Messen = Vergleichen. Beschränkung auf eine. Stichprobe. Warum geodätische Statistik. der Vorlesung (Script Kap 6) Was ist Messen?

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1 der Vorleug (Scrpt Kap 6) Warum Stattk der Geodäe? Stchprobe Abwechuge/Fehler Geaugket, Auflöug, Präzo, Meucherhet Verteluge Mttelwert Varaz/ Stadardabwechug -Bepele Gewchtug Warum geodätche Stattk Fehlerfree Meuge d cht möglch Meuge werde gegeüber Irrtümer gechert ud Geaugketmae betmmt. Zur Beurtelug der Geaugket, zur Vermedug vo Fehler, z.b Aureer, ud zur Kotrolle werde grudätzlch mehr Beobachtuge durchgeführt, al Ubekate vorhade d (Überbetmmug). Au Mewerte werde folgede tattche Gröe betmmt: - Plaubler Wert der geuchte Gröe (z.b. Mttelwert) - Streuug oder Stadardabwechug - Geaugket ud Vertrauetervall Wa t Mee? Stchprobe Mee Vergleche Bepel: Verglech mt eem Urmatab äge mt Naturkotate (chtgechwdgket, Zet) ud ormalerwee Bechräkug auf ee Stchprobe Stchprobe t egetlch e Wort au der alte Bergmaprache. Se wurde au Schmelzöfe etomme, um Aufchlu über de Zutad der Schmelzmae zu gebe. Stchprobeaalye Stattk ud Stochatk de Mee Jede Prüfug t ee Strchprobeaalye. Au der Ure de Gehr werde Kugel de We oder Nchtwe gezoge ud darau wrd auf de Geamttad de We deem Gehr gechloe. Abtatug Stchprobe Meproze Stochatch determtch Zutad, Proze,Meobekt Y(,t,...) Medate Stattk Ergebe -Mttelwert -Stadardabwechug -Wetere Parameter

2 Geaugket ud Fehler der mechl.. Kommukato Fehlerarte ud Abwechuge Hochauflöed, ehr präze total falch, tmmt cht We cht geau -Grobe Fehler -Sytematche - determtche Abwechuge (Fehler) Neu: Utertelug zemlch geau Zuverläg? A.) Korrgerbare ytematche Abwechuge ud B.) cht erfabare, cht modellerbare ytematche Abwechuge Wahrchelch rchtg bt du cher? Hwe: Fehlerbegrff er Begrff Fehler er Begrff "Fehler" t m Hblck auf terdzpläre kuoe ur da zu verwede, we er m Se vo falch zu vertehe t. er oftmal och verwedete Begrff Mttlerer Fehler zufällger Fehler ollte der Geodäe wrd cht mehr verwedet werde. Wa t da?? 4, m +-, m Mttlerer Fehler, Toleraz, Meucherhet??? I der deutchprachge Geodäe t der uglücklche Begrff durch ee uzuläglche Überetzug de lat. Begrffe Error etade, da CF Gau ee Schrft Theora combato obevatoum errorbu mm oboxae latech verfat hat. Beer: Error Abwechug (etymologch: herum Irre, Abchwefe) e deutche Sprache ket ur ee Fehlerbegrff Eglch/Frazöch - bluder - mtake - fault/ faute - error/ erreur - defect/défectueux - wrog CF Gau Grobe Fehler Sytematche Abwechuge (ytematc error) Grobe Fehler (gro error) Grobe Fehler d m Se vo falch zu vertehe. E legt alo etweder e Irrtum oder de Wahl ee falche Modell zugrude. Urache Irrtümer der Beobachter (Verwechlug, falche Ableug, etc.) Ugeegete Me- ud Auwerteverfahre Vermedug Jede Meelemet mu durch de Aordug kotrollert e: uabhägge Kotrollmeuge Probe adere Kofguratoe Mehrfachmeuge Uter ytematche Abwechuge verteht ma de fuktoale Kompoete der Abwechug. E hadelt ch herbe um Modellfehler, dere Sytematk ch eem betmmte Betrag ud betmmte Vorzeche darlegt. Urache uzurechede Kalbrerug ud ytematch falche Hadhabug der Megeräte, uzurechede Modelle rfte de Metrumete folge vo Temperaturäderuge Ukalbrerte Mebad tazmeug mt falcher Frequez bzw. Addtokotate Vermedug regelmäge Kalbrerug der Metrumete Elmato durch Berückchtgug ee beere mathematche Modell ud durch zuätzlche Meuge adere Kofguratoe Mehrfachmeuge

3 Sytematche Abwechuge Zufällge Abwechuge (radom( oe) Bepel: Addtokotate be der tazmeug mt Mebad oder EM Zufällge Abwechuge d Abwechuge, de ach Elmerug der grobe ud ytematche Fehler übrgblebe a a a Urache der zufällge Abwechuge: geamt Σ +N * a Sytematche Abwechuge pflaze ch mt der Azahl N de Meerege fort Greze de Auflöugvermöge Rauche vo elektroche Kompoete Extere ormalvertelte Eflüe e zufällge ud voeader uabhägge Abwechuge folge eer Normalvertelug (Aahme!). Merehe mt to ::5 5:: 5:: 5:: 5:: 5::4 5::5 5:: 5:: 5:: 5:: 5::4 5::5 5:: 5:: 5:: [m] chtefukto:verchedee Movre ud Gau

4 Auflöug Geaugket er Magel a mathematcher Bldug gbt ch durch cht o auffalled zu erkee, we durch maloe Schärfe m Zahlereche. C.F. Gau Geaugketmae ere ud äuere Geaugket, Präzo ud Auflöug Auflöug wrd de klete Zählehet, her der Abtad der Rge der Zelchebe, vertade (Klete Ehet eer gtalazege). e Streuug der Echulöcher gbt de Präzo a; e t e Ma für de Reproduzerbarket der Treffer uter de gegebee Bedguge (zufällge Streuug). er Begrff Präzo t mt dem Begrff ere Geaugket detch. e Abwechug zwche der mttlere Poto der Echulöcher ud dem Zetrum der Zelchebe wrd durch de äuere Geaugket augedrückt. e äuere Geaugket berückchtgt alo de ytematche Abwechuge. Im eglche Sprachraum bezechet preco de ere Geaugket ud accuracy de äuere Geaugket. Abwechuge ud Sytematke Schefe Verteluge wahrer Wert xw: er Ba d: tatächlche Wert Natura. (au dem Eglche. Begrff Er t oft cht bekat. E t au der Elektrok: der Wert, de ma be eer Vorpaug, Meug theoretch erhalte ytematche Äderug der müte (z.b. de Spaug [Offet]) Wkelumme m ebee Abwechug de reeck: xw [go]). Erwartugwerte m vom wahre Wert xw be vorhadee, Verbeerug cht v: erfate, Abwechug ytematche de Mewerte x vom Abwechuge Erwartugwert µ, v µ-x Erwartugwert µ: E(x), Erwartugwert eer Zufallgröe x erte zetrale Momet der Zufallvarable x Wahre Abwechug e: Abwechug de Mewerte x vom wahre Wert x w, e x w -x Adere Verteluge er Meda (be Ncht-Normalvertelug) Normalvertelug) er Meda t e robuter Schätzwert. Be der Medabldug werde de Werte vom klete zum gröte aufteged geordet. er Meda t der Wert der Mtte deer geordete Zahlerehe. Be eer gerade Azahl Werte wrd der urchchtt der bede mttlere Werte verwedet

5 er Erwartugwert (. Momet der Stattk) Varaz (. Momet der Stattk) Al plaubelte Schätzwert für de Erwartugwert µ verwedet ma be Normalvertelug ud ubaed Meuge da arthmetche Mttel der Mewerte x. Sot E{X} Meda. arthmetche Mttel Emprche Varaz (Schätzwert der Varaz) wege edlcher Zahl der Mewerte µ x x Stadardabwechug (früher: mttlerer Fehler) + Stadardabwechug Au de Mewerte lät ch de Stadardabwechug ee Mewerte ud de Stadardabwechug de Mttelwerte ablete Berechug der Varaz (. Momet der Stattk) Varaz (. Momet der Stattk) f µ ) Frehetgrad f - u (Redudaz) ( x Azahl der überchüge Meuge u Azahl der Ubekate, de au dem Zahlemateral abgeletet werde Abwechug der Ezelmeug vom Erwartugwert E gbt Fälle. Fall Erwartugwert bzw. wahrer Wert µ bekat µ x w. Fall Erwartugwert µ ubekat, d.h. ur Schätzwert vo µ bekat µ x e emprche Varaz etprcht der Varaz der Wahrchelchketrechug, aber µ t cht bekat ud mu gechätzt werde durch Bldug de arthmetche Mttel (dekrptve Stattk). Uter "chätze" verteht ma de Berechug de plaubelte Werte (Erwartugwert). Fall: er wahre Wert x w ud wahre Abwechug ε. Fall Varaz. Fall wahrer Wert x w bekat: x w µ Bepel: a) Wkelumme m reeck, Vereck b) Wert, der au eer Meug mt weetlch höherer Megeaugket ( Faktor ) tammt. Z.B. Iterferometer ud Mebad c) oppelmeuge e Ket ee wahre Werte t allerdg eher ee Auahme! f-u- x µ ( ) Frühere geodätche Schrebwee: [ ] bedeutet Summe über alle Elemete (Gau'che Schrebwee). Beachte: Für ε wrd her voraugeetzt, da µ x w t. [ εε] 5

6 Geodätche Stattk äquvalete Begrffe Soderfall: oppelbeobachtuge Bezechuge: Stattk x w ε ε x -x w It - Soll x Wahre Abwechug gemeeer Wert Geodäe ε ε - l Soll - It l Wrd eder Mewert uabhägg vom adere mt glecher Geaugket doppelt gemee, ka de Stadardabwechug au de ffereze d der oppelbeobachtuge ermttelt werde (z.b. oppelvellemet). er wahre Wert der fferez t bekat. Er t Null. Berechug der emprche Varaz be oppelbeobachtuge gegebe: Zwe glech geaue Merehe glecher Beobachtuggröe (Rchtuge, Strecke, Höheuterchede m H- ud Rückgag etc.). Fall: Varaz. Fall Erwartugwert µ ubekat, d.h. Schätzwert µ x bekat d.h. au dem Zahlemateral wrd zuätzlch der Mttelwert x al Ubekate gechätzt f - geucht: Varaz bzw. Stadardabwechug. Beobachtugrehe x x... x. Beobachtugrehe fferez,, x, x'... ' x' d d..., d d Stattk ( u x µ ) Geodäe vv ε wrd zu v [ vv] m Geodätche Stattk Stadardabwechug de arthmetche Mttel Berechug der emprche Varaz auf Tacherecher Tacherecherformel mt gletedem Mttelwert x x e potve Wurzel au der Varaz wrd Stadardabwechug geat. ( x x ) µ x Stattk x µ Varaz x ( x µ ) µ ( ) m Alte Schrebwee mttlerer Fehler de Mttel [ vv] m x ( ) Setzt vorau,da Proze tatoär, d.h. kee rfte f(t) 6

7 Varazfortpflazug be voeader uabhägge gge Beobachtuge I II III IV Gegebe: Fukto F F( x,x,...x ) ud bzw. df F dx + dx dx x Be cht-leare Fuktoe t de Fukto eer Taylorrehe zu F etwckel, Abbruch ach ertem Term F F F Stattche Betrachtug de Polygozug - Azmutbetmmug - Abr - freer Polgozug - gezwägter Polygozug Polygozug al fortlaufede Polare Ahäge ge Eetg agechloeer Polygozug Tuelröhre Tuelvortreb A er Abr: We oretert ma de Telkre? FP Gemeee Rchtuge FP? -Rchtug Neupukt Berechete Azmute Berechug Abr Gegebe: - Koordate der Fxpukte S, F, F ud F - Azmute Az(S,F), Az(S,F), Az(S,F) m.hauptaufgabe berechet - (gemttelte) Rchtuge zu de Fxpukte R(F), R(F), R(F) Geucht: - oreterte Rchtuge OF, OF, OF Pukt gerechete beobachtete Az - R oreterte Verbeeruge Azmut Az Rchtug O mttel Rchtug v O mttel -O F [go] [go] [go] R + O mttel [mgo] F Az(S,F) R(F) O F R or (F) v F N R(N) R or (N) F Az(S,F) R(F) O F R or (F) v F N R(N) R or (N) F Az(S,F) R(F) O F R or (F) v F O Omttel v 7

8 Stattk Abr (6..6) Egabetabelle Stadpukt Achlupukte Koordate Koordate Pukt Y X Pukt Y X A F Neupukte F Pukt F N Geaugketagabe bem Abr StdAbw. eer Oreterug (Rchtug) StdAbw. der gemttelte Oreterug StdAbw. eer oreterte Rchtug Pukt Gerech. Beob. Az-R Oreterte Verbeeruge Azmut Rchtug Omtt. Rchtug v vv R [go] [go] [go] (R + Omtt.) [mgo] F F F N Omtt vv mttel R OR vv ( + ) ( ) Stadardabwechug eer Oreterug (Rchtug): Stadardabwechug der gemttelte Oreterug: o Σ vv [ mgo ] omttel o 5.. [mgo] wobe Azahl Achlurchtuge Stadardabwechug eer oreterte Rchtug:. geodätche Hauptaufgabe Polare Ahäge ge R OR R OR Varazeaddto o + o mttel vv + ( + ) vv ( + ) vv ( + ) ( ) ( + ) ( ) vv 4. 6 ( + 4 ) [mgo] X X Az(A,B) A (YA,X A ) Y AB B (YB,X B ) Y gegebe: geucht: Y A, X A gemee: AB, Az (A, B) Y B, X B Y ( Az (A, B )) AB X co ( Az (A, B )) AB Y Y + Y Y + ( Az (A, B) ) B A A AB X X + X X + co ( Az (A, B) ) B A A AB Achtug: Her d weder Geaugket der Fxpuktkoordate och Netzpauge berückchtgt Berechug der Koordate ee Polygopukte: Az Azmut vo Pkt - zu Pkt Az + a k - go Azmutübertragug e Rchtugübertragug ud Azmutberechug Az(A,) : Seteläge Pkt - zu Pkt x, y : Koordate de erte Pukte a k : Brechugwkel (k... ) y y + Az x x + coaz A α Az(,)? Az(A,) Az(,) Az(A,) - go + α 8

9 Polygozug arau folgt für f r de Varazfortpflazug Y,A Y, y Az coaz x m m m m α + α ρ X,A A XA,E Σ X X, Y, X, Y,E X,E y α α k coaz α ρ ρ k α α k Az α ρ ρ k k k y m y m m y m α + α ρ YA,E Σ Y E äg- ud Querabwechug (getreckter Polygozug) Be Abteckugaufgabe mt eetg agechloeem Polygozug, z.b. Tuelabteckuge, wll ma de de äg- ud Querabwechug we abe t beoder de Querabwechug vo Iteree, da e für de Geaugket de Tueldurchchlag wchtg t. e Geaugket der bede Polygozüge t Relato zur urchlagtoleraz zu etze, de heute och oftmal al urchchlagfehler bezechet wrd. Achtug: Toleraz uglech Stadardabwechug (mf)? Stadardabwechuge Querrchtug q Wkelabwechuge wrke ch al Abwechuge q quer zur Zugrchtug au. Trtt be der Meug ee Wkelabwechug dα auf, o kommt ach. Mt ma vo her au fehlerlo, o erhält der Edpukt N de Querabwechug NN. Hat ma hgege de Abwechug dα, o kommt N ach N. NN dα NN ( ) dα NN dα + ( ) dα ( dα + ( ) dα ) Querabwechug Querabwechug (gleche Seteläge ge, getreckt) Wäre z.b. der erte Wkel um mgo verchwekt ud alle folgede perfekt gemee, o hätte ma ach 64 m Polygozug cho dadurch ee Querabwechug vo etwa cm. a u ede folgede Wkelbetmmug auch mt eer gewe Stadardabwechug behaftet t, wrkt ch de für ee belebge offee Polygozug folgedermae au: Oder we auf alle Pukte Wkelabwechuge dα, dα,..., dα auftrete Geamteflu ( ) Σ: NN d ( α+ ( ) dα + ( ) dα+... +dα - + dα ) Uter Verwedug de Varazfortpflazuggeetze + ( ) + ( ) q α α α α- α- a de Stadardabwechuge der Polygowkel alle glech α d, wrd (... + ( -) ) q α α 9

10 Querabwechug Zur Beurtelug der Varazfortpflazug m Allgemee eretze wr de Klammeraudruck ach der Theore der arthmetche Rehe durch Gl Gl ( + )( + ) ( + + ) 6 Berückchtgt ma ur da Hauptgled, o wrd mt Gl ud mt folgt 5. q α α q α α α Bepel: Varazfortpflazug bem getreckte Polygozug We pflaze ch zufällge Rchtugabwechuge bem getreckte Polygozug fort (Herletug Skrpt 6..5)? Querfehler [m] Varazfortpflazug bem Polygozug (S m, gmaalpha mgo) 5 5 q α aege [m] S Stadardabwechug der Querabwechug MItte ud Ede eetger, freer Polygozug, StdAbw. Querrchtug, Zugmtte qm qm α ρ ρ 4 egezwägter Polygozug, zweetger Koordate- ud Rchtugachlu, Zugmtte 9 eetger, freer Polygozug, StdAbw. Querrchtug, Zugede qe α ρ α qe e glt: Azahl Sete, gleche Seteläge, Geamtläge, alle Wkel glech geau gemee mt Stadardabwechug α egezwägter Polygozug, zweetger Koordate- ud Rchtugachlu, Zugede Stadardabwechuge ägrchtug It de Stadardabwechug eer belebge Polygoete der äge, o wrd de Stadardabwechug de Zuge d d+ d Herletuge. Jorda, Eggert, Kel Bad II Azahl der Wederholuge de Vorgag äg- ud Querabwechug Varazfortpflazug bem Polygo- ud Kreelzug Querabwechug Eetg agechloe ägabwechug Eetg agechloe Abb. 6.5 Verhalte Quer- (lk) ud ägrchtug (recht) ee offee (getrchelt) ud ee egezwägte Polygozuge (augezoge), ehe Kap , mt Pukte kl. Afag- ud Edpukt Varazfortpflazug bem getreckte Polygozug: ägabwechug: Querabwechugr: l S q α S Varazfortpflazug bem getreckte Kreelzug: ägabwechug: Querabwechug: l S α q Querfehler [cm] Polygozug, A mgo 6 q(x) r(x) aege [m]

11 A Pror-Aalye TI8 Zuverlägket Zwe Varate Azmut / 5 m Azmut / 5 m otug : mm Rchtug :.7 mgo Azmut :.5 mgo taz : mm + ppm Setup :.5 mm Polygoeteläge: m e Zuverlägket t ee a pror Egechaft ud quatfzert da Auflöugvermöge ee geodätche Netze, mt dem grobe Fehler aufgedeckt werde köe. Tueletze habe polygoale Charakter bechräkte Zuverlägket Erhöhug der Zuverlägket durch verchräkte Polygozüge (polygoale Netze) Ebezug vo Kreelmeuge Bohrlöcher Vertrauetervall 95%