Vorlesung Automaten und Formale Sprachen Sommersemester Vorlesungstermine. Wer sind wir?

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1 Vorlesung Automten und Formle Sprchen Sommersemester 2018 Prof. Brr König Üungsleitung: Christin Mik-Michlski Ds heutige Progrmm: Orgnistorisches Vorstellung Aluf der Vorlesung und der Üungen Prüfung & Klusur Litertur & Folien Einführung und Motivtion: Automten und Formle Sprchen Inhlt der Vorlesung Brr König Automten und Formle Sprchen 1 Wer sind wir? Brr König Automten und Formle Sprchen 2 Vorlesungstermine Dozentin: Prof. Brr König Rum LF 264 E-Mil: rr koenig@uni-due.de Üungsleitung: Christin Mik-Michlski Rum LF 261 christin.mik-michlski@uni-due.de We-Seite: Termin: Dienstg, 12:15-13:45 Uhr im Rum LB 104 Brr König Automten und Formle Sprchen 3 Brr König Automten und Formle Sprchen 4

2 Termine der Üungsgruppen Hinweise zu den Üungen Üungsgruppen: Gruppe Tg Uhrzeit Rum Sprche 1 Di 8:00 10:00 LE 120 Englisch 2 Di 16:00 18:00 LE 103 Deutsch 3 Mi 10:00 12:00 LB 117 Deutsch 4 Mi 12:00 14:00 LC 137 Deutsch 5 Mi 12:00 14:00 LK 063 Deutsch 6 Fr 10:00 12:00 LC 137 Deutsch Die Üungen eginnen in der dritten Vorlesungswoche m Dienstg, den 24. April. Bitte versuchen Sie, sich möglichst gleichmäßig uf die Üungen zu verteilen. Besuchen Sie die Üungen! Diesen Stoff knn mn nur durch regelmäßiges Üen erlernen. Auswendiglernen hilft nicht esonders viel. Die Üungslätter (in Deutsch und Englisch) werden jeweils m Dienstg der Vorwoche ins Netz gestellt. Ds erste Üungsltt wird m ereitgestellt. Brr König Automten und Formle Sprchen 5 Hinweise zu den Üungen Brr König Automten und Formle Sprchen 6 Tutorium Age der gelösten Aufgen is Dienstg der folgenden Woche, 8:15 Uhr. Einwurf in den Briefksten neen dem Rum LF 259. Bitte geen Sie uf Ihrer Lösung deutlich die Vorlesung, Ihren Nmen, Ihre Mtrikelnummer und Ihre Gruppennummer n. Sie dürfen in Zweier-Gruppen geen. Plgite oder ds Kopieren lter Musterlösungen sind selstverständlich nicht erlut! In diesem Fll vergeen wir keine Punkte. Die Vorlesung wird von einem Tutorium egleitet, ds von Christin Mik-Michlski gehlten wird. Termin: Donnerstg, 14:00 16:00, LK 052 Ds Tutorium eginnt in der dritten Semesterwoche. Die Teilnhme ist nicht verpflichtend. Brr König Automten und Formle Sprchen 7 Brr König Automten und Formle Sprchen 8

3 Hinweise zu den Üungen Wir verwenden Moodle, um: die Aufgenlätter zur Verfügung zu stellen und um Diskussionsforen ereitzustellen. Moodle-Plttform n der Universität Duisurg-Essen: (siehe uch Link uf der Weseite) Trgen Sie sich in den Kurs Automten und Formle Sprchen 2018 (Sommersemester 2018 Ingenieurwissenschften Informtik und Angewndte Kognitionswissenschft) ein. Bitte mit Uni-Kennung nmelden! Zugngsschlüssel:... Prüfung Es git mehrere Möglichkeiten, die Vorlesung prüfen zu lssen... Klusur (für BAI & ISE & Neenfch-Studierende). Termin: 17. August 2018, 15:30 Uhr Mündliche Prüfung (für BAIs, die diese Vorlesung mündlich prüfen lssen; Alterntive: mündliche Prüfung in Rechnernetze und Sicherheit ) Vorussichtlicher Termin: August 2018 Im Allgemeinen findet diese mündliche Prüfung ls Komiprüfung/Modulprüfung Theoretische Informtik gemeinsm mit Berechenrkeit und Komplexität sttt. Es git Ausnhmen für Studierende, die im Sommersemester eginnen und eide Vorlesungen in größerem Astnd hören. Anmeldung üer ds Prüfungsmt Brr König Automten und Formle Sprchen 9 Prüfung Wenn Sie 50% der Üungspunkte erzielt hen, so erhlten Sie einen Bonus für die Prüfung. (Für ds Vorrechnen in der Üung git es 10 Extrpunkte.) Auswirkung: Veresserung um eine Notenstufe; z.b. von 2,3 uf 2,0 Bonuspunkte us dem SS 2017 (oder früher) gelten nicht mehr! Für die mündliche Modulprüfung Theoretische Informtik (Komiprüfung) ist es erforderlich, den Bonus für jede der eiden Vorlesungen ( Automten und Formle Sprchen & Berechenrkeit & Komplexität ) zu erzielen, um eine essere Note zu erhlten. Der Bonus ist keine Vorussetzung für die Teilnhme n einer Prüfung. Brr König Automten und Formle Sprchen 10 Litertur Die Vorlesung siert im wesentlichen uf folgendem Buch: Uwe Schöning: Theoretische Informtik kurzgefßt. Spektrum, (5. Auflge) Weitere relevnte Bücher: Neuuflge eines lten Klssikers: Hopcroft, Motwni, Ullmn: Introduction to Automt Theory, Lnguges, nd Computtion, Addison-Wesley, Auf Deutsch: Hopcroft, Motwni, Ullmn: Einführung in die Automtentheorie, Formle Sprchen und Komplexitätstheorie, Person, Vossen, Witt: Grundkurs Theoretische Informtik, vieweg, Asteroth, Bier: Theoretische Informtik, Person, Brr König Automten und Formle Sprchen 11 Brr König Automten und Formle Sprchen 12

4 Litertur Litertur Brr König Automten und Formle Sprchen 13 Litertur Brr König Automten und Formle Sprchen 14 Folien Folien werden uf der Weseite ereitgestellt regelmäßig ktulisiert Die Folien werden sich gegenüer dem Jhr 2016 nur leicht verändern. Sie können dher ei Bedrf uf die Folien des Vorjhrs zurückgreifen ( Unter git es uch eine englische Üersetzung der Folien us dem Jhr Brr König Automten und Formle Sprchen 15 Brr König Automten und Formle Sprchen 16

5 Studie zum Them e-lerning Adventure-Prolem Im Rhmen der Vorlesung im Sommersemester 2018 wird eine Studie zu e-lerning durch einen Mitreiter der TU Berlin durchgeführt. Es geht drum, Online-Lerneinheiten zum Stoff zu ereiten und nschließend einen Frgeogen uszufüllen. Die Teilnhme ist freiwillig. Mehr dzu Mitte Mi. Zum Aufwärmen: wir etrchten ds sogennnte Adventure-Prolem, ei dem ein Aenteurer/eine Aenteurerin einen Weg durch ein Adventure finden muss. (Später wird dnn erklärt, ws ds eigentlich mit theoretischer Informtik zu tun ht.) Brr König Automten und Formle Sprchen 17 Brr König Automten und Formle Sprchen 18 Adventure-Prolem Adventures estehen us Grphen zw. Automten, die mit folgenden Symolen mrkiert sind: Drchen: Schwert: Torogen: Tür: Fluss: Schlüssel: 13 8 Schtz: Brr König Automten und Formle Sprchen 19 Brr König Automten und Formle Sprchen 20

6 Adventure-Prolem (Level 1) Adventure-Prolem (Level 1) Ntürlich git es estimmte Regeln, die ei einem erfolgreichen Aenteuer zu echten sind: Die Schtz-Regel Mn muss mindestens zwei Schätze finden. Die Tür-Regel Durch eine Tür knn mn nur gehen, wenn mn zuvor einen Schlüssel gefunden ht. (Dieser Schlüssel drf er dnn elieig oft verwendet werden.) Die Drchen-Regel Unmittelr nch der Begegnung mit einem Drchen muss mn in einen Fluss springen, d uns der Drche in Brnd stecken wird. Dies gilt nicht mehr, sold mn ein Schwert esitzt, mit dem mn den Drchen vorher töten knn. Bemerkung: Drchen, Schätze und Schlüssel werden nchgefüllt, sold mn ds entsprechende Feld verlssen ht. Gesucht ist der kürzeste Weg, von einem Anfngszustnd zu einem Endzustnd, der lle diese Bedingungen erfüllt: Brr König Automten und Formle Sprchen 21 Adventure-Prolem (Level 1) Brr König Automten und Formle Sprchen 22 Adventure-Prolem (Level 2) Frgen (Level 1) Git es in dem Beispiel eine Lösung? Adventure J! Die kürzeste Lösung ist 1, 2, 3, 1, 2, 4, 10, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 4, 11, 12 (Länge 16). Git es ein llgemeines Lösungsverfhren, ds gegeen ein Adventure in Form eines Automten immer estimmen knn, o es eine Lösung git? J! Wir werden dieses Verfhren noch kennenlernen. Um ds Verfhren implementieren zu können, enötigen wir uch formle Beschreiungen der Regeln (Tür-Regel, Drchen-Regel, Schtz-Regel). Neue Tür-Regel Die Schlüssel sind mgisch und verschwinden sofort, nchdem eine Tür mit ihnen geöffnet wurde. Sold mn eine Tür durchschritten ht, schließt sie sich sofort wieder. Brr König Automten und Formle Sprchen 23 Brr König Automten und Formle Sprchen 24

7 Adventure-Prolem (Level 2) Adventure-Prolem (Level 3) Frgen (Level 2) Git es in dem Beispiel eine Lösung? Adventure J! Die kürzeste Lösung ist 1, 2, 3, 1, 2, 4, 10, 4, 7, 8, 9, 4, 7, 8, 9, 4, 11, 12. (Länge 18) Git es ein llgemeines Lösungsverfhren? J! Wir werden dieses Verfhren noch kennenlernen. Wrum ist ds Prolem jetzt schwieriger? Wir hen jetzt durch die Schlüssel eine Art Zähler eingeführt. Neue Drchen-Regel Auch Schwerter werden durch ds Drchenlut unenutzr, sold mn einen Drchen dmit getötet ht. Außerdem werden Drchen sofort wieder ersetzt. Es git jedoch immer noch die Option, ein Schwert nicht zu enutzen und nch der Begegnung mit dem Drchen in den Fluss zu springen. Außerdem leit die neue Tür-Regel estehen. Brr König Automten und Formle Sprchen 25 Adventure-Prolem (Level 3) Brr König Automten und Formle Sprchen 26 Adventure-Prolem (Level 4) Frgen (Level 3) Git es in dem Beispiel eine Lösung? Adventure J! Die kürzeste Lösung ist 1, 2, 3, 1, 2, 4, 10, 4, 7, 8, 9, 4, 7, 8, 9, 4, 11, 12. (Länge 18) Git es ein llgemeines Lösungsverfhren? J! Dieses Prolem ist gerde noch lösr. Eine genue Lufzeit knn nicht ngegeen werden. (Mögliche Lösungen werden in der Vorlesung vorussichtlich nicht ehndelt.) Wrum wird ds Prolem schwieriger? Durch die Schwerter hen wir einen weiteren Zähler hinzuekommen. Weitere Zähler (d.h., drei oder mehr) mchen ds Prolem nicht wesentlich schwieriger. Schlüssel-Regel Der mgische Torogen knn nur pssiert werden, wenn mn keinen Schlüssel esitzt. Schwert-Regel Ein Fluss knn nur pssiert werden, wenn mn kein Schwert esitzt (weil mn sonst ertrinkt!). Ds Wegwerfen von Schlüsseln oder Schwertern ist nicht erlut. Brr König Automten und Formle Sprchen 27 Brr König Automten und Formle Sprchen 28

8 Adventure-Prolem (Level 4) Adventure-Prolem (Level 4) Frgen (Level 4) Git es in dem Beispiel eine Lösung? Adventure J! Die kürzeste Lösung ist 1, 2, 3, 1, 2, 4, 10, 4, 7, 8, 9, 4, 10, 4, 5, 6, 4, 11, 12. (Länge 19) Git es ein llgemeines Lösungsverfhren? Nein! Es hndelt sich hier um ein sogennntes unentscheidres Prolem. Wir werden in der Vorlesung Berechenrkeit und Komplexität eweisen, dss es ttsächlich kein Lösungsverfhren git. Frgen (Level 4) Wrum wird ds Prolem schwieriger? Wir hen jetzt nicht nur zwei Zähler, sondern können diese uch uf Null testen. Dmit ht unser Modell ereits eine Mächtigkeit, ei der viele Prolemstellungen unentscheidr werden. Mn echte: Computer-Progrmme sind mindestens so mächtig, denn es ist gnz einfch zwei Zähler einzuführen und eenso sind Null-Tests möglich! Brr König Automten und Formle Sprchen 29 Adventure-Prolem und Formle Sprchen Brr König Automten und Formle Sprchen 30 Adventure-Prolem und Formle Sprchen (Formle) Sprchen Sprchen = Mengen von Wörtern Im Beispiel: Menge ller Pfde in einem Adventure; Menge ller zulässigen Pfde in einem Adventure; Menge ller Pfde, die die Tür-Regel erfüllen (unhängig vom Adventure),... Im Allgemeinen: Mengen von Wörtern, die estimmten Bedingungen genügen (zum Beispiel: Menge ller korrekt geklmmerten rithmetischen Ausdrücke; Menge ller syntktisch korrekter Jv-Progrmme;... ) Automten und Formle Sprchen Sprchen enthlten im Allgemeinen unendliche viele Wörter. Dher: Mn enötigt endliche Beschreiungen für unendliche Sprchen. Mögliche endliche Beschreiungen sind Automten (wie im Beispiel), Grmmtiken (ähnlich zu Grmmtiken für ntürliche Sprchen) oder reguläre Ausdrücke. Es git uch Beschreiungen in Worten (Tür-Regel, etc.), er diese müssen dmit sie eindeutig sind und mechnisch weiterverreitet werden können formlisiert werden. Brr König Automten und Formle Sprchen 31 Brr König Automten und Formle Sprchen 32

9 Adventure-Prolem und Formle Sprchen Adventure-Prolem und Formle Sprchen Frgestellungen Typische Frgen in diesem Zusmmenhng sind: Ist eine estimmte Sprche L leer oder enthält sie ein Wort? L =? Ist ein gegeenes Wort w in der Sprche? w L? Sind zwei Sprchen ineinnder enthlten? L 1 L 2? Wir etrchten verschiedene Algorithmen, die solche Frgen entworten können. Die einzelnen Level des Adventures entsprechen in etw folgenden Sprchklssen: Level 1 reguläre Sprchen Level 2 kontextfreie Sprchen (Level 3 Petri-Netz-Sprchen) Stttdessen: wir ehndeln kontextsensitiven Sprchen Level 4 Chomsky-0-Sprchen (semi-entscheidre Sprchen) Kontextsensitive und semi-entscheidre Sprchen werden im Detil erst in der Nchfolgervorlesung Berechenrkeit und Komplexität ehndelt. Brr König Automten und Formle Sprchen 33 Vom Nutzen der theoretischen Informtik Brr König Automten und Formle Sprchen 34 Inhlt der Vorlesung Wie knn mn unendliche Strukturen (Sprchen) durch endliche Beschreiungen (Automten, Grmmtiken) erfssen? Es geht um die Frgen: Ws ist erechenr? Wie sehen die dzugehörigen Algorithmen us? Ws sind wirklich hrte Proleme? Es git zhlreiche Anwendungen, eispielsweise in folgenden Geieten: Suchen in Texten (reguläre Ausdrücke) Syntx von (Progrmmier-)Sprchen und Compileru Systemverhlten modellieren Progrmmverifiktion Automtentheorie und Formle Sprchen Sprchen, Grmmtiken und Automten Chomsky-Hierrchie (verschiedene Klssen von Sprchen) Reguläre Sprchen, kontextfreie Sprchen Wie knn mn zeigen, dss eine Sprche nicht zu einer estimmten Sprchklssen gehört? (Pumping-Lemm) Wortprolem (Gehört ein Wort zu einer estimmten Sprche?) Aschlusseigenschften (Ist der Schnitt zweier regulärer Sprchen wieder regulär?) Brr König Automten und Formle Sprchen 35 Brr König Automten und Formle Sprchen 36

10 Nottion: Mengen und Funktionen Nottion: Mengen und Funktionen Menge Menge M von Elementen, wird eschrieen ls Aufzählung M = {0, 2, 4, 6, 8,... } oder ls Menge von Elementen mit einer estimmten Eigenschft M = {n n N 0 und n gerde}. Allgemeines Formt: M = {x P(x)} (M ist Menge ller Elemente x, die die Eigenschft P erfüllen.) Bemerkungen: Die Elemente einer Menge sind ungeordnet, d.h., ihre Ordnung spielt keine Rolle. Beispielsweise gilt: {1, 2, 3} = {1, 3, 2} = {2, 1, 3} = {2, 3, 1} = {3, 1, 2} = {3, 2, 1} Ein Element knn nicht mehrfch in einer Menge uftreten. Es ist entweder in der Menge, oder es ist nicht in der Menge. Beispielsweise gilt: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4, 4} Brr König Automten und Formle Sprchen 37 Nottion: Mengen und Funktionen Element einer Menge Wir schreien M, flls ein Element in der Menge M enthlten ist. Anzhl der Elemente einer Menge Für eine Menge M git M die Anzhl ihrer Elemente n. Teilmengeneziehung Wir schreien A B, flls jedes Element von A uch in B enthlten ist. Die Reltion heißt uch Inklusion. Leere Menge Mit oder {} ezeichnet mn die leere Menge. Sie enthält keine Elemente und ist Teilmenge jeder nderen Menge. Brr König Automten und Formle Sprchen 39 Brr König Automten und Formle Sprchen 38 Nottion: Mengen und Funktionen Vereinigung Die Vereinigung zweier Mengen A, B ist die Menge M, die die Elemente enthält, die in A oder B vorkommen. Mn schreit dfür A B. A B = {x x A oder x B} Schnitt Der Schnitt zweier Mengen A, B ist die Menge M, die die Element enthält, die sowohl in A ls uch in B vorkommen. Mn schreit dfür A B. A B = {x x A und x B} Brr König Automten und Formle Sprchen 40

11 Nottion: Mengen und Funktionen Nottion: Mengen und Funktionen Bemerkungen: Kreuzprodukt Seien A, B zwei Menge. Die Menge A B ist die Menge ller Pre (, ), woei ds erste Element des Prs us A, ds zweite us B kommt. A B = {(, ) A, B} Beispiel: {1, 2} {3, 4, 5} = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} Es gilt: A B = A B (für endliche Menge A, B). Wir etrchten nicht nur Pre, sondern uch sogennnte Tupel, estehend us mehreren Elementen. Ein Tupel ( 1,..., n ) estehend us n Elementen heißt uch n-tupel. In einem Tupel sind die Element geordnet! Beispielsweise gilt: (1, 2, 3) (1, 3, 2) N 0 N 0 N 0 Ein Element knn mehrfch in einem Tupel uftreten. Tupel unterschiedlicher Länge sind immer verschieden. Beispielsweise: (1, 2, 3, 4) (1, 2, 3, 4, 4) Runde Klmmern (, ) und geschweifte Klmmern {, } stehen für gnz verschiedene mthemtische Ojekte! Brr König Automten und Formle Sprchen 41 Nottion: Mengen und Funktionen Brr König Automten und Formle Sprchen 42 Nottion: Mengen und Funktionen Funktion Potenzmenge Sei M eine Menge. Die Menge P(M) ist die Menge ller Teilmengen von M. P(M) = {A A M} Beispiel: P({1, 2, 3}) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Es gilt: P(M) = 2 M (für eine endliche Menge M). f : A B f () Die Funktion f ildet ein Element A uf ein Element f () B. Dei ist A der Definitionsereich und B der Werteereich. Beispiel (Qudrtfunktion): f : Z N 0, f (n) = n 2..., 3 9, 2 4, 1 1, 0 0, 1 1, 2 4, 3 9,... Dei ist N 0 die Menge der ntürlichen Zhlen (mit der Null) und Z die Menge der gnzen Zhlen. Brr König Automten und Formle Sprchen 43 Brr König Automten und Formle Sprchen 44

12 Wörter Sprchen Wort Sei Σ ein Alphet, d.h., eine endliche Menge von Zeichen. Dnn ezeichnet mn mit Σ die Menge ller Wörter, d.h., die die Menge ller (endlichen) Zeichenketten mit Zeichen us Σ. Ds leere Wort (ds Wort der Länge 0) wird mit ε ezeichnet. Die Menge ller nicht-leeren Wörter üer Σ wird mit Σ + ezeichnet. Mit w ezeichnen wir die Länge des Wortes w. Beispiel: Sei Σ = {,, c}. Dnn sind mögliche Wörter us Σ : ε,,,,, c,,... Ein nderes mögliches Alphet Σ (mit den Zeichen Drche, Schlüssel,... ) hen wir im vorigen Beispiel kennengelernt. Brr König Automten und Formle Sprchen 45 Beispielsprchen Alphete und Sprchen: Σ 1 = {(, ), +,,, /, } L 1 = EXPR = {w Σ 1 w ist ein rithmetischer Ausdruck} Σ 2 = {,..., z, ä, ü, ö, ß,.,,, :,...} L 2 = Grmmtiklisch korrekte deutsche Sätze Σ 3 = elieig L 3 =, L 3 = {ε} Typische Sprchen üer dem Alphet Σ 4 = {,, c}: L 4 = {w Σ 4 w enthält ls Teilwort} L 5 = { n n n N 0 } L 6 = { n n c n n N 0 } (woei x n = } x.{{.. x} ) n-ml Brr König Automten und Formle Sprchen 47 Sprche Sei Σ ein Alphet. Eine (formle) Sprche L üer Σ ist eine elieige Teilmenge von Σ (L Σ ). Beispiel: sei Σ = {(, ), +,,, /, }, so können wir die Sprche EXPR der korrekt geklmmerten Ausdrücke definieren. Es gilt eispielsweise: ( ) + /( + ) EXPR ((())) EXPR ((+) ( EXPR Brr König Automten und Formle Sprchen 46 Grmmtiken (Einführung) Grmmtiken in der Informtik sind ähnlich wie Grmmtiken für ntürliche Sprchen ein Mittel, um lle syntktisch korrekten Sätze (hier: Wörter) einer Sprche zu erzeugen. Beispiel: Vereinfchte Grmmtik zur Erzeugung ntürlichsprchiger Sätze Stz Sujekt Prädikt Ojekt Sujekt Artikel Attriut Sustntiv Artikel ε Artikel der Artikel die Artikel ds Attriut ε Brr König Automten und Formle Sprchen 48

13 Grmmtiken (Einführung) Grmmtiken (Einführung) Attriut Adjektiv Attriut Adjektiv Attriut Adjektiv kleine Adjektiv issige Adjektiv große Sustntiv Hund Sustntiv Ktze Prädikt jgt Ojekt Artikel Attriut Sustntiv Gehört folgender Stz zu der Sprche, die von der Grmmtik erzeugt wird? der kleine issige Hund jgt die große Ktze In spitzen Klmmern: Vrile, Nicht-Terminle Ohne spitze Klmmern: Terminle Brr König Automten und Formle Sprchen 49 Grmmtiken (Einführung) Brr König Automten und Formle Sprchen 50 Grmmtiken (Einführung) Stz Sujekt Prädikt Ojekt Artikel Attr. Sust. Artikel Attr. Sust. Adj. Attr. Adj. Adj. Mit Hilfe dieser (endlichen) Grmmtik ist es möglich, unendlich viele Sätze zu erzeugen: der Hund jgt die kleine kleine kleine... Ktze Ds heißt, die zu der Grmmtik gehörende Sprche (mn sgt uch: die von der Grmmtik erzeugte Sprche) ist unendlich. der kleine issige Hund jgt die große Ktze Dieser Bum ist der Beweis dfür, dss der Stz in der Sprche vorkommt. Mn nennt ihn Syntxum. Brr König Automten und Formle Sprchen 51 Brr König Automten und Formle Sprchen 52

14 Grmmtiken (Definition) Grmmtiken (Definition) Grmmtiken esitzen Regeln der Form linke Seite rechte Seite Sowohl uf der linken ls uch uf uf der rechten Seite können zwei Typen von Symolen vorkommen: Nicht-Terminle (die Vrilen, us denen noch weitere Wortestndteile geleitet werden sollen) Terminle (die eigentlichen Symole) Im vorherigen Beispiel: uf der linken Seite efindet sich immer genu ein Nicht-Terminl (kontextfreie Grmmtik). Es git er llgemeinere Grmmtiken. (Es git sogr Grmmtiken, die uf Bäumen und Grphen sttt uf Wörtern reiten. Diese werden in der Vorlesung jedoch nicht ehndelt.) Definition (Grmmtik) Eine Grmmtik G ist ein 4-Tupel G = (V, Σ, P, S), ds folgende Bedingungen erfüllt: V ist eine endliche Menge von Nicht-Terminlen zw. Vrilen Σ ist ds endliche Alphet zw. die Menge der Terminl(symol)e. (Es muss gelten: V Σ =, d.h., kein Zeichen ist gleichzeitig Terminl und Nicht-Terminl.) P ist eine endliche Menge von Regeln zw. Produktionen mit P (V Σ) + (V Σ). S V ist die Strtvrile zw. ds Axiom. Brr König Automten und Formle Sprchen 53 Grmmtiken (Definition) Brr König Automten und Formle Sprchen 54 Grmmtiken (Beispiel) Wie sehen Produktionen us? Eine Produktion us P ist ein Pr (l, r) von Wörtern üer V Σ, ds zumeist l r geschrieen wird. Dei gilt: Sowohl l ls uch r sind Wörter, estehend us Vrilen und Terminlsymolen. l drf nicht leer sein. (Eine Regel muss immer zumindest ein Zeichen ersetzen.) Konventionen: Vrilen (Elemente us V ) werden mit Großuchsten ezeichnet: A, B, C,..., S, T,... Terminlsymole (Elemente us Σ) werden mit Kleinuchsten drgestellt:,, c,... Beispiel-Grmmtik G = (V, Σ, P, S) mit V = {S, B, C} Σ = {,, c} P = {S SBC, S BC, CB BC, B, B, C c, cc cc} Brr König Automten und Formle Sprchen 55 Brr König Automten und Formle Sprchen 56

15 Grmmtiken (Aleitungen) Grmmtiken (Aleitungen) Wie werden die Produktionen eingesetzt, um Wörter us der Strtvrile S zu erzeugen? Idee: Wenn die Grmmtik eine Produktion l r enthält, dürfen wir l durch r ersetzen. Beispiel: Produktion: CB BC Aleitungsschritt: }{{} x }{{} CB l Bcc }{{} }{{} y x }{{} BC r Bcc }{{}. y Definition (Aleitung) Sei G = (V, Σ, P, S) eine Grmmtik und seien u, v (V Σ). Es gilt: u G v (u geht unter G unmittelr üer in v), flls u, v folgende Form hen: u = xly v = xry, woei x, y (V Σ) und l r eine Regel in P ist. Brr König Automten und Formle Sprchen 57 Grmmtiken (Aleitungen) Brr König Automten und Formle Sprchen 58 Grmmtiken (Aleitungen) Konventionen: Wörter us (V Σ) werden mit Kleinuchsten (us der hinteren Hälfte des Alphets) ezeichnet: u, v, w, x, y, z,... Die Konktention zweier Wörter u, v wird mit uv ezeichnet. Es gilt vε = εv = v, d.h., ds leere Wort ε ist ds neutrle Element der Konktention. Sttt u G v schreit mn uch u v, wenn klr ist, um welche Grmmtik es sich hndelt. Aleitung Eine Folge von Wörtern w 0, w 1, w 2,..., w n (V Σ) mit w 0 = S und w 0 G w 1 G w 2 G G w n heißt Aleitung von w n (us S). Der Fll n = 0 ist erlut (Ateilung in 0 Schritten). Ds Wort w n drf sowohl Terminle ls uch Vrilen enthlten und heißt Stzform. Mn schreit dfür uch w 0 G w n. ( G ist die sogennnte reflexive und trnsitive Hülle von G ). Brr König Automten und Formle Sprchen 59 Brr König Automten und Formle Sprchen 60

16 Grmmtiken und Sprchen Grmmtiken und Sprchen Die von einer Grmmtik erzeugte Sprche Die von einer Grmmtik G = (V, Σ, P, S) erzeugte Sprche ist In nderen Worten: L(G) = {w Σ S G w}. Die von G erzeugte Sprche esteht genu us den Stzformen, die nur Terminlsymole erhlten. Oder: genu die Wörter, die in mehreren Schritten us S geleitet werden und nur us Terminlen estehen, gehören zu L(G). Die vorherige Beispielgrmmtik G erzeugt die Sprche Dei ist n = }.{{.. }. n-ml L(G) = { n n c n n 1}. Die Behuptung, dss G wirklich diese Sprche erzeugt, ist nicht einfch nchzuweisen. Brr König Automten und Formle Sprchen 61 Grmmtiken und Sprchen Brr König Automten und Formle Sprchen 62 Grmmtiken und Sprchen Eine Regel ist n zwei verschiedenen Stellen nwendr. Beispiel-Grmmtik: Bemerkung: Aleiten ist kein deterministischer, sondern ein nichtdeterministischer Prozess. Für ein u (V Σ) knn es entweder gr kein, ein oder mehrere v geen mit u G v. SBCBCBC SBBC CBC SBCBBC C In nderen Worten: G ist keine Funktion. Dieser Nichtdeterminismus knn durch zwei verschiedene Effekte verurscht werden... Zwei verschiedene Regeln sind nwendr (entweder n der gleichen Stelle wie unten geildet oder n verschiedenen Stellen): Beispiel-Grmmtik: S SBC BC Brr König Automten und Formle Sprchen 63 Brr König Automten und Formle Sprchen 64

17 Grmmtiken und Sprchen Grmmtiken und Sprchen Weitere Bemerkungen: Es knn elieig lnge Pfde geen, die nie zu einem Wort us Terminlsymolen führen: Wir werden oft die folgende kürzere Schreiweise enutzen (die sogennnte Bckus-Nur-Form). Wenn es Regeln S SBC SBCBC SBCBCBC... Mnchml können Pfde in einer Sckgsse enden, d.h., owohl noch Vrilen in einer Stzform vorkommen, ist keine Regel mehr nwendr. S SBC BCBC CBC cbc git, schreien wir uch u w 1. u w n u w 1 w n Brr König Automten und Formle Sprchen 65 Grmmtiken und Sprchen { Σ =,,,,,, } Brr König Automten und Formle Sprchen 66 Grmmtiken und Sprchen { } Σ =,,,,,, Tür-Regel-Sprche Durch eine Tür knn mn nur gehen, wenn mn zuvor einen Schlüssel gefunden ht. (Dieser Schlüssel drf er dnn elieig oft verwendet werden.) G 1 = ( {K, N, X }, Σ, P 1, N ), woei P 1 us den folgende Produktionen esteht: N XN K ε K XK K K ε X Neue-Tür-Regel-Sprche (Level 2) Die Schlüssel sind mgisch und verschwinden sofort, nchdem eine Tür mit ihnen geöffnet wurde. Sold mn eine Tür durchschritten ht, schließt sie sich sofort wieder. G 2 = ( {S, X }, Σ, P 2, S ), woei P 2 us den folgende Produktionen esteht: S X S S SS ε X Brr König Automten und Formle Sprchen 67 Brr König Automten und Formle Sprchen 68

18 Chomsky-Hierrchie Wir klssifizieren nun Grmmtiken nch der Form ihrer Regeln: Typ 0 Chomsky-0 Jede Grmmtik ist vom Typ 0. (Keine Einschränkung der Regeln.) Typ 1 Chomsky-1 Für lle Regeln l r gilt: l r. (Mn sgt uch, die Grmmtik ist monoton oder kontextsensitiv.) Typ 2 Chomsky-2 Eine Typ-1-Grmmtik ist vom Typ 2 oder kontextfrei, wenn für lle Regeln l r gilt, dss l V, d.h., l ist eine einzelne Vrile. D.h., es sind nur Regeln der Form A r mit A V, r (V Σ) erlut. Brr König Automten und Formle Sprchen 69 Chomsky-Hierrchie Chomsky-Hierrchie Typ 3 Chomsky-3 Eine Typ-2-Grmmtik ist vom Typ 3 oder regulär, flls zusätzlich gilt: r Σ ΣV, d.h., die rechten Seiten von Regeln sind entweder einzelne Terminle oder ein Terminl gefolgt von einer Vrilen. D.h., es sind nur Regeln der Form A B und A mit A, B V, Σ erlut. Typ-i-Sprche Eine Sprche L Σ heißt vom Typ i (i {0, 1, 2, 3}), flls es eine Typ-i-Grmmtik G git mit L(G) = L (d.h., L wird von G erzeugt.) Solche Sprchen nennt mn dnn uch semi-entscheidr zw. rekursiv ufzählr (Typ 0), kontextsensitiv (Typ 1), kontextfrei (Typ 2) oder regulär (Typ 3). Brr König Automten und Formle Sprchen 70 Chomsky-Hierrchie ε-sonderregelung (Teil 1) Bei Typ-1-Grmmtiken (und dmit uch ei regulären und kontextfreien Grmmtiken) ist die Regel S ε zunächst nicht zugelssen, wegen S = 1 0 = ε. Ds edeutet er: ds leere Wort knn nicht geleitet werden! Wir modifizieren dher die Grmmtik-Definition für Typ-1-Grmmtiken leicht und erluen S ε, flls S ds Strtsymol ist und uf keiner rechten Seite vorkommt. Diese Bedingung heißt ε-sonderregelung. ε-sonderregelung (Teil 2) Bei kontextfreien und regulären Grmmtiken (Typ 2, Typ 3) erluen wir uch elieige Produktionen der Form A ε. Durch geeignete Umformungen knn mn eine solche kontextfreie (reguläre) Grmmtik in eine kontextfreie (reguläre) Grmmtik umwndeln, die die ε-sonderregelung erfüllt. (Eine solche Konstruktion funktioniert nicht für lle Typ-1-Grmmtiken.) Brr König Automten und Formle Sprchen 71 Brr König Automten und Formle Sprchen 72

19 Chomsky-Hierrchie Chomsky-Hierrchie Bemerkungen: Woher kommt der Begriff kontextsensitiv? Bei kontextfreien Sprchen git es Regeln der Form A x, woei x (Σ V ). Ds edeutet: A knn unhängig vom Kontext durch x ersetzt werden. Bei den mächtigeren kontextsensitiven Sprchen sind dgegen Regeln der Form uav uxv möglich, mit der Bedeutung: A knn nur in estimmten Kontexten durch x ersetzt werden. Jede Typ-i-Grmmtik ist eine Typ-(i 1)-Grmmtik (für i {1, 2, 3}) die entsprechenden Mengen von Sprchen sind ineinnder enthlten. Außerdem: die Inklusionen sind echt, d.h., es git für jedes i eine Typ-(i 1)-Sprche, die keine Typ-i-Sprche ist. (Zum Beispiel eine kontextfreie Sprche, die nicht regulär ist.) Ds werden wir später zeigen. Menge ller Sprchen Typ-0-Sprchen semi-entscheidre Sprchen Typ-1-Sprchen kontextsensitive Sprchen Typ-2-Sprchen kontextfreie Sprchen Typ-3-Sprchen reguläre Sprchen Brr König Automten und Formle Sprchen 73 Chomsky-Hierrchie Brr König Automten und Formle Sprchen 74 Chomsky-Hierrchie Bemerkungen: Für eine Sprche der Chomsky-Hierrchie git es immer mehrere Grmmtiken, die diese Sprche erzeugen. Eine Sprche, die durch eine Grmmtik vom Typ i erzeugt wird, ht immer Typ k für lle k i. Sie knn in mnchen Fällen er uch Typ j mit j > i hen. Beispielsweise erzeugt die Grmmtik G mit den Produktionen S X ε, X X die Sprche L(G) = { n n N 0, n gerde}. Die Grmmtik G ist vom Typ 2, er nicht vom Typ 3. Die Sprche L(G) ht sowohl Typ 2 ls uch Typ 3. Reguläre Grmmtik G 1 (Typ 3) Kontextfreie Grmmtik G 2 (Typ 2) S X ε Y X S X ε X Y X X Reguläre Sprche (Typ 3) L(G 1 ) = { n n gerde} = L(G 2 ) Brr König Automten und Formle Sprchen 75 Brr König Automten und Formle Sprchen 76

20 Wortprolem Wortprolem für Typ-1-Sprchen Wortprolem Gegeen eine Grmmtik G (von elieigem Typ) und ein Wort w Σ. Entscheide, o w L(G). Entscheidrkeit des Wortprolems (Stz) Ds Wortprolem ist entscheidr für Typ-1-Sprchen (und dmit uch für reguläre und kontextfreie Sprchen). Ds heißt: es git ein Verfhren, ds entscheidet, o w L(G) gilt. Algorithmus zum Lösen des Wortprolems für Typ-1-Sprchen: git true us genu dnn, wenn w L(G). input (G, w) T := {S} repet T := T T := T {u u w und u G u, für ein u T } until (w T ) or (T = T ) return (w T ) Brr König Automten und Formle Sprchen 77 Wortprolem für Typ-1-Sprchen Brr König Automten und Formle Sprchen 78 Syntxäume und Eindeutigkeit Beispiel: Grmmtik G: S X X, X cs d Wort w = cdc Entstehende Folge von Mengen von Stzformen: 1 T = {S} 2 T = {S, X, X } 3 T = {S, X, X, cs, d, cs, d} 4 T = {S, X, X, cs, d, cs, d, cx, cx, cx, cx } 5 T = {S, X, X, cs, d, cs, d, cx, cx, cx, cx, ccs, cd, ccs, cd, ccs, cd, ccs, cd} Nch dem fünften Schritt richt der Algorithmus, d nur noch Wörter entstehen, die länger ls w sind. Es gilt: w T, drus folgt w L(G). Wir eschränken uns im Folgenden uf kontextfreie Grmmtiken. Wir etrchten folgende (eindeutige) Beispiel-Grmmtik zur Erzeugung von korrekt geklmmerten rithmetischen Ausdrücken: G = ({E, T, F }, {(, ),, +, }, P, E) mit folgender Produktionenmenge P (in kürzender Bckus-Nur-Form): E T E + T T F T F F (E) Brr König Automten und Formle Sprchen 79 Brr König Automten und Formle Sprchen 80

21 Syntxäume und Eindeutigkeit Syntxäume und Eindeutigkeit Für die meisten Wörter der von G erzeugten Sprche git es mehrere mögliche Aleitungen: E T T F F F F (E) (E + T ) (T + T ) (F + T ) ( + T ) ( + F ) ( + ) E T T F T (E) T (E + T ) T (E + F ) T (E + ) T (T + ) T (F + ) T ( + ) F ( + ) ( + ) Die erste Aleitung ist eine sogennnte Linksleitung (immer so weit links wie möglich leiten), die zweite eine Rechtsleitung (so weit rechts wie möglich leiten). Syntxum ufuen Wir ilden nun us eiden Aleitungen den Syntxum, indem wir Die Wurzel des Bums mit der Strtvrile der Grmmtik eschriften. Bei jeder Regelnwendung der Form A z zu A z Kinder hinzufügen, die mit den Zeichen von z eschriftet sind. Syntxäume lssen sich für lle Aleitungen von kontextfreien Grmmtiken ufuen. Brr König Automten und Formle Sprchen 81 Syntxäume und Eindeutigkeit Brr König Automten und Formle Sprchen 82 Endliche Automten Dei erhlten wir in eiden Fällen den gleichen Syntxum. Mn sgt, eine Grmmtik ist eindeutig, wenn es für jedes Wort in der erzeugten Sprche genu einen Syntxum git es git für jedes Wort genu eine Linksleitung es git für jedes Wort genu eine Rechtsleitung. Ansonsten heißt die Grmmtik mehrdeutig. T F E T T F F ( E ) E + T F In diesem Aschnitt eschäftigen wir uns mit regulären Sprchen, er zunächst unter einem nderen Blickwinkel. Sttt Typ-3-Grmmtiken etrchten wir zustndssierte Automtenmodelle, die mn uch ls Sprcherzeuger zw. Sprchkzeptierer etrchten knn. 1 2 Brr König Automten und Formle Sprchen 83 Brr König Automten und Formle Sprchen 84

22 Deterministische endliche Automten Deterministische endliche Automten Deterministischer endlicher Automt (Definition) Ein (deterministischer) endlicher Automt M ist ein 5-Tupel M = (Z, Σ, δ, z 0, E), woei Z die Menge der Zustände, Σ ds Eingelphet (mit Z Σ = ), z 0 Z der Strtzustnd, E Z die Menge der Endzustände und δ : Z Σ Z die Üerführungsfunktion (oder Üergngsfunktion) ist. Z, Σ müssen endliche Mengen sein. Grphische Nottion: Zustnd: Strtzustnd: Endzustnd: Üergng δ(1, ) = 2: 1 2 Akürzung: DFA (deterministic finite utomton) Brr König Automten und Formle Sprchen 85 Deterministische endliche Automten Brr König Automten und Formle Sprchen 86 Deterministische endliche Automten Woher kommt der Nme endlicher Automt? Vorstellung von einer Mschine, die sich in endlich vielen Zuständen efinden knn, die eine Einge (von links nch rechts) liest und signlisiert, sold die Einge kzeptiert ist. e i n g e Automt mit endlich vielen Zuständen Signl für Endzustnd Anlogie zum Fhrkrtenutomt: ein Fhrkrtenutomt knn sich in folgenden Zuständen efinden: Keine Einge Fhrtziel usgewählt Geld eingegeen Fhrkrte wurde usgegeen (Ds ist eine vereinfchte Drstellung, d ein Fhrkrtenutomt uch mitzählen muss, wieviel Geld ereits eingeworfen wurde. Dfür würde mn jedoch unendlich viele Zustände enötigen.) Brr König Automten und Formle Sprchen 87 Brr König Automten und Formle Sprchen 88

23 Deterministische endliche Automten Deterministische endliche Automten Die isherige Üergngsfunktion δ liest nur ein Zeichen uf einml ein. Wir verllgemeinern sie dher zu einer Üergngsfunktion ˆδ, die die Üergänge für gnze Wörter ermittelt. Mehr-Schritt-Üergänge Zu einem gegeenen DFA M = (Z, Σ, δ, z 0, E) definieren wir eine Funktion ˆδ : Z Σ Z induktiv wie folgt: mit z Z, x Σ und Σ. ˆδ(z, ε) = z ˆδ(z, x) = ˆδ(δ(z, ), x) Akzeptierte Sprche Die einem DFA M kzeptierte Sprche ist T (M) = {x Σ ˆδ(z 0, x) E}. In nderen Worten: Die Sprche knn mn ddurch erhlten, indem mn llen Pfden vom Anfngszustnd zu einem Endzustnd folgt und dei lle Zeichen uf den Üergängen ufsmmelt. Brr König Automten und Formle Sprchen 89 Deterministische endliche Automten Beispiel 1: Wir suchen einen endlichen Automten, der folgende Sprche L kzeptiert: L = {w {, } # (w) gerde}. Dei ist # (w) die Anzhl der s in w. g u Bedeutung der Zustände: g gerde Anzhl s; u ungerde Anzhl s Brr König Automten und Formle Sprchen 91 Brr König Automten und Formle Sprchen 90 Deterministische endliche Automten Beispiel 2: Wir suchen einen endlichen Automten, der folgende Sprche L kzeptiert: L = {w {,, c} ds Teilwort c kommt in w nicht vor}. ε c, c,, c Bedeutung der Zustände: ε kein Präfix von c gelesen; letztes gelesenes Zeichen wr ein ; zuletzt gelesen; f c km im ereits gelesenen Wort vor (Fngzustnd, Fehlerzustnd) Brr König Automten und Formle Sprchen 92 c f

24 Deterministische endliche Automten Deterministische endliche Automten DFAs Reguläre Sprchen (Stz) Jede von einem endlichen Automten kzeptierte Sprche ist regulär. Beweisidee: Ein endlicher Automt M = (Z, Σ, δ, z 0, E) wird in eine Grmmtik G = (V, Σ, P, S) umgewndelt, woei V = Z, S = z 0 und P folgende Produktionen enthält: flls δ(z 1, ) = z 2, dnn gilt (z 1 z 2 ) P Flls zusätzlich z 2 E, dnn gilt (z 1 ) P. Außerdem gilt (z 0 ε) P, flls z 0 E. Bemerkungen: Bei der Konstruktion knn die Regel z 0 ε hinzugefügt werden und die Vrile z 0 gleichzeitig uf einer rechten Seite uftreten, ws eigentlich ein Verstoß gegen die ε-sonderregelung ist. Bei regulären (und uch kontextfreien Grmmtiken) knn die Grmmtik jedoch immer so umgeformt werden, dss die Bedingungen der ε-sonderregelung wieder erfüllt sind. Es gilt uch die umgekehrte Aussge: jede reguläre Sprche knn von einem endlichen Automten kzeptiert werden. (Dzu später mehr.) Brr König Automten und Formle Sprchen 93 Nichtdeterministische endliche Automten Brr König Automten und Formle Sprchen 94 Nichtdeterministische endliche Automten Im Gegenstz zu Grmmtiken git es ei DFAs keine nichtdeterministischen Effekte. Ds heißt, sold ds nächste Zeichen eingelesen wurde, ist klr, welcher Zustnd der Folgezustnd ist. Aer: In vielen Fällen ist es ntürlicher, wenn mn uch nichtdeterministische Üergänge zuläßt. Ds führt uch oft zu kleineren Automten Definition: Nichtdeterministischer endlicher Automt Ein nichtdeterministischer endlicher Automt M ist ein 5-Tupel M = (Z, Σ, δ, S, E), woei Z die Menge der Zustände, Σ ds Eingelphet (mit Z Σ = ), S Z die Menge der Strtzustände, E Z die Menge der Endzustände und δ : Z Σ P(Z) die Üerführungsfunktion (oder Üergngsfunktion) ist. Z, Σ müssen endliche Mengen sein. Akürzung: NFA (nondeterministic finite utomton) Brr König Automten und Formle Sprchen 95 Brr König Automten und Formle Sprchen 96

25 Nichtdeterministische endliche Automten Nichtdeterministische endliche Automten Dei ist P(Z) die Potenzmenge von Z, d.h., die Menge ller Teilmengen von Z. (Diese Menge wird mnchml uch mit 2 Z ezeichnet.) Beispiel: δ(1, ) = {2, 3} Die Üergngsfunktion δ knn wieder zu einer Mehr-Schritt-Üergngsfunktion erweitert werden: Mehr-Schritt-Üergänge Zu einem gegeenen NFA M = (Z, Σ, δ, S, E) definieren wir eine Funktion ˆδ : P(Z) Σ P(Z) induktiv wie folgt: ˆδ(Z, ε) = Z ˆδ(Z, x) = z Z ˆδ(δ(z, ), x) mit Z Z, x Σ und Σ. Brr König Automten und Formle Sprchen 97 Nichtdeterministische endliche Automten Brr König Automten und Formle Sprchen 98 Nichtdeterministische endliche Automten Akzeptierte Sprche Die einem NFA M kzeptierte Sprche ist T (M) = {x Σ ˆδ(S, x) E }. Beispiel 1: ei nicht-deterministischen Automten drf uch δ(z, ) = für ein Σ gelten, ds heißt, es muss nicht für jedes Alphetsymol immer einen Üergng geen und der sogennnte Fngzustnd knn weggelssen werden. In nderen Worten: ein Wort w wird kzeptiert, genu dnn wenn es einen Pfd von einem Anfngszustnd zu einem Endzustnd git, dessen Üergänge mit den Zeichen von w mrkiert sind. (Es könnte uch mehrere solche Pfde geen.) ε, c c Brr König Automten und Formle Sprchen 99 Brr König Automten und Formle Sprchen 100

26 Nichtdeterministische endliche Automten Nichtdeterministische endliche Automten Beispiel 2: gesucht ist ein nicht-deterministischer Automt, der die Sprche L = {w {,, c} ds Teilwort c kommt in w vor} kzeptiert. c ε c Andere Interprettion: jedes Ml, wenn eine nicht-deterministische Verzweigung möglich ist, werden mehrere Prlleluniversen erzeugt, in denen verschiedene Kopien der Mschine die verschiedenen möglichen Pfde erkunden. Ds Wort wird kzeptiert, wenn es in einem dieser Prlleluniversen kzeptiert wird.,, c,, c Dieser Automt entscheidet zu einem estimmten Zeitpunkt nicht-deterministisch, dss jetzt ds Teilwort c eginnt. Brr König Automten und Formle Sprchen 101 Nichtdeterministische endliche Automten Brr König Automten und Formle Sprchen 102 Nichtdeterministische endliche Automten ε-knten Es git uch nichtdeterministische Automten mit sogennnten ε-knten (spontnte Üergänge, ei denen kein Alphetsymol eingelesen wird). Diese werden jedoch in der Vorlesung im Allgemeinen nicht enutzt. 1 Neue Üergngsfunktion: δ : Z (Σ {ε}) P(Z) Im Beispiel: δ(1, ε) = {2}. ε 2 Neue Mehr-Schritt-Üergngsfunktion: ˆδ : P(Z) Σ P(Z). Dei dürfen zwischen dem Einlesen der Zeichen elieig viele ε-üergänge gemcht werden. 1 ε ε ε ε ε ˆδ({1}, ) = {6, 7, 8} Äquivlenz von NFAs mit und ohne ε-üergänge Jeder NFA mit ε-üergängen knn in einen NFA ohne ε-üergänge umgewndelt werden, ohne die Anzhl der Zustände zu erhöhen. (Ohne Beweis.) Brr König Automten und Formle Sprchen 103 Brr König Automten und Formle Sprchen 104

27 NFAs, DFAs und reguläre Grmmtiken NFAs, DFAs und reguläre Grmmtiken NFAs DFAs (Stz) Jede von einem NFA kzeptierre Sprche ist uch von einem DFA kzeptierr. Idee: Wir lssen die verschiedenen Prlleluniversen von einem Automten simulieren. Dieser merkt sich, in welchen Zuständen er sich gerde efindet. Ds heißt, die Zustände dieses Automten sind Mengen von Zuständen des ursprünglichen Automten. Mn nennt diese Konstruktion dher uch Potenzmengenkonstruktion. Potenzmengenkonstruktion: Gegeen sei ein nicht-deterministischer endlicher Automt M = (Z, Σ, δ, S, E). Drus konstruieren wir einen deterministischen endlichen Automten M = (Z, Σ, δ, z 0, E ) mit: Z = P(Z) δ (Z, ) = ˆδ(Z, ), Z Z z 0 = S E = {Z Z Z E } Dei entspricht der Zustnd Z = einem Fngzustnd. Brr König Automten und Formle Sprchen 105 NFAs, DFAs und reguläre Grmmtiken Brr König Automten und Formle Sprchen 106 NFAs, DFAs und reguläre Grmmtiken Bemerkungen zur Potenzmengenkonstruktion: Wegen P(Z) = 2 Z ht der DFA exponentiell mehr Zustände ls der dzugehörige NFA. Evtl. knn er er noch verkleinert werden (z.b. durch Entfernen nicht-erreichrer Zustände). In vielen Fällen ist der kleinste DFA, der eine Sprche kzeptiert, ttsächlich exponentiell größer ls der kleinste NFA. Ein Beispiel hierfür ist die folgende Sprche: L k = {x {0, 1} x k, ds k-letzte Zeichen von x ist 0} L k wird durch einen NFA mit k + 1 Zuständen erknnt und mn knn zeigen, dss der kleinste DFA, der L k erkennt, mindestens 2 k Zustände hen muss. Wir können nun NFAs in DFAs umwndeln DFAs in reguläre Grmmtiken umwndeln Es fehlt noch die Richtung reguläre Grmmtik NFA, dnn hen wir die Äquivlenz ller dieser Formlismen gezeigt. DFA reguläre Grmmtik NFA Brr König Automten und Formle Sprchen 107 Brr König Automten und Formle Sprchen 108

28 NFAs, DFAs und reguläre Grmmtiken NFAs, DFAs und reguläre Grmmtiken Reguläre Grmmtiken NFAs (Stz) Zu jeder regulären Grmmtik G git es einen NFA M mit L(G) = T (M). Umwndlung reguläre Grmmtik NFA: Gegeen sei eine reguläre Grmmtik G = (V, Σ, P, S), die die ε-sonderregelung erfüllt. Wir erstellen einen NFA M = (Z, Σ, δ, S, E) mit Z = V {X }, X V S = {S} { {S, X } flls (S ε) P E = {X } flls (S ε) P B δ(a, ) flls (A B) P X δ(a, ) flls (A ) P Brr König Automten und Formle Sprchen 109 NFAs, DFAs und reguläre Grmmtiken Brr König Automten und Formle Sprchen 110 NFAs, DFAs und reguläre Grmmtiken Zwischenzusmmenfssung Wir hen verschiedene Modelle zur Beschreiung regulärer Sprchen kennengelernt: Reguläre Grmmtiken: Schffen die Verindung zur Chomsky-Hierrchie. Werden zur Erzeugung von Sprchen eingesetzt. Sind weniger gut dzu geeignet, um zu entscheiden, o sich ein estimmtes Wort in der Sprche efindet. NFAs: Erluen oft kleine, kompkte Drstellungen von Sprchen. Sind, wegen ihres Nichtdeterminismus, genuso wie Grmmtiken weniger gut für die Lösung des Wortprolems geeignet. Besitzen er eine intuitive grphische Nottion. Zwischenzusmmenfssung Wir hen verschiedene Modelle zur Beschreiung regulärer Sprchen kennengelernt: DFAs: Können gegenüer äquivlenten NFAs exponentiell größer werden. Sold mn jedoch einen DFA gegeen ht, erlut dieser eine effiziente Lösung des Wortprolems (einfch den Üergängen des Automten nchlufen und üerprüfen, o ein Endzustnd erreicht wird). Alle Modelle enötigen jedoch reltiv viel Schreiufwnd und Pltz für die Nottion. Gesucht wird lso eine kompktere Repräsenttion: sogennnte reguläre Ausdrücke. Brr König Automten und Formle Sprchen 111 Brr König Automten und Formle Sprchen 112

29 Reguläre Ausdrücke Reguläre Ausdrücke Regulärer Ausdruck Ein regulärer Ausdruck α ist von einer der folgenden Formen: Nch der Festlegung der Syntx regulärer Ausdrücke, müssen wir uch deren Bedeutung festlegen, d.h., welcher reguläre Ausdruck steht für welche Sprche? Sprche eines regulären Ausdrucks ε mit Σ αβ (α β) (α) woei α, β reguläre Ausdrücke sind. L( ) = L(ε) = {ε} L() = {} L(αβ) = L(α)L(β), woei L 1 L 2 = {w 1 w 2 w 1 L 1, w 2 L 2 } für zwei Sprchen L 1, L 2. L(α β) = L(α) L(β) Bemerkung: Sttt (α β) wird oft uch (α + β) geschrieen. L((α) ) = (L(α)), woei L = {w 1... w n n N 0, w i L} für eine Sprche L Brr König Automten und Formle Sprchen 113 Reguläre Ausdrücke Bemerkungen: L 1 L 2 = {w 1 w 2 w 1 L 1, w 2 L 2 }: Dieser Opertor wird uch Konktention gennnt. L = {w 1... w n n N 0, w i L}: Dieser Opertor wird oft Kleenesche Hülle gennnt. Nur durch ihn knn mn unendliche Sprchen erzeugen. L enthält immer ds leere Wort ε (siehe Definition). Beispiel für die Anwendung des -Opertors: L = {,, cc} L = {ε,,, cc,,, cc,,, cc, cc, cc, cccc,... } Alle Komintionen elieiger Länge sind möglich. Brr König Automten und Formle Sprchen 115 Brr König Automten und Formle Sprchen 114 Reguläre Ausdrücke Beispiele für reguläre Ausdrücke üer dem Alphet Σ = {, }. Beispiel 1: Sprche ller Wörter, die mit eginnen und mit enden α = ( ) Beispiel 2: Sprche ller Wörter, die ds Teilwort enthlten. α = ( ) ( ) Beispiel 3: Sprche ller Wörter, die gerde viele s enthlten. α = ( ) oder α = ( ) Brr König Automten und Formle Sprchen 116

30 Reguläre Ausdrücke Reguläre Ausdrücke Beweis durch Induktion üer den Aufu von γ. Für γ =, γ = ε, γ = git es offensichtlich entsprechende Automten. Reguläre Ausdrücke NFAs Zu jedem regulären Ausdruck γ git es einen NFA M mit L(γ) = T (M). Sei nun γ = αβ. Dnn git es Automten M α, M β mit T (M α ) = L(α) und T (M β ) = L(β). Wir schlten diese Automten nun wie folgt hintereinnder zu einem Automten M: M ht ls Zustände die Vereinigung eider Zustndsmengen, die gleichen Strtzustände wie M α und die gleichen Endzustände wie M β. (Flls ε L(α), so sind uch die Strtzustände von M β Strtzustände von M.) Alle Üergänge von M α zw. M β leien erhlten. Alle Zustände, die einen Üergng zu einem Endzustnd von M α hen, erhlten zusätzlich genuso eschriftete Üergänge zu llen Strtzuständen von M β. Brr König Automten und Formle Sprchen 117 Reguläre Ausdrücke Brr König Automten und Formle Sprchen 118 Reguläre Ausdrücke S α E α S β E β M α neu! M β Sei nun γ = (α β). Dnn git es Automten M α, M β mit T (M α ) = L(α) und T (M β ) = L(β). Wir uen nun us diesen zwei Automten einen Vereinigungsutomten M: M ht ls Zustände die Vereinigung eider Zustndsmengen. Eenso ergeen sich die Strtzustände ls Vereinigung der Strtzustndsmengen und die Endzustände ls Vereinigung der Endzustndsmengen. Alle Üergänge von M α zw. M β leien erhlten. Es gilt T (M) = T (M α )T (M β ) = L(α)L(β) Brr König Automten und Formle Sprchen 119 Brr König Automten und Formle Sprchen 120

31 Reguläre Ausdrücke Reguläre Ausdrücke S α S β E α E β M α Es gilt T (M) = T (M α ) T (M β ) = L(α) L(β) Sei nun γ = (α). Dnn git es einen Automten M α mit T (M α ) = L(α). Wir uen us diesem Automten nun wie folgt einen Automten M: Alle Zustände, Strt- und Endzustände sowie Üergänge leien erhlten. Zusätzlich erhlten lle Zustände, die einen Üergng zu einem Endzustnd von M α hen, genuso eschriftete Üergänge zu llen Strtzuständen von M α (Rückkopplung). M β Flls ε T (M α ), so git es einen weiteren Zustnd, der sowohl Strt- ls uch Endzustnd ist. (Dmit uch ds leere Wort erknnt wird.) Brr König Automten und Formle Sprchen 121 Reguläre Ausdrücke Brr König Automten und Formle Sprchen 122 Reguläre Ausdrücke S α E α M α NFAs Reguläre Ausdrücke Zu jedem NFA M git es einen regulären Ausdruck γ mit T (M) = L(γ). evtl. zusätzl. Zustnd Es gilt T (M) = (T (M α )) = (L(α)). Brr König Automten und Formle Sprchen 123 Brr König Automten und Formle Sprchen 124

32 Reguläre Ausdrücke Wir verwenden ds folgende Zustndselimintions-Verfhren, ds einen NFA M in einen regulären Ausdruck verwndelt. Dei erhält mn ls Zwischenzustände Automten, deren Üergänge nicht mit Alphetsymolen, sondern mit regulären Ausdrücken eschriftet sind. Zunächst führen wir einen neuen Strtzustnd und einen neuen Endzustnd ein und verinden die isherigen Strt- zw. Endzustände mit den neuen Zuständen durch ε-knten. ε ε S.. E ε ε Reguläre Ausdrücke Trnsformtions-Regeln: Zwei prllel verlufende Üergänge mit den Beschriftungen α 1 und α 2 können zu einer einzigen mit der Beschriftung (α 1 α 2 ) verschmolzen werden (Regel V). α 1 α 2 (α 1 α 2 ) Gleiches gilt im Fll, wenn ein Zustnd zwei Schleifen esitzt. α 1 (α 1 α 2 ) α 2 Brr König Automten und Formle Sprchen 125 Reguläre Ausdrücke Brr König Automten und Formle Sprchen 126 Reguläre Ausdrücke Schleifen werden entfernt, indem mn ihre Beschriftung α (mit einem versehen) mit uf die nchfolgenden Knten setzt. (Regel S).. α α 1 α n.. (α) α 1. (α) α n Nur zulässig, wenn es sich dei um die einzige Schleife des Zustnds hndelt. Ein Zustnd z wird eliminiert, indem mn die Zustände, von denen us Knten nch z hineinführen, und Zustände, in die Knten von z us hineinführen, geeignet miteinnder verindet (Regel E).. α 1 α m. z. β 1 β n. (α 1 β 1 ) (α 1 β n ). (α m β 1 )... (α m β n ) Brr König Automten und Formle Sprchen 127 Brr König Automten und Formle Sprchen 128

33 Reguläre Ausdrücke Reguläre Ausdrücke Die Anwendung von Regel E ist nur zulässig, wenn: sich keine Schleife m zu entfernenden Zustnd efindet und es mindestens eine nch z hineinführende und eine us z herusführende Knte git. Sold keine Regel mehr nwendr ist, hen wir im Allgemeinen folgende Sitution (plus evtl. zusätzliche Sckgssen): Dnn ist γ der gesuchte reguläre Ausdruck. Flls es keine Knte zwischen Anfngs- und Endzustnd git: γ =. γ Brr König Automten und Formle Sprchen 129 Reguläre Ausdrücke Brr König Automten und Formle Sprchen 130 Reguläre Ausdrücke Beispiel: Umwndlung des folgenden nicht-deterministischen Automten in einen regulären Ausdruck Ergenis: (ε ε)( ) ε Wozu sind reguläre Ausdrücke in der Prxis nützlich? Suchen und Ersetzen in Editoren (Ausproieren mit vi, emcs,... ) Pttern-Mtching und Verreitung großer Texte und Dtenmengen, z.b., eim Dt-Mining (Tools: Strem-Editor grep, sed, wk, perl,... ) Üersetzung von Progrmmiersprchen: Lexiklische Anlyse Umwndlung einer Folge von Zeichen (ds Progrmm) in eine Folge von Tokens, in der ereits die Schlüsselwörter, Bezeichner, Dten, etc. identifiziert sind. (Tools: lex, flex,... ) Brr König Automten und Formle Sprchen 131 Brr König Automten und Formle Sprchen 132

34 Aschlusseigenschften Ageschlossenheit (Definition) Gegeen sei eine Menge M und ein inärer Opertor : M M M. Mn sgt, eine Menge M M ist unter geschlossen, wenn für zwei elieige Elemente m 1, m 2 M gilt: m 1 m 2 M. Wir etrchten hier Aschlusseigenschften für die Menge ller Sprchen. Insesondere ist M = P(Σ ), M = {L M L regulär}. Die interessnte Frge ist: Flls L 1, L 2 regulär sind, sind dnn uch L 1 L 2, L 1 L 2, L 1 L 2, L 1 = Σ \L 1 (Komplement) und L 1 regulär? c xkcd.com Kurze Antwort: Die regulären Sprchen sind unter llen diesen Opertionen geschlossen. Aschlusseigenschften Brr König Automten und Formle Sprchen 134 Aschlusseigenschften Wrum sind Aschlusseigenschften interessnt? Sie sind vor llem dnn interessnt, wenn sie konstruktiv verwirklicht werden können, ds heißt, wenn mn gegeen Automten für L 1 und L 2 uch einen Automten eispielsweise für den Schnitt von L 1 und L 2 konstruieren knn. Dmit ht mn dnn mit Automten eine Dtenstruktur für unendliche Sprchen, die mn mschinell weiterverreiten knn. Aschluss unter Vereinigung Wenn L 1 und L 2 reguläre Sprchen sind, dnn ist uch L 1 L 2 regulär. Begründung: den (nicht-deterministischen) Automten für L 1 L 2 knn mn mit denselen Methoden uen wie den Automten für L(α β) ei der Umwndlung von regulären Ausdrücken in NFAs. Brr König Automten und Formle Sprchen 135 Brr König Automten und Formle Sprchen 136