3.1 Das Prinzip der dreidimensionalen Videometrie mit Multikamerasystemen. 2D-Positionen im RAM messen. korrespondierende Messmarken suchen

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1 3. Videoetische deidiesioale Positiosessug 3 Videoetische deidiesioale Positiosessug 3.1 Das Pizip de deidiesioale Videoetie it Multiaeasystee Die Idee de deidiesioale Positiosessug geht o oespodieede Messae idestes zweie Kaeasystee, dee ideale uezete Sesooodiate beat sid, aus. Mit diese oespodieede ideale uezete Sesooodiate (u,) lasse sich die Sehstahlgleichuge de 3D-Geade aufstelle (siehe Abb. 6-1). De Schittput diese Sehstahle epäsetiet die gesuchte 3D-Koodiate. Hiezu üsse die Sehstahle i eie geeisae efeezoodiatesyste beschiebe wede. Fü die Awedug ist es zwecäßig, ei Kaeaoodiatesyste zu efeezoodiatesyste zu eläe. (, u,-b) Epipolae Liie 2D-Positioe i AM esse oespodieede Messae suche allgeeie Aodug b u Ieses Kaeaodell g Lösug 3D- Messgleichug uezete ideale Sesooodiate Abb. 6-1: 3D-Videoeetie b x y z g S S 3D Sesooodiate Beat: d := Duchesse u := Ufag A := Fläche Zu Veeifachug de Koespodezsuche bediet a sich de epipolae Liie. Die epipolae Liie stellt de ituelle Sehstahl eie Kaea i de AM-Ebee eie adee Kaea da. I de Stadadaodug, bei de die Zeile de Bildpaae paallel zu Vebidugsgeade zwische de optische Zete (Uspug Kaeas-KOS) liege ode die Bildoodiatesystee so defiiet sid, dass zueiade olieae Bildzeile gleiche Zeileoodiate aufweise, beschät sich die Koespodezsuche de epipolae Liie auf die Suche lägs eie Zeileoodiate bzw. eies Bades u die Zeileoodiate. Diese eifache Fall a i de egel icht ugesetzt wede, da ei öglichst goße Basisabstad fü eie hohe z-geauigeit ud die otwedige Übelappug de Bildbeeiche, die fü die Existez o Koespodeze zwiged ist, u duch eie zueiade geichtete Dehug u die y-achse de Kaeaoodiatesystee zu ewiliche ist. Eie Dehug de Kaeasystee hat zu Folge, dass die Bildebee icht eh paallel sid

2 3. Videoetische deidiesioale Positiosessug I de deidiesioale Videoetie eies Multiaeasystes it M C -Kaeasystee M C (M C 2) ehält a,-paae o Bilddate de -te ud -te-kaea (siehe 2 Abb. 6-1). Mit de optische ud algoithische Bildoeabeitug ezeugt a Liste ode Vetoe o subpixelgeaue Maepositioe de eweilige Kaeasystee. Beo a die eigetliche 3D-Koodiatebeechug ollziehe a, üsse zuächst oespodieede Messae bestit wede. Bei eie elati goße Azahl o N M Mae wid die Zahl de zu testede Koespodeze fü ei Kaeapaa ach de Potezgesetz NM NM! NM( NM 1) = = (6-1) 2 2! ( NM 2 )! 2 awachse. Ei Test sätliche Bildpaae ud Koespodeze efodet soit K ( 1) ( 1) M M N N 2 2 C C M M I = (6-2) Ispetioe. Dies acht deutlich, das hieachische Vefahe zu Koplexitätsedutio de Koespodezsuche fü goße Maezahle eidet sid. U de echezeitaufwad etspeched zu eduziee, sollte a icht u de lassische Asatz übe die epipolae Suchliie usetze. Es ist zwecäßig, sätliche Ifoatioe, die a pioi beat sid, heazuziehe. Bei beate Maegeoetie a ittels eie gobe Schätzug de Maepositio eie Voseletio zu utesuchede Koespodeze ogeoe wede. Die ebleibede Koespodeze öe it de epipolae Koespodezaalyse weite eduziet wede. Mit de da ebleibede Koespodeze wede 3D-Koodiate beechet, wobei a it Hilfe eie otwedige Bedigug icht alidiete 3D-Koodiate eliiiee a. Die estliche alidiete 3D-Koodiate epäsetiee da 3D-Koodiate, die das Messsyste zu Vefügug stellt. Beo die Koespodeziteie eötet wede, soll zuächst die 3D-Positioschätzug beschiebe wede, da diese Bestadteil eies de Testefahe ist. Ma spicht hie o Schätzug, weil die Lösug des übebestite Gleichugssystes letztlich übe eie Miiieugsasatz efolgt. Die Assoziatio eie geige Güte de Positiosbeechug wäe hie abe falsch

3 3. Videoetische deidiesioale Positiosessug 3.2 Deidiesioale Positiosschätzug Fü die deidiesioale Positiosschätzug wede oespodieede uezete ud ippwielfehlefeie Sesooodiate (u,) des -te Sesos heagezoge (Midestes 2 Kaeasystee). Mit steigede Geauigeitsafodeuge utehalb eie 1/5 bis 1/10 Pixel wede i zuehede Maße eh ud eh die Eiflussfatoe des icht lieae geoetische T Kaeaodels zu Tage oe, weshalb da y S T i y Si i die uezete, ippwielfehlefeie Sesooodiate übe die Iese des geoetische Kaea- u y u i x x Si odells aus de AM-Koodiate zu beeche x S sid. z Si z Zu Bestiug de deidiesioale Sesooodiate geht a o de Sehstahlgleichuge P S Obet Abb. 6-2: Multiaeasystee = ( u b) t, {1,..., K}, K 2 (6-3) des -te Sesos i -te Sesooodiatesyste aus (siehe auch 10-2). Nach Tasfoatio diese Koodiate is efeezoodiatesyste ehält a fü de -te Seso i efeezoodiatesyste ( ) t = D u b + t, (6-4) woi D ud t die Koodiatetasfoatio is efeezoodiatesyste bescheibe. Die übebestite Schittputgleichuge lasse sich icht aalytisch löse. Es uss dahe ei Miiieugsasatz heagezoge wede. Geht a hiezu o de Schittputgleichug des i, te Kaeapaas i efeezoodiatesyste u u i i D D = t t i (6-5) b b i aus, so a de Lösugseto ( ) t i des übebestite Gleichugssyste (6-5) it de Pseudoiese ode de ueisch stabilee SVD-Zelegug 1 u u i i = D ( i ) D t t (6-6) b b i SVD beechet wede. Ma ehält soit die 3D-Koodiate i efeezoodiatesyste zu: ode ( ) t = D u b + t (6-7.1) i i i i i ( ) t = D u b + t (6-7.2)

4 3. Videoetische deidiesioale Positiosessug bzw. i hoogeisiete Fo: i + ih =. (6-7.3) 2 Die Existez eies Schittputes de Sehstahle wid duch die hieichede ud otwedige Bedigug gesichet: it ( )( ) * * * a a 0 c c a a =0, c= t, c = t, * i u u i * a= D ud a = D. (6-8) b b b D t i := Kaeaidex := Bildweite := otatiosatix o Seso- is efeezoodiatesyste := Taslatioseto o Seso- is efeezoodiatesyste ( u ) t := oespodieede ideale, uezete CCD/CMOS-Sesooodiate Beeug: Üblicheweise wid eies de Kaeasystee als efeezsyste heagezoge. Desse Dehatix ist da die Eiheitsatix ud desse Taslatioseto ist ull. Bei eie Lichtstahlpoetios- ud Kaeasyste a a de Sehstahl des i-te Kaeasystes duch de Poetiosstahl i Sie de iese Kaea esetze. Die hieichede ud otwedige Bedigug (6-8) wid wege stets ohadee systeatische ud zufällige Messfehle i exate Sie icht gudsätzlich efüllba sei

5 3. Videoetische deidiesioale Positiosessug 3.3 Deidiesioale Positiosschätzug it de lieae Kaeaodell Zu Bestiug de deidiesioale Sesooodiate des LDT-Modells geht a o de Kaeagleichuge oespodieede Bildpute ( u C x uz b t11 t12 t13 t14 C y z b t21 t22 t23 t = 24, {0,..., K1}, K 2 C z z t 31 t32 t33 t 34 1 ) (6-9) aus. Ohe Beschäug de Allgeeiheit a a die idetifiziete Paaete fü t 34 = 1 ud b = 1 ewede, so dass a die Gleichug de -te Kaea zu ( ) ( ) u t x + t y + t z + t = t x + t y + t z + t t x + t y + t z + t = t x + t y + t z + t (6-10) ehält. Hieaus lässt sich das übebestite Gleichugssyste x ut 31 t11 ut 32 t12 ut 33 t13 t14 ut 34 y t 31 t21 t 32 t22 t 33 t = 23 t24 t 34 z G = (6-11) LDT LDT etwicel. Dait a die 3D-Koodiate übe die Pseudoiese Matix 1 zu ( ) 1 = G G G (6-12) t t LDT LDT LDT LDT beechet wede. 1 Nueisch stabilee Egebisse ehält a, ide die Pseudoiese übe die SVD-Zelegug beechet wid

6 3. Videoetische deidiesioale Positiosessug 3.4 Deidiesioale Positiosessug it lieae Sesoodell ud bildspeichebasiete Vezeugsodelle Ausgehed o de LDT-Modell (3-18) ud bildspeichebasiete Vezeugsodelle lässt sich eie 3D-Positiosessug ewiliche. Als Vezeugsodelle öe Polyoodelle ach Kapitel 3.2 eigesetzt wede. Fü i Bezug auf die agestebte Messgeauigeit hieiched leie Oietieugsfehle des CCD/CMOS-Sesos öe die duch de Kippwielfehle etstehede Vezeuge ebefalls duch Polyoodelle opesiet wede (Näheugsasätze). A Beispiel de otatiossyetische Liseezeuge este Odug (3-3) sei das pizipielle Vogehe illustiet. Die 3D-Positiosessug beuht auf folgede Abbilduge eies Multiaeasystes it K 2 Kaeasystee ud de Kaeaidizes {0,1,..., K 1} : Tasfoatio ezete AM-Koodiate i uezete ideale AM-Koodiate de Kaeasystee: I ' x x 1 x y! = y 1 + χ ( ) y, it ' 2 ' ' H x = ud H y 2 2 = x + y (6-13) 3D-Positiosessug it de LDT-Modell: x y I ( ) It I 1 It I = LDT LDT LDT LDT! G G G, it I I I I x t31 t11 x t32 t12 x t33 t 13 G LDT = I I I y t31 t21 y t32 t22 y t33 t 23 I I t14 x t 34 LDT = I (6-14) t24 y t

7 3. Videoetische deidiesioale Positiosessug 3.5 Gobe Koespodezseletio Geht a dao aus, dass die Maegeoetie o oheei beat ist, so öe gegeübe Poseädeuge bis auf eie Maßstabsfato iaiate Maße i AM-KOS zu Bestiug des ubeate Abbildugsaßstabes zwische AM- ud elt-kos heagezoge wede. Fü eie Maeugel sid dies de Maeduchesse d, die Maefläche A ode de Maeufag u i AM- ud elt-kos. Bei diese Asatz wede bewusst die Liseezeuge ud Sesoippwielfehle eachlässigt. ege de Modellusicheheite öe deshalb diese Abschätzuge auf Pixelebee u it eie Geauigeit o u Pixel (ca. 0,1 bis 1 Pixel) ollzoge wede. Ute diese Aahe lasse sich die AM-Koodiate de -te Kaea übe u, w 1 = =. (6-15) V b is eltoodiateaßstab übefühe, wobei sich de Abbildugsaßstab übe w w w d u A V = = =. (6-16) d u A beechet. Hiebei ist daauf zu achte, dass bei subpixelgeaue Messuge die Gleichug b f fü z >> b Focusbedigug (6-17) C icht efüllt ist. Fü ei Koespodezpaa ehält a soda de Eulidische Abstad zu: b b ε D' V 1 1 E 1 1 T T 2. (6-18) V Ei Koespodezpaa, das diese otwedige Bedigug icht efüllt, wid ewofe. Hiebei defiiet ε D' ei iiales Abstadsaß. Diese et uss leie als de iiale Abstad zweie i elt-kos ooede Maeabstäde d K gewählt wede. E uss edoch auch göße als die Mess-/Pixelusicheheit u Pixel al axiale Abbildugsaßstab V Max sei. Dait ehält a als siolle Beeich: V u < ε < d. (6-19) Max Pixel D' K Bei sich utescheidede hoizotale ud etiale Maßstabsfatoe sid iaiate Lägeaße i x- ud y-ichtug heazuziehe. Beeug: Ma öte hie auch aalog zu 3D-Visualisieug übe eie Tiefestaffelug ach z achdee. Nicht i eie disete z-ebee liegede Mae öe eie Koespodeze bilde. Dieses Vogehe ist Teilege des obige Asatzes. 2 Es ist die Eulidische No des icht hoogee Vetos zu bestie

8 3. Videoetische deidiesioale Positiosessug 3.6 Koespodezseletio it epipolae Suchliie Die epipolae Suchliie de oespodieede Kaea a loal aus zwei Pute auf de Sehstahl de adee Kaea eittelt wede. Geht a o de Sehstahlgleichug ( ) t u b ( ) =, it 1 ( x ) ( ) u H x S x = Hy y S y (6-20) de -te Kaea aus, so a a diese Geadegleichug is Kaea-KOS de -te Kaea Ct ( ) = ( ) 1 x y z 1 ( ) T T ( ). (6-21) 0 0 tasfoiee. Ute Veachlässigug de Liseezeugs- ud Sesoippwielfehle ehält a auf de ideale, uezete Sesoebee die Gleichug: ( ) t u u w 1 ( ) = Z ( ), it Aus zwei Pute a ud b ( ) t u C b / z C 0 b / z 0 0 Z = b. (6-22) u w 1 ( ) (6-23) a ( ) t u a u w 1 ( ) (6-24) b b i Sichtbeeich de Kaeasystee lässt sich die epipolae Liie i Seso-KOS bestie. Übe die Zweiputefo ehält a soda i AM-KOS die epipolae Geadegleichug zu: u = x + c, it S = S u u y b a x b a ud c Sy a Hy ( Sx ua Hx) = + +. (6-25) ege de Usicheheite de Messuge, Usicheheite de Modellpaaete ud ogeoee Veeifachuge sid sowohl die Kostate als auch die Steigug de epipolae Geade it icht zu eachlässige Usicheheite esehe. Deshalb wid de Suchbeeich icht auf eie Liie, sode auf ei Bad ode ei Gebiet it eie Schetteligsgestalt u die epipolae Liie auszuweite sei. De Beeich i de die Pute a ud b liege sollte, lässt sich übe de ittlee bzw. oiale Messabstad z N = b (6-26) N ud beate z-messbeeich M z des Sesosystes festlege

9 3. Videoetische deidiesioale Positiosessug Soda ehält a ei siolles Putepaa übe: a zn + q Mz /2 = ud b b zn q Mz / 2 =, it 0 < q < 1. ( ) b 3.7 Validieug de deidiesioale Koodiate Mit eie als alidiet ageoee Koespodezpaa lässt sich die Gleichug (6-5) übe eie SVD-Zelegug de Matix löse. De SVD-Asatz bestit ueisch obust die Pseudo-Iese, die seieseits aus eie Least-Squae-Asatz heogeht. Isofe wid letztlich ei Schittput bestit, bei de de Abstad zwische de Sehstahle iial ist. Nicht oespodieede 2D-Koodiatepaae zweie Kaeasystee poduziee eie Lösug bzw. 3D-Koodiate, die letztlich usiig ist. ege stets ohadee systeatische ud zufällige Messfehle a a it eie exate Nulltest icht abeite (siehe auch Kap. 3.2). Ma wid dahe lediglich eie otwedige Bedigug fouliee öe, die eie obee Schae fü die Distaz zwische de Geade i Miiu defiiet. Dait ehält a fü ei Koespodezpaa η,ν des i, -te Kaeapaas die otwedige Bedigug zu: = ην i ην i ην t ( u b ) ( u b ) i t η η i η i ν ν ν i εd = D D + t t. (6-29) Ei Koespodezpaa η,ν, das diese otwedige Bedigug icht efüllt, wid ewofe. Hiebei defiiet ε D ei iiales Abstadsaß. Diese et uss leie als de iiale Abstad zweie i elt-kos ooede Maeabstäde d K gewählt wede. E uss edoch auch göße als die Subpixelessusicheheit u Subpixel al axiale Abbildugsaßstab V Max sei. Dait ehält a aalog zu Kap. 3.5 als siolle Beeich: V u < ε < d. (6-30) Max Subpixel D K

10 3. Videoetische deidiesioale Positiosessug 3.8 Sesoodell Das Sesoodell bescheibt die Abbildug ( ) t x y x y (6-31) i i i de AM-Koodiate oespodieede Bildpute eies i, -te Kaeapaaes i die 3D- Koodiate des Multiaeasystes: Beechug de ideale uezete Sesooodiate des i, -te Kaeapaaes: x ( x) ( ) S x H = S x S y Sy y Hy ( x y ) = ( y y ), it, {, i } (6-32) ( p e )( p p ), I I I I t I I t I I 1 z 1 2 Sx Sy ys = p1 + I I I ( p2 p1) ez I ' ' S S t I 1 = x( αx) y( αy) S y S = ( x, y,0) ud p D D y, t p 2 = (0,0, b) ud (6-33) u x 1 x u = 2 y 1 + χ ( ) y, it = ( x ) + ( y ). (6-34) 2 2 Beechug de 3D-Sesooodiate des i, -te Kaeapaaes: 1 u u u i i u x = D ( i ) D t t, it = u, {, i } (6-35) b b y i ( ) t i ( ) t i i i i SVD = D u b + t, (6-36.1) = D u b + t ud (6-36.2) i fü i-te Kaea i i fü -te Kaea, ih = ih fü hoogee Lösug i (6-36.3) Distazschittput 4 de 3D-Sesooodiate des i, Kaeapaaes: t ( u b) ( u b) i t i = i i + i D D t t. (6-37) 3 Hoogee Lösug icht fü die Sesoalibatio ewede, da additie Fehle heausfalle. 4 Die Distaz des Sehstahleschittputes a ebe de Messaeesiduu als weitees esiduu it aufgeoe wede

11 3. Videoetische deidiesioale Positiosessug

12 3. Videoetische deidiesioale Positiosessug Ihaltsezeichis 6 Videoetische deidiesioale Positiosessug Das Pizip de deidiesioale Videoetie it Multiaeasystee Deidiesioale Positiosschätzug Deidiesioale Positiosschätzug it de lieae Kaeaodell Deidiesioale Positiosessug it lieae Sesoodell ud bildspeichebasiete Vezeugsodelle Gobe Koespodezseletio Koespodezseletio it epipolae Suchliie Validieug de deidiesioale Koodiate Sesoodell