Baustatik 2 (Modul 3121) Veranstaltungen Sommersemester 2018

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1 (odul 32) Veranstaltungen Sommersemester 208 Vorlesung: Di 08:5 09:45 Uhr, R..5 Beginn: Hörsaalübung: Do 4:5 5:45 Uhr, R..07 Beginn: Ansprechpartner: Prof. Dr.-Ing. Andreas Falk Sprechstunde Do. 0:00 :30 Uhr, R..0 Tel.: 0523 / andreas.falk@hs-owl.de Internet:

2 Literaturangaben [] Bletzinger, K.-U. et. al.: Aufgabensammlung zur Baustatik. Übungsaufgaben zur Berechnung ebener Stabtragwerke.. Auflage, 205, Hanser Fachbuchverlag. [2] Dallmann, R.: Baustatik - Berechnung statisch bestimmter Tragwerke. 5. Auflage, 205, Hanser Fachbuchverlag. [3] Dallmann, R.: Baustatik 2 - Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke. 4. Auflage, 205, Hanser Fachbuchverlag. [4] Dinkler, D.: Grundlagen der Baustatik - odelle und Berechnungsmethoden für ebene Stabtragwerke. 4. Auflage, 206, Springer Vieweg. [5] Friedrich,.: Das Kraft- und Weggrößenverfahren in Beispielen.. Auflage, 203, Springer Vieweg. [6] Hirschfeld, K.: Baustatik - Theorie und Beispiele; 4. Aufl. 998, Springer-Verlag. [7] Holschemacher, K. (Hrsg.): Entwurfs- und Berechnungstafeln für Bauingenieure. 7. Auflage 205, Bauwerk Verlag. [8] Horschig, R.; Spitzer, P.: Statik im Bauwesen, Bd. 5, Aufgaben und Lösungen. 2. Auflage 20, Beuth-Verlag. [9] Kirsch, W.: Statik im Bauwesen, Bd., Statisch bestimmte Systeme; 22. Auflage 20, Beuth-Verlag. [0] Kirsch, W.: Statik im Bauwesen, Bd. 2, Festigkeitslehre; 9. Auflage 202, Beuth-Verlag. [] Kirsch, W.: Statik im Bauwesen, Bd. 3, Statisch unbestimmte Systeme; 4. Auflage 202, Beuth-Verlag. [2] Krätzig, W.; Harte, R.; eskouris, K.; Wittek, U.: Tragwerke Theorie und Berechnungsmethoden statisch bestimmter Tragwerke. 5. Auflage 204, Springer-Verlag. [3] Krätzig, W.: Tragwerke 2 - Theorie und Berechnungsmethoden statisch unbestimmter Tragwerke; 4. Auflage 2004, Springer-Verlag. [4] Krätzig, W.; Basar, Y.: Tragwerke 3 - Theorie und Anwendung der ethode der Finiten Elemente;. Auflage, 997, Springer-Verlag. [5] eskouris, K.; Hake, E.: Statik der Stabtragwerke - Einführung in die Tragwerkslehre; 2. Auflage 2009, Springer-Verlag. XBK 292 XBK 266 XBK 266 XBK 278 Campuszugriff XBK 86 WSN 42 XBK 28 XBK 28 XBK 28 XBK 28 XBN 74 XBN 74 XBN 74 XBK Baustatik_2_208.docx 2

3 [6] Lohmeyer, G.C.O.; Baar, S. : Baustatik, Grundlagen; 2. Auflage 205, Vieweg + Teubner. [7] Lohmeyer, G.C.O, Baar, S. : Baustatik 2, Bemessung und Festigkeitslehre; 2. Auflage 204, Vieweg + Teubner. [8] Petersen, C., Gebbeken, N.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen; 3. Auflage 2002, Vieweg + Teubner. XBK 0 XBK 0 XBK 29 [9] Schatz, D.: Klausurtraining Statik, 2. Aufl. 2003, Vieweg +Teubner XBK 208 [20] Schneider, K.-J. (Hrsg.): Bautabellen für Ingenieure; 22. Auflage 206, Werner-Verlag. [2] Schneider, K.-J.; Schmidt-Gönner, F.: Baustatik Zahlenbeispiele Statische bestimmte Systeme. 3. Auflage Bauwerk Verlag. [22] Schneider, K.-J.; Schweda, E.: Baustatik Beispielsammlung. 999, Werner-Verlag. [23] Schneider, K.-J.; Schweda, E.: Baustatik Statisch bestimmte Systeme. 5. überarbeitete Auflage 999, Werner-Verlag. [25] Schneider, K.-J.; Schweda, E Seeßelberg, C.; Hausser, C.: Baustatik kompakt. 6. überarbeitete Auflage 2007, Bauwerk-Verlag. [24] Schweda, E.; Krings, W.: Baustatik Festigkeitslehre. 3. überarbeitete Auflage 2000, Werner-Verlag. [26] Werkle, H.: Finite Elemente in der Baustatik - Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke. 3. Aufl. 2008, Vieweg + Teubner. [27] Wetzell, O.W. (Hrsg).: Wendehorst Beispiele aus der Baupraxis. 5. Aufl. 205, Teubner Verlag. [28] Wetzell, O.W. ; Krings, W.: Technische echanik für Bauingenieure 3 Verformungen und statisch unbestimmte Systeme. 2. Auflage, 20. Vieweg + Teubner. [29] Widjaja E.: Baustatik einfach und anschaulich. 4. Aufl. 203, Bauwerk Verlag. WSN 06 XBK 256 XBK 22 XBK 22 XBK 22 XBK 7 XBK 98 WSN 45 WSN 45 XBK Baustatik_2_208.docx 3

4 Internet-Hinweise (Fast alle großen Bauwerke der Welt) (Für Brückenfans) (Links für Brückenfans) Hochschulen (Auswahl) (Institut für Baumechanik u. Numerische echanik) (Institut für Statik und Dynamik, Uni Hannover) (Institut für Angewandte echanik, TU Braunschweig) (Institut für Statik, TU Braunschweig) Baustatik_2_208.docx 4

5 Inhalt Baustatik 2 ALLGEEINES ZUR BERECHNUNG STATISCH UNBESTITER STABWERKSYSTEE. Grundlegende Annahmen für Theorie. Ordnung.2 Grundgleichungen der Elastostatik 2.3 ethoden der Stabstatik 3.4 Statisch bestimmte Systeme - Statisch unbestimmte Systeme 4 2 ELASTISCHE FORÄNDERUNGEN IN DER LINEAREN STABSTATIK 9 2. Kleine Übersicht: Kraftgrößen Weggrößen Schnittgrößen und Spannungen Grundlegende Zusammenhänge Verformungen infolge Normalkraft Verformungen infolge Biegemoment Grundlegende Annahmen und Zusammenhänge Zusammenhang zwischen Biegemoment, Spannungen und Krümmung Verformungen infolge Querkraft Zusammenfassung: Verformungen infolge, N, V Verformungen infolge gleichmäßiger Temperaturänderung T Verformungen infolge veränderlicher Temperatur T Verformungen infolge Schwinden Verformungen infolge Kriechen Zusammenfassung: Formänderungsgrößen bei Stabtragwerken 29 3 ECHANISCHE ARBEIT UND FORÄNDERUNGSENERGIE Einführung Annahmen und Voraussetzungen Äußere Arbeit Begriffe, Definitionen Eigenarbeit - Fremdarbeit Innere Arbeit Formänderungsenergie Spezifische Formänderungsenergie Formänderungsenergie bei Normalspannungen Formänderungsenergie bei Schubspannungen Formänderungsenergie bei zentrischer Normalkraft Formänderungsenergie bei Biegemoment y Formänderungsenergie bei Querkraft Vz Formänderungsenergie pro Längeneinheit in verschiedenen Schreibweisen 40 4 ARBEITSPRINZIPE, ARBEITSSÄTZE 4 4. Das Prinzip der virtuellen Arbeiten (PdvA) Das Prinzip der virtuellen Verrückungen (PdvV) Das Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) Baustatik_2_208.docx 5

6 4.2 Verschiebungsberechnungen mit Hilfe der Integraltafeln Beispiel : Kragträger unter Einzellast Beispiel 2: Balken auf zwei Stützen unter Einzellast Beispiel 3: Balken auf zwei Stützen unter Streckenlast Beispiel 4: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm Beispiel 5: Holzbalken Beispiel 6: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm Beispiel 7: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm und Stützensenkung Beispiel 8: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm und Feder Beispiel 9: Verformungsberechnung mit Normalkrafteinfluss Beispiel 0: Klausuraufgabe Zwängungslastfälle Allgemeines Beispiel : Verformungsberechnung für den Lastfall Erwärmung Beispiel 2: Verformungsberechnung für den Lastfall T Einfluss von Stützensenkungen bei der Verformungsberechnung Beispiel 3: Dreigelenkrahmen Einfluss von Federungen bei der Verformungsberechnung Allgemeines Dehnfedern Beispiele für Dehnfedern Reihenschaltung und Parallelschaltung von Dehnfedern Drehfedern Berücksichtigung von Federungen im Arbeitssatz Gesamtverschiebung Beispiele mit Federungen und Stützensenkungen Beispiel Beispiel Beispiel 6 - Gelenkträger Zusammenfassendes Beispiel Beispiel 8 - Dreigelenkrahmen Grundaufgaben der Verformungsberechnung 74 5 DAS KRAFTGRÖßENVERFAHREN Idee des Kraftgrößenverfahrens Vorgehen Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen - Der Reduktionssatz Beispiele für einfach statisch unbestimmte Systeme Beispiel Beispiel Baustatik_2_208.docx 6

7 5.4.3 Beispiel Berücksichtigung von Temperatureinflüssen, Schwinden, Auflagerverformungen und Federn Temperatureinfluss Gleichmäßige Temperatur Ts Veränderliche Temperaturverteilung T über den Querschnitt Schwinden Vorgegebene Auflagerverformungen Endgültige Zustandsgrößen bei Zwängungslastfällen Federungen Beispiel 4 (Zwängungslastfälle am einfach unbestimmten System) Beispiel 5 (Anwendung des Reduktionssatzes) Beispiel 6 - Zweigelenkrahmen ehrfach statisch unbestimmte Systeme Einführendes Beispiel Gleichungssystem und -lösung Zur Wahl des statisch bestimmten Hauptsystems Beispiel 7 - Dreifeldträger Beispiel 8 (mit Federungen) Beispiel Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften Eigenschaften von Zustandslinien bei symmetrischer und antimetrischer Belastung Belastungsumordnung Beispiel 0 - Klausuraufgabe Beispiel - Klausuraufgabe Computerunterstützte Berechnung von Stabtragwerken Verbreitete Stabwerksprogramme (Auswahl) Kurzer Vergleich Eingabe von Temperaturlastfällen Rahmentragwerke Innerliche und äußerliche statische Unbestimmtheit Beispiel Beispiel 3 - Rahmen mit unterschiedlichen Steifigkeiten Beispiel 4 mit Rahmenformel und Reduktionssatz Baustatik_2_208.docx 7

8 Abbildungsverzeichnis Bild -: Tragverhalten bei Gleichstreckenlast: Einfeldträger - Zweifeldträger 4 Bild -2: Tragverhalten bei Zwängungslastfällen: Einfeldträger - Zweifeldträger 5 Bild -3: Tragverhalten bei Gleichstreckenlast Dreigelenkrahmen Zweigelenkrahmen 6 Bild -4: Tragverhalten bei Zwängungslastfällen Dreigelenkrahmen Zweigelenkrahmen 7 Bild 2-: Normalspannungen infolge Biegemoment 20 Bild 2-2: Schubspannungen infolge Querkraft 20 Bild 2-3: Zusammenhang zwischen Kraftgrößen und Weggrößen 2 Bild 2-4: Gleichgewicht in Stablängsrichtung 22 Bild 2-5: Längsverformungen 22 Bild 2-6: Längsdehnungen 22 Bild 2-7: Normalkraft - Normalspannungen 23 Bild 2-8: Kinematik bei Biegung 25 Bild 2-9: Zusammenfassende Darstellung zu Formänderungen infolge N,, V 27 Bild 2-0: Verformungen infolge Temperaturgradient über den Querschnitt 28 Bild 3-: Äußere Arbeit 32 Bild 3-2: Eigenarbeit 33 Bild 3-3: Fremdarbeit 33 Bild 3-4: Zur Veranschaulichung von spezifischer Formänderungsenergie 34 Bild 3-5: Formänderungsenergie für Normalspannungen 35 Bild 3-6: Formänderungsenergie für Schubspannungen 36 Bild 3-7: Formänderungsenergie bei Normalkraft 37 Bild 3-8: Formänderungsenergie bei Biegemoment 38 Bild 3-9: Formänderungsenergie bei Querkraft 39 Bild 4-: Beispiele -5 zur Verformungsberechnung 45 Bild 4-2: Beispiel 6 zur Verformungsberechnung 46 Bild 4-3: Beispiel 7 zur Verformungsberechnung 47 Bild 4-4: Beispiel 8 zur Verformungsberechnung 47 Bild 4-5: Beispiel 9 zur Verformungsberechnung 48 Bild 4-6: Beispiel 9 zur Verformungsberechnung Schnittkraftlinien 48 Bild 4-7: Beispiel 0 zur Verformungsberechnung 49 Bild 4-8: Beispiel 0 zur Verformungsberechnung - Schnittkraftlinien 49 Bild 4-9: Verformungen bei Zwängungslastfällen 50 Bild 4-0: Beispiel System und Belastung 5 Bild 4-: Beispiel Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung 5 Bild 4-2: Beispiel 2 System und Belastung 52 Bild 4-3: Beispiel 2 Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung 52 Bild 4-4: Biegelinie bei einem Zweifeldträger 53 Bild 4-5: Einfluss von Stützensenkungen bei der Verformungsberechnung 53 Bild 4-6: Beispiel 3 - Verformungsberechnung bei einem Dreigelenkrahmen 54 Bild 4-7: Beispiel 3 Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung 54 Bild 4-8: Beispiel 3 Wirkliche Beanspruchung infolge Ts 55 Bild 4-9: Beispiel 3 wirkliche Beanspruchung infolge T 55 Bild 4-20: Beispiel 3 Wirkliche Beanspruchung infolge sv 56 Bild 4-2: Beispiel 3 Wirkliche Beanspruchung infolge sh Baustatik_2_208.docx 8

9 Bild 4-22: Beispiel 3 Schnittkraftlinien infolge wirklicher Belastung q 57 Bild 4-23: Lineares Federgesetz 58 Bild 4-24: Federnde Lagerungen 58 Bild 4-25: Ersatzfedern 59 Bild 4-26: Ersatzfedern bei einer Pfahlgründung 60 Bild 4-27: Ersatzfeder bei einem Elastomerlager 6 Bild 4-28: Ersatzfeder bei elastischem Baugrund 6 Bild 4-29: Reihen- und Parallelschaltung von Federn 62 Bild 4-30: Drehfedergesetz 63 Bild 4-3: Ersatz-Drehfeder 63 Bild 4-32: Einfluss einer Dehnfeder bei der Verformungsberechnung 64 Bild 4-33: Einfluss einer Drehfeder bei der Verformungsberechnung 65 Bild 4-34: Beispiel 4 mit Dehnfeder - System und Belastung 67 Bild 4-35: Beispiel 4 mit Dehnfeder Auflagerkräfte und omentenlinien 67 Bild 4-36: Beispiel 5 mit Drehfeder - System und Belastung 68 Bild 4-37: Beispiel 5 mit Drehfeder Auflagerkräfte und omentenlinien 68 Bild 4-38: Beispiel 6 - Gelenkträger - System und Belastung 69 Bild 4-39: Beispiel 5 Gelenkträger - Auflagerkräfte 69 Bild 4-40: Beispiel 6 - Gelenkträger - omentenlinien 69 Bild 4-4: Zusammenfassendes Beispiel 7 - System und Belastung 70 Bild 4-42: Zusammenfassendes Beispiel 7 - Ergebnisse 7 Bild 4-43: Beispiel 8 - Dreigelenkrahmen 2 - System und Belastung 73 Bild 4-44: Beispiel 8 - Dreigelenkrahmen 2 - Schnittkraftlinien 73 Bild 4-45: Grundaufgaben der Verschiebungsberechnung 74 Bild 5-: Idee des Kraftgrößenverfahrens 75 Bild 5-2: Zweifeldträger - System und Belastung 8 Bild 5-3: Beispiel ögliche statisch bestimmte Hauptsysteme 8 Bild 5-4: Einhüftiger Rahmen - System und Belastung 82 Bild 5-5: Einhüftiger Rahmen LSZ und ESZ 82 Bild 5-6: Einhüftiger Rahmen mit Kragarm - System und Belastung 83 Bild 5-7: Einhüftiger Rahmen mit Kragarm LSZ und ESZ 83 Bild 5-8: Temperaturlastfälle 84 Bild 5-9: Zweigelenkrahmen - System und Belastung 88 Bild 5-0: Zweigelenkrahmen SBHS / LSZ 88 Bild 5-: Zweigelenkrahmen Visualisierung der Ergebnisse 89 Bild 5-2: Tragwerk mit Dehnfeder - System und Belastung 90 Bild 5-3: Ergebnisplot aus STAB2D 90 Bild 5-4: (q) am SBHS 9 Bild 5-5: () am SBHS 9 Bild 5-6: ESZ 9 Bild 5-7: Endgültige omentenlinie () 92 Bild 5-8: Beispiel 6 - System und Belastung 93 Bild 5-9: Visualisierung von Delta-Zahlen beim Durchlaufträger 94 Bild 5-20: Zur Wahl des statisch bestimmten Hauptsystems 98 Bild 5-2: Verschiebliche Systeme 99 Bild 5-22: Beispiel 7 - System, Belastung, Schnittgrößen Baustatik_2_208.docx 9

10 Bild 5-23: Beispiel 7 - LSZ und ESZe 00 Bild 5-24: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern - System und Belastung 0 Bild 5-25: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern SBHS und LSZ 0 Bild 5-26: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern ESZe 02 Bild 5-27: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern Superposition 03 Bild 5-28: Tragwerk mit Drehfeder - System und Belastung 05 Bild 5-29: Beispiel 9 mit Drehfeder ESZe 05 Bild 5-30: Schnittgrößenverläufe bei Symmetrie und Antimetrie 06 Bild 5-3: Symmetrie und Antimetrie: Symmetrieachse senkrecht zum Stab 06 Bild 5-32: Symmetrie und Antimetrie: Symmetrieachse im Stab 07 Bild 5-33: Belastungsumordnung bei symmetrischen Systemen 07 Bild 5-34: Beispiel 0 mit Dehnfedern - System und Belastung 08 Bild 5-35: Beispiel 0 mit Dehnfeder - System und Belastung 09 Bild 5-36: Beispiel 0 mit Dehnfeder SBHS und LSZ 09 Bild 5-37: Beispiel 8 mit Dehnfeder LSZ und ESZe 0 Bild 5-38: Beispiel mit Drehfedern - System und Belastung Bild 5-39: Beispiel mit Drehfedern EDV-Plot der -Linie 2 Bild 5-40: Beispiel - EDV-Plot der -Linie 3 Bild 5-4: Skizze zu Temperatureinwirkungen 5 Bild 5-42: Skizze zu Temperatureinwirkungen 2 5 Bild 5-43: Äußere und innere statische Bestimmtheit 6 Bild 5-44: Beispiel 2 - System, Belastung 7 Bild 5-45: Beispiel 2 - ESZ und LSZ 7 Bild 5-46: Beispiel 2 Ergebnisse der EDV-Berechnung 8 Bild 5-47: Beispiel 3 System und Belastung 9 Bild 5-48: Beispiel 3 LSZ und ESZe 9 Bild 5-49: Beispiel 3 Ergebnisse der EDV-Berechnung 20 Bild 5-50: Beispiel 4 System und Belastung 2 Bild 5-5: Beispiel 4 mit Reduktionssatz 2 Bild 5-52: Beispiel 4 Ergebnisse der EDV-Berechnung 22 Tabellenverzeichnis Tabelle 2-: Formänderungsanteile 29 Tabelle 3-: Formänderungsenergie in unterschiedlichen Schreibweisen 40 Tabelle 5-: Notwenigkeit der Ermittlung von N-Linien Tabelle 5-2: Kurzer Vergleich ausgewählter Statikprogramme Baustatik_2_208.docx 0

11 Allgemeines zur Berechnung statisch unbestimmter Stabwerksysteme Bei statisch unbestimmten Systemen können die Schnittgrößen, der Spannungs- und Verformungszustand in der Regel nicht allein aus Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden. Es müssen Formänderungsbedingungen, geometrische Verträglichkeitsbedingungen berücksichtigt werden.. Grundlegende Annahmen für Theorie. Ordnung Technische Biegetheorie des geraden dünnen Stabes Der Stab wird durch seine Stabachse dargestellt und ist im unverformten Zustand gerade. b,h << l, l 5 h kleine Verformungen w << h << l Verdrehungen β << β tan β sin β w (x,y,z) w(x) Die Querschnitte bleiben eben (Formtreue), Bernoulli-Hypothese, Teil Jakob Bernoulli ( ) β (x,z) β (x) Schubverformungen werden vernachlässigt Bernoulli-Hypothese Teil 2: Normale bleibt Normale β (x) - w (x) lineare Dehnungsverteilung über den Querschnitt lineare Verzerrungs-Verschiebungsbeziehungen u(x,z) u(x) - w (x) * z Spannungen senkrecht zur Stabachse werden vernachlässigt σz 0; σy 0 linear-elastisches Werkstoffverhalten (Hooke sche Gerade) lineare Spannungsverteilung über den Querschnitt Gleichgewicht am unverformten System Baustatik_2_208.docx

12 .2 Grundgleichungen der Elastostatik Gleichgewichtsbedingungen Zusammenhang zwischen äußerer Belastung und Schnittgrößen N V q(x) dx n(x) V+dV +d N+dN Zug / Druck Biegung Torsion N ( x) n( x) ( x) V ( x); V ( x) q( x) ( x) q( x) T ( x) m ( x) T Kinematik: Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung Zug / Druck Biegung Torsion ε ( x) u ( x) N κ( x) β ( x) w ( x) κ T ( x) ϑ ( x) ε B ( x, z) z κ( x) Elastizitätsgesetz (Konstitutive Beziehungen) Beziehung zwischen Kraft- und Deformationsgrößen Zug / Druck Biegung Torsion N ( x) EAu ( x) ( x) EI κ ( x) EI w ( x) ( x) GI κ ( x) T T Definition von Schnittgrößen mithilfe der Spannungen Zug / Druck Biegung Torsion N ( A) σ da σ z da T τ r da ( A) ( A) Differentialgleichung Zug / Druck Biegung Torsion EA u ( x) n( x) EI w ( x) q( x) GI ϑ ( x) m ( x) T T Baustatik_2_208.docx 2

13 .3 ethoden der Stabstatik athematische ethoden Differentialgleichung der Biegelinie Energiemethode Baustatik 2 Baustatische Verfahren Kraftgrößenverfahren (KGV) o Klassisches KGV o Historisches Verfahren (CLAPEYRON) o Orthogonalisierungsverfahren Formänderungsgrößenverfahren o Drehwinkelverfahren (DWV) nach ANN o Weggrößenverfahren nach OSTENFELD o Historische Iterationsverfahren (CROSS, KANI) atrizenstatik Übertragungsverfahren Variationsrechnung Ritz-Verfahren Galerkin-Verfahren Finite-Element-ethode (FE) Baustatik_2_208.docx 3

14 .4 Statisch bestimmte Systeme - Statisch unbestimmte Systeme Statisch bestimmt - Einfeldträger Statisch unbestimmt 2-Feldträger omentenlinie, Biegelinie, Konstruktionshöhe Bild -: Tragverhalten bei Gleichstreckenlast: Einfeldträger - Zweifeldträger Baustatik_2_208.docx 4

15 Verhalten bei Zwängungslastfällen Statisch bestimmt Stützensenkung Statisch unbestimmt Gleichmäßige Temperaturveränderung Temperaturunterschied über die Querschnittshöhe Bild -2: Tragverhalten bei Zwängungslastfällen: Einfeldträger - Zweifeldträger Baustatik_2_208.docx 5

16 Statisch bestimmt - Dreigelenkrahmen Statisch unbestimmt Zweigelenkrahmen omentenlinie, Biegelinie, Konstruktionshöhe Bild -3: Tragverhalten bei Gleichstreckenlast Dreigelenkrahmen Zweigelenkrahmen Baustatik_2_208.docx 6

17 Verhalten bei Zwängungslastfällen Statisch bestimmt - Dreigelenkrahmen Stützensenkung Statisch unbestimmt Zweigelenkrahmen Gleichmäßige Temperaturveränderung Bild -4: Tragverhalten bei Zwängungslastfällen Dreigelenkrahmen Zweigelenkrahmen Baustatik_2_208.docx 7

18 Temperaturunterschied über die Querschnittshöhe Baustatik 2 Vorteile statisch unbestimmter System Nachteile statisch unbestimmter Systeme Die Verteilung von Biege- und Dehnsteifigkeiten sowie Auflagerfedern haben bei statisch unbestimmten Systemen einen erheblichen Einfluss auf die Verteilung der Lagerkräfte und Schnittkräfte Baustatik_2_208.docx 8

19 2 Elastische Formänderungen in der linearen Stabstatik 2. Kleine Übersicht: Kraftgrößen Weggrößen Schnittkraft Verformung Verzerrungsmaß (bezogene Verformung, abgeleitete Verformungsgröße) N(x) u(x) Dehnung / Stauchung Vy(x); Vz(x) wv(x) Schubverzerrung / Schubwinkel y(x); z(x) β(x) Krümmung β(x) u(x) wv(x) -w (x) du(x) ε(x) u (x) dx dwv ( x) γ ( x) w V ( x) dx dβ ( x) κ ( x ) β ( x) w ( x) dx Zusammenhang (mit Kinematik und Werkstoffgesetz) du(x) N( x) { EA EAε ( x) dx Dehnsteifigkeit dwv (x) V ( x) GA GA ( x) { V V γ dx Schubsteifigkeit dβ(x) ( x) { EΙ EΙ κ ( x) EΙ w ( x) dx Biegesteifigkeit T(x) ϑ(x) Verdrillung ϑ(x) dϑ( x) χ ( x) ϑ ( x) dx T dϑ (x) ( x) GΙ G ( x) { T Ι T χ dx Torsionssteifigkeit Baustatik_2_208.docx 9

20 2.2 Schnittgrößen und Spannungen Baustatik 2 N + e/n N σ N A + Ι y y z z Ι z y Bild 2-: Normalspannungen infolge Biegemoment V τ V Ι z y S y b Bild 2-2: Schubspannungen infolge Querkraft Baustatik_2_208.docx 20

21 2.3 Grundlegende Zusammenhänge Baustatik 2 Kraftgrößen Weggrößen Äußere Kraftgrößen kn kn Lasten F (kn), q ( ), p ( ) m 2 m Lastmomente L Äußere Weggrößen Verschiebungen Verdrehungen u, v, w β, β, β x y z Gleichgewicht N ( x) n V ( x) q ( x) ( x) ( x) V ( x) z x Kinematik (Verzerrungs- Verschiebungs-Beziehung) du ε( x) u dx ε( x, z) z β z w Innere Kraftgrößen Normalkräfte N Querkräfte Vy, Vz Biegemomente y, z Torsionsmoment T Innere Weggrößen Verzerrungen ε Gleitungen γ Krümmungen κ Verdrillungen ϑ N σ Spannungen N da σ A σ z da σ I z Werkstoffgesetz σ ( x, z) E ε( x, z) τ ( x) G γ ( x) Zusammenfassung N EAu und N n EAu EI w und q EI w x Bild 2-3: Zusammenhang zwischen Kraftgrößen und Weggrößen Baustatik_2_208.docx 2

22 2.4 Verformungen infolge Normalkraft Baustatik 2 Gleichgewicht: Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittkraft N x N (x) n( x) N (x) 0 n(x) dx N+dN H 0 : N + dn N + n dn n x N ( x) n ( x) dx; x dn dx ( x) N( x) x n dx 0 x x x e a ( x) n dx + C N Bild 2-4: Gleichgewicht in Stablängsrichtung Verschiebungsgröße u(x) x,u λ u(x) u(x) λ x Bild 2-5: Längsverformungen Einführung einer Verzerrungsgröße (Ingenieurdehnmaß) (Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung) du(x) ε(x) dx ε ( Neue Länge Ausgangslänge l + l l l bzw. u (x) N ) Ausgangslänge l l ε(x) ε(x) x Bild 2-6: Längsdehnungen Baustatik_2_208.docx 22

23 Spannungsdefinition σ N A Bild 2-7: Normalkraft - Normalspannungen Werkstoffgesetz : Hooke sches Gesetz für lineare Elastizität Die Spannungen sind proportional zu den Verzerrungen σ E ε Hooke sches Gesetz für lineare Elastizität Zusammenfassung N EAu l N l E A u( x) x 0 u( l) l N( x) dx EA( x) ε N N u u N x dx bzw E A E A ( ). ( l ) du N dx E A Baustatik_2_208.docx 23

24 2.5 Verformungen infolge Biegemoment 2.5. Grundlegende Annahmen und Zusammenhänge Technische Biegetheorie des geraden dünnen Stabes Der Stab wird durch seine Stabachse dargestellt und ist im unverformten Zustand gerade. b,h << l, l 5 h kleine Verformungen w << h << l Verdrehungen β << β tan β sin β w (x,y,z) w(x) Die Querschnitte bleiben eben (Formtreue), Bernoulli-Hypothese, Teil Jakob Bernoulli ( ) β (x,z) β (x) Schubverformungen werden vernachlässigt Bernoulli-Hypothese Teil 2: Normale bleibt Normale β (x) - w (x) lineare Dehnungsverteilung über den Querschnitt lineare Verzerrungs-Verschiebungsbeziehungen u(x,z) u(x) - w (x) * z Spannungen senkrecht zur Stabachse werden vernachlässigt σz 0; σy 0 linear-elastisches Werkstoffverhalten (Hooke sche Gerade) lineare Spannungsverteilung über den Querschnitt Gleichgewicht am unverformten System Statische Lastaufbringung Baustatik_2_208.docx 24

25 2.5.2 Zusammenhang zwischen Biegemoment, Spannungen und Krümmung Bei Biegung verdrehen sich die Querschnitte. Bild 2-8: Kinematik bei Biegung Das Biegemoment stellt eine Spannungsresultierende dar: it y ( x) σ ( x, z) z da y ( x) [ E β ( x) z] z da y β(x) 2 ( x) E β ( x) z da E Ι β y (x) σ ( x, z) E β ( x) z folgt -w (x) u(x,z) y ( x) σ ( x, z) z Ι y y ( x) β κ E Ι Bernoulli I und II β(x) - w (x) Kinematik u(x,z) β(x) z - w (x) z Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung ε(x,z) u (x,z) - w (x) z β (x) z Werkstoffgesetz σ(x,z) E ε(x,z) E β (x) z y Normalspannungen infolge Biegemoment y Krümmung infolge Biegemoment y β κ y E Ι ( x) y bzw. dβ y ( x) dx E Ι y Baustatik_2_208.docx 25

26 2.6 Verformungen infolge Querkraft. Verzerrungs-Verschiebungsbeziehung Baustatik 2 γ dwv dw V dx γ V V 2. Spannungsermittlung V τ ( x, z) Ι V ; z z τ m AV AV y S y b( x, z) A κ V κ V,2 bei Rechteck im Stahlbau gilt: AV ASteg dx Schubkorrekturfaktor 3. Werkstoffgesetz τ G γ, G E 2( + ν ) G : Schubmodul ν 0,3 für Stahl ν : Querdehnzahl ν 0,2 für Beton 4. Zusammenfassung γ dw dx V τ G Vz G A V dw V Vz G A V dx Baustatik_2_208.docx 26

27 2.7 Zusammenfassung: Verformungen infolge, N, V N u dx u+du N N ε du σ da ( A) ( A) du u dx N EA dx N EA σ z da E E ε da ε EA ( A) ( A) ε z da R dβ du( z) z dβ dβ ε (z) z z β dx κ β w Krümmung : E ε z da EΙ β ( A) ds dx dβ dx EΙ τ G γ ; w γ m Q γ V V dw V V G A V dx; dx Bild 2-9: Zusammenfassende Darstellung zu Formänderungen infolge N,, V Baustatik_2_208.docx 27

28 2.8 Verformungen infolge gleichmäßiger Temperaturänderung T l ε T du T α T T l dut αt dx T T, α T dx T 2.9 Verformungen infolge veränderlicher Temperatur T λ T T u T o dβ T du d T T T dx α d d dβ T dx du T αt Tdx du T z dβ T Krümmung infolge T: dβ dx T αt T dβ d d κ T β dx T T αt T d dx Bild 2-0: Verformungen infolge Temperaturgradient über den Querschnitt 2.0 Verformungen infolge Schwinden Beispiel: Beton nach EC 2: ε ( t, t0 ) ε ( t) + ε ( t, ts ) cs cas cds Endschwindmaß : dus εs dx, ls εs l ε cs, ls 2. Verformungen infolge Kriechen Beispiel: Beton nach EC 2: ε ( t, t Endkriechzahl : ϕ(, t0 ) cc 0 ) ϕ( t, t 0 σ c ( t ) E 0 c0 ) N ε c ϕc E A ; ε c ϕc z ; E Ι γ c Q ϕc G A Q duc εc dx Baustatik_2_208.docx 28

29 2.2 Zusammenfassung: Formänderungsgrößen bei Stabtragwerken Tabelle 2-: Formänderungsanteile Verzerrung elastischer Anteil Anteil inf. Temperatur Anteil inf. Schwinden Anteil inf. Kriechen zugehörige Schnittkraft ε N E A + α T T + ε s N K +ϕ E A N γz V z GA V Vz +ϕ GA V Vz β y κ y y E Ι y +α T T d z + ϕ E Ι y, K y y ϑ T G Ι T T + ϕ G Ι T x T γy β z κ z V y GA V z E Ι z +α T T d y Vy +ϕ GAV z, + ϕ E Ι K z Vy z Baustatik_2_208.docx 29

30 3 echanische Arbeit und Formänderungsenergie 3. Einführung Arbeit Kraft * Weg Arbeit Kraftgröße * Weggröße Energie Einheiten [ A] [ W ] N m Nm J Baustatik_2_208.docx 30

31 3.2 Annahmen und Voraussetzungen Baustatik 2 Ebenbleiben der Querschnitte (Jakob Bernoulli, ) Die Verschiebungen u(x,z) verlaufen über die Querschnittsdicke linear (Bernoulli-Hypothese Teil I). Schubverzerrungen werden vernachlässigt > Normale bleibt Normale (Bernoulli-Hypothese Teil II) Die Verschiebungen w sind für alle Querschnittspunkte gleich. Die Balkendicke ändert sich bei der Deformation nicht (Formtreue: w(x,y,z) w(x) ). Die Verformungen sind sehr klein. Lineare Elastizität Es gilt das Hookesche Gesetz (Robert Hooke, ). Quasi-statische Lastaufbringung Die Kraft wird langsam von Null auf ihren Endwert gesteigert. Arbeit Kraftgröße Weggröße (René Descartes, ) Energiesatz der Elastostatik: Die Arbeit der äußeren Kräfte A wird als Formänderungsenergie W im System gespeichert. A W Baustatik_2_208.docx 3

32 3.3 Äußere Arbeit 3.3. Begriffe, Definitionen konjugierte äußere Arbeit  Fe ue Fe F Aˆ Fe Fe 2 F Fe u df df 0 0 c 2 c 2 F u e Fc u e da df du da u u e e 2 F du c u du c ue A ue u F u e e Bild 3-: ~ A Aˆ Fe ue ~ A A Äußere Arbeit Äußere Arbeit A Bei linearer Elastizität gilt für die Äußere Arbeit: A F e u e Baustatik_2_208.docx 32

33 3.3.2 Eigenarbeit - Fremdarbeit Eigenarbeit Baustatik 2 Die Kraft F verrichtet an der Stelle Arbeit auf dem von ihr selbst erzeugten Weg w. A 2 F w F W Bild 3-2: Eigenarbeit Fremdarbeit Die Kraft F ist vor Belastung durch eine andere Kraft F2 vorhanden und verrichtet Arbeit auf einem Weg, der durch die Wirkung der anderen Kraft F2 hervorgerufen wird: A * 2 F w2 2 F F2 W 2 W 22 Bild 3-3: Fremdarbeit Baustatik_2_208.docx 33

34 Baustatik_2_208.docx Innere Arbeit Formänderungsenergie 3.4. Spezifische Formänderungsenergie Bild 3-4: Zur Veranschaulichung von spezifischer Formänderungsenergie dz dy dx z y x dv z y x G V G z y x V ) ( ) ( ) ( ) ( ),, ( ),, ( γ γ γ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, ( ),, ( 2 ) '( ),, ( ),, ( 2 ) '( ),, ( ),, ( 2 ) '( ),, ( ),, ( 2 ),, ( ' A V V A x x A N x N x A x x A s da z y x z y x V W da z y x z y x W da z y x z y x N W da z y x z y x da z y x W W γ τ ε σ ε σ ε σ γ(x,y,z) x z y W s(x,y,z) y z x WW ss 2 σσ xx(xx, yy, zz) εε xx (xx, yy, zz) WW WW SS (xx, yy, zz) (VV) dddd WW SS (xx, yy, zz) (yy) dddd (zz) dddd dddd WW WW SS (xx, yy, zz) (VV) dddd WW SS (xx, yy, zz) (AA) dddd BBBBBBBBBBBBBBBB FFÄEE WW (ll) dddd

35 Baustatik_2_208.docx Formänderungsenergie bei Normalspannungen Bild 3-5: Formänderungsenergie für Normalspannungen (Formänderungsenergie W) (bezogene Formänderungsenergie W ) Bei linearer Elastizität gilt: ) ( ) ( ˆ ˆ ; ˆ ˆ A S S da W W dx W W l e e S W ε σ ~ S S S W W W ~ ˆ W W und W W S S ˆ ˆ ) ( ( ) ; A S da W W dx W W λ konjugierte spezifische Formänderungsenergie S Wˆ Spezifische Formänderungsenergie Ws ε σ ε ε ε ε σ ε ε e S E d E d W e e e e e S E d E d W e e ε σ σ σ σ σ ε σ σ 2 2 ˆ εe ε σ σe ε σe dx da W dv W W A S V S ) ( ) ( ) ( l

36 3.4.3 Formänderungsenergie bei Schubspannungen konjugierte spezifische Formänderungsenergie WS τ Wˆ S τ e τ e 2 τ τ e γ dτ dτ G 2 G τ γ e e τe τ G γ γe γ Spezifische Formänderungsenergie Ws W S γ e γ e 2 γ e τ dγ G γ dγ G τ γ e e Bild 3-6: Formänderungsenergie für Schubspannungen WW WW SS (xx, yy, zz) dddd WW SS (xx, yy, zz) dddd dddd (VV) (xx) (AA) Formänderungsenergie W W dx; ( l ) (unterhalb der Kurve) W W ( A ) S da Baustatik_2_208.docx 36

37 3.4.4 Formänderungsenergie bei zentrischer Normalkraft F u(λ) Bild 3-7: AW Formänderungsenergie bei Normalkraft 2 FF uu(ll) 2 σσ xx(xx, yy, zz) εε xx (xx, yy, zz) dddd (VV) 2 FF uu(ll) 2 σσ xx εε xx dddd dddd (ll) (AA) WW WW SS dddd (AA) Bei zentrischer Normalkraft ergibt sich mit W ( N) σ ε da 2 ( A) x x σ N A const x. über A Beispiel: A W l u(l) F Baustatik_2_208.docx 37

38 3.4.5 Formänderungsenergie bei Biegemoment y F max w Bild 3-8: A W Formänderungsenergie bei Biegemoment 2 FF max ww 2 σσ xx(xx, yy, zz) εε xx (xx, yy, zz) dddd (VV) FF max ww 2 2 σσ xx εε xx dddd dddd (ll) (AA) WW WW SS dddd (AA) σ x Bei Biegemoment ergibt sich mit σ x z und ε x I E W ( ) σ ε da 2 ( A) x x Beispiel: F l/2 l/ Baustatik_2_208.docx 38

39 3.4.6 Formänderungsenergie bei Querkraft Vz F wv(l) Bild 3-9: A W Formänderungsenergie bei Querkraft 2 FF ww VV(ll) 2 ττ xxzz(xx, yy, zz) γγ xxzz (xx, yy, zz) ddvv (VV) 2 FF ww VV(ll) 2 ττ xxzz γγ xxzz dddd (ll) (AA) WW WW SS dddd (AA) ddxx W WS dv WS da dx ( V ) ( l ) ( A) Vz τ xz Bei Querkraft ergibt sich mit τ xz und γ x AV G W ( V ) τ γ da 2 ( A) xz xz Baustatik_2_208.docx 39

40 Baustatik_2_208.docx Formänderungsenergie pro Längeneinheit in verschiedenen Schreibweisen Tabelle 3-: Formänderungsenergie in unterschiedlichen Schreibweisen Normalkraft Biegung Querkraft Torsion z.b. Balken mit Normalkraft, Biegemoment und Querkraft: WW 2 NN(xx) εε(xx) dddd + 2 (xx) κκ(xx) dddd + 2 VV(xx) γγ(xx) dddd (ll) (ll) (ll) WW 2 NN(xx) εε(xx) dddd + 2 (xx) κκ(xx) dddd + 2 VV(xx) γγ(xx) dddd (ll) (ll) (ll) m x V γ ) ( 2 A V G x V x V ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 x x κ ) ( 2 2 x I E κ ) ( 2 2 x I G T χ ) ( ) ( 2 x x T χ T T T I G x x ) ( ) ( 2 A E x N x N ) ( ) ( 2 y y y I E x x ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 x A E ε ) ( ) ( 2 x x N ε ) ( 2 2 x A G m V γ

41 4 Arbeitsprinzipe, Arbeitssätze Baustatik 2 4. Das Prinzip der virtuellen Arbeiten (PdvA) Grundlage ist die Fremdarbeit A *. A * W* * * A W Querstrich : virtuell gedacht Virtuelle Arbeit wirkliche Kraftgröße virtuelle Verformung A * F f Virtuelle Arbeit Virtuelle Kraftgröße wirkliche Verformung A * F f 4.. Das Prinzip der virtuellen Verrückungen (PdvV) A * F f W * N( x) ε dx + ( x) κ dx + ( l ) ( l ) ( l ) V ( x) γ m dx virtueller Verschiebungszustand: gedacht hinreichend klein kinematisch verträglich ansonsten beliebig Das PdvA ist eine Gleichgewichtsaussage Baustatik_2_208.docx 4

42 4..2 Das Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) Frage: Welche Arbeit verrichtet eine virtuelle Kraft F auf einem Weg f, der durch eine andere Last(gruppe) erzeugt wird, und welche Energie wird dabei im System gespeichert? Antwort: * * A W Querstrich : virtuell gedacht Virtuelle Arbeit Virtuelle Kraftgröße wirkliche Verformung A * F f * A W * ff NN (xx) εε(xx) dddd (ll) dddd + (xx) κκ(xx) dddd (ll) dddd + VV (xx) γγ(xx) dddd (ll) dddd ε κ γ ff NN (xx) NN(xx) EE AA (ll) εε xx (NN) dddd + NN (xx) (αα TT TT) (ll) εε xx (TT) dddd + NN (xx) εε SS dddd (xx) αα TT TT + (xx) dddd + (xx) dddd + VV (xx) VV(xx) dddd EE II dd GG AA VV (ll) κκ() (ll) κκ( TT) (ll) (ll) γγ(vv) Baustatik_2_208.docx 42

43 4.2 Verschiebungsberechnungen mit Hilfe der Integraltafeln Auswertung der Integrale zweier Funktionen mit Überlagerungstafeln ll ff(xx) gg(xx) dddd αα FF GG ll 0 ll (xx) (xx) dddd αα ii kk ll Baustatik_2_208.docx 43

44 Nr fi Baustatik 2 5. a b c d fk 0 fi fk kk 2 ll i iiiiii k k k k2 3 kk2 ll 3 (kk 2 + kk kk 2 + kk 2 2 )ll 2 iiiiii 2 ii(kk + kk 2 )ll i 2 iiiiii 3 iiiiii 6 ii(kk + 2kk 2 )ll i 2 iiiiii 6 iiiiii 6 ii(2kk + kk 2 )ll i i S S i q S γll i i δll i2 S i S i S i 2 kk(ii + ii 2 )ll 6 kk(ii + 2ii 2 )ll 6 [ii (2kk + kk 2 ) + ii 2 (kk + 2kk 2 )]ll 2 iiiiii 6 iiii( + γγ)ll 6 ii[kk ( + δδ) + kk 2 ( + γγ)]ll 2 3 iiiiii 3 iiiiii 3 ii(kk + kk 2 )ll 2 3 iiiiii 4 iiiiii 2 ii(5kk + 3kk 2 )ll 2 3 iiiiii 5 2 iiiiii 2 ii(3kk + 5kk 2 )ll 3 iiiiii 4 iiiiii 2 ii(kk + 3kk 2 )ll 3 iiiiii 2 iiiiii 2 ii(3kk + kk 2 )ll 4 iiiiii 5 iiiiii 20 ii(kk + 4kk 2 )ll k αll βll 3 kk2 ll 2 iiiiii iiii( + αα)ll 6 iiii( + ββ)ll 6 6 kk[ii ( + ββ) + ii 2 ( + αα)]ll γγ > αα: iiii 6 γγ < αα: iiii 6 αα: iiiiii 3 (γγ αα)2 2 ll γγ( αα) (αα γγ)2 2 ll; γγ αα( γγ) iiii( + αααα)ll 3 2 iiii(5 αα αα2 )ll 2 iiii(5 ββ ββ2 )ll 2 iiii( + αα + αα2 )ll 2 iiii( + ββ + ββ2 )ll 20 iiii( + αα)( + αα2 )ll 2 q i q 3 S S 4 iiiiii 20 iiiiii 20 ii(4kk + kk 2 )ll 3 8 iiiiii 40 iiiiii 40 ii(4kk + kk 2 )ll 20 iiii( + ββ)( + ββ2 )ll 40 iiii( + 9ββ + ββ2 + ββ 3 )ll 4 q i q 5 qr qr q S i 3 8 iiiiii 0 iiiiii 40 ii(kk + 4kk 2 )ll 4 iiiiii 2 5 iiiiii 60 ii(7kk + 8kk 2 )ll 4 iiiiii 7 60 iiiiii 60 ii(8kk + 7kk 2 )ll 6 i ll Länge des Integrationsbereiches; S Parabelscheitel Nr. 6 bis 0: Quadratische Parabeln Nr. bis 6: Kubische Parabeln Nr. 5 und 6: ii qq rr ll 2 6 ; EEEE cc δδ iiii EEII cc EEEE ll ii kk dddd + nn Tafelwert 40 iiii( + 9αα + αα2 + αα 3 )ll 20 iiii( + αα ) 7 3 αα2 ll 20 iiii( + ββ ) 7 3 ββ2 ll Baustatik_2_208.docx 44

45 4.2. Beispiel : Kragträger unter Einzellast Baustatik Beispiel 2: Balken auf zwei Stützen unter Einzellast Beispiel 3: Balken auf zwei Stützen unter Streckenlast Beispiel 4: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm Beispiel 5: Holzbalken Bild 4-: Beispiele -5 zur Verformungsberechnung Baustatik_2_208.docx 45

46 4.2.6 Beispiel 6: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm q 0 kn/m HEB 200 fe? φa? fm?,5 m 4 m Bild 4-2: Beispiel 6 zur Verformungsberechnung Qualitative Biegelinie Baustatik_2_208.docx 46

47 4.2.7 Beispiel 7: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm und Stützensenkung q 0 kn/m HEB 200 fe? 4 m sb 0 mm,5 m Bild 4-3: Beispiel 7 zur Verformungsberechnung Qualitative Biegelinie Beispiel 8: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm und Feder q 0 kn/m HEB 200 fe? c F8000 kn/m Bild 4-4: 4 m,5 m Beispiel 8 zur Verformungsberechnung Qualitative Biegelinie Baustatik_2_208.docx 47

48 4.2.9 Beispiel 9: Verformungsberechnung mit Normalkrafteinfluss Für das dargestellte Tragwerk ist die Vertikalverformung fv infolge der gegebenen Belastung unter Berücksichtigung des Normalkrafteinflusses gesucht. q 0 kn/m HEB 200 fv? Steifigkeiten EΙHEB200 EAIPE200 3 m IPE 200 Bild 4-5: Beispiel 9 zur Verformungsberechnung ff (xx) (xx) dddd + NN (xx) NN(xx) dddd EE II yy EE AA (ll) 4 m κκ() (ll),5 m εε(nn) Bild 4-6: Beispiel 9 zur Verformungsberechnung Schnittkraftlinien Baustatik_2_208.docx 48

49 4.2.0 Beispiel 0: Klausuraufgabe Baustatik 2 Für das dargestellte Tragwerk ist die Horizontalverformung fh infolge der gegebenen Belastung gesucht. s 20 kn/m aterial für alle Stäbe S 235; HEB 400 w 4 kn/m EA 8 m 6 m fh? Bild 4-7: 5 m 5 m Beispiel 0 zur Verformungsberechnung Bild 4-8: Beispiel 0 zur Verformungsberechnung - Schnittkraftlinien Baustatik_2_208.docx 49

50 4.3 Zwängungslastfälle 4.3. Allgemeines Die Zwängungslastfälle T (Erwärmung / Abkühlung) Baustatik 2 T (Temperaturgradient über die Querschnittshöhe) s (Stützensenkung) εs (Schwinden) bewirken bei STATISCH BESTITEN SYSTEEN KEINE Schnittgrößen, jedoch Verformungen. Beispiel: Brücke Lastfall geleichmäßige Temperaturänderung T (z.b. Erwärmung) ll TT αα TT TT ll Lastfall Stützensenkung s Lastfall Temperaturunterschied über die Querschnittshöhe warm kalt T κ T T u T o α T T d Bild 4-9: Verformungen bei Zwängungslastfällen Baustatik_2_208.docx 50

51 4.3.2 Beispiel : Verformungsberechnung für den Lastfall Erwärmung Für das dargestellte Tragwerk ist die Horizontalverformung fh infolge der gegebenen Belastung T50 K gesucht. ff (xx) (xx) dddd + NN (xx) NN(xx) EE II yy EE AA (ll) κκ() (ll) εε(nn) dddd + NN (xx) αα TT TT (ll) εε(tt) dddd fh? 4 m Ts 50 K (Erwärmung) 6 m Bild 4-0: Beispiel System und Belastung Bild 4-: Beispiel Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung Baustatik_2_208.docx 5

52 4.3.3 Beispiel 2: Verformungsberechnung für den Lastfall T Für das dargestellte Tragwerk (HEB300) ist die Horizontalverformung fh infolge des Lastfalls T gesucht. ff (xx) αα TT TT dddd dd (ll) κκ( TT) TA 0 C fh? TA 0 C Ti -0 C TA 0 C Bild 4-2: Beispiel 2 System und Belastung Bild 4-3: Beispiel 2 Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung Baustatik_2_208.docx 52

53 4.3.4 Einfluss von Stützensenkungen bei der Verformungsberechnung Biegelinie ohne Stützensenkung f0 Bild 4-4: Biegelinie bei einem Zweifeldträger Biegelinie mit Stützensenkung s ff0+f s S Bild 4-5: Einfluss von Stützensenkungen bei der Verformungsberechnung Verallgemeinerung * A W * ff + SS ss + ss φφ NN (xx) NN(xx) EE AA dddd + (xx) (xx) EE II dddd + VV (xx) VV(xx) dddd GG AA VV f ( l ) ± Das Produkt S s ± (ll) N( x) N( x) dx + EA s ϕ ( l ) S s ( ϕ S (ll) ( x) ( x) dx + EΙ ( l ) (ll) V ( x) V ( x) dx GA ) ist negativ, wenn die Auflagerkraft S (das Auflager- moment S ) die Richtung der Stützensenkung (-verdrehung) aufweist. Ansonsten ist es positiv (Regelfall). V Baustatik_2_208.docx 53

54 4.3.5 Beispiel 3: Dreigelenkrahmen Baustatik 2 Für das dargestellte Tragwerk (HEB400) ist die Verdrehung ϕa für jeden der 5 angegebenen Lastfälle gesucht. w 4 kn/m 4 m HEB 400 ϕa? sh 2 cm 5 m 5 m LF: Ts 20 K sv 2 cm LF2 : T -20 K LF 3: sv 2 cm LF 4: sh 2 cm LF 5: w 4 kn/m Bild 4-6: Beispiel 3 - Verformungsberechnung bei einem Dreigelenkrahmen Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung Bild 4-7: Beispiel 3 Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung Baustatik_2_208.docx 54

55 Lastfall : Ts 20 K Qualitative Verformungsfigur Berechnung der Verformung mit Arbeitssatz Bild 4-8: Beispiel 3 Wirkliche Beanspruchung infolge Ts Lastfall 2: T -20 K Qualitative Verformungsfigur Berechnung der Verformung mit Arbeitssatz Bild 4-9: Beispiel 3 wirkliche Beanspruchung infolge T Baustatik_2_208.docx 55

56 Lastfall 3: sv 2 cm Qualitative Verformungsfigur Berechnung der Verformung mit Arbeitssatz Bild 4-20: Beispiel 3 Wirkliche Beanspruchung infolge sv Lastfall 3: sh 2 cm Qualitative Verformungsfigur Berechnung der Verformung mit Arbeitssatz Bild 4-2: Beispiel 3 Wirkliche Beanspruchung infolge sh Baustatik_2_208.docx 56

57 Lastfall 5: w 4 kn/m Qualitative Verformungsfigur Berechnung der Verformung mit Arbeitssatz Bild 4-22: Beispiel 3 Schnittkraftlinien infolge wirklicher Belastung q Baustatik_2_208.docx 57

58 4.4 Einfluss von Federungen bei der Verformungsberechnung 4.4. Allgemeines Einführung von Federungen bei elastischem Untergrund nachgiebigen Bauteilen Es gibt o z.b. Elastomerlager o z.b. elastische, dehnweiche oder biegeweiche Stäbe Dehnfedern (Normalkraftübertragung) und Drehfedern (Biegemomentübertragung) Dehnfedern F F f FcF f cf f f: Federweg infolge F K cf : Dehnfedersteifigkeit [cf], z.b L Bild 4-23: Lineares Federgesetz KN m cf cf Bild 4-24: Federnde Lagerungen Baustatik_2_208.docx 58

59 4.4.3 Beispiele für Dehnfedern Stütze F F l l cf? F Kragarm F we cf? we Biegebalken F F wm w cf? Bild 4-25: Ersatzfedern erksatz: Die Federsteifigkeit eines Tragwerksteils / Systems ist Baustatik_2_208.docx 59

60 Pfahlgründung cf,h? 5 m 6 m cf,v? Bohrpfahl C30/37, d 80 cm Bohrpfahl C30/37, d 60 cm m m Bild 4-26: Ersatzfedern bei einer Pfahlgründung Baustatik_2_208.docx 60

61 Beispiel: Elastomerlager bei Brücken Baustatik 2 HBrems cf Bild 4-27: Ersatzfeder bei einem Elastomerlager Beispiel: Fundament auf elastischem Baugrund Bild 4-28: Ersatzfeder bei elastischem Baugrund Baustatik_2_208.docx 6

62 4.4.4 Reihenschaltung und Parallelschaltung von Dehnfedern Reihenschaltung von Federn Parallelschaltung von Federn f f c ges ers F c F ; f 2 f ges f + f 2 F c c F F F + + c c F 2 F F c F 2 F c ers c Fi F F + F2 cf f + cf 2 F c + c ) f ( F F 2 F c ers f c ers c + c c ers cfi F F 2 f Bild 4-29: Reihen- und Parallelschaltung von Federn Baustatik_2_208.docx 62

63 4.4.5 Drehfedern c ϕ c ϕ ϕ ϕ: Federdrehwinkel infolge c : Drehfedersteifigkeit; [c] K L, z.b. knm Bild 4-30: Drehfedergesetz Wirkliches System Ersatzsystem c? ϕ ϕ Bild 4-3: Ersatz-Drehfeder Baustatik_2_208.docx 63

64 4.4.6 Berücksichtigung von Federungen im Arbeitssatz Verformungen ohne Federn fm Verformungen mit Feder fc Nc/cF fm fm+ fmc cf N c B N C Bild 4-32: Einfluss einer Dehnfeder bei der Verformungsberechnung Baustatik_2_208.docx 64

65 Kragstütze mit elastischer Einspannung Baustatik 2 fo fo fo+foc C ϕc /c Bild 4-33: Einfluss einer Drehfeder bei der Verformungsberechnung Verallgemeinerung * A W * ff NN (xx) NN(xx) EE AA dddd + (xx) (xx) EE II dddd + VV (xx) VV(xx) dddd GG AA VV (ll) N c (ll) (ll) c ± N c Dehnfedern F c ± Drehfedern c c Das Produkt N c N c bzw. c c ist positiv, wenn beide Kraftgrößen die gleiche Richtung aufweisen. Ansonsten ist es negativ Baustatik_2_208.docx 65

66 4.5 Gesamtverschiebung f N N EA α T d V GA T ( + ϕ) + α T + ε + ( + ϕ) + + V κ dx T S EI Q Nc c + Nc + c Ci si c c N f dx EA F m N Normalkraft i ϕ N + ϕ N dx Kriechen infolge Normalkraft EA + N α T dx Temperaturdehnung + N dx T ε Schwinden S + dx EI Biegemoment + ϕ dx EI Kriechen infolge Biegemoment + α T dx d veränderliche Temperaturverteilung + V κ V V dx GA Querkraft N + c c + c c c N Dehnfedern F c Drehfedern m S i s ± i Stützensenkungen i ± i i ϕ Stützenverdrehungen Baustatik_2_208.docx 66

67 4.6 Beispiele mit Federungen und Stützensenkungen 4.6. Beispiel 4 Querschnittswerte HEB 400 F 0 kn cf 300 kn/m fe? 3 m 2 m m Bild 4-34: Beispiel 4 mit Dehnfeder - System und Belastung Auflagerkräfte infolge gegebener Belastung infolge -Last Biegemomente Bild 4-35: Beispiel 4 mit Dehnfeder Auflagerkräfte und omentenlinien Überlagerung Baustatik_2_208.docx 67

68 4.6.2 Beispiel 5 c 0, E Ι q 5 kn/m 3 m fb? 4 m 3 m 3 m Bild 4-36: Beispiel 5 mit Drehfeder - System und Belastung Auflagerkräfte infolge gegebener Belastung infolge -Last Biegemomente Bild 4-37: Überlagerung Beispiel 5 mit Drehfeder Auflagerkräfte und omentenlinien Baustatik_2_208.docx 68

69 4.6.3 Beispiel 6 - Gelenkträger q 5 KN/m F 0 KN EΙ 0000 knm 2 f? s2cm 2 m Bild 4-38: 2 m 2 m 2 m 2 m Beispiel 6 - Gelenkträger - System und Belastung Auflagerkräfte infolge gegebener Belastung infolge -Last Bild 4-39: Beispiel 5 Gelenkträger - Auflagerkräfte Biegemomente Bild 4-40: Beispiel 6 - Gelenkträger - omentenlinien Überlagerung Baustatik_2_208.docx 69

70 4.6.4 Zusammenfassendes Beispiel 7 4 m 2 Baustatik 2 q 5 kn/m 4 m 4 m TS 5 K T 30 K cf 00 kn/cm fe? cm kncm sa 4 cm b/d 20 cm / 40 cm A 800 cm 2 Ι / cm 4 EA 30 7 kn/m ,4 0 6 kn EΙ kn/cm cm 4 3,2 0 8 kncm GA, kn/cm cm kn Beton B25 E N/m 2 G N/m 2 αt 0-5 /K ϕk 0,6 εs Bild 4-4: Zusammenfassendes Beispiel 7 - System und Belastung Baustatik_2_208.docx 70

71 Auflagerkräfte und Schnittgrößen Baustatik 2 Bild 4-42: Zusammenfassendes Beispiel 7 - Ergebnisse Baustatik_2_208.docx 7

72 N f N dx EA N + ϕ N dx EA + Nα T Tdx + Nε S dx + dx EI + ϕ dx EI T + α T dx d V + κ V V dx GA + + N c c N c F c c m c - C i s i - i i ϕ Baustatik_2_208.docx 72

73 4.6.5 Beispiel 8 - Dreigelenkrahmen 2 q 25 kn/m Baustatik 2 5 HEB Bild 4-43: Beispiel 8 - Dreigelenkrahmen 2 - System und Belastung Gesucht ist der Wert für den Knick in der Biegelinie am Gelenk φg. Auflagerkräfte, omente und Normalkraftlinien infolge q infolge Bild 4-44: Beispiel 8 - Dreigelenkrahmen 2 - Schnittkraftlinien Baustatik_2_208.docx 73

74 4.7 Grundaufgaben der Verformungsberechnung F f ϕ Berechnung einer absoluten Verschiebung f Berechnung einer absoluten Verdrehung ϕ F F f f2 ϕ ϕg ϕ2 Berechnung einer relativen Verschiebung ff + f2 Berechnung einer relativen Verdrehung in einem Gelenk (Knick) ϕg ϕ + ϕ2 Bild 4-45: Grundaufgaben der Verschiebungsberechnung Baustatik_2_208.docx 74

75 5 Das Kraftgrößenverfahren 5. Idee des Kraftgrößenverfahrens Baustatik 2 Berechnung an einem beliebigen statisch bestimmten Hauptsystem w0 Einwirkung einer Einheitslast X w X Addition Bild 5-: Idee des Kraftgrößenverfahrens Baustatik_2_208.docx 75

76 5.2 Vorgehen Baustatik 2. Bestimmung des Grades der statischen Unbestimmtheit Abzählkriterium n a + z 3 p q λ 2. Wahl eines zweckmäßigen statisch bestimmten Hauptsystems (SBHS) durch Lösen von Bindungen (durch Einführung von Gelenken oder Entfernen von Auflagerbindungen) (i...n) 3. Ermittlung der Schnittgrößen infolge der gegebenen Belastung am SBHS (Lastspannungszustand, LSZ) Baustatik_2_208.docx 76

77 4. Ermittlung der Einheitsspannungs- oder Eigenspannungszustände(ESZ) Dort, wo Gelenke eingeführt wurden und/oder Bindungen entfernt wurden, werden entsprechende Kraftgrößen eingeführt (Xi ) und die zugehörige omentenlinie i gezeichnet. 5. Berechnung der δ-zahlen a) Verdrehung infolge der äußeren Belastung δ0 ( l) 0 ( x) ( x) dx Fehler! Textmarke nicht definiert. EI b) Rückgängig durch ein oment X δ ( l) ( x) ( x) dx EI Fehler! Textmarke nicht definiert Baustatik_2_208.docx 77

78 6. Elastizitätsgleichungen (Kompatibilitätsbedingungen) δ0 + X δ 0 X δ - δ0 X - δ δ 0 Allgemein : X δ + X2 δ Xn δn - δ0 X δ2 + X2 δ Xn δ2n - δ20. X δn + X2 δn2+... Xn δnn - δn0 7. Endgültige Auflagerkräfte und Zustandslinien durch Superposition (Addition) allgemein: A A0 + X A A A0 + Σ Xi Ai 0 + X N N0 + X N V V0 + X V 0 + Σ Xi i N N0 + Σ Xi Ni V V0 + Σ Xi Vi Baustatik_2_208.docx 78

79 8. Kontrollen a) Gleichgewichtskontrollen Baustatik 2 insbesondere für das SBHS kontrollieren! b) abhängige Formänderungskontrollen (s.a. 3.2 Reduktionssatz) δ ( l) ( x) ( x) dx 0, (x) : endgültige EI omentenlinie Fehler! Textmarke nicht definiert. δi ( l) ( x) i ( x) dx 0 EI Die Verformungen (Verschiebungen oder Verdrehungen) δi am wirklichen ( statisch unbestimmten ) System in Richtung der statisch Überzähligen Xi sind gleich Null. Hiermit werden kontrolliert: Die Superposition (Addition von LSZ und ESZn) Berechnung der δik Werte Berechnung der δi0 Werte Lösung des Gleichungssystems Hiermit werden nicht kontrolliert: die i und 0 - Linien c) unabhängige Formänderungskontrollen Wahl eines anderen statisch bestimmten Hauptsystems δk ( l) k ( x) ( x) dx 0 EI Die Verformungen (Verschiebungen oder Verdrehungen) δk am wirklichen ( statisch unbestimmten ) System in Richtung der statisch Überzähligen Xk sind gleich Null. Hiermit werden kontrolliert (wie b) sowie : die i - Linien Baustatik_2_208.docx 79

80 5.3 Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen - Der Reduktionssatz Die Verformung eines beliebigen Punktes m an einem statisch unbestimmten System ergibt nach dem PdvK zu: δm ( l) ( x) x) dx EI 0 + X + X ( x) EI ( ( 2 ) dx ( l) 2 (x) :endgültige omentenlinie am statisch unbestimmten System (x) : omentenlinie infolge der virtuellen Kraftgröße am statisch unbest. System δm ( l) 0 ( x) ( x) dx EI (x) : endgültige omentenlinie am statisch unbestimmten System 0 (x) : omentenlinie infolge der virtuellen Kraftgröße am SBHS Alternatives Vorgehen δm δm ( l) ( l) ( x) 0 + X + X 2 2 ( x) dx x dx EI ( ) EI ( x ( x) EI 0 ) dx ( l) (x) omentenlinie infolge der virtuellen Kraftgröße am statisch unbest. System 0 (x) omentenlinie infolge äußerer Belastung am SBHS Reduktionssatz Für die Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen dürfen im Arbeitsintegral entweder die virtuellen Kraftgrößen oder die wirklichen Kraftgrößen an einem beliebigen SBHS ermittelt werden Baustatik_2_208.docx 80

81 5.4 Beispiele für einfach statisch unbestimmte Systeme 5.4. Beispiel 0 kn q 5 kn/m m 4 m 3 m Bild 5-2: Zweifeldträger - System und Belastung ögliche statisch bestimmte Hauptsysteme Bild 5-3: Beispiel ögliche statisch bestimmte Hauptsysteme Baustatik_2_208.docx 8

82 5.4.2 Beispiel 2 q 0 kn/m 3 m 5 m Bild 5-4: Einhüftiger Rahmen - System und Belastung Bild 5-5: Einhüftiger Rahmen LSZ und ESZ Baustatik_2_208.docx 82

83 5.4.3 Beispiel 3 3 kn q 4 kn/m 3 m,5 m 5,5 m Bild 5-6: Einhüftiger Rahmen mit Kragarm - System und Belastung Bild 5-7: Einhüftiger Rahmen mit Kragarm LSZ und ESZ Baustatik_2_208.docx 83

84 5.5 Berücksichtigung von Temperatureinflüssen, Schwinden, Auflagerverformungen und Federn 5.5. Temperatureinfluss TAuf : Tunt : Aufstelltemperatur aktuelle Temperatur an der Unterseite (gestrichelte Zone) des Querschnitts T oben : aktuelle Temperatur an der Oberseite des Querschnitts Ts : T : gleichmäßige Temperaturänderung bezogen auf die Schwereachse (Abkühlung oder Erwärmung, z.b. Sommer - Winter) Temperaturunterschied über den Querschnitt T oben d/2 d/2 TS + d 0 TAuf Tunt TS T Tunt T oben Bild 5-8: Temperaturlastfälle Für die dargestellte Situation (symmetrischer Querschnitt und Erwärmung) ergibt sich: T s T unt + T 2 oben T Auf Es gilt immer: oben T T unt T (Vorzeichen beachten!) Beispiele it Hilfe einer Skizze sind jeweils Ts und T gesucht. ) TAuf 5 C; T oben 0 C; Tunt 40 C 2) TAuf 0 C; T oben - 40 C; Tunt - 0 C 3) TAuf 20 C; T oben -0 C; Tunt - 50 C 4) T- Querschnitt Baustatik_2_208.docx 84

85 5.5.2 Gleichmäßige Temperatur Ts l ε l lt αt Ts l; εt l T l αt Ts δ it N T dx T S λ i α Verformung infolge Temperaturdehnung λ TS Ts : Temperaturänderung (z.b. gegenüber der Aufstelltemperatur) in der Schwerpunktachse δt + X δ 0; X δ - δt X - δ T δ Veränderliche Temperaturverteilung T über den Querschnitt d T Tunt T oben T αt T d κ Krümmung infolge veränderlicher Temperaturverteilung δ i T T T dx d α Verformung infolge veränderlicher Temp. Vert. δ T + X δ 0; X δ - δ T X - δ T δ Baustatik_2_208.docx 85

86 5.5.4 Schwinden εs l s l δ is N s dx Baustatik const. (Endschwindmaß bei Beton) i ε Verformung infolge Schwinden Vorgegebene Auflagerverformungen C δ i ± s i ± i i C i s Stützensenkungen ϕ Stützenverdrehungen s (s. Abschn. ) ϕ Endgültige Zustandsgrößen bei Zwängungslastfällen A 0 + Σ Xi Ai, 0 + Σ Xi i Zwängungslastfälle erzeugen am SBHS keine Schnittgrößen Baustatik_2_208.docx 86

87 5.5.7 Federungen Federarbeit muss berücksichtigt werden. Baustatik 2 Nc c δ ic Nc + c Dehnfedern und Drehfedern c c F (s. Abschn. ) m öglichkeit : Federung für SBHS entfernen (Xi ansetzen) i X i δ ii i dx + X i ; Federarbeit der statisch Unbestimmten Xi, z.b. X EI c δ ik k i dx + O EI Federarbeit wird nur einmal berücksichtigt, und zwar im betreffenden ESZ. öglichkeit 2: Federungen bleiben im SBHS i X i k δ ii i dx + X i δ ik EI c i dx + N EI i N c k δ i0 EI 0 i dx + N i N c 0 Federarbeit muss sowohl bei der gegenseitigen Überlagerung der ESZ als auch bei der Überlagerung der ESZ mit den LSZ berücksichtigt werden. Federarbeit muss bei allen Delta-Zahlen berücksichtigt werden -> sehr aufwändig Baustatik_2_208.docx 87

88 5.5.8 Beispiel 4 (Zwängungslastfälle am einfach unbestimmten System) Ta 50 q 7,5 kn/m Ti 20 HEB m E 2, 0 5 N/m 2 αt,2 0-5 /K T0 0 sb 2 cm 0 m Bild 5-9: Zweigelenkrahmen - System und Belastung LF : Streckenlast LF 2: Temperaturlastfälle: Aufstelltemperatur: T0 0 C, Außentemperatur: Ta 50 C, Innentemperatur Ti 20 C o LF 2a: Ts o LF 2b: T LF 3: Stützensenkung sb 2 cm LF : Streckenlast SBHS, LSZ Bild 5-0: Zweigelenkrahmen SBHS / LSZ Baustatik_2_208.docx 88

89 Zusammenfassung Bild 5-: Zweigelenkrahmen Visualisierung der Ergebnisse Baustatik_2_208.docx 89

90 5.5.9 Beispiel 5 (Anwendung des Reduktionssatzes) q 0 kn/m 3 fm? T -20 K cf kn/ m HEB 500 EΙ const. Ι cm 4 E 2, 0 5 N/m 2 αt,2 0-5 /K s cm 6 6 Bild 5-2: Tragwerk mit Dehnfeder - System und Belastung Lösung mit STAB2D Bild 5-3: Ergebnisplot aus STAB2D Lösung mit Reduktionssatz (s.s. 82) fm ( l ) ( x) ( x) dx EI fm ( l ) ( x ( x) EI 0 ) dx Baustatik_2_208.docx 90

91 ) Zustand an einem beliebigen SBHS Baustatik 2 q 0 kn/m T -20 K s cm cf kn/ m Bild 5-4: (q) am SBHS 2) Zustand infolge F (am statisch unbestimmten System! mit Feder!) F kn a) SBHS, LSZ Bild 5-5: () am SBHS b) ESZ Bild 5-6: ESZ Baustatik_2_208.docx 9

92 c) Delta-Zahlen δ ( x) ( x) dx EI ( l) δ 0 0( F) ( x) dx EI ( l) d) X δ δ 0 e) Superposition: 0 + X Bild 5-7: 3) Arbeitssatz Endgültige omentenlinie () 0 ( x) f m ( x) dx + x EI ( ) κ ( l) ( l) T ( x) dx + B B c f C s Baustatik_2_208.docx 92

93 5.5.0 Beispiel 6 - Zweigelenkrahmen Baustatik 2 0 kn 0 kn 3 m 3 m 4 m Bild 5-8: Beispiel 6 - System und Belastung Baustatik_2_208.docx 93

94 5.6 ehrfach statisch unbestimmte Systeme 5.6. Einführendes Beispiel Durchlaufträger q A B C D E XB X2C X3D A 2 3 E q A0 δ0 δ20 δ30 E0 δ δ2 δ3 X A E δ2 δ22 δ32 X2 A2 E2 δ3 δ23 δ33 A3 X3 E3 Bild 5-9: Visualisierung von Delta-Zahlen beim Durchlaufträger Baustatik_2_208.docx 94

95 5.6.2 Gleichungssystem und -lösung Baustatik 2 X δ + X2 δ Xn δn - δ0 X δ2 + X2 δ Xn δ2n - δ20. X δn + X2 δn2+... Xn δnn - δn0 atrizenschreibweise δ δ 2 δ ik δ n δ δ δ 2 22 n2 δ δ X - δ0 ki δ ii δ nk δ n X δ n2 X 2 X i δ nn X n - δ δ δ i δ n Delta-atrix * Unbekanntenvektor - Lastverschiebungsvektor (rechte Seite) Lösung: X [ δ - ] [- δ0] Die Hauptdiagonalelemente der Systemmatrix δ sind positiv δii > 0 (quadratisch) Die atrix δ ist symmetrisch δik δki (Satz von axwell) δ muss invertierbar sein. Für mehr als 3 Unbekannte wird der Gauss-Algorithmus angewandt (Dreieckzerlegung der atrix δ). Ansonsten: Kramersche Regel Definition der Determinanten: D det δ, D det δ, D2 det δ2,..., Di det δi an erhält δi, indem man die i-te Spalte der atrix δ durch den Vektor der rechten Seite ersetzt. Bei 2 Unbekannten: X D D X2 D D 2 D det D det D2 det δ δ 2 δ δ δ δ 2 δ2 δ δ δ22 - δ2 δ δ2 δ - δ0 δ22 + δ2 δ20 22 δ0 δ - δ δ20 + δ0 δ Baustatik_2_208.docx 95

96 Bei 3 Unbekannten: X D D ; X2 D D 2 ; X3 D D 3 D det δ δ δ 2 3 δ δ δ δ3 δ 23 δ 33 δ δ22 δ33 + δ2 δ23 δ3 + δ3 δ2 δ32 - δ3 δ22 δ3 - δ2 δ2 δ33 - δ δ23 δ32 D det δ δ δ δ δ δ δ3 δ 23 δ 33 - δ0 δ22 δ33 - δ2 δ23 δ30 - δ3 δ20 δ32 + δ3 δ22 δ30 + δ2 δ20 δ33 + δ0 δ23 δ32 D2 det δ30 δ δ δ 2 3 δ δ δ δ3 δ 23 δ 33 - δ δ20 δ33 - δ0 δ23 δ3 - δ3 δ2 + δ3 δ20 δ3 + δ0 δ2 δ33 + δ δ23 δ30 D3 det δ δ δ 2 3 δ δ δ δ δ δ δ δ22 δ30 - δ δ20 δ3 - δ0 δ2 δ32 + δ0 δ22 δ3 + δ2 δ2 δ30 + δ δ20 δ32 Weitere Vereinfachungen wegen δik δki Baustatik_2_208.docx 96

97 Allgemein: 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten: a a 2 X X + a + a 2 22 X X 2 2 r r In atrizenschreibweise: a a 2 a a 2 22 X X 2 2 r r2 X D D X2 D D 2 D det D det D2 det a a 2 r r2 a a 2 a a a a r r 2 a a22 - a2 a2 r a22 - a2 r2 a r2 r a2 Bei 3 Unbekannten: a a a 2 3 X X X + a + a + a X X X a 3 + a + a X 3 X X 3 3 r r 2 r 3 ; a a a 2 3 a a a a a a X X X 2 3 r r2 r 3 X D D ; X2 D D 2 ; X3 D D 3 D det a a a 2 3 a a a a a a a a22 a33 + a2 a23 a3 + a3 a2 a32 - a3 a22 a3 - a2 a2 a33 - a a23 a32 D det r r2 r3 a a a a a a r a22 a33 + a2 a23 r3 + a3 r2 a32 - a3 a22 r3 - δ2 r2 a33 - r a23 a32 D2 det a a a 2 3 r r 2 r 3 a a a a r2 a33 + r a23 a3 + a3 a2 r3 - a3 r2 a3 - r a2 a33 - a a23 r3 D3 det a a a 2 3 a a a r r 2 r 3 a a22 r3 + a r2 a3 + r a2 a32 - r a22 a3 - a2 a2 r3 - a r2 a Baustatik_2_208.docx 97

98 5.6.3 Zur Wahl des statisch bestimmten Hauptsystems Bei der Wahl des SBHS sind folgende Punkte zu beachten:. Formänderungsbenachbartes SBHS wählen! 2. Xi so wählen, dass sich die ESZ möglichst wenig beeinflussen. 3. Keine verschieblichen Systeme verwenden! Hierdurch werden numerische Schwierigkeiten bei der Lösung des Gleichungssystems X δ + X2 δ Xn δn - δ0 X δ2 + X2 δ Xn δ2n - δ20. X δn + X2 δn2+... Xn δnn - δn0 vermieden. Bsp.: Durchlaufträger nicht formänderungsbenachbart, δ-zahlen aufwändig qualitative Biegelinie X X2 unbrauchbar, da verschieblich gut geeignet, da formänderungsbenachbart, X X2 Bild 5-20: Zur Wahl des statisch bestimmten Hauptsystems Baustatik_2_208.docx 98

99 Verschiebliche Systeme sind unbrauchbar Baustatik 2 Das Abzählkriterium liefert bei allen nachfolgend dargestellten Systemen n0. Jedoch sind alle Systeme verschieblich; es lässt sich widerspruchsfrei ein Polplan erstellen. Pol Pol Im Unendlichen Polstrahlen Pol Pol Pol Bild 5-2: Verschiebliche Systeme Baustatik_2_208.docx 99

100 5.6.4 Beispiel 7 - Dreifeldträger F 00 kn F 00 kn F 00 kn EI const. q 20 kn/m 3 2 q 20 kn/m 8 m 0 m 6 m Bild 5-22: Beispiel 7 - System, Belastung, Schnittgrößen Gesucht: Auflagerkräfte, Biegemomentenlinie und Querkraftlinie LSZ ESZ X X2 Bild 5-23: Beispiel 7 - LSZ und ESZe Baustatik_2_208.docx 00

101 5.6.5 Beispiel 8 (mit Federungen) Baustatik 2 cfh EΙ / 50 kn/m q 8 kn/m cm EΙ/5 knm cfv EΙ / 00 kn/m EΙ konst. EA 5 m 0 m 5 m Bild 5-24: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern - System und Belastung Gesucht: Auflagerkräfte und Biegemomentenlinie SBHS und LSZ q 8 kn/m cfv EΙ / 00 kn/m 5 m Bild 5-25: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern SBHS und LSZ Baustatik_2_208.docx 0

102 ESZe X X2 X3 Bild 5-26: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern ESZe Baustatik_2_208.docx 02

103 Superposition Bild 5-27: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern Superposition Baustatik_2_208.docx 03

104 Tabellarische Berechnung ausgewählter Zustandsgrößen Z Z0 + Σ Xi Zi Z Z0 X Z X2 Z2 X3 Z3 Z A -3,6-97,87-3,52 B -3,6-97,87-3,52 BH -3,6-97,87-3,52 C -3,6-97,87-3,52 eck,li -3,6-97,87-3,52 eck,u -3,6-97,87-3,52 aximale omente Baustatik_2_208.docx 04

105 5.6.6 Beispiel 9 TA 20 C cm knm w4 kn/m 2 m Ti -5 C TAuf 0 C 4 m EA d/b 0,4m / 2m C 35/ 45 sv cm Bild 5-28: ESZ 3 m 3 m Tragwerk mit Drehfeder - System und Belastung ESZ 2 Bild 5-29: Beispiel 9 mit Drehfeder ESZe Baustatik_2_208.docx 05

106 5.7 Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften 5.7. Eigenschaften von Zustandslinien bei symmetrischer und antimetrischer Belastung Symmetrische Belastung Antimetrische Belastung symmetrisch q antimetrisch antimetrisch V - symmetrisch symmetrisch antimetrisch antimetrisch + - β symmetrisch symmetrisch + w + - antimetrisch Bild 5-30: Schnittgrößenverläufe bei Symmetrie und Antimetrie Symmetrie Antimetrie H F F H H F H Gegebenes System mit Belastung F Äquivalentes Ersatzsystem H F H F Zustandsgrößen in der Symmetrieachse V 0 0 u 0 N 0 ϕ 0 w 0 Bild 5-3: Symmetrie und Antimetrie: Symmetrieachse senkrecht zum Stab Baustatik_2_208.docx 06

107 Stab in der Symmetrieachse Symmetrie Antimetrie Gegebenes System mit Belastung F F A F F I F Äquivalentes Ersatzsystem F F 2 A 2 F I 2 Schnittgrößen im mittleren Stiel 0 N 0 V 0 Bild 5-32: Symmetrie und Antimetrie: Symmetrieachse im Stab Belastungsumordnung symmetrisch + antimetrisch w w/2 w/2 w/2 w/2 3-fach unbestimmt 2-fach unbestimmt -fach unbestimmt w/2 w/2 Bild 5-33: Belastungsumordnung bei symmetrischen Systemen Baustatik_2_208.docx 07

108 5.7.3 Beispiel 0 - Klausuraufgabe Baustatik 2 Für die nachfolgend dargestellte Rahmenbrücke sind die Biegemomentenlinie und die Auflagerkräfte infolge der gegebenen Belastung mithilfe des Kraftgrößenverfahrens zu berechnen und zeichnerisch darzustellen. Die Belastungen F 00 kn und p 5 kn/m wirken gleichzeitig. Für sämtliche Stäbe ist EI konst. und EA anzunehmen. F 00 kn F 00 kn F 00 kn p 5 kn/m 2 cf 0,00 EI 0 m 5 m 2 m Bild 5-34: 6 m 20 m 6 m Beispiel 0 mit Dehnfedern - System und Belastung 2 m Baustatik_2_208.docx 08

109 Berechnung unter Ausnutzung von Symmetriebedingungen V 00 kn q 5 kn/m V2 50 kn cf 0,00 EΙ 2 m 5 m 2 m Bild 5-35: 6 m 0 m Beispiel 0 mit Dehnfeder - System und Belastung SBHS und LSZ Bild 5-36: Beispiel 0 mit Dehnfeder SBHS und LSZ Baustatik_2_208.docx 09

110 LSZ und ESZ Bild 5-37: Beispiel 8 mit Dehnfeder LSZ und ESZe Baustatik_2_208.docx 0

111 5.7.4 Beispiel - Klausuraufgabe 2 Baustatik 2 Für das nachfolgend dargestellte statische System sind die Auflagerkräfte sowie die Zustandslinien für Biegemoment, Querkraft und Normalkraft unter Verwendung des Kraftgrößenverfahrens zu ermitteln und mit Angabe der Extremwerte zeichnerisch darzustellen. Für sämtliche Stäbe ist EI const. und EA const. anzunehmen. Für sämtliche Stäbe: b/d 00 cm / 40 cm E N/m 2 Für die 3 unteren Stäbe: Aufstelltemperatur: T0 0 K Ti 0 K, Ta 50 K αt,0 0-5 /K q 30 kn/m Ta 50 K 3 m 3 m qe 30 kn/m qe 30 kn/m Ta 50 K Ti 0 K Ta 50 K cm 0,4 EI 2m 2m 2m 2m 2m 2m Bild 5-38: Beispiel mit Drehfedern - System und Belastung Tabelle 5-: Notwenigkeit der Ermittlung von N-Linien In welchen Fällen müssen N-Linien gezeichnet werden Fall Aufgabe LSZ ESZ wofür EA const. ja Ja 2 εt αt Ts; nein ja εs -. N0 N k δ i 0 N i dx ; δ ik EA Ni dx EA δ i0 ε dx 3 Nend ja ja N N + X N + X N... N i oder über Auflagerkräfte und Gleichgewicht Baustatik_2_208.docx

112 Zusammenfassung der δ-zahlen und Lösung des Gleichungssystems δ 2, ; δ2 0, ; δ22 2, δ, ; δ2,0-02,3 0-5 X X2 Rechte Seite 2, , , , ,3 0-5 Lösung: X A 87,5 ; X2 B 335,5 Tabellarische Berechnung ausgewählter Zustandsgrößen Z Z0 + Σ Xi Zi Zustandsgröße Z0 X Z X2 Z2 Z A 87,5 335,5 AH 87,5 335,5 B -NRiegel 87,5 335,5 NStiel 87,5 335,5 Eck oben 87,5 335,5 Eck unten 87,5 335,5 Eck rechts 87,5 335,5 Bild 5-39: Beispiel mit Drehfedern EDV-Plot der -Linie Baustatik_2_208.docx 2

113 δ-zahlen, Lösung des Gleichungssystem und Ergebnisse ohne Feder X X2 Rechte Seite 0, , , , ,3 0-5 Lösung: X A 280 ; X2 B 33,4 Tabellarische Berechnung ausgewählter Zustandsgrößen Z Z0 + Σ Xi Zi Zustandsgröße Z0 X Z X2 Z2 Z A ,4 AH ,4 B -NRiegel ,4 NStiel ,4 Eck oben ,4 Eck unten ,4 Eck rechts ,4 Bild 5-40: Beispiel - EDV-Plot der -Linie Baustatik_2_208.docx 3

114 5.8 Computerunterstützte Berechnung von Stabtragwerken 5.8. Verbreitete Stabwerksprogramme (Auswahl) Stab2D Gutes und einfaches Stabwerkprogramm zur Ermittlung von Schnittgrößen und Verformungen bei ebenen Stabtragwerken (auf den Rechnern im FB 3 installiert) Demoversion zum download unter RuckZuck PCAE Friedrich & Lochner Gutes und einfaches Stabwerkprogramm zur Ermittlung von Schnittgrößen und Verformungen bei ebenen Stabtragwerken (Fachwerke, Durchlaufträger, Rahmentragwerke) Demoversion zum download unter 4H-NISI von PCAE Gutes Stabwerksprogramm zur statischen Berechnung und Bemessung beliebiger ebener Stabtragwerke aus Stahl, Holz oder Stahlbeton (Lehrversion auf den Rechnern im FB 3 installiert) Weiter Infos unter Weit verbreitetes Programmsystem mit DLT0 (Durchlaufträger) und ESK (Ebenes Stabwerk) zur statischen Berechnung und Bemessung beliebiger ebener Stabtragwerke aus Stahl, Holz oder Stahlbeton Weitere Infos unter RSTAB RSTAB von Dlubal: Gutes Stabwerkprogramm insbesondere für die statische Berechnung und Bemessung von Stahltragwerken. (Lehrversion auf den Rechnern im FB 3 installiert) Baustatik_2_208.docx 4

115 5.8.2 Kurzer Vergleich Baustatik 2 Tabelle 5-2: Kurzer Vergleich ausgewählter Statikprogramme Stab2d 4H-NISI (PCAE) RSTAB Bemessung nein ja ja Federn nein ja ja Th. 2. Ordnung Ja ( LF) ja ja Lastfallüberlagerung nein ja ja Einheitsverdrehungen (für Einflusslinien) ja nein nein Eingabe von Temperaturlastfällen Eine Eingabemöglichkeit für den Wert der Aufstelltemperatur existiert in Programmen nicht. Geg. : T Auf 0 C ; T u 0 C ; T o 50 C d/2 d/2 TS + d Tu 0 TAuf TS T Tunt T oben Bild 5-4: Skizze zu Temperatureinwirkungen öglichkeit A : Eingabe von 2 Lastfällen : LF : T s 5 K T o T u 5 K LF 2: T -50 K T o 25 K ; T u -25 K öglichkeit B : Eingabe von einem Lastfall (zwei in einem): T u -0 K ; T o 40 K ; TS T Tunt T oben Bild 5-42: Skizze zu Temperatureinwirkungen Baustatik_2_208.docx 5

116 5.9 Rahmentragwerke Baustatik Innerliche und äußerliche statische Unbestimmtheit Abzählkriterium Bild 5-43: Äußere und innere statische Bestimmtheit Baustatik_2_208.docx 6

117 5.9.2 Beispiel 2 TA 45 C Ti 25 C 4 HEB 200 (S 235) EΙ const.; EA const. E 2, 0 5 N/m 2 αt,2 0-5 /K Ι cm 4, A cm 2 EΙ T0 5 C EA Bild 5-44: 5 Beispiel 2 - System, Belastung Gesucht: Biegemomentenverlauf und Normalkraftverlauf für die Temperaturlastfälle unter Berücksichtigung der Normalkraftverformung Temperaturlastfälle: ESZ e Bild 5-45: Beispiel 2 - ESZ und LSZ Baustatik_2_208.docx 7

118 Zusammenfassung der δ-zahlen und Lösung des Gleichungssystems δ 6, ; δ2 0, ; δ22 2, δ, T+T δ2, T+T - 25,5 0-4 X X2 Rechte Seite 6, , , , Lösung: X ; X2 Tabellarische Berechnung ausgewählter Zustandsgrößen Z Z0 + Σ Xi Zi ; hier Zwängungslastfälle: Z0 0 Zustandsgröße Z0 X Z X2 Z2 Z A Nlinks 0 5,8 6,48,3 AH 0 5,8 6,48-3,4 B Nrechts 0 5,8 6,48 -,3 BH 0 5,8 6,48 3,4 NRiegel 0 5,8 6,48 3,4 unten 0 5,8 6,48 6,48 Eck links 0 5,8 6,48 9,05 Eck rechts 0 5,8 6,48 2,57 Bild 5-46: Beispiel 2 Ergebnisse der EDV-Berechnung Baustatik_2_208.docx 8

119 5.9.3 Beispiel 3 - Rahmen mit unterschiedlichen Steifigkeiten F 0 kn F 0 kn w 4 kn/m 2 4 b/d 40 / 60 cm εs b/d 40 / 40 cm 3 Beton C 25/30 Ecm N/m 2 EA 8 Bild 5-47: Beispiel 3 System und Belastung Bild 5-48: Beispiel 3 LSZ und ESZe Baustatik_2_208.docx 9

120 Zusammenfassung der δ-zahlen und Lösung des Gleichungssystems δ ; δ2 ; δ22 δ0 δ20 X X2 Rechte Seite Lösung: X ; X2 Tabellarische Berechnung ausgewählter Zustandsgrößen Z Z0 + Σ Xi Zi Zustandsgröße Z0 X Z X2 Z2 A Nlinks 4,607,285 AH 4,607,285 0 B Nrechts 4,607,285 BH NRiegel 4,607,285 0 Eck links 0 4,607, ,607, ,607,285 Eck rechts 4,607,285 Bild 5-49: Beispiel 3 Ergebnisse der EDV-Berechnung Baustatik_2_208.docx 20

121 5.9.4 Beispiel 4 mit Rahmenformel und Reduktionssatz Gesucht: a) Schnittgrößen und Auflagerkräfte mit Rahmenformel w8 kn/m ΙS b) Horizontale Verformung mithilfe des Reduktionssatzes feck? ΙR Ιs 6 HEB 500 (S 235) ΙR ΙS Ι cm 4 EΙ const.; EA E 2, 0 5 N/m 2 EΙ 0 Bild 5-50: Beispiel 4 System und Belastung fm ( l ) ( x) ( x) dx EI fm ( l ) 0 ( x) ( x) dx EI Auflagerkräfte und Eckmomente mit H 2.22 / S. 4.24, Z. 3 Bild 5-5: Beispiel 4 mit Reduktionssatz Baustatik_2_208.docx 2

122 Verformungsberechnung durch Überlagerung Ergebnisse Bild 5-52: Beispiel 4 Ergebnisse der EDV-Berechnung Baustatik_2_208.docx 22