Stochastische Finanzmärkte

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1 Stochastische Finanzmärkte Thorsten Schmidt 7. November 2014 Chemnitz University of Technology, Reichenhainer Str. 41, Chemnitz, Germany. Web: Dieses Skript basiert teilweise auf dem gemeinsam mit Prof. Dr. Rüdiger Frey (Universität Wien) entwickelten Vorlesungsskriptum Finanzmathematik I

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3 Inhaltsverzeichnis 1. Grundlagen Einführung in die moderne Finanzmathematik Derivative Finanzinstrumente Zinsen und Anleihen Terminverträge Devisen Optionen Wertgrenzen für Optionen (ohne Dividenden) Wertgrenzen für Optionen (mit bekannten Dividenden) Optionsstrategien Einperiodenmodell Das Modell mit endlichen Zustandsraum Arbitragefreiheit Arbitragefreiheit und Martingalmaße Vollständigkeit Unvollständige Märkte Preisschranken Superreplikation Kostenminimale Superreplikationsportfolios Mehrperiodenmodelle Modell und grundlegende Begriffe Diskontierte Größen Der erste Hauptsatz Die risikoneutrale Bewertungsformel Der zweite Hauptsatz Das Cox-Ross-Rubinstein Modell Arbitragefreiheit Hedging in vollständigen Märkten

4 Inhaltsverzeichnis Europäische Optionen Das Spiegelungsprinzip Amerikanische Optionen Optimales Stoppen Amerikanische Optionen Stochastische Integration Einführung Die Definition des Itô-Integrals Die Erweiterung des Itô-Integrals auf Hloc Lokale Martingale Die Itô -Formel Weitere Itô -Formeln Ein erster Blick auf das Black-Scholes Modell Das Girsanov-Theorem Repräsentation von Brownschen Martingalen Stochastische Differentialgleichungen Der Ornstein-Uhlenbeck Prozess Lösungsmethoden für SDEs Koeffizientenvergleich Multiplikativer Ansatz Finanzmärkte in stetiger Zeit Der Finanzmarkt Ein kleiner Exkurs zur Arbitrage Das einfache Black-Scholes Modell Das äquivalente Martingalmaß Pricing von europäischen Optionen Delta-Gamma Hedging Die Greeks Schätzen der Volatilität, Implizite Volatilität Homogenität der Black-Scholes Formel Chooser Optionen Optionspreisbewertung mit PDEs Optionspreisbewertung mit partiellen Differentialgleichungen Die Wärmeleitungsgleichung Fourier-Transformation von partiellen Dgls Die Lösung der BS-Differentialgleichung

5 Inhaltsverzeichnis Die Transformation auf die Wärmeleitungsgleichung Zurückführen auf einen Erwartungswert Ein Modell mit Transaktionskosten Unvollständige Märkte Einleitung Das verallgemeinerte Black-Scholes Modell Pricing in unvollständigen Märkten Hedging in unvollständigen Märkten Der Zinsmarkt Einführung Das Bankkonto Floating Rate Notes Swaps Das Konzept der Duration Literaturverzeichnis 143 5

6 1. Grundlagen 1.1 Einführung in die moderne Finanzmathematik In der modernen Finanzmathematik, wie sie seit der grundlegenden Arbeit von Black and Scholes (1973) und Delbaen and Schachermayer (1994) verstanden wird, sind die folgenden Fragestellungen von zentraler Bedeutung: Bewertung und Absicherung von Derivaten. Derivate sind Wertpapiere, deren Wert bei Fälligkeit sich vom Preis eines Basisgutes ableitet. Ein gehandeltes Basisgut kann ein anderes Wertpapiere (wie Aktien, Devisen, Anleihen) oder ein Rohstoff (Erdöl, Energiepreise, etc.) sein. Es ist aber auch möglich, dass das Basisgut nicht gehandelt wird, wie im im Fall von Zinsen, Indizes oder von Wetter- oder Versicherungsderivaten. Portfoliooptimierung. In diesem Gebiet sucht man eine optimale Zusammenstellung von Portfolios. Es gibt verschiedene Kriterien für Optimalität, etwa ein Portfolio mit geringstem Risiko, oder maximalen Gewinn. Neben diesen zentralen Fragestellung gibt es eine Vielzahl von weiteren, wichtigen Aspekten. An der TU Chemnitz werden unter anderem noch folgende Punkte in unseren Vorlesungen behandelt: Risikomanagement. Im quantitativen Risikomanagement geht es um Messung und geeignete Steuerung von Finanzrisiken. Es gibt enge Bezüge zur Finanzmathematik, jedoch stehen im Risikomanagement vorrangig statistische Fragen und die Betrachtung von aggregierten Portfolios aus sehr vielen Finanzinstrumenten im Vordergrund. Statistik der Finanzmärkte. In dieser Vorlesung geht es um die Analyse von Finanzdaten und die Schätzung von Modellen zur Beschreibung von Finanzdaten. Dieser Aspekt ist zentral in der Anwendung der Finanzmathematischen Modellen und hat damit eine besonders hohe praktische Relevanz. Versicherungsmathematik. Es gibt zahlreiche Berührungspunkte zwischen der Finanzmathematik und der Verischerungsmathematik. So verwenden beide verwandte Methoden der Stochastik, und die Bewertung von Anlagerisiken ist in der Versicherungsbranche von hoher Bedeutung. 6

7 1.2 Derivative Finanzinstrumente Die in dieser Vorlesung verwendeten mathematischen Techniken entstammen der Stochastik (Wahrscheinlichkeitstheorie, stochastische Prozesse, Statistik); daneben kommen auch Techniken aus Optimierung, Analysis (etwa partielle Differentialgleichungen) und Numerik zum Einsatz. Literatur Es gibt mittlerweile eine Vielzahl von guten Einführungen in das Fachgebiet Finanzmathematik, eine Vielzahl ist in Englisch. Das vorliegende Skript orientiert sich an Bingham and Kiesel (2004), Shreve (2004a), Shreve (2004b) und Pliska (1997). Eine hervorragende Einführung in deutscher Sprache ist Albrecher et al. (2009). Ausgezeichnete weiterführende Text sind Föllmer and Schied (2004), Delbaen and Schachermayer (2006). Die benötigten Hilfsmittel aus der konvexen Analysis und linearen bzw. konvexen Optimierung findet man etwa in Bertsimas and Tsitsiklis (1997) und Bertsekas (1999). 1.2 Derivative Finanzinstrumente Ein derivatives Finanzinstrument ist ein Vertrag zwischen zwei Parteien, dessen Zahlungsströme sich von gewissen Referenzgrößen ableitet. Die Referenzgröße wird Basisgut (Underlying) genannt und kann gehandelt (Aktie) oder nicht gehandelt (Wetterdaten) sein. Es gibt im wesentlichen drei Typen: 1 (i) Terminverträge (ii) Swaps (iii) Optionen Im folgenden werden wir verschieden Beispiele kennenlernen. Wir beginnen mit dem Studium von Zins und Zinseszins Zinsen und Anleihen Wir betrachten zwei Zeitpunkte t und T mit 0 apple t apple T. Eine Nullkuponanleihe ist ein Festgeschäft, welches an Maturität T die Auszahlung von einer Geldeinheit verspricht. Der Wert 1 Im September 2013 wurden an der EUREX 61,8 Millionen Aktienindexderivate gehandelt allein der Future auf den EURO STOXX 50 wurde 28,1 Millionen mal gehandelt. Aktienbasierte Derivate (Aktienoptionen und Single Stock Futures) wurden 31,2 Mio. mal gehandelt, davon 18,9 Mio. Aktienoptionen. Auf dem Segment Zins- Derivate wurden 45,8 Mio. Kontrakte gehandelt. Quelle: deutsche-boerse.com. 7

8 1. Grundlagen der Nullkuponanleihe (Zero-Cupon Bond) an t apple T wird mit B(t,T ), 0 apple t apple T bezeichnet. Der Preis B(t,T ) hat die folgende Eigenschaft: positive Zinsen ) B(t,T ) apple 1 kein Konkursrisiko (default risk) ) B(T,T )=1. Im folgenden werden wir B(t, T ) als eine allgemeine Form nutzen, eine Diskontierung von zukünftigen Zahlungen durchzuführen. Nullkuponanleihen werden an Finanzmärkten gehandelt, speziell für relativ kleine Restlaufzeiten T t. Darüber hinaus sind Nullkuponanleihen aber auch ein wichtiges Gedankenkonstrukt etwa bei der Analyse von Zinsmärkten; so lassen sich die Preise der meisten gehandelten Anleihen als Linearkombination der Preise von Nullkuponanleihen darstellen. Die Annahme dass kein Konkursrisiko besteht ist hingegen theoretischer Natur und vereinfacht uns zunächst die Rechnung. Es gibt durchaus negative Zinsen 2. Auf Zins- und Anleihemärkten werden Preise von Nullkuponanleihen häufig nicht direkt angegeben sondern es werden Zinssätze quotiert und dabei unterscheidet man verschiedene Arten von Zinssätzen. Diskrete Verzinsung. Jährliche Verzinsung: Das an t = 0 eingesetzte Kapitel N wird mit dem Zinssatz r verzinst und hat an T 2 N den Wert N (1 + r) T. Der zur Nullkuponanleihe B(t,T ) mit T B(t,T )= t 2 N gehörige Zinssatz r = r(t,t ) erfüllt 1 (1 + r) T t. (1.1) Unterjährige Verzinsung. Die n-fache Verzinsung pro Jahr (n 2 N), etwa halb- oder vierteljährlich, wird wieder auf Jahresbasis skaliert. Das an t = 0 eingesetzte Kapital hat an T 2 N bei n-facher unterjähriger Verzinsung mit dem (annualisierten) Zins r n den Wert N 1 + r n n nt. Der zur Nullkuponanleihe B(t,T ) mit T t 2 N zugehörige Zinssatz r n = r n (t,t ) erfüllt B(t,T )= 1 + r n n(t t). (1.2) n 2 Deutschland leiht sich Geld zu negativen Zinsen, FAZ

9 1.2 Derivative Finanzinstrumente Example (LIBOR-rates). Ein Spezialfall ist die London Interbank Offered Rate oder der EURIBOR (Euro Interbank Offered Rate) mit Laufzeit t = 1 n (etwa t = 1/2 oder t = 1/4). Eine solche Rate L(t,t + t) erfüllt B(t,t + t)= t L(t,t + t). (1.3) In Abbildung wird der Verlauf des EURIBOR für verschiedene Laufzeiten seit 1999 dargestellt. Kontinuierliche Verzinsung. Die stetige Verzinsung ergibt sich als Grenzfall immer feiner werdender Verzinsungen und erleichtert die Zinsrechnung zu beliebigen Zeiten erheblich. Da gilt, 1 + n r n! n! er, erfüllt die stetige Zinsrate y = y(t,t ) die Gleichung Das bedeutet umgekehrt y(t,t )= 1 T heißt Zinsstrukturkurve im Zeitpunkt t Terminverträge B(t,T )=exp( y (T t)). (1.4) t lnb(t,t ). Die Kurve T! y(t,t ), T t So genannte Terminverträge (Forward Contracts) sind die einfachsten Beispiele für derivative Finanzinstrumente. Definition Ein an t 0 geschlossener Terminvertrag verpflichtet den Käufer das Basisgut am Fälligkeitszeitpunkt T > t zum Basispreis K zu kaufen (zu verkaufen). Eine Kaufverpflichtung heißt eine Long Position und eine Verkaufverpflichtung eine Short Position. Der Basispreis wird bei Vertragslegung, also bereits an t, festgelegt. Typischerweise wird er so festgelegt, dass das Eingehen der Kaufverpflichtung im Zeitpunkt t kostenlos ist; in diesem Fall nennt man den Basispreis auch Terminpreis. Den Terminpreis für ein Basisgut G im Zeitpunkt t bezeichnen wir mit F G (t,t ), 0 apple t apple T. Der Preis zur Zeit s G(s), s 0. 0 des Basisguts heißt auch Spot Preis und wir bezeichnen ihn mit 9

10 1. Grundlagen 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% Abbildung 1.1: Tägliche 1 Wochen- (grün), 3-Monats- (blau), 1 Jahres- (rot) Euribor-Kurse von Einführung am 1. Januar 1999 bis April Quelle: Wikipedia Der Wert bei Fälligkeit eines Terminvertrages (Long Position) ist G(T ) K, bei einer Short Position (G(T ) K) =K G(T ). Ist der Basispreis als K = F G (t,t ) festgelegt, so macht man bei einem Kaufvertrag einen Gewinn, falls G(T ) > F G (t,t ). In der Praxis werden Terminverträge auf Wertpapiere und Devisen, aber auch auf Rohstoffe wie Edelmetalle, Rohöl oder Strom abgeschlossen. Terminverträge dienen meist der Risikokontrolle, etwa indem sie Unternehmen helfen, Wechselkursrisiken auszuschließen oder zukünftige Preisschwankungen fixieren. Die Bewertung von Terminverträgen. Ist das Basisgut ein gehandeltes Wertpapier, so lässt sich der Terminpreis wie folgt ermitteln. Man sucht hierbei eine Bewertung welche keine Arbitragemöglichkeiten zulässt. Eine Arbitrage ist ein risikofreier Gewinn welche von Investoren ausgenutzt werden können und sollten sinnvollerweise nicht in einer Bewertung vorhanden sein. Lemma Sei 0 apple t apple T und S(t) der Preis eines gehandelten Wertpapiers an t welches in [t, T ] keine Dividenden oder Zinsen auszahlt. Der arbitragefreie Wert des Terminvertrages an t auf das Basisgut S mit Fälligkeit T und Basispreis K ist S(t) B(t, T )K. 10

11 1.2 Derivative Finanzinstrumente Der Terminpreis errechnet sich demnach zu F S (t,t )= S(t) B(t,T ). Haben wir nicht-negative Zinsen, ist also B(t,T ) apple 1, so gilt F S (t,t ) S(t). Beweis. Zum Beweis bilden wir die Auszahlung des Terminvertrages durch ein Portfolio aus Wertpapieren und Nullkuponanleihen ab. Den zunächst unbekannten Wert einer long Position im Terminvertrag sei mit x bezeichnet. Portfolio Wert in t Wert in T Kaufe eine Einheit von S S(t) S(T ) Verkaufe K Nullkuponanleihen B(, T ) KB(t, T ) K Short Position in Terminvertrag x S(T ) K S(t) K(B(t, T ) x 0 Das betrachtete Portfolio hat in T den Wert 0, und hat, da wir Zins- und Dividendenzahlungen ausgeschlossen haben, auch keine Zahlungen zu anderen zukünftigen Zeitpunkten (oder zumindest nicht in [t,t ). In einem arbitragefreien Markt muss also auch der heutige Wert des Portfolios gleich Null sein. Es folgt x = S(t) KB(t,T ). Das im Beweis von Lemma verwendete Portfolioargument wird auch als Cash-and- Carry Arbitrage bezeichnet: Ist der Terminpreis zu hoch, so verkauft der Arbitrageur den Terminvertrag (und erhält Cash) und kauft gleichzeitig das Basisgut, welches er bis zum Laufzeitende hält (Carry). In der Praxis ist diese Strategie nicht ganz risikofrei: Es könnte sein dass die Gegenseite des Vertrages seinen Verpflichtungen nicht nachkommen kann. Wird der Terminvertrag an der Börse gehandelt, so entfällt dieses Risiko, der Käufer muss allerdings täglich Verluste in seinen Positionen ausgleichen und es entsteht ein Liquiditätsrisiko. Ganz genau werden diese Blickpunkte in unserer späteren Diskussion über Arbitrage und Handelsstrategien erläutert Devisen Betrachtet man einen Markt mit unterschiedlichen Währungen, so kann man Anleihen in verschiedenen Devisen handeln und es gibt einen Wechselkurs. Als Beispiel betrachten wir Euro und Dollarmärkte. Mit E(t) bezeichnen wir den Wechselkurs an t (Betrag in Euro für einen 11

12 1. Grundlagen Dollar). Weiterhin sei B d (t,t ) der Preis einer Nullkuponanleihe im inländischen Markt (Domestic, also in EUR) und B f (t,t ) sei der Preis einer Nullkuponanleihe im ausländischen Markt (Foreign, also in Dollar). Erwartet man an T ein Zahlung N in Dollar und möchte diesen in EUR tauschen, so erhält man N E(T ). Da E(T ) noch nicht bekannt ist, hat man ein Wechselkursrisiko, welches man mit einem Terminvertrag absichern kann: Wir suchen den Terminpreis eines Terminvertrages, der E(T ) auszahlt, welcher in folgendem Lemma berechnet wird. Lemma Für jedes 0 apple t apple T ist der arbitragefreie Terminpreis auf das Basisgut E (Wechselkurs) F E (t,t )=E(t) B f (t,t ) B d (t,t ). (1.5) Beweis. Zunächst einmal ist B d (t,t ) > 0, da ansonsten eine Arbitragemöglichkeit existierte (Kaufe B d (t,t ) für 0 und erhalte einen Dollar an T ). Wir verwenden wieder ein Portfolioargument 3 : Portfolio Wert in t (in e) Wert in T (in e) Kaufe B f (t,t ) E(t)B f (t,t ) E(T ) Verkaufe E(t) B f (t,t ) B d (t,t ) Nullkuponanleihen E(t)B f (t,t ) E(t)B f (t,t ) B d (t,t ) Short Position im Terminvertrag 0 E(T ) F E (t,t ) 0 F E (t,t ) E(t) B f (t,t ) B d (t,t ) Der Wert des Portfolios an t ist Null, und muss also auch an T Null sein, um Arbitragemöglichkeiten auszuschließen. Die Behauptung folgt. Darüber hinaus ist F E (t,t ) auch der einzige Preis, der Arbitragemöglichkeiten ausschließt: Ist etwa F E (t,t )(w) E(t)(w) B f (t,t )(w) B d (t,t )(w) größer Null, so ist dies zum Zeitpunkt t bereits bekannt. Der Arbitrageur kauft das obige Portfolio und erhält an T einen positiven Gewinn. Ist der Wert kleiner Null, so verkauft der Arbitrageur das Portfolio und erhält ebenso einen positiven Gewinn. 3 Das Short-Selling von Anleihen bedeutet, dass man sich E(t)B f (t,t ) Geldeinheiten (Inland) leiht. Diese verzinsen sich zu E(t)B f (t,t ). B d (t,t ) 12

13 1.3 Optionen 1.3 Optionen In diesem Abschnitt betrachten wir ein Finanzgut (etwa eine Aktie, einen Zinssatz oder einen Wechselkurs) und lernen Calls und Puts kennen. Definition Eine europäische Call (Put) Option ist das Recht, das Basisgut an T t zum Preis K zu kaufen (zu verkaufen). Eine amerikanische Call (Put) Option ist das Recht, das Basisgut an jedem Zeitpunkt bis T zum Preis K zu kaufen (zu verkaufen). Wir nennen K den Ausübungspreis (Strike) und T t Restlaufzeit. Man beachte, dass im Gegensatz zu einem Termingeschäft nicht Verpflichtung besteht, das Basisgut zu kaufen oder zu verkaufen. Den Preisprozess des Basisgutes bezeichnen wir mit S(t), t 0. Wir betrachten zunächst die Call Option. Ein rationaler Investor wird das Optionsrecht nur ausüben, falls S(T ) > K (anderenfalls kann er die Aktie billiger am Markt kaufen); in diesem Fall erzielt er einen Gewinn in Höhe von S(T ) K. So ergibt sich der Wert der Call Option an T als C(T )=max{s(t ) K,0} =: (S(T ) K) +. (1.6) Ganz analog ergibt sich für den Endwert der Put Option P(T )=max{k S(T ),0} =: (K S(T )) +. Beide Funktionen werden in Abbildung 1.2 illustriert. B 1.1 Absichern eines Aktiendepots mit Put Optionen: Eine Anlegerin hält (an t = 0) 10 Akien im Depot mit Kurs S(0). Sie möchte vermeiden, dass der Wert der Aktienposition an T = 1 unter den Ausganswert A := 10S(0) fällt. Hierzu geht sie wie folgt vor: Sie kauft 10 europäische Put Optionen auf die Aktie mit Ausübungspreis K = S(0). Dies ergibt an T = 1 den Wert 10(S(1)+0) falls S(1) > S(0) 10(S(1)+(S(0) S(1))) = 10 S(0) falls S(1) < S(0). Somit hat das Portfolio mindestens den Wert A. Allerdings ist zu Beginn die Zahlung der Optionsprämie erforderlich. B 1.2 Absichern eines Wechselkursrisikos: Eine Firma erhält auf ihre Lieferung in einem Monat eine Zahlung von 1 Mio USD. Wie kann sie das Wechselkursrisiko absichern. Sei dazu E(0)=0.75 der heutige Wechselkurs USD/EUR und E(T ) derjenige in einem Monat. Zur Vereinfachung seien die USD und EUR-Zinsen gleich Null (dann ist der Terminpreis F E (0,T )=E(0)=0.75 nach Lemma 1.2.2). Betrachte nun die folgenden Strategien: Str. 0: Mache gar nichts, Str. 1: Kaufe 1 Mio. USD auf Termin mit Basispreis E(0)=0.75, 13

14 1. Grundlagen C T P T K K S T K S T Abbildung 1.2: Auszahlungsschemata von Call (links) und Put (rechts). Str. 2: Kaufe 1 Mio. Puts zum Preis P(0) auf USD mit Fälligkeit T und Basispeis K = Werte der Strategien in EUR in einem Monat: E(1)=0.8 (USD steigt) E(1)=0.7 (USD fällt) Str Mio. 0.7 Mio. Str Mio Mio. Str. 2 (0.8 P(0)) 1 Mio. ( P(0)) 1 Mio. Das Termingeschäft bietet Schutz bei fallendem Dollar, ist aber riskant bei steigendem Dollarkurs. Die Option bietet immer Schutz gegen Verluste, dafür ist aber heute eine Prämienzahlung fällig. Eine Antwort darauf, welches die beste Absicherungsstrategie ist, hängt ganz stark von der Situation der Firma ab Wertgrenzen für Optionen (ohne Dividenden) Zunächst kann man lediglich unter der Annahme der Arbitragefreiheit 4 ganz allgemein obere und untere Grenzen für den Wert von Optionen auf Aktien bestimmen. In diesem Abschnitt 4 In diesem Abschnitt verwenden wir einfache Portfolioargumente um die praktische Anwendbarkeit zu unterstreichen und Intuition aufzubauen. Genaue Definitionen und mathematisch exakte Beweise folgen. 14

15 1.3 Optionen Abbildung 1.3: EUR-USD Wechselkurs. Quelle: machen wir zunächst die Annahme, dass die Aktie im beobachteten Zeitraum keine Dividenden zahlt, was wir im nächsten Abschnitt verallgemeinern werden. Die Auszahlung eines europäischen Calls auf eine Aktie mit Preisprozess S(t), t 0 am Fälligkeitszeitpunkt T ist (S(T ) K) +, und für die eines europäischen Puts (K S(T )) +, was den exakten Wert der Option unter Arbitragefreiheit festlegt. Folgendes Resultat bestimmt allgemeine Schranken für den Preis des Calls. Die Grenzen sind in Abbildung 1.4 illustriert. Lemma Sei 0 apple t apple T.Für den Wert des europäischen Calls C(t) mit Ausübungspreis K auf eine Aktie S, welche in [t,t ] keine Dividende zahlt, gilt S(t) KB(t,T ) + apple C(t) apple S(t). (1.7) Beweis. Wir zeigen zunächst C(t) apple S(t) und danach C(t) S(t) KB(t, T ). (i) C(t) apple S(t). Wir nehmen an, dass C(t) > S(t) und erhalten eine Arbitrage: 15

16 1. Grundlagen Portfolio Wert in t Wert in T, falls: S(T ) apple K S(T ) > K Verkaufe Call C(t) 0 (S(T ) K) Kaufe Aktie S(t) S(T ) S(T ) S(t) C(t) < 0 S(T ) > 0 K > 0 Investiert man in diese Strategie, so erhält man also zu Beginn den positiven Betrag C(t) S(t) und an T ebenfalls einen positiven Betrag, so dass dies eine Arbitragestrategie ist. Es folgt, dass C(t) > S(t) nicht gelten kann. (ii) C(t) S(t) KB(t,T ). Zunächst ist C(t) 0. Wir nehmen an, dass C(t) < S(t) KB(t,T ) und erhalten wieder eine Arbitrage: Portfolio Wert in t Wert in T, falls: S(T ) apple K S(T ) > K Kaufe Call C(t) 0 S(T ) K Kaufe K Nullkuponanleihen KB(t, T ) K K Verkaufe Aktie S(t) S(T ) S(T ) < 0 K S(T ) 0 0 Diese Strategie offeriert also zur Zeit t einen positiven Betrag und zur Zeit T keine Ausgabe, ist also eine Arbitrage. Es folgt die Behauptung. Es ist interessant, sich die untere Grenze genauer anzusehen. heißt, dass man den Call- Preis in zwei Teile zerlegen kann: C(t)=S(t) KB(t, T )+x, x 0. Das folgende Lemma zeigt, dass x gerade durch die Prämie für einen Put gegeben ist. Lemma (Put-Call Parität). Für den Preis eines europäischen Calls und eines europäischen Puts mit gleichen Merkmalen auf eine Aktie ohne Dividendenzahlung gilt unter Arbitragefreiheit, dass C(t)=S(t) KB(t,T )+P(t), 0 apple t apple T. (1.8) 16

17 1.3 Optionen S Ke r(t t) S Ke r(t t) t t Abbildung 1.4: Die Wertgrenzen S und S Ke r(t t) für S = 50 (links) und S = 100 (rechts) mit festem T = 10, K = 100 und r = 0.2. Beweis. Die Idee ist, zwei Portfolios zu bestimmen, die in T den gleichen Wert haben und im Zeitintervall (t, T ) keine Auszahlungen haben. Unter Arbitragefreiheit müssen sie dann auch zu jedem anderen Zeitpunkt den gleichen Wert haben. Portfolio 1 Wert in t Wert in T S(T ) apple K S(T ) > K Kaufe Call C(t) C(T )=0 C(T )=S(T ) K Kaufe K Nullkuponanleihen KB(t, T ) K K C(t)+KB(t,T ) max{s(t ),K} Portfolio 2 Kaufe Put P(t) P T = K S(T ) P T = 0 Kaufe Aktie S(t) S(T ) S(T ) P(t)+S(t) max{s(t ), K} Da beide Portfolios den gleichen Endwert haben, müssen auch ihre Anfangswerte übereinstim- 17

18 1. Grundlagen men und die Behauptung folgt. Es ist überraschend, welche weitreichende Konsequenzen Lemma hat: Wir erhalten eine direkte Bewertung für den amerikanischen Call. Mit C A (t), P A (t) bezeichnen wir den Wert eines amerikanischen Calls bzw. Puts. Satz (Satz von Merton). Die Zinsen seien nicht negativ, d.h. B(t,T ) apple 1für alle 0 apple t apple T. Zahlt eine Aktie in [t,t ] keine Dividenden, so ist es nie optimal, einen amerikanischen Call vorzeitig auszuüben und es gilt C A (t)=c(t), 0 apple t apple T. (1.9) Beweis. Zunächst einmal ist klar, dass C A (t) C(t). Angenommen, der amerikanische Call wird vorzeitig ausgeübt, etwa zum Zeitpunkt t < T. Der Inhaber erhält (S(t) K) +. Allerdings gilt für den Wert der europäischen Option C(t) S(t) KB(t,T ) und C(t) ist damit strikt größer als der Ausübungswert des amerikanischen Calls. Wir erhalten C(t) A C(t) S(t) KB(t,T ) S(t) K. Also hat der Ausübende weniger Geld erhalten, als sein Call zu dieser Zeit am Markt wert war. Demnach lohnt es sich nicht, ihn vorzeitig auszuüben. Im wesentlichen beruht der Satz von Merton darauf, dass der Ausübungswert K weiter verzinst wird, und man bei vorzeitigem Ausüben diesen (unter unseren Annahmen positiven) Zins verlieren würde. Bemerkenswerterweise ist das beim amerikanischen Put genau umgekehrt, so dass sich vorzeitiges Ausüben lohnen kann. Ebenso verhält es sich im Fall, wenn die Aktie eine Dividende zahlt. Zunächst leiten wir die Put-Call Relation für amerikanische Optionen her. Im Gegensatz zur Put-Call Parität für europäische Optionen erhalten wir nun eine Ungleichung. Für t = T erhalten wir eine Gleichung, und mit immer größer werdender Restlaufzeit werden die Ungleichungen unschärfer. Das ist zu erwarten, denn die Möglichkeit, vorzeitig auszuüben ergibt für kleine Restlaufzeiten wenig Gewinnpotential, während für große Restlaufzeiten ein großer Unterschied möglich ist. Bemerkenswert ist ebenso, dass man für verschwindende Zinsen, also B(t,T )=1, die Put-Call Parität (1.8) als Spezialfall erhält. Lemma (Put-Call Relation). Die Zinsen seien nicht negativ, d.h. B(t,T ) apple 1 für alle 0 apple t apple T. Für den Preis eines amerikanischen Calls und eines amerikanischen Puts mit gleichen Merkmalen auf eine Aktie ohne Dividendenzahlung gilt unter Arbitragefreiheit, dass S(t) K apple C A (t) P A (t) apple S(t) KB(t,T ), 0 apple t apple T. (1.10) 18

19 1.3 Optionen Beweis. Offensichtlich ist P A (t) P(t). Aus der Put-Call Parität für europäische Optionen erhalten wir C(t) P(t)=S(t) KB(t,T ) und mit Satz C A (t) P A (t)=c(t) P A (t) apple C(t) P(t). Damit folgt die rechte Seite von (1.10) aus Gleichung (1.8). Für die linke Seite zeigen wir S(t)+P A (t) apple C A (t)+k. Hierbei ist C A (t)=c(t). Wir wählen eine beliebigen, aber festen Zeitpunkt t 2 (t,t ]. Für t = T erhalten wir Ausübung an Maturität, also das Auszahlungsprofil eines europäischen Puts. In der Handelsstrategie von Portfolio 1 wird man den Betrag K auf ein Bankkonto einzahlen. Dieses Bankkonto wird mit einem risikolosen aber möglicherweise zufälligem Zinssatz verzinst. Unter unserer Annahme von nichtnegativen Zinsen hat der Betrag K hat an einem späteren Zeitpunkt t > t einen gestiegenen Wert, den wir mit Kb K bezeichnen. Wir betrachten die folgenden beiden Portfolios Portfolio 1 Wert in t Wert in t 2 (t, T ] Kaufe am. Call C A (t)=c(t) C A (t)=c(t) Zahle K auf Bankkonto K Kb C(t)+K C(t)+Kb Portfolio 2 Kaufe am. Put und P A (t) (K S(t)) + übe ihn in t aus Kaufe Aktie S(t) S(t) Für den Wert von Portfolio 1 gilt im Zeitpunkt t 2 (t,t ] P A (t)+s(t) S(t)+(K S(t)) + = max{s(t),k} C(t)+Kb C(t)+K (S(t) KB(t,T )) + + K (S(t) K) + + K = max(s(t),k). Somit ist der Wert von Portfolio 1 an jedem Ausübungszeitpunkt (inklusive Maturität T ) größer oder gleich dem Wert von Portfolio 2 und somit aus Arbitragegründen auch an t Wertgrenzen für Optionen (mit bekannten Dividenden) Für eine kurze Laufzeit kann man die Dividenden recht präzise vorhersagen. Wir studieren in diesem Abschnitt den vereinfachten Fall, dass der Wert der zukünftig auszuzahlenden Dividen- 19

20 1. Grundlagen den (bis Maturität) bekannt ist. Eine Bewertung allgemeinerer Zahlungsströme ist Standard in der Literatur über Zinsmärkte und wir verweisen auf das tolle Buch Filipović (2009). Die Zeitpunkte an welchen Dividenden gezahlt werden seien T 1,...,T n und die zu zahlenden Dividenden D 1,...,D n. Die Summe der auf t abdiskontierten Dividendenauszahlungen ist Man erhält unmittelbar D(t,T ) := n  i=1 1 {tappleti applet }D i B(t,T i ). C(t) S(t) D(t, T ) KB(t, T ), (1.11) indem man die vorigen Ergebnisse auf S(t) D(t,T ) anwendet. Für den amerikanischen Call wird es möglicherweise optimal sein, an Dividendenzeitpunkten auszuüben, vgl. Hull (1993), Kapitel 10. Betrachten wir eine mögliche Ausübung an einem Dividendenzeitpunkt T i. Ausüben wird man nur, falls S(T i ) > K. Genau genommen, wird man direkt vor der Dividendenzahlung ausüben. Den Wert der Aktie bezeichnet man dann mit S(T i ), wobei diese Notation noch einmal explizit auf den linken Grenzwert hinweist, S(T i ) := lim t"ti S(t). Die Auszahlung durch Ausüben ist dann gerade S(T i ) K. Allerdings gilt ebenso für den Preis des Calls an T i, also nach Auszahlung der Dividende: C A (T i ) C(T i ) S(T i ) D i KB(T i,t ). Ist der Preis höher als die Auszahlung durch Ausüben, so ist es natürlich nicht optimal auszuüben. D.h. es ist nicht optimal auszuüben, falls D i apple K 1 B(T i,t ). Es lässt sich zeigen, dass im Fall D i > K 1 B(T i,t ) Ausüben immer optimal ist Optionsstrategien Aus Kombinationen von Optionen lassen sich reichhaltige Auszahlungsprofile erstellen, welche in Finanzprodukten vielfach zum Einsatz kommen. Wir stellen einige einfache Beispiele vor. Der Preis einer europäischen Option hängt von einer Reihe von Einflußgrößen ab, wie im späteren Teil der Vorlesung (Black-Scholes Modell) noch gezeigt wird. Die Abbildung 1.5 illustriert die Abhängigkeit von der Restlaufzeit und dem aktuellen Kurs der zugrunde liegenden Aktie. 20