Regressions- und Korrelationsanalyse
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- Wolfgang Hafner
- vor 7 Jahren
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1 Dpl.-Kaufm. Wolfgag Schmtt Aus meer Skrpterehe: " Kee Agst vor... " Ausgewählte Theme aus der deskrptve Statstk Regressos- ud Korrelatosaalyse Modellaufgabe Übuge Lösuge
2 Was bedeutet Regressos- ud Korrelatosaalyse? Hter der Regressos- ud Korrelatosaalyse steht de Frage: "Bestehe zwsche zwe Merkmalsauspräguge Zusammehäge?" Bespele für Merkmalsauspräguge: Körpergröße Körpergewcht Schuhgröße Körpergröße Pres Umsatz Doss ees Medkametes Etrttszet der Wrkug Progose eer Etwcklug tatsächlche Etwcklug Dügeresatz. Erteertrag Tagestemperatur Kude eer Esdele usw. Was wrd mt Hlfe der Regresso gemesse? Mt der Regresso wrd de Art ees Zusammehags gemesse. Postve Regresso Negatve Regresso Merkmal 1 stegt Merkmal stegt Merkmal 1 stegt Merkmal skt Merkmal 1 stegt (fällt) Merkmal blebt (fast) glech Merkmal 1 blebt (fast) glech Merkmal stegt (fällt?) Oder kee Regresso messbar
3 Was wrd mt Hlfe der Korrelato gemesse? Mt der Korrelato wrd de Itestät (Stärke) ees Zusammehags gemesse. Starker (eger) Zusammehag Schwacher (lockerer) Zusammehag Be de bede obge Blder st de Regresso postv. De Korrelato ka auch be egatver Regresso eg oder locker se. We wrd de Regresso gemesse? Modellaufgabe: Zu utersuche st, ob e Zusammehag besteht zwsche Wareegag (x) ud Absatz (y) m Ezelhadel, bedes Mo. 5 aufeader folgede Moate. Bearbetugsschrtte: 1. Stelle de Stuato graphsch dar ud beurtele Regresso ud Korrelato. Bereche de Glechuge beder Regressosgerade 3. Aalysere de Regresso ahad der Geradeglechuge 4. Zeche de Regressosgerade das Bld 5. Bereche de Korrelatoskoeffzete r ach Bravas-Pearso ud beurtele de Korrelato ahad der Größe r. 6. Bereche de "coeffcet of aleato" k² (Ubestmmthetsmaß) ud werte h aus.
4 Lösuge der Modellaufgabe zu 1. graphsche Darstellug Beurtelug: De Regresso st postv. Ee eher ege Korrelato st erkebar zu. Glechuge beder Regressosgerade De Regresso wrd mt Hlfe der bede Regressosgerade A: y* = m1x + c 1 ud B: x* = my + c gemesse. De Regressosgerade A st detsch mt der Tredgerade. Sehe dazu mee Ausarbetug "Zetreheaalyse" (Mmum der vertkale Abstadsquadratsumme) De Regressosgerade B wrd ebefalls mt Hlfe der gaußsche Mmumsbedgug berechet. Allerdgs wrd her das Mmum der Summe der horzotale Abstadsquadrate verwedet. horzotale Abstäde (Bespel) De Abstäde sd x x*. De jewelge bede gaußsche Normalglechuge laute: Regressosgerade A: I: y m1x c1 II: xy mx c x 1 1 Regressosgerade B: I: x my c II: xy my c y De daraus zu berechede Geradeglechuge laute: A: y* = m1 x + c1 ud B: x* = m x + c
5 Mt Hlfe eer Arbetstabelle ermttel wr de erforderlche Summe. x = Größe y = Gewcht Daraus ergebe sch: A: I: = 3 m1 + 5 c1 II: 130 = 147 m1 + 3 c1 B : I: 3 = m + 5 c II: 130 = 118 m + c Nach m1 ud, c1 ud ach m ud c auflöse: m1 = 0,7 c1 = 1,18 m = 1,358 c = -1,38 Lösug: De Glechuge der bede Regressosgerade laute A: y* = 0,7x + 1,18 B: x* = 1,358 y 1,38 Für de spätere Zechug müsse wr de Glechug B och ach y auflöse. Se lautet B: y = 0,736 x* + 1,016 zu 3: Aalyse Bede Regressosgerade habe ee postve Stegugsfaktor. De Regresso st postv. zu 4: Zechug der bede Regressosgerade
6 zu 5: Berechug des Korrelatoskoeffzete Wr bereche e Maß, dass de Itestät des Zusammehags azegt. Korrelatoskoeffzet ach Bravas-Pearso r Σ(x - x)(y - y) r = = m m Σ(x - x) Σ(y - y) 1 Dese Idettät köe Se achwese, we Se mee Ausarbetug "Umgag mt dem - Operator durcharbete. We sehe, dass r = m1 m das geometrsche Mttel der bede Stegugsfaktore der Regressosgerade sd. Wr setze e: r = 0, 7 1, 358 = 0,951 Was bedeutet das? De Statstker setzte fest: 0 r 0, 5 ke Zusammehag 0, 5 r 0,5 sehr schwacher Zusammehag 0, 5 r 0, 75 deutlcher Zusammehag 0, 75 r 1 star ker Zusammehag Beurtelug mt userem r =0,951 ka gesagt werde, dass zwsche dem Wareegag ud dem Wareabsatz e sehr starker Zusammehag besteht. zu 6: Berechug des "coeffcet of aleato" k² (Ubestmmthetsmaß) k gbt a, we scher r st, also we aussagekräftg. Frage: Ist r ur auf de bede Merkmalsauspräguge zurück zu führe oder wrke auch och adere (ubekate) Faktore mt. Bld 1 Bld
7 Mt großer Wahrschelchket habe de Merkmalsauspräguge des Bldes 1 de gleche Korrelatoskoeffzete we de des Bldes. Se sehe aber, dass de Puktewolke des Bldes 1 schef st ud zwar fuß- ud kopflastg. De Puktewolke des Bldes st sehr homoge. Je äher * Σ(y - y ) 1 Σ(x - x ) k = = k = be 0 legt, umso homogeer st Σ(y - y) Σ(x - x) de Puktewolke ud umso aussagekräftger der Korrelatoskoeffzet. Berechug über ee Erweterug der Arbetstabelle: * 1,068 Somt st k 0, , 1 =. Auswertug: Deser Wert k 1 st ahe geug be 0. Das bedeutet, r st zemlch gut geschert. Zwsche dem Wareegag ud dem Wareabsatz st tatsächlch e sehr starker Zusammehag festzustelle. Daß k1 k se muß, das bereche Se btte selbst. We cht, st Ihrer Rechug der Wurm dr.
8 Übugsaufgabe 1. Nachfolged sd de Prese (x) ud de umgesetzte Mege (y) eer Ware gegeüber gestellt: Pres Mege a) Regressosbld; b) Bestmmug der bede Regressosglechuge ud Zechug; c) Bravas-Pearsoscher Korrelatoskoeffzet; d) Auswertug. Zwe statstsche Rehe zege folgede Werte: (x) (y) Der Zusammehag deser bede Rehe st zu utersuche. a) Regressosbld; b) Bestmmug der bede Regressosglechuge ud Zechug; c) Bravas-Pearsoscher Korrelatoskoeffzet; d) Bestmmug der bede Ubestmmthetsmaße e) Auswertug 3. De Großhadelsprese zweer ladwrtschaftlcher Produkte zege folgede Bewegug ( /Ztr.) (x) (y) a) Regressosbld; b) Bestmmug der Regressosglechuge ud Zechug; c) Bravas-Pearsoscher Korrelatoskoeffzet; d) Berechug des Ubestmmthetsmaßes; e) Auswertug. 4. E Verbad ermttelt für 10 hm ageschlossee Frme de durchschttlche Kalkulatosaufschlag ( % des Ekaufspreses) ud de jährlche Lagerumschlag. Es ergabe sch folgede Werte y (Kalkulatosaufschlag) ud x (Lagerumschlag) y x 8,5 7,8 7,5 6, 6,5 6,0 5,6 4,6 4,0 3,3 Bereche Se de Zusammehag zwsche Kalkulatosaufschlag ud Lagerdauer. a) Regressosbld; b) Glechug der Regressosgerade c) Korrelatoskoeffzet ach Bravas-Pearso; d) Auswertug.
9 5. Hepar st e Medkamet, das de Blutgerug verzögert. I eer Klk erhelte sgesamt = 100 Patete 3 Versuchsgruppe ee Sprtze mt Hepar verschedeer Doss (x-mlllter). Es wurde de Zet (y-mute) gemesse zwsche Verabrechug der Sprtze ud dem Etrtt der Blutgerug. De Messug ergab folgede Ergebsse: Stelle Se mt Hlfe eer geegete Auswertug der Messug fest, ob e Zusammehag zwsche der verabrechte Doss ud der Zet der Verzögerug der Blutgerug besteht. Wähle Se de Methode selbstädg. 6. I eer erährugswssechaftlche Versuchsrehe wll ma de mmale Mege vo Atoxdatosmttel, Lezth E 35 (L) ud Carot (C) bereche, de eem Nahrugsmttel zugegebe werde müsse, damt das Nahrugsmttel läger haltbar blebt. Aus de Versuche hat ma folgede Glechug für de Summe S der bede Mege L ud C ermttelt S = Σ(CL x + LC y De agegebee Summefukto S hat, we ma seht, Ubekate, ämlch L ud C. Se müsse Iformatosglechuge I ud II erstelle, damt ma zum Mmere S' = 0 setze ka.
10 Lösuge zu de Übugsaufgabe (ohe Gewähr) zu 1: a) b) A: y* = -1, x + 1 B: x* = -0,7 y + 9,1 B: y = -1,4 x* + 13 c) r = 0,936 d) Negatve Regresso Sehr starke Korrelato zu. a) b) A: y* = 0,31 x + 0,597 B: x* =,56 y + -0,3 B: y = 0,391 x* + 0,117 c) r = 0,89 d) k 1 = k = 0,036 e )Postve Regresso, starke Korrelato, wege k cht so gut geschert. 1/ zu 3.a) b) A: y* = 1,539 x +,14 B: x* = 0,599 y + 0,436 B: y = 1,669 x* + -0,73 c) r = 0,961 d) k 1 = k = 0,0773 e) Postve Regresso, sehr ege Korrelato, sehr gut geschert. zu 4. a) b) A: y* = -5,48 x + 6,86 B: x* = -0,18 y + 11,5 B: y = -5,71 x* + 64,9 c) r = 0,98 d) Sehr strammer Zusammehag
11 zu 5. a) Ee Urlste st cht vorhade, deshalb ka das Regressosbld cht dargestellt werde. b) Zur Berechug der Regressosgerade muß de Arbetstabelle erwetert werde: c) 1. Regressosgerade: y1* = 10,51x - 11,5. Regressosgerade: x* = 0,044y + 1,40 y =,73x* - 31,96 Es besteht ee postve Regresso, wel bede Stegugsfaktore postv sd. Es wrd e lockerer Zusammehag erwartet, wel de Stegugsfaktore erheblch voeader abweche. d) r = 10, 51 0, 044»0, 68 De Korrelato st, we erwartet, sehr locker, wel r << 1. zu 6. Gegebe st: Partalabletuge: S = Σ(CL x + LC y S = Σ(CLx + C y ) L S = Σ(L x + CLy ) C Also: I = II = CLΣx + C Σy = 0 L Σx + CLΣy = 0
12 Formelblatt Statstk Mttelwerte Streuug Schefe Σxf x = Σf s = Σ(x - x) f Σf s V 100 x sk = 3 ( x - Z) s M = x x x... x = g 1 3 x 1 f M = x x x... x = x g f1 f f3 f w (1 1 w ) -1 Zetrehe Regresso Korrelato y* = m1 x + c1 x* = m x + c y m1x c1 x my c xy mx c x 1 1 xy my c y c 1 = y - m1x c 1 = x - m y Σxy - yσx Σxy - xσy m = m = Σx - xσx Σy - yσy Σ(x - x)(y - y) r = = m m Σ(x - x) Σ(y - y) 1 * Σ(y - y ) 1 Σ(x - x ) k = k = Σ(y - y) Σ(x - x) * Progose V = V + α (T - V ) V = α (1 - α) T =1-1 =1 α (1 - α) 1 Idces P L 1 1 pm 1 p m P P 1 1 pm 1 p m M L 1 1 pm 0 p m M P 1 1 pm 1 pm 1 1 0
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