8 KOLLEKTIVER MAGNETISMUS

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1 6. Jul 15 8 KOLLEKTIVER AGNETIU In Kaptel 6 haben wr de quantenmechanschen Austauschwechselwrkungen kennen gelernt, de zu unterschedlchen magnetschen Ordnungsstrukturen n Festkörpern führen, we wr se n Kaptel 7 dskutert haben. Insbesondere haben wr das Auftreten von kollektvem agnetsmus besprochen. Her wollen wr nun de Phänomene Ferromagnetsmus, Antferromagnetsmus und pnglas näher betrachten. Der hstorschen Entwcklung folgend betrachten wr als Ausgangspunkt de Wesssche olekularfeldnäherung. Daraus leten wr für Ferro- und Antferromagneten Ausdrücke für relevante physkalsche Größen we de krtsche Temperatur oder de magnetsche uszeptbltät ab. Außerdem wollen wr kollektve magnetsche Anregungen dskuteren. Den Abschluss bldet de ehandlung der nach we vor schlecht verstandenen pnglas-phase. 8.1 Ferromagnetsmus De Wesssche olekularfeldnäherung Cure-Temperatur und Cure-Wess-Gesetz En Ferromagnet m agnetfeld Ursprung des olekularfelds Ferromagnetsche Domänen De ferromagnetsche Hystereseschlefe agnetsche Ansotrope und agnetostrkton Ferromagnetsche agnonen Das lochsche T / -Gesetz Antferromagnetsmus Das Wess-odell enes Antferromagneten pn-flop und pn-flp Antferromagnetsche agnonen pngläser

2 8 KOLLEKTIVER AGNETIU 8.1 Ferromagnetsmus En Ferromagnet zechnet sch dadurch aus, dass er en spontanes magnetsches oment bestzt, auch ohne dass en externes magnetsches Feld angelegt wäre. De magnetschen omente snd alle längs ener ausgezechneten Rchtung orentert. Wr vernachlässgen n desem tadum de Exstenz von Domänen, de dazu führen kann, dass ene ferromagnetsche Probe m makroskopschen ttel unmagnetsch st, da sch de agnetserungen der Domänen wechselsetg auslöschen. Das m Folgenden gesagte glt für ene enzelne Domäne. Der Grund für Ferromagnetsmus legt n den n Kaptel 6 dskuterten Austauschwechselwrkungen. Im Hesenberg-odell kann der ferromagnetsche Zustand durch den Hamlton-Operator 16 Hˆ Hesenberg Zeeman J g (8.1) gekennzechnet werden. De Austauschkonstanten J zwschen nächsten Nachbarn müssen postv sen, um ferromagnetsche Ordnung zu garanteren. Der Hamlton-Operator setzt sch aus zwe Antelen zusammen: Der erste Term st de Hesenbergsche Austauschenerge (6.1), der zwete de Zeeman-Energe aus (.7). Wr nehmen zunächst an, dass wr kenen orbtalen agnetsmus haben, also J = und L = De Wesssche olekularfeldnäherung Um de chrödnger-glechung für den Hamlton-Operator (8.1) exakt lösen zu können, müssen wr ene Näherung enführen. De enfachste Näherung st de olekularfeldnährung, Wesssche Näherung oder (modern) mean feld approxmaton. Dabe betrachtet man enen pn mt Nummer als ausgezechnet und ersetzt alle restlchen pns durch en mttleres Feld oder olekularfeld. Deser Rest nmmt also senen quantenmechanschen Erwartungswert en. Da der Enzelspn allerdngs ncht wrklch ausgezechnet st, kann man hnterher auf das Verhalten des ganzen Festkörpers schleßen. Wr formen den Hamlton-Operator (8.1) entsprechend um und erhalten Hˆ g J. (8.) g mf Wr fassen den zweten Term n der Klammer als Korrektur zum äußeren agnetfeld auf und defneren desen Term als sog. olekularfeld mf J g, (8.) das auf den pn auf Gtterplatz enwrkt. o st de gesamte Austauschenerge des pns mt senen Nachbarn n desem olekularfeld zusammengefasst. Was haben wr gewonnen? Wr haben de Austauschwechselwrkung durch ene mttlere magnetsche Flussdchte ersetzt, de auf den pn enwrkt. De Austauschwechselwrkung wrd also formal we en zusätzlches externes magnetsches Feld behandelt. Um de ache weter zu verenfachen, nehmen wr en homogenes ystem an, n dem sch de enzelnen pns und hre Wechselwrkung unterenander von Gtterplatz zu Gtterplatz ncht unterscheden. Damt bestzt das olekularfeld mf an edem Gtterplatz denselben Wert, hängt also

3 8.1 Ferromagnetsmus ncht mehr von ab. (Deser Ansatz st allerdngs besonders n der Nähe der Übergangstemperatur fraglch.) Da m olekularfeld de Energeskala der Coulomb-Abstoßung steckt, kann mf extrem hohe Werte annehmen. Deses mkroskopsche olekularfeld mf st verbunden mt ener mttleren makroskopschen agnetserung des ystems, da eder pn en magnetsches oment m = gµ bestzt. Ersetzen wr durch den Erwartungswert, so erhalten wr für dese agnetserung 1 m ng J, (8.4) V wobe n de räumlche Dchte der pns bezechnet. Es st zu beachten, dass wegen des negatven magnetschen oments der Elektronen de agnetserung entgegen der pnrchtung steht (ld 8.1). Als nächsten chrtt wollen wr de tärke des olekularfelds als Funkton der agnetserung parametrseren. Dazu führen wr de dmensonslose olekularfeldkonstante en mt Für enen Ferromagneten glt >, wobe λ von der Größenordnung hundert st. e tefen Temperaturen rchtet das olekularfeld de pns parallel aus. Dese prechwese st natürlch tautologsch, denn das olekularfeld beschrebt a nchts weter als de vorgefundene Ausrchtung, de sch sozusagen selber hervorruft. e hohen Temperaturen wrd de magnetsche Ordnung durch thermsche Fluktuatonen aufgewecht und be der Cure-Temperatur T C endgültg zerstört. Das vorgestellte odell wurde von Perre-Ernest Wess entwckelt. ene Rechtfertgung erfährt es durch de quantenmechansche Austauschwechselwrkung, welche de Ursache des olekularfelds st. mf. (8.5) Wr können nun das Problem des Ferromagneten m agnetfeld lösen, ndem wr uns stattdessen enen Paramagneten n enem effektven agnetfeld eff vorstellen. Deses Problem mt dem zugehörgen Hamlton-Operator Hˆ (8.6) eff g (8.7) wurde berets n Kaptel gelöst. Dort hatten wr gesehen, dass man de agnetserung enes paramagnetschen ystems mt Hlfe der rlloun-funkton J (y) für belebgen Gesamtdrehmpuls J beschreben kann. De Glechung (.6) beschrebt de agnetserung, wobe wr etzt aber m Argument der rlloun-funkton das olekularfeld mt aufnehmen müssen. Wr erhalten so für de agnetserung enes Ferromagneten das bekannte Ergebns y (8.8) J ld 8.1: Der pn spürt das Wesssche olekularfeld, das von allen anderen pns verursacht wrd. t desem olekularfeld st ene agnetserung verbunden, de entgegen der pnrchtung steht. mt dem modfzerten Argument y g J J (8.9) kt 17

4 8 KOLLEKTIVER AGNETIU und der ättgungsmagnetserung J ng J. (8.1) Für = würden wr enfach de Ergebnsse aus Kaptel reproduzeren. Für > stellen Gl. (8.8) und (8.9) allerdngs en mplztes Glechungssystem für dar. Um es zu lösen, wollen wr zunächst grafsch vorgehen: Enersets st (y) gemäß (8.8) durch de rlloun-funkton J (y) gegeben (ld 8.). etzt man anderersets n (8.9) =, so blebt en Ausdruck für, der lnear n y st: Also st (y) proportonal zu y und der Temperatur T, so dass sch n ld 8. ene Gerade ergbt, deren tegung von der Temperatur abhängt. Oberhalb ener krtschen Temperatur T C schneden sch bede Kurven nur m Ursprung, also blden nur y = und = ene Lösung. Unterhalb T C gbt es dre chnttpunkte. Ene Lösung legt dann weder be =, und zwe wetere Lösungen lefern = sp. De = -Lösung st dabe nstabl, wenn de tegung klener st als de tegung der rlloun-funkton am Nullpunkt. D.h. durch ene belebg klene Fluktuaton kann das ystem vom Zustand = n enen stablen Zustand mt umschlagen. Unterhalb von T C bestzt das ystem damt ene endlche spontane agnetserung sp, de mt kt y (8.11) g J J snkender Temperatur zunmmt. Da wr = angenommen hatten, bedeutet des, dass das ystem ohne externes agnetfeld magnetsert st. Dese spontane agnetserung st das wchtgste Krterum des Ferromagnetsmus Cure-Temperatur und Cure-Wess-Gesetz We bestmmt man de krtsche Temperatur T C? Für T = T C müssen de tegungen von (8.8) und (8.11) be y = glech sen, also J y Für klene Werte von y hatten wr de lneare Näherung J ktc g J J 1 y 1 y Oy J (8.1) (8.1) J für de rlloun-funkton kennen gelernt (sehe Kaptel ). Damt erhalten wr T C rlloun-funkton J = / s 1,,8,6,4 = T = T C, T = T C T =,5 T C,,,5 1, 1,5,,5 y = g J J(+ )/kt J 1g g J J J 1 J J n. (8.14) k J k C spontane agnetserung sp J = 1/ ld 8.: Grafsche Ermttlung der spontanen agnetserung m Nullfeld. De schwarze Kurve st de rlloun-funkton für J = ½, de dre Geraden snd nach (8.1) engezechnet. 18

5 8.1 Ferromagnetsmus Der letzte ruch st aber gerade de Cure-Konstante C aus Kaptel. Damt erhalten wr als krtsche Temperatur de sog. Cure-Temperatur Nun können wr auch das olekularfeld mf TC C. (8.15) ktc (8.16) g J 1 abschätzen. Nehmen wr J = 1/ und T C = 1 K an, so ergbt sch mf 15 T. Des st en ggantsches Feld, das mt Labormethoden unmöglch errecht werden kann. Daran erkennt man de tärke der quantenmechanschen Austauschwechselwrkung J. an kann nun für verschedene J de Glechungen lösen, um de Ausdrücke für / gegen T = T C zu erhalten. De Kurven sehen sch alle sehr ähnlch, de agnetserung be fester reduzerter Temperatur oder 1 snkt mt stegendem J. De agnetserung st mmer Null für T T C und endlch für T < T C. De agnetserung selbst st stetg be T C, ncht aber hre Abletung. Des bedeutet, dass nnerhalb der olekularfeldtheore der Übergang vom Para- zum Ferromagnetsmus en Phasenübergang zweter Ordnung st. De Ordnung enes Phasenübergangs st de Ordnung derengen Abletung der freen Energe, de sch am Phasenübergang unstetg verhält. Da de agnetserung de erste Abletung der freen Energe war, de. Abletung aber unstetg st, hat man also enen Übergang. Ordnung. Legen wr en klenes agnetfeld be Temperaturen oberhalb der Cure-Temperatur T C an, so wrd ene klene agnetserung entstehen. Da wr be hohen Temperaturen snd, können wr de Verenfachung y 1 wählen (also de lneare Näherung (8.1) der rlloun-funkton verwenden). Aus Gl. (8.8), (8.9) und (8.1) erhalten wr Daraus folgt für de agnetserung J 1 g J J J k T T C Wr erhalten für de magnetsche uszeptbltät J T T C. (8.17) TC T T. (8.18) C TC. (8.19) T T Nach Ensetzen der Cure-Konstanten C ergbt sch das berühmte Cure-Wess-Gesetz enes Ferromagneten (F) C C F C. (8.) T T 19

6 8 KOLLEKTIVER AGNETIU 8.1. En Ferromagnet m agnetfeld Durch das Enschalten enes agnetfelds verschebt man de Geraden (y) nach Gl. (8.11) aus ld 8. um nach rechts und erhält Der Effekt st, dass es nun kene Lösungen mt = mehr geben kann, auch ncht oberhalb von T C (ld 8.). Damt wrd der Phasenübergang sozusagen entfernt. Im agnetfeld st es für enen Ferromagneten mmer günstger sch m Feld auszurchten. De Dskontnutät bzw. Unstetgket be T C wrd aufgehoben. In unserem odell spelt de Rchtung des agnetfelds kene Rolle. De agnetserung folgt der Rchtung des agnetfelds. Innerhalb des Wess-odells gbt es kene ausgezechnete Rchtung der magnetschen omente nnerhalb des Krstalls. Des st n Wrklchket ncht der Fall, es legt m Allgemenen ene magnetsche Ansotrope vor. 1 kt y. (8.1) g J J e T = T C lässt sch der Effekt des agnetfelds auch analytsch berechnen. Wr zegen, dass sch be klenen agnetfeldern be T C de agnetserung proportonal zur drtten Wurzel aus dem agnetfeld verhält. Dazu benötgen wr allerdngs den zweten Term der Taylor-Entwcklung der rlloun-funkton aus (8.1) J J 1 5 y 1 y Ay Oy, (8.) J wobe A ene Konstante st. Aus (8.8), (8.9) und (8.) erhalten wr n der Nähe der Cure-Temperatur (T T C ) Daraus folgt J 1 g J J J k TC T C A nk g A TC J J k TC 4 A C nkt rlloun-funkton J = / s T = T C, T = T C T =,5 T C,,,5 1, 1,5,,5 y = g J J(+ )/kt.. (8.) (8.4) Damt verhält sch de agnetserung nahe T C proportonal zur drtten Wurzel aus dem externen agnetfeld. 1,,8,6,4 > spontane agnetserung sp J = 1/ ld 8.: Grafsche Ermttlung der spontanen agnetserung m agnetfeld. De schwarze Kurve st de rlloun- Funkton für J = ½, de dre Geraden snd nach (8.18) berechnet. Es ergbt sch mmer ene spontane agnetserung. 1

7 8.1.4 Ursprung des olekularfelds 8.1 Ferromagnetsmus Das olekularfeld-odell wurde 197 von Perre-Ernest Wess entwckelt. an war damals enttäuscht, dass so mmens groß sen musste, um de hohen Werte von T C (bs zu 194 K für Co) erklären zu können. We wr gesehen haben, können Dpolwechselwrkungen ncht den agnetsmus verursachen. Erst Werner Hesenberg konnte zegen, dass de Austauschwechselwrkung de entschedende Wechselwrkung für kollektven agnetsmus st, wobe aufgrund der Coulomb-Wechselwrkung, de sehr stark st, mühelos de hohen Cure-Temperaturen erklärt werden können. Um es noch enmal klar zu sagen: das olekularfeld exstert ncht. De Austauschwechselwrkung st en ren elektrostatscher Effekt n Verbndung mt dem Paul-Verbot. ttels (8.), (8.4) und (8.5) kann man de olekularfeldkonstante auf de Größe der Austauschkonstante J bezehen: g J ng mf, (8.5) Wenn wr annehmen, dass de Austauschwechselwrkung nur zu den z nächsten Nachbarn besteht (man nennt z auch de Koordnatonszahl), und de umme entsprechend ersetzen, so erhalten wr zj zj J J 1 oder T C. (8.6) ng k Wr hatten bsher angenommen, dass L = und J =. We wr gesehen hatten, st dese Annahme für d-übergangsmetalle recht gut. De Austauschwechselwrkung fndet zwschen pns statt und hängt deshalb von ab. Das magnetsche oment enes Ions hängt von J ab, dem Gesamtdrehmpuls, n dem auch das orbtale Drehmoment L steckt. Da des edoch be d-ionen ausgelöscht st, spelt der Untersched zwschen J und kene Rolle. Anders st de Lage für 4f-Ionen, st kene gute Quantenzahl, aber dafür J. De Komponente von, de senkrecht auf J steht, muss Null sen. De Komponente parallel zu J blebt erhalten. D.h. man muss auf J prozeren. J = L + und L + = g J J plus ener Komponente, de senkrecht auf J steht. De Komponente von, de ene gute Quantenzahl st, st also (g J 1)J. und J snd parallel bzw. antparallel für schwere (Gd bs Yb) bzw. für lechte seltene Erden (Ce bs m). enutzt man nun (g J 1)J für den erhaltenen Antel von, kann man den Hesenberg-Operator J n g 1 J J verwandeln. Wenn man m = g J µ J für das magnetsche J J oment ensetzt, so erhält man genauso we oben g 1 zg 1 J JJ 1 zj J J oder TC. (8.7) ng k J Für g J = erhält man dann weder Gl. (8.6). De Cure-Temperatur st proportonal zum sogenannten de Gennes-Faktor (g J 1) J (J + 1). Deser st am höchsten für Gadolnum, das n der Tat en starker Ferromagnet st Ferromagnetsche Domänen In verschedenen erechen ener Probe, de vom para- n den ferromagnetschen Zustand übergeht, wrd de ymmetre unterschedlch gebrochen: der agnetserungsvektor zegt n desen sog. Domänen n unterschedlche Rchtungen (ld 8.4). An den Grenzflächen zwschen solchen erechen st de Festgket oder tefgket des geordneten Zustands gestört. Während be enem Übergang flüssg-fest Defekte, Korngrenzen etc. entstehen, hat man es bem Übergang vom Para- zum Ferromagneten mt Domänengrenzen (manchmal auch Domänenwände genannt) zu tun. 11

8 8 KOLLEKTIVER AGNETIU Wechmagnetsche Proben, de m Nullfeld kene Nettomagnetserung bestzen, wel se n Domänen zerfallen, de ede de ättgungsmagnetserung bestzen, kann man mt mnmalen externen agnetfeldern voll magnetseren. Dabe kann dann z.. de Probenmagnetserung µ 1 T errechen, während das angelegte Feld 6 Größenordnungen klener st und nur 1 µt beträgt. 1 Des st nur durch Ausrchtung von berets voll magnetserten ld 8.4: En-, zwe- und veldomänge Probe Domänen verständlch. Der Prozess, Domänengrenzen zu bewegen, erfordert offenbar recht weng Energe (was gerade enen wechmagnetschen toff defnert). Es gbt zwe Arten von Domänengrenzen: lochund Néel-Wände. In ener loch-wand rotert de agnetserung n ener Ebene parallel zur Wand. De loch-wand wrd n dünnen Flmen vermeden, wel es energetsch ungünstg st, de agnetserung aus der Flmebene heraus zu drehen. e ener Néel- Wand rotert se dagegen n ener zur Wand senkrechten Ebene. Néel-Wände werden n dünnen Flmen bevorzugt. Ene Eselsbrücke hlft, sch de beden ezechnungen besser zu merken: e ener Néel-Wand dreht de agnetserung aus der Wand heraus und steht quer zur Wand, genauso we der Accent auf dem é quer zum e steht. loch-wand Auf welcher Längenskala spelt sch dese Rotaton ab? etrachten wr als espel de loch-wand. In enem Ferromagneten kostet es Energe, zwe pns gegenenander um enen Wnkel zu verdrehen: J 1 J cos. (8.8) Für = haben wr de Energe der beden pns J. Nähern wr nun de Cosnusfunkton durch den Ausdruck cos 1 für 1 an, erhält man J als Energekosten für ene Rotaton um. In ener loch-wand wrd de agnetserung nsgesamt um gedreht. Des gescheht über N Gtterplätze, also = /N. Damt hat man de Gesamtenergekosten J /N (en N entfällt). an seht sofort, dass sch de gerngste Energe für große N ergbt. Ene Domänenwand würde sch also am lebsten über de gesamte Probe erstrecken, wenn se ncht daran gehndert würde. Doch wovon? Durch magnetsche Ansotrope, sehe Abschntt Da de Domänen entlang der lechten Achse magnetsert snd, muss de agnetserung nnerhalb ener Domänenwand n Rchtung ener schweren Achse wesen, was zusätzlche Energe kostet. Her möchte de agnetserung schneller drehen. Das resultert n endlchen reten der Domänengrenzen. Für Esen beträgt de Dcke ener loch-wand typscherwese 4 nm bzw. N. ld 8.5: loch- und Néel-Wände Néel-Wand 1 En solch klenes Feld würde etwa enen Paramagneten mt uszeptbltät χ = 1 nur auf 1 9 T magnetseren. 1

9 8.1 Ferromagnetsmus Nun möchte man sch de umgekehrte Frage stellen: Warum blden sch überhaupt Domänen, wo doch de Errchtung der Domänengrenzen Energe kostet? an spart natürlch an ener anderen telle. Des st de Energe, de zu magnetschen Dpolfeldern gehört. Wenn de agnetserung an der Probengrenze aufhört, so dvergert das agnetfeld, was en treufeld erzeugt, das den Raum füllt. De Energe pro Raumvolumen st proportonal zu. Dese Energe wrd gespart, wenn Domänen gebldet werden. De n ld 8.4 gezegten Konfguratonen haben unterschedlche Energeblanzen zwschen Domänengrenzbldung und Dpolfeld, Konfguraton (c) st energetsch am günstgsten. ld 8.6: Verglech zwschen agnetkraftmkroskope-(f-)essung und mulaton für ene 1 µm große truktur aus Permalloy (N 8 Fe 17 ) mt ener Dcke von 7 nm n externen agnetfeldern zwschen 5 und +5 mt, aus Ref. []. (a) F-gnal: De Grauskala gbt de Werte der zweten Abletung des magnetschen treufeldes senkrecht zur Zechenebene an. (b) mulaton des F-gnals (c) Zugrundelegende agnetserung: Um den agnetserungszustand zu llustreren, wrd ene wnkelabhängge Farbgebung benutzt. Ener der Flusswrbel, de vom externen Feld durch de agnetserungskonfguraton der Probe getreben werden, st durch kresförmge Pfele gekennzechnet. De Domänenstruktur ener Probe kann mttels agnetkraftmkroskope (magnetc force mcroscopy, F) abgebldet werden. etrachten wr dazu ene dünne chcht aus Permalloy (her: N 8 Fe 17, egentlch N 8 Fe ) mt den Abmessungen 1µm µm 7nm (ld 8.6). Das externe Feld wrd n der Zechenebene von lnks nach rechts (für postves Feld!) angelegt. De agnetserung der enzelnen Domänen legt n der Zechenebene. An den Domänengrenzen (es blden sch nur Néel-Wände) trtt magnetscher Fluss aus der Probenoberfläche aus. Deses treufeld, besser gesagt sene zwete Abletung, wrd über de Kraftwrkung auf ene magnetsche ptze gemessen, de über de Probe bewegt wrd (ld 8.6(a)). Zur Verdeutlchung der esswerte denen mulatonen des F-gnals (ld 8.6(b)). In ld 8.6(c) snd de agnetserungen der enzelnen Domänen farbcodert dargestellt. Dabe snd Domänen mt ener agnetserung nach lnks n blau, nach rechts n rot und nach oben oder unten n weß engefärbt. e 5 mt west de Probe nur ene Domäne auf (blau). Vergrößert man das Feld auf 1 mt, so drngt lnks oben en magnetscher Flusswrbel (vortex) n de Probe en (gekennzechnet durch enen kresförmgen Pfel). Dort bldet sch bem weteren Erhöhen des Feldes ene Domäne mt umgekehrter agnetserung (rot). En glecher Prozess passert rechts unten. Dese roten Domänen wachsen auf Kosten der blauen, bs be mt, also nahe dem Nullfeld, ene veldomänge Konfguraton auftrtt mt enem geschlossenen magnetschen Fluss nnerhalb der dünnen chcht und ener Gesamtmagnetserung von Null. em weteren Erhöhen des Feldes wachsen de roten Domänen weter und verdrängen schleßlch de blauen und weßen, bs de Probe be 5 mt weder endomäng st. C. Pels et al., Thckness and magnetc-feld dependence of doman swtchng n solated and nteractng permalloy contacts, J. agn. agn. ater. 9, 885 (5) 1

10 8 KOLLEKTIVER AGNETIU Im Nullfeld bestzen de mesten Ferromagneten wegen der Domänenbldung kene Nettomagnetserung. Je klener edoch de Probe wrd, desto wchtger werden Oberflächenenergen m Verhältns zu Volumenenergen. De Ausbldung von Domänen reduzert de Volumenstreufelder, kostet aber Oberflächen, also Domänenwandenergen. Damt st klar, dass es ene krtsche Größe geben muss, ab der de ldung von Domänen ncht mehr energetsch günstg st, also en endomänger Zustand bevorzugt wrd. D.h. man erhält enen klenen Permanentmagneten. Typsche krtsche Raden snd m erech von 1 nm bs 1 µm. Deser Wert sollte natürlch größer sen als de rete ener Domänenwand De ferromagnetsche Hystereseschlefe sst man de Probenmagnetserung als Funkton des angelegten agnetfelds H, so erhält man de bekannte ferromagnetsche Hystereseschlefe (ld 8.7). Wchtge egrffe snd de ättgungsmagnetserung (ene ateralegenschaft, schon behandelt), de remanente agnetserung R und das Koerztvfeld H c, be dem sch () R (1) de Probenmagnetserung umdreht. e H c haben wr gerade =. e der agnetserung enes aterals mt magnetschen Domänen bewegen sch de Domänengrenzen. H C H H Deengen Domänen wachsen, de günstg zum () agnetfeld stehen; de anderen schrumpfen (1). päter treten sprunghafte Domänenrotatonen auf n Rchtung ld 8.7: Ferromagnetsche Hystereseschlefe von lechten magnetschen Achsen des Krstalls, de günstg zum agnetfeld stehen (). Des äußert sch m arkhausen-effekt, n Dskontnutäten n der agnetserung und n abgeleteten anderen Größen. Danach werden de pns parallel zum agnetfeld gedreht, unabhängg von lechten und schweren Achsen (). Domänengrenzen spüren n hrer ewegung Krstallfehler bzw. de Grenzen blden sch mestens an Krstallfehlern. olche Fehler pnnen de Grenzen, erhöhen also das Koerztvfeld H c. De Wärmedsspaton enes Ferromagneten m Verlauf der Hysterese entsprcht der engeschlossenen Fläche. e klener Fläche sprcht man von magnetsch wechen ateralen, be großen Flächen von magnetsch harten ateralen. We wr wssen, hängt des von der lechten bzw. schweren ewegung der Domänengrenzen ab. Wechmagnete snd wchtg be der Herstellung von Transformatoren und otoren. Her muss das agnetfeld oft hn- und hergefahren werden, ohne dass man vel Energe verbrauchen möchte. e Wechmagneten legen brete Domänenwände vor, de sch lecht bewegen lassen. Das bekannteste espel st Permalloy, ene NFe-schung (etwa m Verhältns 8:) mt µ H c 1 7 T. Hartmagnetsche ateralen benutzt man dagegen als Permanentmagnete. e haben dünne Domänenwände, de sch lecht pnnen lassen, we z.. n Nd Fe 14 mt T C = 585 K und µ H c 1, T agnetsche Ansotrope und agnetostrkton De Austauschwechselwrkung an sch st sotrop. Was legt dann aber de Rchtung von fest? Dese Frage führt uns zum egrff der magnetschen Ansotrope. Auf Grund verschedener Effekte gbt es bestmmte Vorzugsrchtungen für de agnetserung. In dese Rchtungen lässt sch en ateral lecht magnetseren, deswegen heßen se lechte Achsen (engl. easy axes ). In andere Rchtungen kann man en ateral dagegen vellecht nur schwer magnetseren, dann sprcht man von schweren Achsen ( hard axes ). Wo schwere und lechte Achsen be ener gegebenen Probe legen, hängt von 14

11 8.1 Ferromagnetsmus verschedenen Faktoren ab, we der Probenform oder der Krstallstruktur. Letztlch st es ene Frage, n welcher Rchtung des agnetserungsvektors de free Energe mnmal wrd. Aufgrund der pn-ahn-kopplung st es für das Gtter energetsch günstger, wenn sch de agnetserung n bevorzugte Rchtungen ausrchtet. Deser Effekt äußert sch n ener zusätzlchen magnetokrstallnen Ansotropeenerge, de von enem krstallnen Ansotropefeld ans erzeugt wrd und durch den Zusatzterm Hˆ ans g, (8.9) m Hamlton-Operator beschreben werden kann. Wr fassen Gl. (8.9) als törung zum ungestörten ystem auf, de versucht, de pns n Rchtung von ans auszurchten. De Ansotropeenerge st m Allgemenen klen (1 J), entschedet aber trotzdem über de Rchtung der agnetserung. Gbt es nur en Ansotropefeld, sprcht man von ener unaxalen Ansotrope. Phänomenologsch können wr de tuaton mt Hlfe der agnetserung und ener unaxalen Ansotropeachse U beschreben, ndem wr mt Hlfe der törungsrechnung de free Energe F mnmeren. Dazu betrachten wr de Enhetsvektoren u = U/U der Ansotrope und m = / der agnetserung. an nennt de Komponenten von m auch de Rchtungscosnusse der agnetserung, denn es glt enen Zusatzbetrag ans ld 8.8: Flächen konstanter freer Energe F. (lnks) Kubsche Ansotrope mt dre lechten Rchtungen entlang x, y und z. (rechts) Unaxale Ansotrope mt ener schweren Rchtung entlang z.. De free Energe F erfährt dann durch de magnetsche Ansotrope (8.) mt den unaxalen Ansotropekonstanten K u. V st das Probenvolumen. De darn vorkommenden geraden Potenzen tragen der Tatsache Rechnung, dass U kene Ansotrope-Rchtung beschrebt, sondern nur ene Ansotrope-Achse, dass also de Zusatzenerge vom Vorzechen der agnetserung unabhängg st und parallel U sowe antparallel U denselben energetschen Zusatzbetrag lefern (ld 8.8, rechts). Für de beden führenden Ordnungen folgt, (8.1) wobe der Wnkel zwschen der agnetserung und der unaxalen Ansotropeachse st. agnetsch lechte und schwere Achsen snd oft durch de Krstallstruktur vorgegeben. In enem hexagonalen Krstall mt dchtester Kugelpackung st mest de c-achse de lechte Achse. Innerhalb der ab-ebene herrscht dagegen ymmetre (lechte Ebene). En espel dafür st Cobalt (hcp). e Zmmertemperatur fndet man K u1 = 41 kj/m und K u = 15 kj/m..d. Cullty & C.D. Graham, Introducton to agnetc aterals (Wley, 5). 15

12 8 KOLLEKTIVER AGNETIU ans kann aber auch ene Tensorgröße sen, so dass de Ansotropeenerge nach Gl. (8.9) n verschedene Rchtungen mnmert wrd. Häufg ergeben sch Energeextrema entlang der dre Raumrchtungen, dann sprcht man von ener kubschen Ansotrope (ld 8.8, lnks). Der Zusatzbetrag der freen Energe kann dann beschreben werden durch 16 (8.) mt den kubschen Ansotropekonstanten K k1 und K k. En espel dafür st Esen be K mt den Werten K k1 = 4 kj/m und K k = 15 kj/m. Ene wetere Ansotrope, welche de Rchtung der agnetserung festlegt, st de Formansotrope. Grund st de nmerung des treufeldes n Folge der Dpol- bzw. der magnetostatschen elbstenerge 1 H d r, wobe de Integraton über den gesamten Ferromagneten läuft. Für ene Kugel st de Formansotrope Null. In dünnen Flmen dagegen führt se dazu, dass sch de agnetserung bevorzugt n de Ebene des dünnen Flms legt (ld 8.9). em Übergang n den ferromagnetschen erech ändert sch das Volumen ener Probe (agnetostrkton). Des bedeutet, dass magnetsche und strukturelle Frehetsgrade anenander gekoppelt snd (magnetoelastsche Kopplung). Grund st der Gewnn an ansotroper Energe. Her sorgt der Krstall selbst weder für de Aufhebung der Entartung der möglchen agnetserungsrchtungen. Warum machen sch so klene Energeterme, we de Ansotrope, überhaupt bemerkbar, se beenflussen a ncht enmal T C? Des hängt mt der Rechwete zusammen. De Austauschenerge st stark, aber kurzrechwetg. e bestmmt de Ausrchtung benachbarter pns. Entsprechende Integrale laufen über de Enhetszelle, d.h. de sehr hohen Energedchten entsprechen ncht unbedngt ener sehr großen Gesamtenerge, denn dese zählt a nur! Im langrechwetgen erech versagt de Austauschwechselwrkung. De Ansotropeenerge dagegen st langrechwetg, se fällt nur mt 1/r. Entsprechende Integrale laufen über den gesamten Krstall, so dass de resulterende Gesamtenerge groß wrd. Des klärt etzt endgültg das Rätsel auf, weso en Ferromagnet mt sehr klenen Feldern komplett magnetsert werden kann, obwohl doch de Austauschenergen um en Velfaches größer snd. Dese muss eben gar ncht überwunden werden, sondern nur de klenen langrechwetgen Energen Ferromagnetsche agnonen e T = st der Festkörper geordnet. De tuaton st allerdngs aufgrund von quantenmechanschen Nullpunktsschwankungen ncht statsch. e endlchen Temperaturen kommen nun thermsche Anregungen hnzu. In enem Krstall snd des thermsch angeregte Gtterschwngungen, de n Phononen quantsert snd. Das Verhalten der Phononen wrd durch ene Dspersonsrelaton beschreben. Dese beschrebt den Zusammenhang der Kresfrequenz und der Wellenzahl k der fortschretenden Welle. Oder anders: e beschrebt de ezehung zwschen der Energe und dem Impuls k der Welle. Wr ernnern uns an de enato- (4f/m) 1/ Energe ld 8.9: agnetsche Hysteresekurve für ene nm dünne chcht aus Fe O 4. akustsches Phonon,,,4,6,8 1, Wellenzahl k (/a) ld 8.1: Dspersonsrelaton enes akustschen Phonons ener enatomgen Kette nach (8.)

13 mge Kette. Dort lautet de Dspersonsrelaton (ld 8.1) 8.1 Ferromagnetsmus 4 f ka sn. (8.) m f st de Federkonstante zwschen den Atomen, m hre asse und a hr Glechgewchtsabstand. an bezechnet solche Phononen als akustsch. Das wesentlche erkmal st, dass = be k = glt. Des bedeutet, dass es ener verschwndend gerngen Energe bedarf, um en langwellges Phonon mt = /q zu erzeugen. e Temperaturen T > kann also mmer en thermsch angeregtes akustsches Phonon entstehen: Es exstert kene Lücke m Anregungsspektrum we des be optschen Phononen der Fall st. Im Festkörper führt des zum Debyeschen T -Gesetz der spezfschen Wärme. Für = und k = st auch de Energe glech Null be Impuls p = k =. En relatvstsches Telchen hat de Energe E = p c + m c 4, also glt E m. Deswegen st das Phonon masselos. Im Ferromagneten entsprechen den Gtterschwngungen de pnwellen, hre quantserten Enheten snd agnonen. Aus dem Verglech mt Phononen und den Egenschaften von ystemen mt gebrochener ymmetre wssen wr schon Wesentlches über dese agnonen und hre Dspersonsrelaton. Wr leten nun de Dspersonsrelaton für pnwellen m Grenzfall T semklasssch her. Wr gehen aus vom Hesenberg-odell ener endmensonalen Kette und berückschtgen zunächst ken Ansotropefeld. ˆ H J 1 ˆ ˆ (8.4) Wr ernnern daran, dass de Zetabhänggket des Erwartungswerts enes Operators  durch d dt Aˆ 1 Aˆ, Hˆ (8.5) gegeben st. Also erhalten wr für de Zetabhänggket des Erwartungswerts des Operators des -ten pns d dt ˆ 1 ˆ, Jˆ ˆ Wegen [Ŝ,Ŝ ] = für müssen wr nur de ummanden mt = berückschtgen. d dt ˆ J J 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 1 ˆ, ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ (8.6) t [Ŝ Â,Ŝ] = Ŝ Â, worn wederum de pnvertauschungsrelatonen [Ŝ x,ŝ y ] = Ŝ z stecken, erhalten wr d dt ˆ J ˆ ˆ 1 ˆ 1. (8.7) Wr fassen nun de pnoperatoren bzw. hre Erwartungswerte als klasssche Vektoren auf. Im Grundzustand seen alle pns ausgerchtet, sagen wr entlang der z-achse, also z = und x = y =. Nun betrachten wr enen Zustand, der en bsschen vom Grundzustand abwecht, also z und x, y <<. Produkte x y können wr dann vernachlässgen. 17

14 8 KOLLEKTIVER AGNETIU Wr erhalten d dt y y y 1 1 J x x x 1 1 (8.8) Um deses Glechungssystem zu lösen, machen wr enen Ansatz der Form A kat e (8.9) mt Koeffzenten A, 1. Engesetzt n (8.5) erhalten wr zwe wchtge Ergebnsse: () Für A, ergbt sch A =, also dass de x- und y-ewegung um / außer Phase snd. Des beschrebt ene zrkulare Präzesson der enzelnen pns um de z-rchtung (ld 8.11). Dabe trtt von Gtteratom zu Gtteratom de Phasenverschebung k a auf. Außerdem reduzert edes agnon de Gesamtmagnetserung ld 8.11: pnwelle n ener enatomgen Kette um, also um = 1. Denn en agnon st nchts anderes als en enzger umgeklappter pn, der allerdngs auf de gesamte Kette vertelt st. () Außerdem erhalten wr folgende ezehung zwschen Energe und Impuls 4J 1cos k a. (8.4) Wegen = für k = legen also Goldstone-oden vor. Im Untersched zu akustschen Phononen, be denen nahe Null en lnearer Zusammenhang von Kresfrequenz und Wellenzahl vorlegt, glt her Jzk a. Im allgemenen dredmensonalen Fall müssen wr de Anzahl z nächster Nachbaratome (Koordnatonszahl) berückschtgen. Als Dspersonsrelaton für ferromagnetsche Paramagnonen erhalten wr (ld 8.1) z J z cos k a, (8.41) 1 wobe a de Vektoren bezechnet, de das Zentralatom mt senen nächsten Nachbarn verbndet Das lochsche T / -Gesetz,,,4,6,8 1, Wellenzahl k (/a) Analog zum freen Elektronengas aus Kaptel 5 wollen wr uns nun de Zustandsdchte für agnonen überlegen. Wenn man sch de magnonschen Zustände als Punkte m k-raum vorstellt, haben dese den Abstand /L, wobe V = L das Probenvolumen st. Flächen konstanter Energe m k-raum snd Kugeloberflächen. Ene nfntesmal dünne Kugeloberfläche mt Radus k bestzt das Volumen 4k dk. Um de Anzahl der magnonschen Zustände zu berechnen, müssen wr durch das k-raum- Energe 8J ferromagnetsches Paramagnon ld 8.1: Dspersonsrelaton enes ferromagnetschen Paramagnons ener enatomgen Kette nach Gl. (8.4) 18

15 8.1 Ferromagnetsmus volumen telen, das en agnon ennmmt. Deses beträgt gerade (/L). Wr können daher für de Anzahl N magnonscher Zustände bs zum axmalmpuls k schreben N 4 k Vk. (8.4) L 6 Erhöht man nun k um dk, so ändert sch de Anzahl Zustände um dn, und es glt n erster Näherung dn Vk dk g d. (8.4) An deser telle wurde de Zustandsdchte g() engeführt. e bezechnet de Anzahl Zustände pro Frequenzntervall d. t der Dspersonsrelaton (8.41) kann man dk durch d ersetzen. Wr tun das für tefe Temperaturen, wo nur wenge agnonen angeregt snd, nähern de Cosnusfunkton durch ene Parabel, und erhalten In Gl. (8.4) engesetzt ergbt sch g d 4Jza k dk. (8.44) V. (8.45) 4Jza Jza Damt folgt für de agnonen-zustandsdchte be tefen Temperaturen g V 4 Jza. (8.46) Wr wollen noch kurz de agnetserung enes Ferromagneten be Temperaturen T nahe Null abschätzen. De Anzahl N mag der angeregten agnonen, erhält man durch Integraton der Zustandsdchte über alle Frequenzen, wobe mt der ose-vertelung gewchtet wrd. N mag exp g V d kt 1 exp kt 4 Jza d. (8.47) 1 De ose-vertelung muss angewendet werden, da wr es a mt osonen zu tun haben. t der ubsttuton x /kt führt des auf N mag V kt 4 Jza e x x dx 1 V kt 4 Jza, (8.48) wobe de Remannsche Zetafunkton st. Entschedend st, dass n T / glt. We schon oben erwähnt, reduzert edes agnon de Gesamtmagnetserung um, also um. Damt glt, wenn N de Gesamtanzahl pns bezechnet, für de agnetserung be tefen Temperaturen T N mag N T. (8.49) Des bezechnet man als das lochsche T / -Gesetz. Deses Gesetz beschrebt expermentelle Daten recht gut für tefe Temperaturen. 19

16 8 KOLLEKTIVER AGNETIU De Energe E der agnonen lässt sch ebenfalls relatv enfach ausdrücken durch E g exp kt d 1 Damt folgt für den etrag der agnonen zur spezfschen Wärme C mag T 5. (8.5) E T. (8.51) T Zum chluss se bemerkt, dass de agnonen ncht nur zur spezfschen Wärme enes aterals betragen können, sondern auch zum Wärmetransport. Insbesondere n antferromagnetschen, solerenden ateralen we La CuO 4 wrd zurzet ausführlch dskutert, ob der beobachtete Wärmetransport ncht hauptsächlch durch agnonen vermttelt wrd. 4 Zu guter Letzt stören agnonen (we Phononen) natürlch auch den elektrschen Transport. Deser Effekt wrd n der Vorlesung pnelektronk ausführlch behandelt. Her wollen wr ledglch als Ergebns festhalten, dass der spezfsche, elektrsche Wderstand aufgrund von treuung an agnonen be tefen Temperaturen proportonal zu T st. 8. Antferromagnetsmus Wenn de Austauschkonstante J negatv st, dann sorgt das olekularfeld für ene antparallele Ausrchtung der pns zwschen nächsten Nachbarn. Desen Antferromagnetsmus wollen wr nun m odell betrachten Das Wess-odell enes Antferromagneten We schon n Kaptel 7 angedeutet, kann man sch enen Antferromagneten aus zwe nenander geschachtelten, antparallelen ferromagnetschen Untergttern aufgebaut denken. Jedes Untergtter hat sene egene agnetserung A,, wobe m Nullfeld (8.5) A glt. Im Folgenden wollen wr weder annehmen, dass de agnetserungen we auch das äußere Feld parallel zu z stehen, und schreben skalare Größen anstelle von Vektoren. Jedes Untergtter erzeugt sen egenes olekularfeld µ A bzw. µ und ordnet ferromagnetsch, so dass für edes Untergtter für sch genommen de Ergebnsse aus übernommen werden können. etrachtet man edoch den gesamten Antferromagneten, so bldet das Untergtter en weteres olekularfeld µ, welches auf de pns des Untergtters A enwrkt, und umgekehrt (ld 8.1). Damt st de resulterende effektve Flussdchte an den Gtterplätzen des antferromagnetschen Gtters gegeben durch eff A eff A A. (8.5) Im Gegensatz zum ferromagnetschen Fall (8.6) stehen her nus- statt Pluszechen, wel de Austauschkonstante J negatv st. De Parameter und snd postv, wobe wegen der größeren Nähe der pns des ewels anderen Untergtters > glt. 4 C. Hess et al., agnon heat transport n doped La CuO 4, Phys. Rev. Lett. 9, 197 () 14

17 t (8.5) folgt eff A eff A. De Glechungen (8.54) snd formal dentsch zu (8.6) mt dem klenen Untersched, dass durch ersetzt st. omt können wr de für das Wess-odell des Ferromagneten erhaltenen Ergebnsse wetgehend übernehmen. Da de beden Untergtter bs auf hre magnetsche Ausrchtung äquvalent snd, genügt es nsbesondere, nur enes der beden zu betrachten. Dabe muss aber berückschtgt werden, dass en Untergtter nur halb so dcht st, also nur halb so vele Atome pro Volumen bestzt we das gesamte Gtter. t desen Überlegungen erhalten wr sofort de krtsche Temperatur, unterhalb derer Antferromagnetsmus auftrtt. e heßt Néel-Temperatur und st gegeben durch 1 TN C. (8.55) A 8. Antferromagnetsmus (8.54) Ohne äußeres Feld blebt de Gesamtmagnetserung mmer Null, während de agnetserungen der Untergtter mt abnehmender Temperatur anstegen. Oberhalb von T N kann der Enfluss enes schwachen agnetfelds weder we m Fall des Ferromagneten berechnet werden. Dazu muss weder de rlloun-funkton n hrer lnearen Näherung verwendet werden. an erhält als magnetsche uszeptbltät enes Antferromagneten AF 1, (8.56) T T also weder en Cure-Wess-Gesetz der Form (T ) 1, wobe m Verglech zum Fall des Ferromagneten = T C durch = T N ersetzt wurde. Damt kann man de uszeptbltät m paramagnetschen erech charakterseren. Wäre >, so hätten wr enen Ferromagneten. Wenn dagegen <, dann charaktersert das Cure-Wess-Gesetz enen Antferromagneten. an trägt zur Klassfzerung enes unbekannten aterals m paramagnetschen Zustand entweder (T) auf, häufger 1 (T) (sehe ld n Kaptel ), aber auch T (st konstant für =, stetg anstegend für ferromagnetsche Instabltät und stetg abnehmend für antferromagnetsche Instabltät). Legt man m Falle des Antferromagneten en Feld an, so wrd es komplzerter als bem Ferromagneten, da nun a de Rchtung des agnetfelds entschedend wrd. Rchtet sch ene Untergttermagnetserung parallel zum agnetfeld aus, um Energe zu gewnnen, so wrd des durch den Energeverlust des anderen Untergtters kompensert. Zunächst führen wr de Dskusson für den Fall T = durch, so dass wr thermsche Fluktuatonen ausschleßen können. Legen wr das Feld parallel zu enem Untergtter an, also antparallel zu dem anderen, so wrd kene Ausrchtung erfolgen, da das Untergtter a schon komplett ausgerchtet, also gesättgt st. Das andere Untergtter ändert sch auch ncht, da es de antferromagnetsche Kopplung ncht überwnden kann. Insgesamt st also =. Legen wr nun aber das agnetfeld senkrecht zur agnetserungsrchtung an, dann werden bede Untergtter sch um enen klenen Wnkel verkppen (engl. cantng ), so dass ene agnetserungskomponente parallel zu nduzert wrd, also (ld 8.14). N ld 8.1: Das antferromagnetsche Gtter st aus zwe ferromagnetschen Gttern A und mt entgegen gesetzter pnrchtung und agnetserung zusammengesetzt. ede erzeugen olekularfelder, de auf den pn enwrken. T N T N A ld 8.14: agnetsche uszeptbltät χ enes Antferromagneten n Abhänggket von der Temperatur T. Für Detals sehe Text. T 141

18 8 KOLLEKTIVER AGNETIU e endlcher Temperatur < T < T N verklenern nun thermsche Fluktuatonen das olekularfeld. wrd sch ncht verändern, da das agnetfeld bede Untergtter n glecher Wese n hrer agnetserung reduzert, und das auch noch symmetrsch. wrd allerdngs etwa lnear n T anstegen, da ene Untergttermagnetserung verstärkt, de andere unterdrückt. (T) spaltet also unterhalb von T N auf n en konstantes und en auf Null fallendes (ld 8.14). 8.. pn-flop und pn-flp etrachten wr nun starke agnetfelder und setzen zunächst weder T =. Das Endergebns st klar. Irgendwann wrd das Feld so groß sen, dass alle pns glechgerchtet snd. loß: Der Weg dahn hängt weder von der Rchtung des agnetfelds ab. Im Falle, dass senkrecht auf der agnetserung der Untergtter steht, wrd es sukzessve de agnetserungen der Untergtter n Rchtung des Feldes und damt de pns n de entgegengesetzte Rchtung des Feldes drehen, so dass de agnetserungsrchtungen der Untergtter verkanten (engl. cantng, sehe ld 8.15(a)). Was passert m Fall der agnetfeldrchtung parallel zur agnetserung? e klenen Feldern passert erst mal gar nchts. Dann passert der pn-flop-übergang: De pns klappen plötzlch n ene neue Konfguraton, n der se m selben Wnkel zum Feld stehen (ld 8.15(b)). Erhöht man das Feld weter, so werden se allmählch parallel gedreht. an kann des quanttatv lecht ausrechnen. tehe A m Wnkel zu, m Wnkel. Im Falle klener Felder glt = und =. In der pn-flop-phase glt =. Wr nehmen an, dass de Gesamtenerge durch de Zeeman-Energen A, der beden Untergtter und der Austauschwechselwrkungsenerge (de vom Wnkel der Untergtter zuenander abhängt) gegeben st. Um de agnetfeldansotrope zu modelleren, führt man noch den Term 1 cos E cos cos A cos Zeeman A Zeeman Im Nullfeld ( = ) reduzert sch (8.57) zu cos en. Damt ergbt sch Austausch 1 cos cos 1 cos. (8.57) E A cos cos. (8.58) We man nach kurzer Überlegung enseht, wrd dese Energe mnmal für + =. an erhält also ene antferromagnetsche Ausrchtung. (o wurde Gl. (8.57) a auch konstruert.) Als Energe für den Grundzustand ergbt sch mn E A. (8.59) Interessant wrd es nun m agnetfeld ( > ). Für den pn-flop-fall ( = ) haben wr cos E cos A cos. (8.6) spnflop (a) (b) A A pn-flop ld 8.15: De agnetserungen A, der antferromagnetschen Untergtter A und m äußeren agnetfeld senkrecht (a) und parallel zu (b). Für Detals sehe Text. 14

19 ! E führt auf de nmumbedngung arccos A. Damt ergbt sch 8. pngläser mn E spn flop A. (8.61) A Oberhalb enes krtschen Feldes pn-flop fällt dese Energe unter de chwelle (8.6), wodurch de pn-flop-phase energetsch günstger wrd. Des führt zur Phasentrennung der antferromagnetschen und der pn-flop-phase be E = A. Durch Glechsetzen von (8.6) und (8.61) erhalten wr das krtsche pn-flop-feld 1 spnflop A. (8.6) Es gbt auch enen pn-flp-übergang, be dem das ene Untergtter plötzlch komplett umklappt. De agnetserung hat dann be T = nur zwe möglche Werte: und A Antferromagnetsche agnonen We m ferromagnetschen Fall bestzt auch das antferromagnetsche Gtter agnonen als elementare Anregungen. Als Ausgangspunkt ener theoretschen eschrebung dent derselbe Hamlton- Operator (8.1) we m Falle ferromagnetscher agnonen. Ledglch de Austauschkonstante J st etzt negatv zu wählen. Ene sorgfältge etrachtung n Analoge zu Abschntt lefert für de enatomge Kette de Dspersonsrelaton 4 J sn k a. (8.6) Dese st aber qualtatv verscheden vom Fall der ferromagnetschen agnonen. Insbesondere glt für klene k ncht k, sondern k. Im allgemenen dredmensonalen Fall müssen wr de Koordnatonszahl z berückschtgen und erhalten als Dspersonsrelaton für antferromagnetsche Paramagnonen z J z exp k a, (8.64) 1 wobe a weder de Vektoren bezechnet, de das Zentralatom mt senen nächsten Nachbarn verbndet. Energe 8J,,,4,6,8 1, Wellenzahl k (/a) ferromagnetsches Paramagnon antferromagnetsches Paramagnon ld 8.16: Dspersonsrelaton enes antferromagnetschen Paramagnons ener enatomgen Kette nach Gl. (8.6) m Verglech zum ferromagnetschen agnon 8. pngläser De pnglas-phase st dadurch charaktersert, dass zwar lokal ene spontane agnetserung auftrtt, dese aber global verschwndet. De pns der magnetschen Ionen snd n Clustern engefroren, deren Orenterungen statstsch vertelt snd (ld 8.17). Charakterstsch für den pnglas-zustand st, dass es ene resge Zahl solcher metastabler Zustände gbt. Des legt an den n Kaptel 7 erwähnten konkurrerenden Wechselwrkungen, de zum Frustratonseffekt führen. Demnach gbt es ld 8.17: Verschwndende globale spontane agnetserung durch statstsche Vertelung von Clustern mt ausgerchteten pns 14

20 uszeptbltät free Energe F 8 KOLLEKTIVER AGNETIU verschedene pnkonfguratonen, de denselben Energewert bestzen. pnkonfguraton T > T f T < T f ld 8.18: Free Energe enes pnglases n Abhänggket von der pnkonfguraton (schematsch) für Temperaturen oberund unterhalb der pnglas- Temperatur T f Aufgrund des Frustratonseffektes west de free Energe enes pnglases n Abhänggket von der pnkonfguraton vele verschedene nma auf, de durch mehr oder wenger hohe Energebarreren vonenander getrennt snd (ld 8.18). e höheren Temperaturen snd dese nma stark abgeflacht, außerdem st hre Anzahl wesentlch klener als be tefen Temperaturen. De resge Zahl metastabler Zustände m pnglas führt zu nteressanten Phänomenen. rngt man den Körper zunächst n en agnetfeld und kühlt hn erst dann unter de pnglas- Temperatur T f ab ( feld cooled, FC), so kann das pnsystem soglech n enen Zustand gelangen, n dem de free Energe hr absolutes nmum hat und der somt dem Glechgewchtszustand entsprcht. In desem Falle beobachtet man ene temperaturunabhängge magnetsche uszeptbltät 1. Wrd dagegen das agnetfeld erst unterhalb T f angelegt ( zero feld cooled, FC: 1 ZFC: Temperatur T ld 8.19: agnetsche uszeptbltät enes pnglases. Für Detals sehe Text. ZFC), so blebt das pnsystem n enem lokalen nmum der freen Energe mt ener magnetschen uszeptbltät < 1 hängen (ld 8.19). Wr bemerken, dass gerade der Temperaturverlauf der magnetschen uszeptbltät zegt, dass es sch bem Übergang vom paramagnetschen n den pnglas-zustand um enen Phasenübergang zweter Ordnung handelt. Ursprünglch dachte man, dass de Absenkung der magnetschen uszeptbltät am Phasenübergangspunkt von enem Antferromagneten herrührt. In der Teftemperaturphase enes Antferromagneten treten auch zwe verschedene magnetsche uszeptbltäten und auf, abhängg davon, ob de Vorzugsrchtung des Krstalls parallel oder senkrecht zum äußeren agnetfeld ausgerchtet st. Genauere Untersuchungen durch Neutronenstreuexpermente zegten edoch kene magnetschen ragg- Peaks, de be Anwesenhet ener langrechwetgen Ordnung vorlegen sollten. En weteres pnglas-phänomen st das der Alterung. Herzu wrd de Probe be Anwesenhet enes äußeren agnetfeldes unter de pnglas-temperatur T f abgekühlt. e deser Temperatur T < T f blebt das äußere agnetfeld während der Wartezet t W engeschaltet. Anschleßend wrd das agnetfeld ausgeschaltet und man beobachtet de Relaxaton der remanenten agnetserung. Dese Relaxaton erfolgt sehr langsam und ncht-exponentell. elbst für belebg lange Zeten saturert de remanente agnetserung ncht. Das Experment zegt, dass sch en pnglas ncht n enem echten thermodynamschen Glechgewchtszustand befndet. Das pnglas drftet velmehr mt zunehmender Zet t n mmer tefere nma der Potentallandschaft, de ener kleneren thermoremanenten agnetserung entsprechen. Außerdem sehen wr, dass der Relaxatonsprozess von der Alterungszet t W abhängt. Je größer t W st, um so langsamer erfolgt de Relaxaton. Des kann man sch dadurch erklären, dass be angelegtem agnetfeld en größerer erech der Potentallandschaft erkundet und dadurch en stableres Potentalmnmum gefunden werden kann, aus dem heraus nach dem Ausschalten des agnetfeldes de Relaxaton erfolgt. emerkenswert st dabe, dass de beden Zetskalen t W und t makroskopsch snd, d.h. se können mehrere tunden oder Tage betragen. T f 144