Modellierung des Kreditrisikos im Einwertpapierfall

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1 Frankfur School Working Paper Serie No. 16 Modellierung de Krediriiko im Einwerpapierfall von Heinz Cremer und Jen Walzner Augu 9 Sonnemannr Frankfur an Main, Germany Phone: +49 () Fax: +49 () Inerne:

2 Abrac he curren financial marke crii ha impreively demonraed he imporance of an effecive credi rik managemen for financial iniuion. A he ame ime, he ue and he valuaion of credi derivaive ha been widely criicied a a reul of he crii. Over he pa decade, credi derivaive emerged a an imporan par of credi rik managemen a hee offer a broad range of poibiliie o reduce credi rik hrough acive credi porfolio managemen. hi ha repreened a quanum leap in he furher developmen of credi rik managemen. Credi rik managemen, wihou uing credi derivaive, no longer eem o be an appropriae alernaive. However, correc valuaion of hee derivaive i ill challenging. he crii ha demonraed ha he iue i le abou uing credi derivaive han abou developing valid valuaion echnique. A ound underanding of already exiing credi pricing model i neceary for uch a developmen. hee model are he key focu of hi working paper. Lieraure diinguihe beween hree differen kind of credi pricing model: Ae-Baed- Model, Ineniy-Baed-Model and hybrid model. he primary purpoe of credi rik modelling i o imulae he defaul of a defaulable ae. Ae-Baed-Model ry o model he defaul by analyzing change in value of uch an ae: if he value of a defaulable ae fall below a defined hrehold, he ae defaul. While hi i economically plauible, he modelling of a defaul in an Ineniy-Baed-Model i raher random. I i imply he reul of a ochaic proce. While Ineniy-Baed-Model do no offer any economic raionale for he defaul, heir reul are urpriingly realiic. Hybrid model are a combinaion of boh kind of model. hee ry o eablih a connecion beween he economic raionale of he Ae-Baed-Model and he empirical validiy of he reul of he Ineniy-Baed-Model. While hi paper focue on he valuaion echnique in a ingle ae cae, Frankfur School Working Paper No. 17 concenrae on credi rik modelling in a porfolio cae. Key word: credi rik pricing model; ae-baed model; ae-value model; rucural model; ineniy-baed model; reduced-form model; credi derivaive; credi defaul wap; pricing; valuaion; defaul pread; rik managemen; credi porfolio managemen JEL claificaion: C; G1; G1; G3 ISSN: Conac: Prof. Dr. Heinz Cremer Sonnemannrae 9-11 D-6314 Frankfur am Main Germany Phone: +49-() Jen Walzner, M.Sc. Dredner Kleinwor heodor-heu-anlage D-6486 Frankfur am Main Germany Mobil: +49-() Working Paper No. 16

3 Inhalverzeichni Abbildungverzeichni...4 Symbolverzeichni Einleiung Auganglage Definiion der Begriffe Krediriiko, boniäeniiver Finanziel und Krediriikomodell...9. Modellüberblick Modellierung de Krediriiko eine einzelnen boniäeniiven Finanziel Unernehmenwermodelle Klaicher opionheoreicher Anaz Fir-Paage Anaz Kalibrierung von Unernehmenwermodellen Kriiche Würdigung der Unernehmenwermodelle Ineniämodelle Ineniämodelle mi konaner Ineniä Ineniämodelle mi zeivariabler Ineniä Ineniämodelle mi ochaicher Ineniä Modellierung von Raing-Migraion-Ineniäen Kalibrierung von Ineniämodellen Kriiche Würdigung der Ineniämodelle Hybride Krediriikomodelle Kriiche Würdigung von hybriden Krediriikomodellen Praxibeipiel: Bewerung von Credi Defaul Swap Fazi...79 Lieraurverzeichni...8 Working Paper No. 16 3

4 abellenverzeichni ab. 1: Weierenwicklung von Unernehmenwermodellen im Zeiverlauf...14 ab. : Weierenwicklung von Ineniämodellen im Zeiverlauf...16 ab. 3: Wer von Fremd- und Eigenkapial bei Fälligkei... ab. 4: Beipiel zum klaichen opionheoreichen Anaz...9 ab. 5: Vergleich de Fir-Paage-Anaze mi zeiabhängiger Aufallchranke mi dem Meron-Modell anhand einer Beipielrechnung...36 ab. 6: Werenwicklung der Kapialbeandeile im Beipiel...41 ab. 7: Bewerung eine Couponbond...44 ab. 8: Raingmigraionmarix (alle Angaben in %)...53 ab. 9: Bedinge Aufall- und Überlebenwahrcheinlichkeien in %...54 ab. 1: Vergleich de Modell mi unbekannem Firmenwer zu dem Modell mi unbekanner Aufallchranke und unbekannem Firmenwer...71 ab. 11: CDS-Spread anhand akueller Markdaen...76 ab. 1: Überlebenwahrcheinlichkeien bi i und Ineniäen...77 Abbildungverzeichni Abb. 1: Krediriikomodelle im Überblick...1 Abb. : Aufallereignie nach dem klaichen opionheoreichen Anaz... Abb. 3: Graphiche Darellung de Fremd- und Eigenkapial zum Zeipunk... Abb. 4: Srukurkurve der Credi Spread in Abhängigkei von der Laufzei de Fremdkapial...7 Abb. 5: Aufallereignie nach dem Fir-Paage Anaz im Fall K > DB...3 Abb. 6: Enwicklung de Credi Spread bei bekanner Firmenwerenwicklung, aber unbekanner Aufallchranke...64 Abb. 7: Enwicklung de Credi Spread bei bekanner Aufallchranke, aber unbekannem Firmenwer...66 Abb. 8: Enwicklung de Credi Spread bei unbekanner Aufallchranke owie unbekannem Firmenwer...67 Working Paper No. 16 4

5 Symbolverzeichni [ i-1, i ] Zeiinervall von i-1 bi i [ i-1,τ] Zeiinervall von i bi τ α A i A a j a r i a B i b i b B F B R B B c Konfidenzniveau Sandardiierer Firmenwer Kompenaor / Aufallrend Konaner Gewichungparameer Vekor der konanen Fakorgewiche de Makro-Fakor X Unerer ranchierungpunk Sandardiiere Nominal de Fremdkapial bzw. andardiiere Aufallchranke Konane Fakorgewich de idioynkraichen Fakor Z i Oberer ranchierungpunk Barwer eine aufallriikobehafeen Finanziel Barwer der Rückzahlung einer Forderung, welche zum Zeipunk erfolg Barwer der Recovery-Zahlung, welche bei Einri eine Aufallereignie zum Zeipunk τ geleie wird Wer eine aufallgefährdeen Finanziel bei Fälligkei Konane Couponzahlungen C ( ) Wer einer europäichen Call-Opion C ( u, v) Copulafunkion CB CB CF Couponbond Barwer eine Couponbond Cah-Flow zum Zeipunk Ga C r Gau che Copula mi Korrelaionkoeffizienen r C, -Copula mi Korrelaionkoeffizienen r und w Freiheigraden r w Gumbel C r Gumbel-Copula mi Korrelaionkoeffizienen r Clayon C r Clayon-Copula mi Korrelaionkoeffizienen r C Cov CVaR D DB DF Produk-Copula Kovarianz Credi-Value a Rik Aufallereigni / Defaulindikaor Aufallchwelle (Defaul Barrier) Dikonfakor Working Paper No. 16 5

6 Q E E EAD EL e F ( x, y) Riikoneuraler Erwarungwer beim äquivalenen Maringalmaß Q Markwer de Eigenkapial zum Zeipunk Expoure a Defaul Expeced Lo Euleriche Zahl Vereilungfunkion F Gemeiname Vereilungfunkion von x und y F p,ρ Grenzverluvereilung bei großen Porfolien f Dichefunkion G ( x) Vereilungfunkion von i W 1 H ( x) Vereilungfunkion von Z i h i j J () K k L L n LGD M M N Baiineniä bzw. der Ineniä bei einem einzelnen boniäeniiven Finanziel Sprung-Proze Aufallindikaorproze de Unernehmen / Raing-Kaegorie Nominal de Zerobond Konaner Fakor / Anzahl der Aufälle Quai-Verchuldunggrad Porfolioverlu Lo Given Defaul Hioriche ief de Firmenwer Anzahl aler Akien Zählproze / (inhomogener) Poion-Proze / Anzahl neuer Akien P ( ) Wer einer europäichen Pu-Opion p p p(x) p n p n kum. Aufallwahrcheinlichkei Durchchniliche Aufallwahrcheinlichkei Bedinge Aufallwahrcheinlichkei in Abhängigkei von X Bedinge Aufallwahrcheinlichkei in Abhängigkei in Abhängigkei von Raingmigraionen Kumuliere bedinge Aufallwahrcheinlichkei in Abhängigkei in Abhängigkei von Raingmigraionen p urv Überlebenwahrcheinlichkei Payoff a, Auzahlung an den Inveor bei eine CDO-ranche Q α Q ( x) [ b]( z) Alpha-Quanil Vereilungfunkion von X Working Paper No. 16 6

7 q(,) Rec r S S [a,b] S b [ ]( X ) CDS Bedinge Aufallwahrcheinlichkei, welche vom Wienand de Inveor I zum Zeipunk abhängig i, für den Einri eine Aufallereignie vor Fälligkei eine Finanziel Recovery-Rae Riikoloer (koninuierlicher) Zinaz / Korrelaionparameer bei Copulae Emiionkur eine Zerobond Überlebenaneil / Auzahlungquoe a, Bedinger Überlebenaneil Credi Spread Duchchnilicher Credi Spread Credi Spread eine Credi Defaul Swap fair CDS Fairer Credi Spread eine Credi Defaul Swap implizi n m : τ τ 1 τ U U UL u V V V Var V riky V rf v W i W 1 w X Inplizier Credi Spread Credi Spread eine n h -o-defaul Swap mi einem Bake beehend au m ieln Zeipunk der Fälligkei eine Finanziel Zufälliger Zeipunk de Einri eine Aufallereignie Aufallzeipunk beim klaichen opionheoreichen Anaz Aufallzeipunk beim Fir-Paage Anaz Unabhängige Zufallvariable Koninuierlicher Markow-Proze Unexpeced Lo Realiaion von U / Aufallzeipunk im koninuierlichen Fall Firmenwer zum Zeipunk Markwer eine Unernehmen (Eniy-Value) zum Zeipunk Kriicher Unernehmenwer, welcher vorhanden ein mu, dami da Eigenkapial aureichend i, um Couponzahlungen zu gewährleien Varianz Wer eine riikobehafeen Finanziel Wer eine riikofreien Finanziel Konaner Aband de Firmenwer vom hiorichen ief de Firmenwer Sandard-Brownche Bewegung andardiierer Firmenwer Freiheigrade Zufallvariable, die den Makro-Fakor bechreib Working Paper No. 16 7

8 X y Syemaiche Aufallriiko eine Unernehmen X i x Y i y rf Idioynkraiche Aufallriiko eine Unernehmen Realiaion de Makro-Fakor X Aufallindikaor Rendie einer aufallriikofreien Anleihe y riky Rendie einer aufallriikobehafeen Anleihe Z i z λ ~ λ ~ λ FD Λ ~ i ε I Zufallvariable, die den unernehmenpezifichen, idioynkraichen Fakor bechreib Erwareer Porfolioverlu Ineniä Sochaiche Ineniä Sochaiche Ineniä eine Fir-o-Defaul-Swap Nich-negaive ochaiche Funkion Error -Fakor Wienand de Inveor zum Zeipunk µ Drif-Parameer der geomerichen Brownchen Bewegung π σ Pi Volailiä de Firmenwere σ E Volailiä de Markwer de Eigenkapial ρ ρ ij Φ Φ Korrelaionparameer Korrelaion zweier Firmenwere zueinander Sandardnormalvereilung Bivariae Sandardnormalvereilung 1 Φ Invere der Sandardnormalvereilung ϕ ( ) Dichefunkion R Γ Menge der reelen Zahlen Kovarianzmarix Miel Choleky-Zerlegung einer Korrelaionmarix gewonnene unere Dreieckmarix Working Paper No. 16 8

9 1. Einleiung 1.1 Auganglage Die jünge inernaionale Finanzkrie augelö durch die ogenanne Subprime-Krie ha dazu geführ, da ich die Nachfrage und omi gleichzeiig owohl die Enehung von neuen al auch der Handel mi beehenden, komplexen Krediproduken ark reduzier ha. 1 In dieem Zuammenhang wird immer wieder der Ruf nach einer rengeren aalichen Regulierung von Raing-Agenuren und Krediiniuen lau. Ofmal eh hierbei auch die fehlerhafe Anwendung oder die Manipulaion von Krediriikomodellen in der Kriik. Beipielweie werden der Raing-Agenur Moody Fehler in der Modellberechnung von Conan Proporion Deb Obligaion (CPDO) vorgeworfen. 3 Wie diee Beipiel zeig und die Krie eindruckvoll verdeulich, gehen mi der Modellierung von reellen Zuammenhängen Riiken einher, welche nich zu vernachläigen ind. Darüber hinau ha die Finanzkrie uner Anderem aufgrund dieer Riiken da Bewuein über die Nowendigkei eine forchrilichen Riikomanagemen gechärf. Auch der Einaz von Krediderivaen im Rahmen eine akiven Riikomanagemen mi dem Ziel eine opimale Riikoallokaion zu erreichen, i weierhin innvoll. Die Idenifikaion und Quanifizierung von Riiken piel dabei eine maßgebliche Rolle. Nur durch die Kennni riikoadäquaer Pricing- und Bewerungmehoden i e möglich eine fundiere Encheidung darüber zu reffen, ob und welche Riiken eingegangen oder abgeicher werden ollen. Die Grundlage deen bilden die im Rahmen dieer Arbei vorgeellen Krediriikomodelle. 1. Definiion der Begriffe Krediriiko, boniäeniiver Finanziel und Krediriikomodell Krediriiko. Da Krediriiko eneh dem Gläubiger einer Forderung au der Unicherhei über die Zahlungfähigkei oder willigkei eine Schuldner. E bechreib die Gefahr, da die Forderung nich, nur eilweie oder verpäe zurückbezahl wird. Al Forderungen gelen uner Anderem Zin- und ilgungleiungen au Kredien und Anleihen, aber auch Forderungen au dem poiiven Markwer eine derivaiven Gechäf. 4 Im Hinblick auf die poenielle Verluurache lä ich da Krediriiko in die eilkomponenen (Adreen-/ Konrahenen-)Aufallriiko (Defaul Rik) und Boniäänderungriiko (Spread- Widening Rik) differenzieren. 5 Uner dem Aufallriiko vereh man die Gefahr eine konkreen Aufall beipielweie durch Inolvenz de Kredinehmer. 6 Demgegenüber 1 Vgl. Handelbla: Surm über Wall Sree. Augabe vom Vgl. Handelbla: Die Aufeher ziehen die Zügel an. Augabe vom Vgl. Handelbla: Neuraliä nich garanier. Augabe vom Vgl. Müller, Frank: Krediderivae und Riikomanagemen. Frankfur am Main: Bankakademie-Verlag GmbH,. S. 7 5 Vgl. Burghof, Han-Peer e al.: Krediderivae Handbuch für die Bank und Anlagepraxi. Sugar: Schäffer- Poechel Verlag, 5. S Vgl. Burghof, Han-Peer e al.: Krediriiken und Kredimärke, in: Burghof, Han-Peer e al.: Krediderivae Handbuch für die Bank und Anlagepraxi. Sugar: Schäffer-Poechel Verlag, 5. S. 5f. Working Paper No. 16 9

10 wird der Werverlu einer Poiion, welcher durch eine Erhöhung der Wahrcheinlichkei oder de Aumaße eine möglichen Aufall beding wird, al Boniäänderungriiko bezeichne. 7 Im Rahmen dieer Arbei lieg der Foku auf dem Aufallriiko. Sofern nich explizi ewa andere benann i, werden die Begriffe Krediriiko und Aufallriiko ynonym behandel. Boniäeniiver Finanziel. Uner einem boniäeniiven Finanziel wird jede Finanzinrumen veranden, welche krediriikoriikobehafe i. Da im Rahmen dieer Arbei Aufallriiken im Vordergrund ehen, bezeichne der Begriff boniäeniiver Finanziel grundäzlich ein aufallriikobehafee Finanzinrumen. Uner aufallriikobehafeen Finanzinrumene werden in dieer Arbei inbeondere Kredie, Anleihen und Derivae veranden, wobei die gewonnenen Erkennnie auch auf jede andere aufallriikobehafee Finanzinrumen angewende werden können. Krediriikomodell. Berache man beipielweie ein Krediiniu, o i e für diee von größem Ineree über die Werenwicklung innerhalb de eigenen Krediporfolio informier zu ein. Hierbei inereieren zum Einen die Gewinnmöglichkeien, um die poeniellen Rendien auf da eingeeze Kapial einchäzen zu können, und zum Anderen da inhärene Verluriiko, um aureichende Eigenkapialreerven zu Deckung der Verlue bereiellen zu können. Da die Werenwicklung der Einzeliel owie de aggregieren Krediporfolio de Krediiniu uner Umänden von exienieller Wichigkei ein kann, i e nowendig die Werenwicklung aufgrund de inhärenen Krediriiko präziieren, differenzieren und quanifizieren zu können. 8 Hierfür dienen ogenanne Krediriikomodelle. Uner einem Modell wird im Allgemeinen eine rukurgleiche bzw. rukurähnliche Abbildung eine Realiäauchni veranden. 9 Durch die Redukion der Komplexiä der Realiä ollen weenliche Urache-Wirkung-Zuammenhänge aufgezeig werden. Die zur Redukion der Komplexiä nowendigerweie zu reffenden Annahmen können uner Umänden jedoch zu realiäverzerrenden Modellergebnien führen. In der Regel werden zur Quanifizierung der Krediriiken innerhalb eine beimmen Zeihorizon dem ogenannen Riikohorizon mahemaiche Modelle verwende. Hierbei eh inbeondere die Vorwegnahme der zukünfigen Enwicklung der krediriikobehafeen Finanziel im Vordergrund. Ein alernaiver Anaz zu den mahemaichen Modellen ell die Überragung empiricher Beobachungen von Vergleichieln auf die gegebene Problemellung dar. Im Folgenden werden nur die mahemaichen Krediriikomodelle berückichig owie diee auf ihre empiriche auglichkei analyier. Für die Vorwegnahme der zukünfigen Enwicklung der krediriikobehafeen Finanziel müen alle möglichen Umwelzuände bzw. Einflufakoren berückichig werden, welche während de Zeihorizon auf den Wer 7 Vgl. Cremer, Heinz e al.: Riikoeuerung mi Krediderivaen uner beonderer Berückichigung von Credi Defaul Swap. Working Paper Serie No. 8, Frankfur, 7. S.9 8 Vgl. Marin, Marcu R.W. e al.: Krediderivae und Krediriikomodelle Eine mahemaiche Einführung. Vieweg Verlag: Wiebaden, 6. S.11 9 Vgl. Jorzik, Sephan: Semi-analyiche und imulaive Krediriikomeung ynheicher Collaeralized Deb Obligaion bei heerogenen Referenzporfolio. Dieraion an der Univeriä Göingen, Univeriä Göingen: Göingen, 5. S. 59 Working Paper No. 16 1

11 der Finanziel einwirken können. Die für da Krediriiko relevanen Einflufakoren werden auch al Krediriikofakoren bezeichne. Diee Krediriikofakoren müen idenifizier werden und auf geeignee Weie mi dem Wer der krediriikobehafeen Finanziel verknüpf werden, o da uner on gleichen Bedingungen eine Änderung de Krediriikofakor eine möglich realiänahe Änderung de Wer der krediriikobehafeen Finanziel nach ich zieh. Ein weenlicher Beandeil bei dieer Verknüpfung i die Berückichigung der Einriwahrcheinlichkeien der jeweiligen Umwelzuände. Al Ergebni eine Krediriikomodell erhäl man eine Wahrcheinlichkeivereilung de Porfoliower innerhalb de Riikohorizon. 1 Anhand diee Ergebnie können Handlungalernaiven, wie beipielweie der Kauf oder Verkauf von krediriikobehafeen Finanzieln, abgeleie werden. Bevor jedoch eine derarige Encheidung auf Bai eine Krediriikomodell geroffen wird, ollen die geroffenen Annahmen owie die Ergebnie kriich hinerfrag werden. 1 Vgl. Jorzik, Sephan: Semi-analyiche und imulaive Krediriikomeung ynheicher Collaeralized Deb Obligaion bei heerogenen Referenzporfolio. Dieraion an der Univeriä Göingen, Univeriä Göingen: Göingen, 5. S. 59f. Working Paper No

12 . Modellüberblick Im Folgenden oll ein Überblick über verchiedene Bewerunganäze für boniäeniive Finanziel anhand der in der Lieraur verbreieen Unereilung zwichen Unernehmenwer- ( Ae Value- oder Ae-Baed-Model ) und Ineniämodellen ( Ineniy-Baed- Model ) gegeben werden. Unernehmenwermodelle, welche ofmal auch al rukurelle Modelle ( Srucural Model ) bezeichne werden, modellieren da Aufallriiko eine Unernehmen über die zeiabhängige Enwicklung von deen Firmenwer im Verhälni zu deen Fremdkapial. Bei den Ineniämodellen, welche auch al Reduced-Form-Model bezeichne werden, wird der Aufall eine Unernehmen dagegen durch einen exogenen Ineniäproze geeuer. Darüber hinau exiieren hybride Krediriikomodelle, welche eine Michung au Unernehmenwermodellen und Ineniämodellen darellen. Diee bauen im Weenlichen auf Unernehmenwermodellen auf, wobei die hybriden Krediriikomodelle mei die für Unernehmenwermodelle bedeuende Annahme volländiger Informaion fallen laen und geziel Informaiondefizie berückichigen. Krediriikomodelle Unernehmenwermodelle Hybride Krediriikomodelle Ineniämodelle Abb. 1: Krediriikomodelle im Überblick 11 Unernehmenwermodelle. Wie berei bechrieben, bilde die Überlegung, da lezlich der Wer der Akiva eine Unernehmen maßgebend dafür i, ob die Firma dazu in der Lage i ihre Verbindlichkeien bei Fälligkei zurückzuzahlen, die Kernidee der Unernehmenwermodelle. I der Wer der Akiva bei Fälligkei de Fremdkapial geringer al die Forderung, o fäll diee in Höhe de Differenzberag zwichen Akiva und dem Rückzahlungberag de Fremdkapial zuminde eilweie au. Bei dem hiorich äleen Unernehmenwermodell, dem klaichen opionheoreichen Anaz nach Meron, wird hierbei davon augegangen, da da Fremdkapial eine Unernehmen lediglich au einem 1 einzigen aufallriikobehafeen Zerobond beeh. Darüber hinau werden die Vollkommenhei de Kapialmarke, die Güligkei de Modigliani-Miller heorem, eine konane und flache Zinrukur, die Möglichkei koninuierlichen Handel und eine 11 Eigene Darellung 1 Vgl. Meron, Rober C.: On he pricing of corporae deb: he rik rucure of inere rae, in: Journal of Finance Vol. 9, Working Paper No. 16 1

13 geomerich Brownche Bewegung für die Enwicklung de Firmenwer angenommen. 13,14 Die vielen rerikiven Annahmen diee Augangmodell boen zahlreiche Möglichkeien zur Weierenwicklung de Anaze von Meron. So wurden im Zeiverlauf inbeondere die Annahmen einer flachen und konanen Zinrukur, die Unmöglichkei eine Aufall vor der Fälligkei de Fremdkapial, da Beehen eine Zerobond al einzige Fremdkapialkomponene owie die Modellierung der Firmenwerenwicklung über eine geomerich Brownche Bewegung kriich hinerfrag und eilweie aufgehoben. Die nachfolgende abelle biee einen Überblick über die Weierenwicklungen der Unernehmenwermodelle im Zeiverlauf. Da die Bechreibung ämlicher Unernehmenwermodelle im Rahmen dieer Arbei nich zielführend i, werden im Folgenden exemplarich der urprüngliche Anaz nach Meron, die Einführung einer Aufallchranke nach Black und Cox owie die Einbindung eine Couponbond al Fremdkapialkomponene in beiden Anäzen vorgeell. Modell Black und Schole (1973), Meron (1974) Black und Cox (1976) Maon und Bhaacharya (1981) Shimko, ejima und van Devener (1993) Kim, Ramawamy und Sundarean (1993) Lonaff und Schwarz (1995) Annahmen und Modellrukur Uner den Annahmen einer Zweieilung der Finanzierungiel de Unernehmen in Akien und Nullkuponanleihe owie dem Auchlu eine vorzeiigen Aufall ergib ich der Wer einer aufallbedrohen Nullkuponanleihe al Summe de Were einer riikoloen Nullkuponanleihe und dem eine europäichen Shor Pu; uner zahlreichen idealiierenden Annahmen (z.b. vollkommener Kapialmark, konane und flache Zinrukur, koninuierlicher Handel, ein al geomeriche Brownche Bewegung modellierer Unernehmenwer) kann der Wer de Pu mi der Formel von Black und Schole (1973) ermiel werden. Erweierung de BSM-Modell um die Möglichkei eine vorzeiigen Aufall; dieer ri ein, wenn der Unernehmenwer eine zeivariable, aber deerminiiche Schranke unerchreie; außerdem Bewerung von zwei Klaen von Nullkuponanleihen, die ich durch ihre Rangellung unercheiden. Modellierung der Unernehmenwerrendie al Summe eine Driferm und eine homogenen Poion Prozee mi binomialvereiler Sprunghöhe; Aufall bei Unerchreien einer zeivariablen, deerminiichen Schranke durch den Unernehmenwer. Erweierung de BSM-Modell um eine ochaiche Enwicklung der riikoloen Zinrukur; der kurzfriige riikoloe Zinaz wird gemäß dem Modell von Vaicek (1977) modellier; Unernehmenwer und kurzfriiger riikoloer Zinaz korrelieren. Erweierung de BSM-Modell um einen ochaichen kurzfriigen riikoloen Zinaz (modellier durch Proze vom Cox, Ingeroll und Ro (1985)-yp), der mi dem Unernehmenwer korrelier, owie der Möglichkei eine vorfälligen Aufall; Bewerung von kündbaren und nich-kündbaren Kuponanleihen; ein vorfälliger Aufall ri ein, wenn der Neo- Cah Flow de Unernehmen nich hinreichend hoch i, um die (koninuierlichen) Kuponzahlungen zu leien (konane Schranke); in dieem Fall erhäl der Anleihegläubiger im Aufallzeipunk da Minimum eine (exogen pezifizieren) Aneil einer (aufall-) riikoloen Kuponanleihe mi anonen idenichen Auaungmerkmalen und dem Unernehmenwer; bei Fälligkei der Anleihe erhäl der Gläubiger da Minimum au Unernehmenwer und Nominalberag der Anleihe. Erweierung de BSM-Modell um einen ochaichen kurzfriigen riikoloen Zinaz (modellier durch einen Ornein-Uhlenbeck, Proze), der mi dem Unernehmenwer korrelier, owie der Möglichkei eine vorfälligen Aufall; dieer ri ein, wenn der Unernehmenwer niedriger al eine konane Schranke i; in dieem Fall erhalen alle Gläubiger de Unernehmen im Aufallzeipunk einen (ielpezifichen, jedoch exogen vorgegebenen) Aneil einer riikoloen Anleihe mi anonen idenichen Auaungmerkmalen wie ihr zuvor aufallbedroher Zahlunganpruch; Bewerungformeln (Reihendarellung) für aufallbedrohe Nullkuponanleihen 13 Die Annahme eine vollkommenen Marke beinhale z.b. die Abweenhei von ranakionkoen und Seuern, die beliebige eilbarkei aller Finanziel, eine aomiiche Markrukur, einen idenichen Soll- und Habenzinaz und die Möglichkei von Leerverkäufen (. hierzu auch Abchni 3.1.1) 14 Vgl. Grundke, Peer: Modellierung und Bewerung von Krediriiken. Dieraion an der Univeriä zu Köln. Der Deuche Univeriäverlag: Wiebaden, 3. S. 8f. Working Paper No

14 Schönbucher (1996) Briy und de Varenne (1997) Cahcar und El- Jahel (1998) Reneby (1998), Ericon und Reneby (1998) Saá-Requejo und Sana-Clara (1999) Schöbel (1999) Zhou (1) owie fe und variabel verzinliche Kuponanleihen. Modellierung der Unernehmenwerrendie, wie bei Zhou (1), durch einen Sprung- Diffuionproze; Herleiung einer o genannen pariellen Inergro-Differenzialgleichung zur Bewerung von Anleihen und Derivaen eine Unernehmen, deen Akivawer durch einen Sprung-Diffuionproze modellier wird. Modifizierung de Modell Longaff und Schwarz (1995) durch Verwendung einer zeivariablen, ochaichen Aufallchranke owie Berückichigung eine bei Fälligkei zur Rückzahlung de Nominalberage zu niedrigen Unernehmenwere al zweie Aufallquelle; ein vorläufiger Aufall ri ein, wenn der Unernehmenwer kleiner al ein exogen pezifizierer Prozenaz de mi dem (ochaichen) riikoloen Zinaz über die Relaufzei dikonieren Nominalberage der emiieren Nullkuponanleihe i; bei beiden möglichen Aufallaren erhäl der Gläubiger einen vorgegeben Aneil de verbleibenden Unernehmenwere; Herleiung einer gechloenen Bewerungformel für aufallbedrohe Nullkuponanleihen. Modifizierung de Modell von Longaff und Schwarz (1995): Kurzfriiger riikoloer Zinaz wird durch einen ochaichen Proze vom Cox, Ingeroll und Ro-yp modellier; ein Aufall ri ein, wenn ein al geomeriche Brownche Bewegung modellierer Signalproze eine konane Schranke unerchreie; dieer i annahmegemäß unkorrelier mi dem riikoloen Zinaz; Herleiung analyicher Bewerungformeln für aufallbedrohe Nullkuponanleihen und variabel verzinliche Kuponanleihen. Modulare Bewerung verchiedender Finanzierungmiel in einem Unernehmenwermodell, ähnlich dem von Black und Cox (1976), durch Duplizierung der jeweiligen Zahlungrukur miel Barrier-Opionen. Erweierung de BSM-Modell um einen ochaichen kurzfriigen riikoloen Zinaz (modellier durch verchiedene, uner Umänden mi dem Unernehmenwer korreliere Zinprozee) owie der Möglichkei eine vorfälligen Aufall: die Aufallchranke wird durch einen den Wer der Verbindlichkeien repräenierenden ochaichen Proze, der durch die Brownchen Bewegungen de Unernehmenwerprozee und de Zinprozee gerieben wird, modellier; wie bei Longaff und Schwarz (1995) erhalen die Anleihegläubiger bei einem Aufall einen (ielpezifichen, jedoch exogen vorgegebenen) Aneil de Nominalwere der Anleihe im Fälligkeizeipunk. Modifizierung de Modell von Longaff und Schwarz (1995), indem ein Aufall al Unerchreien de mi dem riikoloen Zinaz über die Relaufzei dikonieren Nominalberage der Unernehmenverbindlichkeien durch den Unernehmenwer definier wird; diee Aunahme ermöglich die Herleiung gechloener Bewerungformeln für aufallbedrohe Nullkuponanleihen und Kuponanleihen. Modellierung der Unernehmenwerrendie durch einen Sprung-Diffuionproze mi jeweil unabhängigen, lognormalvereilen Sprunghöhen; Aufall bei Unerchreien einer deerminiichen Schranke durch den Unernehmenwer; Zahlung an die Gläubiger bei einem Aufall erfolg im Fälligkeizeipunk der Anleihe, wobei die Höhe jedoch vom Unernehmenwer im Aufallzeipunk abhängig i. ab. 1: Weierenwicklung von Unernehmenwermodellen im Zeiverlauf 15 Ineniämodelle. Wie berei erwähn, erfolg der Aufall bei Ineniämodellen im Gegenaz zu Unernehmenwermodellen nich endogen aufgrund einer ökonomich nachvollziehbaren Bai, ondern exogen über einen Aufallproze. Der ere Sprung eine Sprungprozee, dem Aufallproze, enprich hierbei dem Aufallzeipunk. Da der Firmenwer nich modellier wird, i bei Ineniämodellen die Definiion der Augleichzahlung, der og. Recovery-Zahlung, bei Einri eine Aufallereignie relevan. Hierbei i owohl eine Annahme über die Höhe al auch über den Zeipunk der Recovery- Zahlung zu reffen. Diee wird in der Regel enweder direk beim Einri de Aufallereignie ( Recovery a Defaul ) oder am Ende der Laufzei de boniäeniiven Finanziel ( Recovery a Mauriy ) geleie. Al Höhe der Recovery-Zahlung kann ein feer Berag, der Auauch de Zahlunganpruch der Gläubiger gegen einen exogen 15 Vgl. Grundke, Peer: Modellierung und Bewerung von Krediriiken. Dieraion an der Univeriä zu Köln. Der Deuche Univeriäverlag: Wiebaden, 3. S. 15f. Working Paper No

15 vorgegebenen Aneil eine aufallriikofreien Finanziel mi anonen gleichen Spezifikaionen, ein Prozenaz de Nominal de aufallriikobehafeen Finanziel oder ein Aneil de Markwere de boniäeniiven Finanziel direk vor dem Aufallzeipunk definier werden. 16 Auch die Ineniämodelle baieren auf mehreren Annahmen, wobei die Anzahl der Annahmen aufgrund de zugrundeliegenden nichökonomich begründeen Modell deulich geringer i al bei den Unernehmenwermodellen. Neben den Annahmen über die Recovery-Zahlung mu bei Ineniämodellen auch eine Annahme über die Modellierung de Zinaze geroffen werden. Darüber hinau i e nowendig eine Annahme über die og. Ineniärae, der exogen gegebenen Aufallrae, zu reffen. Im Rahmen de Abchni 3. ollen Ineniämodelle mi konaner, deerminiicher oder auch ochaicher Ineniä uneruch werden. Darüber hinau i e mi Ineniämodellen möglich neben den zwei Sadien Aufall und kein Aufall auch Boniäänderungen zu modellieren. Derarige Modelle werden auch al Raing-Migraion-Modelle bezeichne und ellen eine Unergruppe der Ineniämodelle dar. Die Idee dieer Modelle wird im Rahmen de Abchni 3. ebenfall kurz erläuer. Wie berei für Unernehmenwermodelle fegehalen, oll nachfolgende abelle einen Überblick der Weierenwicklung von Ineniämodellen geben. Modell Jarrow und urnbull (1995) Monkkonen (1997) Madan und Unal (1998) Schönbucher (1998) Lando (1994, 1998) Duffie (1998) Annahmen und Modellrukur Aufallzeipunk enprich dem eren Sprung eine Sprungprozee mi konaner Ineniärae; ochaiche riikoloe Zinrukur und Aufallzeipunk ind ochaich unabhängig; Gläubiger erhalen im Aufallzeipunk einen (konanen und exogen pezifizieren) Aneil einer riikoloen Anleihe mi anonen idenichen Auaungmerkmalen; Bewerung verchiedener Finanziel im Rahmen einer o genannen Wechelkuranalogie. Zeidikree Modell, bei dem der Aufallzeipunk dem eren Sprung eine Sprungprozee mi ochaicher, vom kurzfriigen riikoloen Zinaz abhängiger Ineniärae enprich; Aneilquoe der Gläubiger im Aufallzeipunk wird durch den von Da und ufano (1996) verwendeen ochaichen Proze modellier; Aufallzeipunk, riikoloe Zinrukur und Aneilquoe ind ochaich abhängig. Aufallzeipunk enprich dem eren Sprung eine Sprungprozee mi ochaicher, vom Eigenkapialwer abhängiger Ineniärae; Aneilquoe der Gläubiger im Aufallzeipunk wird durch Beavereilung modellier; Aufallzeipunk, riikoloe Zinrukur und Aneilquoe ind gemeinam ochaich unabhängig. Erweierung de Modell von Heah, Jarrow und Moron (199) für erminzinrukuren von mi Aufallriiken behafeen Anleihen; Möglichkei mehrfacher Aufälle, bei denen der Nominalwer jeweil um einen ochaichen Fakor reduzier wird, owie von Sprüngen in der aufallriikobehafeen erminzinrukur in den Aufallzeipunken. Aufallzeipunk enprich dem eren Sprung eine Cox Prozee; kurzfriiger riikoloer Zinaz und Ineniäraenproze können durch Abhängigkei von gemeinamen Zuandvariablen korrelieren; Bewerung von Grundbaueinen der Zahlungrukur aufallbedroher Finanziel. Aufallzeipunk enprich dem eren Sprung eine Sprungprozee mi ochaicher Ineniärae; kurzfriiger riikoloer Zinaz und Ineniäraenproze können korrelieren; Verwendung der Annahme, da Gläubiger im Aufallzeipunk einen exogen pezifizieren (zufälligen) Aneil de Nominalwere der Anleihe erhalen; diee Annahme implizier, da Kuponhöhe und Relaufzei nich maßgeblich für die Höhe der Augleichzahlung ind. 16 Vgl. Grundke, Peer: Modellierung und Bewerung von Krediriiken. Dieraion an der Univeriä zu Köln. Der Deuche Univeriäverlag: Wiebaden, 3. S. 17 Working Paper No

16 Duffie und Singleon (1999) Madan und Unal () Duffie und Lando (1) Loz und Schlögl (), Schönbucher () Schmid und Zag () Jarrow und Yu (1) Aufallzeipunk enprich dem eren Sprung eine Sprungprozee mi ochaicher Ineniärae; kurzfriiger riikoloer Zinaz und Ineniäraenproze können korrelieren; Gläubiger erhalen im Aufallzeipunk einen (zufälligen) Aneil de Markwere de iel unmielbar vor dem Aufall; Bewerung aufallbedroher Anleihen kann (uner geeigneen Annahmen) wie im aufallriikoloen Fall erfolgen, wenn der Dikonierung verwendee Zinaz modifizier wird. Aufall ri ein, fall der Verlu L höher i al die Differenz zwichen dem Unernehmenwer und den mi dem riikoloen Zinaz dikonieren zukünfigen Zahlungen an die Fremdkapialgeber i; der Zeipunk de Verlue enprich dem Erprungzeipunk eine homogenen Poion Prozee mi exogen vorgegebener Ineniärae λ; die Verluhöhe L i eine vom Poion Proze unabhängige Zufallvariable mi aionärer, exogen pezifizierer Vereilung M; der Aufallzeipunk ergib ich al Zeipunk de eren Sprunge eine Sprungprozee, deen Ineniärae dem Produk au λ und der Wahrcheinlichkei, da der Berag L höher al die obige Differenz i, enprich; durch aylor-approximaion 1. Ordnung der Ineniärae i diee eine lineare Funkion de Logarihmu de (nich zineniiven eil) de Unernehmenwere und de kurzfriigen riikoloen Zinaze, o da ich gechloene Bewerungformeln für aufallbedrohe Nullkuponanleihen angeben laen. Unernehmenwermodell, bei dem angenommen wird, da die Markeilnehmer nur unvolländige Informaionen über den akuellen Unernehmenwer beizen; e lä ich zeigen, da durch diee Zuazannahme dem Aufallzeipunk eine ochaiche Ineniä zugeordne werden kann (hybride Krediriikomodell). Berückichigung von Aufallriiken in o genannen Markmodellen der Zinrukurenwicklung. Verwendung de Duffie und Singleon (1999)-Modellrahmen mi drei ochaichen Zuandvariablen; kurzfriiger riikoloer Zinaz Unicherheifakor, der al aggregierer Index alle akuellen Informaionen zur Qualiä de Unernehmen widerpiegeln oll, owie kurzfriiger Spread; Fakoren werden durch Mean-Revering-Prozee modellier; die ochaiche Enwicklung de Unicherheifakor beeinflu direk da langfriige Niveau de Spread; heoreich i eine Korrelaion zwichen allen drei Fakoren möglich. Ineniäraenproze jede Schuldner enhäl Sprungerme, die direk durch den Aufall anderer Unernehmen augelö werden; aufgrund dieer Modellierung ind die Aufallzeipunke verchiedener Schuldner ärker korrelier, al wenn die Aufallineniäen lediglich von gemeinamen Zuandvariablen abhängig ind. ab. : Weierenwicklung von Ineniämodellen im Zeiverlauf 17 Hybride Krediriikomodelle. Hybride Krediriikomodelle können divere Auprägungen haben. Grundäzlich baieren diee jedoch auf Unernehmenwermodellen und führen einen Unicherheifakor ein, welcher mei in einem Informaiondefizi begründe i. Durch dieen Informaiondefizi kann dem Aufallzeipunk eine ochaiche Ineniä zugeordne werden und biee omi eine ökonomiche Rechferigung für Ineniämodelle. 18 Dieer Informaiondefizi kann beipielweie in der Höhe der Aufallchranke, dem Firmenwer oder aber dem Einri einer zukünfigen Verbindlichkei in unbekanner Höhe liegen. Die beiden zuer genannen Anäze dienen im Rahmen von Abchni 3.3 al Beipiele für hybride Krediriikomodelle. Der lezere Anaz dagegen i grundäzlich ähnlich und bechreib da unerwaree Aufreen einer Schuld, welche beipielweie durch hohe Verlue im Handel eine Krediiniu begründe ein kann, wobei der Aufall dadurch augelö 17 Vgl. Grundke, Peer: Modellierung und Bewerung von Krediriiken. Dieraion an der Univeriä zu Köln. Der Deuche Univeriäverlag: Wiebaden, 3. S. f. 18 Vgl. Grundke, Peer: Modellierung und Bewerung von Krediriiken. Dieraion an der Univeriä zu Köln. Der Deuche Univeriäverlag: Wiebaden, 3. S. Working Paper No

17 wird, da der Firmenwer abzüglich der dikonieren Verbindlichkeien nich aureich, um diee zuäzliche Schuld zu begleichen. 19 Alle drei Modellypen können owohl zur Modellierung de Krediriiko eine einzelnen boniäeniiven Finanziel al auch im Porfoliofall eingeez werden. Im Folgenden wird auchließlich auf die Modellierung de Krediriiko eine einzelnen boniäeniiven Finanziel eingegangen. Hinichlich der Modellierung de Krediriiko im Porfoliofall wird auf da Frankfur School Working Paper No. 17 verwieen. 19 Vgl. habe, im: Bewerung von Krediriiko, Zahlungunfähigkei, opimale Kapialrukur und Agencykoen bei unvolländiger Informaion. Inauguraldieraion zur Erlangung de Dokorgrade der Wirchafwienchafen der Univeriä Mannheim. Mannheim: 6. S. 6ff. Working Paper No

18 3. Modellierung de Krediriiko eine einzelnen boniäeniiven Finanziel 3.1 Unernehmenwermodelle Klaicher opionheoreicher Anaz Der klaiche opionheoreiche Anaz bilde den Augangpunk der Unernehmenwermodelle und baier auf der Arbei von Meron au 1974, welcher den grundlegenden Anaz von Black und Schole zur Bewerung von Unernehmenverbindlichkeien über Opionbewerung au 1973 erweier ha. Daher wird der klaiche opionheoreiche Anaz häufig al Meron-Modell bezeichne. Nach Meron wird da Fremdkapial eine Unernehmen al Evenualforderung der Gläubiger auf die Vermögenwere de Unernehmen berache. 1 Daher lieg die Grundidee de klaichen opionheoreichen Anaze darin, da ein Unernehmen genau dann aufäll, wenn deen Vermögenwere nich aureichend ind, um die fälligen Verbindlichkeien zu ilgen. Enprechend lieg die Zielezung diee Anaze darin, da Aufallriiko über eine Funkion de Markwer der Vermögenwere eine Unernehmen zur Fälligkei de Fremdkapial zu bechreiben. E gil hierbei zu beachen, da ein Aufall nach dieem Anaz auchließlich zur Fälligkei de Fremdkapial erfolgen kann. Darüber hinau i zu beachen, da der Markwer der Vermögenwere eine Unernehmen nur bei Vernachläigung von Seuern und Inolvenzkoen dem Markwer de Unernehmen enprich. Grundlegende Modellannahmen. Au Vereinfachunggründen gehen Unernehmenwermodelle davon au, da da berachee Unernehmen ich auchließlich über Eigenkapial owie einen Zerobond mi Nominal K und Fälligkei zum Zeipunk refinanzier. Ebeno werden Seuern und Inolvenzkoen im Meron-Modell nich berückichig, wewegen im Folgenden der Markwer der Vermögenwere eine Unernehmen und der Markwer de Unernehmen äquivalen behandel werden. Da Eigenkapial i nachrangig und da daneben Kapialerhöhungen, verminderungen oder auchüungen modelleiig augechloen werden, bechränk ich der Hafungumfang der Eigenkapialgeber auf die Höhe und Enwicklung der urprünglichen Einlagen. 3 Demenprechend i ebeno eine Nachchumöglichkei oder gar pflich modelleiig augechloen. Darüber hinau i auch die Aufnahme von weierem Fremdkapial nich Vgl. Black, Ficher e. al.: he pricing of opion and corporae liabilie, in: Journal of Poliical Economy Vol. 81, S owie Meron, Rober C.: On he pricing of corporae deb: he rik rucure of inere rae, in: Journal of Finance Vol. 9, S Vgl. Meron, Rober C.: On he pricing of corporae deb: he rik rucure of inere rae, in: Journal of Finance Vol. 9, S. 45ff. Vgl. Läger, Volker: Bewerung von Krediriiken und Krediderivaen. Bad Soden/.: Uhlenbruch Verlag,. S Vgl. Läger, Volker: Bewerung von Krediriiken und Krediderivaen. Bad Soden/.: Uhlenbruch Verlag,. S. 167f. Working Paper No

19 zuläig. Der Markwer eine Unernehmen V enprich dem Barwer aller zukünfigen Cahflow (Eniy-Anaz de Dicouned Cah-Flow-Modell) und ell omi die Summe der Markwere von Eigenkapial und Fremdkapial (hier: dem Zerobond) dar. Die Modellierung der Enwicklung de Firmenwer V erfolg über eine geomeriche Brownche Bewegung. Modellierung der Enwicklung de Firmenwer. Die Enwicklung de Firmenwer V wird über eine geomeriche Brownche Bewegung mi Drif-Parameer µ R, Volailiä- Parameer σ >, der Sandard-Brownchen Bewegung ( W ) und einem anfänglichen Firmenwer V > modellier: dv (1) = µ d + σdw V 1 Sez man µ σ m +σw () V V e = m = folg au Iō Lemma: Enprechend i der Firmenwer zum Zeipunk mi (3) LN ( V m, σ ) V ~ + logarihmich normalvereil. 4 Einri de Aufallereignie. Aufgrund der Vorrangigkei de Fremdkapial komm e zum Einri de Aufallereignie D, wenn zur Fälligkei de Fremdkapial der Markwer de Unernehmen unerhalb de Nominal de Zerobond lieg. Formal gil alo für den Aufallzeipunk τ owie für da Aufallereigni D: fall V < K (4) τ = und omi D{ τ = } = V < K on Nachfolgend oll die Funkionweie de klaichen opionheoreichen Anaze graphich veranchaulich werden. Hierzu werden drei unerchiedliche Enwicklungen de Firmenwer eine Unernehmen mi einem anfänglichen Firmenwer von V = 1 und einem in fünf Jahren zu K = 7 fälligen Zerobond berache. E komm zum Einri eine Aufallereignie, wenn zum Zeipunk der Firmenwer unerhalb der fälligen Verbindlichkei K lieg: 4 Vgl. Gieecke, Kay: Credi Rik Modeling and Valuaion: An Inroducion. Ihaca, USA: Cornell Univeriy, 4. S. 4 Working Paper No

20 V 1 1 kein Aufall 8 K = kein Aufall Aufall (in Monaen) Abb. : Aufallereignie nach dem klaichen opionheoreichen Anaz 5 Wenn zum Zeipunk die Vermögenwere eine Unernehmen V größer oder gleich groß wie die Verbindlichkeien K ind, werden die Fremdkapialgeber aubezahl und den Eigenkapialgebern verbleib der Reberag V K (kein Aufall). Lieg der Unernehmenwer V allerding unerhalb K, reich der Firmenwer zur Begleichung der Schuld nich au. Da ein Eigenkapialnachchu modelleiig augechloen i, fäll da Unernehmen au. Die Fremdkapialgeber übernehmen die Firma und erhalen omi V. Enprechend i der Wer de Eigenkapial in dieem Fall null. Nachfolgende abelle oll die möglichen Sadien zum Zeipunk noch einmal verdeulichen: Unernehmenwer Wer de... V K V > K Fremdkapial V K Eigenkapial V K ab. 3: Wer von Fremd- und Eigenkapial bei Fälligkei 6 5 Eigene Darellung in Anlehnung an: Gieecke, Kay: Credi Rik Modeling and Valuaion: An Inroducion. Ihaca, USA: Cornell Univeriy, 4. S. 5 6 Vgl. Läger, Volker: Bewerung von Krediriiken und Krediderivaen. Bad Soden/.: Uhlenbruch Verlag,. S. 164 Working Paper No. 16

21 Der Wer de aufallriikobehafeen Zerobond zum Zeipunk ergib ich demnach au dem Minimum von K und V : (5) B = min( K, ) V Die Umformung der Gleichung zeig, da der aufallriikobehafee Zerobond zu einem Porfolio beehend au einem (aufall-)riikofreien Kredi mi Nominal K und Fälligkei zum Zeipunk owie einer Shor-Poiion in einer europäichen Pu-Opion auf den Firmenwer V mi Srike K und Verfall zum Zeipunk idenich i: (6) B = min ( K, V ) = K max(, K V ) Ebeno kann der Wer de Eigenkapial zum Zeipunk über eine Long-Poiion in einer europäichen Call-Opion auf den Firmenwer V mi Srike K und Verfall zum Zeipunk augedrück werden: (7) E = max(, V K). 7 Inhallich können die Formeln (6) und (7) anhand zweier unerchiedlicher Alernaiven inerpreier werden: 1. Al Gegenleiung für da zur Verfügung geelle Kapial erhalen die Fremdkapialgeber ämliche Reche an dem Unernehmen. Gleichzeiig verkaufen diee den Eigenkapialgebern eine europäiche Call-Opion auf den Unernehmenwer mi oben genannen Spezifikaionen. Die Eigenkapialgeber werden ihre Call-Opion nur dann auüben, wenn der Unernehmenwer am Verfallag der Opion (= Fälligkei de Fremdkapial) V oberhalb de Srike K lieg. In dieem Fall kaufen die Eigenkapialgeber den Fremdkapialgebern die Reche am Unernehmenwer zum Srikeprei ab, welchen diee au dem (zurück-) erworbenen Unernehmenwer zahlen. Demenprechend verbleib den Eigenkapialgebern die Differenz V K. Andernfall werden die Eigenkapialgeber ihre Opion verfallen laen. Enprechend eh dann der geame Unernehmenwer den Fremdkapialgebern zu. 8. Die Poiion der Fremdkapialgeber kann wie berei erwähn auch al Porfolio beehend au einer riikofreien Anlage, welche zum Nominal K zurückgezahl wird (z.b.: riikofreier Zerobond) und deren Konrahen die Eigenkapialgeber ind, owie dem Verkauf einer europäichen Pu-Opion auf den Unernehmenwer mi oben genannen Spezifikaionen an die Eigenkapialgeber inerpreier werden. Au der riikoloen Anlage erhalen die Fremdkapialgeber immer K zurück. Die Eigenkapialgeber werden ihre Pu-Opion nur dann auüben, wenn der Wer de Unernehmen am Verfallag der Opion (= Fälligkei de Fremdkapial) V 7 Vgl. Gieecke, Kay: Credi Rik Modeling and Valuaion: An Inroducion. Ihaca, USA: Cornell Univeriy, 4. S. 5f. 8 Vgl. Läger, Volker: Bewerung von Krediriiken und Krediderivaen. Bad Soden/.: Uhlenbruch Verlag,. S. 165f. Working Paper No. 16 1

22 unerhalb de Srike K lieg. In dieem Fall verkaufen diee den Fremdkapialgebern die Reche an dem Unernehmenwer und erhalen dafür den Kaufprei in Höhe de Srike. Da der Kaufprei und die Rückzahlung au der riikofreien Anlage idenich ind, neen ich diee zu null. Den Fremdkapialgebern verbleib lediglich der geringere Unernehmenwer, während die Eigenkapialgeber nich erhalen. Andernfall werden die Eigenkapialgeber ihre Opion verfallen laen und die fällige Anlage au dem Erlö de Unernehmenwer begleichen. Enprechend erhalen die Fremdkapialgeber K und die Eigenkapialgeber V K. 9 Der Payoff de Eigen- und Fremdkapial mi Srike 7 (= Nominal de Fremdkapial) zum Zeipunk kann anhand der folgenden Graphik verdeulich werden: Payoff Eigenkapial = Long Call-Opion Fremdkapial = riikofreier Zerobond + Shor Pu-Opion V Abb. 3: Graphiche Darellung de Fremd- und Eigenkapial zum Zeipunk 3 Pricing und Bewerung der Kapialbeandeile. Da dem Eigenkapial eine europäiche Call-Opion und dem riikobehafeen Fremdkapial uner Anderem eine europäiche Pu- Opion zugrunde liegen, kann da Pricing der einzelnen Kapialbeandeile wie generell bei europäichen Opionen über die Black-Schole-Formel erfolgen. Bevor jedoch da Pricing der Kapialbeandeile näher bechrieben wird, ollen nachfolgend die wichigen Modellannahmen de Black-Schole-Modell in Erinnerung gerufen werden: a. Underlying (hier: der Firmenwer) folg einer geomerich Brownchen Bewegung mi zeilich konaner Volailiä 9 Vgl. Läger, Volker: Bewerung von Krediriiken und Krediderivaen. Bad Soden/.: Uhlenbruch Verlag,. S. 165f. 3 Vgl. Summer, Chriopher: Credi Rik Advanced Model, Skripum de Fachbereich Bankberieblehre der Wirchafuniveriä Wien, Wien: 7. S. 48 Working Paper No. 16

23 b. Vorliegen eine vollkommenen, wenn auch idealiieren, 31 Kapialmark mi koninuierlichem Handeln (d.h. implizi uner Anderem: volländige Informaion, Arbiragefreihei, Markow-Proze) c. Abweenhei von ranakionkoen, wozu uner Anderem Inolvenzkoen gezähl werden ollen, und Seuern ( idealiierer Kapialmark ) d. Normalvereilungannahme hinichlich der Bewegungen de Underlying e. Liquidiä und beliebige eilbarkei de Underlying f. Möglichkei zur Durchführung von Leerverkäufen g. Keine Vor- oder Nacheilhafigkei durch Halen de Underlying h. Exienz einer konanen und flachen Zinrukurkurve mi riikoloem (koninuierlichem) Zinaz r > owie Ideniä von Soll- und Habenzinaz 3 Obwohl viele der im Modell geroffenen Annahmen in der Realiä nich zureffen, ell da Black-Schole-Modell aufgrund einer Einfachhei, leichen Modifizierbarkei und einer relaiv guen approximaiven Preibeimmung ein geeignee Baimodell zum Pricing von europäichen Opionen dar. 33 E i anzumerken, da die Bewerung der Kapialbeandeile anhand der Black-Schole-Formel für jeden beliebigen Zeipunk erfolgen kann. Da für da Pricing der einzelnen Kapialbeandeile nur der Barwer relevan i, werden im Folgenden in der Regel lediglich die dafür benöigen Formeln berückichig. Enprechend kann der Barwer de Eigenkapial anhand der klaichen Black-Schole- Formel für europäiche Call errechne werden: (8) E = C( σ,,k,r,v ) = V Φ( d ) Ke r Φ( ) 1 d mi K σ ln + r ± σ V ln L ± d = = 1, und Sandardnormalvereilungfunkion Φ, σ σ r Ke wobei L = den Quai-Verchuldunggrad im Zeipunk = darell. V 31 S. Annahme zu c. 3 Vgl. Black, Ficher e. al.: he pricing of opion and corporae liabilie, in: Journal of Poliical Economy Vol. 81, S. 64 owie Läger, Volker: Bewerung von Krediriiken und Krediderivaen. Bad Soden/.: Uhlenbruch Verlag,. S. 167 owie Wirchafwienchafliche Fakulä der Johann-Wolgang Goehe- Univeriä: Black-Schole Modell, hp://www.wiwi.uni-frankfur.de/~doerner/kap3.pdf [Zugriff am 7.4.8] 33 Für eine auführliche Beureilung der Modellannahmen vgl. Wirchafwienchafliche Fakulä der Johann- Wolgang Goehe-Univeriä: Black-Schole Modell. S. 5ff., hp://www.wiwi.unifrankfur.de/~doerner/kap3.pdf [Zugriff am 7.4.8] Working Paper No. 16 3

24 L wird al Quai-Verchuldunggrad bezeichne, da da Fremdkapial nich al Markwer zum Zeipunk = in die Definiion einfließ, ondern in Höhe de, mi dem riikoloen Zinaz dikonieren, Nominalwer angeez wird. 34 Auffällig i hierbei, da ich der Callprei mi eigender Volailiä de Firmenwer ebenfall erhöh. Da heiß, da die Eigenkapialgeber nach dieer Formel immer von einer Erhöhung der Volailiä de Firmenwer profiieren, wa lezlich für diee einen Anreiz zum Eingehen von riikoreicheren Invemen darell. 35 Wie berei erläuer, enprich der Barwer de aufallriikobehafeen Fremdkapial dem Barwer eine riikofreien Zerobond verminder um einen Abchlag für den erwareen Aufallverlu. Der Barwer de riikofreien Zerobond ergib ich durch einfache Dikonierung mi dem koninuierlichen Zinaz r. Der barwerige Abchlag für den erwareen Aufallverlu kann über die Black-Schole-Formel für europäiche Pu-Opionen beimm werden: ( ) r r r (9) B = Ke P( σ,, K, r V ) = Ke Ke Φ( d ) V Φ( d ), Gemäß der Pu-Call-Pariä für europäiche Opionen nach Black und Schole r P( σ,, K, r, V ) = C( σ,, K, r, V ) V + Ke gil für den Barwer de aufallriikobehafeen Zerobond genauo: σ r (1) B = Ke P(,, K, r, V ) = V C(,, K, r, V ) = V E σ Während Formel (1) die Ere der zwei oben bechriebenen inhallichen Inerpreaionalernaiven verdeulich, i Formel (9) der formale Audruck für die zweie Inerpreaionalernaive. Für den Barwer de Unernehmen gil definiiongemäß: (11) V = E + B Implikaionen für die Kapialrukur. E i hierbei anzumerken, da obwohl owohl der Wer de Eigenkapial al auch der de Fremdkapial vom Verchuldunggrad abhängig ind au Formel (11) hervorgeh, da die Kapialrukur für den Firmenwer (al Summe der beiden Komponenen) unerheblich i. Enprechend gelen die (Kapial-) Irrelevanzheoreme von Modigliani und Miller für den klaichen opionheoreichen Anaz zu jedem Zeipunk - demenprechend ebeno für den Aufallzeipunk Vgl. Läger, Volker: Bewerung von Krediriiken und Krediderivaen. Bad Soden/.: Uhlenbruch Verlag,. S Vgl. Gieecke, Kay: Credi Rik Modeling and Valuaion: An Inroducion. Ihaca, USA: Cornell Univeriy, 4. S Vgl. Modigliani, Franco e al.: he co of capial, corporaion finance and he heory of invemen, in: American Economic Review Vol. 48, S Working Paper No. 16 4

25 Daneben i anzumerken, da der Wer de Fremdkapial mi eigender Volailiä de ( ) B, Unernehmenwere fäll ( σ < ). Hierin manifeier ich, da die Eigenkapialgeber nich mehr verlieren können al V K. Wie bechrieben, zeig ich die berei bei der Bewerung der Call-Opion der Eigenkapialgeber, welche von einer eigenden Volailiä profiieren, o da ich deren Riikofreudigkei erhöh. 37 Die erwaree Wachumrae de Unernehmenwere ha dagegen keinerlei Einflu auf den Barwer de Fremdkapial. 38 Die i vor dem Hinergrund, da die Fremdkapialgeber maximal da Nominal de Fremdkapial K zurückerhalen, nachvollziehbar. Aufallwahrcheinlichkei. Die Aufallwahrcheinlichkei enprich der Wahrcheinlichkei, da zum Zeipunk der Firmenwer V geringer i al da fällige Fremdkapial K. Daher wird diee von der Vereilung de Unernehmenwer zum Zeipunk deerminier, welcher aufgrund der Annahme einer geomerich Brownchen Bewegung log-normalvereil i. Enprechend kann die riikoneurale Aufallwahrcheinlichkei p zum Zeipunk auf Bai der Vereilungfunkion der Sandardnormalvereilung berechne werden: (1) p = Ρ m + σw [ V < K] = Ρ[ V e < K] = Ρ W = Ρ m + σw K K ln m ln m V = Φ V < σ σ ln Credi Spread. Um die erwareen Verlue au dem Riiko einer Inveiion in eine aufallriikobehafee Anleihe zu kompenieren, fordern die Inveoren eine zuäzliche Rendie gegenüber der Rendie riikofreier Anleihen, den og. Credi Spread. Formal gil für den Credi Spread de Zeiraum bi : (13) (, ) = y (, ) y ( ) riky rf, Enprechend ergib ich der Wer eine riikofreien Zerobond zum Zeipunk durch: (14) V (, ) rf = Ke yrf (, ) ( ) r( ) = Ke owie der Wer eine aufallriikobehafeen Zerobond zum Zeipunk über: K V Vgl. Läger, Volker: Bewerung von Krediriiken und Krediderivaen. Bad Soden/.: Uhlenbruch Verlag,. S. 171f. 38 Ebenda. 39 Vgl. Gieecke, Kay: Credi Rik Modeling and Valuaion: An Inroducion. Berlin: Humbold-Univeriä,. S. 6 owie Läger, Volker: Bewerung von Krediriiken und Krediderivaen. Bad Soden/.: Uhlenbruch Verlag,. S. 173 Working Paper No. 16 5

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