WORKING PAPERS Arbeitspapiere der Betrieblichen Finanzwirtschaft

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1 WORKING PAPERS Arbetspapere der Betreblchen Fnanzwrtschaft Lehrstuhl für Betrebswrtschaftslehre, nsbes. Betreblche Fnanzwrtschaft Bfw50V/06 Kumulatve Prospect Theory by Wolfgang Breuer and Marc Gürtler Frst Draft: Ths Verson: RWTH Aachen Unversty Department of Fnance Templergraben 64 D Aachen Germany Phone: Fax:

2 Kumulatve Prospect Theory by Wolfgang Breuer and Marc Gürtler Prof. Dr. rer. pol. Wolfgang Breuer Prof. Dr. rer. pol. Marc Gürtler Unverstätsprofessor Unverstätsprofessor RWTH Aachen Unversty Braunschweg Unversty of Technology Department of Fnance, Department of Fnance, Templergraben 64, Aachen, Germany Abt-Jerusalem-Str. 7, 3806 Braunschweg, Germany Tel.: Fax: Tel.: Fax:

3 Kumulatve Prospect Theory Prof. Dr. Wolfgang Breuer, Aachen, Prof. Dr. Marc Gürtler, Braunschweg. Problemstellung Gegenstand der deskrptven Entschedungstheore st de Erklärung realen menschlchen Entschedungsverhaltens. Spätestens set den Arbeten von Allas (953) war dabe bekannt, dass das auf de Maxmerung des erwarteten Nutzens von Entschedern abstellende Bernoull-Prnzp wohl als Postulat vernünftgen Entschedungsverhaltens angesehen werden kann, emprsch aber n velfältger Wese dagegen verstoßen wrd. Von den velen alternatven Entschedungstheoren, de m Laufe der Jahrzehnte entwckelt worden snd, hat sch de kumulatve Prospect Theory von Tversky/Kahneman (992) als ene der am mesten beachteten erwesen. Konzeptonell stellt se ene Weterentwcklung der ursprünglchen Prospect Theory dar. Im Abschntt 2 werden zunächst de der ursprünglchen Prospect Theory zugrunde legenden Annahmen dargestellt und das hermt verbundene Problem enes möglchen unplausblen Verstoßes gegen Domnanzüberlegungen dargelegt. Abschntt 3 beschrebt de kumulatve Prospect Theory als Fortentwcklung der ursprünglchen Prospect Theory von Kahneman/Tversky (979), und es wrd erläutert, we das m Abschntt 2 behandelte Problem gelöst werden konnte. Der Betrag schleßt mt enem kurzen Fazt m Abschntt De ursprünglche Prospect Theory von Kahneman/Tversky (979) Im Weteren se von ener endlchen Menge S = {s,, s N } von möglchen künftgen Umweltzuständen ausgegangen. En Prospect oder ene Ausscht ordnet dann jedem deser Umweltzustände s en Ergebns x zu, das relatv zu enem Referenzpunkt x (R) defnert st. Das bedeutet, dass mt x als dem absoluten Ergebns x := x x (R) glt. Zur Verenfachung se x x j für < j,, j =,, N, sowe x 0 ( =,..., k) und x > 0 ( = k,..., N) unterstellt. Ferner se zu jedem Umweltzustand s ene Entrttswahrschenlchket p gegeben. Vor desem Hntergrund st ene Ausscht X dann konkret en Vektor (( x,p ), ( x 2, p 2 ),, ( x N, p N )) von Paaren ( x, p ), =,, N. In der tradtonellen Erwartungsnutzentheore ergbt sch der subjektve Wert ener solchen Ausscht als Erwartungswert ener ndvduellen Rskonutzenfunkton u, de n den absoluten Ergebnssen x defnert st. De Prospect Theory unterschedet sch hervon n mehrfacher Hnscht: Erstens baseren we schon ausgeführt de subjektven Werte v( x ) auf den relatven Ergebnssen x. Zwetens wecht der Verlauf von v(.) von den typschen Formen von Rskonutzenfunktonen ab. Gemäß Tversky/ Kahneman (992) glt konkret:

4 α ( x), v( x) = β λ ( x), x 0, x< 0 () mt α β 0,88 und λ 2,25 (vgl. auch Abb. ) v( x) x Abb. : Wertfunkton nach Kahneman/Tversky (979) und Tversky/Kahneman (992) Aufgrund des konkaven Verlaufs m Gewnnberech verhält sch der Entscheder her tendenzell rskoscheu und wegen der Konvextät m Verlustberech dort rskofreudg. Ferner west λ > auf en verlustaverses Verhalten hn: Der Nutzenverlust aus ener negatven Abwechung x < 0 von enem Referenzpunkt x (R) st betragsmäßg größer als der Nutzenzuwachs aus ener betraglch glech großen postven Abwechung x > 0. Drttens werden de subjektven Werte v( x ) ncht mt den Entrttswahrschenlchketen p multplzert, sondern mt Wahrschenlchketsgewchten w(p ). Auf dese Wese kann emprschen Phänomenen n Form des (a) Möglchkets- (oder Wahrschenlchkets-) Effekts und des (b) Scherhetseffekts Rechnung getragen werden: (a) De Konsequenzen enes Eregnsses A auf w(.) snd größer, wenn es zum unmöglchen Eregns hnzugefügt wrd, als wenn man es zu rgendenem anderen belebgen Eregns B addert. (b) De Konsequenzen enes Eregnsses A auf w(.) snd größer, wenn deses Eregns vom scheren Eregns abgezogen wrd, als wenn man es von rgendenem anderen Eregns A B subtrahert. Ene wchtge Konsequenz deser Effekte besteht darn, dass Eregnsse mt klenen Entrttswahrschenlchketen ene allzu große Aufmerksamket setens enes Entscheders m Verglech zu enem Verhalten nach der Erwartungsnutzentheore erfahren. Nur für de beden Extremfälle = w() und 0 = w(0) sowe ene mttlere Wahrschenlchket glt de Identtät p = w. Nach Lattmore/Baker/Wtte (992) lässt sch de Wahrschenlchketsgewchtungsfunkton we folgt darstellen: 2

5 γ δ p w (p): ( x 0) γ p = > γ γ δ δ p (p) w δγ, (p): = : = (2) γ γ δ p ( p) γ δ p w (p): = ( x< 0). γ γ δ p (p) De Parameter δ and γ mögen für w und w und für verschedene Entschedungsstuatonen unterschedlch ausgeprägt sen und snd jewels für verschedene Egenschaften der Wahrschenlchketsgewchtungsfunkton verantwortlch. Während γ vornehmlch de Dscrmnablty ( Unterschedbarket ) steuert, st δ n erster Lne für de Attractveness ( Attraktvtät ) verantwortlch. In desem Zusammenhang versteht man unter Dscrmnablty de Intenstät, mt der Entscheder zwschen verschedenen Wahrschenlchketen unterscheden. Graphsch äußert sch ene ceters parbus höhere Dscrmnablty n ener größeren Stegung der Wahrschenlchketsgewchtungsfunkton für mttlere Entrttswahrschenlchketen, we Abb. 2 (lnks) verdeutlcht. w δ,γ (p) δ = 0,5; γ = 0,5 δ = 0,5; γ = 0,8 w δ,γ (p) δ = 0,5; γ = 0,5 δ = 0,8; γ = 0,5 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0,2 0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 p 0,2 0,4 0,6 0,8 p Abb. 2: Wahrschenlchketsgewchtungsfunktonen nach Lattmore/Baker/Wtte (992) für unterschedlche Ausprägungen von Dscrmnablty γ und Attractveness δ Im Gegensatz herzu mplzert ene höhere Attractveness gemäß Abb. 2 (rechts) generell größere Wahrschenlchketsgewchte und brngt damt ene stegende Wertschätzung der enzelnen Entrttswahrschenlchketen zum Ausdruck. Im Weteren se gemäß den Ergebnssen von Abdellaou (2000) für Entschedungen be Rsko δ = 0,65 und δ = 0,84 sowe γ = 0,6 und γ = 0,65 angesetzt. De zur Entschedung maßgeblchen Präferenzwerte PT für verschedene Handlungsalternatven ergeben sch zusammenfassend als N (3) = PT( X) = w(p ) v( x ). 3

6 Schon mt der Prospect Theory n hrer ursprünglchen Form lassen sch zahlreche Phänomene erklären. Zu denken st etwa an das Fredman/Savage-Paradoxon des glechzetgen Abschlusses von Verscherungsverträgen und des Erwerbs von Lotterelosen durch en und denselben Entschedungsträger (vgl. Breuer/Gürtler (2006)) und de Relevanz des Framng. Letzteres zelt auf den Umstand ab, dass sch das Verhalten von Indvduen schon dann ändern kann, wenn dasselbe Entschedungsproblem n unterschedlcher Form präsentert wrd. Be enem Verhalten gemäß dem Bernoull-Prnzp kann en solcher Effekt ncht beobachtet werden. Im Rahmen der Prospect Theory mag je nach der Präsentaton enes Entschedungsproblems ndes de Wahl des Referenzpunkts x (R) beenflusst werden. Da unterhalb des Referenzpunkts en anderer Kurvenverlauf als oberhalb vorlegt, kann sch durch ene Referenzpunktverschebung auch ene Verhaltensänderung ergeben. Unglücklcherwese mögen Entschedungen auf Bass der Prospect Theory be mehr als zwe möglchen künftgen Umweltzuständen zu unplausblen Verstößen gegen Domnanzüberlegungen führen, de auch reale Entscheder nach Möglchket zu vermeden suchen werden. Zur Veranschaulchung werde en Anleger betrachtet, der für de Anlage senes Vermögens m Zetraum von t = 0 bs t = de Auswahl zwschen zwe Alternatven und 2 bestzt. In desem Zusammenhang snd m Zetpunkt t = dre Zustände denkbar, wobe sch zustands- () (2) abhängg de folgenden Vermögensänderungen % x und % x und gegenüber dem Referenzpunkt des Anlegers aus den beden Anlageformen und 2 ergeben: Zustand s s 2 s 3 p 0,6 0,2 0,2 % x () 0 GE.000 GE.000 GE % x (2) 0 GE 900 GE.000 GE Tab. : Vermögenskonsequenzen n den enzelnen Zuständen und Entrttswahrschenlchketen Alternatve lefert n jedem Umweltzustand mndestens ebenso hohe Enzahlungen we Alternatve 2 und n (mndestens) enem Umweltzustand sogar echt höhere Werte. Man sprcht n desem Zusammenhang von Vorlegen ener Zustandsdomnanz. Natürlch wrd jeder Entscheder n Anbetracht der Werte aus Tab. de Alternatve präfereren. Geht man des Weteren von der Wertfunkton aus () und gemäß Abdellaou (2000) von Wahrschenlchketsgewchten w(0,2) = w (0,2) 0,2205 und w(0,4) = w (0,4) 0,3376 aus, so ergbt sch auf Bass von (3) folgende Beurtelung der beden Alternatven: 4

7 = () PT( X ) w(0,4) v(.000) 0, ,558 47,3625, = (2) PT( X ) w(0, 2) v(900) w(0, 2) v(.000) 0, 2205 (397, ,558) 66,8757. (4) De zustandsdomnerte Alternatve wrd gemäß den Ergebnssen aus (4) folglch vorgezogen. Ursächlch für desen Befund st der Umstand, dass mttlere Wahrschenlchketen (her konkret: p = 0,4) derart gerng gewchtet snd, dass zwe Eregnsse mt zusammen glech großer Entrttswahrschenlchket (her: zwemal p = 0,2) n Summe über en höheres Wahrschenlchketsgewcht verfügen. Des wederum kann etwage, m letzteren Fall m Verglech zum ersteren gerngere Vermögensänderungen gegebenenfalls überkompenseren und so Verstöße gegen das Zustandsdomnanzprnzp auslösen. Unter desem Aspekt west de Prospect Theory damt enen entschedenden Mangel auf, der erst durch de Weterentwcklung zur kumulatven Prospect Theory durch Tversky/Kahneman (992) besetgt werden konnte. 3. De kumulatve Prospect Theory von Tversky/Kahneman (992) Zur Lösung des gerade beschrebenen Problems werden de weter oben engeführten Wahrschenlchketsgewchte n Abhänggket kumulerter Entrttswahrschenlchketen neu defnert, wobe für Stuatonen m Verlustberech x < 0 auf Wahrschenlchketsgewchte w (p... p ) und für Stuatonen m Gewnnberech x > 0 auf Wahrschenlchketsgewchte w (p... p N) abgestellt wrd. Überdes werden de möglchen Ausprägungen der subjektven Wertfunkton nun ncht drekt mt den Wahrschenlchketsgewchten multplzert, sondern denen herzu neu engeführte Entschedungsgewchte π := für Gewnne bzw. π := π für Verluste, de sch als Dfferenzen korresponderender, jewels benachbarter Wahrschenlchketsgewchte beschreben lassen: π : = w (p... p ) w (p... p ), π : = w (p... p ) w (p... p ). N N De Beurtelung verschedener Alternatven m Rahmen der kumulatven Prospect Theory erfolgt sodann anhand der folgenden gewogenen Summe: N (6) = CPT( X) = π v( x ). Verletzungen stochastscher Domnanz snd nun ncht mehr möglch, wel etwa m Kontext des her betrachteten Bespels de Summe der Entschedungsgewchte zu zwe klenen Vermögenszuwächsen be Gesamtentrttswahrschenlchket p dentsch zum Entschedungsgewcht für enen größeren Vermögensansteg mt glecher Entrttswahrschenlchket p st und π (5) 5

8 folglch ene Überkompensaton klenerer Vermögenskonsequenzen durch de Entschedungsgewchte ncht auftreten kann. Für das her betrachtete Bespel erhält man konkret de zu den Zuständen gehörenden Entschedungsgewchte (und Wertfunktonswerte) aus Tab. 2. Zur besseren Nachvollzehbarket se de Berechnung des Entschedungsgewchts π kurz dargelegt. Auf Bass der ersten Zele von (5) ergbt sch deses gemäß π = w ( p = 0,6) w (0). Da laut (2) de Werte w (0,6) 0,5223 sowe w (0) = 0 für Parameterwerte δ und γ gemäß Abdellaou (2000) resulteren, ergbt sch en Entschedungsgewcht 0,5223. π von etwa Zustand s () s (2) s (3) p 0,6 0,2 0,2 p...p Projekt 0,6 p...p Projekt 2 0,6 0,8 π 0,5223 π Projekt 0,3376 π Projekt 2 0,7 0,2205 () v( % x ) v(0) = 0 v(.000) 436,558 (2) v( % x ) v(0) = 0 v(900) v(.000) 397, ,558 Tab. 2: Wertfunktonsrealsatonen und Wahrschenlchketsgewchte nach Tversky/Kahneman (992) Auf deser Bass gelangt man zu folgenden Präferenzwerten: CPT( X ) 0, , ,558 47,3625, CPT( X ) 0, ,7 397,86290, ,558 42,8380, 2 so dass de zustandsdomnerte Alternatve 2 m Rahmen der kumulatven Prospect Theory n der Tat gegenüber der Alternatve abgelehnt wrd. Auch n desem Bespel zegt sch näm- lch, dass das Entschedungsgewcht π für Projekt der Summe der Entschedungsgewchte π für Projekt 2 entsprcht und somt auch her de vor dem Bespel angemerkte Verletzung von Zustandsdomnanzüberlegungen ncht mehr möglch st. (7) 4. Fazt De Prospect Theory nach Kahneman/Tversky (979) hat sch m Laufe der Zet als ene außerordentlch erklärungsstarke deskrptve Entschedungstheore erwesen (vgl. auch Klophaus (997)). Nur war se mt dem Makel behaftet, dass n Stuatonen mt mehr als zwe 6

9 möglchen Ergebnssen unplausble Verstöße gegen Zustandsdomnanzüberlegungen auftreten konnten. Ihre Weterentwcklung durch Tversky/Kahneman (992) hn zur kumulatven Prospect Theory konnte desem Makel abhelfen, ndem Wahrschenlchketsgewchte n kumulerten Wahrschenlchketen und de zugehörgen Entschedungsgewchte als Dfferenzen deser modfzerten Wahrschenlchketsgewchte defnert wurden. Es sollte ncht überraschen, dass de Nutzung der (kumulatven) Prospect Theory dank der Behebung deses Problems n der Lteratur für zahlreche Anwendungen we etwa das Erklären beobachtbarer Rskoprämen m Rahmen des Erwerbs von Akten noch stärkere Bedeutung gewonnen hat. Lteratur Abdellaou, M., Parameter-Free Elctaton of Utlty and Probablty Weghtng Functons, n: Management Scence, Vol. 46 (2000), S Allas, M., Le Comportement de l Homme Ratonnel Devant le Rsque: Crtque des Postulats et Axomes de l Ecole Amercane, n: Econometrca, Vol. 2 (953), S Breuer, W., M. Gürtler, Das Fredman/Savage-Paradoxon, unveröffentlchtes Manuskrpt, Aachen/Braunschweg Kahneman, D., A. Tversky, Prospect Theory: An Analyss of Decson under Rsk, n: Econometrca, Vol. 47 (979), S Klophaus, R., Prospect-Theore, n: Wrtschaftswssenschaftlches Studum, 26. Jg. (997), S Lattmore, P. M., J. R. Baker, A. D. Wtte, The Influence of Probablty on Rsky Choce, n: Journal of Economc Behavor and Organzaton, Vol. 7 (992), S Tversky, A., D. Kahneman, Advances n Prospect Theory: Cumulatve Representaton, n: Journal of Rsk and Uncertanty, Vol. 5 (992), S