Direkte Verfahren für Lineare Gleichungssysteme. Prof. U. Rüde - Algorithmik kontinuierlicher Systeme
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- Margarethe Müller
- vor 5 Jahren
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1 Algoithmik kontinuieliche Systeme Diekte Vefhen fü Linee Gleichungssysteme
2 Diekte Vefhen, d.h. solche, die in endlich vielen Schitten ds exkte Egebnis liefen (exkte Rechnung vous-gesetzt) bsieen uf de Fktoisieung von A A A A dnn ist Ax b äuivlent zu A y b und A x y LR-Zelegung Vowäts/Rückwäts-Substitution fü Deiecksmtizen: O(n ) Linpck ist de de-fkto Benchmk zu Messung de Leistungsfähigkeit von Supecomputen. Diekte Vefhen fü LGS!
3 Pogmm fü heute Spezilfälle Bndmtizen sym. pos. def. Mtizen Eweiteungen Elimintion mit othogonlen Mtizen Householde-Reflektionen Givens-Rottionen Lösung von low-nk-modifizieten LGS!3
4 Bndmtizen: Beschänke die Elimintion uf die Elemente, die innehlb des Bndes und untehlb de Digonlen liegen Aufwnd bei Bndbeite eine Mtix de Odnung n und Bndbeite m<n ist O(m n) Wichtige Spezilfll: Tidigonle Mtizen Speichespende Dtenstuktu entscheidend!!4 LR fü nicht-voll-besetzte Mtizen () n n n n b c b b c b c b 3
5 Tidigonle Mtizen Stuktu de LR-Zelegung (siehe uch Übungsufgbe): Lösb mit O(n) Opetionen (genue: je n- Div., Add. und Mult. ), /,...,, /, n n n n n n n c l b l c l b l b!5 LR fü nicht-voll-besetzte Mtizen () l n l l L n n n c c c 3 R
6 LR fü nicht-voll-besetzte Mtizen (3) Allgemeine dünn besetzte Mtizen: Fill-In Vohndene Nullen in de Mtix weden duch die Elimintion zestöt. Dies teibt die Zhl de Opetionen und den Speichebedf nch oben Es wuden viele Algoithmen entwickelt, die den Fill-In duch eine geeignete Pemuttion de Mtix minimieen sollen: sog. spse mtix solve. Lösungen fü Spezilfälle: Nested Dissection, Minimum Degee, Wenn solche Algoithmen fü Pllelechne entwickelt weden sollen, dnn ist dies weitehin ein heisses Foschungsthem!6
7 Cholesky-Zelegung fü pos. definite Mtizen Ist A symmetisch, d.h. A A T und positiv definit, dnn knn mn A fktoisieen in A L D dbei ist L ds L de LR-Zelegung D de Digonlnteil von R. wg positiv definit: D ht in de Digonle nu positive Elemente, Altentive: T T ~ ~ T A L D L L D D L L L Im Algoithmus knn mn usnützen, dss die beiden Deiecksfktoen gleich sind, mn bucht nu einen de beiden explizit beechnen und spt so gob die Hälfte de Opetionen. T L!7
8 Cholesky-Zelegung fü pos. definite Mtizen Fü die Cholesky-Zelegung ist keine Pivotsuche nötig. De Algoithmus ist uch ohne Pivotsuche stbil. Es können keine -Pivots ufteten. Andé-Louis Cholesky, (Geodät) Voteile im Vegleich mit LR: keine Pivotsuche notwendig, Aufwnd etw hlb so goß wie bei LR. Abe: funktioniet nu fü symmetisch positiv definite (SPD) Mtizen!!8
9 Zwischenstnd Diekte Vefhen, d.h. solche, die in endlich vielen Schitten ds exkte Egebnis liefen (exkte Rechnung vous-gesetzt) bsieen uf de Fktoisieung von A A A A dnn ist Ax b äuivlent zu A y b und A x y LR-Zelegung (Vinte fü SPD: Cholesky) Vowäts/Rückwäts-Substitution fü Deiecksmtizen: O(n ) Stbilität nu duch Pivotsuche Aufwnd fü LR ist O(n 3 ) Fü Bndmtizen ist de Aufwnd wesentlich geinge Insbesondee fü tidigonle Mtizen: O(n)!9
10 Ws bishe geschh Fktoisieungsmethode: A A A : A yb & A xy LR-Zelegung (mittels Guss-Elimintion /-scheung) Pivotisieung Aufwnd : llgemein / Bnd / tidigonl Cholesky-Vefhen!
11 QR-Zelegung Motivtion: Duch Guss-Scheungen knn ein gut konditionietes Gl.- system in ein schlecht konditionietes tnsfomiet weden. Dies muss duch die (Splten-) Pivotsuche vehindet weden. Vewendet mn Rottionen ode Spiegelungen zu Elimintion nstelle de Guss-Scheungen ht mn Bessee numeische Eigenschften (d die Spiegelungen und Rottionen längenteu und winkelteu sind) Othogonle Mtizen ( Q T QId ) QR-Zelegung!
12 QR : Tnsfomtionsmtizen () Householde-Spiegelungen Spiegelung n eine Geden (R ), Ebene, (R 3 ), Hype-Ebene (R n ) : Eine Hype-Ebene wid duch einen senkechten Vekto w beschieben: E w { x : x w H H w w } w x : x x w w w T Id w w w w E w w x H w x!
13 QR : Tnsfomtionsmtizen () Givens-Rottionen (Jcobi-Rottionen) Rottion in R : J ϕ x J ϕ : x y cosϕ sinϕ sinϕx cosϕ y ϕ x Rottionen in R 3 : Rottion um eine Achse. Givens-/Jcobi-Rottionen sind Rottionen um eine Koodintenchse J cosϕ sinϕ cosϕ sinϕ ( ϕ) sinϕ cosϕ J3( ϕ) 3 sinϕ cosϕ J ( ϕ) cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ!3
14 Givens-Rottionen (Jcobi-Rottionen) Allgemein im R n : nu Rottion zweie Koodinten!4 QR : Tnsfomtionsmtizen (3) cos sin sin cos ) ( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ J ij i j j i
15 Deieckszelegung mit othogonlen Mtizen Ansätze:. mit eine Householde-Spiegelungen in eine Splte Nullen einfügen (uße Digonlelement)! nch n- Schitten ehält mn die Deiecksmtix R. Mit eine Givens-Rottionen ein Element (untehlb de Digonlen) zu Null mchen! nch n(n-)/ Schitten ehält mn die Deiecksmtix R!5
16 QR - Fkoisieung in de Pxis Invese : J ij (ϕ) - J ij (-ϕ) J ij (ϕ) T ; H w - H w H w T Givens-Rottionen und Householde-Spiegelungen benötigen keine Pivotsuche (die Vetuschung ist ls Spezilfll enthlten) deshlb uch leichte pllelisieb Spiegelungen und Rottionen ehlten (in de -Nom) die Kondition des Ausgngssystems (siehe späte) Aufwnd (ithmetische Op.) im Vegleich zu LR : etw x (Householde-Spiegelungen) bzw. 4x (Givens- Rottionen) Bei Givensottionen gibt es eine Vinte, die nu gleich teue wie Householde ist. Dzu muss mn zusätzliche Sklieungen einfühen: tionle Givensottionen, siehe unten.!6
17 Bestimmung de Givens-Rottion () x-fll: Gesucht eine Rottionsmtix so dss c s wobei c cos( ϕ ), s sin( ϕ) s c d.h. De Vekto muss uf ein Vielfches des Einheitsvektos bgebildet (gedeht) weden.. Fll: > c cos( ϕ) s sin( ϕ) R + +!7
18 Bestimmung de Givens-Rottion () x-fll: Gesucht eine Rottionsmtix so dss c s wobei c cos( ϕ ), s sin( ϕ) s c d.h. De Vekto muss uf ein Vielfches des Einheitsvektos bgebildet (gedeht) weden.. Fll: < c s cos( ϕ) sin( ϕ) + +!8
19 Bestimmung de Givens-Rottion (3) Allgemeine Fll: J ij (') c s s... c j i j i c σ jj σ ij cos( ϕ), s sin( ϕ), wobei σ sign( jj ) + + jj ij jj ij!9
20 QR mit Givens-Rottionen () A eine m n - Mtix: fo j..nst fo ij+..m # nst wie unten definiet # bestimme c und s in J i,j wie oben beschieben A J i,j A # be nicht ls Mtixmultipliktion # dnn ist ds Element i,j Reihenfolge so, dss einml geschffene -en nicht wiede zestöt weden. R J m,n... J, A (hiebei ist n min{m-,n}) A J, T... J m,n T R Q R Ds Podukt lle Rottionen J i,j T ist eine othogonle m m- Mtix. In den meisten Anwendungen muss dieses Podukt nicht explizit mit beechnet weden.!
21 QR mit Givens-Rottionen () Fü die Lösung eines Gleichungssystems: Rechte Seite mit den Rottionen mit-tnsfomieen. Aufwnd: c. 4 so hoch wie bei LR-Zelegung. Vebesseung: tionle Givens-Rottionen Rottionen weden duch eine Sklieung so modifiziet, dss die Digonlelemente lle gleich sind. Alle so efolgten Sklieungen weden sept uf multipliziet: In diese Vinte knn mn c. die Hälfte des Rechenufwndes spen. Fü die numeische Stbilität ist keine Pivotsuche nötig, QR ist stbile und besse konditioniet ls LR κ (A) κ (R), κ (Q), Häufig fü m>n ngewndt, lso fü übebestimmte Gleichungssysteme. siehe späte: Ausgleichsechnung. Diekte Vefhen fü LGS!
22 QR mit Householde-Spiegelungen () Eine QR-Zelegung knn mn uch mit Householde- Spiegelungen) nstelle von (Givens-) Rottionen ezeugen Dzu müssen n- Householde-Spiegelungen H j Id w j w j w konstuiet weden, die in de j-ten Splte die efodelichen Nullen ezeugen j w T j H j x x w j x w w w j j j Mn knn hie mit eine einzigen Tnsfomtion gleich die gnze Splte eliminieen, indem mn den Vekto w j geeignet wählt!
23 QR mit Householde-Spiegelungen (). H [,,,,] Householde Spiegelung mit w [,,..., n ] T [,,...,] bildet die este Splte uf b. T!3
24 Vogehen wie bei LR-Zelegung:. Householde-Spiegelung:. Householde-Spiegelung: QR mit Householde-Spiegelungen (3)!4 A H : A H H
25 QR mit Householde-Spiegelungen (4) (n-)-te Householde-Spiegelung: H n H H A Mn setzt dnn R H n H HA und Q H n H H) HH und lles psst! ( H n H n Aufwnd O(n 3 ) (etw doppelt so hoch wie bei LR)!5
26 Alston Scott Householde Bon: 5 My 94 in Rockfod, Illinois, USA Died: 4 July 993 in Mlibu, Clifoni, USA Diecto of the Ok-Ridge Ntionl Lbotoy, Householde tnsfomtions e now outinely tught in couses thoughout the wold, s is the systemtic use of noms in line lgeb, which he pioneeed...!6
27 QR fü nicht udtische Mtizen Die oben beschiebenen Vefhen knn mn uch fü nicht udtische Mtizen duchfühen Egebnis flls m < n, (m3) A m m 3m m m 3m Q J, T J 3, T J 3, T bzw. Q H H!7
28 QR fü nicht udtische Mtizen Egebnis flls m > n, (n3) A n n n n n Q J, T J n, T J 3, T J n, T J 4,3 T J n,3 T Q H H H 3 n n n3 in in diesem Fll Fll sind sind die die Splten Splten n+,...,,..., m ohne ohne Bedeutung (und weden meist weg gelssen) n n nn !8
29 QR Zelegung und Othonomlisieung Poblem: Gegeben line unbhängige Vektoen b, b,, b k Finde othonomle Vektoen u, u,, u k so dss spn{u } spn{b }, spn{u, u } spn{b, b }, spn{u, u,, u k } spn{b, b,, b k } Stndd Vefhen (LinAlg): Gm-Schmidt- Vefhen b ~ ~ u u ; u b ( b u ) u, u ~ ;... b u!9
30 kk k k k k b b b B Ds Gm-Schmidt-Vefhen ist numeisch instbil (ds modifiziete Gm-Schmidt-Vefhen ist besse) Besse ist: QR-Zelegung von Dnn: b, b +,.. b k k + k + + kk k, Dies zeigt: Die (esten k)-splten Q sind die gesuchten othonomlen Vektoen QR Zelegung und Othonomlisieung!3
31 LGS mit ähnliche Koeffizientenmtix Wie knn mn usnützen, dss zwei Gleichungssysteme ähnliche Koeffizientenmtizen hben? Poblem: ohne weitees Wissen muss die Zelegung (LR ode QR) mit O(n 3 ) Aufwnd neu duchgefüht weden. Möglichkeit : Elimintionsvogng im Detil nlysieen und püfen, ob und welche Teile sich wiede vewenden lssen. (bhängig vom konketen Poblem und vom Geschick des Algoithmenentwickles) Fü spezielle Stöungen nutzen spezielle Fomeln: Hie ls Beispiel die Shemn-Moison-Woodbuy-Fomel fü Rng--Stöungen.!3
32 Shemn-Moison-Woodbuy-Fomel Ist A nicht singulä, u und v Vektoen, so dss v T A - u -, dnn gilt: (Shemn-Moison-Woodbuy-Fomel) A+uv T ist eine Rng--Modifiktion de Mtix A. Spezilfälle dvon sind: Modifiktion eines einzelnen Elements von A Modifiktion eine einzelnen Splte von A Modifiktion eine einzelnen Zeile von A Ds Heleiten de Fomel ist eine nette Übungsufgbe. Die numeische Stbilität hängt von den Dten b, muss lso in jedem Einzelfll siche gestellt weden.!3
33 Anwendung de Shemn-Moison-Woodbuy-F. Die Shemn-Moison-Woodbuy-Fomel df mn nicht niv nwenden: Die Invese von A wid ntülich nicht explizit beechnet, sonden nu ihe LR-Zelegung ALR (die wi j schon kennen, weil wi j nnehmen dss Ax b schon gelöst wude): Also: Ap b duch einml Vowäts-Rückwätssubstitution A u duch noch einml Vowäts-Rückwätssubstitution und dnn egibt sich die Lösung 7.7.6!33
34 Zusmmenfssung Linee Gleichungssysteme knn mn diekt ode itetiv lösen Diekte Vefhen liefen nch endlich vielen Schitten ds exkte Egebnis (theoetisch, wenn Aithmetik exkt), sie bsieen uf de Fktoisieung von A A A A dnn ist Ax b äuivlent zu A y b und A x y LR-Zelegung (mit Guss-Scheung): Teilpobleme lösen duch Vowäts-/ Rückwäts-Substitution nu Pivotsuche gntiet (in den meisten Fällen) Stbilität QR-Zelegung (mit Givens-Rot. ode Householde Sp.) Aufwnd: LR- und QR-Zelegung : O(n 3 ) Lösung de Teilpobleme O(n ) Spezilvolesungen us de Mthemtik, ode im WS ANLA: Algoithmen de numeischen Lineen Algeb!34
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