4 Punkt- und Intervallschätzung

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1 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 4 Pukt- ud Itervallschätzug 4. Mittelwert ud Variaz Zufallsstichprobe der metrische Variable X vom Umfag : X X,...,, X (Arithmetisches) Mittel: X = X i i= Variaz: S = ( X i X ) i= Stadardabweichug: S = ( X i X ) i= (-α)-kofidezitervall für de Mittelwert µ: [ X d X + d] mit d = t SE ud SE S /,, α / = Approximatio für großes : [ X z SE X + z SE] mit d = z SE ud SE S / α /, α / α / = Faustformel zur Plaug des Stichprobeumfages (Approximatio für großes ): Notwediger Stichprobeumfag für Mittelwertschätzug mit Geauigkeit d ud Sicherheit - α: z σ d α / R-Fuktioe: Arithmetisches Mittel: mea() Variaz: var() Stadardabweichug: sd() Kofidezitervall für Mittelwert: t.test() Hiweis: die Fuktio ist ur awedbar, we die Stichprobewerte gegebe sid, sost direkte Berechug mit de Defiitiosgleichuge. t.test(x, cof.level = 0.95) x = Datevektor, cof.level = Kofidezzahl (default: 0.95) StatFormel_kurz_-Sem 03..4

2 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) R-Fuktio zur Bestimmug eies (-α)-kofidezitervalls für demittelkwert: # R-Fuktio mit Übergabeparameter: # (Stichprobeumfag), xquer (arithmetisches Mittel), # std (Stadardabweichug), alpha (Irrtumsrisiko) CI_mea <- fuctio(, xquer, std, alpha){ q <- qt(-alpha/, -); se=std/sqrt(); d <- q*se ug <- xquer-d; og <- xquer+d greze <- cbid(ug, og) retur(greze)} optios(digits=4) # Fuktiosaufruf mit =30, xquer=0, std=5, alpha=5% CI_mea(30, 0, 5, 0.05) (-α)-kofidezitervall für die Variaz σ : ( ) S ( ) S, χ, α / χ, α / (-α)-kofidezitervall für die Stadardabweichug σ: ( ) S ( ) S, χ, α / χ, α / R-Fuktio zur Bestimmug eies (-α)-kofidezitervalls für die Variaz: # R-Fuktio mit Übergabeparameter: # (Stichprobeumfag), var (Variaz), alpha (Irrtumsrisiko) CI_var <- fuctio(, var, alpha){ ug <- (-)*var/qchisq(-alpha/, -) og <- (-)*var/qchisq(alpha/, -) greze <- cbid(ug, og) retur(greze)} optios(digits=4) # Fuktiosaufruf mit =30, var=7.93, alpha=5% CI_var(30, 7.93, 0.05) ug og [,] Box-Plot Berechug des p-quatils x p (0 < p < ): Eie Stichprobe der Variable X umfasse die metrische Werte x, x,..., x. Die Aordug der Stichprobewerte ach aufsteigeder Größe führt auf die geordete Stichprobe x (), x (),..., x (). Ma bestimme die Zahl u = +(-)p ud daraus die größte gaze Zahl [u] kleier oder gleich u; ferer setze ma v= u-[u] x p = ( v) x + vx ([ u]) ([ u] + ) Soderfälle: p = 50% (Media x 0.5 ) p = 5% (uteres Quartil x 0.5 ) p = 75% (oberes Quartil x 0.75 ) StatFormel_kurz_-Sem 03..4

3 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 3 R-Fuktioe: Media: media() Quatil: quatile(), summary() 5-Pukte-Zusammefassug: fiveum() Ei Boxplot besteht aus eiem Rechteck, das durch das utere ud obere Quartil begrezt wird ud i dem der Media markiert ist. Die Ausläufer ach ute ud obe reiche bis zum kleiste bzw. größte Merkmalswert. R-Fuktio: boxplot() Normal QQ-Plot: Zur Beurteilug, ob die Werte x, x,, x eier Zufallsstichprobe vo X gege die Aahme X ist ormalverteilt spreche. We X N(µ, σ ) verteilt ist, besteht zwische dem p-quatil x p vo X ud dem etsprechede Quatil z p der N(0, )-verteilte Zufallsvariable Z=(X-µ)/σ der lieare Zusammehag x p = σ z p + µ. Die Pukte P(z p, x p ) mit de für verschiedee Werte vo p (0 < p < ) berechete Quatile vo Z ud X als Koordiate) liege im (Z, X)-Koordiatesystem auf eier Gerade mit dem Astieg σ ud dem y- Achseabschitt µ. Die folgede Grafik ethält Normal-QQ-Plots für zwei Zufallsstichprobe (jeweils vom Umfag =30). Die QQ-Plots ethalte auch die Orietierugsgerade durch die de utere ud obere Quartile etsprechede Pukte. Liks sid die Dichtekurve der Grudgesamtheite dargestellt, aus dee die Stichprobe geeriert wurde (obe: Normalverteilug mit µ=5 ud σ=0.5, ute: logarithmische Normalverteilug mit µ= - 0. ud σ=). StatFormel_kurz_-Sem 03..4

4 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 4 Vertikal sid die (ach aufsteigeder Größe ageordete) Stichprobewerte x (i) als (empirische) Quatile vo X aufgetrage. Die etsprechede Uterschreitugswahrscheilichkeite p i werde für >0 mit p i =(i-0.5)/ ud für 0 mit p i = (i- 3/8)( + ¼) bestimmt. Aus de p i ermittelt ma die dazu gehörede die Quatile z pi =φ - (p i ) der N(0, )-Verteilug, die horizotal aufgetrage sid. R-Fuktioe: qqorm(), qqlie() 4.3 Wahrscheilichkeit Zufallsstichprobe der dichotome (0/-skalierte) Variable X vom Umfag : X X,...,, X m = absolute Häufigkeit der Ausprägug (Azahl der Utersuchugseiheite mit der Ausprägug ), y = m/ der Ateil der Wiederholuge mit der Ausprägug. Exaktes (-α)-kofidezitervall [p u, p o ] für die Wahrscheilichkeit p (Clopper-Pearso- Itervall): u C = mf m + ( m + ) F m,( m+ ), α / ( m+ ),( m), α /, oc = + mf m,( m+ ), α / m + ( m + ) F( m+ ),( m), α / R-Fuktioe: biom.test(x,, cof.level = 0.95) (im Basis-Paket ethalte) oder selbstdefiierte R-Fuktio: # R-Fuktio mit Übergabeparameter: # (Stichprobeumfag), m (Azahl der Erfolge), alpha (Irrtumsrisiko) CI_p <- fuctio(m,, alpha){ qu <- qf(alpha/, *m, *(-m+)) qo <- qf(-alpha/, *(m+), *(-m)) uc <- m*qu/(-m++m*qu); oc <- (m+)*qo/(-m+(m+)*qo) StatFormel_kurz_-Sem 03..4

5 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 5 greze <- cbid(uc, oc) retur(greze)} optios(digits=4) # Fuktiosaufruf mit =0, m=4, alpha=5% CI_p(4, 0, 0.05) Faustformel zur Plaug des Stichprobeumfages (Approximatio für y (-y ) > 9): Notwediger Stichprobeumfag zur Schätzug vo p mit Geauigkeit d ud Sicherheit - α: z d α / 5 Teste vo Hypothese: Eistichprobevergleiche Allgemeies Etscheidugsalterative (Hypothese): z.b. über de Mittelwert µ eier Verteilug: -seitiger Test auf Abweichug: H 0 : µ =µ o versus H : µ µ o (Fall II) -seitiger Test auf Überschreitug: H 0 : µ µ o versus H : µ > µ o (Fall Ia) -seitiger Test auf Uterschreitug: H 0 : µ µ o versus H : µ < µ o (Fall Ib) Etscheidugsproblem: Fehlerriske:. Fehler. Art (α-fehler): irrtümliche Ablehug vo H 0 ; Testetscheidug so, dass P(Etscheidug für H H o ist richtig) < α.. Fehler. Art (β-fehler): irrtümliche Nichtablehug vo H 0 ; P(keie Etscheidug für H H ist richtig) < β, u.a. vom Verteilugsparameter µ abhägig. Zusammefassug beider Fehlerriske i der Gütefuktio (power-fuctio): G(µ) = P(Ablehug vo H 0 µ) = Wahrscheilichkeit, auf Grud eier Zufallsstichprobe gege H 0 zu etscheide. Testetscheidug: Etscheidug erfolgt mit eier (für de jeweilige Test typische) Testgröße TG; Zufallsstichprobe Realisierug TG s. Etscheidug mit dem P-Wert (=Wahrscheilichkeit, dass eie Zufallsstichprobe vom Umfag eie Wert der Testgröße TG ergibt, der zumidest gleich extrem im Sie vo H liegt, wie die beobachtete Realisierug TG s. H o wird abgeleht, we TG s (oder och extremere Werte) uter der Voraussetzug der Gültigkeit vo H o ur mit kleier Wahrscheilichkeit P auftritt (d.h. P kleier als α) ist. Mege der "sehr uwahrscheiliche" TG s -Werte bildet de sog. Ablehugsbereich. Die bei der Ablehug vo H o zur Awedug kommede logische Schlussfigur folgt dem Schema: StatFormel_kurz_-Sem 03..4

6 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 6 We H o gilt, da ist ei TG s im Ablehugsbereich "sehr uwahrscheilich"; aus eier Zufallsstichprobe ergibt sich ei TG s im Ablehugsbereich. H o ist sehr uwahrscheilich. Was bedeutet ei icht-sigifikates Testergebis? P α H 0, H? P < α H 0, H? H Power β H 0 Power < β H 0, H? -Stichprobe-t-Test diet zur Prüfug, ob der Mittelwert µ eier ormalverteilte Zufallsvariable vo eiem vorgegebee Sollwert µ 0 abweicht (oder µ 0 überschreitet bzw. uterschreitet). Hypothese ud Testgröße: (I) H 0 : µ = µ 0, H : µ µ 0 (IIa) H 0 : µ µ 0, H : µ > µ 0 (IIb) H 0 : µ µ 0, H : µ < µ 0 X µ 0 TG = S Hiweis: Die Testgröße TG ist uter H 0 t-verteilt mit FG=-. Etscheidug mit P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei P=-F - (TG s ) (Fall Ia) bzw. P=F - (TG s ) (Fall Ib) bzw. P=F - (- TG s ) (Fall II) ; F - ist die Verteilugsfuktio der t - -Verteilug. R-Fuktio: t.test() t.test(x, alterative = c("two.sided", "less", "greater"), mu = 0, cof.level = 0.95) x = Datevektor; alterative = Parameter zur Kezeichug der Testalterative (muss vo der Gestalt "two.sided" (default), "greater" oder "less" sei); mu = Referezwert mu0; cof.level = Kofidezzahl (default: 0.95) Plaug des Stichprobeumfages: Notwediger Stichprobeumfag, um auf Niveau α mit Sicherheit -ß eie Etscheidug für H herbeizuführe, we µ vo µ 0 um 0 im Sie der Alterativhypothese abweicht (die Formel liefer ab =0 brauchbare Näherugswerte): σ σ ( / ) (Fall II) bzw. ( ) (Fälle Ia, b) z α + z β z α + z β R-Fuktio: power. t.test() StatFormel_kurz_-Sem 03..4

7 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 7 power.t.test( = NULL, delta = NULL, sd =, sig.level = 0.05 (default), power = NULL, type = "oe.sample", alterative = c("two.sided", "oe.sided")) = Stichprobeumfag; delta = relevate Abweichug; sd = Stadardabweichug; sig.level = Testiveau α; power = ß; type = Parameter zur Kezeichug des Typs des t-tests; alterative = Parameter zur Kezeichug der Testalterative. Biomialtest diet zur Prüfug, ob eie ubekate Wahrscheilichkeit p vo eiem vorgegebee Sollwert p 0 abweicht bzw. diese über- oder uterschreitet; p ist die Wahrscheilichkeit, dass eie Utersuchugseiheit die Ausprägug E zeigt. Hypothese ud Testgröße: (Ia) H 0 : p p 0, H : p > p 0 bzw. (Ib) H 0 : p p 0, H : p < p 0 bzw. (II) H 0 : p = p 0, H : p p 0 TG=H = Azahl der Beobachtuge mit der Ausprägug E ( ist der Stichprobeumfag); TG ~ B,p0 für p=p 0. Für die kokrete Beobachtugsreihe ist H=h. Testetscheidug mit dem P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei P= - F B (h-) (Fall Ia) bzw. P= F B (h) (Fall Ib) bzw. P= F B (p 0 -d)+- F B (p 0 +d-) (Fall II) F B bezeichet die Verteilugsfuktio der B,p0 -Verteilug, d= h-p 0. Plaug des Stichprobeumfages: Notwediger Stichprobeumfag, um auf Niveau α mit Sicherheit -ß eie Etscheidug für H herbeizuführe, we p vo p 0 um 0 im Sie der Alterativhypothese abweicht: ( z + z ) α β ( arcsi p arcsi p ) 0 (Fälle Ia, b) bzw. ( z + z ) α / β ( arcsi p arcsi p ) 0 (Fall II) R-Fuktio: biom.test() - Exakter Biomialtest biom.test(x,, p = 0.5, alterative = c("two.sided", "less", "greater"), cof.level = 0.95) x = Azahl der Erfolge; = Azahl der Versuche; p = Referezwert p0 (siehe Hypothese); alterative = Parameter zur Kezeichug der Testalterative (muss vo der Gestalt "two.sided" (default), "greater" oder "less" sei); cof.level = Kofidezzahl (default: 0.95). Shapiro-Wilk-Test StatFormel_kurz_-Sem 03..4

8 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 8 wurde speziell zur Überprüfug der Aahme (=Nullhypothese) etwickelt, dass eie metrische Zufallsvariable X ormalverteilt ist. Die Nullhypothese wird auf dem Niveau α abgeleht, we der P-Wert kleier als α ist. Hypothese: H 0 : Date stamme aus ormalverteilter Grudgesamtheit H : Date stamme aus icht-ormalverteilter Grudgesamtheit R-Fuktio: shapiro.test() Shapiro-Wilk-Test shapiro.test(x) x = Datevektor. 6 Teste vo Hypothese: Zweistichprobevergleiche Welch-Test Hypothese ud Testgröße: (II) H 0 : µ = µ, H : µ µ (Ia) H 0 : µ µ, H : µ > µ (Ib) H 0 : µ µ, H : µ < µ X X TG = S + S / / Hiweis: Die Testgröße TG ist uter H 0 approximativ t-verteilt mit dem Freiheitsgrad f ( s / ) ( s /( / + s ) + ( s / ) / ) /( ) Etscheidug mit P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei P=F f (- TGs ) (Fall II) bzw. P=-F f ( TG s ) (Fall Ia) bzw. P=F f (TG s ) (Fall Ib); F f ist die Verteilugsfuktio der t-verteilug mit f Freiheitsgrade. R-Fuktio: t.test() Welch-Test t.test(x, y = NULL, alterative = c("two.sided", "less", "greater"), cof.level = 0.95) x = Datevektor (X-Stichprobe); y = Datevektor (-Stichprobe) alterative = Parameter zur Kezeichug der Testalterative (muss vo der Gestalt "two.sided" (default), "greater" oder "less" sei; greater bedeutet H: Mittelwert vo X > Mittelwert vo ); cof.level = Kofidezzahl (default=0.95). StatFormel_kurz_-Sem 03..4

9 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 9 Plaug des Stichprobeumfages: Notwediger Stichprobeumfag, um auf Niveau α mit Sicherheit -ß eie Etscheidug für H herbeizuführe, we µ vo µ um 0 im Sie der Alterativhypothese abweicht (die Formel gelte für = = ud liefer ab =0 brauchbare Näherugswerte): σ σ ( z + z ) (Fall II) bzw. ( z z ) (Fälle Ia, b) α / β α + R-Fuktio: power.t.test() - Power/Mideststichprobeumfag power.t.test( = NULL, delta = NULL, sd =, sig.level = 0.05, power = NULL, type = "two.sample", alterative = c("two.sided", "oe.sided")) = Stichprobeumfag (i jeder der zu vergleichede Gruppe) delta = relevate Abweichug (der Gruppemittelwerte); sd = Stadardabweichug (Quadratwurzel der gewichtete Stichprobevariaze); sig.level = Testiveau α; power = -ß; type = Parameter zur Kezeichug des Typs des t-tests; alterative = Parameter zur Kezeichug der Testalterative. β t-test für abhägige Stichprobe (Paarvergleich) ist ei mit der Differezvariable D=X -X ud dem Sollwert µ 0 = 0 geführter -Stichprobe-t-Test. Es bedeute µ D ud σ D de Mittelwert bzw. die Stadardabweichug vo D; X D ud S D sid das Stichprobemittel bzw. die Stichprobevariaz der Differezstichprobe. Hypothese ud Testgröße: (I) H 0 : µ D = 0, H : µ D 0 (IIa) H 0 : µ D 0, H : µ D > 0 (IIb) H 0 : µ D 0, H : µ D < 0 X D TG = S D Hiweis: Die Testgröße TG ist uter H 0 t-verteilt mit FG=-. Etscheidug mit P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei P=-F - (TG s ) (Fall Ia) bzw. P=F - (TG s ) (Fall Ib) bzw. P=F - (- TG s ) (Fall II); F - ist die Verteilugsfuktio der t - -Verteilug. R-Fuktio: t.test() t.test(x, x, paired=t, alterative = c("two.sided", "less", "greater"), cof.level = 0.95) x, x = Datevektor; alterative = Parameter zur Kezeichug der Testalterative (muss vo der Gestalt "two.sided" (default), "greater" oder "less" sei); paired = logische Variable, ist bei Paarvergleich auf TRUE zu setze; cof.level = Kofidezzahl (default: 0.95) StatFormel_kurz_-Sem 03..4

10 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 0 Plaug des Stichprobeumfages: Notwediger Stichprobeumfag, um auf Niveau α mit Sicherheit -ß eie Etscheidug für H herbeizuführe, we µ D vo 0 um 0 im Sie der Alterativhypothese abweicht (die Formel liefer ab =0 brauchbare Näherugswerte): σ D σ ( ) (Fall II) bzw. D z + z ( z z ) (Fälle Ia, b) α / β α + R-Fuktio: power. t.test() power.t.test( = NULL, delta = NULL, sd =, sig.level = 0.05 (default), power = NULL, type = "paired", alterative = c("two.sided", "oe.sided")) = Stichprobeumfag; delta = relevate Abweichug; sd = Stadardabweichug; sig.level = Testiveau α; power = ß; type = "paired" Parametersetzug zur Kezeichug des t-tests für abhägige Stichprobe; alterative = Parameter zur Kezeichug der Testalterative. β Vergleich zweier Wahrscheilichkeite (uabhägige Stichprobe) X = zweistufiges Merkmal mit de Auspräguge a ud a, das uter zwei Versuchsbediguge beobachtet wird;, = Umfäge der Parallelstichprobe; p, p = Wahrscheilichkeite, dass X uter de Versuchsbediguge de Wert a aimmt. Hypothese ud Testgröße: (II) H 0 : p = p, H : p p (Ia) H 0 : p p, H : p > p (Ib) H 0 : p p, H : p < p TG = ( ) +, = Ateile, mit dee die Merkmalsausprägug uter der erste bzw. zweite Versuchsbedigug auftritt; = Ateil, mit dem der Wert a i beide zusammegefasste Gruppe auftritt. Idem ma für, ud die etsprechede relative Häufigkeite y = /, y = / bzw. y=. / eisetzt, erhält ma die Realisierug TG s der Testgröße; dabei ist ij die Azahl der Utersuchugseiheite mit der Ausprägug a i uter der j-te Versuchsbedigug ud. Der Ateil der Utersuchugseiheite mit der Ausprägug a i beide Gruppe. TG ist uter H 0 (p =p ) ageähert stadardormalverteilt, we die auf de Gesamtumfag = + bezogee Produkte der Spaltesumme mit de Zeilesumme größer als 5 sid. Etscheidug mit P-Wert: StatFormel_kurz_-Sem 03..4

11 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei P= F(- TG s ) für die zweiseitige Testvariate II bzw. P= - F(TG s ) für die Variate Ia bzw. P= F(TG s ) für die Variate Ib ist. R-Fuktio: prop.test() prop.test(x,, alterative = c("two.sided", "less", "greater"), cof.level = 0.95) x = Vektor mit de Azahle der Erfolge i de zu vergleichede Gruppe; = Vektor mit de Azahle der Versuche i de zu vergleichede Gruppe; alterative = Parameter zur Kezeichug der Testalterative (muss vo der Gestalt "two.sided" (default), "greater" oder "less" sei) cof.level = Kofidezzahl (default = 0.95). Plaug des Stichprobeumfages: Notwediger Stichprobeumfag, um auf Niveau α mit Sicherheit -ß eie Etscheidug für H herbeizuführe, we p vo p um 0 im Sie der Alterativhypothese abweicht: ( z + z ) α / β = mit h = arcsi p + arcsi h Im Falle der -seitige Testvariate ist α/ durch α zu ersetze. R-Fuktio: power.prop.test() - Power/Mideststichprobeumfag power.prop.test( = NULL, p = NULL, p = NULL, sig.level = 0.05, power = NULL, alterative = c("two.sided", "oe.sided")) = Stichprobeumfag (i jeder Gruppe); p = Erfolgswahrscheilichkeit i Gruppe ; p = Erfolgswahrtscheilichkeit i Gruppe ; sig.level = Testiveau α; power = -ß: alterative = Parameter zur Kezeichug der Testalterative. p 7 Abhägigkeit (Zusammehag) zwische zwei Merkmale 7. Produktmometkorrelatio Defiitio: X ud heiße -dimesioal ormalverteilt mit de Parameter µ X, µ, σ X, σ ud ρ X, we sie mit Hilfe vo uabhägige, N(0,)-verteilte Zufallsvariable Z, Z durch wie folgt erzeugt werde: X = σ Z X = σ ρ X + µ Z X + σ ρ X Z + µ Schätzug des Verteilugsparameters ρ X : Es sei (x i,y i ) (i=,,...,) eie Zufallsstichprobe der Zufallsvariable X ud mit zweidimesioaler Normalverteilug. Da ist StatFormel_kurz_-Sem 03..4

12 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) r X s X = X sx s ( r + ) ei Schätzwert für die Produktmometkorrelatio (Pearso-Korrelatio) ρ X. Es sid: s X ud s die Stadardabweichuge der X- ud -Stichprobe ud s X dere Kovariaz: s X = = i ( x x)( y y) i i Abhägigkeitsprüfug mit der Produktmometkorrelatio Hypothese ud Testgröße: (II) H 0 : ρ X = 0, H : ρ X 0, (Ia) H 0 : ρ X 0, H : ρ X > 0, (Ib) H 0 : ρ X 0, H : ρ X < 0 rxy sxy TG = mit rxy = r sxs xy Hiweis: Die Testgröße TG ist uter H 0 t-verteilt mit FG=-. Etscheidug mit P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei P=-F - (TG s ) (Fall Ia) bzw. P=F - (TG s ) (Fall Ib) bzw. P=F - (- TG s ) (Fall II); F - ist die Verteilugsfuktio der t - -Verteilug. y R-Fuktio: cor.test() cor.test(x, y, alterative = c("two.sided", "less", "greater"), method = "pearso", cof.level = 0.95) x, y = Datevektore (X- ud -Stichprobe) alterative = Parameter zur Kezeichug der Testalterative (muss vo der Gestalt "two.sided" (default), "greater" oder "less" sei; method = Parameter zur Festlegug des Korrelatiosmaßes; cof.level = Kofidezzahl (default: 0.95). 7. Eifache lieare Regressio Lieares Modell (Typ B: zufallsgestörte lieare Abhägigkeit der Zielvariable vo der Eiflussvariable X): ( x) = µ ( x) + E mit 0 0 E µ ( x) = f ( x; β, β ) = β + β x, E N(0, σ ) Es sid µ (x) der durchschittliche (durch X bestimmte) Wert vo sowie β o ud β die zu schätzede Parameter der Regressiosgerade mit der Gleichug µ (x) = β o + β X. Die Schätzwerte für β o (y-achseabschitt) ud β (Astieg) seie b o bzw. b. StatFormel_kurz_-Sem 03..4

13 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 3 Prizip der Kleiste Quadrat Schätzug: y ^ = b 0 + b x y i ^ y i (0, b 0 ) e i P i ^Pi X Schätzwerte: ˆ sx s β = b = = rx, ˆ β0 = b0 = y b x sx sx Vorgagsweise bei liearer Regressiosaalyse:. Überprüfug der Adäquatheit des lieare Modells (Regressiosgerade) im Streudiagramm. we. zutrifft: Prüfug auf (lieare) Abhägigkeit (Abhägigkeitsprüfug mit der Produktmometkorrelatio) 3. we. zutrifft: Schätze der Regressiosparameter ud Agabe der Regressiosgerade 4. Überprüfug der Residue (Normalverteilug) 5. Beurteilug der Güte der Apassug mit dem Bestimmtheitsmaß B=r R-Fuktio: plot() Streudiagramm plot(x, y,...) x = Datevektor für die uabhägige Variable X; y = Datevektor für die abhägige Variable ;... Grafikparameter (zb mai (mai= Überschrift ), xlab (xlab = X-Achse- Bezeichug ), ylab (ylab= -Achsebezeichug ). R-Fuktio: ablie() Eizeiche der Regressiosgerade i das Streudiagramm ablie(lm(y~x)) x = Datevektor für die uabhägige Variable X; y = Datevektor für die abhägige Variable. x i R-Fuktio: lm() Lieares Modell lm(formula, data) formula = Regressiosfuktiosterm (bei eifacher liearer Regressio: abh. V. ~ uabh. V.) data = dataframe mit de Stichprobe der Variable als Spalte. 7.3 Lieare Regressio durch de Nullpukt: Modell: ( x) = µ ( x) + E mit µ ( x) = f ( x; β ) = β x, E E N(0, σ ) StatFormel_kurz_-Sem 03..4

14 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 4 Parameterschätzug: Schätzwerte für die Modellparameter: ˆβ = b = i= x y SQE MQE = mit i i i= x i, SQE = i= y i i= x i yi i= x i (-α)-kofidezitervall für de Astieg: MQE b t SE b = b t ±, α / ( ) ±, α / = i x i R-Fuktio: lm() Lieares Modell lm(formula, data) formula = Regressiosfuktiosterm (bei liearer Regressio durch de Nullpukt: abh. V. ~ 0 + uabh. V.) data = dataframe mit de Stichprobe der Variable als Spalte. 7.4 Lieare Kalibratiosfuktioe: Bestimmug der Kalibratiosfuktio: ˆ sx s β, ˆ = b = = r 0 0, X β = b = y b x s s ˆ σ E X SQE = MQE = X mit SQE = ( ) s Voraussetzug (Abhägigskeitsprüfug): TG ( r rx b ( ) s X = = > t, α / r MQE X Rückschluss vo auf X: Schätzwert für gesuchte Probewerte vo X zu bekatem Wert (Erwartugswert) η vo : ξ = ( η β ) β. 0 / X ) Im Allgemeie sid weder die Regressiosparameter och η bekat; η wird durch de Mittelwert y * aus m zum selbe ξ gemessee -Werte (im Extremfall ka m= sei) geschätzt, ξ durch xˆ = x + ( yˆ * y) / b ; Stadardfehler sx ˆ vo xˆ : ( y y) MQE s = + + xˆ b m b ( ) sx Voraussetzug: t / TG 0. g =, α / < Approximatives (-α)-kofidezitervall für Probewert ξ : UG = xˆ t s ud OG = x t s, α / xˆ ˆ +, α / xˆ StatFormel_kurz_-Sem 03..4

15 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 5 Hiweis: Für ei optimales Desig der Kalibratiosfuktio wird ma darauf achte, dass ( y y) möglichst klei ud s möglichst groß ist. X R-Fuktio zur Schätzug eies Probewertes mit Hilfe eier lieare Kaibratiosfuktio: # R-Fuktio zur Schätzug eies Probewertes # mit Hilfe eier liare Kalibratiosfuktio # *************************************************************************** # Eigabeparameter # x, y = Vektore der Kalibrierprobewerte bzw. der Hilfsgrößewerte # lieare Regressio vo y auf x ergibt die Kalibratiosfuktio # y0 = gemesseer y-wert # alpha = Irrtumsrisiko # Ausgabeparameter # y0 = gemesseer y-wert y0 der ubekate Probe # x0 <- Schätzwert für de ubekate Probewert # alpha = Irrtumsrisiko # se_xd = Stadardfehler der Schätzfuktio für ubekate Probewert # UG, OG = Greze eies (-alpha)-ci für ubekate Probewert # g = kritischer Wert für Approximatio: muss < 0. sei! # **************************************************************************** prob_est = fuctio(x, y, y0, alpha){ # a) Abhägigkeitsprüfug ud Parameterschätzug: date <- data.frame(x, y) kal_modell <- lm(y~x, data=date) ergebis <- summary(kal_modell); b <- ergebis$coefficiets b0 <- b[,]; b <- b[,] # b) Schätzug des Wertes x0 zu gemessee y-wert y0 der ubekate Probe x0 <- (y0-b0)/b # Schätzwert für ubekate Probewert yquer <- mea(y); <- legth(x); sigma <- ergebis$sigma se_xd <- sigma/abs(b)*sqrt(+/+(y0-yquer)^/b^/(-)/var(x)) t_quatil <- qt(-alpha/, -) UG <- x0 - t_quatil*se_xd; OG <- x0 + t_quatil*se_xd # Überprüfug der Voraussetzug r <- cor(x, y); tgs <- r*sqrt(-)/sqrt(-r^); g <- t_quatil^/tgs^ out <- c(y0, x0, alpha, se_xd, UG, OG, g) retur(out) } # Beispiel für Aufruf der R-Fuktio masse <- c(.409,3.03, 5.508, 8.00, 0.303) peak <- c(0.07, 0.040, 0.065, 0.084, 0.0) y0 < ; alpha < prob_est(masse, peak, y0, alpha) 8 Variazaalyse 8. Globaltest Date: Variable uter k Versuchsbediguge (= Faktorstufe) wiederholt (a j Utersuchugseiheite auf der Faktorstufe j) gemesse k uabhägige Stichprobe Aordug i Datetabelle (y ij = Messwert vo der i-te Utersuchugseiheit uter der j - Versuchsbedigug): Versuchsbedigug (Faktorstufe) StatFormel_kurz_-Sem 03..4

16 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 6... j... k Wiederholuge y y... y j... y k y y... y j... y k y i y i... y ij... y ik y, y,... y j,j... y k,k Azahl... j... k Mittelwert m m... m j... m k Variaz s s... s j... s k Hypothese ud Testgröße: H 0 : µ = µ =... = µ k vs. H : weigstes zwei der µ j uterscheide sich TG = MQF MQE F SQF MQF =, k k, N k SQF = mit k = j j ( m m) j Eisetze der Stichprobewerte i die Testgröße ergibt die Realsierug TG s. Zusammefassug der relevate Rechegröße i der ANOVA-Tafel: Variatiosursache Quadratsumme Freiheitsgrad Mittlere Quadratsumme Testgröße Faktor F (Bedigug) SQF k - MQF=SQF/(k-) TG=MQF/MQE Versuchsfehler SQE N - k MQE=SQE/(N-k) Summe SQT - SQT = ( -)s +( -)s +...+( -)s Etscheidug mit P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei P= F f,f (TG s ) ; dabei ist F f,f die Verteilugsfuktio der F-Verteilug mit de Freiheitsgrade f =k- ud f =N-k. Voraussetzuge: Die -faktorielle ANOVA setzt voraus, dass die Fehlergröße E ij voeiader uabhägig variierede ud N(0, σ )-verteilte Zufallsvariable sid (Überprüfug durch ei mit de Residue erstelltes Normal-QQ-Plot oder Shapiro-Wilk-Test). Diese Voraussetzug bedeutet im Besodere, dass die Normalverteiluge auf jeder Faktorstufe dieselbe Fehlervariaz aufweise (Variazhomogeität, Überprüfug mit dem Levee- Test). R-Fuktio: aov() aov(formula, data = NULL) formula = Formel zur Festlegug des Modells (-faktorielle ANOVA: formula = abh. V. ~ Faktorvariable) data = Dataframe mit de Werte der Modellvariable 8. Levee-Test (zur Prüfug auf ugleiche Variaze) StatFormel_kurz_-Sem 03..4

17 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) 7 Date (wie bei Globaltest) Hypothese: H 0 : σ = σ =... = σ k vs. H : weigstes zwei der σ j uterscheide sich Testgröße: Beobachtuge ij auf der j-te Faktorstufe werde durch Abstäde Z ij = ij - m j vom jeweilige Stichprobemittel m j ersetzt modifizierte Datetabelle Versuchsbedigug (Faktorstufe)... j... k Wiederholuge z z... z j... z k z z... z j... z k z, z,... z j,j... z k,k Azahl... j... k z-mittelwerte m (z) m (z)... m j (z)... m k (z) z-variaze s (z) s (z)... s j (z)... s k (z) Idee: We Variazhomogeität vorliegt, stimme die Mittelwerte m j (z) bis auf zufallsbedigte Abweichuge überei. Prüfug der Abweichuge im Rahme eier eifaktorielle ANOVA mit der Testgröße: MQF( z) TG( z) = mit MQE( z) MQE( z) = N k MQF = k k j= k j= j ( ) [ m ( z) m( z) ] j j j s ( z) ud Eisetze der Stichprobewerte i die Testgröße ergibt die Realsierug TG(z) s ; m(z) ist das aus alle z- Werte berechete Gesamtmittel). Etscheidug mit P-Wert: H 0 auf Sigifikaziveau α ablehe, we P < α, wobei P=P(TG(z) TG(z) s ) R-Fuktio: leveetest() aus dem Paket car leveetest(y, data, ceter=c(mea, media)) y = Objekt vom Typ formula (zb Zielvariable ~ Faktor oder vom Typ lm) data = dataframe mit de Stichprobewerte der Zielvariable ud der Faktorvariable ceter = Fuktio zur Bestimmug der Zetre der Faktorgruppe (ceter=mea oder ceter=media); Voreistellug: ceter=media ODER R-Fuktio: aov() Aalog zum Globaltest mit de Abstäde Z ij StatFormel_kurz_-Sem 03..4

18 W. Timischl, Agewadte Statistik - Formel (Agewadte Statistik Bachelor-Bioegieerig/Biotechologie) Multiple Mittelwertvergleiche: HSD-Test vo Tukey Ausgagssituatio: Globaltest der -faktorielle ANOVA ergibt Ablehug der Nullhypothese (Gleichheit der k Mittelwerte) auf Sigifikaziveau α. Frage: Was sid die Paare mit verschiedee Stufemittelwerte Idee: Es wird eie Midestdistaz agegebe, die zwei Stufemittelwerte habe müsse, damit sie auf dem (simulta festgelegte Niveau α) als verschiede azusehe sid. R-Fuktio: TukeyHSD() TukeyHSD(x, cof.level = 0.95) x = mit aov erzeugtes Objekt co.level = - (Voreistellug 0.95) StatFormel_kurz_-Sem 03..4