Einführung in die Diskrete Mathematik

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1 Eiführug i die Disrete Mathemati Sommersemester 2014 PD Dr. Nils Rosehr Ihaltsverzeichis I Eileitug 5 II Kombiatori 5 1 Grudlage der Kombiatori Stadardbezeichuge Edliche Mege Potezmege Partitioe Schubfachprizip Aweduge Prizip der doppelte Abzählug Beispiel Biomialoeffiziete Permutatioe ud Faultät Stirlig-Formel Näherug vo Biomialoeffiziete Ugeordete Summatioe ud Multimege Wege im Gitter Vadermode-Idetität Polyommethode

2 Differeziere Biomische Reihe Multiomialoeffiziete Abbilduge ud Auswahle Auswahle Abzählbare Wahrscheilicheitsräume Erwartugswert ud Variaz VI Übugsaufgabe 25 Idex 28

3 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati I Eileitug Die disrete Mathemati ist eie Geheimwisseschaft, soder vielmehr ist disret hier als Abgrezug zu otiuierlich zu verstehe. Dabei wird der Begriff uterschiedlich allgemei gefasst. Häufig geht es um mathematische Probleme oder Theorie die mit edliche oder abzählbare Struture zu tu habe. Am beste wird dies vielleicht a eiige Beispiele deutlich. Beispiel 1. Nehme wir a, wir wolle eie Treppe mit 11 Stufe besteige ud öe mit eiem Schritt etweder eie oder zwei Stufe ehme. Für die erste drei Stufe habe wir drei Möglicheite: Für die gesamte Treppe vo 11 Stufe gibt es 144 Möglicheite. Natürlich ist ma i der disrete Mathemati icht a der Lösug dieses spezielle Problems iteressiert, soder fragt sich: Gibt es eie Formel für die Azahl der Möglicheite i Abhägigeit der Azahl der Stufe? Ka ma auch ähliche Probleme löse, etwa, we ma es schafft 3 Stufe oder alle auf eimal zu ehme? Gibt es ei allgemeies Verfahre, zu solche Lösugsformel zu omme? Beispiel 2. Wir wolle ei Schachbrett aus 8 mal 8 Felder mit 8 Farbe so eifärbe, dass i eier Horizotale oder Vertiale eie Farbe doppelt auftritt. Dies ist auf vielerlei Weise möglich ud hägt auch gar icht vo der Zahl 8 ab. Solche Eifärbuge werde lateiische Quadrate geat. Nu stelle wir die Frage, ob es zwei solche Eifärbuge gibt sogeate orthogoale lateiische Quadrate, so dass die vo etsprechede Felder gebildete Farbpaare alle Farbombiatioe durchlaufe. Eie eifache bejahede Atwort lässt sich mit der algebraische Strutur des edliche Körpers mit 8 Elemete gebe. Scho 1780 hat Euler die Frage gestellt, ob es auch orthogoale lateiische Quadrate der Ordug 6 gibt. Er ote diese Frage icht beatworte ud vermutete, dass dies für alle Orduge der Form 4+2 icht möglich sei. Heute weiß ma, dass Euler ur für 1 Recht hatte. Beispiel 3. Viele ee seit de Kidertage das Haus vom Niolaus. Dabei geht es darum i eiem bestimmte Graphe eie Weg zu fide, der alle Kate geau eimal durchläuft: oder. Solch ei Weg heißt übriges Euler-Tour, ach Euler, der sich mit dem ähliche Köigsberger Brüceproblem beschäftigt hat. Diese Toure habe durchaus eie pratische Relevaz, de z.b. für die Müllabfuhr stellt solch eie Tour eie güstige Weg dar. Hier ergebe sich viele Frage: Ist eie solche Tour auch für adere Graphe möglich? We icht, gibt es ei Kriterium? Ka ma die Toure auch mit gleichem Afags- ud Edput wähle?

4 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati II Kombiatori 1 Grudlage der Kombiatori 1.1 Stadardbezeichuge. Für die atürliche Zahle ohe Null schreibe wir N {1, 2, 3,... }, N 0 {0} N ud {1,..., } { N : } für N 0. Weiter beutze wir Z Q R C. Für die Potezmege eier Mege X also die Mege aller Teilmege vo X schreibe wir PX oder 2 X. Wir beutze die Gaußlammer zum Auf- ud Abrude: x : max{z Z : z x} ud x : mi{z Z : z x} für x R. 1.2 Edliche Mege. Eie Mege A ist edlich, we es ei N 0 ud eie Abzählug, d.h. eie Bijetio f : {1,..., } A gibt. Die Zahl ist eideutig bestimmt siehe Übugsaufgabe 1.1 ud heißt die Größe, Läge oder Mächtigeit vo A; wir schreibe A für die Mächtigeit vo A ud ee A eie -Mege. Falls A icht edlich ist, setze wir A : siehe Bemerug ach Satz 1.4 ud beutze ± x ±x + + sowie x < für x R. 1.3 Lemma. Seie A ud B Mege. a Es gilt A 0 geau da, we A. b Es ist A B geau da edlich, we A ud B edlich sid. c Es gilt A B + A B A + B. d Aus B A folgt B < A, falls A oder B edlich ist. e Für eie Abbildug f : A B gilt fa A. Beweis. a Die leere Abbildug A ist geau da surjetiv, we A leer ist. Seie u zuächst A ud B edlich ud disjut. Wir zeige A B A + B per Idutio über A : De Idutiosafag liefert a. Für A > 0 öe wir wieder ach a ei a A wähle. Es folgt A\{a} A 1, de ist f : {1,..., A } A ei Abzählug, so ist g : {1,..., A 1} A \ {a} mit gx fx für x f 1 a ud gf 1 a f A, falls f 1 a A, eie Abzählug [vertausche a ud f A ]. Es folgt A \ {a} B A B \ {a} A B 1 ebeso, da A ud B disjut sid, ud Idutio liefert die Behauptug. d I obigem Idutiosbeweis habe wir A\{a} A 1 gezeigt für a A; daraus folgt die Behauptug per Idutio, we wir a A \ B wähle. [ lässt sich icht awede, da wir och icht wisse, dass B ud A\B edlich sid.]

5 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati b Sid A ud B edlich, so folgt aus, dass A B edlich ist. Aus d folgt die adere Impliatio, weil A ud B Teilmege vo A B sid. c Wege b müsse wir ur och de edliche Fall zeige: A B A \ A B + B A A B + B. e Für uedliches A ist ichts zu zeige. Wähle sost eie Teilmege A A, so dass für jedes b fa die Faser f 1 b geau ei Elemet vo A ethält [A ist also ei Repräsetatesystem für die Faser vo f.] Da f A ijetiv ist, folgt fa fa A A ach d. 1.4 Satz. Für edliche Mege A ud B gilt A B geau da, we es eie Bijetio A B gibt. Gilt dies, so ist eie Abbildug h : A B geau da bijetiv, we sie ijetiv oder surjetiv ist. Beweis. Gilt : A B, so gibt es Bijetioe f : {1,..., } A ud g : {1,..., } B, ud wir öe als Bijetio g f 1 wähle. Ist umgeehrt eie Bijetio h : A B gegebe, da lässt sich diese mit eier Bijetio f : {1,..., A } A verette zu eier Bijetio h f : {1,..., A } B. Es folgt B A. Ist h ijetiv, so ist h : A ha bijetiv ud ach dem scho gezeigte folgt ha A B ud somit ha B ach 1.3d. Also ist h surjetiv. Ist h icht ijetiv, so gibt es ei a A mit ha \ {a} ha ud es folgt ha ha \ {a} A \ {a} < A B ach 1.3. Also ist h icht surjetiv. Die erste Aussage des Satzes ist falsch für uedliche Mege [die zweite sowieso]. Das liegt dara, dass es verschiedee uedliche Mächtigeite gibt, etwa N R, aber es gibt eie Bijetio N R Cators zweites Diagoalargumet. Die Forderug der Existez eier Bijetio zwische zwei Mege macht aber auch für uedliche Mege Si ud wir ee daher zwei Mege gleichmächtig, we es eie Bijetio zwische ihe gibt wie im Satz. Die Edlicheit vo Mege lässt sich auch och auf adere Art defiiere: Eie Mege ist geau da uedlich, we es eie Ijetio vo ihr i eie echte Teilmege gibt. Für eie weitere Möglicheit siehe Übugsaufgabe Satz Potezmege. Für eie edliche Mege M gilt 2 M 2 M. Beweis. Wir führe Beweis per Idutio ach M. Für M 0 habe wir M ud daher 2 M { }, also 2 M 1. Sei u M > 0. Wir öe also

6 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati m M wähle ud setze A : {X M : m X} B : {X M : m X}. ud Da gilt 2 M A B ud A B. Es folgt 2 M A + B. Ferer ist A 2 M\{m} also A 2 M 1 per Idutio. Die Abbildug A B, X X {m} ist eie Bijetio mit der Iverse Y Y \ {m}. Es folgt A B ud daher 2 M 2 A 2 M. 1.6 Partitioe. Eie Partitio eier Mege M ist eie Mege vo paarweise disjute Teilmege vo M, dere Vereiigug M ist. Für eie edliche Partitio P eier Mege M gilt M X P X. Häufige Awedug: M b B f 1 b für eie Abbildug f : M B. Beweis. Für P 0, 1 ist die Aussage trivial ud für P 2 ist die Aussage ei Spezialfall vo 1.3c. Die Behauptug folgt damit per Idutio über P. 1.7 Korollar. Für edliche Mege A ud B gilt A B A B ud A A für N 0 mit Beweis. Dies folgt aus 1.6, weil A B die Partitio P : {A {b} : b B} hat ud A {b} A sowie P B gilt. Die zweite Behauptug folgt da per Idutio über. 1.8 Schubfachprizip. We Objete auf weiger als Fächer verteilt werde, so fide sich i eiem Fach midestes zwei Objete. Oder: We Objete mit < Farbe eigefärbt werde, so habe midestes zwei Objete die gleiche Farbe. Formal: Sid A ud B edliche Mege mit B < A, so ist jede Abbildug f : A B icht ijetiv, d.h. es existiert ei b B mit f 1 b 2. Allgemeier: Für f : A B mit B < existiert ei b B mit f 1 b A B. Beweis. Mit 1.6 folgt A b B f 1 b B max b B f 1 b.

7 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati Aweduge. Wir werde im Laufe der Vorlesug viele Aweduge sehe; hier sid ei paar Beispiele dieser wichtige Beweismethode: a Uter 15 Persoe, sid immer midestes 2 im gleiche Moat gebore, oder midestes 3 am gleiche Wochetag. [Es existiere Mesche mit exat gleichviele Haare auf dem Kopf: ca Mesche, ca Haare] b Uter 5 Pute im Eiheitsquadrat [0, 1] 2 gibt es immer zwei mit Abstad höchstes 1 2 2: Zwei der 5 Pute liege i eiem der 4 Teilquadrate mit Seiteläge 1/2 wie im Bild ud habe daher Abstad für Pute auf de Treliie wähle wir willürlich. c Sid a 1,..., a +1 {1,..., 2}, so gibt es Idices i j, so dass a i ei Teiler vo a j ist: Wir schreibe a i 2 ei u i mit e i N 0 ud u i N ugerade. Wege 1 u i 2 gibt es Möglicheite für u i ud das Schubfachprizip liefert i j mit u i u j ud etwa e i e j. Es folgt a i e i u i e j u i a j. Für die Zahle + 1,..., 2 ist die Folgerug falsch. d Sei N ud a 1,..., a 2 +1 eie Folge vo verschiedee reelle Zahle. Da gibt es eie mooto fallede oder mooto steigede Teilfolge der Läge + 1: Wir defiiere [Erdös ud Szeeres folged] zwei Abbilduge f, g : {1,..., 2 + 1} N. Dabei sei fi bzw. gi die Läge der lägste steigede bzw. fallede Teilfolge, die bei a i edet bzw. begit. Wir führe eie Widerspruchsbeweis, ud ehme daher fi, gi {1,..., } 2 für alle i a. Das Schubfachprizip liefert us i < j mit fi, gi fj, gj. Damit öe wir eie der beide Folge verläger, ämlich, falls a i < a j, am Ede um a j, also fj > fi, oder, falls a i > a j, am Afag um a i, also gi > gj. Beides ist ei Widerspruch zu fi, gi fj, gj. Die y-koordiate der 17 Pute im Bild, sortiert vo lis ach rechts, ethalte mootoe Folge der Läge 5 wie viele?, aber ohe de zetrale Ausahmeput ist dies falsch. e Approximatiossatz vo Dirichlet: Für α R ud N existiere, l Z mit 0 < ud α l < 1/. [αz + Z/Z liegt dicht i R/Z] [Das Schubfachprizip wird auch oft als Dirichlet-Prizip bezeichet.] Aus dem Approximatiossatz folgt, dass es für irratioale α uedlich viele Brüche l/ gibt mit 0 < α l/ < 1/ 2 ; für ratioale α ist dies falsch. Beweis. Wir betrachte die + 1 Rudugsreste a i : iα iα [0, 1[ für i 0,...,. Nach dem Schubfachprizip 1.8 liege also i eiem der halboffee Itervalle [r/, r + 1/[ für r 0,..., 1 zwei Reste a i ud

8 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati a j mit i < j. Es folgt 1/ > a j a i j iα jα iα α l mit : j i ud l : jα iα Prizip der doppelte Abzählug. Sei M eie edliche Mege, ud seie P ud Q Partitioe vo M. Da liefert 1.6 folgede Zusammehag: X M Y. X P Y Q Häufig besteht M aus Paare, also M A B. Da hat ma M {a} B M M A {b}. a A b B 1.11 Beispiel. Bei eiem Treffe ist die Azahl der Persoe, die eier ugerade Azahl vo Leute die Häde schüttel, gerade: Für die Mege A der Persoe betrachte wir die Mege M der Paare a, b A 2 vo Persoe die Häde miteiader schüttel. Wir zähle M auf zwei Weise. Eierseits gilt für a, b M auch b, a M ud a b, also ist M 2h gerade, wobei h die Azahl der Hädeschütteluge ist. Adererseits folgt M a A a, wobei a : M {a} A die Azahl der Leute ist, die mit a die Häde schüttel. Also muss die Azahl der ugerade a gerade sei. 2 Biomialoeffiziete 2.1 Permutatioe ud Faultät. Für eie Mege M bezeichet Sym M die Mege aller Bijetioe vo M ach M, die sogeate symmetrische Gruppe auf M. Ihre Elemete werde Permutatioe geat. Für us ist die edliche symmetrische Gruppe S : Sym{1,..., } auf N 0 Ziffer iteressat. Ihre Mächtigeit S wird als Faultät vo, i Zeiche!, bezeichet. Ma überlegt sich leicht, dass die Reursiosgleichug! 1! gilt für N ud zeigt per Idutio! i0 i; beachte 0! 1. Für ei Elemet x eies ommutative Rigs ud N defiiere wir x : 1 i0 x i ud x : 1 i0 x + i sowie x 0 : x 0 : 1 steigede ud fallede Fatorielle. Die Produte x ud x bestehe also aus um 1 absteigede bzw. aufsteigede Fatore begied mit x. Mit dieser Notatio gilt! ud!/!. Erstaulicherweise lässt sich die Faultätsfutio auf R 0 fortsetze [sogar och weiter ud holomorph] durch die Defiitio F x : t x e t dt. Es gilt 0 F 0 F 1 1 ud F x xf x 1 partielle Itegratio. Durch Γx : F x 1 wird die Gammafutio defiiert.

9 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati Das Wachstumsverhalte vo! etspricht e mit aäherd ostatem relative Fehler. Geauer hat ma die folgede Abschätzug, die wir ohe Beweis mit Gammafutio agebe. 2.2 Satz. Für N ud a : 2π e gilt a! a e Die schwächere Abschätzug e e! e e lässt sich leicht per Idutio uter Beutzug vo 1 + x e x für x R zeige. 2.3 Korollar Stirlig-Formel. Es gilt lim! 1. 2π e 2.4 Defiitio. Für eie Mege M ud Z bezeiche wir mit M : {X M : X } die Mege aller -Teilmege vo M. Ist M N 0, so defiiere wir de Biomialoeffiziet zu ud durch : M. Der Biomialoeffiziet hägt icht vo M, soder ur vo M ab. Er gibt also die Azahl der -Teilmege jeder -Mege a. Daher gilt 0 1 für N0 ud 0 für < 0 ud >. Wir otiere grudlegede Eigeschafte vo Biomialoeffiziete: 2.5 Lemma. Für, l, N 0 gilt a , b, c 2, d e f 0 x+y 0 x y für Elemete x, y eies ommutative Rigs biomischer Lehrsatz, l l l l für l, !!!! für. Beweis. a Sei M eie + 1-Mege ud m M. Da ist M +1 eie disjute Vereiigug vo A : M\{m} +1 ud B : {X M +1 : m X}. Weil B M\{m}, X X \ {m} eie Bijetio ist, folgt + 1 M + 1 A + B

10 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati b Sei u M. Die Komplemetbildug X M \ X ist eie Bijetio vo M auf M. c folgt aus 1.5 ud 1.6, de { M : {0,..., } } ist eie Partitio der Potezmege 2 M. d folgt per Idutio aus a [oder diret über die Defiitio vo Biomialoeffiziete durch Ausmultipliziere des -fache Produtes]. e Wir zähle X : {A, B M l M : A B} auf zwei Weise gemäß 1.10: l l l X l eierseits wird zuerst A gewählt ud da durch eie l-teilmege vo M \ A zu B ergäzt, ud adererseits wird zuerst B gewählt ud dari eie l-teilmege gewählt. f Für l 1 gilt ach e die Gleichug 1 1, also 1 1 für N; die Gleichug folgt hieraus per Idutio. Die Reursiosformel 2.5a ist das Bildugsgesetz für das Pascal-Dreiec; dabei ist jeder Zahl die Summe der beide Zahle lis ud rechts darüber: Lemma 2.5b drüct die Spiegel-Symmetrie des Dreiecs aus. Mit 2.5f a ma leicht zeige, dass die Koeffiziete bis zur Mitte asteige ud da falle. Die Summe der Zahle i eier Diagoale siehe fett gedructe Zahle im Bild ist wieder ei Biomialoeffiziet, geauer gilt +l l0 +l l0 l ; dies zeigt ma leicht per Idutio. ++1 Vermutug vo Sigmaster: Jede Zahl ab 2 tritt im Pascal-Dreiec höchstes 10 Mal auf. Sigmaster hat 1975 bewiese, dass uedlich viele Zahle midestes 6 Mal

11 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati auftrete. Die Zahl tritt 8 Mal auf; häufigeres Auftrete ist icht beat Näherug vo Biomialoeffiziete. Für m N gilt 2 2m 2m 2 m < < 22m. m 2m Beweis. Wir betrachte P : 1 2m 2 2m m ud müsse 1 < 2 mp < 2 zeige. Es gilt P 2m! m 1 2 m m! m, ud daher sowie 22mP m 1 2 > 1 2m 22m }{{} 2m 12 2m 1 2 >1 1 2mP 2 < 2m + 1P m 12m m }{{ 2 < 1 } 2m2 1 2m 2 <1 Die Stirlig-Formel liefert etwas geauer 2m m lim m m 2 2m 1, π was zu 2 < π < 2 passt. Außerdem lässt sich mit Hilfe der Stirlig-Formel zeige, dass 2m m t / 2m m durch e t2 /m approximiert wird, d.h. die ormierte Biomialoeffiziete verhalte sich wie die Gaußsche Gloceurve. 2.7 Lemma Erdös-Szeeres Je zwei Zahle 1 i eier Zeile des Pascal-Dreiecs habe eie gemeisame Teiler > 1. Beweis. Für 0 < l < < gilt l l l l ach 2.5e, ud daher ist l ei Teiler vo l. Wege l < l habe also l ud eie gemeisame Teiler.

12 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati Ugeordete Summatioe ud Multimege. Auf wie viele Arte a ma 24 gleiche Stüce Schoolade a 5 Kider verteile? Allgemeier ist dies die Frage ach der Mächtigeit vo X, : {s 1, s 2,..., s N 0 : s 1 + s s } für, N 0. Wir otiere solche Summe durch Zeicheette gebildet aus de Symbole ud für Schoolade ud Treer. Die Summe wird etwa durch ud die Summe durch dargestellt. Die Elemete aus X, etspreche eideutig de Zeichefolge der Läge + 1 bestehed aus Eiheite ud 1 Tresymbole. Das bedeutet aber, sie etspreche de Teilmege i {1,...,+ 1} 1 ; dabei gibt eie Teilmege a, a welche Stelle i der Zeicheette das Symbol steht. Also gilt X, Für die Ausgagsfrage gibt es also Möglicheite. Wir gebe och eie adere Iterpretatio vo X,. Sei A eie Mege. Da heißt eie Abbildug M : A N 0 Multimege über A, die Werte Ma heiße Häufigeite oder Gewichte vo a, ud M : a A Ma wird als Gesamtgewicht oder Mächtigeit vo M bezeichet. Da gibt X, die Azahl der Multimege über eier -Mege mit Ge- 1 samtgewicht a. [I userem Beispiel habe wir also eie Multimege vo Kider, ud die Häufigeit jedes Kides gibt a, wie viel Stüce Schoolade es erhält.] Jetzt wolle wir etwas gerechter sei ud jedem Kid midestes ei Stüc Schoolade zuomme lasse, wir suche also {s 1, s 2,..., s N : s 1 +s 2 + +s }. Dies führt zu Zeicheette, die icht ethalte ud bei dee icht am Afag oder Ede steht, d.h. hiter jedem der erste 1 Symbole a jeweils höchstes eier der 1 Treer stehe; dies bedeutet das Doppelzeiche ergibt sich 1 1 ud für das Beispiel 23 4 muss 1-mal auf 1 Stelle verteilt werde. Als Azahl Wege im Gitter. Viele Formel für Biomialoeffiziete lasse sich auch über Wege i Gitter beweise. Ei ürzester Weg i eiem Gitter der Größe m vo 0, 0 ach m, besteht aus m + Schritte, ämlich m Schritte ach rechts ud Schritte ach obe. m, 0, 0 Jeder Weg ist eideutig festgelegt durch die Schritte ach obe oder durch die Schritte ach rechts. Daher gilt m+ m m+, siehe 2.5b. Jeder dieser Wege läuft etweder durch de Put m, 1 oder durch m 1,. Daher gilt +m +m m 1 für die Azahl solcher Wege, siehe 2.5a.

13 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati Satz Vadermode-Idetität. Für, m, N 0 gilt + m l0 m l l ud isbesodere 2 l0 2. l 1. Beweis. Seie N ud M disjute Mege mit N ud M m. Die Mege S l : {A B : A N l, B M l } für l 0,..., bilde eie Partitio vo N M. Also folgt +m l0 S l m l0 l l ach 1.6 ud Beweis. Nach 2.9 ist +m die Azahl der ürzeste Wege im Gitter vo 0, 0 ach + m,. Jeder der Wege verläuft durch geau eie der Pute l, l mit 0 l wie im Bild [auch für l > ]., + m, 0, 0, 0 Es gibt geau l ürzeste Wege vo 0, 0 ach l, l, ud vo l, l ach + m, geau +m l+ l l m l Polyommethode. Häufig lasse sich für atürliche Zahle defiierte Futioe auf allgemeiere Zahlbereiche ausdehe. Für ei Elemet z eies ommutative Riges, der Q ethält also etwa Q, R, C oder C[x], defiiere wir i Verallgemeierug vo 2.5f z : z! zz 1 z + 1! für N 0. Isbesodere ist x z.b. ei Polyom i Q[x]. Für alle N0 gilt die Idetität z + 1 z z z.b. für alle omplexe Zahle z, de f : x+1 +1 x x +1 ist ei Polyom vom Grad höchstes + 1 i Q[x] mit de uedlich viele Nullstelle N wege 2.5a; ud daher folgt f 0, weil ei solches Polyom sost höchstes +1 Nullstelle hätte. Etspreched gilt z.b. auch die Vadermode-Idetität für omplexe Zahle. Diret aus der Defiitio folgt z 1 z + 1.

14 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati Jedes Polyom x Q[x] hat a jeder Stelle x Z eie gazzahlige Wert Defiitio 2.4 ud Formel für. Hier ist eie Umehrug: 2.12 Satz Pólya. Erfüllt ei Polyom f Q[x] die Bedigug fn 0 Z, so ist f eie gazzahlige Liearombiatio vo Polyome x mit N0. Beweis. Die Polyome x bilde eie Basis des Q-Vetorraums Q[x] wege grad x. Daher existiere a Q ud m N mit f m 0 a x. Wege 0 für N gilt a0 f0 Z. Wir führe Idutio über ud ehme 0 a a 0, a 1,..., a Z. Da folgt Z f + 1 a + a }{{}}{{} 1 Z m a, }{{} 0 also a +1 Z.

15 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati Differeziere. Aus Polyomidetitäte wie obe lasse sich durch formales Differeziere eue Idetitäte gewie: Z.B. erhält ma aus 2.5d für y 1 die Gleichug 1 + x 0 x. Differeziere liefert 1 + x 1 1 x 1 ud 11+x x 2 usw. usw. Durch Eisetze vo x 1 erhält ma Biomische Reihe. Für r R ud x C mit x < 1 gilt 1 + x r 0 r x. Beweisidee. Ma differeziert die rechte Seite Rx ud stellt fest, dass sie der Differetialgleichug rrx 1 + xr x geügt; siehe Köhler, Aalysis, Helderma-Verlag 2006, Satz 16.3.

16 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati Wir otiere eiige Spezialfälle: 1 x 1 x x 0 x x + 1 x 0 geometrische Reihe 1 2 x x 1 8 x2 Für N 0 erhalte wir ! ! ! 2! 2! Dabei besteht der letzte Fator aus de sogeate Catala-Zahle C : N 0, die us später och wieder begege werde. Ma a zeige, dass C die Azahl der Zeicheette der Läge 2 gebildet aus de Klammerzeiche ud mit orreter Klammerug ist, siehe Übugsaufgabe Multiomialoeffiziete. Sei t N 0 ud M eie -Mege, ud seie 1, 2,..., t Z. Wir setze { M : A 1, A 2,..., A t : {A } 1, A 2,..., A t } ist Partitio vo M 1, 2,..., t ud für i 1, 2,..., t gilt A i i ud ee die Mächtigeite : 1, 2,..., t M 1, 2,..., t Multiomialoeffiziete [Achtug: Es werde geordete Partitioe gezählt, ud die Partitioe dürfe ethalte].

17 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati Jede Teilmege A vo M defiiert die Partitio {A, M \ A}, also 1, 2 1, für Allgemeier gilt t... 1, 2,..., t t! 1! 2! t!, falls 1, 2,..., t N 0 mit t, ud sost 1, 2,..., t 0. Per Idutio zeigt ma aus dem Biomische Lehrsatz de multiomische Lehrsatz: I ommutative Rige gilt x 1 + x x t x 1 1 1, 2,..., x2 2 xt t. t 1, 2,..., t N 0 Die Multiomialoeffiziete 1, 2,..., t gebe auch die Azahl der Wege i eiem t-dimesioale Gitter vo 0, 0,..., 0 ach 1, 2,..., t a, sowie die Azahl der Zeichefolge mit t Buchstabe, die jeweils geau i -mal für i 1,..., t voromme; vergleiche 2.9 ud 2.8. Wie viele verschiedee Wörter a ma aus dem Wort MISSISSIPPI durch Umorde der Buchstabe bilde? Atwort: 11 11! , 4, 4, 2 1! 4! 4! 2! 3 Abbilduge ud Auswahle 3.1 Defiitio. Für Mege A ud B sei B A {f f : A B} {b a a A : b a B} die Mege aller Abbilduge vo A ach B. Wir habe B { } ud B N ist die Mege aller Folge i B. 3.2 Satz. Für edliche Mege A ud B gilt B A B A. Beweis. Falls a A existiert, habe wir die Bijetio B A B A\{a} B : f f A\{a}, fa. Daher folgt für A < die Behauptug per Idutio wege B A B A\{a} B B A 1 B B A. Aus Abschitt 1 wiederhole wir:

18 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati Satz. Seie A ud B edliche Mege ud f : A B eie Abbildug. a Ist f ijetiv, so gilt A B ud A B f bijetiv. b Ist f surjetiv, so gilt A B ud A B f bijetiv. c Ist A B ud f ijetiv oder surjetiv, so ist f bijetiv. Awedug: 3.4 Satz. Für die Azahl π aller Primzahle i {1,..., } gilt π l l 4 für alle N, isbesodere gibt es uedlich viele Primzahle. Beweis Erdös. Jedes a {1,..., } lässt sich eideutig i der Form a b 2 c schreibe mit b, c N ud c ei Produt vo verschiedee Primzahle. Für b gibt es höchstes Möglicheite, ud für c höchstes 2 π Möglicheite. Weil die Abbildug a b, c ijetiv ist, liefer 1.7 ud 3.3a die Ugleichug 2 π, also 4 π, also l π l Satz. Sid A ud B edliche Mege, da gibt es geau B A B B B 1 B A + 1 A! A ijetive Abbilduge vo A i B. Isbesodere gilt Sym A A A A!, ud dies ist auch die Azahl der lieare Ordugsrelatioe auf der Mege A. Beweis. Das zweite Gleichheitszeiche folgt aus 2.5f, ud die Behauptug ist trivial für B < A. Aderfalls gibt es zu jeder A -Teilmege X vo B eie Bijetio f 0 : A X ud alle Bijetioe vo A ach X erhält ma eideutig als g f 0 für g Sym X. Wege Sym X X! A! folgt die Behauptug.

19 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati Auswahle. Auf wie viele Arte a ma Elemete aus eier -Mege auswähle? Ma muss präzisiere, ob die Reihefolge berücsichtigt wird, ud ob wiederholte Auswahle erlaubt sid, d.h. ob sogeates Ziehe mit Zurüclege vorliegt. Azahl Auswahle aus mathematisches Objet ohe Zurüclege mit Zurüclege Reihefolge wichtig ijetive Abbilduge Abbilduge Reihefolge egal -Teilmege + 1 Multimege 2-Zeichefolge 3.7 Beispiel. Wir zähle ormierte Polyome vom Grad d über eiem edliche Körper K mit q Elemete, die i Liearfatore zerfalle. Die Liearfatore sid vo der Form x a für a K. Wir müsse also d Liearfatore aus q mögliche mit Zurüclege ud ohe Berücsichtigug der Reihefolge Kommutativität vo K auswähle. Es geht also um Multimege über eier q-mege mit Gesamtgewicht d, also gibt es q+d 1 d solche Polyome ud daher q 2 q+1 2 q 2 > 0 viele ormierte irreduzible Polyome vom Grad Abzählbare Wahrscheilicheitsräume. Ei abzählbarer Wahrscheilicheitsraum ist eie abzählbare ichtleere Mege S zusamme mit eier Wahrscheilicheitsverteilug P : 2 S R 0 defiiert auf der Potezmege 2 S vo S mit P S 1 ud P A P A N N für jede Folge A paarweise disjuter Teilmege vo S [beachte absolute Kovergez ud Vertauschbareit]. Die Teilmege vo S heiße Ereigisse ud die Elemete vo S Elemetarereigisse. Die Wahrscheilicheitsfutio P ist bestimmt durch ihre Werte auf de Elemetarereigisse, de P A P a A {a} a A P {a} für A S. Ma überlegt sich leicht, dass 0 P A 1 ud P S \ A 1 P A für alle A S gilt, ud damit P 1 P S 0. Gilt P {s} P {t} für alle s, t S, so heißt P Gleichverteilug oder Laplace-Verteilug auf S. Für s S folgt da 1 t S P {t} S P {s} ud somit P A a A P {a} A / S ; isbesodere ist S edlich. 3.9 Beispiele. a Durch de Wahrscheilicheitsraum S {1,..., 6} mit der Gleichverteilug wird das Würfel eies Spielwürfels modelliert. Die Ereigisse Z {2, 4, 6} eie durch zwei teilbare Zahl zu würfel ud D {3, 6} eie durch drei teilbare Zahl zu würfel sid uabhägig, de P Z D P {6} P ZP D.

20 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati b Zweimaliges Würfel modelliert ma durch S {1,..., 6} 2 ud das Ereigis Augesumme ist 4 wird durch A {1, 3, 2, 2, 3, 1} beschriebe; seie Wahrscheilicheit ist A S , ud es liegt Gleichverteilug c Beim Lotto 6 aus 49 ist S {1,...,49} 6 vor mit eier Wahrscheilicheit vo 1 zu S Das Ereigis j ist eie der 6 gezogee Zahle ist gegebe durch A j { {j} B : B {1,...,49}\{j} 5 0,1224. } ud hat daher die Wahrscheilicheit A j S d Das -fache Werfe eier gezite Müze wird beschriebe durch S {0, 1} ud P {s} p e 1 p e für festes p [0, 1], wobei e : i1 s i die Azahl der 1-e i s s 1, s 2,..., s ist.

21 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati Hier liegt ur für p 1/2 Gleichverteilug, also eie ugezite Müze, vor. We Sie der Müze Ihres Gegespielers misstraue, lasse Sie ih zweimal werfe, ud werte Sie 0, 1 als Kopf ud 1, 0 als Zahl, ud bei de Ausgäge 0, 0 oder 1, 1 lasse Sie die zwei Würfe wiederhole. Es liegt da eie Gleichverteilug vor, de P {0, 1} p1 p P {1, 0}. [Dieser Tric wird zur Verbesserug vo physialische Zufallszahlegeeratore beutzt.] 3.10 Erwartugswert ud Variaz. Sei S, P ei edlicher Wahrscheilicheitsraum [für S abzählbar uedlich müsste wir ute immer die Existez der Reihe voraussetze]. Eie Abbildug X : S R heißt Zufallsvariable. Wir bezeiche mit EX : s S XsP {w} de Erwartugswert oder Durchschitt vo X ud mit V X : EX EX 2 die Variaz oder Streuug vo X. Die Abbildug E ist R-liear, daher gilt V X EX 2 EX 2, de V X EX 2 2XEX + EX 2 EX 2 2EX 2 + EX Beispiele. a Sei X die Augezahl beim Würfel. Da gilt EX i1 i ud V X i1 i ,92. b Sei S : S Sym{1,..., } für N ud Xs die Azahl der Fixpute vo s S. Zur Berechug vo EX ud V X betrachte wir die Zufallsvariable X i : S {0, 1} mit { 0 falls si i X i s 1 falls si i für s S ud i 1,...,. Es gilt EX i 1!! 1 Weiter gilt EX E X i i1 2 EX 2 E X i i1 i1 EX i X j i,j1 ud daher EX i 1 1. ud Xi 2 X i, also EXi 2 EX i 1. Für i j ist i1 EX 2 i + 2 i<j EX i X j EX i X j 1 {s S : si i ud sj j} 2! 1!! 1

22 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati ud zusamme für 2 EX also , V X EX 2 EX Permutatioe habe also im Durchschitt eie Fixput, oder ma sagt auch 1 ± 1 viele Fixpute.

23 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati VI Übugsaufgabe 1.1 Aufgabe. Beweise Sie die folgede Aussage: Für, m N 0 existiert geau da eie Bijetio f : {1,..., } {1,..., m}, we m gilt. 1.2 Aufgabe. Die folgede Figur ist aus zwei Quadrate ud vier gleichseite Dreiece mit gleicher Seiteläge zusammegesetzt. Fide Sie eie Zerlegug i 7 ogruete Teile das sid bis auf Verschiebuge, Drehuge oder Spiegeluge gleiche Teile. 1.3 Aufgabe. Zwei Spieler spiele folgedes Spiel. Als Vorbereitug werde sechs Pute auf ei Blatt Papier gezeichet, so dass eie drei auf eier Gerade liege. Jeder Spieler hat eie Farbe, ud die Spieler zeiche abwechseld eie Strece mit ihrer Farbe zwische zwei och icht verbudee Pute. Verlore hat, wer zuerst ei Dreiec omplett i seier Farbe fertig stelle muss. Zeige Sie, dass ei Uetschiede icht möglich ist. 1.4 Aufgabe. Zeige Sie, dass eie Mege M geau da edlich ist, we es eie Abbildug f : M M gibt, so dass für jede Teilmege X M die Ilusio fx X ur für die offesichtliche Fälle X oder X M gilt. 2.1 Aufgabe. Zeige Sie, dass eie edliche ichtleere Mege geauso viele Teilmege gerader wie ugerader Läge hat. 2.2 Aufgabe. Edlich viele Persoe begrüße sich mit eiem Hadschlag. Zeige Sie, dass es zu jedem Zeitput zwei Persoe gibt, die der gleiche Azahl vo Leute die Häde geschüttelt habe. 2.3 Aufgabe. Sei N, ud seie a 1, a 2,..., a Z. Zeige Sie, dass es eie ichtleere Teilmege I {1,..., } gibt, so dass die Summe i I a i durch teilbar ist. 2.4 Aufgabe. I der Ebee sei ei regelmäßiges -Ec gegebe, 3. Dabei seie R viele Ece rot ud B viele Ece blau, so dass R + B gilt. Eie Kate sei rot, we sie zwische zwei rote Pute liegt ud blau, we sie zwische zwei blaue Pute liegt. Kate, die zwische zwei Pute verschiedeer Farbe liege, seie farblos. Sei r die Azahl der rote ud b die Azahl der blaue Kate. Zeige Sie, dass R B r b gilt.

24 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati Aufgabe. Das Letzte Lexio zählt i alphabetischer lexiographischer Reihefolge alle Wörter auf, welche jede der 26 Grossbuchstabe geau eimal ethalte; es begit demach mit dem Wort ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ ud es edet mit dem Wort ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA. a Wie lautet das letzte Wort der erste Hälfte des Letzte Lexios? b Welches Wort folgt umittelbar auf de Eitrag JMZORTXLBPSYWVINGDUEQKHFCA? 3.2 Aufgabe. Erläre Sie wie folgeder Tric mathematisch futioiert: Die Zauberi beutzt ei frazösisches Blatt mit 52 Karte also mit 13 Kartewerte i jeweils 4 Farbe ud fordert eie beliebige Perso im Publium auf, aus dem Blatt 5 Karte zufällig zu etehme ud sie verdect ihrem Assistete zu gebe. Dieser wählt ach Ispetio eie Karte aus ud gibt sie verdect is Publium zurüc. Die übrige 4 Karte dect er acheiader auf ud die Zauberi et daraufhi Farbe ud Kartewert der Karte, die is Publium zurüc gig. Dabei tausche die Zauberi ud ihr Assistet eie weitere Iformatioe aus. Tipp: Es ist hilfreich, a das Schubfachprizip ud Permutatioe vo drei Elemete zu dee. 3.3 Aufgabe. Zeige Sie, dass das Produt vo aufeiader folgede gaze Zahle durch! teilbar ist. 3.4 Aufgabe. Bestimme Sie für, N die Azahl alle -Teilmege vo {1,..., }, dere verschiedee Elemete midestes de Abstad 3 habe. 4.1 Aufgabe. Zeige Sie, dass eie atürliche Zahl N geau da eie Primzahl ist, we alle Biomialoeffiziete mit 1 1 durch teilbar sid. 4.2 Aufgabe. Sei M eie edliche -Mege. Fide Sie eie möglichst eifache Ausdruc ohe Summezeiche für a die Azahl der Paare A, B 2 M 2 M mit A B ; b die Azahl der Teilmege A vo M mit A 0 mod 4. Tipp: Setze Sie i der biomische Formel x für x geeigete omplexe Zahle ei. 4.3 Aufgabe. Für N 0 defiiere wir die -te Catala-Zahl durch C : a Zeige Sie, dass C die Azahl der Zeicheette der Läge 2 bestehed aus de Zeiche ud mit orreter Klammerug ist; diese Zeicheette habe also öffede ud schließede Klammer, ud jedes Afagsstüc ethält höchstes so viele schließede wie öffede Klammer.

25 Vorlesug Eiführug i die Disrete Mathemati b Leite Sie die Reursiosgleichug C +1 0 C C für N 0 her. 4.4 Aufgabe. Siebe Geometer ud füf Algebraier solle auf eier Koferez i eier Reihe mit zwölf Plätze sitze. Wie viele Möglicheite gibt es, die Sitzplätze so zu verteile, dass ei Algebraier ebe eiem adere Algebraier sitzt? Wie viele Möglicheite der Sitzverteilug gibt es, so dass ei Geometer ebe eiem adere Geometer sitzt?

26 28 Idex Abbilduge ijetive, 21 abzählbarer Wahrscheilicheitsraum, 21 Abzählug, 6 Approximatiossatz vo Dirichlet, 9 Biomialoeffiziet, 11 biomischer Lehrsatz, 11 Catala-Zahle, 18 Dirichlet-Prizip, 9 doppelte Abzählug, 10 Elemetarereigisse, 21 edlich, 6 Ereigisse, 21 uabhägig, 21 Erwartugswert, 23 Fatorielle fallede, 10 steigede, 10 Faultät, 10 fallede Fatorielle, 10 Gammafutio, 10 geometrische Reihe, 18 Gesamtgewicht, 14 Gewicht, 14 gleichmächtig, 7 Gleichverteilug, 21 Größe, 6 -Mege, 6 Multimege, 14, 21 Multiomialoeffiziete, 18 multiomischer Lehrsatz, 19 Partitio, 8 Pascal-Dreiec, 12 Permutatioe, 10 Polyommethode, 15 Potezmege, 6 Prizip der doppelte Abzählug, 10 Schubfachprizip, 8 S, 10 steigede Fatorielle, 10 Stirligs Formel, 11 Sym M, 10 Symmetrische Gruppe, 10 uabhägige Ereigisse, 21 Vadermode-Idetität, 15 Variaz, 23 Wahrscheilicheitsraum abzählbarer, 21 Wahrscheilicheitsverteilug, 21 Zufallsvariable, 23 Häufigeit, 14 ijetive Abbilduge, 21 Läge, 6 Laplace-Verteilug, 21 Lehrsatz biomischer, 11 multiomischer, 19 Mächtigeit, 6, 14