Zur Behandlung von Messergebnissen im Physikalischen Grundpraktikum

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1 Dr. rer. at. Norbert Ste, Dpl.-Ig. Helmut Barth Zur Behadlug vo Messergebsse m Physkalshe Grudpraktkum. Messabwehuge ud hre Ursahe Be hrehed hoher Geaugket der Messmttel lefer mehrere Messuge am glehe Objekt uter glehe Bedguge der Regel ht das glehe Messergebs. Jedes Messergebs stellt ee Shätzwert für de Wert der Messgröße X dar. De Abwehug ka durh e Usherhetstervall gekezehet werde ud wrd ah DIN 39 heute als Messabwehug bezehet. Shleßt ma grobes Fehlverhalte der Perso, de de Messug ausführt (z. B. falsher Gebrauh ees Messstrumetes, falshes Notere des Ergebsses) aus, da lasse sh verblebede Messabwehuge tradtoell Kategore etele: Systematshe oder methodshe Abwehuge sd durh de verwedete Messaordug festgelegt ud köe m Przp durh ee Korrekturrehug erfasst ud zu Null gemaht werde. De dafür beötgte Agabe sd jedoh häufg ht bekat oder hre Bestmmug wäre zu aufwedg. Charakterstsh für systematshe Abwehuge st, dass be der Wederholug vo Messuge uter glehe Bedguge hr Atel ah Betrag ud Vorzehe kostat blebt. Systematshe Messabwehuge köe verursaht werde durh: falsh kalbrerte Maßstäbe oder Gerätefehler Fehlerhaftgket des Messobjekts (z. B. uree Stoffe) Veräderug des Messobjekts währed der Messug (z. B. thermshe Ausdehug) Beeflussug des Messobjekts durh de Messvorgag Nhtbeahte gesetzmäßger physkalsher Zusammehäge, de de Messvorgag beeflusse fehlerhafte Messug durh de Beobahter (z.b. Parallae) Im Versuhsprotokoll sd de erkate systematshe Messabwehuge verbal zu erfasse ud hre Größeordug ah Möglhket abzushätze. Zufällge oder statstshe Abwehuge etstehe m Ergebs eer große Zahl voeader uabhägger zufällger Eflüsse, de weder durh das subjektve Verhalte des Messede (z. B. besodere Sorgfalt) oh durh de Messmethode (z. B. Präzsosgeräte) vermede oder korrgert werde köe. Verursaht werde statstshe Messabwehuge uter aderem durh ht erfassbare ud ht beeflussbare Versuhs- ud Umgebugsbedguge, Uvollkommehete bem Erfasse der Messwerte oder durh de statstshe Charakter der Messgröße selbst (radoaktver Zerfall). Für statstshe Abwehuge glt: Es werde re zufällge Abwehuge vom wahre Wert bewrkt, de Rhtug der Abwehug (postv oder egatv) st przpell ubekat. De Abwehuge shwake um de Wert der Messgröße, kleere Abwehuge trete häufger auf als große, be letztere müsse sh ja vele zufällge Abwehuge gleher Rhtug addere. Postve ud egatve Abwehuge trete be hrehed vele Messuge gleh häufg auf. De statstshe Messabwehug st also ee Zufallsgröße m Se der Wahrshelhketsrehug ud ka als ormalvertelt agesehe werde.

2 Dr. rer. at. Norbert Ste, Dpl.-Ig. Helmut Barth Als Messusherhet oder kurz Usherhet bezehet ma de uzurehede Kets des Wertes der Messgröße (quattatve Beshrebug der Qualtät der Messug). Das Messergebs st ah erfolgter Korrektur hshtlh der bekate systematshe Eflüsse mmer oh ur e Shätzwert. Es verblebt ee Usherhet, de sh aus zufällge Eflüsse ud uvollkommeer Berhtgug obe geater systematsher Eflüsse ergbt.. Praktshe Bewertug vo Messergebsse De Vorgeheswese zur Bestmmug der Stadardusherhet ees Messergebsses rhtet sh der Regel ah der Azahl der zur Bestmmug der Messgröße durhgeführte Ezelmessuge. Für Messrehe mt 0 kommt de Ermttlugsmethode A zum Esatz, wurde ur emal gemesse oder musste Messrehe mt < 0 ausrehe, st de Ermttlugsmethode B für de Stadardusherhet azuwede. Im Normalfall st de m Epermet zu bestmmede Größe ht selbst Messgröße, soder ee Fukto mehrerer Messgröße. I bede aufgeführte Fälle hat ma zur Formulerug des Messergebsses see komberte Stadardusherhet zu berehe... Stadardusherhet ah Ermttlugsmethode A (statstshe Methode) Im Praktkum wrd de statstshe Methode zur Bestmmug der Stadardusherhet agewadt, we Messrehe mt mdestes zeh erfasste Werte vorlege. Ist de beobahtete Abwehug eer Messug ee Zufallsgröße m Se der Wahrshelhketsrehug, da strebt de Wahrshelhketsdhte p ( ) für gege de so geate Gaußshe Normalvertelug: p ( ) = e σ π ( µ ) σ mt µ - Wert der Messgröße ud σ - Stadardabwehug bzw. σ - Varaz (Abb. ). De Stadardabwehug σ markert de Wedepukte der Gaußvertelug ud st e Maß für de Güte der Messug, 68,7% aller Messergebsse lege m shrafferte Bereh der Darstellug. Erwetert ma de Itervallgreze, da lege be σ 95,45%, be 3σ 99,73% aller Messwerte erhalb deser Greze. I praktshe Fälle st > 0, aber ee mmer oh verglehswese klee Zahl. Als Shätzwert der Messgröße det da das arthmetshe Mttel p ( ) =. 68,3% = s : Ee Näherug für de Güte der Ezelmessug st de emprshe Stadardabwehug s( ). Se st de postve Wur- zel der emprshe Varaz ( ) µ σ µ µ+σ Abb. : Gaußshe Normalvertelug s( ) = ( ). = Der Shätzwert s strebt für dem feste Grezwert σ zu, der vo der Güte

3 Dr. rer. at. Norbert Ste, Dpl.-Ig. Helmut Barth des Messverfahres ud vo der Sorgfalt des Beobahters abhägt. Zu dem Mttelwert eer Azahl vo Messuge köe ah der Gaußshe Fehlerfortpflazugstheore zwe Greze oberhalb ud uterhalb des gefudee Mttelwertes agegebe werde, erhalb derer sh (be Abwesehet systematsher Abwehuge) der Wert der Messgröße mt eem gewsse Vertrauesveau P befdet. Zur Bestmmug deser Greze betrahtet ma als Fukto der ezele Messwerte,,... ud berehet de emprshe Stadardabwehug des Fuktoswertes f( ) =,,.... Ma fdet shleßlh s ( ) s ( ) = = ( ) ( ) = als emprshe Stadardabwehug des Mttelwertes. De Bereh ( ) ± t s et ma Vertrauesbereh des Mttelwertes. Der Wert der Zahl t hägt ab vom Vertrauesveau P, mt der der t s ud der obere Vertrauesgreze wahre Wert zwshe der utere Vertrauesgreze ( ) t s( ) + lege soll, sowe vo der Azahl der Messwerte (sehe Tabelle). t-werte für P = 68,3% P = 95,4% P = 99,7% 3,3 4,30 9, 5,5,78 6,6 6,,57 5,5 0,06,6 4,0 00,00,00 3,04 00,00,00 3,00 Be vorgegebeem P wrd de Brete des Vertrauesberehes mt wahseder Azahl der Messwerte proportoal mmer kleer. De Geaugket der Bestmmug eer physkalshe Größe ka damt be Verahlässgug systematsher Messabwehuge belebg gestegert werde, der/de Messede muss selbst etshede, we svoll de Vergrößerug der Azahl der Messuge st. Im Physkalshe Grudpraktkum wrd e Vertrauesveau P = 68,3% gefordert, das bedeutet t = be 0 s als Stadardus-. Damt wrd de emprshe Stadardabwehug des Mttelwertes ( ) herhet des Mttelwertes agegebe, also = ± s( )... Stadardusherhet ah Ermttlugsmethode B (Abshätzug) De Messgröße wurde ur emal oder wege Male gemesse. De Varaz (vom Typ B) u ( ) oder de Stadardusherhet u( ) wrd vom Praktkate auf der Grudlage eer krtshe Aalyse des Messverfahres, der Messmttel ud des subjektve Aufwades bem Messe abgeshätzt. De zah- ± u ( ), lemäßge Agabe erfolgt als Fehlergreze etweder absolut ( ) u dabe wrd u( ) ± oder relatv ( ) mest Prozet agegebe. Als Rhtwerte köe folgede Agabe gelte: aaloge Messgeräte: ± ( 0,5... ) mal Ehet der Skaletele bzw. Herstelleragabe dgtale Messgeräte: ± mal Ehet der letzte Stelle, de sh währed der Messug ht ädert, mdestes aber Herstelleragabe, falls vorhade 3

4 Dr. rer. at. Norbert Ste, Dpl.-Ig. Helmut Barth Wrd mehrere Male gemesse, da st auh her der arthmetshe Mttelwert = = als Näherugs- oder Shätzwert für de Größe X azuehme. De Güte des Messergebsses hägt desem Fall ht vo der Azahl der wege Messuge ab..3. Ermttlug der komberte Stadardusherhet Wrd de gesuhte Größe f als Fukto eer oder mehrerer Messgröße ± berehet, wobe dere Stadardusherhet ah de Ermttlugsmethode A oder B st, da ka de komberte Stadardusherhet u ( f ) mt Hlfe der partelle Abletuge Voraussetzug dafür st, dass de Größe 4 f agegebe werde. voeader uabhägg, also ht korrelert sd, de Größe ebefalls voeader uabhägg ud hrehed kle sd ( < 0% ). Be voragegageer Abshätzug der Usherhete gemäß Methode B (vgl..) solle sh de Beträge ht gegesetg kompesere köe ud ma verwedet dere Beträge für de Ermttlug vo u : f u f = ( ), = be Vorlege der Voraussetzuge für ee statstshe Fortpflazug der Usherhete (vgl..) st u mttels zu berehe. f u( f) = = Be der Dskusso der Zuverlässgket vo Protokollwerte st zu beahte, dass de m Versuhsprotokoll verbal egeshätzte, systematshe Messabwehug quattatv mmer zu eer her ht erfasste addtve Zusatzgröße führt. Das Ergebs wrd abshleßed als f(,, 3,...) ± u ( f) bzw. f(,,,...) ± u ( f) / f agegebe. 3 ( ) 3. Praktshe Bespele I ege efahe, aber whtge Fälle ka de Berehug der komberte Usherhet u ( f ) ohe zetraubede Berehug der partelle Abletuge erfolge. Basered auf ebedeser Vorgeheswese erhält ma für: a) Summe f = + ud Dfferez f = ( ) = + u f b) Produkt f = ud Quotet f = I dese bede Fälle st es güstg, de relatve Usherhete azugebe.

5 Dr. rer. at. Norbert Ste, Dpl.-Ig. Helmut Barth ( ) u f = + f Für de Quotete ergbt sh de glehe relatve Usherhet we für das Produkt. Vo Vortel st herbe auh, dass sh de physkalshe Ehete für jede egehede Größe wegkürze. α β γ ) Potezprodukt f =, αβγ,, belebg, reell 3 ( ) 3 u f = α + β + γ f 3 d) Natürlher Logarthmus eer ormerte Größe f l( ) =, 0 0 fest, ohe Usherhet u ( f) = De absolute Usherhet des Logarthmus st gleh der relatve Usherhet des Argumets. Für gemshte Ausdrüke f köe de agegebee Regel kombert agewedet werde, we de ezele Ausdrüke, de f zerlegt wrd, uabhägg voeader gemesse wurde. Lteratur: Shek, W. Kremer, F. (Hrsg.) Physkalshes Praktkum Veweg + Teuber Verlag Sprger Fahmede Wesbade GmbH 3. Auflage 0, S. 0-7 W. Walher Praktkum der Physk B. G. Teuber Stuttgart 8., überarbetete Auflage 004, S E. Herg R. Mart M. Stohrer DIN, Deutshes Isttut für Normug e. V. (Hrsg.) Physk für Igeeure VDI-Verlag, 5. Auflage 995, S. 9-8 Letfade zur Agabe der Usherhet bem Messe Berl, Zürh, Beuth. Auflage 995 5