K L A S S I S C H E T H E O R E T I S C H E P H Y S I K I ( T H E O R I E A, M E C H A N I K )

Transkript

1 P R O F. D R. C A R S T E N R O C K S T U H L K L A S S I S C H E T H E O R E T I S C H E P H Y S I K I ( T H E O R I E A, M E C H A N I K ) K A R L S R U H E R I N S T I T U T F Ü R T E C H N O L O G I E K I T- FA K U LTÄT F Ü R P H Y S I K I N S T I T U T F Ü R T H E O R E T I S C H E F E S T K Ö R P E R P H Y S I K

2 Ich möchte ene Rehe von Büchern benennen, welche ch verwendet habe be der Erstellung des Skrptes und welche ch für de Vorlesung empfehle: W. Noltng Grundkurs Theoretsche Physk 1 T. Fleßbach Mechank - Lehrbuch zur Theoretschen Physk I F. Scheck Theoretschen Physk 1 En Buch welches vor allem de mathematschen Grundlagen auf ene verständlche Art erklärt st M. Otto Rechenmethoden für Studerende der Physk m ersten Jahr Dese Ausarbetung orentert sch an und basert auf den Skrpten der folgenden Kollegen: Prof. Falk Lederer Prof. Drk Gunnar Welsch Prof. Matthas Stenhauser (n der Mtschrft von Floran Keller) Weterhn snd verschedene Abbldungen aus anderen Quellen übernommen, welche ncht explzt markert wurden. Das Skrpt st damt nur für den nternen Gebraucht gedacht und darf n kener Form weterverbretet werden. Ich möchte Andreas Poencke, Andreas Schemenz, Karm Mnasr und Stefan Nanz für de hlfreche Durchscht des Manuskrptes danken Prof. Dr. Carsten Rockstuhl Skrpt geschreben von Prof. Dr. Carsten Rockstuhl Verson vom February 2017

3 Inhaltsverzechns 1 Enletung 5 2 Knematk Bahnkurve, Geschwndgket, Beschleungung Koordnatensysteme Grundaufgaben der Knematk - Grundtypen der Bewegung 29 3 De Newtonschen Prnzpen Enletung Lex prma das Träghetsgesetz Lex secunda Grundgesetz der Dynamk Lex terta Wechselwrkungsgesetz, acto=reacto Lex quarta Superpostonsprnzp Inertalsysteme und Galle-Transformaton Beschleungte Bezugssysteme 47 4 Dynamk enes Massenpunktes - Blanzglechungen Der Impuls und de Impulsblanz De Energe und de Energeblanz Der Drehmpuls und de Drehmpulsblanz, das Drehmoment 65

4 4 5 Dskusson der Bewegungsglechungen I: Konservatve Systeme De allgemene lneare Bewegung Harmonscher Oszllator Freer Fall aus belebger Höhe Allgemene Bewegung m Zentralkraftfeld Planetenbewegung 79 6 Dskusson der Bewegungsglechungen II: Dsspatve Systeme Freer Fall mt Rebung Freer harmonscher Oszllator Getrebener Oszllator: harmonsche Anregung Getrebener Oszllator: belebge Anregung Systeme von Massenpunkten Defntonen Impulssatz Energesatz Vralsatz Drehmpulssatz Zwe-Körper-Probleme 126

5 1 Enletung De klasssche Mechank, we wr se n Grundzügen n desem Kurse kennenlernen möchten, beschrebt das Raum-Zet-Kontnuum und de Bewegung der darn enthaltenen Körper. Se entsprcht mthn dem Telgebet der Physk, welche wr n unserer alltäglchen Erfahrung vermutlch am häufgsten begegnen werden, unabhängg davon ob des bewusst oder unbewusst gescheht. Aus den uns möglchen Beobachtungen der Bewegung von Körpern, versuchen wr m Rahmen der theoretschen Mechank allgemen gültge Gesetze zu fnden, welche n der Lage snd, dese Bewegungen (bzw. auch de Ruhe) mathematsch zu fassen und abstrakter zu beschreben. Damt st de theoretsche Mechank auf herausragende Art geegnet, Se mt den allgemenen Zelen der theoretschen Physk vertraut zu machen. Unser Vorgehen m Folgenden sollten Se ncht nur auf ene Rehe von konkreten Problemen anwenden. Se sollten deses Vorgehen auf ener höher aggregerten Ebene als prototypsch verstehen für jede Art von Theore, mt welcher Se de uns umgebende Umwelt und n deser auftretende observable Phänomene beschreben bzw. noch ncht beobachtete Phänomene vorhersagen können. Dazu würden wr auf der Bass der Verallgemenerung von Erfahrungen enge allgemene Grundsätze aufstellen. Dese werden wr als Axome bezechnen. Nur mt desen Axomen und den verschedensten Methoden der Mathematk, welche Se n desem und n weterführenden Kursen kennenlernen werden, versuchen Se ene Rehe von spezellen Gesetzen aufzustellen, welche de velfältgen Ausprägung expermentell observabler Größen korrekt vorhersagen. Ene gute Theore muss n der Lage sen, alle bekannten Phänomene rchtg beschreben zu können und sollte darüber hnaus auch Phänomene vorhersagen, welche bsher noch ncht beobachtet werden konnten. Dese Vorhersagen sollen Expermente motveren, n welchen dese Phänomene beobachtet (oder auch ncht beobachtet) werden. Man sprcht von ener Verfzerung oder ener Falsfzerung ener Theore1. Bekannte erfolgreche Bespele der jüngeren Vergangenhet für deses Vorgehen st zum Bespel der expermentelle Nachwes des Hggs-Telchens oder auch der expermentelle Nachwes von Gravtatonswellen. Bede Phänomene Beobachtung Experment Axom m Rahmen der Theore ncht bewesbare Annahmen Vorhersage neuer Expermente 1 Ene Verfzerung st streng genommen ne möglch, da Se ncht ausschlessen können, dass es ncht doch en Experment gbt, welches ncht mt der Theore n Überenstmmung gebracht werden können. Je mehr Expermente aber rchtg vorhergesagt werden, desto hlfrecher und nützlcher st ene Theore.

6 6 Enletung wurden m Rahmen entsprechender Theoren vorhergesagt, entzogen sch aber langer Zet hrer Beobachtung. Erst 50 (Hggstelchen) bzw. 100 Jahre (Gravtatonswellen) nach hrer theoretschen Vorhersage wurden de entsprechenden expermentellen Nachwese erbracht. Bedes waren n sch selbst Melenstene der expermentellen Physk aber letztendlch stellen se auch enen Trumph der theoretschen Physk dar. Ihre Ausbldung auf dem Gebet der theoretschen Physk begnnt mt deser Vorlesung zur theoretsche Mechank 2. Des st ncht nur hstorsch begründbar, sondern erklärt sch mt dem physkalschen Fundament, welches de theoretsche Mechank für vele wetere Telgebete und Zwege der Physk darstellt. In der theoretschen Mechank werden ene ganze Rehe von Grundbegrffen engeführt, welche Ihnen m weteren Verlauf der Vorlesungen mmer weder begegnen werden. Masse, Impuls, Energe, Arbet und Kraft snd nur enge deser Terme. Weterhn ähneln de her verwendeten mathematschen Methoden denen n den mesten weteren Telgebeten der Physk. Gerade dese Mathematserung der Physk wrd vermutlch de größte Änderung m Verglech zu Ihrer bshergen Schulphysk darstellen. Ich möchte Se daher btten, nsbesondere den mathematschen Aspekten mt Wertschätzung zu begegnen. Se werden de Schönhet der Mathematk und de Möglchket mt hr physkalsche Phänomene zu dskuteren rgendwann enmal würdgen, wenn Se sch auf de Mathematk enlassen. Ich möchte Se daher noch enmal explzt auf de an sch sehr enfache Struktur der theoretschen Physk hnwesen. Se fangen n den mesten Fällen mt enfachen Gesetzmäßgketen an. Dese gewnnen Se aus ener Rehe Expermenten oder postulere deren Gültgket, da de täglche Erfahrung Ihnen ncht wdersprcht. Alles was danach kommt st der Wunsch Enscht zu gewnnen, durch ene geegnete Mathematsche Manpulaton deser Grundgesetze. Her n der theoretschen Mechank, st es de Newtonsche Bewegungsglechung. Multplzeren Se dese skalar oder vektorell mt der Ortskoordnate, kommen Se zur Energe- bzw. Drehmpulserhaltung. Ich selbst habe menen wssenschaftlchen Hntergrund eher n der Elektodynamk und Optk. Daher werde ch mch m Laufe deses Kurses häufg auf Analogen deses Telgebetes der Physk bedenen. De Ausgangspunkte der Elektrodynamk snd zum Bespel beobachtbare Kraftgesetze de Ladungen oder Ströme gegensetg aufenander ausüben (Coulombkraft oder Lorentzkaft). Zusammen mt dem Superpostonsprnzp und den Methoden der Vektoralgebra, können Se nahezu de gesamte Theore herleten. Se brauchen wrklch ncht mehr. De theoretsche Mechank, we wr se her n desem Kurs behandeln, wrd auch als klasssche Mechank bezechnet. Dese geht hauptsächlch auf de Arbeten von Newton zurück, der dese m Rah- 2 Am KIT folgt de Rehenfolge der Kurse zur theoretschen Physk zemlch kanonsch der klassschen Rehenfolge von theoretscher Mechank, Elektrodynamk, Quantenmechank und Thermodynamk / statstscher Physk. Abbldung 1.1: Sr Isaac Newton porträtert von Godfrey Kneller, London 1702.

7 7 men senes 1687 veröffentlchen Hauptwerkes Phlosophae Naturals Prncpa Mathematca abschlessend zusammenfasste. Daher wrd de klasssche Mechank häufg auch als Newtonsche Mechank bezechnet. Des bedeutet aber natürlch ncht, dass er der allenger Urheber der klassschen Mechank st. Sene Arbeten baseren velmehr auf früheren Arbeten von Archmedes, Galle, Kepler, Descartes, Huygens und anderen, welche gegen Ende des 17 Jahrhunderts zu enem enhetlchen System von Newton zusammengefasst wurden. Deses wurde n den folgenden Jahrzehnten weter entwckelt und verfenert, so dass man lange Zet davon ausgng, das gesamte Naturgeschehen zumndest prnzpell auf de Newtonsche Mechank zurückführen und n hrem Rahmen erklären zu können. Das dem ncht so st, verdanken wr vor allem der weteren Entwcklung expermenteller Technken und Methoden, welche gegen Mtte/Ende des 19. Jahrhundert bzw. Anfang des 20. Jahrhundert Enschten n Systeme brachten, welche m Rahmen der klassschen Mechank ncht mehr erklärbar waren. De Grenze der klassschen Physk wurden schtbar. Dazu zählen zum enen Prozesse, welche be sehr großen Geschwndgketen stattfnden. Es wurde de relatvstsche Mechank entwckelt, welche de klasssche Mechank nur noch als Grenzfall benhaltet. Man konnte erkennen, dass de klasssche Mechank nur gültg st, wenn de Geschwndgketen mt denen sch Körper m Raum bewegen, sehr vel klener snd als de Lchtgeschwndgket. De Lchtgeschwndgket selbst stellt ene obere Grenze für de Geschwndgket zur Übertragung von Sgnalen bzw. Informatonen dar. Weterhn wrd n der relatvstschen Mechank das Konzept enes absoluten Raumes aufgegeben, mt dessen Defnton wr de klasssche Mechank m Folgenden begnnen wollen. Raum und Zet werden zu ener verenhetlchenden Koordnaten zusammengefasst. Weterhn versagen de Gesetze der klassschen Mechank be sehr großen Massen, was zu ener Krümmung eben deser Raum-Zet und zu nteressanten Vorhersagen führt. Dese Vorhersagen, z.b. dass durch de Krümmung des Raums Lcht von Sternen m geometrschen Schatten ener nchtgekrümmten Raum-Zet zu uns gelangen können, wurden expermentell überprüft und führten so zur allgemenen Akzeptanz der relatvstschen Mechank. Zum anderen verleren de Gesetze der klassschen Mechank hre Gültgket be sehr klenen Strukturen bzw. sehr klenen Wrkungen. Schlüsselexpermente her waren de Beobachtung von Phänomenen, welche normalerwese Wellen zugeschreben werden, n Expermenten, de mt Telchen durchgeführt wurden. So wurden Interferenzmuster be der Beugung von Elektronen an enem Spalt bzw. auch enem Doppelspalt beobachtet. Der probablstsche Ausgang ener Messung st en weterer Indz für de Notwendgket ener nchtklassschen Beschrebung. In der Elektrodynamk und der Optk führt erst de Relatvstsche Mechank Mechank Relatvstsche Quantenmechank Quantenmechank

8 8 Enletung Quantserung der Ampltuden von elektromagnetschen Wellen 3 zur Erklärung verschedener Expermente. Dese Quantserung st en weterer Hnwes darauf, dass klasssche Konzepte ncht n jedem Falle geegnet snd, alle Expermente rchtg zu beschreben. Schlesslch wurden bede Telgebete m Rahmen der relatvstschen Quantenmechank verengt. Dese müssen Se anwenden, wenn Se de Physk enzelner Telchen be sehr hohen Geschwndgketen rchtg verstehen wollen. All dese weterführenden Theoren werden Ihnen aber erst n höheren Semestern begegnen. Beachten Se btte, dass m Allgemenen ene möglchst enfache Theore zur Beschrebung der Se nteresserenden physkalschen Systeme zu bevorzugen st. Da de alles verenhetlchende Theore noch ncht gefunden wurde, muss jede Theore zwangswese Grenzen hrer Vorhersagbarket bestzen. Dese schmälern auf kenen Fall den Wert ener Theore, sondern begrenzt nur de Velfalt der physkalschen Phänomene, de se beschreben kann. Ene Klassfzerung bzw. ene Entelung der Mechank kann auf verschedene Arten und Wesen vorgenommen werden 4. Ene Klassfzerung basert auf der Beschrebung der Körper, deren Bewegung Se dskuteren möchten. Se können dessen Bewegung zum Bespel rchtg beschreben, wenn Se de Bewegung aller Telchen kennen, aus denen der gesamte Körper aufgebaut st. Des st das wete Feld der Punktmechank und kann, be ener sehr großen Anzahl von n den Bewegungsglechungen zu berückschtgenden Telchen, sehr schnell zu enem sehr komplzerten Problem werden. Der enfachste Fall legt aber vor, und mt desem werden wr uns zunächst beschäftgen, wenn man de Bewegung des gesamten Körpers beschränken kann auf de Bewegung enes enzelnen Punktes. Dann wrd der Körper mt Hlfe enes Massepunktes ohne räumlche Ausdehnung dealsert beschreben. De gesamte Masse des Körpers st mt desem Punkt assozert. Beachten Se btte, des st ene Modellvorstellung. Se erlaubt aber auf ausgezechnete Art und Wese de Bewegung enes Körpers m Raum zu beschreben. Da kene Ausdehnung bzw. Struktur verbunden st mt dem Massepunkt, kann man aber somt ausschlesslch translatorsche Bewegungen des Körpers m Raum beschreben. Innere Bewegungen und Rotatonen werden ncht berückschtgt bzw. werden ncht beschreben. Jeder materelle Körper bzw. Systeme bestehend aus desen Körpern können aber zusammengesetzt werden aus velen Massepunkten. So gelangt man zur Beschrebung von Massenpunktsystemen, deren Mechank auch als Punktmechank bezechnet wrd. Starre Körper könne m Rahmen deser Punktmechank als Systeme von Massepunkten verstanden werden, deren Abstand und räumlche Anordnung fxert st. Im Rahmen deser Vorlesung werden wr uns sowohl mt der Mechank von Massepunkten als auch von Systemen von Massepunkten 3 Des führt zur Enführung des Begrffs enes Photons. 4 Se werden sehen, Physker, nsbesondere theoretsche Physker, haben ene sehr große Negung zur Klassfzerung und zur Katalogserung. En solches Vorgehen hlft, en systematsches Verständns zu entwckeln. Dese Fähgket wrd Ihnen später von großem Nutzen sen, ganz glech ob Se als Wssenschaftler arbeten oder m Fnanzmanagement. Punktmechank Mechank Kontnuumsmechank

9 9 beschäftgen. In Fortsetzung der Komplextät gelangt man schlesslch zur Kontnuumsmechank, m Rahmen derer de elastschen und plastschen Egenschaften fester Körper bzw. de Bewegungen von Flüssgketen und Gasen beschreben werden. Dese Körper müssten beschreben werden aus ener ncht mehr zu handhabenden Anzahl von relatv zuenander ncht mehr starr verbundenen Massepunkten, so dass deren explzte Berückschtgung ncht mehr praktkabel st. Stattdessen werden feldtheoretsche Methoden benutzt, um de Bewegung solche Materalen mt Hlfe enes physsch strukturlosem Kontnuums zu beschreben. Dese Kontnuumsmechank wrd ncht mehr Gegenstand deser Vorlesung sen. En alternatver Zugang zur Klassfzerung der Mechank besteht n der Unterschedung zwschen Knematk und Dynamk. In der Knematk, dem Tel der Mechank welche wr als erstes n deser Vorlesung dskuteren wollen, werden de Bewegungsformen von Massepunkten zunächst ohne Betrachtung der Ursache dskutert. De Entstehung der Bewegung st zunächst ncht von Interesse; de Massepunkte bewegen sch enfach. Im Gegensatz zur Knematk steht de Dynamk, welche nun auch auch de Ursachen der Bewegung betrachtet und mathematsch mt berückschtgt. Dynamsche Bewegungsglechungen,.A. Dfferentalglechungen n denen auf der lnken Sete de dynamschen Größen stehen und auf der rechten Sete de Ursachen (Kräfte), blden das mathematsche Gerüst der Dynamk. In der Dynamk dskutert man entsprechend de Änderung des Bewegungszustandes von Körpern verursacht von auf se wrkenden Kräfte. Wr werden dskuteren, dass sch physkalsche Systeme m Allgemenen als Funkton der Zet zu enem Glechgewchtszustand hn entwckeln. Des st en Zustand, n dem auf den Körper kene Kraft mehr wrkt. Daher st en wchtges Telgebet der Dynamk de Statk, n welchem de Bedngungen des Ruhezustandes, des Glechgewchtes, untersucht werden. Ene drtter Zugang zur Klassfzerung der Mechank selbst, besteht n der Auswahl der mathematschen Methoden zur Beschrebung der Dynamk des Systems. Wr unterscheden zwschen der Newtonschen Mechank (dese Vorlesung), der Lagrangeschen Mechnank, der Hamltonschen Mechank und der Hamlton-Jacob Mechank. De letztgenannten Methoden snd ncht mehr Gegenstand deser sondern Ihrer nächsten Theorevorlesung (Klasssche Theoretsche Physk B). De Vorlesung beschränkt sch auf de Knematk und de Dynamk von Massepunkten und Systeme von Massepunkten. Wr werden n enem ersten Kaptel Grundelemente der Knematk kennenlernen. In enem zweten Kaptel werden wr uns mt den Newtonschen Axomen ausenandersetzen. Wr werden uns dann mt der Dynamk enes enzelnen Massepunktes beschäftgen und nsbesondere de Blanzgle- Mechank Knematk Dynamk Bewegungsgesetze ohne Kräfte Wrkung von Kräften Statk Knetk Kräfte m Glechgewcht Kräfte verändern den ruhender Körper Bewegungszustand von Körpern

10 10 Enletung chungen dskuteren. Wr werden dann ene Rehe von Bewegungen dskuteren, wobe wr zwschen konservatven und dsspatven Systemen unterscheden werden. Anschlessend werden wr das Gelernte auf Massepunktsysteme erwetern.

11 2 Knematk Mathematscher Enschub (Vektoren) Bevor wr mt der theoretschen Beschrebung physkalscher Phänomene m Rahmen der Knematk begnnen, möchten wr kurz enge enletende Defntonen geben und enge wchtge mathematsche Konzepte dskuteren. Dese werden Se auch sehr ausführlch n entsprechenden Mathematkvorlesungen behandeln. Daher sollen de Ausführungen m Folgenden nur als kurze funktonelle Zusammenfassung dessen denen, was wr unmttelbar benötgen werden. Alle physkalschen Größen können als Skalare, Vektoren oder Tensoren beschreben werden. Für uns zunächst relevant snd nur de beden erstgenannten Größen. Ene skalare physkalsche Größe wrd allene durch de Angabe enes Zahlenwertes (Maßzahl) und ener Enhet (Maßenhet) charaktersert. Physkalsch beobachtbare skalare Größe werden mt ener reelen Zahl angegeben. Bespele snd de Masse oder das Volumen enes Körpers, de Temperatur, der Druck oder auch de Wellenlänge. Ene vektorelle physkalsche Größe verlangt neben der Angabe enes Betrages zusätzlch de Angabe ener Rchtung. Bespele snd de Verschebung, de Geschwndgket, de Beschleungung, de Kraft oder der Impuls. Allgemen snd Vektoren m Raum R n defnert mt n N. Se snd damt defnert als de Menge der n-tupel (x 1,..., x n ) mt x R. Beachten Se btte de her verwendete Notaton: Fett geschrebene Größen snd Vektoren. Kursv geschrebene Größen snd Skalare. Enheten werden ncht kursv geschreben. Im Allgemenfall befnden wr uns n enem dre-dmensonalen (kartesschen) Raum, so dass a R 3 st, den wr allgemen als Vektorraum schreben können. En Vektor n desem Raum wrd beschreben mttels a 1 a x a = a 2 = a y a 3 a z De von uns zu Begnn der Vorlesung am häufgsten verwendeten Vektoren snd Ortsvektoren r, mt welchen wr de Punkte des Eukldschen Raumes beschreben können. Um des enendeutg durchführen zu können, müssen wr enen Koordnatenursprung defneren. We wr später dskuteren werden, st de Defnton deses Koordnatenursprungs wllkürlch und ncht endeutg. Wr können jeden belebgen Punkt als unseren Koordnatenursprung mttels ener geegneten Translaton, Rotaton und enes Boosts defneren. En Boost bezechnet de Transformaton zwschen zwe Koordnatensystemen, welche sch relatv zuenander mt ener konstanten Geschwndgket bewegen. Der Koordnatenursprung legt uns das Bezugssystem fest, enen Nullpunkt. Der Ortsvektor st dann der Vektor, welcher den Koordnatenursprung mt dem entsprechenden Punkt m physkalschen Raum verbndet 0P = r Ortsvektor Der Vektor hat enen Betrag und ene Rchtung. Zur Festlegung der Rchtung benötgen wr ene Referenzrchtung. Dese wrd auch als Koordnatensystem bezechnet. Ene enfache Wahl für en Koordnatensystem st das kartessche. Es wrd gebldet aus dre

12 12 Knematk senkrecht aufenander stehenden Geraden, de sch n enem gemensam Punkt, dem Koordnatenursprung schneden. De Rchtung der Geraden wrd defnert durch Enhetsvektoren. Dese bestzen de Länge ens und stehen senkrecht aufenander. Se blden damt ene orthonormale Bass. Enhetsvektoren des kartesschen Koordnatensystems snd defnert als 1 e x = 0 0 e y = 1 0 e z = Damt wrd en Vektor beschreben mttels a = a x e x + a y e y + a z e z Andere Koordnatensysteme werden wr m Laufe der Vorlesung kennenlernen. Dese snd dann defnert durch andere Enhetskoordnaten. Bespele für andere Koordnatensysteme, mt denen Se m Laufe der Vorlesung zu tun haben werden, snd Kugelkoordnaten, Polarkoordnaten bzw. Zylnderkoordnaten. z O e z e y P a z y Mathematscher Enschub (Vektorprodukt) De oben erwähnte Egenschaft der Orthornomaltät der Enhetsvektoren lässt sch mathematsch enfach fassen mt Hlfe des Skalarproduktes. Deses st defnert für zwe Vektoren a, b R 3 als x a y e x a x 3 a b := a x b x + a y b y + a z b z = a b =1 Beachten Se, häufg wrd an Stelle von 3 =1 a b auch enfach nur a b geschreben; das Summenzechen wrd also weggelassen. Des wrd als Enstensche Summenkonventon bezechnet. Her wrd mmer über doppelt auftretende Indzes auf ener Sete der Glechung summert, ohne dass deses Summenzechen explzt mt geschreben wrd. Im Rahmen deser Vorlesung wrd dese Schrebwese nur selten benutzt. In späteren Vorlesungen wrd se Ihnen häufger begegnen und Se werden dese Notaton schätzen lernen. Das Skalarprodukt lässt sch auch ausrechnen mttels der Längen/Beträge der beden Vektoren. Wr verwenden dazu de eukldsche Norm (Standardnorm oder auch 2-Norm). Dese eukldsche Norm enes Vektors a st defnert als a = a a = a 2 = a 2 x + a 2 y + a 2 z = a Mt deser Defnton lässt sch das Skalarprodukt zwschen zwe Vektoren a und b ausrechnen mttels a b = a b cos θ, wobe θ der Wnkel zwschen den beden Vektoren st. Das Skalarprodukt st en Maß für de Größe der Projekton enes Vektors a auf enen anderen Vektor b. Das Skalarprodukt zwschen zwe Vektoren st en Skalar, was offenschtlch zur Namenswahl führte. Man bezechnet es auch als Punktprodukt; motvert durch de Schrebwese Das Skalarprodukt zwschen zwe Vektoren verschwndet, wenn entweder der Wnkel zwschen beden Vektoren π 2 st oder de Länge ener der beden Vektoren verschwndet. Das Skalarprodukt st unabhängg von der Wahl des Koordnatensystems. Das Skalarprodukt wrd auch als nneres Produkt bezechnet. De Engangs erwähnte Orthonormaltät der Enhetsvektoren lässt sch nun schreben als e e j = δ j, wobe her das Kronecker Symbol δ j verwendet wurde. Deses beträgt 1, wenn de beden Indzes dentsch snd. Und es st 0, wenn de beden Indzes verscheden snd.

13 13 Im Gegensatz zum nneren Produkt steht das äußere Produkt, welches auch Kreuzprodukt genannt wrd, ebenfalls motvert durch de Schrebwese. Es verbndet zwe Vektoren a und b und man erhält weder enen Vektor, z.b. c. Daher wrd es auch als Vektorprodukt bezechnet. Es wrd berechnet mttels a y b z a z b y c = a b = a z b x a x b z. a x b y a y b x In Komponentenschrebwese und mt Hlfe des sogenannten Lev-Cevta-Pseudotensors ε jk, lässt sch de te Komponente des Vektors c des Kreuzproduktes auch schreben als c = ε jk a j b k. Zur Evaluaton deses Ausdruckes wenden wr her auch weder de Enstensche Summenkonventon an: Über doppelt auftretende Indzes wrd summert. Zur vollständgen Defnton des Lev-Cevta-Pseudotensors geht man.a. davon aus, dass ε 123 = 1 und wendet de folgenden Rechenregeln an: ε jk = 0 mndestens2 dentsche Indces 1 wenn, j, k ene gerade Permutaton von 1, 2, 3 snd 1 wenn, j, k ene ungerade Permutaton von 1, 2, 3 snd Der Lev-Cevta-Pseudotensor st damt ant-symmetrsch für jedes Indexpaar. Er besteht aus 27 Komponenten, von denen 21 null snd und jewels 3 Komponenten snd ±1. Rechnungen mt Hlfe des Lev-Cevta-Pseudotensors snd besonders dann attraktv, wenn Ihnen z.b. doppelte Kreuzprodukte begegnen. Es glt: ε jk ε lmn = det δ l δ m δ n δ jl δ jm δ jn δ kl δ km δ kn Spezell für uns relevant st das Produkt von Lev-Cevta-Pseudotensoren mt enem dentschen Index. Es glt: ε jk ε lm = δ jl δ km δ kl δ jm Gewöhnen Se sch btte an de Nutzung enes solchen Ausdruckes. Im Rahmen der Theoretschen Mechank st de Verwendung des Lev-Cevta-Pseudotensors vellecht ncht n jedem Falle notwendg. In späteren Vorlesungen werden Se es aber schätzen, wenn Se längere Rechnungen formal sehr überschtlch aufschreben können, wenn Se den Lev-Cevta-Pseudotensor benutzen. Spätestens n der Elektrodynamk st das der Fall. Mehr Detals dazu fnden Se m engangs erwähnten Buch von M. Otto. De Länge des Vektors c berechnet sch mttels c = ab sn θ, wobe θ weder der Wnkel zwschen den beden Vektoren a und b st. Der Vektor c seht senkrecht auf der Fläche defnert durch a und b, sodass a, b, c en Rechtssystem blden. Mathematscher Enschub (Dfferentalrechnung) Im Folgenden werden wr das mathematsche Hlfsmttel der Dfferentaton und der Integraton benötgen, um Bahnkurven und daraus abgeletete Größen zu berechnen. Betrachten wr zunächst reelwertge Funktonen m en-dmensonalen Raum als Funkton des Ortes x. Dese blden de Ortskoordnate auf enen Funktonswert ab f : x R f (x) R. Der Dfferentalquotent bzw. de Abletung der Funkton f (x) beschrebt dann de

14 14 Knematk dfferentelle Änderung der Funkton n enem nfntesmal klenen Interval x: d f (x) dx = f f (x + x) f (x) (x) := lm x 0 x Geometrsch bezechnet man dese Größe als de Stegung der Funkton f (x) am Ort x. De dazugehörende Gerade stellt ene lneare Näherung der Funkton n näherer Umgebung zu x dar. Enge Bespel für Abletungen snd de Folgenden: f (x) = 1 2 x2 f (x) = x (2.1) f (x) = e x f (x) = e x (2.2) Abletungen nach der Zet werden normalerwese n Kurznotaton mt enem Punkt über der Funkton gekennzechnet: d f (t) dt = f (t) := lm t 0 f (t + t) f (t) t De wchtgsten Rechenregeln der Dfferentaton snd de Potenzregel [anwendbar auf de Abletung ener Potenzfunkton der Form f (x) = ax n ] d f (x) dx = anx n 1, de Summenregel (anwendbar auf de Abletung der Summe zweer Funktonen) d dx [ f (x) + g(x)] = f (x) + g (x), de Produktregel (anwendbar auf de Abletung des Produktes zweer Funktonen) d dx [ f (x)g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x), de Rezprokenregel (anwendbar auf Abletungen mathematschen Funktonen der Form f (x) = 1 v(x) ) d f (x) dx = 1 v(x) 2 dv(x) dx, de Quotentenregel (anwendbar auf de Abletung des Quotenten zweer Funktonen) [ ] d f (x) = f (x)g(x) f (x)g (x) dx g(x) g 2, (x) und de Kettenregel (anwendbar auf de Abletung ener Funkton, welche de Funkton ener Funkton st) d d f (g) dg(x) [ f (g(x))] = dx dg dx. De Umkehroperaton der Dfferentaton st de Integraton. Her wrd be gegebener Funkton f (x) ene Funkton F(x) dergestalt gesucht, dass df(x) dx = f (x) glt. Dese Funkton berechnet sch mttels x F(x) = f (x )dx. Klasssche Bespel snd de Folgenden: f (x) = sn(x) F(x) = cos(x), f (x) = e ax F(x) = 1 a eax.

15 15 Man unterschedet zwschen ener unbestmmten Integraton ohne feste Integratonsgrenzen, was der Suche nach der Stammfunkton F(x) entsprcht oder der bestmmten Integraton mt festgelegten Integratonsgrenzen: b a f (x)dx = F(x) b a = F(b) F(a). Wchtge Regeln der Integraton betreffen de partelle Integraton (Integraton des Produktes ener Funkton und der Abletung ener anderen Funkton, n Anwendung der oben erwähnten Produktregel der Dfferentaton): b b f (x)g (x)dx = f (x)g(x) b a f (x)g(x)dx a a b = f (b)g(b) f (a)g(a) f (x)g(x)dx a und de Substtutonsregel g2 g 1 f (g)dg = x2 x 1 f (g(x))g (x)dx. En Bespel herfür wäre de Berechnung des Integrals 2 π 2x cos x 2 dx. π Her ersetzen wr de Varabel g = x 2 und damt st dg = 2xdx. Da g (x) = 2x st, brauchen wr (praktscherwese) nur noch de Integratonsgrenzen ersetzen zu g 1 = x1 2 = π und g 2 = x2 2 = 4π. Damt berechnet sch das Integral zu 2 π 4π 2x cos x 2 dx = cos gdg = sn g 4π π = sn 4π sn π = 0 0 = 0. π π 2.1 Bahnkurve, Geschwndgket, Beschleungung De Knematk beschränkt sch auf de Betrachtung von Massepunkten mt ener zu vernachlässgenden räumlchen Ausdehnung. En klasssches Bespel herfür wäre de Beschrebung der Bewegung der Erde um de Sonne. De Erde wrd herbe als Massepunkt ohne Ausdehnung betrachtet, n dem de gesamte Masse der Erde konzentrert st. Jedwede nterne Dynamk, also z.b. de Rotaton der Erde um hre egene Achse, st m Rahmen deser Betrachtung rrelevant und wrd ncht weter berückschtgt. De Poston des Massepunkts wrd vollständg durch enen Ortsvektor x r = y = xe x + ye y + ze z z charaktersert. Wenn sch en Massepunkt n Raum und Zet bewegt, dann bldet dese zetlche Abfolge sener Aufenthaltspunktes ene Bahnkurve,

16 16 Knematk welche auch als Trajektore bezechnet wrd. Dese Trajektore st ene Abbldung von R R 3. Se st defnert st x(t) r(t) = y(t) = x(t)e x + y(t)e y + z(t)e z z(t) Wchtg st her zu beachten, dass ledglch de Komponente der Trajektore zetlch veränderlche Größe snd; ncht aber de Enhetsvektoren. Dese snd zetunabhängg. Für alle weteren Betrachtung n desem Kaptel, wollen wr voraussetzen, dass wr de Trajektore kennen. Wr wollen noch ncht de Ursache der Bewegung klären, sondern zunächst Aussagen über de Egenschaften der Bewegung treffen. De Dskusson der Ursache wrd sch m Folgenden anschlessen. De Geschwndgket des Massepunktes st defnert als de dfferentelle zetlche Änderung des Ortes des Massepunktes: v(t) = dr(t) dt r(t + t) r(t) = ṙ(t) = lm. t 0 t Der Geschwndgketsvektor v(t) st tangental zur Bahnkurve. In kartesschen Koordnaten berechnet sch de Geschwndgket aus der ndvduellen Geschwndgket der enzelnen Komponenten ṙ(t) = ẋ(t)e x + ẏ(t)e y + ż(t)e z. De Beschleungung des Massepunktes st defnert als de dfferentelle zetlche Änderung der Geschwndgket des Massepunktes. De Beschleungung st damt de zwete Abletung der Bahnkurve nach der Zet: x O z y z(t) x(t) y(t) P, t r r P 0, t+ t r + r Bahnkurve a(t) = dv(t) dt = v(t) = d2 r(t) dt 2 v(t + t) v(t) = r(t) = lm. t 0 t Der Beschleungungsvektor a(t) st tangental zum Hodographen. Der Hodograph der Bewegung enes Massepunktes st de Abbldung des Geschwndgketsvektors als Funkton der Zet. Er beschrebt somt de Menge der Endpunkte der von enem festen Punkt aus abgetragenen Geschwndgketsvektoren. In kartesschen Koordnaten berechnet sch de Beschleungung aus der ndvduellen Beschleungung der enzelnen Komponenten O v v + v v r(t) = ẍ(t)e x + ÿ(t)e y + z(t)e z. Auch wenn formal höhere zetlche Abletungen der Bahnkurve dskutert werden können, gbt es kene physkalsche Gründe des zu tun. Hodograph

17 Koordnatensysteme Bsher betrachteten wr ledglch kartessche Koordnaten. Her snd de Koordnatenlnen Geraden, welche defnert werden durch feste Bassvektoren. Se snd zetlch ncht veränderlch. Häufg st es aber hlfrech, de Bewegung enes Massepunktes n enem anderen Koordnatensystem zu beschreben, n welchem de mathematsche Beschrebung der Bewegung wesentlch enfacher st. Man sprcht her von enem problemangepassten Koordnatensystem. Im Laufe Ihrer Ausbldung als Physker sollten Se ene gewssen Intuton entwckeln zu erkennen, welches Koordnatensystem zur Lösung enes konkreten Problems geegnet st. Des wrd Ihnen helfen, vele Probleme möglchst enfach zu lösen. Ausgewählte alternatve Koordnatensysteme wollen wr m Folgendem kennenlernen Natürlche Koordnaten Im Gegensatz zu den kartesschen Koordnaten, wollen wr m Folgenden de Bewegung von Massepunkten zunächst mt Hlfe der sogenannten natürlchen Koordnaten beschreben. Dese stellen en lokales Koordnatensystem dar, welches angepasstes st an de Bahnkurve des Massepunktes. Man sprcht von enem begletenden Dreben, da sch de Orenterung des Koordnatensystems als Funkton der Bahnkurve ändert und mmer relatv zu hr orentert st. Zuerst betrachten wr den Geschwndgketsvektor v(t), welcher mmer tangental zur Bahnkurve gerchtet st 1. Dese Rchtung defnert somt Tangentenenhetsvektor t(t). Es glt v(t) = v(t)t(t). Da der Tangentenenhetsvektor, we der Name schon sagt, en Enhetsvektor st, muss er ene normerte Länge von ens bestzen t(t) 2 = 1. Wr führen an der Stelle de Bogenlänge der Bahnkurve s zwschen dem Punkt P (zum Zetpunkt t) und enem (zu enem geegnet gewählten Anfangszetpunkt t 0 bestmmten) Punkt P 0 en. Des entsprcht dem zwschen t 0 und t zurückgelegten Weg und berechnet sch zu s = s(t) = t t 0 ds(t ) = t t 0 dr(t ). Her sehen Se, dass ds(t) 2 = dr(t) dr(t) st. Da r = r (s(t)) st, können wr de Geschwndgket auch ausrücken als v(t) = dr(t) dt = dr(s) ds ds(t) dt 1 Beachten Se btte, ch versuche de Abhänggket ener Größe von den verschedenen Varabeln mmer explzt mt aufzuführen. Dese Klarhet n der Notaton halte ch für wchtg, um Fehler zu vermeden. Sehen Se es als enfach überprüfbare Tatsache an, dass wenn auf der lnken Sete ener Glechung ene Größe steht, welche von der Zet abhängg st, auf der rechten Sete der Glechung de Zet rgendwo auftauchen muss. Entweder explzt oder n Form ener Größe, welche wederum selbst von der zet abhängt. An der Tafel n der Vorlesung, werde ch dese Abhänggket aus Gründen ener kürzeren Notaton weglassen. Her m Skrpt lasse ch es vermutlch auch manchmal weg, dann aber eher nur aus Schludrgket (sehen Se mr das btte nach) oder für den Fall, dass dese Abhänggket offenschtlch st. Wenn Se ene Größe nach der Zet ableten, sollte dese auch von der Zet abhängen.

18 18 Knematk Der erste der beden Brüche st der Tangentenenhetsvektor und der zwete der beden Brüche st der Betrag der Geschwndgket. De Beschleungung ausgedrückt mt Hlfe des Tangentenenhetsvektor ergbt sch als a(t) = dv(t) dt = dv(t) dt t(t) + v(t) dt(t), dt wobe wr de Produktregel angewandt haben m zweten Schrtt. Wenn wr auf de Forderung t(t) 2 = t(t) t(t) = 1 de zetlche Abletung anwenden d1 dt = 0 = d dt(t) [t(t) t(t)] = 2t(t) dt dt erkennen wr, dass das Skalarprodukt der beden Vektoren t(t) und dt(t) dt verschwndet. Wr können dann schlussfolgern, dass bede Vektoren senkrecht aufenander stehen t(t) dt(t). dt Wr defneren de Rchtung der zetlchen Abletung des Tangentenenhetsvektor als den Hauptnormalenenhetsvektor n(t); also dt(t) dt n(t). Beachten Se btte, dass der Hauptnormalenenhetsvektor ebenfalls normert st. Es glt n(t) 2 = 1. Merken Se sch btte, Abletung enes Enhetsvektors nach ener Größe von der deser abhängt stehen mmer senkrecht zum Vektor selbst. In desem Fall st der Enhetsvektors explzt von der Zet abhängg, so dass de Abletung des Enhetsvektors nach der Zet senkrecht zu desem steht. Damt st dt(t) dt = c(t)n(t). We groß st jetzt aber genau dese skalare Größe c(t)? Aus der Skzze nebenan erkennt man, dass de Änderung des überstrchenen Wnkelelements dφ(t) m Grenzfall enes vernachlässgbar klenen Zetntervalls t 0 sch gerade berechnet zu dφ(t) = dr(t) R(t) = dt(t). Herbe st R(t) der Krümmungsradus der Kurve. Er entsprcht dem Radus enes Kreses, welcher n näherer Umgebung des betrachteten Punktes de Bahnkurve annähert. Damt ergbt sch für de Länge von c(t) = dt(t) dt = dr(t) R(t)dt = v(t) R(t) = v(t) R(t). De Beschleungung lässt sch so mt Hlfe des Tangentenenhetsvektor und des Hauptnormalenenhetsvektors berechnen zu n d t t + dt t t + dt dr R d dt a(t) = dv(t) t(t) + v(t)2 dt R(t) n(t).

19 19 Der erste Term beschrebt de tangentale Beschleungung. Der zwete Term beschrebt de radale Beschleungung. Dese Größe R bezechnet den Krümmungsradus der Bahnkurve. Für ene geradlnge Bewegung st der Krümmungsradus unendlch. Für alle anderen bestzt er enen endlchen Wert. Man bezechnet de durch t(t) und n(t) aufgespannte Ebene auch als de Schmegungsebene der Bahnkurve. Der Beschleungungsvektor legt mmer n der Schmegungsebene und zegt nach der konkaven Sete der Bahnkurve. Als drtter Vektor wrd zusätzlch der Bnormalenenhetsvektor b(t) engeführt, welcher senkrecht auf der Schmegungsebene steht. Er st defnert als b(t) = t(t) n(t). Deser Vektor st ebenfalls normert ( b(t) 2 = 1) und er beschrebt Bewegungen aus der Ebene heraus. Er wrd n der Mechank m allgemenen ncht weter benötgt, da Beschleungungen höherer Ordnung kaum ene Rolle spelen. Koordnatensysteme als solches snd ncht fxert. Es st zum Bespel enfach zu erkennen, dass en Punkt m Raum relatv zu verschedenen Bezugspunkten bestmmt, durch unterschedlche Koordnaten charaktersert st. Neben ener Translaton können Koordnatensysteme auch relatv zuenander rotert werden 2. Bezugspunkte von Koordnatensystemen können sch m Zwefel auch als Funkton der Zet ändern und se können ene von null verschedene Relatvgeschwndgket zuenander bestzen. Des werden wr später noch ausführlch dskuteren. In all desen Stuatonen st es hlfrech, Koordnaten von enem Koordnatensystem n en anderes zu überführen. Des kann man mathematsch sehr elegant formuleren, wenn man de entsprechenden Vektoren, welche de Koordnaten enthalten, mt passenden Matrzen multplzert, welche enendeutg de Punkte enes Koordnatensystems n en anderes überführen. Bsher haben wr nur skalare Größen und Vektoren betrachtet. Daher soll m Folgenden ene kurze Überscht über das mathematsche Konstrukt der Matrx gegeben werden. Anschlessend werden wr spezelle Matrzen dskuteren, welche uns helfen, de Koordnaten von Punkten zwschen verschedenen Koordnatensystemen zu konverteren. 2 De Translaton selbst st enfach defnert. Jeder Ortskoordnate n enem Bezugssystem wrd en Translatonsvektor hnzuaddert, welcher gerade der Vektor st, der de beden Ursprünge der betrachteten Koordnatensysteme verbndet r = r b. Mathematscher Enschub (Matrzen) (a) Formale Defnton ener Matrx Per Defnton st ene n m große Matrx A R n m gegeben durch a a 1m A = n Zelen. a n1 }... {{ a nm } m Spalten

20 20 Knematk Jeder der Enträge der Matrx a j st dabe selbst ene reele Zahle, a j R. Indvduelle Elemente ener Matrx können adressert werden als (A) j = a j, wobe de beden Indzes zwschen = 1...n und j = 1...m laufen können. (b) Spezelle Matrzen () Ene Matrx be der de Anzahl der Zelen glech der Anzahl der Spalten st, also n = m, wrd als quadratsche Matrx bezechnet. () Ene Matrx mt nur ener Spalte, also m = 1, wrd als Spaltenvektor bezechnet. () Ene Matrx mt nur ener Zele, also n = 1, wrd als Zelenvektor bezechnet. (c) Rechenregeln () Be der Multplkaton mt ener skalaren Größe λ R, wrd jedes enzelne Element der Matrx mt deser skalaren Größe multplzert (λa) j = λa j. () Be der Addton zweer Matrzen mt dentschen Größen A, B R n m, werden de entsprechenden Enzelelemente mtenander addert. (A + B) j = a j + b j = (A) j + (B) j Beachten Se btte, Matrzen mt unterschedlchen Größen können ncht mtenander addert werden. () De Multplkaton zweer Matrzen mt den Größen A R n m und B R m k ergbt ene Matrx C = A B R n k. Zur Berechnung der Enträge (A B) j multplzere man den -ten Zelenvektor von A mt dem j-ten Spaltenvektor von B. Man berechnet also (A B) j = m a l b lj. l=1 Man schrebt a a 1m b a 1k C = A B = a n1... a nm a m1... a mk Enge Bemerkungen sollen her gemacht werden: * Für das Produkt A B Rn k lassen sch de Argumente ncht vertauschen. B A st ncht defnert außer für den spezellen Fall, dass k = n. * Für das Produkt A B Rn n glt A B = B A * Für den Fall, dass A R1 m en Zelenvektor st und B R m 1 en Spaltenvektor st, dann st das Matrxprodukt aus A B ene skalare Größe und B A R m m ene quadratsche Matrx. * Für den Spezalfall des Produktes ener Matrx A Rn m mt enem Vektor b R m st das Produkt deser beden Größen en Vektor mt der Länge n, A b R n. De Elemente deses Vektors berechnen sch aus m (A b) = a l b l. l=1 (v) De Determnante ener Matrx der Größe n n st rekursv defnert. Wr beschränken uns her auf Matrzen der Größe n = 2 und n = 3, welche überwegend für uns von Interesse snd. * n = 2 De Matrx ( st dann ) defnert als a11 a A = 12. a 21 a 22 De Determnante berechnet sch dann zu det A = A = a 11 a 22 a 21 a 12. Es st also de Dfferenz der Gegendagonalen zur Dagonalen.

21 21 * n = 3 De Matrx st dann defnert als a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23. a 31 a 32 a 33 De Determnante berechnet sch dann zu det A = A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32. Im Skrpt st mr das zu aufwendg zu zechnen, aber Se können de entsprechenden Terme lecht rekonstrueren, wenn Se alle Dagonalen adderen und alle Gegendagonalen subtraheren. Verbnden Se btte enfach de entsprechenden Elemente der Terme mt Lnen und Se erkennen lecht en Muster. Zwe Bemerkungen sollen noch gemacht werden. De Determnante des Produktes zweer Matrzen st glech dem Produkt der beden Determnanten der Enzelmatrzen, also det (A B) = det (A) det (B). Falls de Determnante ener Matrx verschwndet, also det (A) = 0 st mndestens ene Zele (oder Spalte) ene Lnearkombnaton der anderen Zelen (oder Spalten). Das heßt, dese Zele (oder Spalte) lässt sch als Summe aller anderen Zelen (oder Spalten) schreben, wenn dese ndvduell mt ener passenden Zahl multplzert werden. (v) De Enträge der transponerten Matrx A T ener Matrx A berechnen sch zu ( A T) j = (A) j. (d) Wetere spezelle Matrzen A R n n st ene Dagonalmatrx, falls a j = 0 für = j glt. De Matrx seht dann folgendermaßen aus a A = 0 a a 33 Ene Dagonalmatrx n der alle Enträge dentsch snd, a = 1 heßt Enhetsmatrx = Das Produkt ener Matrx mt ener Enhetsmatrx st weder de Matrx. Es glt A 1 = 1 A = A. y De Matrx B st de nverse Matrx von A R n n, falls B A = 1 glt. Zur Berechnung der nversen ener Matrx muss dese quadratsch sen. Wr schreben für de nverse Matrx B = A 1. Es glt A 1 A = A A 1 = 1. Beachten Se btte, ncht alle Matrzen haben ene Inverse. Nur solche mt ener nchtverschwndenden Determnante. Matrzen mt ener verschwndenden Determnante bezechnet man als sngulär. Mathematscher Enschub (Drehungen) Wr wollen m Folgenden ene ganz konkrete Anwendung von Matrzen dskuteren. Der Wechsel zwschen verschedenen Koordnatensystems st en häufg genutztes Werkzeug, um Probleme möglchst enfach zu beschreben n enem angepassten Koordnatensystem. Um das zu dskuteren, betrachten wr de Drehung enes Koordnatensystems n dem y 0 y P y r P x P x r P x 0 y 0 P x 0 P x

22 22 Knematk en Punkt beschreben wrd durch den Ortsvektor r P. Dessen Ortskoordnaten wollen wr n den zwe verschedenen Koordnatensystemen ausdrücken. Um de Analyse zu erlechtern, dskuteren wr zunächst den zwe-dmensonalen Fall und betrachten anschlessend den dre-dmensonalen Fall. De Defnton aller geometrscher Größen können wr aus der Abbldung am Rand entnehmen. Zu sehen st der gleche Vektor n den zwe verschedenen Koordnatensystemen (gestrchen bzw. ungestrchen), welche relatv zuenander gedreht snd um den Wnkel α. Was wr m Folgenden suchen snd de Koordnaten ( ) ( ) xp r P = und r x y P = P P y P und vor allem auch den Ausdruck, welcher de gestrchene Koordnaten als Funkton des Drehwnkels und der ungestrchenen Koordnaten ausdrückt. Es glt n Polarkoordnaten (dese werden wr explzt später dskuteren; alle Detals können aber berets der nebenstehenden Abbldung entnommen werden) x P = r P cos β y P = r P sn β x P = r P cos (β α) = r P cos β cos α + r P sn β sn α }{{}}{{} x P y P y P = r P sn (β α) = r P sn β cos α r P cos β sn α }{{}}{{} y P x P Dese beden Glechungen können wr auch n Matrxform zusammenschreben ( ) ( ) ( ) x P cos α sn α xp y = P sn α cos α y P bzw. noch etwas kompakter als ( ) r cos α sn α P = Or P mt O =. sn α cos α Beachten Se her btte en subtles Detal deser Matrx zur Transformaton ener Koordnate von enem Koordnatensystem n en anderes Koordnatensystem. Das Vorzechen des Wnkels her st entgegengesetzt zum Vorzechens, welches be der Drehung enes Vektors um enen bestmmten Wnkel n en und demselben Koordnatensystem auftaucht. De Drehung enes Vektors um enen Wnkel n enem Koordnatensystem st äquvalent zur Drehung des Koordnatensystems um den glechen Wnkel n umgekehrter Rchtung (Drehung um negatven Wnkel). Dadurch ändern sch de Vorzechen der Enträge der Snusfunkton, da dese Funkton ungerade st. De der Cosnusfunkton bleben glech, da dese Funkton gerade st. Wr wollen uns m Folgenden fragen, welche Egenschaften de Matrx O haben muss, damt se ene Drehung beschrebt. a) Zunächst enmal müssen Drehmatrzen quadratsch sen. b) De Matrxelemente snd reel. c) De Determnante ener Drehmatrx st ens, also deto = 1. Das heßt, dass be der Drehung enes Vektors weder ene Verlängerung noch ene Verstauchung des Vektors stattfndet, r P = r P. Des st natürlche ene wchtge Egenschaft de erhalten bleben muss, wll en Vektor ledglch gedreht werden. d) Alle Zelen und Spalten müssen de Länge ens bestzen. e) Alle Zelen müssen orthogonal zuenander sen. Alle Spalten müssen orthogonal zuenander sen. Das Skalarprodukt der entsprechenden Vektoren muss dann verschwnden. ( ) cos α sn α e) De transponerte Matrx O T = muss dentsch sen zur nversen sn α cos α Matrx O 1, also O T = O 1 bzw. O T O = 1.

23 23 Matrzen, welche dese Egenschaften bestzen, nennt man orthonormale Matrzen. Es glt dann Or = r. De Drehung enes Koordnatensystems m dre-dmensonalen Raum kann durch sukzessves Anwenden ener Drehung um jewels ene Koordnatenachse durchgeführt werden. De ndvduellen Drehmatrzen für de jewelge Koordnate lautet O x (α) = 0 cos α sn α, 0 sn α cos α cos β 0 sn β O y (β) = 0 1 0, sn β 0 cos β cos γ sn γ 0 O z (γ) = sn γ cos γ α, β, γ snd her de Drehwnkel. Ene belebge Rotaton m dre-dmensonalen Raum lässt sch daher ausrücken als O = O x (α)o y (β)o z (γ) cos β cos γ cos β sn γ sn β = cos α sn γ + sn α sn β cos γ cos α cos γ + sn α sn β sn γ sn α cos β. sn α sn γ + cos α sn β cos γ sn α cos γ + cos α sn β sn γ cos α cos β Beachten Se btte, Drehungen n dre Dmensonen snd m Allgemenen ncht vertauschbar. De Rehenfolge der Anwendung der Drehmatrzen st wchtg Krummlnge Koordnaten I: Zylnderkoordnaten Bsher haben wr Punkte m Raum nur beschreben durch kartessche Koordnaten; durch de Angabe der dre Werte für x, y und z. En solches kartessches Koordnatensystem mag aber ncht mmer de passendste Wahl sen. Zum Bespel werden wr m Lauf des Kurses uns auch mt Bewegungen auf Kresbahnen beschäftgen. De Beschrebung des Punktes m Raum st dann enfacher mt Zylnderkoordnaten. Zylnderkoordnaten snd das vellecht enfachste Bespel für krummlnge Koordnatensysteme. In krummlngen Koordnatensystemen ändern de Koordnatenlnen hre Rchtung, so daß de Enhetsvektoren ortsabhängg werden. Wr sprechen von orthogonalen krummlngen Koordnaten, wenn de Koordnatenlnen senkrecht aufenander stehen. Des st be den Zylnderkoordnaten und auch den später dskuterten Kugelkoordnaten der Fall. Statt mt den kartesschen Koordnaten (x, y, z) wrd en Punkt m Raum durch de Zylnderkoordnaten ρ, φ und z beschreben. Polarkoordnaten wären en verenfachter Fall von Zylnderkoordnaten, n denen de drtte, de z-koordnate ncht weter berückschtgt wrd. Man beschrebt somt zwe-dmensonale Probleme, Probleme n denen de drtte Dmenson kene Rolle spelt. Beachten Se weterhn, allgemene krummlnge Koordnatensyste-

24 24 Knematk me werden wr her ncht behandeln. Dese werden aber allerspätestens m Rahmen der Relatvtätstheore wchtg. De Defnton der Zylnderkoordnaten st m Bld nebenan erschtlch. Mathematsch stehen kartessche Koordnaten und Zylnderkoordnaten m folgendem Zusammenhang: x = ρ cos φ y = ρ sn φ z = z mt ρ 0 und 0 φ 2π. Damt st jeder Punkt m Raum r endeutg gegeben durch x z O r P y r = ρ cos φe x + ρ sn φe y + ze z Umgekehrt glt ρ = x 2 + y 2 φ = { arccos ρ x wenn y 0 2π arccos ρ x wenn y < 0 z = z De Länge enes Vektor n Zylnderkoordnaten berechnet sch zu r = ρ 2 + z 2 Das Lnenelement ener Bahnkurve st gegeben durch ds 2 = dr dr = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dρ 2 + ρ 2 dφ 2 + dz 2 De Bassvektoren snd 3 e ρ = cos φe x + sn φe y e φ = sn φe x + cos φe y e z = e z 3 Entschuldgen Se btte, dass dese Bassvektoren und auch das Lnenelement etwas vom Hmmel fällt. En allgemen gültger Zugang m Rahmen krummlnger Koordnatensysteme würde aber den Rahmen deser Vorlesung sprengen. Damt st e z konstant, wohngegen e ρ und e φ abhängg snd von φ. De Enhetsvektoren selbst snd orthogonal, blden aber en lokales Koordnatensystem. Für Ortsvektoren glt r = ρe ρ + ze z. Allgemene Vektoren c werden dargestellt als c = c ρ e ρ + c φ e φ + c z e z. Wenn en belebger Vektor n kartesschen Koordnaten gegeben st (c x, c y, c z ), kann er n Zylnderkoordnaten (c ρ, c φ, c z ) we folgt umgerechnet werden c ρ = cos φc x + sn φc y,

25 25 c φ = sn φc x + cos φc y, c z = c z. Des kann auch n Matrxform geschreben werden als c ρ cos φ sn φ 0 c x c φ = sn φ cos φ 0 c y c z En Bespel we dese Transformaton enes Vektors von kartesschen Koordnaten n Zylnderkoordnaten erfolgt, st n der folgenden Abbldung zu sehen. We betrachten her enen belebgen Vektor c. Deser soll hn n der Ebene z = 0 legen und soll kene Komponente n z- Rchtung haben. Daher dskuteren wr m Folgenden de z-koordnate ncht weter. Dese würde auch be der Transformaton erhalten bleben. Deses zwe-dmensonale Koordnatensystem bezechnet man auch als Polarkoordnaten. Den Vektor c können Se als enen Tel enes Vektorfeldes verstehen. Er beschrebt ene physkalsche Größe an enem ganz konkreten Ort, welche charaktersert st durch enen Betrag und ene Rchtung. Als Funkton des Ortes verändert sch dese physkalsche Größe und somt der Vektor, der dese beschrebt. In der Abbldung soll dese Größe mttels zwe verschedenen Vektoren an zwe verschedenen Orten beschreben werden. De beden Vektoren snd entsprechend schwarz und dunkelgrün. Lnks sehen Se de Darstellung n kartesschen Koordnaten, rechts n Polarkoordnaten. Der Vektor selbst darf sch natürlch ncht verändert. De physkalsche Größe hängt natürlch ncht davon ab, we ch se beschrebe. Ledglch de vektorelle Zusammensetzung ändert sch. c z e y y e x c =(c x, c y ) T c = c x e x + c y e y e y e x x e e y e c =(c, c ) T c = c e + c e e x De Darstellung des Vektors n kartesschen Koordnaten st lnks zu sehen. Beachten Se btte, kartessche Koordnaten snd ortsunabhängg. Wr zechnen de entsprechenden Enhetsvektoren mt hren Ursprung n dem Raumpunkt en, n welchem der Vektor de physkalsche Größe beschreben soll. Bespele für dese physkalschen Größen snd zum Bespel Kräfte, de an enen Massepunkt an desem Raumpunkt angrefen. Ene andere Größe wäre zum Bespel das elektrsche Feld. De

26 26 Knematk vektorelle Größe st n der betrachteten Ebene durch de Angabe der beden Vektorkomponenten c x und c y gegeben. Wenn Se jetzt de gleche Größe n Polarkoordnaten berechnen wollen, wenden Se de obge Glechung an und defneren Se de Enhetsvektoren relatv zu enem von Ihnen gewählten Ursprung. Der Wnkel zwschen der x-achse und der verbndenen Lne zwschen dem Ursprung und dem betrachteten Punkt, gbt Ihnen den Wnkel φ an. Deser Wnkel st wchtg. Er defnert Ihnen de Orenterung des radalen Enhetsvektor, der dann gerade n radaler Rchtung zegt. Senkrecht zu desem radalen Enhetsvektor steht der Enhetsvektor für den Polarwnkel bzw. auch Azmut genannt. We befnden uns her mmer noch am Raumpunkt, n welchem das Vektorfeld enen bestmmten Wert gegeben durch den betrachteten Vektor hat. De Umrechnung der Vektorkomponenten wrd dann gerade durch de oben genannte Matrxglechung durchgeführt. Beachten Se btte, n der Abbldung oben snd zwe verschedene Vektoren (enmal n schwarz und enmal n dunkelgrün) engezechnet. Kartessche Koordnaten snd ortsunabhängg. De Enhetsvektoren snd entsprechend überall m gesamten Raum glech. Zylnder- oder Polarkoordnaten dagegen snd Ortsabhängg. Se benötgen zu Ihrer Defnton en Raumpunkt, auf welchen se sch bezehen. Des st en ausgesuchter Ort m Raum. Im Prnzp kann aber jeder belebge Bezugspunkt m Raum verwendet werden. Be enem unpassend gewählten wrd de Beschrebung der Vektoren nur weder sehr komplzert. Des soll llustrert werden n der folgenden Darstellung. (a) (b) (c) In (a) sehen Se en Vektorfeld, welches Se besser n kartesschen Koordnaten beschreben. Es gbt kenen ausgewählten Punkt m Raum auf den Se sch bezehen können zur Defnton enes Zylnderkoordnatensystems. In der Tat st her de Orenterung aller Vektoren glech. Wenn Se sch das Leben enfach machen wollen, defneren Se en kartessches Koordnatensystem dessen, z.b. x-achse, gerade genau n

27 27 Rchtung der Vektoren zegt. Se haben dann kenerle y-komponente (und wr nehmen an auch kene z Komponente, auch wenn das ncht aus der Abbldung entnommen werden kann). Damt können Se de Egenschaften des Vektorfeldes sehr enfach beschreben. In (b) und (c) sehen Se Vektorfelder, welcher we bevorzugt n enem Zylnderkoordnatensystem beschreben sollten. Wr haben enen ausgezechneten Bezugspunkt, relatv zu dem das Vektorfeld n (b) ausschlesslch ene Wnkelkomponente bestzt und n (c) ausschlesslch ene Radalkomponente. Das Problem st offenschtlch hochsymmetrsch relatv zu desem besonderen Bezugspunkt. Physkalsch kann (b) zum Bespel das Magnetfeld enes Stromdurchflossenen Leters sen und (c) das elektrsche Feld ener Punktladung. In beden Fällen wären de Ampltuden ncht ganz rchtg, aber de Orenterung stmmt auf alle Fälle. Se können bede Vektorfelder auch relatv zu enem anderen Bezugspunkt defneren, was aber ene sehr komplexe Angelegenhet wrd. Abschlessende se noch gesagt, dass de Geschwndgket n Zylnderkoordnaten sch berechnet mttels ṙ = ρe ρ + φρe φ + że z. De Beschleungung n Zylnderkoordnaten berechnet sch zu ( ) r = ρ φ 2 ρ e ρ + ( φρ + 2 φ ρ) e φ + ze z Krummlnge Koordnaten II: Kugelkoordnaten Be Problemen mt ener sphärscher Symmetre empfehlt sch de Verwendung von Kugelkoordnaten (r, θ und φ). Her nennt man θ den Polarwnkel und φ den Azmutwnkel. In Kugelkoordnaten st de Angabe des Radus r und der beden Wnkel notwendg, um jeden Punkt m Raum zu adresseren. Auch Kugelkoordnaten snd en ortsabhängges Koordnatensystem. De Defnton der Koordnaten st m Bld nebenan erschtlch. Mathematsch stehen kartessche Koordnaten und Kugelkoordnaten m folgendem Zusammenhang: x = r cos φ sn θ x z O r r P y y = r sn φ sn θ z = r cos θ mt den Werteberechen r 0, 0 θ π und 0 φ 2π. Damt st jeder Punkt m Raum r endeutg gegeben durch r = r sn θ cos φe x + r sn θ sn φe y + r cos θe z.

28 28 Knematk Umgekehrt glt r = x 2 + y 2 + z 2 φ = atan2(y, x) = arctan y x wenn x > 0 Sgn(y) π 2 wenn x = 0 arctan y x + π wenn x < 0 und y 0 arctan y x π wenn x < 0 und y < 0 θ = arccos z r. Das Lnenelemente ener Bahnkurve st gegeben durch ds 2 = dr dr = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sn 2 θdφ 2. De Bassvektoren snd e r = sn θ cos φe x + sn θ sn φe y + cos θe z, e θ = cos θ cos φe x + cos θ sn φe y sn θe z, e φ = sn φe x + cos φe y. De Bassvektoren stehen senkrecht aufenander und blden ebenfalls en Orthonormalsystem: e θ e r, e θ e φ, e r e φ, e r e θ = e φ. Der Ortsvektor enes Punktes mt Abstand r vom Koordnatenursprung st gegeben durch r = re r. Allgemen werden Vektoren dargestellt als c = c r e r + c θ e θ + c φ e φ und ene Transformaton zwschen kartesschen und Kugelkoordnaten wrd beschreben als c r cos φ sn θ sn φ sn θ cos θ c x c θ = cos φ cos θ sn φ cos θ sn θ c y sn φ cos φ 0 c φ c z Ene allgemene Darstellung der Anordnung der Enhetsvektoren zur Beschrebung enes belebgen Vektors n Kugelkoordnaten st n der Abbldung auf dem rechten Sete zu sehen. Ihr können Se weder de geometrsche Anordnung entnehmen. De Dskusson her st analog zu der länglch durchgeführten Dskusson n Zylnderkoordnaten. e r e f e q

29 29 De Geschwndgket n Kugelkoordnaten berechnet sch zu ṙ = ṙe r + θre θ + φr sn θe φ De Beschleungung n Kugelkoordnaten berechnet sch zu ( ) r = r θ 2 r φ 2 r sn 2 θ e r [ 1 d ( + θr 2) φ 2 r sn θ cos θ] e r dt θ + 1 r sn θ d ( φr 2 sn θ) 2 e φ dt 2.3 Grundaufgaben der Knematk - Grundtypen der Bewegung Grundaufgaben Man kann de Grundaufgaben der Knematk n verschedene Klassen untertelen. Wenn enmal dentfzert st, um welche Grundaufgabe es sch handelt, kann m Folgenden sehr algorthmsch vorgegangen werden. Wr unterscheden de folgenden Grundaufgaben: 1. Es st de Bahnkurve bekannt und man möchte de Geschwndgket bzw. de Beschleungung berechnen. Des erfolgt enfach durch mehrmalges Dfferenzeren r(t) v(t) a(t) En Bespel n kartesschen Koordnaten wäre de Dskusson ener Bahnkurve, welche gegeben st durch x(t) = r cos ωt y(t) = r sn ωt z(t) = 0. Des st en wchtges und nteressantes Bespel, welches Ihnen noch sehr häufg begegnen wrd. Es beschrebt de Bewegung enes Massepunktes auf ener Kresbahn mt Radus r und Wnkelgeschwndgket ω. De Komponenten des Geschwndgketsvektors berechnen sch zu ẋ(t) = ωr sn ωt, ẏ(t) = ωr cos ωt, ż(t) = 0. Der Betrag der Geschwndgket beträgt v(t) = ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t) = rω. De Rchtung der Geschwndgket zegt n Rchtung des Tangentenenhetsvektor t, welcher mmer tangental zur Bahnkurve am entsprechenden Raumpunkt st, v = vt(t).

30 30 Knematk De Komponenten des Beschleungungsvektors berechnen sch zu ẍ(t) = ω 2 r cos ωt = ω 2 x(t), ÿ(t) = ω 2 r sn ωt = ω 2 y(t), z(t) = 0. Der Betrag der Beschleungung beträgt a(t) = ẍ 2 (t) + ÿ 2 (t) = rω 2. De Rchtung der Beschleungung zegt n desem spezellen Bespel n Rchtung des negatven Ortsvektors r. Der Massepunkt wrd also auf sener Kresbahn n negatver radaler Rchtung beschleungt, a(t) = ω 2 r(t). 2. Be der zweten Grundaufgabe st de Geschwndgket als Funkton von Ort und Zet bekannt. Gesucht st her de Bahnkurve (und möglcherwese auch de Beschleungung, welche trvalerwese weder durch Dfferentaton gefunden wrd). De Geschwndgket muss als Funkton der Zet und des Ortes bekannt sen. ṙ(t) = v(r, t) r(t). Des führt zu enem gekoppelten System aus Dfferentalglechungen ẋ(t) = v x (x, y, z, t), ẏ(t) = v y (x, y, z, t), ż(t) = v z (x, y, z, t), welches durch enmalge Integraton gelöst werden kann. Für ene endeutge Lösung müssen de Anfangswerte bekannt sen. Dese entsprechen der Ortskoordnate zur ener gegebenen Zet, z.b. t = 0: r(t = 0) = r 0 ( x 0, y 0, z 0 ). Als Bespel soll her ene Bewegung mt konstanter Geschwndgket betrachtet werden. ṙ(t) = v 0 r(t) = v 0 t + f Mt den bekannten Anfangswerten r(t = 0) = r 0 ergbt sch de Lösung r(t) = v 0 t + r Be der drtten Grundaufgabe st de Beschleungung als Funkton von Ort und Zet bekannt. Gesucht st her de Bahnkurve und de Geschwndgket. De Beschleungung muss auch her als Funkton von Zet und Ort bekannt sen. Dese Grundaufgabe st de mt Abstand wchtgste Aufgabe, da, we wr später dskuteren werden, de Beschleungung enes Massepunktes drekt proportonal st zu der auf hn wrkenden Kraft. Wenn be vorgegebener Kraft also de

31 31 Bahnkurve berechnet werden soll, st des en Synonym zur Vorgabe der Beschleungung 4. Wr suchen also r(t) = a(r, ṙ, t) = a(r, v, t) r(t). 4 Beachten Se aber btte, das Konzept ener Kraft st her noch ncht bekannt. Dese Grundaufgabe kann weder mathematsch formulert werden als Satz gekoppelter Dfferentalglechungen ẍ(t) = a x (x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t), ÿ(t) = a y (x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t), z(t) = a z (x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t). Deser Satz gekoppelter Dfferentalglechungen wrd gelöst durch zwemalges Anwenden der Integraton. Für ene endeutge Lösung müssen weder de Anfangswerte bekannt sen. Dese entsprechen der Ortskoordnate zu ener gegebenen Zet, z.b. t = 0: r(t = 0) = r 0 und ener Geschwndgket zu ener gegebenen Zet, z.b. ṙ(t = 0) = v(t = 0) = v 0. Als Bespel soll de Bestmmung der Bahnkurve be konstanter Beschleungung denen. r(t) = a 0 ṙ(t) = a 0 t + c r(t) = a 0 2 t2 + ct + f r(t) = a 0 2 t2 + v 0 t + r Grundtypen der Bewegung Im Folgenden soll ene Kategorserung möglcher Formen der Bewegungen vorgenommen werden, um ene Sprache zu etableren, mt der dese beschreben werden können. 1. Glechförmg geradlnge Bewegung Be ener glechförmg geradlngen Bewegung st de Geschwndgket konstant, also kene Funkton der Zet. ṙ(t) = v = const. Damt erfährt der Massepunkt kene Beschleungung, d.h. r(t) = 0. Für enen gegebenen Anfangswert r(t 0 ) = r 0 berechnet sch de Bahnkurve zu r(t) = v (t t 0 ) + r 0. De so entstehende Bahnkurve st ene Gerade, deren Rchtung durch v bestmmt st. 2. Glechförmg beschleungte Bewegung

32 32 Knematk Be ener glechförmg beschleungten Bewegung st de Beschleungung konstant, also kene Funkton der Zet. Beschleungung, Geschwndgket und Bahnkurve ergeben sch dann we folgt: r(t) = a = const., ṙ(t) = at + b, r(t) = a 2 t2 + bt + c. Mt den Anfangsbedngungen zum Zetpunkt t 0 t = t 0 : r = r 0, ṙ = v 0 erhalten wr b = v 0 at 0 c = r 0 a 2 t2 0 bt 0 = r 0 a 2 t2 0 v 0t 0 + at 2 0. Damt fnden wr für de Geschwndgket und de Bahnkurve der folgende funktonelle Zusammenhang ṙ(t) = a(t t 0 ) + v 0, r(t) = a 2 (t t 0) 2 + v 0 (t t 0 ) + r 0. Des entsprcht ener Bewegung n der Ebene aufgespannt durch de beden Vektoren v 0 und a. Als en Bespel für ene solche Bewegung, möchten wr ene Wurfparabel berechnen. De konstante Beschleungung und de Anfangsgeschwndgket sollen gegeben sen als y v 0 x a = ae y und v 0 = v 0x e x + v 0y e y. Wenn wr de obge Glechung für de Bahnkurve spezfzeren für de x- und de y-koordnate erhalten wr x x 0 = v 0x (t t 0 ) y y 0 = a 2 (t t 0) 2 + v 0y (t t 0 ) Wenn wr de erste der beden Glechungen n de zwete ensetzen, erhalten wr enen kompakten Ausdruck für de Bahnkurve, welche uns den explzten Zusammenhang von y = y(x) beschrebt: y y 0 = a 2v 2 0x (x x 0 ) 2 + v 0y v 0x (x x 0 ).

33 33 Des st de allgemene Glechung ener Parabel. Im spezellen können wr mt deser Glechung de Bewegung m Schwerefeld der Erde beschreben. Her st a = g und g = 9.81m/s 2. Für den Fall dass entweder v 0x = 0 oder sogar v 0 = 0 st, können Se mt deser Glechung ene geradlnge Bewegung n y-rchtung beschreben, de entweder en freer Fall st oder en senkrechter Wurf nach oben. Enge deser Spezalfälle wollen wr m Folgenden konkret dskuteren und enge abgeletete Größen berechnen. Der Enfachhalt halber setzen wr m Folgenden t 0 = 0, was enem geegnet gewählten Wurfzetpunkt entsprcht. α) Würfe ohne Geschwndgketskomponente n x-rchtung a) Senkrechter Wurf nach oben In desem Fall soll y 0 = 0 sen. Dann ergbt sch für de y- Koordnate und der Geschwndgket als Funkton der Zet y = g 2 t2 + v 0y t und ẏ = gt + v 0y. b) Freer Fall Für den freen Fall ab ener Höhe y 0 = h 0 und ohne ene Geschwndgketskomponente zu Begnn v 0y = 0 ergbt sch y = h 0 g 2 t2 und ẏ = gt. β) Schräger Wurf Im Folgenden wollen wr den schrägen Wurf detallerter dskuteren. Deser st charaktersert durch enen Wnkel α, der gegeben durch de x- und y-komponente der Geschwndgket. Enblcke n den senkrechten Wurf erhalten wr automatsch als Spezalfall deses schrägen Wurfes. Im Folgenden setzen wr voraus, dass v 0x = v 0 cos α, v 0y = v 0 sn α, x 0 = y 0 = 0. Damt berechnet sch de Wurfparabel zu x = v 0 t cos α, y = v 0 t sn α g 2 t2 g y = 2v 2 0 cos2 α x2 + x tan α β1) Stegzet De Stegzet t s st de Zet de vergeht, bs de zetlche Änderung der y-koordnate, der Poston des Massepunktes n vertkaler Rchtung, gerade verschwndet: ẏ = 0. Des entsprcht dem Umkehrpunkt der Bewegung. Nach Abletung der obgen Glechung der Wurfparabel nach der Zet ergbt sch 0 = v 0 sn α gt s t s = v 0 sn α. g

34 34 Knematk β2) Wurfdauer Als nächstes wollen wr de Wurfdauer t w berechnen. Des st de Zet, de vergeht, bs der Massepunkt nach senem Flug weder auf der Referenzhöhe des Bodens angekommen st. Daher muss de Bedngung y = 0 erfüllt sen. Daraus ergbt sch 0 = v 0 t w sn α g 2 t2 w t w = 2v 0 sn α = 2t s. g β3) Wurfhöhe De Wurfhöhe berechnet sch aus der errechten Höhe nachdem de Stegzet verstrchen st y(t s ). Her st kene explzte Rechnung notwendg sondern ledglch en Ensetzen der entsprechende Größe t s n de Glechung für de y Koordnate. y(t s ) = v 0 sn α v 0 sn α g g 2 v 2 0 sn2 α g 2 y(t s ) = v2 0 sn2 α. 2g Wenn Se de Glechung anschauen, sollten Se als guter Physker zunächst enmal de Grenzfälle dskuteren und auf Plausbltät überprüfen. Wählen Se als Wurfwnkel α = 0, werden Se es offenschtlch ncht schaffen den Massepunkt auch nur mnmal von der Oberfläche weg zu bewegen. Wenn Se Ihn dagegen senkrecht nach oben werfen, d. h. α = π 2, errechen Se be ener gegebenen Anfangsgeschwndgket v 0 de maxmal möglche Wurfhöhe von v2 0 2g. β4) Wurfwete Weterhn wollen wr de Wurfwete berechnen. Dese ergbt sch aus dem glechen Muster we de Wurfhöhe, nur dass wr jetzt de x Koordnate nach Verstrechen der Wurfdauer berechnen müssen x(t w ). x(t w ) = v 0 2v 0 g sn α cos α = v2 0 g sn2 (2α) Als letztes nteressantes können wr noch den Wnkel berechnen, der de Wurfwete maxmert. Wr würden dazu x(t w ) nach α ableten und weder den Extrempunkt suchen, ndem wr de Abletung zu null setzen und den dazugehörgen Wurfwnkel α max bestmmen, der dese Glechung erfüllt. Aus deser Forderung ergbt sch de Bestmmungsglechung cos (2α max ) = 0 α max = π 4. De maxmal möglche Wurfwete be desem Wnkel beträgt x max = v2 0 g.

35 35 Beachten Se btte, dass sch de gleche Wurfwete ergbt für de Wnkel α und π/2 α, da sn (2α) = sn (π 2α) st. 3. Kresbewegung mt konstanter Wnkelgeschwndgket Be ener glechförmgen Kresbewegung bewegt sch der Massepunkt mt enem konstanten Abstand zum Koordnatenursprung auf ener Kresbahn mt konstanter Wnkel- bzw. Bahngeschwndgket. Deses Problem lässt sch am Besten n den früher engeführten ebenen Polarkoodnaten (Zylnderkoordnaten n denen de drtte Dmenson z = 0 st) beschreben. Dort st de Radalkoordnate zetlch unabhängg und konstant, ρ = const. = r und de zetlche Änderung der Wnkelkoordnate soll ebenfalls konstant sen, also φ = ω = const.. ω wrd als Wnkelgeschwndgket um de z-achse bezechnet. In Anwendung des allgemenen Ausdrucks der Geschwndgket n Polarkoordnaten, können wr dese schreben als ṙ = ρe ρ + φρe φ = rωe φ = ve φ. Her haben wr de Bahngeschwndgket v engeführt, welche defnert st als v = ωρ. In Anwendung des allgemenen Ausdrucks der Beschleungung n Polarkoordnaten, können wr dese schreben als r = ( ) ρ φ 2 ρ e ρ + ( φρ + 2 φ ρ) e φ = ω 2 re ρ. Der Betrag deser sogenannten Zentrpetalbeschleungung st r = ω 2 r und se zegt nach nnen, zum Mttelpunkt des Kreses. Das Wort st aus dem Latenschen abgeletet, wo petere für streben steht. Es st also de Beschleungung, de den Körper ns Zentrum der Kresbahn streben lässt. Be der glechförmgen Kresbewegung besteht zwschen der Wnkelgeschwndgket ω und der Umlaufzet T, d.h. der Zet nach der ene Wnkelverschebung um φ = 2π erfolgt, sowe der Drehzahl oder Frequenz ν = 1/T der folgende Zusammenhang Umlaufzet : T = 2π ω, Frequenz : ν = 1 T = ω 2π. De Wnkelgeschwndgket als das 2π-fache der Frequenz wrd auch Kresfrequenz genannt. De Bahnkurve n Polarkoordanten st gegeben als ρ = r, φ(t) = ω (t t 0 ) + φ 0.

36 36 Knematk De Kresbewegung n kartesschen Koordnaten wrd beschreben als x = ρ cos φ x = r cos (ωt + φ 0 ) y = ρ sn φ y = r sn (ωt + φ 0 ) = r cos ( ωt + φ 0 π ). 2 Nach Projekton der Kresbewegung auf de x- und y-achse stellen wr fest, dass se dort harmonsche Schwngungen ausführen. Um genau zu sen, snd es zwe senkrecht aufenander stehende harmonsche Bewegungen mt enem Phasenuntersched von π 2.

37 3 De Newtonschen Prnzpen 3.1 Enletung Bsher haben wr Bahnkurven dskutert, welche vorgegeben waren und be denen wr ncht de Ursachen hnterfragten. Deses Telgebet der Knematk st damt abgeschlossen. Im Folgenden wenden wr uns der Dynamk zu, n welcher de Ursache der Bewegung und de daraus resulterende Bewegung von materellen Körpern dskutert wrd. Dabe spelt de Kraft, de auf enen Körper wrkt, be der Beschrebung der Bewegung ene wchtge Rolle. De folgende Dskusson über de Lehre der Bewegung matereller Körper unter der Enwrkung von Kräften basert m Wesentlchen auf den Newtonschen Prnzpen. Deser werden auch als Newtonsche Axome bezechnet. Se stellen Grundgesetze oder auch Grundvorraussetzungen dar, auf denen alle weteren Überlegen aufbauen. Axome stellen m mathematschen Snne ken streng bewesbaren Sätze dar, sondern snd das Resultat von m Alltag gesammelten Erfahrungen. Wchtg st auch, dass alle von hnen abletbaren Aussagen und auch alle weteren Gesetze n Überenstmmung mt der Erfahrung des täglchen Lebens stehen. Se können ene physkalsche Theore auch entwckeln baserend auf anderen Axomen. Deren Enführung st aber nur gerechtfertgt, wenn sch expermentell überprüfbare Vorhersagen n der Realtät bestätgen lassen. Ich möchte explzt betonen, dass de Newtonschen Axome n der Zet von Newton zu kenerle Wdersprüchen mt Expermenten führten. Sr Isaac Newton ( ) formulerte dese n senem Buch Phlosophæ Naturals Prncpa Mathematca, welches erstmalg 1687 n Cambrdge veröffentlcht wurde. Heute wssen wr, dass de Newtonsche Mechank nur unter gewssen Annahmen Gültgket bestzt. Dese Vorraussetzungen snd: En zentraler Begrff n der Newtonschen Mechank st der der absoluten Zet. Wr wr berets dskutert haben, st de Wahl enes Koordnatensystems bzw. enes Bezugspunktes zur Defnton des Koordnatensystems ncht endeutg. Wr werden des später noch ausführlcher dskuteren, aber es st endeutg erschtlch, dass z.b.

38 38 De Newtonschen Prnzpen n relatv zuenander bewegten Bezugssystemen en Körper n Ruhe sen kann oder aber n Bewegung. Das enfachste Bespel st her der Fahrer n senem Auto. Der Begrff der Ruhe oder der Bewegung st somt ncht absolut. Was aber absolut st n allen Koordnatensystemen, und das st en Grundpfeler der Newtonschen Mechank, st de Zet t = t. Her soll de gestrchene Zet, de Zet n enem anderen Koordnatensystem beschreben. Dese Absoluthet der Zet führt zu der Konsequenz, dass sch Sgnale mt ener unendlch großen Geschwndgket m Raum übertragen lassen. Der zwete zentrale Begrff n der Newtonschen Mechank st der des absoluten Raums. Er bezechnet den sowohl vom Beobachter als auch von den darn enthaltenen Objekten und darn stattfndenden physkalschen Vorgängen unabhänggen physkalschen Raum. In desem absoluten Raum st de Masse enes Körpers konstant und m spezellen ncht von der Geschwndgket abhängg. Weterhn st de Masse m enes abgeschlossenen Systems ncht von den Prozessen n desem System abhängg. Es glt de Massenerhaltung. (Ene explzte Ausnahme bldet her de Rakentenglechung.) All dese Vorraussetzungen gelten so n der Relatvtätstheore ncht (welche Se m Rahmen Ihrer Ausbldung m drtten Semester kennenlernen werden). Am Ausgangspunkt der Entwcklung deser Theore steht als alternatve Annahme de Endlchket der Sgnalgeschwndgket, welche sch als de Lchtgeschwndgket herausstellt. Abwechende Vorhersagen zwschen der Relatvtätstheore und der Newtonschen Mechank lassen sch aber erst beobachten, wenn Objekte sch mt sehr großer Geschwndgket bewegen, was zur Zet Newtons unerrechbar war. In der neueren Zet snd es aber vor allem Expermente n der Hochenergephysk, welche ohne de Berückschtgung relatvstscher Effekte ncht erklärbar snd. In der vorhergehenden Dskusson tauchten zwe neue Begrffe auf, de der Kraft und de der Masse. Dese wollen wr kurz dskuteren Kraft und Masse Ene Kraft wrkt auf enen Körper und kann so de Rchtung und de Stärke des Bewegungszustandes des Körpers ändern. De Kraft F st somt ene vektorelle Größe. Es gbt verschedene Arten von Kräften. Bespele snd de a) Gravtatonskraft De Gravtatonskraft beschrebt de Kraft, de en Körper der Masse m 2 auf enen Körper der Masse m 1 ausübt. Funktonell lässt sch der

39 39 Zusammenhang schreben als F 12 = G m 1m 2 r 2 r 1 2 r 2 r 1 r 2 r 1 mt der Gravtatonskonstante G = m3. De auf de kg s 2 beden Massen wrkenden Kräfte snd betragsmäßg glech groß, haben aber en unterschedlches Vorzechen. De Kräfte haben mmer de Rchtung zum jewels anderen Körper. Das Gravtatonsgesetz beschrebt damt mmer ene anzehende Kraft. b) Coulombkraft De Coulombkraft st mathematsch analog formulert und bezechnet de Kraft zwschen zwe geladenen Körpern mt der Ladung q 1 bzw. q 2. Se berechnet sch als F 12 = 1 4πɛ 0 q 2 q 1 r 2 r 1 2 r 2 r 1 r 2 r 1 mt der Permttvtät des Freraumes ɛ 0 = As Vm. Beachten Se btte das unterschedlche Vorzechen m Verglech zur Gravtatonskraft. Zwe schwere Körper zehen sch an (postves Vorzechen), wohngegen sch zwe Körper mt der glechen Ladung abstossen. Im Gegensatz zur Masse, welche ncht negatv sen kann, kann de Ladung sowohl postv als auch negatv sen. Zwe Körper deren Ladung en unterschedlches Vorzechnen bestzen, zehen sch weder an 1. c) Lorentzkraft De Lorentzkraft bezechnet de Kraft de auf en geladenes Telchen durch en elektrsches und magnetsches Feld ausgeübt wrd. F = q (E + v B) 1 Kontempleren Se btte enen Moment enmal über de Größe des Vorfaktors zwschen Gravtatonskraft und Coulombkraft. Der Untersched beträgt mehr als 20 Größenordnungen. Gravtatonskraft wrd erst domnant be sehr schweren und elektrsch nur sehr schwach geladenen Objekten. d) Federkraft De Federkraft bezechnet de Kraftwrkung zwschen zwe Körpern, de mt ener Feder verbunden snd. Nach dem Hookeschen Gesetz st de Federkraft proportonal zur Auslenkung. Der entsprechende Proportonaltätsfaktor k wrd Federkonstante genannt. Es glt F 12 = k (r 2 r 1 ). e) Rebungskraft De Rebungskraft bezechnet de Kraftwrkung auf enen Körper, welche proportonal st zu sener Geschwndgket und n de

40 40 De Newtonschen Prnzpen entgegengesetzte Rchtung zegt. Ene solche Kraft reduzert de Geschwndgket des Körpers. Se kann allgemen geschreben werden als F = f (v)v mt enem Vorfaktor f (v) der be Stokeschen Rebung konstant und be der Newtonschen Rebung proportonal st zur Geschwndgket. Beachten Se btte, de Ursachen deser spezellen Kräfte snd zu enem überwegenden Tel Gegenstand anderer Teldszplnen der Physk. Wr wollen uns ncht damt beschäftgen, sondern ledglch de Bewegung der Körper dskuteren, wenn auf dese Körper ene Kraft wrkt. Wr unterscheden allgemen zwschen nneren und äußeren Kräften. Be nneren Kräften wrkt ene Kraft auf de Telchen verursacht durch de Telchen des betrachteten Systems. Äußere Kräfte haben hren Ursprung außerhalb des Systems. Wr bezechnen en System als abgeschlossen, wenn kene äußeren Kräfte vorlegen. Äußere Kräfte verursachen en Kraftfeld. Her wrd jedem Punkt m Raum r ene Kraft zugeordnet F(r). En Bespel her wäre de Gravtatonskraft verursacht durch enen Körper, der sehr vel schwerer st als alle anderen Körper. Her wrd der sehr vel schwerere Körper ncht mehr als Tel des System betrachtet, deren Dynamk man untersuch möchte, sondern enfach als starr und fest m Raum. Er erzeugt en Kraftfeld, welches den Bewegungszustand der anderen Körper ändert. Im Gegensatz zur Kraft st de Masse ene Egenschaft des Körpers. Es st ene skalare Größe. Se trägt der Tatsache Rechnung, dass unterschedlche Körper be glecher Kraft unterschedlch beschleungt werden. Man sprcht von ener trägen Masse, da se ene unveränderlche Größe darstellt, de de Träghet des Körpers verursacht. 3.2 Lex prma das Träghetsgesetz Von den möglchen Bewegungsarten de wr früher kennengelernt haben, st de enfachste Bewegung enes Massepunktes (we wählen m Folgenden weder de etwas präzsere Sprachregelung und würden ncht mehr explzt von Körper oder Objekt sprechen) de der glechförmg geradlngen Bewegung. Her hat der Körper ene konstante Geschwndgket (ṙ = v = const.). Ene nteressante Frage betrfft de Klärung der Umstände, unter denen ene solche Bewegung exsteren kann. Ene solche Bewegung kann näherungswese realsert werden, wenn wr das Abrollen ener Kugel auf ene horzontalen Unterlage betrachten. Expermentell würden wr beobachten, dass de Geschwndgket der Kugel sch aber verrngert und de Kugel nach Beendgung des

41 41 Abrollvorgangs rgendwann zum Stehen kommt. De Kugel rollt aber umso weter, je glatter de Oberfläche st. Je länger de Kugel rollt umso mehr ähnelt de Bewegung ener glechförmg geradlngen Bewegung. De Änderung der Geschwndgket st damt offenschtlch ene Folge äußerer Enflüsse. Des snd zum enen de Wechselwrkung der Kugel mt der Unterlage (welche wr durch ene geegnet gewählte Unterlage reduzeren können) aber auch de Wechselwrkung mt der Erde (deren Gravtatonskraft wr durch de orthogonale Anordnung der horzontalen Unterlage besetgen können). Wenn wr n der Lage wären, sämtlche äußere Enflüsse komplett zu besetgen, würde de Kugel hre Geschwndgket unverändert bebehalten. Dese heute enfach zu verstehende Tatsache st kenesfalls trval. De dealserte Vorstellung ener glechförmg geradlngen Bewegung kann ncht beobachtet werden und muss aus ener großen Velfalt expermenteller Beobachtung destllert werden. Se stellt enen dealen Grenzfall der täglchen Erfahrung dar, denn en Körper kann ncht vollständg der Enwrkung anderer Körper entzogen werden. Dese ntellektuell wchtge Erkenntns wurden von Newton als erstes Axom formulert. In der Formulerung von Newton lautet es Jeder Körper verharrt m Zustand der Ruhe oder glechförmg geradlngen Bewegung, wenn er ncht durch enwrkende Kräfte gezwungen wrd, desen Zustand zu ändern. Deses Gesetz st aber nur dann snnvoll anwendbar, wenn wr en endeutges Bezugssystem kennen, n dem de Bewegung des Massepunktes beschreben wrd. Des st genau en ruhendes System n dem von Newton postulerte absoluten Raum. En solches Bezugssystem kann aber ncht durch Expermente festgelegt werden. Wr haben schlchtweg kene expermentelle Möglchket zur überprüfen, ob en von uns gewähltes Bezugssystem n der Tat en ruhendes System m absoluten Raum st oder ncht. Uns hlft aber an der Stelle weter, dass das Postulat uns sagt, dass en solches Bezugssystem überhaupt exstert. Es wrd als Inertalsystem bezechnet. Als gute Näherung kann en Koordnatensystem mt Bezugspunkt m Massenmttelpunkt der Sonne und mt senen Achsen ausgerchtet nach bestmmten Fxsternen als Inertalsystem verstanden werden. Weterhn werden wr später noch sehen, dass Bezugssysteme de glechförmg geradlng bewegt snd relatv zum Inertalsystem ebenfalls Inertalsysteme snd. Daher st en sogenanntes Laborkoordnatensystem zur Betrachtung der mesten Probleme völlg ausrechend. Um deser Tatsache der Notwendgket des Inertalsystems explzt Rechnung zu tragen, lautet ene moderne Formulerung des Träghetsgesetzes Es gbt Koordnatensysteme (Inertalsysteme), n denen sch en

42 42 De Newtonschen Prnzpen kräftefreer Massepunkt n Ruhe befndet oder sch mt konstanter Geschwndgket bewegt. Es glt also F = 0 ṙ(t) = v(t) = const. r(t) = 0 Ene Verallgemenerung des Axoms lautet Im Inertalsystem nehmen de physkalschen Gesetze de enfachste Form an. Dese Formulerung benhlatet de Beschrebung der Bewegung enes kräftefreen Massepunktes, aber glechzetg auch allen weteren Gesetze. 3.3 Lex secunda Grundgesetz der Dynamk Als Konsequenz des ersten Axoms, muss en n enem Inertalsystem beschleungter Massepunkt/Körper der Enwrkung anderer Massepunkte/Körper ausgesetzt sen. Dese anderen Massepunkte müssen ene Kraft auf den betrachteten Massepunkt ausüben. Es se aber noch enmal betont, dass dese Kraft ene sehr komplexe Wechselwrkung der Massepunkte unterenander und mt möglchen Feldern benhaltet. Im Rahmen der Mechank fragen wr ncht nach den Ursachen der Kräfte sondern nur nach deren Wrkungen. De Kraft wrd als gegeben betrachtet. Ene exakte Aufschlüsselung der Ursache der Kräfte st Gegenstand anderer Telgebete der Physk (z.b. der Elektrodynamk, der Gravtatonsphysk, oder auch der Atom- und Elementartelchenphysk). In folgenden Semestern werden Se des noch ausführlcher dskuteren. De mathematsche Beschrebung des funktonellen Zusammenhangs zwschen Kraft und Beschleungung gewnnen wr aus ener Velzahl von Expermenten. Im enfachsten Fall beobachten wr, dass de Kraft proportonal zur Beschleungung st. Der Proportonaltätsfaktor selbst hängt vom Körper ab, der beschleungt werden soll. Um ene Esenkugel genau so stark zu beschleungen wr ene glech große Holzkugel, benötgen wr ene größere Kraft. Deser Proportonaltätsfaktor st gerade de träge Masse. Das Grundgesetz der Dynamk lautet somt De auf enen Massenpunkt wrkende Kraft st glech dem Produkt aus Masse und Beschleungung des Massenpunkts. Mathematsch ausgedrückt lautet es m r = F. In der von Newton gewählten Formulerung lautet es

43 43 De Änderung der Bewegung st der enwrkenden bewegenden Kraft proportonal und gescheht nach der Rchtung derjengen Lne, n der de Kraft wrkt. oder moderner ausgedrückt De Änderung der Bewegungsgröße (Impuls) st proportonal zur Kraft und zegt n deren Rchtung. Her wrd ene neue physkalsche Größe engeführt, der Impuls p(t) = mṙ(t). Das Grundgesetz nmmt mt Hlfe des Impulses de Form ener Impulsblanz an ṗ(t) = d [mṙ(t)] = F(t). dt Dese Glechung bldet de Grundlage der gesamten Newtonschen Mechank. Bede Formulerungen snd dentsch, wenn de Masse zetlch konstant st ṗ(t) = d [mṙ(t)] = m r(t) = F(t). dt De Grundaufgabe der Newtonschen Mechank besteht n der Berechnung der Bahnkurve be gegebener Kraft. Deses Gesetz glt ncht n der relatvstschen Physk (wohngegen de Impulsblanz sene Rchtgket behält), wo de Masse selbst ene Funkton der Geschwndgket und ncht mehr konstant st. Es glt m = m 0 1 v2 c 2 mt der Lchgtgeschwndgket c = m s und m 0 der Ruhemasse des Körpers. Des entsprcht der Masse des Körpers be ener Geschwndgket von v = v = 0. Aber auch schon n der nchtrelatvstschen Physk kann de Glechung hre Gültgket verleren, z.b. wenn de Masse ene Funkton der Zet st. Dann st d [m(t)ṙ(t)] = ṁ(t)ṙ(t) + m r(t). dt Das kanonsche Bespel her st de Berechnung der Flugbahn ener Rakete, deren Masse sch verrngert, während der Trebstoff verbrannt wrd. Der Begrff der trägen Masse, der her mmer verwendet wurde, bezechnet den Wderstand des Massepunktes zur Bewegungszustandsänderung. Se kann dynamsch bestmmt werden durch ene Verglechsmessung mt enem Massepunkt bekannter Masse. Dabe wrd de Beschleungung gemessen, wenn de selbe Kraft auf de beden Körper wrkt. Das Massenverhältns ergbt sch dann aus m 1 r 1 = m 2 r 2 m 1 m 2 = r 2 r 1

44 44 De Newtonschen Prnzpen Als Referenzmasse wrd üblcherwese das Parser Ur- oder Normalklogramm verwendet. En 1 N (Newton) st demnach de Kraft, de benötgt wrd, um enem Körper der Masse 1 kg ene Beschleungung von 1 m zu geben. s 2 En alternatver Zugang zur Bestmmung der Masse besteht n der Analyse der Bewegung des Körpers m Schwerefeld der Erde. Expermentell kann man beobachten, dass jeder Körper glech schnell fällt, unabhängg von sener stofflchen Zusammensetzung. Es glt also m Schwerefeld der Erde r = g. Entsprechend glt nach dem Grundgesetz der Dynamk F = mg wobe n enem Bezugssystem, n dem de z-achse normal zur Erdoberfläche steht 0 g = 0 g st mt g = m der Gravtatonskonstante der Erde 2. Dese Werte 2 s 2 Beachten Se btte, auch wenn das Gravtatonskonstante heßt, st es doch noch konnten zur Zet von Newton mt ener Genaugket von 0.1% bestmmt ene schwache Funkton des Ortes. Am werden. Mt Hlfe von Satellten snd heute Messungen mt ener Präzson von möglch. an den Polen g = 9.83 m s 2. Daher müs- Äquator beträgt der Wert g = 9.78 m s 2 und sen de Pendeln von orgnal Schwarzwälder Kuckucksuhren mmer nach dem In ener statschen Kraftmessung kann man, n ener we auch mmer gearteten Waage, zwe unterschedlche Massepunkte n enem entsprechenden Land engestellt werden. Glechgewchtszustand brngen. De Gewchtskraft des zu vermessenden Objektes wrd kompensert durch en bekanntes Gewcht. In ener Und gehen egentlch nur an ausgewählten Orten rchtg. solchen Anordnung spelt de Träghet des Massepunktes kene Rolle, da der Massepunkt sch ja n Ruhe befndet. Dementsprechend unterschedet man n der Messung zwschen der trägen Masse m t und der schweren Masse m s. Aus der Kombnaton von statschen und dynamschen Messungen wrd man feststellen, dass wenn zwe verschedene Körper am selben Punkt m Raum das gleche Gewcht bestzen, bestzen se auch de gleche träge Masse. Schwere Masse st dentsch zur trägen Masse. m t = m s. Dese Enscht, dass de Masse be Vermessung mt enem dynamschen Aufbau und enem statschen Aufbau dentsch st, darf ncht als trval erachtet werden. De Erkenntns wurde n aufwendgen Expermenten gewonnen und hat sch bsher mmer bestätgt. 3.4 Lex terta Wechselwrkungsgesetz, acto=reacto Wr haben berets festgestellt, dass zur Wrkung ener Kraft auf enen Massepunkt wengstens noch en zweter vorhanden sen muss, mt

45 45 dem der Massepunkt wechselwrkt. De Erfahrung zegt, dass en Massepunkt demnach ncht nur ene Kraft erfährt, sondern dass von hm zetglech auch mmer ene Kraftwrkung ausgeht. De Kraftwrkung st daher mmer wechselsetg. Dese Enscht wrd m drtten Axom formulert De Wrkungen zweer Körper aufenander snd stets glech und von entgegengesetzter Rchtung. Mathematsch ausgedrückt lautet des F 12 = F 21. Herbe st F 12 de Kraft, de der Körper 2 auf den Körper 1 ausübt und de Kraft F 21 st de Kraft, de der Körper 1 auf den Körper 2 ausübt. Allgemener formulert lautet das drtte Newtonsche Axom De Kraft mt der de Umgebung auf den Massepunkt wrkt, entsprcht ener glech großen Gegenkraft auf de Umgebung. Deses Axom exstert n verschedenen Namen und wrd auch bezechnet als das Gesetz der Glechhet von Wrkung und Gegenwrkung oder kurz Wechselwrkungsgesetz. Es wrd auch Gegenwrkungsoder Reaktonsprnzp genannt. Es st nsbesondere wchtg für de Dskusson von Systemen, de aus mehreren Massepunkten bestehen. 3.5 Lex quarta Superpostonsprnzp In Newtons Werk wrd das Prnzp der ungestörten Überlagerung, auch bekannt als das Unabhänggketsprnzp oder auch das Superpostonsprnzp der Mechank, angenommen. Auch wenn es ncht ursprünglch als Axom formulert wurde, wurde es später als lex quarta, als vertes Newtonsches Gesetz bezechnet. Es lautet Wrken mehrere Kräfte auf enen Massenpunkt, so kann hre Wrkung durch vektorelle Superposton beschreben werden. Wchtg st her, dass de Kräfte sch ncht ändern durch Anwesenhet anderer Kräfte. Vektorell formulert lautet es F j = N F j m r j = F j. =1, =j Her st N de Gesamtzahl aller vorhandenen Massepunkte. 3.6 Inertalsysteme und Galle-Transformaton Da das Thema mmer nur unvollständg angesprochen wurde, sollen abschlessend n desem Kaptel noch enmal de Ideen zum Inertalsystem zusammengefasst werden.

46 46 De Newtonschen Prnzpen Mt den Newtonschen Axomen st de Bewegung physscher Körper nur als Bewegung relatv zu enem Bezugssystem defnert. Be ener starren Verschebung des Bezugssystems verblebt de Art der Bewegung glechwertg. Be bewegten Bezugssystemen kann das anders sen. Zum Bespel erfährt en Massepunkt der sch geradlng und glechförmg n enem Bezugssystem bewegt ene Beschleungung n enem roterenden System. In solchen Bezugssystemen snd de Newtonschen Axome ncht mehr anwendbar. De Newtonschen Axome snd nur dann snnvoll, wenn se sch auf ene Klasse von Bezugssystemen bezehen, welche man als Inertalsysteme bezechnet. Wchtg st, und das hatten wr schon n der Dskusson des ersten Axoms dskutert, dass 1. ncht alle Koordnatensysteme Inertalsysteme snd. En trvales Bespel wären roterende Systeme. 2. es mndestens en Inertalsystem gbt (z.b. bezogen auf de Fxsterne). Daraus folgt, dass es Koordnatensysteme gbt, n denen de Newtonschen Axome gelten. Zur Klärung der Frage, we groß de Gesamthet aller Inertalsysteme st, müssen wr klären, welche Koordnatentransformaton en Inertalsystem Σ n en anderes Inertalsystem Σ überführen kann. Wr fordern, offenschtlch, dass be der Transformaton kene Kraft auf den Massepunkt ausgeübt werden darf: m r = 0 m r = 0. Auf Grund deser Forderung schedet offenschtlch de Rotaton als ene möglche Transformaton aus. De damt enhergehende Rchtungsänderung der Geschwndgket würde automatsch ene Beschleungung notwendg machen. Möglche Änderung en Inertalsystem n en anderes zu überführen snd de Translaton, de geradlngglechförmge Bewegung und/oder de Verdrehung um enen festen Wnkel n Raum oder Zet. Mathematsch läßt sch das ausdrücken als r(t) = r 0 (t) + r (t). Her beschrebt r 0 (t) vollständg de Transformaton. Wr erkennen r(t) = r 0 (t) + r (t) r 0 (t) = 0 r 0 (t) = v 0 t Dese oben formulerte letzte Forderung bezechnet man als das Relatvtätsprnzp der klassschen Mechank bzw. Gallesches Relatvtätsprnzp. Bezugssysteme, de relatv zu enem Inertalsystem ene unbeschleungte Translatonsbewegung ausführen, snd ebenfalls Inertalsysteme und für de Beschrebung mechanscher Vorgänge vollkommen glechwertg.

47 47 De Transformaton der Inertalsysteme bezechnet man als Galle- Transformaton. r(t) = v 0 t + r (t) und t = t De Grundglechungen der Mechank snd gegenüber aller möglcher Galle-Transformatonen nvarant. De Galle-Transformaton glt ncht mehr m Rahmen der Relatvtätstheore. Dort wrd de Galle- Transformaton durch de Lorentz-Transformaton ersetzt. Abschlessend se bemerkt, dass es unendlch vele Inertalsysteme gbt, de sch mt konstanter Geschwndgket zuenander bewegen. 3.7 Beschleungte Bezugssysteme Wr möchten jetzt de Bewegung n enem Bezugssystem Σ dskuteren, welche sch gerade ncht mehr geradlng und glechförmg relatv zu enem anderen Bezugssystem Σ bewegen soll. Deses andere Bezugssystem soll en Inertalsystem sen, so dass m r = F gelten soll. Das gestrchene Bezugssystem kann z.b. roteren. De Bewegung enes Massepunktes wrd n den zwe verschedenen Bezugssystemen unterschedlch beschreben. Wr defneren den Ort des Massepunktes m ungestrchenen Bezugssystem Σ als r = r(t). Im gestrchenen Bezugssystem Σ wrd der Ort des Massepunktes defnert als r = r (t) Es glt de Bezehung mt r(t) = r 0 (t) + r (t) r (t) = x (t)e x(t) + y (t)e y(t) + z (t)e z(t). Beachten Se her btte, de Enhetsvektoren m gestrchenen Koordnatensystem snd abhängg von der Zet. Des wrd de Berückschtgung ener Rotaton ermöglchen. De Geschwndgket des Massepunktes beschreben von enem Beobachter m ungestrchenen Koordnatensystem berechnet sch zu dr dt = ṙ(t) = r 0 + ẋ e x + ẏ e y + ż e z + x ė x + y ė y + z ė z. Im gestrchenen Koordnatensystem, n dem sch de Achsenrchtung für enen Beobachter ncht ändert (de Enhetsvektoren snd fest), bestzt der Massepunkt de Geschwndgket d r = r dt (t) = ẋ e x + ẏ e y + ż e z. Beachten Se btte, de gestrchene Abletung soll enfach beschreben, dass sch de Abletung auf ene gestrchene Größe bezeht. Her bezechnen wr de Terme v 0 = dr 0 dt = r 0 e x e z O r 0 ezr 0 r 0 0 O 0 e 0 x e y e 0 y

48 48 De Newtonschen Prnzpen als Translatonsgeschwndgket v = dr dt = ṙ, als de Absolutgeschwndgket und v = d r dt = r als de Relatvgeschwndgket m beschleungten Bezugssystem. De zetlche Änderung der Bassvektoren kann durch de Rotaton des Systems um ene Achse durch senen Ursprung erfolgen. Allgemen kann de Drehung um ene Achse beschreben werden mt Hlfe der folgenden Überlegungen. Aus der Abbldung am Setenrand erkennen wr, dass dc = c sn θdφ dc dt = c sn θ φ = c sn θω. Allgemen ausgedrückt und mt ω als dem Vektor der momentanen Wnkelgeschwndgket, welche n de Rchtung der Drehachse zegt, kann de Drehung allgemen beschreben werden als dc dt = ω c. Deser Zusammenhang glt für alle Vektoren. Im Besonderen aber auch für de vorher betrachteten Enhetsvektoren, z.b. de x dt = ω e x. Damt glt für de letzten dre Terme n der Absolutgeschwndgket x ė x + y ė y + z ė z = ω r und somt dr dt = ṙ(t) = r 0 + d r dt + ω r. De sch ergebende Geschwndgket für ene verschwndende Relatvgeschwndgket d r dt = 0 wrd als Führungsgeschwndgket bezechnet v f (t) = r 0 + ω r. Weterhn ergbt sch aus der Tatsache, dass r r 0 = r st, de folgende zetlche Abletung für enen gestrchenen Vektor dr dt = d r dt + ω r. Aus deser Herletung für den Ortsvektor, de aber allgemen gültg st für belebge Vektoren, kann man ene Vorschrft ableten, we man! d dc c

49 49 n enem Intertalsystem enen belebgenvektor abletet, der n enem roterenden Bezugssystem dargestellt wrd. Im spezellen haben wr d dt = d dt + ω. Herbe beschrebt der erste Term nur de Komponenten des Vektors m gestrchenen Koordnatensystem und der zwete Term ene Rotaton. Für enen belebgen Vektor m Bezugssystem Σ, A = A x(t)e x + A y(t)e y + A z(t)e z, ergbt sch somt da dt = d A dt + ω A. Insbesondere erhalten wr für de Wnkelgeschwndgket als den betrachteten Vektor A = ω dω dt = d ω dt. De Wnkelgeschwndgket spelt her ene besondere Rolle. De zetlche Änderung der Wnkelgeschwndgket st offenschtlch n beden Koordnatensystemen glech. Wr wollen nun de Bewegungsglechung berechnen. Im Inertalsystem glt m r = F. Berechnen wr zunächst de Beschleungung r mt d dt ṙ = d dt (ṙ ṙ 0) = d ( d ) dt dt r + ω r = dv dt + d ( ω r ). dt Der erste Term auf der rechten Sete lässt sch schreben als dv dt = d v + ω v. dt Der zwete Term auf der rechten Sete lässt sch schreben als d ( ω r ) = dω dt dt r + ω dr dt. Der letzte Ausdruck her st ω dr dt = ω v + ω ( ω r ). Wenn wr alle dese Ausdrücke kombneren und nach der Beschleungung dt d ṙ umstellen, erhalten wr dṙ dt = dṙ 0 dt + d v + ω v + ω r + ω v + ω ( ω r ) dt = r 0 + r + ω ( ω r ) + 2ω ṙ + ω r. Der Ausdruck r 0 wrd auch als Translatonsbeschleungung bezechnet. Für ene verschwndende Relatvgeschwndgket (ṙ ) und damt auch für ene verschwndende Relatvbeschleungung, wrd de verblebende Beschleungung r 0 + ω ( ω r ) + ω r

50 50 De Newtonschen Prnzpen auch Führungsbeschleungung genannt. Se entsprcht gerade genau der zetlchen Abletung der früher defnerten Führungsgeschwndgket. Damt wrd aus der Bewegungsglechung m r = F m Nchtnertalsystem m r = F m r 0 m ω r m [ ω ( ω r )] 2mω ṙ. Des st en erstaunlches und wchtges Ergebns. Das klasssche Grundgesetz der Mechank verlert sene Gültgket m Bezugssystem Σ. Neben der engeprägten Kraft treten ver wetere Kräfte auf n beschleungten Bezugssystemen auf. Se werden Träghetskräfte genannt. Das snd zusätzlch auftretende Kräfte m Nchtnertalsystem, de erforderlch snd, um de glechförmge Bewegung enes kräftefreen Massepunkt m Inertalsystem zu garanteren. En Beobachter m bewegten Bezugssystem muss dese Kräfte berückschtgen, um de Bewegung m bewegten Bezugssystem rchtg und korrekt zu deuten. Dese Glechung kann als ene Verallgemenerung des Grundgesetzes der Mechank verstanden werden, welche n enem belebgen Bezugssystem angewandt werden kann. Zwe der Terme haben spezelle Namen erhalten.! De Zentrfugalkraft De Zentrfugalkraft F z (zentr - lat. für de Mtte, fugere - lat. für flehen) st gegeben als F z = m [ ω ( ω r )] r 0! r 0 F z = m [!! r 0 ] De Corolskraft De Corolskraft F c st gegeben als F c = 2mω ṙ Damt de Corolskraft ncht null st, muss ene Bewegung m beschleungten Bezugssystem stattfnden. De Corolskraft st maxmal, wenn Wnkelgeschwndgket und Bahngeschwndgket senkrecht aufenander stehen. Dese Schenkräfte snd anders als engeprägte Kräfte F. Engeprägte Kräfte snd objektve physkalsche Realtät und beschreben de an enen Massepunkt angrefende Kraft verursacht durch de Wechselwrkung mt anderen physkalschen Objekten. Dese snd unabhängg von der Wahl des Bezugssystems. Schenkräfte hngegen hängen nur von der Bewegung des Bezugssystems ab. Se können aber gemessen werden. Deren Betrachtung st daher zweckmäßg, da se m beschleungten System we de echten Kräfte m Inertalsystem wrken.! F c = 2m! ṙ 0 v 0

51 4 Dynamk enes Massenpunktes - Blanzglechungen We wr berets dskuterten, ermöglcht das zwete Newtonsche Axom de Lösung verschedener Arten von Problemen. De wchtgste Grundaufgabe aus theoretscher Scht st scherlch de, dass be vorgegebener Kraft, de m allgemenen ene Funkton des Ortes, der Geschwndgket und der Zet st, wr de Bahnkurve enes m Raum fre beweglchen Massepunktes berechnen möchten. Wr müssen das Problem lösen m r(t) = F(r, ṙ, t) oder auch n kartesschen Koordnaten ausgedrückt mẍ(t) = F x (x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t) mÿ(t) = F y (x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t) m z(t) = F z (x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t) Unter Berückschtgung von sechs möglchen Integratonskonstanten, beschreben dese Glechungen de Gesamthet aller möglchen Bewegungen, de durch das Kraftgesetz ermöglcht werden. Um zu ener konkreten Lösung zu gelangen, müssen wr daher deser sechs Integratonskonstanten aus Anfangswerten bestmmen. Erst durch dese Angaben wrd de Bewegung endeutg. Man verwendet normalerwese als Anfangswerte den Ort und de Geschwndgket zu enem Referenzzetpunkt t 0. Dese snd gegeben als r 0 = r(t 0 ) und v 0 = v(t 0 ). Mt der Angabe deser Anfangswerte und dem bekannten funktonellen Zusammenhang der Kraft, st de mechansche Bewegung komplett determnert. Enmal bekannt, können alle dynamschen Größen des Massepunktes n belebger Zukunft vorhergesagt werden. Das Fnden der Lösung deser Glechung st en ren mathematsches Problem m Rahmen der Physk. Bem systematschen Vorgehen zur Lösung des Problems würde man zunächst alle Unklarheten bezüglch der Kraft klären und das entsprechende Kraftgesetz explzt formuleren. Man würde anschlessend de Bewegungsglechungen ntegreren und de

52 52 Dynamk enes Massenpunktes - Blanzglechungen noch enthaltenen Integratonskonstanten bestmmen. Abschlessend kann man de Bahnkurve physkalsch dskuteren. Dese Vorgehen werden wr m Folgenden n ener großen Anzahl von Bespelen demonstreren. Deses allgemene Vorgehen st jedoch oft komplzert. Se müssen vele gekoppelte Dfferentalglechungen lösen, was manchmal anspruchsvoll und vor allem auch unnsprerend sen kann, manchmal auch unmöglch. Im Allgemenen wrd man dazu de Dfferentalglechungen n Integralglechungen überführen, welche, we vorher skzzert, mt ener ausrechenden Anzahl von Anfangswerten endeutg gelöst werden können. De Lösung ener oder mehrere Integrale der Bewegungsglechungen kann aber be bestmmten Arten von Kräften auf Grund von Blanzglechungen oder Erhaltungssätzen unmttelbar angegeben werden. Man sagt, dese Erhaltungsgrößen snd nvarant. Dese Verenfachung glt es auszunutzen und physkalsch zu studeren. Dese Blanzglechungen oder Erhaltungssätzen bezechnen wr als erste Integrale der Bewegungsglechungen. Se haben de Form f (r, ṙ, t) = 0. Das Lösen deser Glechungen verenfacht de Dskusson der Bewegungsglechung häufg, ohne dass man dese exakt ntegreren muss. Bevor wr dese Aspekte physkalsch dskuteren, möchten wr noch enge mathematsche Grundlagen zusammenfassen. Mathematscher Enschub (Partelle Abletung) Wr dskuteren de nfntesmale Änderung von skalaren Funktonen (φ = φ(r) : r f 1 (r) R 3 R) und von Vektorfunktonen (f(r) = f 2 (r) : r R 3 R 3 ). f 3 (r) Beachten Se btte, wr werden später eher den Ausdruck skalares Feld bzw. Vektorfeld benutzen. En Feld n der Physk beschrebt de räumlche Vertelung ener physkalschen Größe. Es kann sch um en Skalarfeld handeln we z. B. das Gravtatonspotental oder das elektrostatsche Potental, oder um en Vektorfeld we z. B. das Gravtatonsfeld oder das elektrsche Feld. Der Wert enes Feldes an enem bestmmten Ort wrd Feldstärke genannt. Für ene skalare Funkton st also de Frage zu klären, we ändert sch φ(r) von der Raumkoordnate r zu r + dr. Zur verenfachten Dskusson nehmen wr zunächst enmal an, dass wr ener Änderung von φ(r) nur entlang ener Koordnatenachse betrachten. Effektv st des en en-dmensonales Problem, da de anderen Koordnaten als Konstant angenommen werden. Grundelemente der Dfferentaton haben wr berets kennengelernt und wr wssen, we man dese Abletung berechnet. De partelle Abletung deser Funkton ergbt sch aus ( ) φ(x + h, y, z) φ(x, y, z) φ lm =. h 0 h x y,z Der Subskrpt bezechnet de Konstanz der beden anderen Größen, von denen de Funkton abhängt. De partelle Abletung kann auf verschedene Arten geschreben werden. So werden Se de folgenden Formulerungen fnden ( ) φ = φ x y,z x = φ y,z x = xφ = φ x1.

53 53 Ich möchte Se darauf hnwesen, dass sehr wahrschenlch auch verschedene Schrebwesen m Skrpt benutzt werden. Verstehen Se des btte ncht als Inkonsequenz menersets, sondern eher als Konsequenz des Wunsches, Se mt verschedenen Notatonen vertraut zu machen, de Se auch n der Lteratur fnden. In Bezug auf de Rechenregeln gbt es ncht sehr vel zu sagen, außer der Tatsache, dass Se alle Regeln so anwenden können we früher berets dskutert be Funktonen, de explzt nur von ener Varabel abhängen. So glt zum Bespel für de Funkton φ(x, y, z) = sn(xy) + xz φ = y cos(xy) + z. x Mehrfache Abletungen snd rekursv defnert und lassen sch berechnen als n φ x n = n 1 φ. x x n 1 Gemschte Abletungen, also Abletungen nach zwe verschedenen Varabeln, lassen sch berechnen als 2 φ = φ. x x j x x j En wchtges Hlfsmttel st das Vertauschen der Rehenfolge der zweten Abletungen. Des st möglch wenn φ stetge partelle Abletungen bs mndestens der 2. Ordnung bestzt. Es glt dann 2 φ = 2 φ. x x j x j x Dese Vertauschbarket der zweten Abletungen wrd auch als Satz von Schwarz bezechnet. Wr haben auch früher schon de Kettenregeln kennengelernt, welche Se her auch weder explzt anwenden können. Für ene Funkton φ = φ (x(t 1 ), y(t 2 ), z(t r )) berechnet sch φ t zu 1 φ = φ x. t 1 x t 1 Für ene Funkton φ = φ (x(t), y(t), z(t)) berechnet sch dφ dt zu dφ dt = φ x x t + φ y y t + φ z z t. Wr sprechen her von ener totalen Abletung (auch kenntlch gemacht durch das andere Symbol), da de totale Änderung der skalaren Funkton be nfntesmaler Änderung der Zet berechnet wrd. Das totale Dfferental der Funkton dφ berechnet sch zu dφ = φ φ φ dx + dy + x y z dz. dr u = const. du Mathematscher Enschub (Elementaraspekte der Vektoralgebra) grad u a) Der Gradent Der Gradent ener skalaren Funkton φ(x, y, z) wrd beschreben durch φ x φ grad φ(x, y, z) = y = F(x, y, z). φ z

54 54 Dynamk enes Massenpunktes - Blanzglechungen Er st en Vektor und zegt n de Rchtung der maxmalen Änderung der skalaren Größe; und der Betrag gbt de entsprechende Stärke der Änderung an. Zur besseren Vsualserung, stellen Se sch vor, Se stehen rgendwo n ener Landschaft, z.b. an enem Berg. Dann zegt der Gradent n de Rchtung des maxmalen Ansteges am Berg und de Größe sagt Ihnen, welchen Höhenuntersched Se n deser Rchtung zurücklegen würden. In Komponentenschrebwese wrd des auch häufg ausgedrückt als φ(x j ), = F und j n desem Ausdruck snd Platzhalter und bezechnen ene der dre Koordnaten x, y oder z. Der Gesamtausdruck st zu lesen als das de te Komponente des Vektors F de te Abletung der skalaren Größe φ st. Und deses skalare Funkton hängt von den dre Raumkoordnaten ab. Der Gradent kann auch mt Hlfe des Nabla-Operators angegeben werden. Der Nabla-Operator st en vektoreller Dfferentaloperator, der auf skalare oder vektorelle Funktonen angewandt wrd. Sene vektorellen Komponenten entsprechen den partellen räumlchen Abletungen n den entsprechenden Koordnaten = x y. z Der Nabla-Operator angewandt auf ene skalare Größe ergbt enen Vektor. Wr können also schreben φ(x, y, z) = grad φ(x, y, z). De Rchtung von grad φ bezechnet de Rchtung der größten Änderung des Wertes von φ. De Änderung der skalaren Funkton dφ n ener bestmmten Rchtung, gegeben durch den nfntesmal klenen Vektor mt ener bestmmten Rchtung dr, wrd berechnet als oder dφ = φ(r + dr) φ(r) = φ dr = grad φ dr dφ = φ, dx wobe her de Enstensche Summenkonventon angewandt wrd. b) De Dvergenz Wrd der Nabla-Operator auf ene Vektorfunkton f(x, y, z) mt enem Skalarprodukt angewandt, erhält man de Dvergenz der Vektorfunkton. oder f(x, y, z) = dv f(x, y, z) = f x x + f y y + f z = g(x, y, z) z f ( xj ), = g. De Dvergenz beschrebt den Fluss der durch f(r) beschrebenen Größe durch ene bestmmte Fläche. Se wrd auch als Quelldchte bezechnet. Ist de Dvergenz enes Vektorfeldes an enem bestmmten Raumpunkt postv, muss sch dort ene Quelle befnden. Ist de Dvergenz enes Vektorfeldes an enem bestmmten Raumpunkt negatv, bezechnet man des als ene Senke. Für ene verschwndende Dvergenz muss das Vektorfeld an desem Raumpunkt entsprechend quellfre sen. c) De Rotaton Wrd der Nabla-Operator auf ene Vektorfunkton v(x, y, z) mt enem Kreuzprodukt angewandt, erhält man de Rotaton der Vektorfunkton. v(x, y, z) = rot v(x, y, z) = = x y z v x v y v z v z y vy z v x z vz x v y x vx y

55 55 = e x e y e z x y z v x v y v z = F(x, y, z) = curl v(x, y, z). De Rotaton ener Vektorfunkton st weder ene Vektorfunkton, dessen Betrag der maxmalen Rotaton an desem Punkt entsprcht und dessen Rchtung senkrecht auf der Ebene der Rotaton steht. Man sagt, de Rotaton st en Maß für de Verwrbelung ener Vektorfunkton. Es soll gelten (für de Rotaton um ene Achse) [rot v(r)] z dxdy = v(r) dr, wobe de rechte Sete das geschlossene Integral der Tangentalkomponente entlang der Umrandung ener Fläche n der x-y-ebene st. Zur enfachen Dskusson wählen wr her ene rechteckge Fläche. Dann st das Produkt dxdy auch enfach zu nterpreteren als de Oberfläche des Rechteckes. De Rchtung des Integrals soll entgegen dem Uhrzegersnn sen. Des wäre m mathematsch postven Umlauf- oder Drehsnn. Um des zu sehen, evalueren wr das Integral x+dx y+dx [ v(r) dr = [v x (ξ, y, z) v x (ξ, y + dy, z)] dξ + vy (x + dx, η, z) v y (x, η, z) ] dη x y dx,dy 0 = = x+dx v y+dy x x dy dydξ + y ( vy x v ) x dxdy y = [rot v(r)] z dxdy. v y dx dxdη Ene analoge Rechnung kann man für de y-z-ebene und de x-z-ebene durchführen. Kombnert man alle dre Ergebnsse erhält man für ene belebg gewählte Fläche den Satz von Stokes dr v = df rot v. (F) F Das Lnenntegral der Tangentalkomponente ener Vektorfunkton über den Rand ener Fläche entsprcht dem Flächenntegral der Normalkomponente des Rotors dese Fläche. Se haben her en Flächenntegral n en Lnenntegral überführt. Des stellt ene enorme Verenfachung des Rechenaufwandes dar. Beachten Se btte, es gbt noch ene ganz Rehe anderer, ähnlch gelagerte Integralsätze (z.b. Satz von Gauß oder auch der erste und der zwete Greensche Satz). Dese werden wr m Rahmen deses Kurses ncht benötgen, Se werden dese aber n weteren Vorlesungen benötgen. Se stellen das mathematsche Rüstzeug dar, Glechungen zu manpuleren, damt Se n ene Ihnen genehme Form kommen. De schere Anwendung solcher Integralsätze wrd wchtg werden n Ihrem Studum. 4.1 Der Impuls und de Impulsblanz Wr wollen als erstes mt der Impulsblanz anfangen. Se ergbt sch relatv trval aus dem zweten Newtonschen Axom und lautet d p(t) = F(r, ṙ, t) mt p(t) = m(t)ṙ(t). dt Dese Glechung verbal formulert besagt, dass de zetlche Änderung des Impulses enes Massepunktes glech der enwrkenden Gesamtkraft st. Für den spezellen Fall, dass kene Kraft wrkt, also F = 0 folgt de

56 56 Dynamk enes Massenpunktes - Blanzglechungen Impulserhaltung d p(t) = 0 und p(t) = const.. dt Des st en erstes Integral der Bewegungsglechung. Es drückt den uns berets bekannten Sachverhalt aus, dass en kräftefreer Massepunkt sch mt konstanter Geschwndgket entlang ener Geraden m Raum bewegt; oder er st gar komplett n Ruhe. De Enfachhet deses funktonellen Zusammenhangs soll ncht darüber hnwegtäuschen, dass für Systeme bestehend aus mehreren Massepunkten sowohl de Impulsblanz als auch de Impulserhaltung dese enfache Form ncht mehr annehmen. 4.2 De Energe und de Energeblanz Wr begnnen zunächst mt der Defnton der Arbet. De Kraft de am Masspunkt angreft, um hn von enem Punkt P 1 nach P 2 zu bewegen, verrchtet ene Arbet. Für ene nfntesmale Verschebung beträgt de nfntesmale Arbet dw = F dr = F dr cos φ = F s ds. Herbe st ds = dr das Lnenelement und φ der Wnkel zwschen der Kraft und dem Weg. F s st de Kraftkomponente entlang der Rchtung des Weges. Ene negatve nfntesmale Arbet verlangt offenschtlch enen stumpfen Wnkel zwschen Kraft F und Verschebung dr. Dann muss offenschtlch Arbet gelestet werden gegen de Kraft, um de Verschebung zur ermöglchen. De gesamte Arbet, de gelestet wrd, um den Massepunkt zwschen zwe Punkten P 1 und P 2 zu verscheben, beträgt demnach W = F dr. C P 1 X F dr X C P 2 Se st demnach m Allgemenen ene Funkton der Kraft, der Punkte P 1 und P 2 und ene Funkton des gewählten Weges. De Lestung st defnert als de Arbet de pro Zetenhet verrchtet wurde P = dw dt = F ṙ. Zur weteren Herletung ener Blanzglechung begnnen wr mt der allgemenen, vektorellen Bewegungsglechung und multplzeren dese mt ṙ. Wr erhalten m r(t) = F(r, ṙ, t) ṙ m r(t) ṙ = d ( m ) dt 2 ṙ ṙ = F ṙ.

57 57 Den Term n der Klammer bezechnet man als de knetsche Energe oder auch Bewegungsenerge T = m 2 ṙ ṙ = m 2 ṙ 2 = m 2 v2. Wr erkennen an der obgen Glechung, dass de zetlche Änderung der knetschen Energe des Massepunktes glech st der Lestung der enwrkenden Kraft am Massepunkt. Her st es wchtg zu beachten, dass des de Gesamtkraft st: dt dt = P. Für ene verschwndende Lestung muss de knetsche Energe constant sen: P = 0 T = const.. Des wäre en weteres erstes Bewegungsntegral und drückt de Erhaltung der knetschen Energe aus. Wenn de Gesamtkraft ene postve Lestung erbrngt (P > 0), muss dt > 0 sen. Wr beobachten enen Zuwachs an knetscher Energe. Wr können dese dfferentelle Glechung auch ntegreren und erhalten dt = Pdt = F dr T 2 T 1 = W De Änderung der knetschen Energe des Massepunktes zwschen zwe Punkten auf sener Bahnkurve entsprcht gerade genau der gelesteten Arbet der Kraft am Massepunkt. Das Kraftfeld selbst kann unterschedlche Egenschaften bestzen. Allgemen unterscheden wr zwschen konservatven und ncht-konservatven Kraftfeldern. Letztere werden auch als dsspatve Kraftfelder genannt. Deren Egenschaften wollen wr m Folgenden dskuteren Konservatve Kraftfelder Allgemen glt, dass wenn man ene Funkton U fnden kann, für de glt du(r) dt = F(r) ṙ, so nennt man F ene konservatve Kraft. De Funkton U bezechnet man als das Potental oder de potentelle Energe. Im Allgemenen besteht aber das Kraftfeld aus enem konservatven und enem dsspatven Antel F = F cons. + F dss..

58 58 Dynamk enes Massenpunktes - Blanzglechungen Es glt dann dt dt = F ṙ = du(r) + F dt dss. ṙ, d dt [T + U(r)] = F dss. ṙ. Deser Zusammenhang wrd als Energeblanz bezechnet. Er besagt, dass de zetlche Änderung der mechanschen Energe der Lestung der dsspatven Kräfte entsprcht. De Energe E st ene Erhaltungsgröße, wenn de dsspatven Kräfte (F dss. = 0) verschwnden E. = T + U(r) = const. m 2 ṙ2 + U(r) = E = const.. De Größe E bezechnet her de Gesamtenerge des Massepunktes. Dese besteht aus potenteller und knetscher Energe. Wr wollen m Folgenden genauer dskuteren, unter welchen Vorraussetzungen en Kraftfeld konservatv st bzw. welche weteren Aussagen wr über das Potental gewnnen können. Ausgangspunkte unserer Überlegungen war de Forderung, dass du(r) = F(r) ṙ. dt a) Für den Fall, dass de Kraft senkrecht auf der Geschwndgket des Massepunktes steht, muss das Potental konstant sen. F ṙ U = const. dt dt = 0 Her wrd kene Arbet verrchtet, de knetsche Energe muss dann für en konservatves System zetlch konstant sen. En Bespel für en solches Kraftfeld wäre de Lorentzkraft, welche en geladenes Telchen n enem Magnetfeld erfährt [F = q (ṙ B)] da ṙ F = ṙ q (ṙ B) = 0. b) Wr können de obge Ausgangsglechung auch noch enmal explzter ausformuleren und fnden du(r) dt Daraus folgt = U x ẋ + U y ẏ + U z (grad U + F) ṙ = 0. ż = grad U ṙ. Neben der Möglchket, dass das Skalarprodukt nsgesamt verschwndet (den Fall haben wr gerade dskutert), kann dese Glechung erfüllt werden, wenn F = grad U

59 59 glt. Des st der für uns nteressante Fall. En Kraftfeld st konservatv, wenn wr es als den negatven Gradenten ener skalaren Funkton ausdrücken können. Des verlangt, dass das Kraftfeld unabhängg sen muss von der Zet und der Geschwndgket. Es glt F x = U x, F y = U y, F z = U z. Ene Kraft wrd konservatv genannt, wenn se als Gradent enes skalaren Potentals darstellbar st. Das Potental st dabe nur bs auf ene Konstante bestmmt. De Wahl des Vorzechens st Konventon. En Elementarsatz der Vektoralgebra besagt, dass de Rotaton enes Gradentenfeldes mmer verschwndet, rot grad φ(r) = 0. Des glt natürlch m spezellen auch für das Potental. Daher muss en konservatves Kraftfeld auch wrbelfre sen rot F(r) = 0. Oder anders ausgedrückt, de Kraft hat mmer en Potental, wenn se wrbelfre st. Beachten Se btte, dass der Umkehrschluss ncht glt. Ncht jedes wrbelfree Kraftfeld st konservatv. We wr glech dskuteren werden, können auch dsspatve Kraftfelder wrbelfre sen. Wr können auch de ntegrale Formulerung deses Zusammenhanges dskuteren a) Wr betrachten dazu als erstes de gelestete Arbet entlang enes geschlossenen Weges. W = F dr = grad U(r) dr = du(r) = U ende + U anf = 0. Wr erkennen her, dass konservatve Kräfte auf geschlossenen Wegen kene Arbet lesten. De Arbet hängt dabe ncht vom Weg ab. b) Wr können das auch mathematsch abstrakter formuleren, n dem wr den Stokeschen Satz anwenden rot F(r) df = F dr = 0, da de Forderung nach ener lokal verschwndenden Rotaton sch offenschtlch auch auf de globale Egenschaft überträgt. Beachten Se btte, dass dese Argumentatonskette nur n ene Rchtung funktonert. Verschwndet de Rotaton enes Vektorfeldes, dann verschwndet das geschlossene Kurvenntegral über das Vektorfeld (m konkreten Fall her beschrebt des ene verschwndende gelestete Arbet, W = 0). De umgekehrte Schlussfolgerung st aber ncht n jedem Falle rchtg. Falls W = 0 glt, folgt daraus ncht automatsch, dass rot F(r) = 0.

60 60 Dynamk enes Massenpunktes - Blanzglechungen Zur Berechnung des Potentals müssen wr zunächst aus der Überprüfung der Forderung rot F(r) = 0 scherstellen, dass überhaupt en Potental exstert. Anschlessend können wr das Potental berechnen mttels U(r) U(r 0 ) = r r 0 du = r r 0 F dr Her taucht das Potental U(r 0 ) an enem Referenzpunkt r 0 auf, welchen wr geegnet festlegen müssen. Ernnern Se sch btte, das Potental st selbst nur bestmmt bs auf ene Konstante. Se können enen belebgen Wert adderen oder subtraheren, ohne de resulterende Kraft zu verändern. Es st nur dese Kraft, de zu ener Bewegung des Massepunktes führt, so dass deses Referenzpotental geegnet gewählt werden kann. Weterhn st das obge Integral wegunabhängg. Daher können Se sch auch enen geegneten Integratonsweg aussuchen, um de Rechnung möglchst enfach zu gestalten. Das Potental entsprcht her der Arbet, de gegen de Kraft verrchtet werden muss, um den Massepunkt von r 0 nach r zu brngen. Wegen der Unbestmmthet des Potentals, kann des n dem belebg gewählten Bezugspunkt zu null gesetzt werden r U(r 0 ) = 0 U(r) = F dr. r 0 Sehr häufg wrd deser Bezugspunkt m Unendlchen gewählt, wo das Potental auf null abgeklungen sen darf. Das muss aber ncht mmer so sen. Der Wert des Potentals an enem bestmmten Raumpunkt entsprcht damt der Arbet, um den Massepunkt gegen de Kraft von r 0 nach r zu verscheben. Alternatv formulert entsprcht es auch der Arbet, de de Kraft be der Verschebung des Massepunktes von r 0 nach r lestet. Das Potental muss man sch selbst als ene Art Gebrge vorstellen. Her wrd jeder Koordnate en spezfscher Funktonswert zugeordnet. Des st verglechbar zu enem Höhenprofl, welches allerdngs nur zwedmensonalen Koordnaten ene drtte skalare Größe, de Höhe zuordnet. Wenn Se n topographschen Karten sehen, werden Ihnen scherlch glech charakterstsche Lnen auffallen. Für den zwe-dmensonalen Raum snd das Lnen konstanter Höhe. Im dre-dmensonalen Raum snd das Flächen und se beschreben Flächen mt enem konstanten Potental. Man sprcht dann von Äqupotentalflächen. Für de glt U = const. du = 0 auf Fläche. Es gb also kene Änderung des Potentals auf deser Fläche. Nun glt aber du = grad U dr. = 0 dr grad U dr F.

61 61 dr st her en Lnenelement n der Fläche. Wr erkennen daraus, dass de Kraft senkrecht auf den Äqupotentalflächen steht. An enem Massepunkt, der sch auf ener Äqupotentalflächen bewegt, wrd kene Arbet verrchtet. Im Gegensatz dazu beobachten wr den stärksten Ansteg des Potentals be Bewegung n Rchtung des Gradenten. dr F du = grad U dr. Wr sehen her, dass de Kraft mmer senkrecht auf Äqupotentalflächen steht und n Rchtung des größten Potentalgefälles zegt Nchtkonservatve (dsspatve) Kräfte Wr wollen m Folgenden exemplarsch explzt zetabhängge Kräfte dskuteren F = F(r, t). Dese snd also nur en Bespel für ene dsspatve Kraft. Auch wenn für solche Kräfte de Rotaton verschwnden mag rot F(r, t) = 0 und en explzt zetabhängges Potental exsteren mag F(r, t) = grad U(r, t), glt kene Energeerhaltung. En solches Kraftfeld st ncht konservatv. Man sprcht aber trotzdem von ener Potentalkraft. Des kann man we folgt bewesen dt dt = F(r, t) ṙ = grad U(r, t) ṙ = U x x t U t + U t Wobe wr von der Enstenschen Summenkonventon ausgehen und ene vrtuelle 0 dazu addert haben. Nun snd aber de Terme U U t = du dt so dass wr schreben können d U (T + U) = dt t x x t Wr sehen her, dass de zetlche Änderung der Gesamtenerge bestmmt wrd durch de partelle Zetabletung des Potentals. Dem Massepunkt wrd somt Energe zugeführt bzw. entzogen. Dsspatve Kräfte snd allgemen charaktersert durch F(r, t), F(r, ṙ) oder rot F(r) = 0. Allgemen glt mmer F = F cons. (r) + F dss. (r, ṙ, t)

62 62 Dynamk enes Massenpunktes - Blanzglechungen F cons. (r) = grad U(r) d dt (T + U) = F dss. ṙ = P dss.. Be dem Vorgang der Dsspaton wrd mechansche Energe n andere Energeformen umgewandelt Bespele für Potentale und Energeblanz 1D harmonscher Oszllator Der harmonsche Oszllator st das kanonsche System, welche m Rahmen der klassschen Mechank sehr ausführlch dskutert wrd. Man stellt hn sch dort m Allgemenen als enen Massepunkt vor, welcher mt ener Feder (deren physsche Detals vernachlässgt werden) mt enem Fxpunkt starr verbunden st. Wendet man ene Kraft auf, um den Massepunkt zunächst aus sener Ruhelage zu bewegen, wrd de Rückstellkraft der Feder den Massepunkt davon überzeugen wollen, weder n sene Ruhelage zurückzukehren. Unter Vernachlässgung von Dsspaton, wrd de sch dann ergebende Bewegung des Massepunktes gerade ene harmonsche Oszllaton n der Auslenkung relatv zu sener Ruhelage sen. De Beschrebung deser Bewegung st ene der Grundprobleme der theoretschen Mechank und wr werden dese m Laufe des Kurses noch ausführlcher dskuteren. De Bedeutung des harmonschen Oszllators spest sch aus der Tatsache, dass n velen anderen Telgebeten der Physk dynamsche Größen durch dentsche Glechungen beschreben werden. En Bespel dafür st der Strom n enem elektrschen Schwngkres bestehend aus enem Kondensator und ener Spule. Auch de Auslenkung enes negatv geladenen Elektrons relatv zu enem postv geladenen Kern wrd mt Hlfe der glechen Glechung beschreben. Aus deser Größe können Se später de Permttvtät berechnen; ene Materalegenschaft de de Ausbretung elektromagnetscher Felder n enem Festkörper beschrebt. Auch n der Quantenmechank spelt der dann quantenmechansche harmonsche Oszllator ene wchtge Rolle. Er wrd Ihnen also m Laufe Ihres Studums mmer weder begegnen. Wenn Se den harmonschen Oszllator verstanden haben, haben Se sehr vel verstanden 1. De für uns wchtge Egenschaft des harmonschen Oszllator st de ener lnearen Rückstellkraft be ener klenen Auslenkung. Was klen st, lässt sch ncht n jedem Falls sagen, aber für ausrechend klene Auslenkungen (Ampltuden) st dese Annahme für alle oben genannten Systeme hnrechend genau erfüllt. Wr gehen von enem endmensonalen harmonschen Oszllator, be dem ene Rückstellkraft nur n ene Rchtung wrkt 1 Ich nege häufg zu der (lecht polemschen) Aussage, dass Se sehr gut durch Ihr Studum durchkommen, wenn Se de Fourer-Transformaton beherrschen, wssen was ene Taylor-Rehe st und wenn Se den harmonschen Oszllator verstanden haben. F = kxe x

63 63 mt k > 0 ene für de betrachtete Feder charakterstsche Größe, der sogenannten Federkonstante. De Bewegungsglechung des Massepunktes auf den ene solche Kraft wrkt, lautet demnach mẍ = kx ẍ + ω 2 0 x = 0 mt ω2 0 = k m. Herbe wrd ω 0 de Resonanz- oder de Egenfrequenz genannt. Warum des so st, werden wr später noch sehen. Wr möchten her noch ncht dese Bewegungsglechung lösen, sondern dskuteren zunächst nur de de Egenschaften deses Kraftfeldes. Als erstes erkennen wr, dass de Rotaton des Kraftfeldes verschwndet: F x y = F x z = 0 rot F = 0. Daher wssen wr, dass wr dem Kraftfeld en skalares Potental zuschreben können: U(x) = x 0 F x (x )dx = x 0 kx dx = 1 2 kx2. Das Potental des harmonschen Oszllators st ene quadratsche Funkton. Es st en konservatves System, für das Energeerhaltung glt 1 2 mẋ2 + k 2 x2 = E = const.. En realer harmonscher Oszllator wrd aber ncht bs n alle Ewgketen oszlleren bzw. sch bewegen, sondern wrd rgendwann zur Ruhe kommen. Er muss sene Energe verloren haben durch ene Wechselwrkung mt der Umgebung. Des gescheht normalerwese durch Rebung, be der potentelle oder knetsche Energe n thermsche Energe umgewandelt wrd. De Feder bzw. der Massepunkt nmmt Energe auf und erwärmt sch. Des wrd auch als Dsspaton bezechnet. Ene möglche Dsspaton kann als phänomenologsch m enfachsten Fall als Rückstellkraft beschreben werden, de proportonal st zur Geschwndgket. Für ene vernachlässgbare Geschwndgket wrkt offenschtlch kene Kraft. Für ene endlche Geschwndgket muss de Kraft offenschtlch auch endlch sen. De Proportonaltätskonstante γ > 0 wrd auch Rebungskoeffzent genannt. Es glt für de dsspatve Kraft F dss = γẋe x ẍ + rẋ + ω 2 0 x = 0 mt r = γ m. De Kraft hängt explzt von der Geschwndgket ab, wr haben also ken konservatves System. De Kraft wrkt der Geschwndgket entgegen, versucht dese zu reduzeren, was de Wahl des Vorzechens erklärt. De zetlche Änderung der knetschen und potentellen Energe beträgt d dt (T + U) = F dss ṙ = γẋ 2.

64 64 Dynamk enes Massenpunktes - Blanzglechungen Für den Fall, dass der Rebungskoeffzent kene Funkton der Geschwndgket st, γ(v) = γ = const. sprcht man von Stokescher Rebung. Se trtt auf be schnellen Massepunkten oder be Massepunkten n zähen Meden, be sehr hoher Vskostät also. Im Gegensatz dazu st be der Newtonschen Rebung der Rebungskoeffzent ene lneare Funkton der Geschwndgket, γ(v) = γ 0 v. En solches Rebungsgesetz st anwendbar be sch langsam bewegenden Massepunkte, z.b. enem Fallschrm. Homogenes Schwerefeld Als homogenes Schwerefeld betrachtet man de Kraftwrkung auf enen Massepunkt n Erdnähe. Man beschrebt das Problem dabe n enem lokalen Koordnatensystem und geht davon aus, dass de Erdkrümmung lokal vernachlässgbar st. Dann zegt der Normalenvektor der Erdoberfläche n z-rchtung und ene Kraft wrkt nur n de negatve z-rchtung. Se hängt ncht von der Poston ab, was offenschtlch ene Näherung nur anwendbar für de unmttelbare Erdoberfläche st. Beachten Se btte des Weteren, dass her das lokale System als Inertalsystem betrachtet wrd, was, we früher dskutert, ncht rchtg st. Für vele praktsche Belange st dese Annahme aber völlg ausrechend. In Konsequenz betrachten wr kene Träghetskräfte. Das Kraftfeld der Erde wrd dann beschreben als F = mge z. De daraus dann resulterende Bewegungsglechung lautet m z = mg z + g = 0 Das Kraftfeld bestzt weder ene verschwndende Rotaton, da F z y = F z x = 0 rot F = 0. Das Potental berechnet sch zu U(z) = z 0 F z dz = z 0 mgdz = mgz. De potentelle Energe st also proportonal zur Höhe. Auf Grund des konservatven Charakters des Kraftfeldes glt weder Energeerhaltung 1 2 mż2 + mgz = E = const.. Unter Berückschtgung ener Stokeschen Rebung verändert sch de Bewegungsglechung zu F dss. = γże z z + rż + g = 0 mt r = γ m.

65 65 De zetlche Änderung der knetschen und der potentellen Energe beträgt demnach d dt (T + U) = F dss ṙ = γż 2. Der Massepunkt verlert also mechansche Energe, we man an dem Vorzechen erkennen kann. De Gesamtenerge verrngert sch natürlch ncht. Es snd velmehr de Telchen des umgebenden Medums, welche de Energe aufnehmen. 4.3 Der Drehmpuls und de Drehmpulsblanz, das Drehmoment Ausgangspunkt für de wetere Betrachtung st weder de vektorelle Bewegungsglechung, welche wr aber ncht skalar mt ṙ multplzeren möchten, we wr es getan haben um zur Energeblanz zu gelangen, sondern wr mt multplzeren von lnks mt r. Dadurch erhalten wr m r = F(r, ṙ, t) r mr r = r F(r, ṙ, t). Den Ausdruck auf der lnken Sete können wr umformen mttels d (r ṙ) = ṙ ṙ + r r = r r. dt Der letzte Schrtt folgt trvalerwese, da das Kreuzprodukt enes Vektors mt sch selbst verschwndet. Daraus folgt als Blanzglechung dl dt = M wobe wr den Drehmpuls L defneren als L = mr ṙ = r p. De Größe auf der rechten Sete der Glechung wrd als Drehmoment bezechnet und es berechnet sch zu M = r F. De Blanzglechung besagt, dass de zetlche Änderung des Drehmpulses glech st dem enwrkenden Gesamtdrehmonent. In desen Glechungen kann der Drehmpuls n Analoge zum Impuls und das Drehmoment n Analoge zur Kraft gesehen werden. Warum man her verbal ene Verbndung zur Drehung herstellt, kann man sch enfach vorstellen, wenn man sch de Kraftwrkung auf enen Massepunkt betrachtet, der starr fxert st zum Koordnatenursprung. Für en Kraft de n radaler Rchtung angreft, verschwndet offenschtlch das Drehmoment. Deser Massepunkt wrd ncht n Rotaton versetzt. Greft de Kraft senkrecht zur Ortskoordnate an, wrd der mt dem Ursprung

66 66 Dynamk enes Massenpunktes - Blanzglechungen starr verbundene Massepunkt anfangen zu roteren. De Ebene n der er rotert steht gerade senkrecht zur Rchtung des Kreuzproduktes aus Orts und Kraft. De dynamsche Größe de so geändert wrd st gerade genau der Drehmpuls. Deser Impuls wrd, umgangssprachlche dese Drehung, st weder maxmal, wenn der Ortsvektor senkrecht steht zum Impuls. Für den spezellen Fall enes verschwndenden Drehmoment (M = 0) glt Drehmpulserhaltung dl dt = 0 L = const.. Der Glechung für den Drehmpuls mr ṙ = const. st dann ene Konstante der Bewegung und de dazugehörende Dfferentalglechung stellt en vektorelles Bewegungsntegral dar. De Bedngung für en verschwndendes Drehmoment kann auf zweerle Arten erfüllt werden. Trvalerwese kann natürlch de Kraft verschwnden, F = 0. Der Drehmpulserhaltunssatz lefert dann aber kenerle wetere Erkenntnsse, de man ncht auch schon aus dem Impulserhaltungssatz hätte gewnnen können. Interessanter st der Fall, wenn de Kraft F an jedem Raumpunkt parallel oder antparallel st zur entsprechenden Ortskoordnate r. Solche Kräfte heßen Zentralkräfte. In hrer allgemensten Form lassen se sch schreben als F(r, ṙ, t) = f (r, ṙ, t) r r. In allen Zentralkraftfeldern glt Drehmpulserhaltung. Dabe muss das Kraftfeld selbst ncht notwendgerwese konservatv sen. Wenn es konservatv st, muss zusätzlch noch f (r, ṙ, t) = f (r) gelten. Aus der Drehmpulserhaltung gbt es zwe nteressante Konsequenzen, welche wr explzt erwähnen wollen. 1. De Bewegung des Massepunktes erfolgt n ener Ebene, welche senkrecht zum Drehmpuls steht und de den Nullpunkt umfasst: L r = m (r ṙ) r = 0. Des st ene Ebenenglechung durch den Nullpunkt. 2. Der Fahrstrahl überstrecht n glechen Zeten gleche Flächen. Der Fahrstrahl bezechnet her den Radusvektor, welche den Koordnatenursprung mt der Bahnkurve verbndet. Das vektorelle Flächenelement df der Fläche aufgespannt durch r und dr st gerade gegeben durch df = 1 2 r dr.

67 67 De zetlche Änderung beträgt dann df dt = 1 2 r ṙ = 1 2m L. Dese Geschwndgket wrd auch als Flächengeschwndgket bezechnet. De zetlche Änderung der Flächengeschwndgket st demnach gegeben als dl dt. Unter der Annahme, dass Drehmpulserhaltung glt, dt dl = 0 folgt automatsch auch de Konstanz der Flächengeschwndgket df dt = const.. Deser Flächensatz glt für alle Zentralkräfte. Der Drehmpulserhaltungssatz (Flächensatz) st mathematsch ene Vektorglechung und benhaltet dementsprechend dre Konstanten der Bewegung. Zwe deser Konstanten defneren de Bahnebene (m spezellen de Rchtung der Normalen) und de drtte Konstante legt den Betrag der Flächengeschwndgket n der Bahnebene fest. Als Bespel für ene Zentralkraft wählen wr uns ene Bahnebene, de n der x-y-ebene enes kartesschen Koordnatensystems legt. Entsprechend hat der Drehmpuls nur ene z-komponente wegen des Kreuzproduktes L = m (xẏ yẋ) e z. De konstante Flächengeschwndgket lautet demnach xẏ yẋ = const.. Wr können auch n der Ebene Polarkoordnaten benutzen. Dese wären r = ρe ρ ṙ = ρe ρ + ρ φe φ. Der Drehmpuls berechnet sch dann zu L = mρ 2 φe z Der Betrag der Flächengeschwndgket wrd dann wederum festgelegt mttels ρ 2 φ = const.. Se st ene Konstante der Bewegung. Abschlessend se bemerkt, dass konservatve Zentralkräfte sehr häufg ene wchtge Rolle spelen. Se lassen sch schreben als F(r) = f (r) r r und das Potental berechnet sch dann zu U(r) = r r 0 f (r )dr.

68 68 Dynamk enes Massenpunktes - Blanzglechungen Der Fall, dass f (r) = α beträgt, taucht zum Bespel be der Coulombkraft oder der Gravtatonskraft auf. Mt der Wahl von U( ) = 0 r 2 berechnet sch das Potental zu U(r) = α r 0 α r = α r. Für de Bewegung n solchen konservatven Zentralkraftfeldern glt Energe- und Drehmpulserhaltung. De Erhaltung des Drehmpulses begrenzt de Bewegung n ener Ebene mt ρ 2 φ = c. Aus der Energeerhaltung ergbt sch m 2 ( ṙ 2 + r 2 φ 2) α r = E. Des st ene Dfferentalglechung für zwe Varablen. Nach Ensetzen der Drehmpulserhaltung ergbt sch aber ene Dfferentalglechung erster Ordnung für ene Varabel: m 2 (ṙ 2 + c2 r 2 ) α r = E Aus der ursprünglchen zwe-dmensonalen Bewegung n der Ebene wrd effektv ene en-dmensonale Bewegung.

69 5 Dskusson der Bewegungsglechungen I: Konservatve Systeme In desem Kaptel wollen wr bespelhaft dskuteren, we wr de Bewegungsglechung und vor allem de ersten Integrale (de vorher dskuterten Erhaltungssätze) verwenden können, um de Dynamk enes enzelnen Massepunktes zu beschreben. Dabe st de Betrachtung der Impulserhaltung von gerngem Interesse. Für den Fall der Impulserhaltung st der Massepunkt kenem Kraftfeld ausgesetzt und führt ledglch ene geradlng glechförmge Bewegung aus, welche nur möglch st n der Abwesenhet von Kräften. De nteressanten Fälle lassen sch aber erst beobachten für endlche Kräfte m r = F = 0. Daher st egentlch nur de Betrachtung der Energe- und Drehmpulserhaltung nteressant. Wr werden desen Erhaltungssätze m Folgenden verwenden, um ene vollständge Lösung der Bewegungsglechung zu erhalten. In desem Kaptel beschäftgen wr uns mt konservatven Systemen. In desen glt, dass de Kraft kene Funkton der Zet und der Geschwndgket st F(r, ṙ, t) = F(r) = F cons.. Im folgenden Kaptel behandeln wr ausgewählte Bespele dsspatver Systemen. 5.1 De allgemene lneare Bewegung Für den allgemenen Fall ener lnearen Bewegung darf de Kraft nur ene Komponente bestzen. De entsprechende Koordnate entsprcht der enzgen Rchtung, n der ene nchttrvale Bewegung erfolgt. Wr nehmen dafür m Folgenden de x-koordnate an: F(r) = F(x)e x. Das Potental ergbt sch dann mttels U(x) = x x 0 F(x )dx.

70 70 Dskusson der Bewegungsglechungen I: Konservatve Systeme De Rotaton deser Kraft verschwndet (rot F = 0). Wr erkennen weterhn, dass de Ortskoordnate parallel zur Kraft sen muss (r F). Daher st auch de Geschwndgket parallel zur Ortskoordnate, da ene Beschleungung n ene andere Rchtung ncht stattfnden wrd (r ṙ). Daraus ergbt sch en verschwndender Drehmpuls und en verschwndendes Drehmoment (L = M = 0). En verschwndender Drehmpuls beschrebt gerade genau ene lneare Bewegung, etwas, von dem wr zu Begnn ausgegangen snd. Daher st egentlch nur de Energeerhaltung nteressant. Für de glt m 2 ẋ2 + U(x) = E. Des st ene Dfferentalglechung erster Ordnung, de zur Bestmmung der Bahnkurve gelöst werden muss. De Bahnkurve st her allene gegeben durch x = x(t). Wr können dese zunächst schreben als ( ) dx 2 = 2 [E U(x)]. dt m De lnke Sete der Glechung st mmer ene postve Zahl. Für ene Bewegung selbst muss daher E > U(x) gelten. Ene Bewegung n Gebeten, n welche dese Unglechung ncht erfüllt st, st ncht möglch. Bespelhaft st das Potental und de Energe sowe enge ausgewählte Koordnaten zur weteren Dskusson rechts zu sehen. Erlaubte Gebete für ene Bewegung n desem bespelhaften Potental snd de, für de U E x 1 x x 2 und x 3 x x 1 x 2 x 3 x glt. Dese Punkte werden als Umkehrpunkte bezechnet, da de Geschwndgket des Massepunktes n desen Punkten hr Vorzechen ändert; de Rchtung der Bewegung kehrt sch um. Dabe snd x 1 und x 2 Umkehrpunkte zwschen denen der Massepunkt ene perodsche Bewegung ausüben wrd. Für ene Bewegung aus dem unendlchen(x = ) würde der Massepunkt am Punkt x 3 reflektert werden. De Potentalbarrere zwschen x 2 und x 3 hndert den Massepunkt daran, n andere Raumgebete zu gelangen. Wetere charakterstsche Punkte snd Ruhepunkte. Das snd Punkte m Raum, an denen kene Kraft auf den Massepunkt wrkt: F = 0 du dx = 0. Ene Massepunkt der sch dort befndet und ene verschwndende Geschwndgket hat, wrd für mmer an desem Punkt bleben. Wenn de verschwndende Abletung des Potentals zu enem Maxmum gehört,

71 71 sprechen wr von ener nstablen Ruhelagen. Ene wnzg klene Störung, d.h. ene wnzg klene Auslenkung aus der Ruhelage, wrd zu ener Kraft führen, de den Massepunkt von der Ruhelage wegbeschleungt. Mt fortschretender Zet wrd sch der Massepunkt daher von desem Punkt entfernen. Umgangssprachlch würde man sagen, der Masspunkt rollt den Potentalberg hnab. Dese klene Störung kann verursacht werden durch enen anderen Massepunkt, der ene Kraft ausübt, welche so klen st, dass deren Betrachtung normalerwese ncht berückschtgt werden braucht. Dese störende Kraft müsste explzt ene Funkton der Zet sen, da ansonsten se nur zu ener Verschebung der Ruhelage führen würde. Man sprcht her von ener Rauschquelle. Im Gegensatz dazu entsprcht der Punkt, n dem de Abletung des Potentals enem Mnmum bestzt, ene stable Ruhelage. Ene klene Auslenkung aus der Ruhelage bewrkt ene rückstellende Kraft, welche den Massepunkt zurück zu sener Ruhelage beschleungt. Zetlch veränderlche Rauschquellen haben daher kenen Enfluss und de Poston des Massepunktes st stabl. Des st ene wchtge Erkenntns. Massepunkte streben mmer dem Potentalmnmum entgegen; se versuchen hre potentelle Energe zu mnmeren. De Bewegungsglechung lecht umgeformt ergbt ẋ = dx 2 dt = ± [E U(x)]. m Beachten Se btte mmer, wenn Se de Wurzel zehen kann das Vorzechen mathematsch sowohl postv als auch negatv sen. Erst durch physkalsche Überlegungen können Se das rchtge Vorzechen dentfzeren. Wr separeren de Varablen und erhalten dx dt = ±. 2 m [E U(x)] Des Glechung können wr ntegreren und erhalten x dx t = t(x) = ± x 0 2 m [E U(x )] + const.. De Energe und de obge Integratonskonstante entsprechen den beden Konstanten de benötgt werden zur allgemenen Lösung der Bewegungsglechung, welche ene Dfferentalglechung zweter Ordnung st. De Umkehrfunkton x = x(t) der obgen Glechung entsprcht gerade genau der gesuchten Bahnkurve. Ene wetere Dskusson ohne Angabe ener konkreten Kraft bzw. des dazugehörenden Potentals st ncht möglch. Wr werden daher m Folgenden enge wchtge Bespele dskuteren.

72 72 Dskusson der Bewegungsglechungen I: Konservatve Systeme 5.2 Harmonscher Oszllator Den harmonschen Oszllator dskuterten wr berets und haben motvert, dass er charaktersert st durch ene lneare Rückstellkraft mt negatvem Vorzechen, welche zu enem quadratschen Potental U(x) = k 2 x2 führt. De Energeerhaltung lefert uns ene Dfferentalglechung erster Ordnung m 2 ẋ2 + k 2 x2 = E zur Beschrebung der Bewegung. Wr nehmen als Anfangsbedngung an, dass der Massepunkt sch n Ruhe befndet [ẋ(t 0 ) = 0] und sch zu desem Zetpunkt be x(t 0 ) = x 0 = a befndet. Das fxert de Energe zu E = k 2 a2. Damt können wr Dfferentalglechung lösen und erhalten m 2 ẋ2 + k 2 x2 = k 2 a2 ẋ 2 = 2E m k m x2 = k m (a 2 x 2) k m dt = ± dx a 2 x 2 k x m t(x) = dx ( x ) ( x ) a 2 x = arcsn arcsn(1) = arcsn π 2 a a 2 a ( x ) arcsn = ω 0 t + π a 2 x (ω a = sn 0 t + π ). 2 Das postve Vorzechen st her gewählt worden, da de Zet nur postve Werte annehmen sollen. Wr betrachten also ene Bewegung, de vorwärts n der Zet abläuft. Wr haben her auch weder de früher berets engeführte charakterstsche Frequenz des Oszllators benutzt. Das fnale Ergebns lautet somt x = a cos(ω 0 t). Des st ene zetharmonsche Bewegung um de Ruhelage. De maxmale Ampltude der Auslenkung ergbt sch dabe aus der Anfangsenerge, welche zum Schluss durch de Anfangskoordnate gegeben st.

73 Freer Fall aus belebger Höhe Das entsprechende Kraftgesetzt haben wr berets kennengelernt. Für de Gravtatonskraft glt F(r) = G mm r 2 r r. Wr betrachten de Kraft n Erdnähe und postuleren ene Kraft de ncht von der x- und y- Koordnate abhängt. Deses homogene Kraftfeld st dann nur ene Funkton der z- Koordnate und zegt auch nur n de z-rchtung. Es glt F(r) = G mm z 2 e z = mg R2 z 2 e z mt der Gravtatonskonstante g = GM R 2. Groß geschrebene Größen bezechnen her de Masse und den Radus der Erde. Das Potental ergbt sch aus der negatven Abletung der Kraft zur z-koordnate und beträgt U(z) = mg R2 z. De Kraft hängt weder ncht von der Zet und auch ncht von der Geschwndgket des Massepunktes ab. Für ene solche konservatve Kraft glt weder Energeerhaltung 1 2 mż2 mg R2 z = E. Mt den Anfangsbedngungen z(t 0 ) = z 0 = h und ż = 0 lässt sch de Energeerhaltung ntegreren und wr erhalten als allgemene Lösung 1 2 ż2 g R2 z = g R2 h t = ± 1 dz + const.. 2gR z 1 h 1 Ohne dese Glechung weter lösen zu wollen, können wr enge nteressante Fragen beantworten mt Hlfe des Energesatzes. Zum Bespel, we groß st de Enschlaggeschwndgket enes Körpers, der aus dem Unendlchen kommt z = R, h =? Aus der Energeerhaltung erhalten wr 1 2 ż2 g R2 R = 0 ż 2 = v 2 = 2gR v = 2gR 11.2km/s. Wr können auch fragen, be welcher Anfangsgeschwndgket wrd en Massepunkt de Erde verlassen können? De Anfangsbedngung wäre her z 0 = z a = h = R und de gesuchte Anfangsgeschwndgket ż = v a. De Anfangsenerge wäre entsprechend 1 2 mv2 a mgr = E a.

74 74 Dskusson der Bewegungsglechungen I: Konservatve Systeme Der Massepunkt hat das Erdfeld verlassen, wenn er unendlch wet kommt (z e = ). Dann darf er auch ene vernachlässgbare Geschwndgket haben (v e = 0) so dass er dann auch kene Energe mehr bestzt 0 0 = E e. Aus Energeerhaltung folgt E a = E e und wr können de notwendge Anfangsgeschwndgket berechnen als v 2 a = 2gR v a = 2gR Dese Geschwndgket wrd auch als zwete kosmsche Geschwndgket oder auch als Fluchtgeschwndgket bezechnet. De Fluchtgeschwndgket am Äquator für de Erde st offenschtlch dentsch zur Geschwndgket enes Massepunktes aus dem Unendlchen mt verschwndender Anfangsgeschwndgket. 5.4 Allgemene Bewegung m Zentralkraftfeld Enes der klassschen Probleme der Mechank st das Studum der Planetenbewegung. Des st en an sch belebg komplzertes Problem, da m Grunde belebg vele Hmmelskörper n der Betrachtung berückschtgt werden müssen, da se m Zwefel alle ene endlche, wenn auch n den mesten Fällen vernachlässgbar klene Kraft gegensetg aufenander ausüben. Um deses Problem angehen zu können, müssen wr es verenfachen. Wr müssen Annahmen treffen, de es uns erlauben, auf mathematsch enfachem Wege alle für uns relevanten observablen Phänomen korrekt zu beschreben und vorherzusagen. De erste Annahme de wr treffen können st de, dass wr uns zunächst nur auf Planeten n unserem Sonnensystem beschränken. Alle anderen Sterne und Planeten snd zu wet weg, als dass de von Ihnen verursachte Gravtatonskraft enen Enfluss hätte. Weterhn st de Masse der Sonne (M = kg) um dre Zehnerpotenzen größer als de Masse des schwersten Planeten m Sonnensystem (Jupter mt kg), so dass das Kraftfeld n dem sch de Erde (m = 5, kg) bewegt domnert wrd durch de Sonne. In erster Näherung können daher andere Planeten vernachlässgt werden und das Problem reduzert sch auf en Zwekörperproblem. We deses Problem gelöst wrd, werden wr m Laufe der Vorlesung noch dskuteren. Wr werden her das Problem noch weter verenfachen und lösen das Problem unter der Annahme, dass de Masse der Erde vernachlässgbar klen st und so kene Kraft auf de Sonne wrkt. De Sonne ruht daher. De Erde

75 75 selbst bewegt sch unter dem Enfluss des Kraftfeldes verursacht durch de Sonne. De Bewegungsglechung lautet m r = F und de Kraft st gegeben durch F = G mm r 2 r r. De Kraft st somt ene konservatve Zentralkraft. Ich möchte kurz anmerken, dass ene solche Sequenz von Näherungen auch n anderen Telgebeten der Physk wchtg st. In der Atomphysk, wenn de Bewegung enes Elektrons um den Atomkern dskutert wrd, kann ebenfalls de Masse des Kerns als sehr vel größer angenommen werden als de des Elektrons. Dann kann de Bewegung des Elektrons um den Atomkern dskutert werden unter dem Enfluss der (elektrostatschen) Coulombkraft. Dese Näherung wrd als Born-Oppenhemer-Näherung bezechnet. Bevor wr das konkrete Problem der Planetenbewegung dskuteren, wollen wr allgemen de Bewegung enes Massepunktes unter dem Enfluss ener konservatven Zentralkraft dskuteren. Dese st gegeben als F = f (r) r r und en dazugehörendes Potental kann berechnet werden mttels r U(r) = f (r )dr. r 0 Beachten Se btte, wr gehen davon aus, dass das Potental m Referenzpunkt r 0 verschwndet. Falls des ncht der Fall st, müssten Se den Term U(r 0 ) noch dazu adderen. Deser konstante Term m Potental hat aber kenerle Enfluss, da de physkalsche beobachtbare Größe, de Kraft, nur defnert st über den negatven Gradenten des Potentals. An deser Stelle soll de Funkton f (r) noch ncht weter spezfzert werden. Wr postuleren aber, dass das Potental berechnet werden kann für enen konkreten funktonellen Verlauf der Zentralkraft als Funkton der Radalkoordnate und somt als gegeben angenommen werden kann. Es glt Energe- und Impulserhaltung. Wr haben früher berets dskutert, dass de Bewegung des Massepunktes n ener Ebene verläuft. Was genau können wr aber über de Bewegung aussagen? Das Problem soll m Folgenden n Polarkoordnaten beschreben werden, welche jeden Punkt n der Ebene adresseren können. De Energeerhaltung gbt uns das folgende 1. Integral m 2 ( ṙ 2 + r 2 φ 2) + U(r) = E.

76 76 Dskusson der Bewegungsglechungen I: Konservatve Systeme Aus der Drehmpulserhaltung erhalten wr L = mr 2 φ φ = L mr 2 Bedes nenander engesetzt und ausmultplzert ergbt ) m (ṙ 2 + L2 2 m 2 r 2 + U(r) = E m 2 ṙ2 + L2 + U(r) = E. 2mr2 De dre Terme auf der lnken Sete drücken dre unterschedlche Arten von Energe aus. Der erste Term st de Radalenerge. Se entsprcht der knetschen Energe für ene Bewegung n radaler Rchtung. Der zwete Term st de Rotatonsenerge. Und der drtte Term st de potentelle Energe. De letzten beden Terme können wr zusammenfassen zu enem effektven Potental U eff (r), da bede Terme ledglch ene Funkton der Radalkoordnate snd: U eff (r) = L2 2mr 2 + U(r). Damt können wr de Bewegungsglechung weder unter Ausnutzung der Erhaltungssätze auf ene Dfferentalglechung erster Ordnung reduzeren für ene Bewegung m en-dmensonalen Raum, der Radalkoordnate als Funkton der Zet. In deser Koordnate snd dann alle Informatonen zur genauen Bahnkurve des Massepunktes enthalten. m 2 2 ṙ2 + U eff (r) = E ṙ = ± m [E U eff(r)]. Ene physkalsch snnvolle Bewegung für den Massepunkt kann weder nur n den Raumgebeten erfolgen, n denen das effektve Potental klener st als de Energe E. Enen typschen Verlauf, we er auch bem Gravtatonspotental auftrtt, st n der Abbldung nebenan zu sehen. Zur Dskusson der Bewegung können wr zwe charakterstsche Fälle unterscheden. U e r mn r max E 1 E 2 r 1. Energe E 1 Her st der erlaubte Berech für ene Bewegung der für den glt r mn < r < r max, Der Massepunkt wrd dann ene perodsche Bewegung zwschen den beden Abständen durchführen. Aus der Forderung dass U eff E sen soll, ergbt sch aus der Forderung U eff = E ṙ = 0

77 77 gerade genau de Defnton enes Umkehrpunktes. Der Massepunkt hat dort ene verschwndende Geschwndgket. Im Allgemenen wrd der Massepunkt kene geschlossene Bahnkurve bestzen sondern Rosetten beschreben. Geschlossene Bahnkurven lassen sch nur für den Spezalfall beobachten, dass das Potental entweder proportonal st zu 1 r oder proportonal zu r2. Dann würden Ellpsen beschreben werden. 2. Energe E 2 Für ene Energe größer als das Potental m unendlchen (her zu null gesetzt), fndet ene Bewegung m Raumgebet r mn < r statt. Für E U eff ( ) führt ene Bewegung aus dem Unendlchen unwegerlch zu ener Umkehr an dem Umkehrpunkt [E = U eff (r)] und ene Bewegung zurück ns Unendlche 1. Im Umkehrpunkt ändert sch gerade weder das Vorzechen von dr dt. Für den Fall E = U eff( ) st de Bewegung ene Parabel. Für den Fall E > U eff ( ) st de Bewegung ene Hyperbel. 1 Oder we es Buzz Lghtyear sagen würde, bs zur Unendlchket und darüber hnaus. Wr wollen de Bewegungsglechung nun ntegreren. Formal erhalten wr t = dr + const.. 2 m [E U eff(r )] Beachten Se btte, am Umkehrpunkt U eff = E st zwar dr dt = 0, des st aber ncht glechbedeutend mt der Tatsache, dass der Massepunkt n Ruhe st und kene Geschwndgket bestzt. Ledglch de Radalkoordnate ändert sch ncht. Der Massepunkt hat mmer noch ene Wnkelgeschwndgket. Der allgemene Lösungsweg st der, dass das obge Integral gelöst werden muss um explzt de Zet als Funkton der Radalkoordnaten zu erhalten [t(r)]. Mt der Umkehrfunkton würde man de Radalkoordnate als Funkton der Zet erhalten [r(t)] und somt (über de Drehmpulserhaltung) würde man den Wnkel φ als Funkton der Zet erhalten [φ(t)]. Her gehen wr enen anderen Weg und lösen explzt φ(r) um dann r(φ) zu berechnen. Dazu betrachten wr dr dt = dr dφ dφ dt = dr L dφ mr 2. Daraus ergbt sch dr dφ = ṙ mr2 L = mr2 L 2 m [E U eff(r)]

78 78 Dskusson der Bewegungsglechungen I: Konservatve Systeme dφ = L dr m r 2 2 m [E U eff(r)] φ = L m dr. r 2 2 m [E U eff(r )] Für en gegebenes Potental lefert uns de Lösung deser Glechung φ(r). Dese Glechung kann nvertert werden, um de Bahnkurve r(φ) zu defneren. Zusammen mt der obgen Lösung von t(r) bzw. r(t) st damt auch φ(t) bestmmt. Ene wetere Lösung der Glechung st nur möglch nach konkreter Angabe der Radalabhänggket der Zentralkraft. Des werden wr m Folgenden glech für de Planetenbewegung dskuteren. Abschlessend se noch kurz dskutert, dass der Term L2 m effektven Potental, für L = 0 entscheden dafür st, dass der Massepunkt 2mr 2 ncht ns Zentrum des Kraftfeldes gelangt. Deser Term wrd häufg auch als Zentrfugalenerge bezechnet. Der Masspunkt fällt nur dann ns Zentrum der Zentralkraft, wenn das radale Potental für klene Raden genügend schnell gegen dvergert. Um de Anforderungen an de Schnellgket der Dvergenz zu dentfzeren, betrachten wr ene Bahnkurve für den Masspunkt, welche dem Koordnatenursprung entgegenstreben soll, r 0. Das Quadrat der Geschwndgket muss, damt dese physkalsch blebt, ene postve Zahl sen, also ṙ 2 > 0. Mt dem ersten Integral der Energeerhaltung ṙ 2 = 2 [E U(r)] L2 m m 2 r 2 > 0 folgt de Forderung r 2 U(r) + L2 2m < Er2. In deser Unglechung kann r nur dann null werden, wenn r 2 U(r) L2 r 0 2m erfüllt st. Dese Unglechung st erfüllt, wenn das Potental en negatves Vorzechen hat und mt ener Potenz größer als 2 als Funkton der Radalkoordnate abfällt, U(r) r 1 n mt n > 2. Dann strebt das Potental ausrechend schnell gegen. Für den Fall n = 2, muss das Potental enen funktonellen Zusammenhang der Form U(r) = α r 2 mt α 2m L2 bestzen, damt der Massepunkt n den Mttelpunkt des Zentralkraftfeldes stürzt.

79 Planetenbewegung Wr wollen das eben dskuterte nun konkretseren und anwenden auf den spezellen Fall der früher dskuterten Bewegung enes enzelnen Planeten unter Enwrkung der Gravtatonskraft der Sonne, welche als räumlch ncht veränderlch angenommen wrd. Ene verglechbare Dskusson könnte man auch durchführen be der Betrachtung der Bewegung enes Elektrons um den Atomkern unter Berückschtgung der Coulombkraft. De entsprechenden Zentralkraftfelder lauten F(r) = G mm r 2 r R2 r = mg r r 2 r für de Gravtatonskraft und F(r) = ± Ze2 r 2 r r für de Coulombkraft. Im letztern Fall muss en negatves Vorzechen gewählt werden für den Fall, dass de Ladungen en unterschedlches Vorzechen haben (we es der Fall st be der Beschrebung der Bewegung enes Elektrons um den Atomkern). Prnzpell kann de Kraft aber auch en postves Vorzechen bestzen, falls de beden betelgten Ladungen das gleche Vorzechen haben. Das zugehörge Potental zur Gravtatonskraft lautet U(r) = G mm r. Das effektve Potental lautet dann U eff (r) = L2 2mr 2 G mm r und de Bewegungsglechung (1. Integral), welche sch aus Energeund Drehmpulserhaltung ergbt, lautet m 2 ṙ2 G mm r + L2 2mr 2 = E. Wr werden nun de früher allgemen dskuterten charakterstschen Größen genauer bestmmen Potentalmnmum De Poston des Mnmum des Potentals ergbt sch aus der Forderung ener verschwndenden ersten Abletung. Genauer gesagt, könnte des dann auch noch en Maxmum sen. Aus dem allgemenen funktonellen Zusammenhang wssen wr aber, dass des en Mnmum st: du eff (r) dr = 0 L2 mr 3 0 = G mm r0 2.

80 80 Dskusson der Bewegungsglechungen I: Konservatve Systeme Daraus ergbt sch. r 0 = k = L2 Gm 2 M U eff(k) = G2 m 3 M 2 2L 2 = GmM. 2k De Poston des Mnmum des Potentals st proportonal zum Quadrat des Drehmpulses. Be desem Abstand bestzt der Massepunkt de größte Radalgeschwndgket. Ene wetere Dskusson der Bewegung des Massepunktes verlangt ene Fallunterschedung bezüglch der Energe E. 1. U eff (k) E < 0 Dese Forderung st dentsch zu 1 GmM 2Ek < 0. Der Massepunkt wrd dann ene perodsche Bewegung n radaler Rchtung zwschen noch zu bestmmenden Umkehrpunkten durchführen. Für den extremen Fall, dass E = U eff (k) st, wrd ṙ = 0. Der Massepunkt bestzt dann de für ene Bewegung mnmale möglche Energe und er wrd ene Kresbewegung durchführen 2. 0 E Der Massepunkt wrd, we früher dskutert, ene Bewegung ns Unendlche durchführen Umkehrpunkte De Umkehrpunkte snd gerade defnert durch Mt U eff (r ex ) = E U eff (r ex ) = 1 r 2 ex ergbt sch mt k = L2 2mr 2 ex G mm r ex = E 2 Gm2 M L 2 1 r ex 2m L 2 E = 0 L2 Gm 2 M 2m L 2 = 2 kgmm de folgende Glechung 1 r 2 ex 2 k 1 r ex 1 k 2 2Ek GmM = 0. Dese quadratsche Glechung aufgelöst ergbt für de Poston der Umkehrpunkte [ 1 = 1 ] 1 ± 1 + 2Ek = 1 (1 ± ɛ) r ex k GmM k

81 81 wo wr ɛ (de Bedeutung als Exzentrztät wrd später noch deutlch) defnert haben als ɛ = 1 + 2Ek GmM. Damt ergeben sch als explzte Koordnaten für de Umkehrpunkte 1 = 1 r mn k (1 + ɛ) und 1 = 1 (1 ɛ) r max k r mn = r ɛ und r max = r 0 1 ɛ Der Wert ɛ = 0 wrd errecht für E = GmM 2k, was genau der mnmalen Energe entsprcht, welche dem Mnmum des effektven Potentals entsprcht. Wr hatten berets dskutert, dass der Massepunkt dann ene Kresbahn beschrebt. Des wrd gerade auch reflektert durch de Tatsache, dass de beden Umkehrpunkte zusammenfallen. Ene begrenzte, perodsche Bewegung wrd der Massepunkt für 0 < ɛ < 1 beschreben. Für ɛ = 1 würde der maxmale Umkehrpunkt gerade genau m unendlchen legen. Entsprechende beschrebt der Massepunkt ene unbegrenzte Bewegung für ɛ Bewegungsglechung Wr wollen jetzt de egentlche Bewegungsglechung lösen. Wr könnten herfür de Glechung φ = L m dr r 2 2 m [E U eff(r )] nehmen und lösen. We früher berets angedeutet, st das aber komplzert und für das spezfsche Problem ncht ganz günstg. Wr gehen her enen anderen Weg und führen zunächst den rezproken Abstand s als neue Varabel en s = 1 r s = s(φ) r = r(φ). Der Drehmpulserhaltungssatz sagt uns weder, dass L = mr 2 φ. Damt folgt für de partelle Abletung ds dφ = s = ds dt dt dφ = ds 1 dt φ = d dt = 1 r 2 ṙ mr2 L ṙ = L m s. = m L ṙ ( ) 1 mr 2 r L

82 82 Dskusson der Bewegungsglechungen I: Konservatve Systeme Desen Ausdruck können wr wederum n den Energesatz ensetzen m 2 ṙ2 G mm r und erhalten + L2 2mr 2 = E L 2 ( s 2 + s 2) GmMs = E 2m s 2 + s 2 2 Gm2 M L 2 s = 2mE L 2 s 2 + s 2 2 k s = 2mE L 2. Dese Glechung dfferenzeren wr nun en weteres Mal nach φ und erhalten s s + ss 1 k s = 0 s + s 1 k = 0. Das st de fnale Bewegungsglechung enes Massepunktes m Gravtatonsfeld. Beachten Se btte, dass wr m letzten Schrtt streng genommen s ausgeklammert haben, so dass s = 0 ebenfalls ene Lösung der Ursprungsdfferentalglechung st. Dese Lösung brauchen wr aber ncht weter zu berückschtgen, da se n der m Folgenden dokumenterten nhomogenen Lösung enthalten st. De Lösung der obgen Dfferentalglechung setzt sch aus der Lösung der nhomogenen und der homogenen Dfferentalglechung zusammen s(φ) = s nhomogen (φ) + s homogen (φ). De Lösung der homogenen Glechung lautet s(φ) = A sn φ + B cos φ. De Lösung der nhomogenen Glechung lautet s(φ) = 1 k. De Gesamtlösung st daher s(φ) = 1 + A sn φ + B cos φ k Im Folgenden müssen wr noch aus den beden Anfangsbedngungen de beden Integratonskonstanten A und B bestmmen. Wr legen zunächst fest, dass der Wnkel φ = 0 dem Wnkel entsprcht, welcher der Massepunkt am sonnennächsten Punkt r mn annmmt. Dort wrd entsprechend de Funkton s(r) maxmal. An desem Punkt verschwndet zunächst enmal per Defnton de Änderung des nversen Abstandes als Funkton des Wnkels. Beachten Se btte, des glt sowohl für ene

83 83 perodsche Bewegung des Massepunktes als auch für ene Bewegung des Massepunktes aus dem unendlchen: s (0). = 0 = A. Wr setzen dann enfach en und benutzen unser früheres Wssen des mnmalen Abstandes s(φ = 0) =. 1 = 1 + ɛ = 1 r mn k k + B B = ɛ k. Für de nverse Bahnkurve bzw. de Bahnkurve ergeben sch dann de folgenden Glechungen als fnales Ergebns 1 r = 1 k (1 + ɛ cos φ) r = k 1 + ɛ cos φ Das st de Glechung für Kegelschntte n ebenen Polarkoordnaten. De Parameter ɛ und κ snd defnert als ɛ = 1 + 2Ek GmM und k = L2 Gm 2 M. Da de Exzentrztät ausschlesslch über de Energe bestmmt wrd, bestmmt se schlussendlch de Bahnform. Der Drehmpuls defnert hngegen den Ort der größten Geschwndgket (φ = π/2). Zur Dskusson der Bahnform machen wr de folgende Fallunterschedung. a) ɛ = 0 We früher dskutert, erfolgt de Bewegung des Massepunktes dann auf ener Kresbahn. De Energe beträgt E = GmM 2k = G2 m 3 M 2L 2. b) 0 < ɛ < 1 De Bahnkurve beschrebt ene Ellpse. De Energe kann m folgenden Interval sch befnden GmM 2k < E < 0. c) ɛ = 1 De Bahnkurve beschrebt ene Parabel. De Energe muss verschwnden, E = 0. d) ɛ > 1 De Bahnkurve beschrebt ene Hyperbel. De Energe muss größer sen als null, E > 0.

84 84 Dskusson der Bewegungsglechungen I: Konservatve Systeme Damt st das Gesamtproblem gelöst. Unter Umständen möchte man jetzt ledglch noch explzt de Zetabhänggket berechnen. Dazu nehmen wr de Glechung φ = dφ dt = L mr 2 (φ) t(φ) = m L dφ r 2 (φ ) + const.. Nach Lösen deser Glechung haben wr t(φ). De Umkehrfunkton lefert dann φ(t). Desen Ausdruck können wr dann n r(φ) ensetzen und wr haben auch enen explzten Zusammenhang für r(t). Wr wollen m Folgenden de Bewegungsformen noch enmal genauer dskuteren. Wr konzentreren uns auf Ellpse und Hyperbel. a) Ellpse Ene Ellpse beschrebt allgemen den geometrscher Ort aller Punkte, für de de Summe der Abstände von zwe Brennpunkten konstant (= 2a) st. In unserer Betrachtung befndet sch de schwere Masse n enem deser beden Brennpunkte. a bezechnet her de große Halbachse der Ellpse (de Hälfte der maxmalen Ausdehnung). De klene Halbachse bezechnen wr mt b. Für ene Ellpse glt der Zusammenhang b 2 = a 2 e 2 mt e dem halben Abstand zwschen den beden Brennpunkten. Der sonnennächste Punkt befndet sch be r mn = r(φ = 0) = a e = k 1 + ɛ. Der sonnenfernste Punkt befndet sch be r max = r(φ = π) = a + e = k 1 ɛ. In beden Glechungen können wr k soleren und de beden anderen Seten der Glechung dann entsprechend glechsetzen. Das führt zu enem Ausdruck für de Exzentrztät als Funkton der Größen der Ellpse ɛ = e a. Damt ergeben sch für enge der oben genannten Größen r mn = a e = a(1 ɛ) b 2 = a 2 e 2 = a 2 (1 ɛ) (1 + ɛ) = a(1 + ɛ)r mn = ak. Daraus folgt für das Verhältns der Halbachsen b 2 a = (1 + ɛ)r mn b2 a = L2 Gm 2 M

85 85 Wr versuchen m Folgenden de Halbachsen als Funkton von Energe und Drehmpuls auszudrücken. Dazu betrachten wr den Energesatz be φ = 0. Wr berechnen als erstes ṙ(φ = 0) = ṙ mn = L m s (φ = 0) = 0. Der letzte Punkt ergbt sch aus der Tatsache, dass deser Punkt r mn en Umkehrpunkt st. Der Energesatz lautet dann ( ) E = m 2 ṙ2 mn GmM + L2 k r mn 2mrmn 2 = GmM 2rmn 2 1 r mn da k = L2. Wr können desen Ausdruck weter manpuleren und Gm 2 M erhalten so (mt a 2 e 2 = ak) ( ) ( ) k 2(a e) a 2 e 2 a 2(a e) E = GmM 2(a e) 2 = GmM 2(a e) 2 ( a = 2 e 2 ) 2a(a e) GmM 2a(a e) 2 = GmM. 2a Zusammen mt b2 a = L2 lassen sch so de große und klene Halbachse als Funkton der Energe und des Drehmpulses berechnen Gm 2 M mttels a = GmM 2E und b = L 2mE. De große Halbachse st also durch de Energe festgelegt, de klene Halbachse durch Energe und Drehmpuls. Nun wollen wr zum Schluss noch de Umlaufzet berechnen und dese ns Verhältns setzen mt den Längen der Halbachsen. Der Flächensatz lautete df dt = 1 2m L d f dt = 1 2m L. Separaton der Varabeln und ntegrert über de gesamte Fläche ener Ellpse (A = πab) ergbt mt T als der Umlaufzet f = πab = LT 2m T = 2πmab L T2 a 3 = ( 2πmb L ) 2 1 a = ( 2πm L ) 2 L 2 Gm 2 M = 4π2 GM = const. T2 a 3 = const.. Zusammengefasst werde dese mathematsch gefundenen Erkenntnsse n den Keplerschen Gesetzen:

86 86 Dskusson der Bewegungsglechungen I: Konservatve Systeme 1. De Planeten bewegen sch auf Ellpsen, n deren enem Brennpunkt de Sonne steht. 2. Der Fahrstrahl von der Sonne zum Planeten überstrecht n glechen Zeten gleche Flächen. 3. De Quadrate der Umlaufzeten zweer Planeten verhalten sch we Kuben der großen Halbachsen. Es blebt anzumerken, dass hstorsch natürlch de Keplerschen Gesetze zuerst gefunden wurden. Aus hnen wurde dann das Gravtatonsgesetz extrahert. Des st wesentlch allgemener und stellt damt ene höhere Ebene der Erkenntns und Abstrakton dar. b) Hyperbel So we de beden Halbachsen charakterstsch snd für ene Ellpse, wrd de Hyperbelbahn durch den Stoßparameter d und den Ablenkwnkel θ charaktersert. Asymptotsch werden dese Bahnkurven lnear, so dass en Wnkel snnvoll defnert werden kann. Der Stoßparameter selbst bezechnet den Abstand, n dem der Massepunkt am Zentrum ohne Ablenkung vorbeflegen würde. Wr möchten m Folgenden bede Größen als Funkton der Energe E und des Drehmpulses ausdrücken. Ausgangspunkt st 1 r = 1 (1 + ɛ cos φ). k Im asymptotschen Lmt, wenn r gehen soll, st der Wnkel φ defnert als cos φ = 1 ɛ. Der Ablenkwnkel st gerade defnert als π θ = 2 (π φ ) θ 2 = φ π 2 sn θ 2 = sn ( φ π 2 ) = cos φ = 1 ɛ. Der Ablenkwnkel berechnet sch somt zu sn θ 2 = 1 ɛ. Aus Energeerhaltung und Drehmpulserhaltung m Unendlchen fnden wr den folgenden Zusammenhang zwschen Energe und Drehmpuls E = m 2 ṙ2 > 0 L = m r ṙ = m r ṙ = md ṙ L 2 = 2mEd 2.

87 87 Weterhn können wr we be der Ellpse durch Betrachtung des sonnennächsten Punktes de folgenden Zusammenhänge fnden k. 1+e Für de Energe glt dort r mn = 0 rmn = E = =! GmM L2 k 1 + = GmM 2 2 rmn rmn 2mrmn 2rmn (1 + e)(1 e) (1 + e )2 1 + e = GmM. GmM 2k k 2k Daraus ergbt sch mt L2 = 2mEd2 und sn 2θ = e2 1 = 1 e 4d2 E2 1 2kE 2L2 E = = = GmM G m M G m M sn2 θ 2 θ 1 = cot2. 2 Damt st auch der Ablenkwnkel endeutg durch E und L festgelegt. Es glt d= L 2mE und tan θ GmM =. 2 2dE Mt desen beden Kenngrößen st de Hyperbel komplett bestmmt Kosmsche Geschwndgketen In Anwendung der obgen Glechungen lassen sch abschlessend noch zwe krtsche Geschwndgketen berechnen, welche n der Raumfahrt von großer Wchtgket sen. Des snd de beden kosmschen Geschwndgketen. Dese snd Mndestgeschwndgket tangental zur Erde, welcher en Massepunkt (ene Rakete, en Satellt) wengstens bestzen muss, um auf ene kresförmge Umlaufbahn geschckt zu werden bzw. um das Schwerefeld der Erde vollständg verlassen zu können. In den folgenden Glechungen st M ncht mehr de Masse der Sonne sondern de der Erde. m st entsprechend de Masse der Rakete bzw. des Satellten. We früher dskutert, kann en Massepunkt alle Punkte errechen, n denen das effektve Potental klener st als de Energe. Für dese Orte glt L2 mm G < E. r 2mr2 We berets dskutert, hat der Drehmpuls ene abstoßende Wrkung, der domnant st für klene Raden. Ohne enen Drehmpuls wäre jedweder Versuch ene Rakete zu starten snnlos, da se unwegerlch drekt zum Massepunkt gezogen würde ohne rgendenen Mechansmus der Abstoßung. Der notwendge Drehmpuls st abhängg von der Entfernung R zwschen Massepunkt der Erde und dem Satellten. Je weter weg der Startpunkt st, desto gernger der notwendge Drehmpuls. Ueff (r ) = v v R vr