Zeit- und Volatilitätsstruktur von Zinssätzen. Modellierung, Implementierung, Kalibrierung

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1 Zei- und Volailiärukur von Zinäzen Modellierung, Implemenierung, Kalibrierung Dieraion zur Erlangung de wienchaflichen Dokorgrade de Fachbereich Wirchafwienchafen der Univeriä Göingen vorgeleg von Lyudmil Zyapkov au Plovdiv, Bulgarien Göingen 7 I

2 Zuammenfaung Die vorliegende Dieraion folg der Enwicklung der Zinrukurmodellierung ei den Anfängen in den päen 7ern de vorigen Jahrhunder bi hin zu den heuigen mulifakoriellen, währungübergreifenden Libor-Markmodellen mi ochaicher Volailiä. Der Aufbau der Arbei orienier ich an der vorgenommenen Klaifizierung in die Gaung der klaichen Zinrukurmodelle, die da Gleichgewichmodell von Vaicek und da arbiragefreie Modell von Hull/Whie al encheidende Enwicklungufen hervorheb, und in die modernen Anäze der markkonformen Modellierungechnik, deren namhafee Beipiele der Heah/Jarrow/Moron-Modellrahmen (HJM) und da Libor-Markmodell (LMM) ind. Ungeache der Herleiung einer allgemeinen pariellen Differenialgleichung für beliebige Payoff-Funkionen, die weenlich für die Bewerung von Zinderivaen i, werden die klaichen Zinrukurerklärunganäze uner Abrakion von dieer echnik grundlegend umgeale, indem ie in die Guform der Maringal-Preiheorie hineinmodellier werden. In einem weiergehenden Schri wird ein Opionpreimodell mi funkionaler Abhängigkei der Volailiä vom Zinaz enwickel. De Weieren wird die Äquivalenz de HJM-Konruk und de Hull/Whie-Zinmodell für eine pezifiche Volailiäfunkion nachgewieen und argumenier, da der moderne Anaz keine univerale, in ich gechloene Konrukion definier, ondern lediglich ein flexiblere Parameriierungvokabular zur Charakeriierung der Merkmale eine au der Vielfal von Modellierungmehoden augewählen, klaichen Zinrukurmodell darell. Im zweien eil der Arbei wird da LMM mi deerminiicher Volailiärukur implemenier und uner dem Apek der perfeken Reprodukion der markbeobachbaren Black-Volailiäen und der Implikaionen für den benachbaren Swapionmark kalibrier. Au dem Veruch, eine imulane Kalibrierung owohl an Caple al auch an Swapion zu erzwingen, reulier die Feellung einer evenuellen Inkongruenz zwichen den beiden Märken. Im abchließenden eil der Dieraion wird auf die Enwicklung eine Cro Currency LMM mi ochaicher Volailiä hingewieen, da durch eine Parameriierung den Skew (da Vanna-Riiko) und den Smile (da Volga-Riiko) der implizien Volailiäruur euern kann. II

3 Abrac he hei race he modelling developmen of he erm rucure of inere rae from he beginning in he early evenie of he la cenury up o he mulifacorial crocurrency ochaic volailiy Libor Marke Model in modern ime. We follow he general claificaion in radiional approache, which emphaie he equilibrium model by Vaicek and he no arbirage model by Hull/Whie (HW) a crucial cornerone of inere rae modelling, and in modern marke approache, of which he mo prominen example include he Heah/Jarrow/Moron (HJM) framework and he Libor Marke Model (LMM). In pie of deriving a general parial differenial equaion (PDE) for arbirary payoff, he hei ca he radiional model in he mould of he maringale pricing heory and eer clear from he applicaion of PDE echnique. Furhermore, an opion pricing model baed on a funcional dependence of he volailiy rucure on he inere rae i developed. he equivalence beween he HJM family and he HW i hown for a pecific volailiy funcion and i i argued ha he modern approach define no univeral, elf-conained modelling echnique. he modern approach raher provide a more flexible vocabulary o decribe he characeriic of an already exiing radiional model. he econd par of he hei implemen he LMM baed on a deerminiic volailiy funcion and age a full-blown calibraion procedure under he apec of perfec reproducion of he marke obervable Black volailiie and he implicaion for he neighbouring wapion marke. he reul from he aemp a a imulaneou calibraion o boh caple and wapion a he ame ime indicae he poible lack of congruence beween boh marke. he concluding chaper of he hei i concerned wih ochaic volailiy model. I propoe a cro-currency LMM baed on a eparae variance proce for he exchange rae. he model i capable of conrolling he kew (vanna rik) and he mile (volga rik) of he implied volaily urface. In addiion, uggeion are made how o exend he model in order o incorporae a much marke informaion a poible. III

4 Inhalüberich Abbildungverzeichni...IX Abkürzungverzeichni...X Einleiung... Meileneine in der Evoluion der Zinrukurmodelle und Aublick auf die Zukunf... Srukur der Forchungarbei...7 Der klaiche Anaz zur Modellierung der Zinrukurkurve...9 Die hioriche Enwicklung der Zinrukurmodelle im Konex der markkonienen Bewerung von Zinderivaen...9 Die fundamenale Gleichung zur Beimmung der Zinrukur... 3 Da Zinmodell von Vaicek mi zeiunabhängiger Volailiärukur und konaner mean-revering Driffunkion... 4 Arbiragefreie Modellierung der Zinrukur und modellinhärene Konienz der zu kalibrierenden Parameer mi Markpreien Opionpreimodell mi funkionaler Abhängigkei der Volailiä vom Zinaz Zur auglichkei, Relevanz und zu den Grenzen der Shor Rae-baieren Zinrukurmodelle Der moderne Anaz zur Modellierung der Zinrukur und Bewerung von komplexen Libor-Inrumenen Einführung Die Auichloigkei einer effekiven Kalibrierungprozedur im Rahmen de erweieren Shor Rae-Zinmodell mi zuandabhängiger Volailiärukur al Grund für den Übergang zur Modellierung der geamen Zinrukur im Gegenaz zur Gealung der Dynamik der inananen Spo Rae Der allgemeine Heah-Jarrow-Moron Modellrahmen zur Enwicklung der ganzheilichen Zinrukurdynamik Da Libor-Markmodell. Zeikoninuierliche Dekripion der linearer Zinberechnungkonvenion unerliegenden Forward Rae an dikreen, preieniiven Süzellen auf der Zinrukurkurve...77 IV

5 4 Weierenwicklungen und zukünfige Forchungarbei...5 Anlagenverzeichni...6 Lieraurverzeichni...5 V

6 Inhalverzeichni Abbildungverzeichni...IX Abkürzungverzeichni...X Einleiung... Meileneine in der Evoluion der Zinrukurmodelle und Aublick auf die Zukunf... Srukur der Forchungarbei...7 Der klaiche Anaz zur Modellierung der Zinrukurkurve...9 Die hioriche Enwicklung der Zinrukurmodelle im Konex der markkonienen Bewerung von Zinderivaen...9 Die fundamenale Gleichung zur Beimmung der Zinrukur... Einführung und Frageellung... Herleiung der PDE mi Hilfe eine riikoloen Porfolio au zwei Zerobond... 3 Die fundamenale PDE für beliebige Payoff-Funkionen im Lich der Diffuionheorie Da Zinmodell von Vaicek mi zeiunabhängiger Volailiärukur und konaner mean-revering Driffunkion... 4 Arbiragefreie Modellierung der Zinrukur und modellinhärene Konienz der zu kalibrierenden Parameer mi Markpreien Die Dynamik der Shor Rae und de Bondpreie Die Opion auf den Bond Bewerung in der riikoneuralen Wel Bewerung uner dem Forward-Wahrcheinlichkeimaß Kalibrierung der Modellparameer an Markdaen Opionpreimodell mi funkionaler Abhängigkei der Volailiä vom Zinaz Die Shor Rae im Rahmen de erweieren Zinmodell Die Dynamik de Bondpreie Die Opion auf den Bond mi ochaicher inananer Volailiä Analyiche Beimmung der raniion Deniy Der PDE-Anaz...5 VI

7 54 Der numeriche Anaz miel einer Runge-Kua-ähnlichen Approximaion der Porfoliovarianz Zur auglichkei, Relevanz und zu den Grenzen der Shor Rae-baieren Zinrukurmodelle Der moderne Anaz zur Modellierung der Zinrukur und Bewerung von komplexen Libor-Inrumenen Einführung Die Auichloigkei einer effekiven Kalibrierungprozedur im Rahmen de erweieren Shor Rae-Zinmodell mi zuandabhängiger Volailiärukur al Grund für den Übergang zur Modellierung der geamen Zinrukur im Gegenaz zur Gealung der Dynamik der inananen Spo Rae Der allgemeine Heah-Jarrow-Moron Modellrahmen zur Enwicklung der ganzheilichen Zinrukurdynamik Die eparierbare funkionelle Form der inananen Volailiärukur Die Verbindung zwichen dem Forward Rae-baieren HJM-Konruk und dem Hull/Whie-Shor Rae-Zinmodell Da Libor-Markmodell. Zeikoninuierliche Dekripion der linearer Zinberechnungkonvenion unerliegenden Forward Rae an dikreen, preieniiven Süzellen auf der Zinrukurkurve Die Genei der markkonformen Modellierungechnik Da Grundgerü de Libor-Markmodell in einer mulifakoriellen Konrukionumgebung Drei äquivalene Dekripionen der Forward Rae-Dynamik Die Spezifizierung der arbiragefreien Driffunkion uner dem erminalen Forward-Wahrcheinlichkeimaß Die Approximaion der Driffunkion Überblickarige Darellung exiierender Approximaionverfahren Sochaiche Drifapproximaion mi Hilfe der Brownchen Brücke Die generellen Inpufakoren für da Grundgerü de Libor-Markmodell Die Konrukion der inananen Volailiäfunkion Die Spezifikaion der inananen Korrelaionfunkion...98 VII

8 345 Die Kalibrierung der modellheoreichen Inpufunkionen an markbeobachbare Srukuren Da Fiing der inananen Volailiäfunkion 345 Da Fiing der inananen Korrelaionfunkion. Opimale Verfahren zur bemöglichen Reprodukion der exogenen Markkorrelaionmarix 346 Die Kongruenz zwichen Caple- und Swapionmärken Die Implikaionen einer Forward Rae-baieren Modellimplemenierung und -kalibrierung für die Swap Rae- Kovarianzmarix Join-Kalibrierung an Caple- und Swapionmärke 4 Weierenwicklungen und zukünfige Forchungarbei...5 Anlagenverzeichni...6 Lieraurverzeichni...5 VIII

9 Abbildungverzeichni Abb. 4- Die Volailiä der Forward Rae al Funkion der Relaufzei...73 Abb. 4- Die Forward Rae al Funkion der Laufzei...93 Abb. 4-3 Die inanane Korrelaionfunkion baierend auf einer Zwei- bzw. Drei-Fakoren-Implemenierung...4 Abb. 4-4 Die inanane Korrelaionfunkion baierend auf einer Vier-Fakoren- Implemenierung...4 Abb. 4-5 Die inanane Korrelaionfunkion baierend auf einer Vier-Fakoren- Implemenierung mi variablen Gewichungfakoren...5 Abb. 4-6 Forward Rae- und implizie Swap Rae-Modellkorrelaionfunkionen in einem Fünf-Fakoren-Seing... Abb. 4-7 Forward Rae- und implizie Swap Rae-Modellkorrelaionfunkionen in einem Drei-Fakoren-Seing... Abb. 4-8 Forward Rae- und Swap Rae-Modellkorrelaionfunkionen in einem Drei-Fakoren-Seing bei imulaner geringfügig übergewichiger Kalibrierung, w_cap=.59, an Caple- al an Swapionmärke... Abb. 4-9 Forward Rae- und Swap Rae-Modellkorrelaionfunkionen in einem Fünf-Fakoren-Seing bei imulaner gleichgewichiger Kalibrierung, w_cap=.5, an Caple- und Swapionmärke...4 Abb. A- Die Approximaion der Shor Rae-Volailiä al Fourierreihe mi einer begrenzen Anzahl von Frequenzen...49 IX

10 Abkürzungverzeichni a.. almo urely CAPM Capial Ae Pricing Model CCLMM Cro-Currency Libor Marke Model CEV Conan Elaiciy of Variance CBOE Chicago Board Opion Exchange CF Characeriic Funcion CIR SRP Cox/Ingerol/Ro Square Roo Proce e al. e aleri, e alii FF Fa Fourier ranformaion FRA Forward Rae Agreemen F Fourier ranformaion HJM Heah-Jarrow-Moron i. d. R. in der Regel IF Invere Fourier ranformaion KBE Kolmogorov Backward Equaion KFE Kolmogorov Forward Equaion M Markindex MGF Momen Generaing Funcion LMM Libor Marke Model LSA Lea-Square Approach ODE Ordinary Differenial Equaion OP Opion Pricing heory PDE Parial Differenial Equaion RND Radon-Nikodym-Derivaive SDE Sochaic Differenial Equaion SML Securiy Marke Line D raniion Deniy X

11 Einleiung Meileneine in der Evoluion der Zinrukurmodelle und Aublick auf die Zukunf Sei dem zögerlichen Anfang in den päen 7ern de vorigen Jahrhunder ha die Enwicklung der Zinrukurmodelle einen immenen Forchri erfahren. Die Einzelchri-Bechreibung jeder innovaiven Änderung von Anbeginn bi zum akuellen Sau der Modellierung würde den Rahmen diee einführenden Abchni prengen. In Anberach der mäandrichen Roue, die da Engineering von Zinderivaen bilang zurückgeleg ha, gil e adeen, die wichigen hemen im übergeordneen Konex der forwährend evolvierenden heoreichen Konzepionen auf der langen Reie von Vaicek gleichgewichiger Charakeriierung einer Anammlung von Zinrukurkurven, die lediglich einer parallelen Verchiebung unerlagen, bi hin zu den heuigen mulifakoriellen, währungübergreifenden Sochaic Volailiy Jump-Diffuion Libor-Markmodellen mi ochaicher Sprungineniä, die jegliche denkbaren Formen der implizien Volailiärukur reproduzieren können, zu akzenuieren. roz ihrer cheinbaren Simpliziä waren die Modelle der eren Generaion in gewier Hinich ehr ophiizier, da ie beim Pricing von Derivaen den ambiionieren Veruch unernahmen, die reale Wel der Zinproduke in ihrer Geamhei zuammen mi der Riikoaverion de Inveor zu bechreiben. Die Kernidee der Bewerung miel perfeker Duplikaion und der riikoneuralen Preiheorie noch in ihrem frühen Kindealer, war die zenrale Erkennni, da derivaive Inrumene - charakeriier durch ihr eigene äquivalene Maringalmaß - eine pezielle eilwel bilden. Diee Konzep war noch nich fe in der Denkweie de Produkrukurierer verwurzel. Folglich dränge ich da reelle, objekive Wahrcheinlichkeimaß al naürlicher Sarpunk der Modellierung auf, wobei die Bemühung der Forcher in dieem epochalen Sadium der Erklärung der wirklichen Wel (irgendwo da draußen) gal, ana nur einer kleinen, der bewerungrelevanen Porion von ihr - eine Siypho-Arbei. Au dieem Grund - und nich bloß au einer Laune herau - nimm ich ein bedeuender eil de Kapiel der Aufgabe an, die ere Generaion der Zinrukurerklärunganäze grundlegend umzugealen, indem ie in die Guform der Maringal-Preiheorie hineinmodellier werden. Die anhalende Vorellung, da Modelle zur Zinrukur von Naur au unvollkommen, annähernd und manchmal ogar ehr grob approximaiv ind, genieß nach wie vor breie Akzepanz. Allerding war auf dieer eren Enwicklungufe der Maßab, an-

12 hand deen die Güe eine Modell gemeen wurde, nich die Fähigkei, gewie Eigenchafen der Markrealiä - wie z. B. die implizie Volailiä - um jeden Prei präzie zu reproduzieren, wenn da auf Koen anderer makroökonomicher Apeke gechah. Da augewogene Verhälni zwichen der relaiven Genauigkei und der Nowendigkei zuäzlicher finanzwirchaflicher Einflufakoren zu berückichigen, die e chließlich zu erklären veruche, war da Güeiegel eine jeden Modell in dieen frühen Jahren. Die ere Gaung der Modelle mag außerande geween ein, die Markzinrukur exak wiederzugeben, aber diee Konruke veruchen ie wenigen zu erklären. Sie legen alle erdenklichen Formen fe, wie die Zinrukur auf der Grundlage der al wahr angenommenen reibenden Fakoren auzuehen häe. Für jeden Modellgläubigen indiziere die Dikrepanz zwichen modellheoreichen und Mark-Bondpreien eine Arbiragemöglichkei, wohingegen die Unfähigkei de Modell, Markbondpreie zu reproduzieren, für den Händler von Libor-Opionen einfach die Fehlbewerung de Underlying bedeuee. Sobald die zweie Generaion von Erklärunganäzen über die Zinrukur mi deulich ärker augeprägem dekripivem Charaker uner der reffenden Bezeichnung No Arbirage-Modelle erchien, konne prakich jede Rendiekurve, ei ie noch o deformier, modellinhären rekonruier werden. Da gleiche Schickal ereile die Modellierung in dieem forgechrienen Sadium wie jede andere heorie, die von Naur au mehr zu bechreiben veruch: ie büße ihre Erklärungärke ein. Dieer Verlu fiel jedoch nich o gravierend au, außer vielleich für den Bond-Arbirageur, der ein Werkzeug zur Formulierung von perönlichen Anichen über die Form der akuellen Zinrukur au der Hand gab. Diee Beonderhei erleichere gleichzeiig da Leben de Opionhändler, der die eren Caple und Swapion beweree, da er ich nun beruhig zurücklehnen konne - da Underlying (da relevane Segmen der Rendiekurve) wurde implizi korrek geprei. Darüber hinau befand er ich in der arakiven Poiion, die modellgenerieren Dela-Hedgeranakionen (Kaufen/Verkaufen von Bond) zu Markpreien durchführen zu können. Ohne dieen zweifello wichigen Abchni au der Gechiche der Zinrukurmodellierung exzeiv zu glorifizieren, chenk die vorliegende Arbei dieem Enwicklungadium die gebührende Beachung, indem ie da Hull/Whie-Modell gänzlich uner Verzich auf PDE heoreich neu fundier und bei maximaler Parameerflexibiliä rekalibrier. Zuäzlich wird für die Opionbewerung ein neue Zinmodell mi Shor

13 Rae-abhängiger Reakion auf die Brownchen Schock im Gegenaz zur damal üblichen Annahme konaner - bzw. im Rahmen der vorgechlagenen Erweierung de Hull/Whie-Konruk zeideerminiicher - Volailiä enwickel. So glücklich wie einerei der rader von Plain Vanilla Inrumenen geween ein mag, o war die Poiion eine Händler exoicher Produke andererei in der damaligen Finanzzene keineweg beneidenwer. Die neue Modellfamilie konne zwar jede erdenkliche Zinkurve nachbilden, die auomaiche Reprodukion der Preie aller Sandardopionen (Caple und Swapion) war jedoch mi dieen Modellen nich möglich. Der Foku der Modellierungbemühung verchob ich folglich von der Erklärung der Form der Rendierukurkurve auf die Einchäzung der Mark-Volailiärukur. Al Konequenz ergaben ich die eren modellgeüzen Möglichkeien zur opionbaieren Arbirage, da uner der Vorauezung einer adäqua gewählen Volailiäfunkion Dikrepanzen in den Markpreien von Caple aufgedeck und augenuz werden konnen. Allerding war die größe Anforderung, die der rader exoicher Produke an da Modell ellen konne, da eine mi Hilfe von Caple und Swapion aufgeellen Opion-Hedge wenigen für jeden eparaen Deal mi dem Plain Vanilla Mark im Einklang waren. Der neue Maßab zur Beureilung der Güe de Zinrukurmodell verlagere ich auf die Erklärung der Volailiä von Caple und Swapion auf der Bai einer exogen durch die Erwarungen, die Riikoaverion der Inveoren und die Annahmen über die reibenden Fakoren der Dynamik produzieren Rendierukurkurve. Die näche Enwicklungufe in der Zinrukurmodellierung markiere die Gaung der Markmodelle, angekündig durch die Fokuierung auf ein neue Underlying im Rahmen de Heah-Jarrow-Moron (HJM) Modell und Libor-Markmodell. Der encheidende Unerchied zu den biherigen Anäzen beand in der Fähigkei der neuen Verfahren, diee owohl an beliebige Rendierukuren zu kalibrieren al auch die exogene A-he-Money (AM) Volailiärukur exak und mi alarmierender Leichigkei implizi wiederzugeben. Der perfeke Fi an eine Größe, die bi jez beenfall nur unpräzie reproduzier werden konne, ermögliche e, da Riikomanagemen durch die beere Konrolle über da Niveau de Volailiäriiko zu opimieren, verkompliziere allerding erneu da Leben eine Händler exoicher Opionen, der eine näche Marge au dem Reidualriiko (dem nich diverifizierbaren und dami einzigen vom Mark engolenen Riiko) erwirchafen mue. Viel verprechende Spielwieen für die Exoen dieer frühen Zei waren die Srukur de Volailiämile, die Vanna- und Volga- 3

14 Riiken, olange ich noch kein Modellierungkonen über die bee Mehode, diee feineren Apeke de Riikomanagemen von komplexen Derivaen adäqua zu euern, heraugebilde hae. So errebenwer, wie die Konformiä de Modell mi dem Mark geween ein mag, war diee auomaiiere Kalibrierung, o chwer ie mi der vorherigen Generaion von Zinrukurmodellen erreichbar war, milerweile beunruhigend geworden. In Abhängigkei von der gewählen Parameriierung exiieren nahezu unendlich viele Möglichkeien (unzählige Freiheigrade), dieen perfeken Fi mi eraunlicher Einfachhei herbeizuführen. Ohne die lauernden Gefahren einer olchen eineiigen Aurichung auf die erfolgreiche Kalibrierung bi auf die fünfe Nachkommaelle erkennen zu wollen, gal die höche Prioriä bei der Konrukion de Modell der genaueen Reprodukion der akuellen Markdaen. Einige unerwünche Nebenwirkungen ergaben ich al Konequenz au der obeiven Fokuierung auf die Anpaung an eine immer weier eigende Anzahl von markbeobachbaren Inpugrößen, ohne die Auauchbeziehung zwichen der Güe de Fi und der finanzwirchaflichen Plauibiliä der Modellfunkionen zu berückichigen. Jede mögliche Wahl der modelldeerminierenden Parameer (zeiabhängige Inegrale von inananen Kovarianzermen) reuliere in unerchiedlichen Preien für die zu bewerenden exoichen Produke. Viel gravierender war jedoch die Inhomogeniä, enweder Forward Rae-pezifich, zeiabhängig oder ogar beide gleichzeiig, al unauweichliche Begleierin der Modellierungbemühungen in der Enehungphae de modernen Anaze, die ein zukünfige Modellverhalen - erzwungen durch eine Überkalibrierung und nich al Audruck der Händlererwarungen - unerchiedlich von der bekannen Vergangenhei vorauage. Obwohl die Präziion der Kalibrierung an den akuellen Mark ehr wichig i, da der perfeke Fi die inanan anfallenden Hedgekoen genau widerpiegel, können die Koen der durch die zeiinhomogene Evoluion der modellbeimmenden Funkionen verurachen Nowendigkei einer Rekalibrierung auf koninuierlicher Bai verheerend aufallen, vor allem bei langfriigen Konraken, die genau au dieem Grund alle - unabhängig davon wie Plain Vanilla ie auehen mögen - al Hybride Srukuren zu bezeichnen ind. Dieem fundamenalen rade-off in einen vielfäligen Auprägungen, charakeriich für den modernen Modellierunganaz, wird ein erheblicher eil der vorliegenden Arbei gewidme (Kapiel 34), indem die Auwirkungen einer Libor-baieren Modellimp- 4

15 lemenierung und -kalibrierung auf die Reprodukion de komplemenären Swapion- Marke deaillier analyier werden. Zuäzlich dazu wird die Kongruenz der beiden (Caple- und Swapion-) Märke auf der Bai einer forcieren Join-Kalibrierung im Hinblick auf die Modelleigenchafen, die zu dieem Zweck aufgeopfer werden müen, uneruch und e wird argumenier, inwiewei und - wenn überhaup - wann e innvoll erchein, diee imulane Kalibrierung an beide Plain Vanilla Opionmärke zu erzwingen. Auchlaggebend i jedoch die Encheidungfreihei, die dem rader owohl bei der Implemenierung al auch bei der Kalibrierung der Markmodelle gewähr wird. E i äußer wichig zu realiieren, da der Modellanwender allein die unzähligen Freiheigrade reduzieren kann, ogar mu, indem er elb renge rukurelle Nebenbedingungen bezüglich der funkionalen Form und der Zei- bzw. Zuandabhängigkei der Modellparameer einführ. Diee Auferlegung einer beimmen inananen Volailiäund Korrelaionrukur ell de faco da Bindeglied zwichen dem modernen Anaz und den konvenionellen, arbiagefreien Shor Rae-Modellen dar. In dieem Sinne repräenier die Familie der Markmodelle keine elbändigen Modelle an ich, ondern ein neue, anpaungfähige Parameriierungvokabular für ein ale, radiionelle Shor Rae-Modell. Um diee inriniche Verbindung aufzudecken, leie die vorliegende Arbei eine pezifiche inanane Volailiäfunkion her und demonrier wie auf deren Bai da HJM-Konruk auf da Hull/Whie-Zinmodell zurückgeführ werden kann. Die Sae-of-he-Ar Modellierungechniken müen allerding wei vollkommener ein, um den komplexen Eigenchafen de heuigen Marke - uner anderem nich aureichende Liquidiä bzw. fehlende Handelbarkei de Underlying und Skew/Smile der implizien Volailiärukur - gerech zu werden. Die wahrgenommene Abweichung de Underlying vom lognormalen Verhalen konne anfang durch den Mangel an Proporionaliä in der Forward Rae-Änderung zum akuellen Zinlevel erklär werden. Modellheoreich wurde dieer Effek mi Hilfe der Diplaced Diffuion-Dynamik, einer Michung au proporionalen (lognormalen) und unabhängigen (normalen) Reakionen auf Brownche Schock, bzw. de eng dami zuammenhängenden CEV-Prozee al Spezialfälle de Local Volailiy-Anaze eingefangen. Die päer (hiorich berache während und unmielbar nach der ruichen Krie) erchienenen aymmerichen Formen der implizien Volailiä erforderen den Einaz ophiiziererer Meho- 5

16 den auf der ewigen Suche nach der richigen Dynamik für da Underlying. Immerhin kann jede Modell, da genügend Freiheigrade (z. B. in der Geal zeiabhängiger Parameer) aufwei, zwangweie zur perfeken Reprodukion der akuellen Markpreie erzogen werden. Wenn jedoch die Dynamik nich korrek poulier worden i, wird diee Modell falche Riikoeniiviäen ermieln und irreführende Hedge empfehlen, wie e bei dem Local Volailiy-Anaz in der Umgebung eine ark augeprägen Smile der Fall i. Zuäzlich zum Vanna-Riiko, geeuer durch Skew-generierende Modellierungechniken, erfähr die Volailiä vollkommen zufällige Änderungen unabhängig von der ochaichen Enwicklung de Underlying - da Volga-Riiko. Prakiche Überlegungen im Hinblick auf da Riikomanagemen erfordern, dieen Expoure von rukurieren Produken über divere Aeklaen hinweg einzuchäzen. Al Folge darau ergib ich die Unerlälichkei der Anwendung von Smile-nachbildenden Sochaic Volailiy-Mehoden, gegebenenfall in Kombinaion mi dem Local Volailiy-Anaz. Sobald man jedoch die Wel lognormaler Forward Rae und deerminiicher Volailiäen verlä, geh die Volländigkei de Marke verloren mi der Konequenz, da die Riikopräferenzen der Inveoren für den Preiproze nich länger irrelevan ind. Mahemaich berache reulieren au dem Erforderni einer arbiragefreien Modellierung grundäzlich drei mögliche Siuaionen : (i) E exiier ein eindeuige bewerungrelevane Wahrcheinlichkeimaß, wodurch da Modell und deen Parameer unmiverändlich fegeleg werden. Der Mark i volländig und uner der Annahme koninuierlichen Handel ind alle derivaiven Srukuren gemäß dem Maringale Repreenaion heorem perfek replizierbar; (ii) E exiier kein Pricingmaß, folglich lä da Modell Arbirage zu; (iii) E gib mehrere Löungen für den Markprei de Riiko, e exiieren unendlich viele äquivalene Wahrcheinlichkeimaße, da Pricingmaß i nich eindeuig. Arbiragemöglichkeien ind augechloen, der Mark i allerding unvolländig. Der Payoff von individuellen komplexen Produken kann nich replizier werden, o da ie unhedgebaren Reidualriiken augeez ind. Wenn der Mark unvolländig i, piegeln die riikoadjuieren Modellparameer da Aumaß der momenan vorherrchenden Riikoaverion wider und ind mi einem der Vgl. () J. M. Harrion, S. R. Plika, Maringale and Sochaic Inegral in he heory of Coninuou rading, Sochaic Procee and heir Applicaion (98), S. 5-6; () J. M. Harrion, S. R. Plika, A Sochaic Calculu Model of Coninuou rading: Complee Marke, Sochaic Procee and heir Applicaion 5 (983), S

17 vielen Wahrcheinlichkeimaße aoziier, die mi den akuellen Preien kompaibel ind. E exiier jedoch keine Garanie, da der Mark in Zukunf die gleiche Prämie für unhedgebare Riikofakoren erheben bzw. daelbe Pricingmaß präferieren wird. Der moderne rader von heue, der einen Hedge owohl gegen die Änderungen im Underlying (Dela-Hedge) und die mögliche Mipezifikaion der Modellparameer (Vega-Hedge) al auch gegen die Reidualriiken (Vanna- und Volga-Riiko) aufgeell ha, i mi einem deulich ubileren und komplexeren Unicherheifakor in der Geal eine wankelmüigen Marke hinichlich einer nich länger irrelevanen Riikopräferenz konfronier. Realiich berache kann niemand die Zukunf der Zinrukurmodellierung vorauehen. Sicher i lediglich, da die rading Communiy ihre Bemühungen inenivieren wird, um ingeniöe Löungmehoden für beehende Probleme zu finden und beer auf die Evenualiäen, die ie noch nich erkann ha, vorbereie zu ein. Vielleich eh die Gebur der nächen revoluionären Generaion von Zinrukurmodellen unmielbar bevor, wenn nich in einem plözlichen Anfall von Genialiä, dann icherlich erzwungen durch die Bedürfnie eine immer komplexer werdenden Marke. Im Prinzip wird die Kernidee de modernen Anaze, implizi die globale Kalibrierung an alle liquiden Märke anzureben und o viel Markinformaionen wie nur möglich in da Modell einfließen zu laen, aufrecherhalen. Lediglich die Palee der Kalibrierunginrumene wird mi der Zei reichhaliger werden, von den Plain Vanilla Opionmärken (Caple and Swapion) heue bi zu Fir/Second Flow exoichen Produken in Zukunf. Srukur der Forchungarbei Auf einer übergeordneen Ebene i die vorliegende Arbei in klaiche und moderne Mehoden zur Modellierung der Zinrukurkurve geglieder, wobei dem modernen Markanaz ein größere Gewich beigemeen wird. Diee hierarchiche Anordnung verri die Anich de Auor, da in der heuigen Finanzzene die moderne Modellierungphiloophie die klaichen Verfahren überwieg, wenn der Maßab der Bedeuung und Mach angeleg wird. Allerding repräenieren nur diee klaichen Mehoden einzig wahrhafige Modelle, im Gegenaz zu den modernen, die lediglich einen flexibleren und mächigeren mahemaichen Audruck eine klaichen Modell darellen. Zum Zweck de beeren Verändnie de Urprung und der Mach de modernen Anaze, i die Konfronaion mi dem klaichen Konzep unvermeidlich. 7

18 Bevor in Kapiel beimme Shor Rae-Modelle behandel werden, wird zunäch die fundamenale PDE für beliebige Payoff-Funkion von Derivaen auf den Zinaz hergeleie und demonrier, wie ie auf die bekanne Bondprei-PDE zur Deerminierung der Bond Curve zurückgeführ werden kann. Anchließend wird da Shor Rae-Modell von Vaicek in Abgrenzung zur im Originalpaper verwendeen PDE-echnik neu aufgeell. Au deen Schwächen bezüglich der Anpaungfähigkei herau geh der näche Abchni auf da Hull/Whie-Zinmodell ein und demonrier, wie da Konruk uner maximaler Parameerflexibiliä (zuäzlich mi einer zeiabhängigen inananen Volailiäfunkion) kalibrier werden kann. Da Kapiel kulminier in der Enwicklung einer Opionpreiformel auf der Bai eine Shor Rae-Modell mi ochaicher Volailiä und chließ mi einem Fazi über die Brauchbarkei und Grenzen der Shor Rae-Modelle ab. Kapiel 3 beginn mi einer Demonraion der Auichloigkei einer effekiven Kalibrierungprozedur im Rahmen de erweieren Shor Rae-Modell mi zuandabhängiger Volailiäfunkion und ieh darin den Richungwechel der Modellierungbemühungen hin zur Enwicklung der ganzheilichen Zinrukurdynamik im Gegenaz zur Beimmung der Evoluion der inananen Spo Rae begründe. Anchließend wird eine pezifiche inanane Volailiärukur hergeleie, mi deren Hilfe die inriniche Beziehung zwichen dem modernen Anaz (in der Geal eine HJM-Modell) und der klaichen Mehode (Hull/Whie-Zinmodell) aufgedeck wird. Der größere eil diee drien Kapiel wird jedoch der Implemenierung de Libor-Markmodell gewidme, in dem uner anderem eine innovaive Drifapproximaion enwickel und eine neue inanane Volailiäfunkion hergeleie werden. Im Rahmen der darauf folgenden Erellung vieleiiger Kalibrierungrouinen wird die Kongruenz zwichen den beiden Haupmärken für Plain Vanilla Zinopionen eingehend analyier. Kapiel 4 befa ich - al Schluwor und Aublick zugleich - mi den forgechrienen echniken zur möglich genauen Reprodukion vom Skew/Smile der implizien Volailiärukur und der Kalibrierung an die komplee Markinformaion im Sinne von Opionpreien über alle verfügbaren Srike und Fälligkeien hinweg. Wichige mahemaiche Herleiungen, die da Verändni üzen ollen, jedoch für die ranparenz der Darellung al nich beonder förderlich erache werden, ind in die Anhänge augelager. 8

19 Der klaiche Anaz zur Modellierung der Zinrukurkurve Die hioriche Enwicklung der Zinrukurmodelle im Konex der markkonienen Bewerung von Zinderivaen Mi der Modellierung der Zinrukurkurve wird e da Ziel verfolg, die Dynamik der Zinrukur mahemaich möglich reffend zu bechreiben. Diee heoreiche Konruk oll die Enwicklung der Yield o Mauriy in Abhängigkei von der Zei abbilden. Graphich finde die Beziehung zwichen den Yield o Mauriy von Zerobond, die einer beimmen Riikoklae angehören, und deren enprechender Fälligkei ihren Niederchlag in der Yield Curve. Im Zuammenhang mi der markkonienen Bewerung von Zinderivaen lieg da Haupproblem darin, einen arbiragefreien Proze für den zu modellierenden Parameer au der zugrunde gelegen Dynamik abzuleien. Ere Löunganäze fokuieren, augehend von beimmen Annahmen über die ökonomichen Variablen, auf da Verhalen der inananen Shor Rae, de Zinaze von heue für eine infinieimal kleine Zeiperiode. Dieer frühen Phae der Bewerung von Zinderivaen ind die eren Gleichgewichmodelle enprungen. Veranworlich für die Dynamik der Yield Curve war auchließlich die inanane Shor Rae, deren Enwicklung durch eine ochaiche Differenialgleichung, zuammengeez au einer deerminiichen mean-revering Drif und einer ochaichen Komponene mi einem konanen oder zur Quadrawurzel der Shor Rae proporionalen Diffuionkoeffizienen, bechrieben wurde. Die große Schwäche dieer Gleichgewichmodelle beand darin, da ie nich kalibrier werden konnen, um auomaich die vorherrchende Zinrukur exak widerzupiegeln. Au dieer Unzulänglichkei herau enand die näche Generaion von Zinrukurmodellen. Die No Arbirage-Modelle wurden o konzipier, da ie zwangläufig konien mi der akuellen Zinrukur waren, die im Unerchied zu den Gleichgewichmodellen al Inpuparameer eingeez wurde. 3 In der Regel erreiche man dieen Effek, indem die Drif und/oder die Diffuion der Shor Rae im Gegenaz zu den Modellen der vorhergehenden Phae al eine deerminiiche Funkion der Zei geale wurden. Gravierende Einchränkungen der Modelle auf dieer Sufe der Enwicklung ergaben ich einerei wegen der Abhängigkei von nur einem einzigen Unicherheifakor, einer eindimeniona- 3 Vgl. () O.A.Vaicek, An Equilibrium Characerizaion of he erm Srucure, Journal of Financial Economic, 5 (977), S () J.C.Cox, J.E.Ingeroll, S.A.Ro, A heory of he erm Srucure of Inere Rae, Economerica, 53 (985), S Vgl. ().S.Y.Ho, S.B.Lee, erm Srucure Movemen and Pricing Inere Rae Coningen Claim, Journal of Finance, 4 (986), S. -9. () J.Hull, A.Whie, Pricing Inere Rae Derivaive Securiie, Review of Financial Sudie, 3, 4 (99), S

20 len Brownchen Bewegung (Ein-Fakor-Modell), andererei wegen der Unmöglichkei einer volländigen Konrolle über die zukünfige Volailiärukur. Darau folg unmielbar, da diee Konrukionen zum einen nur eine parallele Verchiebung der Yield Curve rechferigen und zum anderen, obwohl ie den zum Zeipunk der Bewerung auf dem Mark vorherrchenden inananen Volailiäen angepa werden können, eine nichaionäre Volailiärukur aufweien, die da Pricing von nichandardiieren Zininrumenen in einer volailen Umgebung zuäzlich erchwer. Al nacheilig erwie ich auch da modellheoreich begründee Aufreen von negaiven Zinäzen mi poiiver Wahrcheinlichkei und dami einhergehend von Preien für Zero Bond größer al, wa der Grundidee der Arbiragefreihei widerprich 4. Alle biher erwähnen Modelle können al klaiche Anäze zur Bewerung von Zinderivaen bezeichne werden, da ie ich die Beziehung zwichen einem Zero Bond und der Shor Rae zunuze machen, um die Zinrukur nachzubilden. Im Rahmen de modernen Anaze verlager ich da Augenmerk auf die Modellierung der Forward Rae, baierend auf der einfachen Relaion zwichen - bi auf ihre Fälligkei - idenichen Zero Bond und den enprechenden zukünfigen Zinäzen. Zuäzlich wird der mehrdimenionalen Unicherheiquelle mi Hilfe von Muli-Fakor-Modellen Rechnung geragen. Derarige Modelle zeichnen ich einerei durch höhere Komplexiä au, andererei gewähren ie mehr Flexibiliä bei der Spezifikaion der Volailiärukur und zwar owohl der momenan vorherrchenden al auch der zukünfig zu erwarenden. Sie erweien ich omi al ein geeignee Inrumen zur Bewerung von komplexen exoichen Zinproduken. Die fundamenale Gleichung zur Beimmung der Zinrukur Einführung und Frageellung Au der heorie der Opionbewerung i die parielle Differenialgleichung (PDE) von Black-Schole bekann, der der Prei einer Opion uner einer beimmen erminalen Bedingung genügen mu. Daher i e nahe liegend, die Frage zu ellen, ob ich eine PDE in ähnlicher Form für zineniive Derivae herleien lä Die Frage i zweifach affirmaiv zu beanworen. Der ere Weg wird im Weenlichen den Gedankenchrien von Vaicek folgen. Augehend von der Grundidee, da Bond bi auf ihre Fälligkei ideniche Inrumene darellen und daher ähnlichen infinieimalen Zufallchwankungen im Sinne der gleichen Brownchen Bewegung unerliegen, wird e 4 Muiela und Rukowki ellen zwei Anforderungen an eine Grundgeamhei von Bond B (, ).Der unerwünche Effek B (, ) veröß gegen die zweie, weier gefae no-arbirage condiion. Vgl. M. Muiela, M. Rukowki, Maringale Mehod in Financial Modelling (997), S.33, Definiion 4..3

21 gelingen, uner orgfäliger Anpaung der Gewichung ein riikoloe Porfolio au zwei (oder mehreren) Bond zuammenzuellen. Um Arbiragemöglichkeien auzuchließen, mu die Rendie diee Porfolio für ein infinieimale Zeiinervall dem riikofreien Zinaz enprechen. Der zweie Weg wird ich der heorie über Diffuionprozee bedienen. Uner der Annahme, da die Spo Rae einem Markov-Proze folg, wird die Maringaleigenchaf benuz und nach Anwendung von Io Lemma die Drif der reulierenden ochaichen Differenialgleichung (SDE) gleich Null geez. Die Spezifikaion der F -mebaren Yield o Mauriy Y (, ) mi max i idenich mi der Beimmung de ochaichen Bondpreie B(, ) : B (, ) = e ( ) Y(, ) log B(, ) Y (, ) = (.) Bekannlich gil: r( u) du B (, ) = E e F B (, ) = e f (, u) du (.) Ferner kann eine Beziehung zwichen Y (, ) und der inananen Shor Rae r () hergeell werden: log B (, ) B(, ) lim Y (, ) = lim = lim B(, ) r( u) du B (, ) E e F = = = r( u) du E r( ) e F = E( r( ) F) = r( ) (.3) 5 In Analogie zu (.3): 5 Da die direke Anwendung de Grenzweroperaor zu einer Unbeimmhei in der Form / führ, wird auf die Regel von L Hopial zurückgegriffen. Vgl. dazu M. Abramowiz, I. A. Segun, Handbook of Mahemaical Funcion wih Formula, Graph, and Mahemaical able (97), Abchni 3.4., S.3.

22 B (, ) f(, u) du lim Y (, ) = = e = = f(, u) du = f(, ) e = f(,) (.4) Jede mahemaiche Modell, da den ochaichen Bondprei B(, ) deerminier, leg auomaich die geame Zinrukur 6 max im Zeipunk für [, ] fe. Herleiung der PDE mi Hilfe eine riikoloen Porfolio au zwei Zerobond Der ere Schri zur Herleiung der PDE beeh darin, die Dynamik der aufallfreien Bond mi Relaufzeien bzw. zu poulieren 7 : db (, ) = μ( B (, ),) B (, ) d+ σ ( B (, ),) B (, ) dw db (, ) = μ( B (, ), B ) (, ) d+ σ ( B (, ), B ) (, ) dw (.5) 8 Ferner wird die inanane Shor Rae r () al ein Diffuionproze modellier: dr () = ar ( (),) d+ br ( (),) dw (.6) 9 Der Bondprei B(,, ) wird anhand der Enwicklung der inananen Shor Rae im Zeiinervall (,,) beimm, folglich al eine Funkion der Spo Rae: B(,, r ( )) = B (,, r ()), mi (.7),,, Durch die Beziehung (.) laen ich Bondpreie und Yield o Mauriy gegeneiig ineinander überführen. Mi Zinrukur i in dieem Zuammenhang die Yield Curve gemein oder die Zinerragkurve. Vgl. L, Perridon, M. Seiner, Finanzwirchaf der Unernehmung (3), S.9-9. Au (.) und (.) kann eine Beziehung zwichen der Yield o Mauriy Y(,) und der inananen Shor Rae r(), der r( ) d Y(, )( ) Spo Rae, hergeleie werden: e = E e F. Fall die Shor Rae über die Laufzei de Bond hinweg konan bleib, enprich ie der Yield o Mauriy. Zu den Auführungen in dieem Abchni Vgl. () O. A. Vaicek, An Equilibrium Characerizaion of he erm Srucure, Journal of Financial Economic 5 (977), S () S. Nefci, Mahemaic of Financial Derivaive (), S Da die Drif nich al konan, ondern al eine Funkion der Zei und de Bond elb geale wird, folg der Bondpreiproze nich nowendigerweie einer Brownchen Bewegung. Die Drif a(r(),) und die Diffuion b(r(),) ind enweder anhand hioricher Daen zu chäzen, oder mi Hilfe von Markpreien zu kalibrieren. Die Shor Rae r() wei die Markov-Eigenchaf auf. Für den Fall einer geomerichen Brownchen Bewegung gil: dr() = ar() d + br() dw ( a b )( ) ( a b )( ) b ( ) bw ( W) a ( ) Er (() F) = re () Ee ( F ) = re () e = re () Der Erwarungwer von r() beding auf F häng lediglich von dem zulez beobacheen Wer r() ab. Ökonomich inerpreier bedeue diee Merkmal im Weenlichen, da die zukünfige Enfalung de Shor Rae-Prozee, voraugeez die heuige Auprägung i bekann, unabhängig von der vergangenen Enwicklung i, die zum heuigen Wer geführ ha. Für den Fall eine mean-revering-prozee wird die Markov-Eigenchaf im Rahmen de Modell von Hull/Whie nachgewieen. Siehe dazu Anlage.

23 Au dieen zwei Bond mi Gewichungfakoren θ bzw. θ wird ein Porfolio zuammengeell: P= θ B(,, r()) θ B(,, r()) (.8) σ σ θ = P, θ = P (,, ())( ) (,, ())( ) B r σ σ B r σ σ (.9) Die infinieimale Änderung de Porfolio im Zeiablauf kann folgendermaßen ermiel werden: dp = θ db(,, r( )) θ db(,, r( )) (.) Nachdem die SDE (.5), die die Dynamik der Bond bechreiben, und die Gewichungfunkionen (.9) eingeez worden ind, enfäll da Wiener-Inkremen: σ μ( B (, ), ) σμ( B (, ), ) dp = Pd σ σ (.) Die pezifiche Wahl der Bondaneile in (.9) erlaub e, die ochaiche Komponene volländig zu eliminieren und da Porfolio riikolo zu gealen. Folglich mu die deerminiiche Drif dem riikofreien Zinaz äquivalen ein, um Arbiragemöglichkeien auzuchließen: σ μ( B (, ), ) σμ( B (, ), ) Pd = r() Pd σ σ σ ( μ( B (, ), ) r ( )) = σ ( μ( B (, ), ) r ( )) : σ σ ( μ( B (, ), ) r ( )) ( μ( B (, ), ) r ( )) = σ σ (.) Relaivier durch die enprechende Volailiä ind Riikoprämien von Bond mi unerchiedlichen Relaufzeien gleich. Diee Ideniä i durch die einheiliche Unicherheiquelle im Sinne einer eindimenionalen Brownchen Bewegung begründe, die ich miel einer umichigen Anpaung der Gewichung auchalen lä. Demzufolge laen ich olche Beziehungen für alle Bond, die von dem gleichen ochaichen Fakor gerieben werden, analog herleien und ergeben omi den Markprei de Riiko, den Zuwach an erwareer Rendie bezogen auf eine zuäzliche Riikoeinhei : Zur Beimmung de Markpreie de Riiko: () R. Meron, An Ineremporal Capial Ae Pricing Model, Economerica 4 (973), S () R. Meron, An Analyic Derivaion of he Efficien Porfolio Fronier, Journal of Financial and Quaniive Analyi 7 (97), S (3) R. Meron, Opimum Conumpion and Porfolio Rule in a Coninuou-ime Model, Journal of Economic he- 3

24 ( μ( B (, i ), ) r ( )) = λ(, r ()) (.3) σ i Da der Bondprei eine Funkion der Spo Rae r() und de Bewerungzeipunk darell, erhäl man nach Anwendung von Io Lemma und Einezen von (.6): db((),) r = ( Bra((),) r + B + Brrb((),)) r d + Brb((),) r dw (.4) Da Gleichezen der Drif- bzw. Diffuionerme in (.5) rep. (.4) ergib wegen deren zwingender Äquivalenz: br ((),) B = σ ( BB,) r μ( B, B ) = Bar r ( ( ), ) + B + Bbr rr ( ( ), ) (.5) Die zweie Gleichung repräenier die PDE für den Bondprei uner der Bedingung, da ich die unbekanne Drif μ ( B, ) beimmen ließe. Bezugnehmend auf die heorie von Black-Schole lieg e nahe, den Übergang zur riikoneuralen Wel zu vollziehen und in (.5) μ ( B, ) durch r() bzw. dw durch (( μ(, ) ( ))/ σ(, )) dw B r B d zu erezen. Diee Umellung erforder gleichzeiig die Adjuierung der Drif der Spo Rae ar ( ( ), ) zu ihrem riikoneuralen Äquivalen a ((),) r, indem auf die Gleichgewichbedingung der Arbiragefreihei zurückgegriffen wird. Die Anpaung erfolg mi Hilfe de Markpreie de Riiko und der eren Beziehung in (.5) nach σ ( B, ) aufgelö: a r a r br ((),) ((),) ((),) = λ = (, r ()) a( r (),) ar ( (),) br ( (),) (, r ()) μ( B, ) r ( ) = λ(, r ()) μ( BB,) = rb () + br ( (),) Brλ(, r ()) σ ( B, ) λ (.6) Nachdem die unbekanne Drif μ ( B, ) deerminier worden i, erlaub ein erneuer Rückgriff auf (.5) die Spezifikaion der fundamenalen PDE: B ar br λ r + B+ Bbr rb= B (, ) = r( ( (),) ( (),) ( (),)) rr ( (),) () (.7) ory 3 (97), S Vgl. bpw. heorem au (), da in (3) in allgemeiner Form dargeell und bewieen wird (S. 384): μi r = βi( μm r), βi = σi, M / σm. Darau reulier in Analogie zur SML au dem CAPM: ( μi r)/ σρ i i, M = ( μm r)/ σmbzw. ( μi r)/ σi = ( μj r)/ σ j mi ρi, j =. Vgl. S. Benninga/Z. Wiener, erm Srucure of Inere Rae, Mahemaica in Educaion and Reearch, 7 (998) zur weierführenden Dikuion über den Markprei de Riiko in Verbindung mi Zinrukurmodellen, inb. S. 5 zur Beimmung de Markpreie de Riiko. 4

25 Wenn ein Zinrukurmodell im Sinne von (.6) mi bekannen Parameern ar ( ( ), ) und br ((),) definier i, erzwing die prakiche Anwendung der PDE gleichzeiig die Kennni über den Markprei de Riiko λ( r ( ), ). 3 Die fundamenale PDE für beliebige Payoff-Funkionen im Lich der Diffuionheorie Im Rahmen diee Abchni wird eine alernaive Herleiung der PDE vorgeell, die im Gegenaz zur vorhergehenden bi auf den Rückgriff auf den Markprei de Riiko, der für die Adjuierung der Driffunkionen uner den verchiedenen Wahrcheinlichkeimaßen unverzichbar i auf einer vollkommen anderen heoreichen Bai beruh. Die Vorgehenweie lä beliebige Payoff-Funkionen zu, nich auchließlich Bondpreiprozee. Demzufolge mu die Arbiragefreihei nich miel eine riikoloen Porfolio au Bond und dami einhergehend mi Hilfe einer Gleichgewichbedingung für den Markprei de Riiko von Bond hergeell werden, ondern wird gemäß dem eren Fundamenal heorem of Ae Pricing 3 über die Exienz eine riikoneuralen Wahrcheinlichkeimaße und eine dazu äquivalenen Forward-Maringalmaße 4 herbeigeführ. Erchwerend zu den Nacheilen der Herleiung miel eine riikoloen Porfolio komm ein weiere Argumen hinzu: e kann nich ichergeell werden, da diee Porfolio per e elbfinanzierend i. Im Rahmen eine reng formellen und mahemaich korreken Anaze mu da Porfolio al Elemen eine Markmodell M = ( S, φ) zuammengeell werden, wobei S ein adapierer ochaicher Proze und φ die Klae elbfinanzierender rading Sraegien ind 5. Uner Auchalung de Unicherheifakor bei gelungener Anpaung der Pofolioaneile chließ ich die Herellung der Arbiragefreihei miel eine riikoloen Porfolio an. Mi Hilfe der zu präenierenden Herleiung der fundamenalen PDE für beliebige Payoff-Funkionen von Zinderivaen wird diee Problemaik umgangen Vgl. Fn.,. Vgl. () S. Shreve, Sochaic Calculu for Finance II (4), S. 3, heorem () J. M. Harrion, S. R. Plika, Maringale and Sochaic Inegral in he heory of Coninuou rading, Sochaic Proce and Applicaion (98), S Ein zu P äquivalene Wahrcheinlichkeimaß P, definier auf einem mebaren Raum ( Ω, F ), wird gleichzeiig auch ein Maringalmaß genann, wenn alle, durch da enprechende Numeraire (uner P i da Numeraire der Bondprei B (, )), relaivieren Preie für Derivae Maringalen bezüglich der max Filraion F = { F } max, [, ) folgen. Vgl. M. Muiela, M. Rukowki, Maringale Mehod in Financial Modelling (997), S.74. Zu dieer Anmerkung vgl. S. Nefci, Mahemaic of Financial Derivaive (), S. 79 und S Au dieem Grund i die Herleiung im vorigen Abchni rein heuriicher Naur, genauo wie die Herleiung der klaichen PDE von Black-Schole zur Beimmung de Opionpreie. Da da Porfolio einer koninuierlichen Anpaung der Sockpoiion (de Dela der Opion) bedarf, ind ark rerikive Modellannahmen erforderlich: () zeieiger Handel, () keine ranakionkoen. Vgl. F. Black, M. Schole, he Pricing of Opion and Corporae Liabiliie, Journal of Poliical Economy 8 (973), S , inb. S , Annahmen (b) und (e). Folglich kann die Eigenchaf de elbfinanzierenden Duplikaionporfolio nur dann gewährleie werden, wenn der Hedge zulaen enormer ranakionkoen zeikoninuierlich durchgeführ wird. max 5

26 Für die folgende Darellung wird au Vereinfachunggründen angenommen, da der Ü- bergang zum riikoneuralen Wahrcheinlichkeimaß 6 berei vollzogen worden i. Mi Rückgriff auf (.5) und (.6) wird die Dynamik de Bondpreie bzw. der Shor Rae ranformier 7 : db(, ) = r() Bd + σ () BdW B dr () = [ ar ( (),) br ( (),) λ ] d+ br ( (),) dw (.8) Berache wird eine willkürliche, zu einem päeren Zeipunk zu pezifizierende, Payoff- Funkion eine Deriva auf den Zinaz hr ( ( )). Die Sochaik der Shor Rae in (.8) i ehr allgemein geale. Meien wird ein konkree Zinmodell unerell, da eine pezifiche Dynamik für die Shor Rae vorchreib. In einer vereinfachen Bewerungwel kann poulier werden, da ich der Zinaz ähnlich wie der Akienkur verhäl und demzufolge einer geomerichen Brownchen Bewegung 8 gehorch. Uner dieer Annahme wird jedoch der encheidende Unerchied zwichen dem Akienkur und dem Zinaz nich berückichig, da nämlich Zinäze langfriig zu einem Durchchniniveau zurückkehren. Ein i. d. R. vorgeragener Grund für diee Phänomen i die invere Beziehung zwichen dem Inveiionvolumen und der Zinhöhe. Bei niedrigen (hohen) Zinen wird Kapial verärk (weniger ark) nachgefrag, die Zindynamik wei einen poiiven (negaiven) rend auf und in der langen Sich werden die Zinäze zu einem mileren Reverion Level zurückgedräng 9. Für die weierführenden Überlegungen zur Herleiung der PDE wird e unumgänglich ein, auf die Markov-Eigenchaf der Shor Rae zurückzugreifen: P P P r, ( ) E ( hr ( ( )) F ( )) = E ( hr ( ( )) r ( )) = E ( hr ( ( )) = gr (, ( )) (.9) Die mahemaiche Grundlage für diee ranformaion wird durch da Giranov-heorem geliefer. Zur Anpaung der Drif und de Unicherheifakor vom Bond- bzw. Zinproze iehe vorigen Abchni, S. 4. λ i der Markprei de Riiko au dem vorigen Abchni. Siehe (.6). Vgl. R. Rendleman/B. Barer, he Pricing of Opion on Deb Securiie, Journal of Financial and Quaniaive Analyi 5 (98), S. -4. Vgl. J. Hull, Opion, Fuure, & Oher Derivaive (), S Die Markov-Eigenchaf de Shor Rae-Prozee im Fall einer geomerichen Brownchen Bewegung wurde in Fußnoe 9 fegeell. Jedoch werden au zwingenden ökonomichen Gründen meien meanrevering Prozee modellier. In Anlage wird die Markov-Eigenchaf im Rahmen de Hull/Whie Modell reng bewieen. Mi ar ((),) = a () br ()() und br ((),) = σ () wird im Rahmen diee Abchni da in (A.9) hergeleiee Ergebni genuz. Die Markov-Eigenchaf de Shor Rae-Prozee wird auf die Payoff-Funkion hr (( )) direk uner dem riikoneuralen Maringalmaß angewende, obwohl ie in der Anlage reng genommen lediglich für ein willkürliche Wahrcheinlichkeimaß P nachgewieen wurde. Da br ((),) = σ () offenichlich von 6

27 Im Folgenden wird mi Hilfe der Ieraed Expecaion-Eigenchaf gezeig, da gr (, ()) ein Maringal darell: P P P P E ( gr (, ( )) F ( )) = E ( E ( hr ( ( )) F ( )) F ( )) = E ( hr ( ( )) F ( )) P = E ( h( r( )) r( )) = g(, r( )) (.) Infolgedeen mu die Drif nach Anwendung von Io Lemma verchwinden: dg(, r()) = gd + grdr + grrdrdr = gd + gr[ a() b() r() σ() λ] d + grrσ() d + grσ() dw gr (, ( )) = g(, r()) + g( uru, ( )) + [ au ( ) buru ( ) ( ) σ( u) λ ] g( uru, ( )) u r rr σ r u + σ ( u ) g ( u, r ( u )) du+ ( u ) g ( u, r ( u )) dw (.) Mi Hilfe de Maringale Repreenaion heorem und uner Berückichigung der Inegralform von gr (, ( )) kann gefolger werden 3 : g + a u b u r u σ u λ g + σ u g du = [ ( ) ( ) ( ) ( ) u] r ( ) rr g r + a br σ λ g r + σ g r = gr (, ( )) = hr ( ( )) (, ()) [ () () () () ] r(, ()) () rr(, ()) (.) 4 Bei orgfäliger Überprüfung von (.9) elle man fe, da gr (, ( )) lediglich den erwareen Payoff de Deriva hr ( ( )) wiedergib. Um im Zeipunk den Wer de Wer- 3 4 r () unabhängig i, werden ich allein der zweie und der drie Summand in der drien Zeile in (A.4) marginal ändern und den grundäzlichen Anaz in einer Kernidee nich umwerfen. Der ere modifiziere erm e [ a( u) σ( u) λu ] e du i deerminiich und der andere e σ ( u) e dw ( u) i K() K( u) K() K( u) F () -unabhängig. W Der Proze σ () gr (, r ()) i zu der durch die Brownche Bewegung erzeugen Filraion { F } adapier. Die gleiche PDE ergib ich durch die direke Anwendung der Kolmogorov Backward Equaion (KBE) auf P r, ( ) g(, r ()) = E ( hr ( ( )) = hxpr ( ) (, ; (), xdx ), wobei p (,, r (), x ) die raniion Deniy (D) darell, d. h. die Diche über die Forward-Variable r() beding auf die Backward-Variable r (). Parielle Ableien nach den Backward-Variablen und r() führ unmielbar zur in (.) miel Io Differenzierungregel hergeleieen PDE. Der Überichlichkei halber wurden die Argumene r(u) und u der Funkion g im Inegral augelaen. Die PDE erhäl man, indem beide Seien nach abgeleie werden. 7