Dipl.-Kaufm. Wolfgang Schmitt. Aus meiner Skriptenreihe: " Keine Angst vor... " Ausgewählte Themen der deskriptiven Statistik.

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1 Dpl.-Kaufm. Wolfgag Schmtt Aus meer Skrpterehe: " Kee Agst vor... " Ausgewählte Theme der deskrptve Statstk Zetreheaalyse Modellaufgabe Übuge Lösuge

2 Modellaufgabe 1 Nach Übergabe des vom Vater gegrüdete Klebetrebs, der 35 Jahre lag herverraged florerte, a "Tochter & Soh GmbH", etwckelte sch der Umsatz de Moate Jauar 08 bs Oktober 08 so: Moate: Umsatz : Was st ee Zetrehe? Nee de Bestadtele.. Stelle de Zetrehe graphsch dar ud beurtele se. 3. Bereche mt Hlfe der Gauß sche Mmumbedgug ud parteller Dfferetato de Glechug der Tredgerade. 4. Zeche de Tredgerade das vorhadee Bld. 5. Elmere de Tred ud bereche de sasoale Kompoete. 6. Stelle de ree sasoale Umsatzetwcklug eem zwete Bld ohe Tred graphsch dar. 7. Beurtele de Umsatzetwcklug. Lösug 1. Ee Zetrehe st de Etwcklug vo Merkmalsauspräguge äqudstate (glech blebede) Zetabschtte. Bespele: Es wrd Feber gemesse um 10 Uhr 11 Uhr 1 Uhr 13 Uhr Durchschttstemperatur am Motag Destag Mttwoch Umsatz m Jauar Februar März Presdex m Jahr 003 Jahr 004 Jahr 005 Jahr 006 Bestadtele: Ee Zetrehe st ee dskrete Vertelug. De Verbdugsle dee der ur der Optk. Tred: Geerelle Rchtug der Etwcklug der Merkmalswerte, rauf, ruter, waagerecht

3 Sasokompoete: Sasosptze, Sasotäler, regelmäßge Ausschläge ach obe ud ach ute. Zufallsschwakuge: Ncht zu beeflussede Schwakuge. Bespel: Verkaufsoffeer Sotag, de Kude blebe aus, wel 4 Celsus m Schatte. Graphsche Darstellug Beurtelug: Der Tred schet zu falle (egatv), de sasoale Sptze ud de sasoale Täler falle. 3. Glechug der Tredgerade De Tredgerade legt "optmal" zwsche de tatsächlche Umsätze y Zu jedem tatsächlche Umsatz y gehört e Umsatz y* o auf deser Tredgerade. Der Gauß sche Mmumbedgug legt folgede Überlegug zugrude: De Tredgerade st da optmal, we de Summe aller quadrerte Dffereze y - y* e Mmum st.

4 De Berechug st gaz efach: 3 Wr blde de Dffereze, quadrere dese Dffereze, summere dese quadrerte Dffereze ud bereche das Mmum deser quadrerte Abstadssumme. Btte festhalte ud auf kee Fall aufgebe! A Wr ee de gesuchte Tredgerade T mt der Glechug f*(x) = y* = mx + c De Summe der quadrerte Abstäde ee wr S. Somt st: S = (y1 y1*) + (y y*) + + (y y*) B Oder, we wr wsse: * S = (y - y ) Wr setze für y* de Geradeglechug aus A e ud erhalte: =1 =1 S = (y - mx - c) Gesucht st das Mmum der Summefukto S. We berechet ma das? Rchtg! Wr müsse de Dfferetalrechug bemühe. Wr bereche de 1. Abletug vo S, also S' ud setze da S' = 0. Hoppla! Nur ee Glechug, aber Ubekate, ämlch m ud c. Nach welcher Varable soll de abgeletet werde? Nach m oder ach c? Efach: Wr lete zuerst ach m ab, also S m ud da lete wr ach c ab S c Das et ma partelles (telweses) Ablete. Zuächst löse wr de quadratsche Klammer vo =1 S = (y - mx - c) auf. =1 S = (y - ymx - yc - ymx + m x + mxc - yc + mxc + c ) I. Partelle Abletug ach m: Zusammefasse: ud: S m S m S m ( y x y x mx xc xc) ( y x mx xc) (y x mx xc)

5 4 II. Partelle Abletug ach c (das sollte Se jetzt allee hbekomme!): S (y mx c) c Jetzt müsse wr de Glechuge I ud II glech Null setze (Mmum): I: (y x mx xc) = 0 II: (y mx c) = 0 Folgede Umformuge falle us lecht ( - 0 ) I: xy mx cx 0 II: y mx c 0 Wr stelle e weg um ud erhalte de bede Gaußsche Normalglechuge: I: xy mx c x II: y mx c Fertg! Wr habe Ubekate, ämlch m ud c ud Glechuge, mt dee wr m ud c bereche köe. Damt st de "optmale" Tredgerade T bekat. Berechug der Tredgerade. De beötgte Summe erhalte wr über ee Arbetstabelle Moat x Umsatz y x y x Summe: De Gaußsche Normalglechuge laute somt: I: 409 = 385 m + 55 c II: 81 = 55 m + 10c Wr löse ach m = - 0,44 ud c = 10,53 auf ud fertg st de Tredgerade: T: y* = - 0,44 x + 10,53

6 4. Zechug der Tredgerade Wr beötge Pukte: T(0) = 10,53 P1 ( 0 10,53) T(11) = 5,69 P (11 5,69 ) 5 5. Tred elmere Dazu erweter wr de Arbetstabelle: I der Spalte y* sehe wr de Tredwerte. I der Spalte y-y* st de vom Tred befrete ree Sasokompoete zu sehe. 6. Graphsche Darstellug der ree Sasokompoete:

7 7. Gesamtbeurtelug 6 De Umsatzetwcklug zegt ee deutlche Rückgag vo Jauar bs Oktober. De Tredgerade hat ee egatve Stegug. Sowohl de Sasosptze, als auch de Sasotäler verzeche ee Rückgag. Nach Ausschaltug des Treds etsteht e gaz aderes Bld der Umsatzetwcklug. Der Umsatz stegt. Bedeutug: De erbetreblche Aktvtäte der Verkaufsförderug ware gut. Der gesamtwrtschaftlche egatve Nachfragetred ach dese Produkte beeflusste edeutg de Umsatzrückgag, cht de "Ufähgket" des Betrebes "Tochter & Soh GmbH". Übuge Für de folgede Aufgabe 1 3 st zu bearbete: a) Stelle de Zetrehe graphsch dar ud beurtele se. b) Bereche mt Hlfe der Gauß sche de Glechug der Tredgerade. c) Zeche de Tredgerade das vorhadee Bld. d) Elmere de Tred ud bereche de sasoale Kompoete. e) Stelle de sasoale Werte eem zwete Bld ohe Tred graphsch dar. f) Beurtele de Zetrehe. 1. Ezelhadelsumsätze (Halbjahresdate) Mll. (y) 5,, 7, 4, 9, 6, 11, 8, 13, 10.. Nach Eführug ees verbesserte Modells ees bestmmte Gegestades verzechet ee Frma für das alte Modell des gleche Gegestades folgede Umsatzzahle (fortlaufede Halbjahreswerte, 1000 ) (y) 10, 5, 8, 3, 6, 1, De Produkto ees Artkels ( 1000 Stück, fortlaufede Verteljahreswerte) zegte folgede Etwcklug: (y) 1, 1, 3, 5, 5, 5, 7, Ee äqudstate Zetrehe (y) besteht aus 7 Gleder. Bekat se Σy = 5 ud Σxy = 85. Zu bereche st de leare Tredglechug ach der Methode der kleste Quadrate. 5. De statstsche Zetrehe (y) 4,,, 1, 5, 11, 16 gbt de jewels Vermoatsdate weder. Versuche, de Zetrehe zu aalysere

8 Lösuge zu de Übuge 1. 7 x y x y x y * y -y * ,546 1, ,45 -, ,304 1, ,183 -, ,06 1, ,941-1, ,8, ,699-1, ,578, ,457-1, T: y* = 0,879 x +,667 Beurtelug: Postver Tred, stegede Sasosptze ud stegede Sasotäler.. x y x y x y * y -y * ,86 1, ,86 -, ,86 1, ,86 -, ,86 1, ,86 -, ,86 1, y* T: = -1 x + 9,86 Beurtelug: Negatver Tred, Sasosptze ud Sasotäler glech blebed. 3. x y x y x y * y -y * ,666 0, ,761-0, ,856 0, ,951 1, ,046-0, ,141-1, ,36-0, ,331 0, y* T: = 1,095 x + -0,49 Beurtelug: Postver Tred, Sasosptze ud Sasotäler falled

9 4. Σx = 8 Σx = 140 y* = - 0,536 x + 5, Her das Bld der Zetrehe. Der Tred schet cht lear zu se, eher parabelförmg. Ee Tredparabel würde da laute: y* = ax + bx + c Auch her exstere ach der Methode der kleste Abstadsquadratsumme de gaußsche Normalglechuge zur Berechug vo a, b ud c. Se laute: I: II: III: Σy = aσx + bσx +c 3 Σxy = aσx + bσx + cσx Σx y =aσx + bσx + cσx Probere Se's doch efach! Ich schlage ee adere Weg vor, ämlch als Tredwerte y* gletede Mttelwerte vo je 3 y-werte zu bereche. Für y1* = 6 ud für y7* = 0 als Dummy. führt zur graphschetredparabel ( ) De aalytscher Aussage der Tredparabel geht ur über Gauß. Der Tred ka auch mt deser Methode ausgeschaltet (y y*) werde. Das Bld zegt de ree Sasokompoete.

10 Formelblatt Statstk 9 Mttelwerte Streuug Schefe Σxf x = Σf s = Σ(x - x) f Σf s V 100 x sk = 3 ( x - Z) s M = x x x... x = g 1 3 x 1 f M = x x x... x = x g f1 f f3 f w (1 1 w ) -1 Zetrehe Regresso Korrelato y* = m1 x + c1 x* = m x + c y m1x c1 x my c xy mx c x 1 1 xy my c y c 1 = y - m1x c 1 = x - m y Σxy - yσx Σxy - xσy m = m = Σx - xσx Σy - yσy Σ(x - x)(y - y) r = = m m Σ(x - x) Σ(y - y) BP 1 * Σ(y - y ) 1 Σ(x - x ) k = k = Σ(y - y) Σ(x - x) * Progose V = V + α (T - V ) V = α (1 - α) T =1-1 =1 α (1 - α) 1 Idzes P L 1 1 pm 1 p m P P 1 1 pm 1 p m M L 1 1 pm 0 p m M P 1 1 pm 1 pm 1 1 0