugerade ahl.

2 . usammehag mt dem Rg ( +, ) De Elemete des Rges ( +, ) = {0,,..., } blde bezüglch der Multlato scho deshalb ee Grue, wel das Elemet 0 cht vertert werde a. ber auch \ {0} stellt für zusammegesetzte ee Grue dar, da es stets Produte vo Elemete a 0, b 0 gbt mt a b = 0; d.h. de bgeschlossehet st cht gegebe. De bezüglch der Multlato verterbare Elemete also de Ehete des Rges ( +, ) bezechet ma als rme Restlasse modulo. (De Verüfuge werde m Wetere be der Bezechug weggelasse, da vorleged desbezüglch ee Irrtümer möglch sd.) E Elemet a st geau da verterbar, we es e b gbt, so dass a b mod. E zu a verses Elemet exstert geau da, we ggt(a, ) =. Damt st de Mege der rme Restlasse (m leste os. Vertretersystem) gegebe als = {a {, 2,..., } ggt(a, ) = }. st ee edlche abelsche also ommutatve Grue (d.h. für belebge a, b a b = b a) mt der Multlato (mod ) als Verüfug. (De Elemete vo \ {0}, de ee Ehete sd, werde Nullteler geat.) 2. Bestmmug der Grueelemete a ud hrer Iverse a glt Es st er Defto: a a mod. a st daher Lösug der leare Kogruez a x mod. Der erweterte Euldsche lgorthmus (EE) rüft, ob der ggt(a, ) = st (also ob a e Elemet aus st). We ja, lefert der lgorthmus (m gleche rbetsgag ) zusätzlch das zu a verse Elemet a. lg. EE Egabe: a, (atürlche ahle) b = a; b = ; x = ; x = 0; = 0; = Do whle b <> 0 v = b dv b; b2 = b v b x2 = x v x; 2 = v b = b; b = b2; x = x; x = x2; = ; = 2 Loo d = b usgabe: d, x, mt d = x a + We a ud d = a ud a = x. Ee adere Möglchet zur Iverseberechug betet der Satz vo Fermat-Euler: Falls ggt(a, ) = folgt aus a ϕ () mod : a a ϕ () mod. Ist ee Prmzahl ( = ) glt sbesodere a a 2 mod. Dese Methode erfordert de Kets vo ϕ (), ud dazu muss der Regel de Fatorserug vo beat se (sehe folgede ffer). Ege tysche Besele: 7 : Elemete : : Elemete: Iverse: Iverse: : Elemete : : Elemete: Iverse: Iverse:

3 us de Besele lest ma ab: a a (= a), was lar st, wege ggt (a, ) = ggt(a +, );. ußerdem glt für alle a: a + ( a) =. De Elemete ud sd zu sch selbst vers ( selbst-vers ). Be lsche rme Restlassegrue sd das de bede ezge Elemete mt deser Egeschaft. Im Falle = 8 (sehe Besel) sd sogar alle Elemete selbst-vers. Das glt für de Modul {, 2, 3, 4, 6, 8, 2, 24 }. Ist lsch, glt für das Produt aller a : Π a mod. Das lässt sch wege a a mod lecht verfzere: Das Elemet lefert zu dem Produt auf der le Sete der Glechug de Fator ; das Elemet de Fator. De übrge Elemete vo lasse sch zu Paare a a zusammefasse, de jewels de Fator lefer. Ist =, sd alle atürlche ahle,..., rme Restlasse ud damt folgt umttelbar der Satz vo Wlso: ( )! mod. Ist ee Prmzahl, glt das wege der vorhadee Nullteler ud weterer selbst-verser Elemete cht. De Paare zueader verser Elemete sd we zufällg vertelt, de für großes st uabhägg davo, ob rm oder zusammegesetzt st der mttlere, rel. bstad Σ a a / (ϕ () ) / 3. (De Summe st über alle a zu erstrece.) Der ufbau der Gruetafel vo soll am Besel = 5 gezegt werde. I jeder ele ud Salte omme alle rme Restlasse(-Vertreter) der Grue vor, aber jewels aderer Rehefolge. De ordug st symmetrsch zu der vo rechts obe ach ls ute verlaufede Dagoale, was Folge der Kommutatvtät st. Das glt uabhägg vo der Rehefolge, der de rme Restlasse der Tafel ageordet werde. Wählt ma als ordug der Elemete der Kof-Salte bzw. -ele de atürlche ) Rehefolge (leste os. Restlassevertreter der Größe ach ageordet we obe geschehe), st de Tafel auch zu der vo ls obe ach rechts ute verlaufede Dagoale symmetrsch. Da sch außerdem de symmetrsch zu de bede gestrchelte Le ageordete Elemete mmer zum Modul ergäze, müsse zur ufstellug der Gruetafel vo de 64 ur de 6 blau marerte Elemete wrlch er Multlato mod berechet werde, da ma de erste bzw. letzte ele / Salte abschrebe a ud de übrge ahle sch durch Drehug bzw. Segelug des marerte Segmetes ergebe ) Im Fall eer belebge Grue, der de Elemete z.b. mt a, b, c,... bezechet werde, st ee solche ordug cht defert.

4 3. zahl der Grueelemete: Ordug vo = ϕ () Eulersche-Futo = zahl der zu telerfremde ostve ahle < Berechug vo ϕ () Wege ϕ (a b) = ϕ (a) ϕ (b) für ggt(a, b) = (mt der Setzug ϕ () = hadelt es sch um ee multlatve zahletheoretsche Futo ) folgt mt = α : ϕ () = α ϕ ( ) = ( ) = = Dabe st ϕ ( α ) = α α = α ( ) z.b. ϕ (2 x ) = 2 x Für quadratfrees verefacht sch de Berechug zu ϕ () = Π ( ). Tabelle für de erste Werte der Euler sche ϕ-futo: : ϕ (): Ege Egeschafte vo ϕ () Σ ϕ (d) =, wobe d alle Teler vo durchläuft Der Grah vo ϕ () beschrebt osequet ee c-ac-kurve Behautug: Es gbt e, für das glt: ϕ ( ) < ϕ () < ϕ ( + ) bzw. ϕ ( ) > ϕ () > ϕ ( + ) ϕ () st für > 2 stets gerade. ber es omme durchaus cht alle gerade ahle als Werte vo ϕ () vor. Dabe hadelt es sch bevorzugt um ahle der Form 2..B. exstere ee rme Restlassegrue der Ordug 2 7, 2 3, 2 7, 2 3, Isgesamt mmt de Belegugsdchte mt größer werdede ahle mmer mehr ab: Vo de erste 00 gerade ahle omme 7 % als Futoswert ϕ () vor; be de erste 0 4 gerade ahle sd es ur och rd. 45%. Wege ϕ (2) = glt ϕ (2u) = ϕ (u). We alle gerade ahle als Futoswert zur Verfügug stüde, würde jeder Wert geau doelt belegt. Da das aber cht der Fall st, hat ϕ () otwedgerwese häufg für ee größere zahl vo -Werte de gleche Wert..B.: ϕ () zahl verschedee 2 3: 3, 4, 6 4 4: 5, 8, 0, 2 8 5: 5, 6, 20, 24, davo 3 ugerade 72 7 davo 6 ugerade davo 43 ugerade 4

5 De Kozetrato auf ee bestmmte Futoswert st um so stärer, desto mehr Teler de betreffede ahl bestzt. Ist ϕ () 2 mod 4, da st lsch; d.h. {, 2, 4, j, 2 j ( > 2)}. (De Umehrug glt atürlch cht.) Nebe = 4 führe geau de ahle der Form = j sowe = 2 j mt j > 0 ud 3 mod 4 auf ϕ () 2 mod 4. Im Berech bs 0 5 seht de Statst we folgt aus: Für 7484 Werte vo st ϕ () 2 mod 4, davo sd 4808 Prmzahle, 2583 sd das zwefache eer Prmzahl ud für 93 st = j bzw. 2 j mt j >. Isgesamt gbt es dem Berech aber ur 4845 verschedee ϕ ()- Werte mt ϕ () 2 mod 4, da ϕ (2) = ϕ () ud vo de 93 fraglche Prmzahloteze belegt ur etwa e Drttel (geau 37) ee ϕ ()-Wert, der cht berets durch de ϕ ()-Wert eer Prmzahl belegt st. Wel de höhere Prmzahloteze ur ee relatv lee Betrag leste, hat ma also de Näherug: Für große m st {ϕ () : < m : ϕ () 2 mod 4 } π (m) / 2. ϕ () st de folgede Fälle ee weerotez 2 x : = 2 α, wobe ee der 32 verschedee ahle st, de sch als Produte der 5 Fermat sche Prmzahle (zuzüglch der ) blde lasse. lso {, 3, 5, 7, 257, 56537, 3 5, 3 7,..., ,...} Der Maxmalwert des Quotete x / ϕ (x), wobe x leer eem vorgegebee st, st = / ( ) =. st so zu wähle, dass < st. Besel: = 208; = 20 > 208 = 3 Max [x / ϕ (x)] x < 208 = / 2 4 = 3,75 (Der Mmalwert st x / ( x ) wobe x de größte Prmzahl st.) Bestzt ee ahl zwe (ubeate) Prmteler ( ud q), lasse dese sch aus der Kets vo ϕ () bestmme: ϕ () = (q ) ( ) = q +. Mt Hlfe vo q = / ergbt sch 2 + (ϕ () ) + = 0 ud daraus de Lösuge ud q: 2, q = ( + ϕ () ± ( + ϕ()) 4 ) / 2. Ist = q, a ma ϕ () auch als Futo des Telerverhältsses v = q / (q ) agebe : ϕ () = / +. Mt q = v = 2 v = / v ϕ () = ( v + / v ) + Ket bzw. vermutet ma de Berech, dem das Telerverhälts legt, ergbt sch der Berech, dem ϕ () zu suche st..b.: v max = 4 ϕ () m = (5 / 2) +. ϕ () st maxmal für v =. Damt: ϕ () max = 2 + ϕ max = / 2. ϕ () st demach ee m Berech ϕ () m... ϕ () max legede, durch 4 telbare at. ahl. 5

6 4. Ordug der Grueelemete ls Ordug der rme Restlasse a mod wrd der leste Exoet m bezechet, für de a m mod glt. bgeürzt: ord a = m (Dass e solches m exstert, garatert der Satz vo Fermat-Euler.) Mt Exoet vo a s mod für alle a wrd der mmale Wert vo s bezechet, für de glt:. lso: ε () = m { s: a s mod für alle a ( ε () st zuglech de maxmale Ordug ees Elemetes aus Egeschafte der Elemetordug 6.) ord a ϕ () Elemetordug telt Grueordug ϕ () Es exstert e a mt ord a =. } Se ϕ () = x mt ggt(, ) = Es gbt geau Elemete, dere Ordug cht durch telbar st. (Bewes?) ord a = ord a Folglch omme de Orduge cht selbst-verser Elemete mdestes zwemal vor. selbst-verse Elemete > habe Ordug 2. ord a t = ord a / ggt(t, ord a) Elemetordugssatz ord (a b) gv(ord a, ord b) Für ggt(ord a, ord b) = folgt ord (a b) = ord a ord b. (Ist also e a mt ugerader Ordug u beat, hat ma mt (a (-)) mod e Elemet der Ordug 2 u.) Es exstert e Elemet c mt ord c = gv(ord a, ord b). ord ( a) = f ord a mt f {½,, 2} Im Fall = 3 mod 4 uterschede de Orduge vo a ud a sch mmer um de Fator 2. a a mod ord a mod (Verefacht de Berechug für große.) Se ggt(a, ) =, ee Prmzahl ud a mod (also st seudorm zur Bass a) ord a (obglech ϕ ()) Ist lsch u jedem Teler d vo ϕ (), gbt es geau ϕ (d) rme Restlasse der Ordug d. Isbesodere exstere ϕ ( ) Elemete der Ordug, falls =. Ist a quadratscher Nchtrest ord a st gerade. (De Umehrug glt cht.)

7 De maxmale Ordug eer rme Restlasse also ε () bestmmt sch folgedermaße: Es se = 2 e α... α mt verschedee, ugerade Prmzahle,..., ε () = gv( f, ϕ( α ),..., ϕ( für e < 2 Dar st f = 2 für e = 2 2 e 2 für e > 2 α )) (Im eglschsrachge Raum wrd astelle ε () auch de Bezechug Carmchael-Futo λ() verwedet.) ord a ε () ϕ (); 2 ε () für > 2. Für jede Teler t vo ε () exstere Elemete a mt ord a = t. wecs Überscht och ege tysche Besele aus dee de fast-symmetrsche Vertelug der Elemetorduge deutlch wrd. = 5 ϕ (5) =2 2 = 3 ϕ (3) = a: a: ord a: ord a: = 7 ϕ (7) = 2 3 = ϕ () = 2 5 a: a: ord a: ord a: = 5 ϕ (5) = = 6 ϕ (6) = 2 3 a: a: ord a: ord a: = 2 ϕ (2) = = 9 ϕ (9) = 2 3 a: a: ord a: ord a: = 9 ϕ (9) = a: ord a: De Besele bestätge folgede Regel: Ist für a > ord a =2 x ord ( a ) = 2 x. Das glt sbesodere für de selbst-verse Elemete (x = ) sowe m Fall ϕ () = 2 e. Ist ord a = u ord ( a) = 2u Im Fall ϕ () 2 mod 4 glt auch de Umehrug: ord a = 2u hat ord ( a) = u zur Folge. 7

8 zahl rmer Restlasse mod mt vorgegebeer Ordug De zahl-futo der Elemetorduge Deser Put erfährt ee ausführlchere Darstellug, da der egesehee Lteratur ee geschlossee bhadlug dazu gefude wurde. α) zahl rmer Restlasse mod, dere Ordug Potez eer Prmzahl st Gegebe: = 2 e α... Gesucht st de zahl α mt α > 0 ud e {0,, 2,...} der rme Restlasse () h ee belebge Prmzahl st: = { a : ord a = h : a () h } Klarerwese omme für ur de Prmteler vo ϕ () Frage. Behautug: t mt ord a = h, wobe () Es glt de Reurso: = h h h ( ) f mt 0 = (ur de west de f = 0 Ordug auf). Rechet ma (durch suzessves Esetze) de Summe vorsteheder Formel aus, ergbt das: h () s h t h = ( ) mt s = () h h t f f = De Werte vo t h bzw. t f bestmmt ma we folgt aus dem zu somorhe drete Produt (addtver) lscher Restlassegrue, welches ma (mt eer usahme) umttelbar aus ϕ () erhält (sehe ffer 8): H / ( )... / ( ) α α Dar st H = / 2 e für e < 3 bzw. H = / 2 / 2 e 2 für e > 2 t h st de zahl der Fatore des vorstehede drete Produtes, dere Ordug vo h getelt wrd; aalog t f. Nutzt ma de Reurso s h = s h + t h mt s 0 = 0 ud t 0 = 0, recht es zur Berechug vo aus, beged mt h = für jedes h de Wert vo t h abzuzähle. β) zahl der rme Restlasse mod, dere Elemetordug mehr als eem Prmteler ethält Es glt: v w = v w für ggt(v, w) = We ma de zahle für alle Prmzahloteze, de ϕ () tele, gemäß de uter α) aufgeführte Regel bestmmt, lässt sch somt für jede Teler d vo ε () ud ur geau für dese, de wetere Produte der geforderte rt lasse sch cht blde de zahl der Elemete mt Ordug d aus der Prmfatorzerlegug des betr. Telers erreche. Ifolge Multlatvtät ud = für alle erfüllt dese zahl-futo de Defto eer multlatve zahletheoretsche Futo. I aloge zur Euler sche ϕ-futo st auch = ϕ(), wobe ur de Teler ee Betrag lefer, de ε () tele. h d ϕ() d 8

9 E ausführlches Besel: = = ϕ () = (2) (2 3 ) (3 2 2) (2 3 2 ) (2 3 7) = De Fatore sd etsreched der Klammerug auszuwerte. ε () = gv(2, 2 3, 3 2 2, 2 3 2, 2 3 7): Telerazahl vo ε (): (3 + ) (2 + ) ( + ) = gv: = 504 = ε () Elemetordug zahl der Elemete (Teler vo ε ()) gezählt berechet = 2 3 = 2; t = 5 2 = 2 5 = = 3; t = 3 3 = 3 3 = = 2; t 2 = 4 = 2 5 (2 ) = 32 6 (= 2 3) = 7; t = 7 = 7 = = 2; t 3 = 8 = 2 (5+) (2 ) = = 3; t 2 = 2 9 = 3 3 (3 2 ) = Summe: E weteres Besel: ϕ () = 4 trfft für de ahle {5, 8, 0, 2} zu. = 5 ϕ (5) = (4) = 2; t = ; t 2 = 2 = 2 = ; 4 = 2 (2 ) = 2 = 8 = 2 3 ϕ (8) = (2) (2) = 2; t = 2 2 = 2 2 = 3 = 0 ϕ (0) = () (4) wege = verläuft de Berechug we für = 5 = 2 = ϕ (2) = (2) (2) we für = 8: 2 = 3 9

10 γ) Begrüdug der ussage α): Gemäß Defto der Elemetordug glt: Ist für e a Teler t vo m a m / t mod, da st m = ord a. Es se u zuächst = q mt eer Prmzahl q > 2, d.h. 0 a m mod ud für jede st lsch. We ffer 4. agegebe, gbt es da zu eem Teler m ( m > 0) vo ϕ (q ) geau ϕ ( m ) [= m m ] Elemete der Ordug m. Deses Ergebs erlärt sch we folgt aus der Betrachtug der Lösugsazahl der Kogruez x d b 0 mod q. Es glt allgeme ): We x d b 0 mod q lösbar st gbt es... q Prmzahl > 2 ggt(d, ϕ(q )) ogruete Lösuge zum Modul q q = 2 α) <3: ggt(d, 2 ) Lösuge β) 3: 2 ggt(d, 2 2 ) Lösuge. Vorleged st b = ; de Kogrueze sd mmer lösbar, da x = alle Fälle ee Lösugsrestlasse st. Im sezelle Fall d = m m bestzt x 0 mod q... q Prmzahl > 2... L m = ggt( m, (q ) q ) Lösuge q = 2 (ud = 2; für > 2 st de Lösugsazahl stets glech )... L m = ggt (2 m +, 2 ) ) Lösuge. 2 (Für = 2 a ma so de Falluterschedug < 3 bzw. > 2 vermede) Klar st auch, dass alle Lösuge x rme Restlasse zum Modul sd: Se x 0 ee cht zum Modul telerfremde Lösug, also x 0 = q e (e >0) e m q 0 mod q Es st daher q < q q We x ee Lösug vo m m x e m e q m e q 0 mod q st, löst x atürlch ebefalls m 0 mod q Wdersruch x 0 mod q. Da her aber gemäß Defto der Ordug ur de Lösuge gezählt werde, de ausschleßlch de Exoete m betreffe, glt = L m L m () We (voraussetzugsgemäß) m ϕ (q ) glt, st m m = m m. Im Fall q = 2 glt () ebefalls. Leder a ma m allgemee Fall = 2 e α... α de zahle m der ezele lsche Fatore cht efach multlzere, soder muss zuächst weder de zahl m der Lösuge der Kogruez x 0 mod bestmme. Dazu sd de Lösugsazahle der Fatore vo für jedes m mteader zu multlzere ): sehe z.b. das m Netz verfügbare Srt Polyomogrueze vo Chr. Nelus, U Paderbor

11 E Besel: = ϕ () = (2 3 ) (2 3 2 ) (2 5) (2 3 2 ) De Prmteler ϕ () sd 2, 3 ud 5; de zahle der Elemete, dere Orduge Poteze deser Prmteler sd, werde bestmmt: : ϕ (): h Lösugsazahl L m Π L m 0 : 2 : ( = ) 2 2 : 8 (2) (2) (2) ( = ) 2 3 : (8) (2) (2) (2) 64 0 ( = ) 3 : () () ( = ) 3 2 : () () ( = 8 9 ) 3 3 : () () (9) (9) 8 0 ( = 8 8 ) 5 : () 5 () () 5 4 ( = ) 5 2 : () (5) () () 5 0 ( = 5 5 ) De Klammer gesetzte Eträge der Tabelle solle adeute, dass de betreffede Prmzahlotez h telerfremd zu ϕ (q ) st (), oder dass de Lösugsazahl sch gegeüber derjege vo h cht erhöht hat; z.b. (8). De Salte Π L ethält das Produt der Fatore aus de vorhergehede Salte, d.h. de Gesamtazahl L m dass auch her weder glt: der Lösuge vo m m x = L m L m. 0 mod. De letzte Salte zegt, Somt hat ma alteratv zu () aus lt. α) folgede Formel zu Berechug der Elemete-zahl mt Ordug m (mt m ϕ()) α Se = q mt q Prmzahl ud α > 0 = a) st cht durch 8 telbar : Für () 2 m α m α = ggt(, (q ) q ) ggt(, (q ) q ) (m > 0) () m = b) st durch 8 telbar = We vorstehed; mt der usahme, dass m Fall = 2... m erste Term be der ggt-berechug m durch m + zu ersetze st, ud m zwete Term be der ggt-berechug m durch m zu ersetze st, we m >. (Ist m =, st der gesamte zwete Term stets glech.) das st de zahl der selbst-verse Elemete der Ordug 2 a ma sch de o.a. Berechuge ersare, da 2 ϕ ( q ) für alle q. Se = 2 e α... () 2 α für e < 2 = 2 f mt f = + für e = 2 Ist + 2 für e > 2 α lsch, 2 =.. Da glt:

12 Berechug der Ordug ees Elemetes Ist de Prmfatorzerlegug vo beat, a ma zur Berechug der Ordug de Tatsache ausutze, dass d geau da de Ordug vo a st, we a d mod ud für alle Prmteler vo d glt: a d/ mod. wecmäßgerwese wrd ma zuächst ε () bestmme ud mt d = ε () / 2 bege. Ist u a d/ mod für e, so startet ma das Verfahre mt dem d = d / ereut, für das als letztes de Bedgug a d mod erfüllt war. Für große st das Verfahre a d mod mttels der Reurso a x = a x a zu bereche ee geegete Methode, soder es ommt e lgorthmus zum schelle Potezere zum Esatz etwa so we achstehed aufgeführt. lg. Schelles Potezere modulo (Berechet a d mod ) Egabe: a, d, x = a: c = d: m = If c mod = 0 the y = else y = x Do whle c < > c = c dv 2: x = (x x) mod If c mod 2 = the y = (x y) mod Loo usgabe: y (= a d mod ) Ket ma de erlegug vo see Prmfatore cht, st de Berechug der Ordug ees Elemetes a mt < a < m llgemee wesetlch schwerger bzw. mt de heute beate Methode udurchführbar. Der folgede Wechsel-Schrtt-lgorthmus (astelle der bret egeführte, aber deoch mmer weder gewöhugsbedürftge Bezechug baby stes gat stes ) dürfte z.. ees der schellste, allgeme esetzbare Verfahre se: lg. Elemetordug Egabe:, a s = : h() = s: s = a: gs = a Do whle h(gs) = 0 h(s) = s + s = (a s) mod gs = (gs s) mod s = s + Loo v = ( s ( s + )) / 2 h(gs) + usgabe: ord a = v We effzet der lg. arbetet, hägt sehr davo ab, we schell festgestellt wrd, ob a der Stelle h(gs) berets e Wert h(s) gesechert st. Vorleged wrd drete dresserug agewadt, was wohl de schellste Varate st. Recht der rbetssecher des Rechers dazu cht aus, de Läge vo h( ) 2

13 muss der Größeordug vo vorgesehe werde hat ma sch Gedae über geegete Hash-Tabelle oder Suchbäume zu mache. De zahl der Schlefedurchläufe, de beötgt werde, um ord a zu erhalte, st roortoal zu ord a ud somt letztlch zu, d.h. be ahle > 0 20 st de Berechug der Ordug berets schwerg. Bestmmug ees Telers vo mttels Elemetordug Dass de Berechug der Ordug e schwerges Problem darstellt, zegt sch auch dar, dass de Kets der Ordug ees Elemets a mt < a < aus der rme Restlassegrue modulo häufg zur Bestmmug ees Teleraars vo ausrecht: Der ggt(x y, ) lefert ee cht-trvale Teler vo, falls x 2 y 2 mod ud x ogruet zu ± y st. E Sezalfall st x 2 mod. Nu glt deftosgemäß a ord a mod für jede rme Restlasse a. Ist m = ord a gerade, so erfüllt x = a m / 2 de Kogruez x 2 mod ud st x außerdem ogruet zu mod lefert ggt (a m / 2 mod, ) ee Teler vo. (Der Fall x ± y mod trtt u.a. mmer da auf, we ord a gerade / ugerade st ud ord ( a) ugerade / gerade st; we also a oder a vo ugerader Ordug st.) Da es zur Fatorserug wesetlch effzetere Verfahre gbt als zur Bestmmug der Ordug, st de Bestmmug der Ordug va erlegug vo see Fatore eher agezegt als umgeehrt de erlegug vo mttels der (gerade) Ordug eer rme Restlasse. Dese Stuato öte sch äder, we de Etwclug vo Quatecomuter Fortschrtte macht. I lage sd ege Sachverhalte dargestellt, de zege, dass auch usammehäge zwsche de Teler eer ahl ud der Iversebldug bestehe. 3

14 5. ylsche rme Restlassegrue wrd als lsch bezechet, we es (mdestes) e a gbt, mt = < a > = { a, a 2,..., a ϕ () = }. Somt st ord a = ϕ () = ε (). Ee rme Restlassegrue st lsch für {, 2, 4, j, 2 j ; > 2}. E Vertreter ees erzeugede Elemetes eer lsche rme Restlassegrue wrd auch Prmtvwurzel geat. Ist lsch, gbt es ϕ (ϕ ()) Prmtvwurzel. Besele: = 9; ϕ (9) = 6; ϕ (6) = 2 Folglch bestze 9 zwe Elemete de Ordug 6; es sd des de rme Restlasse 2 ud 5 we folgede Tabelle zegt mod mod = 0; ϕ (0) = 4; ϕ (4) = 2 Prmtvwurzel 0 sd 3 ud 7 De Kets vo Prmtvwurzel st z.b. vo Iteresse für das Reche m Körer (Idexrechug) sowe der Krytologe (Stchworte: Dffe-Hellma, El Gamal). Bestmmug vo Prmtvwurzel (PW) De PW vo, 2 ud 4 sd lecht zu errate ud m Fall j (j >; > 2) glt: Ist a ee PW mod, so st falls a mod 2 a ud / oder falls (a + ) mod 2 a + ee PW mod j. ud Ist a ee PW mod j, so st falls a ugerade st a oder falls a gerade st a + j ee PW mod 2 j. lso hat ma ur de Fall eer ugerade Prmzahl zu betrachte. Her st ma allerdgs bsher m Wesetlche aufs Probere agewese. Dabe öe folgede Überleguge hlfrech se: - Da ϕ () gerade st, muss de Ordug der PW für > 2 gerade se. Daraus folgt, dass e quadratscher Rest ee PW se a; d.h. a ( )/ 2 mod st otwedge Voraussetzug, dass a ee PW mod st. Präzser: ( ) / q - a st geau da PW mod, falls a mod für alle Prmteler q vo. Ket ma ee PW mod, lasse wetere sch lecht bestmme: - Ist a PW mod, da st a mod ebefalls PW, falls ggt(, ) = - Ist a PW mod ud mod 4, da st a ebefalls PW mod - Ist a PW mod, so auch a 4

15 I Soderfälle, dee ϕ () ur wege Prmteler bestzt, lässt sch vo vorhere ee PW agebe: - Für de Fermat sche Prmzahle st jeder quadratsche Nchtrest ee PW. - See q ud = (q ) / 2 > 2 Prmzahle (q st sog. Germa-Prmzahl) Da glt: -- Ist mod 4 2 st PW mod q (aders formulert: Ist = 2 ud q = 4 2 st PW mod q) -- Ist oder 3 mod 0 5 st PW mod q -- Ist 5 mod 4 7 st PW mod q - See q ud = (q ) / 4 Prmzahle (q st sog. Ster-Prmzahl) Da glt: -- 2 st PW mod q -- mod 3 3 st PW mod q. 6. Utergrue Ee chtleere Telmege W vo G st Utergrue der Grue G, we für alle a, b W glt: a b W. De Ordug jeder Utergrue telt de Ordug der Grue vorleged also ϕ (). De leste Utergrue vo a b = ); de größte Utergrue st Das Erzeugs < a > eer jede rme Restlasse aus der Ordug ord a. st das Eselemet {} (a =, b =, b = selbst (De bede trvale Utergrue). st ee lsche Utergrue a) st ee lsche Grue ( {, 2, 4, j, 2 j ; > 2 }) Ist lsch, sd alle Utergrue vo lsch ud es gbt zu jedem Teler d vo ϕ () geau ee Utergrue; de Ordug der betreffede Utergrue st ϕ () / d. Besel: = = 3 ϕ (3) = 2 Teler d:, 2, 3, 4, 6, 2 a < a > ord a d 2 2 2, 4, 8, 3, 6, 2,, 9, 5, 0, 7, 2 3 3, 9, , 3, 2, 9, 0, , 2, 8, , 0, 8, 9, 2, 2, 7, 3, 5, 4,, 2 = {< 2 >} 7 7, 0, 5, 9,, 2, 6, 3, 8, 4, 2, 2 = {< 2 >} 8 8, 2, 5, 4 3 = {< 5 >} 9 9, 3, 3 4 = {< 3 >} 0 0, 9, 2, 3, 4, 6 2 = {< 4 >}, 4, 5, 3, 7, 2, 2, 9, 8, 0, 6, 2 = {< 2 >} 2 2, 2 6 5

16 We ma seht, erzeuge alle Elemete glecher Ordug de gleche Utergrue, so dass 3 sgesamt 6 Utergrue bestzt etsreched der Telerazahl der Grueordug. Ket ma ee Prmtvwurzel, lasse de Elemete der ezele Utergrue sch mttels des Elemetordugssatzes (s.o.) exlzt agebe: Se ϕ () = d ud a ee Prmtvwurzel zum Modul, (d.h. jedes Elemet vo bestzt ee Darstellug der Form a mt ϕ ()). Da glt: a d st Erzeuger der ezge Utergrue < a d > = { a d, a 2 d,..., a d } der Ordug. (Be der orete Berechug der Utergrue-Elemete öe wege c x x mod ϕ () c mod de Exoete vo a modulo ϕ () reduzert werde.) Im o.a. Besel ( = 3) st 2 ee Prmtvwurzel. Es se d = 4; somt = 3. De dre rme Restlasse der Utergrue sd also 2 4, 2 8, 2 2. Im Vertretersystem besteht de Utergrue aus 2 4 mod 3 = 3; (2 4 ) 2 mod 3 = 3 2 = 9 ud 2 ϕ () mod 3 = (Vergl. vorstehede Tabelle uter ele a = 3) Fazt: Ket ma vo eer lsche rme Restlassegrue de Prmfatorzerlegug vo ϕ () sowe ee Prmtvwurzel lässt sch de Grue bs h zu de Elemete der ezele Utergrue vollstädg beschrebe ud De zahl der Utergrue st glech der Telerazahl vo ϕ (). b) st cht lsch (Da hschtlch der Utergrue cht-lscher abelscher Grue llgemee ur weg Materal zu fde st, wrd deser Put m Folgede ausführlcher behadelt.) uächst och ege wetere allgemee ussage über Utergrue: Das Produt (machmal auch als Komlexrodut bezechet) zweer Utergrue H ud K vo G st defert als: H K = { h : h H, K } Sd H ud K Normalteler G, st auch H K e Normalteler (ud somt ee Utergrue vo G). I abelsche Grue (ud somt abelsch. ) sd alle Utergrue Normalteler ud Jede (Uter-)Grue bestzt e Erzeugede-System; d.h. es glt G = < a > < a 2 >...< a > mt a G. Da de < a > deftosgemäß lsche Utergrue sd, st jede (Uter-)Grue als Produt lscher Utergrue darstellbar. I abelsche Grue exstere zu jedem Teler der Grueordug Utergrue. Glt telt G, so st de zahl der Utergrue der Ordug oruet zu mod. Ist maxmal, gbt es abelsche Grue geau ee Utergrue der Ordug. De Schttmege ees Systems vo Utergrue st weder ee Utergrue. Isbesodere st für zwe Utergrue, B mt telerfremde Orduge B = {}. (Uter-)Grue vo Prmzahlordug bestze (magels Teler) ur de bede trvale Utergrue; se sd daher jedem Fall lsch. (Uter-)Grue (abelsch), dere Ordug quadratfre st, sd lsch ud bestze ur lsche Utergrue. 6

17 b) zahl lscher Utergrue, we cht lsch st Dazu se e Besel voragestellt: = 35 = 5 7 ϕ () = 24 ε () = 2 a < a > ord a 2 2, 4, 8, 6, 32, 29, 23,, 22, 9, 8, 2 I 3 3, 9, 27,, 33, 29, 7, 6, 3, 4, 2, 2 II 4 4, 6, 29,, 9, 6 a 6 6, 2 8 8, 29, 22, 4 9 9,, 29, 6, 4, 6 a, 6, 3 2 2, 4, 3, 6, 7, 29, 33,, 27, 9, 3, 2 II 3 3, 29, 27, 4 6 6,, 3 7 7, 9, 3,, 2, 29, 3, 6, 27, 4, 33, 2 II 8 8, 9, 22,, 23, 29, 32, 6, 8, 4, 2, 2 I 9 9,, 34, 6, 24, 6 b 22 22, 29, 8, , 4, 22, 6, 8, 29, 2,, 8, 9, 32, 2 I 24 24, 6, 34,, 9, 6 b 26 26,, 6, 6, 3, 6 c 27 27, 29, 3, , 2 3 3, 6, 6,, 26, 6 c 32 32, 9, 8,, 2, 29, 8, 6, 22, 4, 23, 2 I 33 33, 4, 27, 6, 3, 29, 2,, 3, 9, 7, 2 II 34 34, 2 us der Tabelle etmmt ma, dass es z.b. 2 lsche Utergrue der Ordug 2 gbt ( der letzte Salte mt I bzw. II geezechet) sowe 3 der Ordug 6 (a, b, c). De alle Utergrue der Ordug 2 gemesame rme Restlasse also dere Schttmege sd blau marert; se blde ee Utergrue der Ordug 6 (sehe a). De regelmäßge ordug der blaue Elemete st auffalled ud tysch. Für de zahl lscher Utergrue der Ordug m erhält ma folgede usammehag: Dar st () m () (m) = () m / ϕ (m). (mt gemäß der obe ausführlch behadelte zahlfuto der Elemetordug de zahl der Elemete für m ε ()). Ist lsch, st () m = ϕ (m), d.h. () () (m) bezechet),, welche vo der Ordug m sd. ( 0 (m) = we obe dargelegt. (E Bewes für de vorstehede zahlformel wurde der egesehee Lteratur cht gefude.) () m 7

18 b2) Ncht-lsche Utergrue, we cht lsch st Gemäß de o.a. grudsätzlche ussage über Utergrue a es echte cht-lsche Utergrue ur gebe, we ϕ () durch 4 telbar st ud we der größte (echte) Teler vo ϕ () ud somt de Ordug der Utergrue größer oder glech 4 st. Folglch muss wege ϕ () 8 5 se. I der Tat fdet sch 5 (geau) ee cht-lsche Utergrue: {, 4,, 4 }. Se st das Produt vo zwe der dre lsche Utergrue der Ordug 2; z.b. {, 4} ud {, }. usreche des Produt ergbt: ( ) mod 5 = ; ( ) mod 5 = ; (4 ) mod 5 = 4; (4 ) mod 5 = 4. Ebeso stellt ma fest, dass alle 4 Elemete selbst-vers sd ud somt automatsch der Grue lege. De (cht-trvale) Produte a b sd (4 ) mod 5 = 4; (4 4) mod 5 = ud ( 4) mod 5 = 4. Se lege erschtlch der Grue, so dass de forderuge der Utergrueegeschaft erfüllt sd. Wll ma m orete Fall de cht-lsche Utergrue exlzt agebe, wrd das m llgemee ur mt Recherhlfe möglch se. Be der brute force - Methode robert ma für alle w Möglchete w Elemete aus Elemete auszuwähle durch, ob de forderuge a ee Grue (das Produt vo 2 belebge der w Elemete sowe das Iverse ees jede Elemetes st glech eem der w Elemete) erfüllt sd. (w st dabe de Ordug der gesuchte Utergrue, de berücschtgt, dass das Eselemet mmer zur Grue gehört ud daher cht zur uswahl steht.) Das Verfahre lefert mt Scherhet alle Utergrue eschleßlch der lsche ud st brauchbar für w aus < 0 8. Deutlch lestugsfähger st das Verfahre, sch zuächst für alle Teler vo w de lsche Utergrue zu verschaffe ud da aus dese alle Produte zu blde, be dee das Produt der Orduge der Fatore gerade w ergbt. We es auf de zahl aommt, st Sorge zu trage, dass gleche Utergrue cht mehrfach gezählt werde. I der umsetge Tabelle sd de zahle aller Utergrue getret ach lsch ud cht-lsch für alle cht-lsche rme Restlassegrue mt 00 aufgelstet. 8

19 Tabelle zahle aller Utergrue vo cht-lsche rme Restlassegrue 00 mt De achstehede Tabelle st ach aufstegede Werte vo ϕ () geordet, da de meste Fälle (sehe zwete Salte) mehrere de hschtlch zahl ud Ordug gleche Utergruestrutur aufwese. Erläuterug: De rote ffer bezeche de Ordug der betr. Utergrue. De erste ffer ach dem Doelut gbt de zahl der lsche Utergrue a, de zwete ffer de zahl der cht-lsche (außer be Prmzahlordug, da da ur lsche Utergrue möglch sd). Uter Summe UG sd de bede trvale UG mtgezählt. ϕ () Ordug ud zahl der (echte) Utergrue Summe UG 8 5, 6 20, 30 2: 3, 4: = : 7, 4: = 6 2 2, 28 36, 42 2: 3, 3:, 4: 0 +, 6: = : 3, 4: 2 +, 8: = 40, : 7, 4: 4 + 7, 8: = , : 3, 4: 0 +, 5:, 0: = , 39 45, 52 70, : 3, 3:, 4: 2 +, 6: 3 + 0, 8: 0 +, 2: = 6 56, : 7, 3:, 4: 0 + 7, 6: 7 + 0, 8: 0 +, 2: = , : 3, 4: 2 +, 8: 2 +, 6: = : 7, 4:2 + 7, 8: 0 + 9, 6: = : 7, 4: 4 + 7, 8: 4 + 7, 6: = , 76 2: 3, 3:, 4: 0 +, 6: 3 + 0, 9: + 0, 2: 0 +, 8: = : 3, 3: 4, 4: 0 +, 6: 2 + 0, 9: 0 +, 2: 0 + 4, 8: = , : 3, 4: 2 +, 5:, 8: 0 +, 0: 3 + 0, 20: = : 7, 4: 0 + 7, 5:, 8: 0 +, 0: 7 + 0, 20: = , 92 2: 3, 4: 0 +, :, 22: = : 3, 3:, 4: 6 +, 6: 3 + 0, 8: 0 + 3, 2: 6 +, 6: 0 +, 24: : 3, 4: 2 +, 7:, 8: 0 +, 4: 3 + 0, 28: , : 3, 3:, 4: 0+, 5:, 6: 3+0, 0: 3+0, 2: 0+, 5: +0, 20: 0+, 30: : 3, 4: 6 +, 8: 4 + 3, 6: 4 + 3, 32: : 3, 3: 4, 4: 2+, 6: 2+0, 8: 0+, 9: 0+, 2: 8+4, 8: 0+3, 24: 0+4, 36: : 3, 3:, 4: 2+, 6: 3+0, 8: 0+, 9: +0, 2: 2+, 8: 3+0, 24: 0+, 36: 0+3 9

20 De Date der Tabelle bestätge folgede ussage bezüglch der zahl vo Utergrue. () Es bedeute: (m): zahl aller Utergrue der Ordug m lso: (m) = () UG UG () () z (m): zahl lscher Utergrue der Ordug m (m): zahl cht-lscher Utergrue der Ordug m (m) + () () z (m) alog dem Vorgehe be de Elemetorduge st es zwecmäßg zuächst de Fall zu betrachte, dass de Ordug m Potez eer Prmzahl st. m st Potez eer Prmzahl: m = f zahl lscher Utergrue der Ordug f (f > 0) () ( f ) = Dar st s f x f = 0 Σ mt Σ = (s ) j ud s 0 = j j s de zahl der Fatore q der erlegug vo, be dee ϕ ( durch x telbar st (wobe der Soderfall = 2 zu beachte st). zahl cht-lscher Utergrue der Ordug f Es se ϕ () = h mt ggt(, h) =. Für f / 2 glt: f < 2: ( f ) = 0 f = 2: f = 3: () z () z ( 2 ) = () 2 ) ( 2 (+ ) (Deutug: Da für zwe belebge j q ) (verschedee) Utergrue U a, U b mt Ordug glt: U a U b = {}, st das Produt vo zwe verschedee Utergrue mt Ordug mmer ee cht-lsche Utergrue der Ordug 2. Vo dese Produte stellt e tel vo (+) / 2 uterschedlche Utergrue dar.) Gemäß der o.a. Formel für () ( f ) st () () = s. (Das st de Lösug der homogee, leare Reurso. Ordug (, s ) = (, s ) + mt (, 0) = 0.) () z ( 3 ) = () () () () ( ) ( () ) / C + 2 C = 3 ( ) / 6 C 2 = 28; C 3 = 234; C 5 = 3875 usw. (Der erste Summad der o.a. Formel gbt de zahl der Utergrue a, welche als Produt vo 3 l. Utergrue der Ordug darstellbar sd; der zwete Summad dejege, de Produt eer Utergrue der Ordug ud eer der Ordug 2 sd; wetere erleguge vo 3 gbt es cht. Ncht jedes Produt vo 3 l. Utergrue der Ordug ergbt ee Utergrue der Ordug 3. Dese Fälle erfasst der rechte Term [...].) ur Berechug des 2. Summade: Es st (s. o.): () ( 2 ) = ( ) s ( 2 ) s 2 20

21 ( f ) = ( f ) wobe we obe ϕ () = h mt ggt(, h) =. () UG () UG Ifolge deser vorragge Symmetrebedgug sd de o.a. Formel für ur für f / 2 azuwede. Isbesodere st ( ) = ( 0 ) =. () UG () UG () z ( f ) Da de zahle l. Utergrue mt Prmzahlotezordug f für alle f ud de der cht-lsche mttels der o.a. Formel bs f = 3 berechet werde öe, lasse sch mt Hlfe der her agegebee Formel alle ( x ) (x ) bestmme, we ϕ () = h 7 st. Sd de Utergrue mt Ordug f beat, öe de Werte für zusammegesetztes m lecht bestmmt werde: () () UG (m) = UG (ϕ () / m) Ifolge deser Paarbldug, de Kosequez der o.a. Symmetrebedgug für de Prmzahloteze st, st de zahl aller Utergrue vo stets gerade, außer we ϕ () ee Quadratzahl st ud de zahl der Utergrue mt der Ordug m = ϕ () ugerade st. (sehe grüe ahle Tabelle.) () () () Se m = v w mt ggt(v, w) =. Da st UG (m) = UG (v) UG (w). Das glt etsreched atürlch auch für mehr als zwe telerfremde Fatore. uftelug lsch ud cht-lsch Se m = v w mt ggt(v, w) =. Da st lteratv hat ma (sehe ffer 4.): () () (m) = () (m) = m / (ϕ (m). (v) () (w). (ylsche Utergrue gbt es geau da, we m ε (). Ist m quadratfre exstere we obe erwäht für deses m ausschleßlch lsche Utergrue.) Fazt: Verfügt ma über de Prmfatorzerlegug vo, a ma für jede Teler vo ϕ () de zahl der lsche ud cht-lsche Utergrue agebe. I lage 2 sd Fortsetzug des Besels aus ffer 4. de zahle der Utergrue für das gesamte Telersystem agegebe, um ee Edruc über de Velzahl vo Utergrue zu vermttel. (De Überrüfug der zahle mttels exlzter Berechug der Utergrue führt für deses Besel berets a de Greze des Comuters (etbedarf)). (Bewese?) () UG 2

22 7. De Utergrue Quadratsche Reste E a wrd als quadratscher Rest (QR) bezechet, we es e x gbt, so dass x 2 a mod we also dese quadratsche Kogruez für e vorgegebees a lösbar st. We für rmes oder zusammegesetztes festgestellt wrd, ob a e QR st, ud we ma ee Lösug der quadratsche Kogruez bestmmt, st z.b. m Betrag Über quadratsche Reste ud Kogrueze auf der Netz-Sete des Verfassers ausführlch beschrebe. Her soll ur auf ege sete m usammehag mt der rme Restlassegrue egegage werde. Üblcherwese werde de QR bzw. QNR durch gabe des Legedre-Symbols, das für ee QR de Wert ud für ee QNR de Wert ausgbt, geezechet. Nachfolged wrd e QR durch e +, e QNR durch marert. Vertelug der QR uächst ege Besele, de de Vertelug der QR erhalb der Grue ud usammehäge mt der Ordug veraschaulche. = = 7 ( mod 4) a : QR: a : ord a : = = 9 ( 3 mod 4) a : QR: a : ord a : = 3 5 = 5 ( 3 mod 4; Produt der Reste 3 ud (mod 4)) a : mod 3 : mod 5 : QR : + + Jacob-S.: ord a : a st geau da QR, we a zu jedem Prmteler vo QR st. Ist das Jacob-Symbol glech, a st QNR = 3 7 = 2 ( mod 4; Produt der Reste 3 ud 3 (mod 4)) a : mod 3: mod 7: QR : Quadratzahle Jacob-S.: ord a : sd mmer QR

23 De Besele bestätge: mod 4 ( ) ( ) a a = ( ) ; falls a a = ( ) a b lsch: ord a = ord b ( ) = ( ) Se quadratfre ud ord a ugerade a st QR. ; 3 mod 4 ( ) a a = ( ) ; ordug der QR de Utergrue Besel: = 3 De vo de ezele Elemete erzeugte Utergrue sd: a < a > ord a De rot geschrebee Elemete sd QR. De Vertelug der QR folgt aus de Recheregel für das Legedre-Symbol: (+)(+) = ; ( )(+) = ud ( )( ) =. Folglch sd alle Elemete der lsche Utergrue < a > QR, falls a e QR st. Ist a e QNR sd de Elemete mt gerade Exoete QR. Für alle lsche rme Restlassegrue glt: Ist lsch, gbt es ϕ ( ) / 2 QR ud es exstert geau ee lsche Utergrue der Ordug ϕ ( ) / 2, de alle QR ethält. Sucht ma ee erzeugede QR eer solche Utergrue, st ee Quadratzahl häufg ee gute Wahl. Im wetere wrd jede Utergrue, dere Elemete ausschleßlch QR sd, mt QR-Utergrue bezechet. zahl der QR De zahl QR () der QR eer rme Restlassegrue st für = ( > 2) gegebe durch ) ϕ() QR () = mt f = f 2 für e < 2 + für e = für e > 2 2 e α... α ϕ ( ) wrd also durch de zahl der selbst-verse Elemete Formel ffer 4.) dvdert. (sehe desbezüglche ) sehe z.b. de m Netz esehbare Dlomarbet E eues Idetfatos- ud Sgaturverfahre über magär-quadratsche Klassegrue vo. Meyer,

24 QR-Utergrue, we cht lsch st (De ussage zu desem Uterut beruhe auf exermetelle Befude.) Es gbt stets ee QR-Utergrue der Ordug ε () / 2, ud das st (atürlch) mmer de maxmale lsche QR-Utergrue. Ist QR () = ε () / 2 = ϕ () / 2 f ethält de max. lsche QR-Utergrue alle QR. Das st häufg auch da der Fall, we cht lsch st; z.b. be alle mt < 63. = 63 = ϕ (63) = (2 3) (2 3) = 36 ε (63) = 6 ε (63) / 2 = 3 QR (63) = ϕ (63) / 2 2 = 9 De max. lsche QR-Utergrue ethält also 3 QR, währed es sgesamt 9 QR gbt. Der Fall QR () > ε () / 2 trtt u.a. erschtlch otwedgerwese da auf, we de Fatordarstellug vo ϕ () zwe oder mehr Fatore gleche ugerade Prmzahle aufwest (m Besel de 3). u jedem Teler vo ε () / 2 exstere lsche QR-Utergrue; st der Teler also de Utergrueordug ugerade, sd sogar alle l. Utergrue deser Ordug QR-Utergrue. De Ordug der max. lsche QR-Utergrue telt de zahl der QR; I eche: ε () / 2 ϕ () / 2 f. Ist QR () = ϕ () / 2 f > ε () / 2 gbt es (mdestes) ee cht-lsche QR-Utergrue, de alle QR ethält, also de Ordug QR () hat. Fortsetzug des obge Besels: De 9 QR sd:, 4, 6, 22, 25, 37, 43, 46, we der 4 QR-Utergrue der Ordug 3 sd: U = {, 4, 6} ud U 2 = {, 22, 43} Das Produt deser bede Utergrue ergbt ee QR-Utergrue (U 3 ) der Ordug 9, de somt alle QR ethält: ( ) mod 63 = ; ( 22) mod 63 = 22 ; ( 43) mod 63 = 43 ; (4 ) mod 63 = 4 ; (4 22) mod 63 = 25 ; (4 43) mod 63 = 46 ; (6 ) mod 63 = 6 ; (6 22) mod 63 = 37 ; (6 43) mod 63 = 58 Es st U 3 = < 4 > < 22 >. 24

25 8. u somorhe Grue we Grue (, ) ud (B,o) sd somorh zueader ( eche: B), we es ee bjetve bbldug f: B gbt, so dass f (a a ) = f (a) o f (a ) für alle a, a. De bjetve bbldug bedgt, dass auch de Umehrabbldug f exstert ud dass somorhe Grue de gleche Ordug habe. Das eutrale Elemet vo wrd auf das eutrale Elemet vo B abgebldet, ud jedes Paar verser Elemete vo wrd eem Paar verser Elemete vo B zugeordet. Das alles hat zur Folge, dass somorhe Grue bs auf de Bezechuge detsch sd (gleche Verüfugstafel). Isbesodere gbt es aus deser Scht ur ee lsche Grue vorgegebeer Ordug aber mt vele uterschedlche Bezechuge ud Verüfuge. ls Prototy eer l. Grue der Ordug wrd der Regel (, +) gewählt. Im usammehag mt Isomorhe st das drete Produt vo Grue wchtg. Das drete Produt ( x B, ) zweer Grue (, ) ud (B,o) st ee Grue mt de Tuel (a, b) a, b B als Elemete ud der (omoetewese) Verüfug (a, b) (a, b ) = (a a, bob ). E wchtger Soderfall legt vor, we ud B Utergrue eer Grue G sd: Es se G = B, ud B Normalteler vo G sowe B = {} (: eutrales Elemet). Da glt: G x B. llgemeer: Se G ee abelsche Grue mt G = α... α s s ud G Utergrue mt G = α. Da st jedes Elemet g G st als g = g... g s mt g G darstellbar ud es st G G x G 2 x... x G s. I Bezug auf hat ma folgedes: a) Isomorhe zum drete Produt rmer Restlassegrue = α... α s s Da st: α x...x α Isbesodere: v w v x w falls ggt(v, w) = ( ugerade: 2 ) I dem obge drete Produt sd alle Fatore lsche Grue, mt der usahme = 2 ud α > 2: α = < > < 5 > wobe ud 5 Utergrue vo α s s der Ordug 2 bzw. 2 α 2 erzeuge. b) Isomorhe zum drete Produt addtver Grue = α... α s s ϕ ( α ) x...x 2 x 2 α x 2 ϕ ( α s s ) ϕ ( α 2 2 ) x...x ϕ ( α s s ) falls 0 mod 8 falls 0 mod 8, d.h. α 3 Isbesodere:. alog zu a) st: v w v x w falls ggt(v, w) = (Im Utersched zu ffer a) hadelt es sch her um ee telerfremde erlegug der Ordug der addtve Grue.) Bezüglch der erlegug mt Elemetarteler sehe ffer 9.

26 Besele: = 60 = ϕ (60) = = 6 Gemäß a) glt: u b) x 3 x 4 = {, 3} 3 = {, 2} 5 = {, 2, 3, 4} Das drete Produt deser dre Grue besteht aus de 6 Trel / Elemete: (,, ) (, 2, ) 4 (3,, ) 3 (3, 2, ) (,, 2) 37 (, 2, 2) 7 (3,, 2) 7 (3, 2, 2) 47 (,, 3) 3 (, 2, 3) 53 (3,, 3) 43 (3, 2, 3) 23 (,, 4) 49 (, 2, 4) 29 (3,, 4) 9 (3, 2, 4) 59 De ahle hter de Pfele stelle sgesamt de rme Restlasse modulo 60 dar. Dese erhält ma aus de jewels davor stehede Trel (a, b, c) durch Löse des dohatsche Glechugssystems x a mod 4; x b mod 3; x c mod 5 Der Isomorhsmus wrd also durch de Chessche Restsatz vermttelt. lteratve: Bestmmug je eer PW der α (Im Besel: 3, 2, 2) ud dese mttels Ch. Restsatz auf de Modul lfte. (obe rot marert.) lle rme Restlasse modulo erhält ma da durch Bereche aller Produte der PW - Poteze (modulo ). Im Besel: (3 j 4 37 h ) mod 60 mt j, =, 2; h =,..,4. Mehr dazu uter ffer 9. für = 5 De Verüfugstafel sd da I der letzte Tafel für 5 sd de ele ud Salte so vertauscht, dass der Isomorhsmus sofort abgelese werde a: 0; 2 3; 3 ; 4 2. Ee Möglchet, de bbldug (de Isomorhsmus) oret azugebe, geht vo der Berechug der Ordug der Grueelemete aus: a: ord a: E weterer Isomorhsmus st demach: 0; 2 ; 3 3; 4 2. Obwohl m Fall eer Prmzahl de detsche Grue (, +) sofort agegebe werde a ud zu deser auch e erzeugedes Elemet beat st, hlft das cht be der Suche ach eer Prmtvwurzel; dazu muss der Isomorhsmus exlzt vorlege, wozu es auch e allgemees Verfahre gbt. I der ahletheore wchtg: χ() (Grue der Drchlet-Charatere mod ) 5

27 Das folgede Besel soll zege, we somorhe Darstelluge eer abelsche Grue dazu beutzt werde öe, um festzustelle, welche Produte vo Utergrue (Normalteler) auf uterschedlche bzw. gleche Grue führe. Gegebe se ud 72 ε (). Welche Utergruerodute muss ma auswerte, um alle Utergrue der Ordug 72 zu erhalte? De 6 Darstelluge vo 72 als Produt seer Teler sd: () 72 x (7) 2 x 2 x 8 (3) 2 x 2 x 2 x 9 (2) 36 x 2 (8) 3 x 3 x 8 (4) 2 x 3 x 3 x 4 (3) 24 x 3 (9) 2 x 4 x 9 (5) 2 x 2 x 3 x 6 (4) 8 x 4 (0) 2 x 6 x 6 (6) 2 x 2 x 2 x 3 x 3 (5) 2 x 6 () 2 x 3 x 2 (6) 9 x 8 (2) 3 x 4 x 6 Durch fortgesetzte wedug vo v w v x w falls ggt(v, w) = erhält ma folgede Isomorhe ( Kurzschrebwese): () (6); (2) (9); (3) (8); (4) (9); (2) (4) (9); (5) () (2) (4); (7) (3); (0) (5) (6) statt der 6 möglche recht es somt, de 6 rot geschrebee Produte vo Utergrue aus auszuwerte, da de übrge zu eer deser 6 somorh sd ud daher de gleche Utergrue der Ordug 72 blde. Dese 6 sd der Tat auch erforderlch, um alle Utergrue zu fde. Ob ma alle Isomorhe bzw. Fatore berücschtgt hat, lässt sch mt folgeder Formel, welche de zahl Iso (m) der Isomorhelasse also der chtsomorhe erleguge der Grueordug agbt, feststelle: m = α... α s s Iso (m) = s = de α Parttoe zu zerlege. Im Besel: f ( α ) wobe f (α ) de zahl der Möglchete st, 72 = α = 3 (3) = (2 + ) = ( + + ) also 3 Parttoe; f (α ) = 3 α 2 = 2 (2) = ( + ) 2 Parttoe; f (α 2) = 2 Iso (72) = 2 3 = 6 we obe agegebe. 9. Strutur vo ls Erzeugedesystem vo ; Elemetarteler; Mmale Erzeugedesysteme bezechet ma ee Mege vo Elemete aus so dass glt = < a >... < a h>, d. h. jedes Elemet vo st als Produt vo Elemete aus h lsche Utergrue darstellbar. Es stellt sch also de Frage, we vele Erzeuger ma orete Fall mdestes beötgt. We obe erwäht, st für = 2 e mt e > 2 cht lsch. Es glt e e

28 ud alle 2 e rme Restlasse lasse sch edeutg der Form (- ) 5 j darstelle, wobe de Werte ud 2, j de Werte,.., 2 e 2 durchläuft. (Begrüdug: Für = 2 e (e > 2) glt : ord 5 = 2 e 2 ud ord ( ) = 2 (we üblch).) Das st der ezge (cht-trvale) Fall, dem de Erzeuger vo vorhere exlzt agegebe werde öe; aber ee ussage über de erforderlche Mdestazahl der Erzeuger m allgemee Fall st möglch: Se = 2 e α... α ( > 2) De mmale Erzeugedeazahl g = g (e, ) st da für e < 2 g = + für e = für e > 2 Der Hautsatz über edlche abelsche Grue, ach welche jede edlche abelsche Grue zu eem Produt lscher Grue somorh st, besagt außerdem folgedes über de zahl ud de Orduge der betelgte lsche Grue: Es exstert ee edeutg bestmmte Darstellug mt g Fatore ( g = m. Erz.-zahl), wobe für de Orduge m der Fatore glt: G = Π m ; m + m mt m = ε () ud m g 2. De lsche Grue werde mest so auch m Folgede allgeme mt C y bezechet, wobe der Idex de Ordug vo C agbt; das Produt der Idces (= Elemetarteler) muss atürlch glech ϕ () se. Der lgorthmus, der ausgehed vo eem belebge Erzeugedesystem dese Darstellug berechet, soll her cht beschrebe werde; für 28 erhält ma de m (sog. Elemetarteler) lecht, we de Prmfatorzerlegug vo beat st (sehe folgedes Besel). Wege der Egeschafte vo ϕ () sd de Elemetarteler m Falle der rme Restlassegrue alle gerade. = = 3, e > 2 g = 5 ϕ () = (2) (2 3 ) (2 3 2 ) (2 3 2 ) (2 3 7) = Nu werde de Poteze der Prmteler vo ϕ () je Prmteler geordet ach fallede Poteze aus Grüde der Überschtlchet ee Tabelle egetrage: m m 2 m 3 m 4 m 5 Durch usmultlzere der Salte erhält ma 2 3 m = = 504 = ε () m 2 = = 8 7 m 3 = 2 3 = 6 m 4 = 2 = 2 Probe: m... m 5 = ϕ () m 5 = 2 = 2 C 504 x C 8 x C 6 x C 2 x C 2 Des st de Strutur vo. De allgemee lsche Grue C werde u mt lsche Utergrue vo detfzert, was ach de Hautsatz ja mmer möglch st. ls Produt l. Utergrue fdet ma m Besel etwa: = < 5 > < 257 > < 585 > < > < 5848 > wobe de Ordug der Erzeugede ( falleder Folge) de Elemetarteler etsrcht. E weteres Besel: se das Produt zweer lscher Utergrue U ud U 2 mt U = 30, U 2 = 2. De erlegug der Orduge st ud Das geht ohe Tabelle; de Elemetarteler sd m = = 60, m 2 = 2 3 = 6.

29 Nachstehed wrd de Bestmmug der Strutur vo sowe ees m. Erzeugedesystems m Überblc dargestellt ud a Besele erläutert.. Strutur Darstellug vo als = 2 e α... α mt > 2 ϕ () = 2 e ϕ( α )... ϕ( α ) Bestmmug der m. Erzeugedeazahl: g = + h mt h = 0 für e {0, }; h = für e = 2 ud h = 2 für e > 2. Berechug des Exoete ε () ε () = gv( f, ϕ( α ),..., ϕ( α )) für e < 2 Dar st f = 2 für e = 2 2 e 2 für e > 2 Elemetartelerette (Läge: g) bestmme aus ε () m 2... m g = ϕ () ud m + m ; alle Fatore gerade. (I omlzertere Fälle mt Hlfe des Tabelle-Schemas (s. vorge Sete)) Strutur: C ε ().. C.. C mg 2. Bestmmug vo Erzeugede Prmtvwurzel (PW) zu alle Prmteler vo aufsuche (4 < 2 e : ud 5). Berechug vo g Elemete aus, dere Ordug dee der ezele Elemetarteler etsrcht. Dese erhält ma folgedermaße: Se = α ud se a je e belebges Elemet aus de ezele Ordug o. Da erhält ma als Lösug x der smultae Kogrueze x a mod α e Elemet aus mt ord x = gv(o,..,o ). α mt der Prüfug, ob de g Elemete der Orduge m Utergrue vo erzeuge, de (mt usahme des Eselemetes) dsjut sd. Falls das cht der Fall st, (mdestes) e eues Elemet bestmme ud Prüfug wederhole; sost: M. Erz.-System: (a ε(),..., a mg ) ur Verefachug der Schrebwese wrd de folgede Besele e zu lösedes System smultaer Kogrueze x a mod u;...; x c mod w dargestellt als [a u,.., c w ] x De Idzes gebe also de Modul a. Ebeso bezechet PW v ee Prmtvwurzel zum (lsche) Modul v. (E Programm für smultae Kogr. sehe am Schluss.) 29

30 ugerade Besel = 675 = ; ϕ( ) = 8 20 = 360; ε() = gv(8, 20) = 80 bestzt 2 ugerade Prmteler g = C 80 C 2 wege g = 2 ud 80 2 = ϕ() = 360 Bestmmug vo Prmtvwurzel zu de Modul 3 3 ud 5 2 PW 3 : 2; wege 2 2 mod 3 2 ud (2 + 3) 2 mod 3 2 PW 27 : 2, 5 (sehe Sete 4) PW 5 : 2, 3; 2 4 mod 5 2 ; aber (2 + 5) 4 = mod st ee PW mod 5 2 ud (3 + 5) 4 mod 5 2 PW 25 : 2, 3, 8 (ufgrud der Strutur recht her ee PW zu jeder Prmteler-Potez.) Bestmmug ees Elemets der Ordug ε() = 80 De PW 27 bzw. PW 25 bestze deftosgemäß Ordug 8 Somt: [2 27, 2 25 ] 2 bestzt bzw Ordug 80. Oder z.b.: [5 27, 8 25 ] (ur Schrebwese [...] sehe vorge Sete, ute) Isgesamt lasse sch mt de o.a. 5 PW erschtlch 6 verschedee Elemete der Ordug 80 bestmme. 675 Bestmmug ees Elemets der Ordug 2 Wege zahl(ord a = 2) = 2 g gbt es her geau 3 solche Elemete. I α habe beatlch de Elemete α Ordug 2. Somt fdet ma de 3 Elemete 675 (da ord = ) aus [ 25, ] 26; [ 27, ] 649; [24 25, ] 674 (= ). Prüfug, ob de Schttmege der Utergrue das Eselemet st Be der vo eem Elemet a erzeugte Utergrue gerader Ordug o hat das Elemet a o/2 wege (a o/2 ) 2 = mmer de Ordug 2. Wählt ma m vorlegede Besel das obe berechete Elemet 2 der Ordug 80, so zegt sch, dass 2 90 mod 675 = 649 st. lso st (2, 649) e Erz.-System; wohl aber sd z.b. (2, 26) oder (2, 674) oder (383, 26) Erz.-Systeme für. Besel 2 = 05 = 3 5 7; ϕ(05) = 2 4 6; ε() = gv(2, 4, 6) = 2; g = 3 ϕ() / ε() = 4 Wege g = 3 st de 4 zwe gerade Fatore aufzutele. C 2 C 2 C 2 05 us de lsche Grue, ud sd Elemete so auszuwähle, dass das gv aus dere Orduge 2 bzw. 2 ergbt. PW 3 : 2 (ord = 2); PW 5 : 2, 3 (ord = 4); PW 7 : 3, 5 (ord = 6).B. bestze [ 3, 2 5, 3 7 ] 52 ud [ 3, 3 5, 3 7 ] 73 ud [2 3, 2 5, 5 7 ] 7 Ordug 2. Ordug 2:.B.: [2 3, 4 5, 7 ] 29 ud [ 3, 4 5, 7 ] 64 ud [ 3, 4 5, 6 7 ] 7 Prüfug: Be alle Elemete der Ordug 2 glt: a 2/2 = 64 mod 05; d.h. vo de dre berechete Elemete omme ur 29 ud 7 frage. Da zwe Elemete der Ordug 2 beötgt werde, st och das Produt deser zwe Elemete zu überrüfe: (29 7) mod 05 = wrd z.b. durch (7, 29, 7) erzeugt. 05

31 Bemeruge: Im vorstehede Besel gbt es 6 Elemete der Ordug 2 ud 7 Elemete der Ordug 2. Be alle Elemete a der Ordug 2 st a 6 = 64 mod 05. Damt hat ma 2 och 6 brauchbare Elemete der Ordug 2. Es gbt = 5 Möglchete 2 6 Elemete auszuwähle (ohe Berücschtgug der Rehefolge). I dre Fälle führt das Produt vo zwee deser Elemete (,das ja auch Ordug 2 hat,) auf 64 mod 05. Somt blebe och (5 3 =) 2 Möglchete. Isgesamt gbt es also 6 2 = 92 Trel, de erzeuge. 05 West de Strutur mehrere lsche Grue glecher Ordug auf we m vorge Besel C 2, st es vortelhaft, de betr. Kogruez-Tuel [...] so zu wähle, dass se sch möglchst vele Komoete uterschede. I Besel sd das etwa de Paare [2 3, 4 5, 7 ] ud [ 3, 5, 6 7 ] oder [ 3, 4 5, 6 7 ] ud [2 3, 5, 7 ]. Solche Kogrueze führe fast mmer auf dsjute Utergrue...ε() Das scherste Verfahre, e Tuel zu teste, st es, alle Werte (a... a..mg g ) mod zu bereche. Erhält ma da ϕ() verschedee Reste, erzeugt das betr. Tuel. gerade a): = 2 α ( > 2) Etweder a de 2 als egeer Fator betrachtet werde, so dass da + smultae Kogrueze zu löse sd, oder de 2 wrd eer belebge Prmzahlotez α zugerechet, (da 2 α ebefalls lsch st,) wobe da aber de betr. PW mod 2 α zu bestmme st. Besel 3 = = 70; ϕ(70) = 4 6 = 24; ε(70) = gv(4, 6) = 2; g = = 2; PW 5 : 2, 3; PW 7 : 3, 5; PW 0 : 3, 7; PW 4 : 3, 5 Ordug 2: [2 5, 3 4 ] = [ 2, 2 5, 3 7 ] 7; 7 ε/2 mod 70 = 29 Ordug 2 : 70 = (7, 69) erzeugt. b): = 4 α 70 ( > 2) Es sd + Erzeuger erforderlch. 70 C 2 C 2 Besel 4 = 4 3 = 2; ϕ(2) = 2 2 = 4; ε(2) = 2; g = + = 2; 2 C 2 C 2 Da de dre Elemete > alle Ordug 2 habe müsse, erzeugt jede Kombato vo zwee deser Elemete ; z.b. (5, ). 2 c): = 2 e (e > 2 ); ϕ(2 e ) = 2 e ; ε(2 e ) = 2 e 2 ; g = 2; C e C 2 2 E Erzeugeraar für st stets (5, 2 e ). 2 e llgeme glt: a ± mod 2 e ord a = 2 für a > (zahl 3) a ± 3 mod 8 ord a = 2 e 2 = ε(2 e ) (Bemereswert st, dass de eschlägge Bewese regelmäßg ur de 5 agegebe wrd ud cht de 3.) 2 e 2 3