Schwingungen. Schwingung Periodische Zustandsänderung periodische Energieumwandlung Reproduktion des Zustands nach fester Zeit T.

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1 Shwingungen Shwingung Periodishe Zusandsänderung periodishe Energieuwandlung Reproduion des Zusands nah feser Zei Periode f / requenz πf Begriffliheien anhand ehanisher Ssee enwiel. Jedoh auf andere Bereihe überragbar, zb Shwinreise in E - Shwingungsaren. reie ungedäpfe Shwingung Keine Reibung, innere Rüsellraf proporional zur uslenung. reie gedäpfe Shwingung Geshwindigeisproporionale innere Reibungsraf v 3. Erzwungene Shwingung Einwirende äußere periodishe Kraf reib Shwingung an v os - Shwingung : Einzelnes shwingfähiges Eleen Oszillaor Wellen : Vielzahl geoppleler shwingfähiger Eleene Energieranspor i Rau

2 reie ungedäpfe Shwingung Haronisher Oszillaor, Bsp ederraf pliude Sheielwer Shwingfähiges Sse Oszillaor Periodishe Energieuwandlung zwishen E und E p ohne dissipaive Energieverluse Konsane pliude Durh Sse-Paraeer besi nzahl Zlen je Zeieinhei requenz f Eigenfrequenz f π

3 3 reie ungedäpfe Shwingung Haronisher Oszillaor, ederraf Bereis gelös bei Behandlung der Bewegungsgleihungen - - Kraf wir uslenung ses engegen und is ihr proporional Eindiensionales Proble Nur -Koordinae Randbedingungen s : s v s v s d d s d d d d a r Phsi : Periodisher Vorgang! Mahe : union deren zweie bleiung gleih Negaiven der union selbs is i Vorfaor Lösungsansaz : Cosinus und Sinus - Haronishe Bewg. esen durh Einsezen in DGL sin os os sin sin os Vernahlässigung von Reibung uso eher gerehferig, je größer räghei und nreibende Kraf

4 4 reie ungedäpfe Shwingung Definiion Periode : Nah ha Sse opleen Zlus durhlaufen Sinus, Cosinus ha Periodiziä π : osα os α π Shwingungsdauer uso länger, je shwerer die Masse und je weiher die eder Besiung aoren und aus Randbedingungen für s : Speziell : Masse bei s i und v /s os sin sin sin sin os os os os sin os π π π π f sin os v v v s s v s

5 reie ungedäpfe Shwingung Kopaere orulierung der Lösung iels ddiionsheoreen für Sinus Cosinus : Sue haronisher Shwingungen is wieder haronishe Shwingung v os sin sin is unabhängig von v 5 Speziell v /s : aran π / os v Effeive pliude aran Phasenvershiebung v Bedeuung : Sar i v /s Masse ha zusäzlihe ineishe Energie Vergrößere pliude Phasenvershiebung gegenüber Cosinus-Verlauf es : Einsezen von v /s liefer wieder einfahen Cosinus-Verlauf

6 6 reie ungedäpfe Shwingung Energie der Shwingung is onsan - da eine Reibungsverluse! ons v v v E Periodishe Uwandlung von poenieller Energie in ineishe Energie Periodisher Energieausaush i doppeler Ssefrequenz Energie des Oszillaors wähs quadraish i pliude und requenz

7 7 sin os sin a v reie ungedäpfe Shwingung Effe unershiedliher nfangsgeshwindigeien v a Vergrößere pliude b Phasenvershiebung gegenüber reine Cosinus 4,, 4 /, /, / / π π s s s v s N g Beshleunigung Kraf! is proporional und engegengesez zur Vershiebung

8 reie gedäpfe Shwingung - shwahe Däpfung : Shwingfall 8 Wirende Kräfe :. ederraf - wir uslenung ses engegen. Zusäzlihe Reibungsraf R - v proporional v - Randbedingungen s : s v s v d d R v - - v Däpfungsonsane [g / s] d d d d s Beobahung : Sse shwing haronish pliude ni i der Zei eponeniell ab nsaz für : Produ aus Däpfungser und Shwingungser Einhüllende der Shwingung fäll eponeniell ab δ os sin e [ δ ] [ / s] Sse verlier peranen ehanishe Energie durh Dissipaion..

9 reie gedäpfe Shwingung - shwahe Däpfung : Shwingfall 9 Besiung Vorfaoren und aus Randbedingungen für s : Besiung von und δ aufwändiger : v s s v δ δ v δ δ 4 Resula :. Gedäpfer Oszillaor shwing i geringerer Eigenfrequenz langsaer als der ungedäpfe Oszillaor Unershied wähs i zunehender Reibung. Eponenieller bfall der pliude - uso rasher, je leiner und je größer Däpfungsonsane 3. nsaz funionier nur für leine Däpfung dh : ür größere Däpfung wird requenz iaginär! Bedeuung : Keine Shwingung ehr! 4. Verlusleisung durh Reibung : P R Herleiung durh nsaz e-union als genereller Lösung einer HLDGL δ 4 d d d WR v d v v d d d d v

10 reie gedäpfe Shwingung - shwahe Däpfung : Shwingfall Gesalösung für leine Däpfung Shwingfall Kopae orulierung : ür g/s bzw δ /s erhäl an usdrüe der ungedäpfen Shwingung Durh Däpfung verlier Sse ehanishe Energie als Reibungswäre Energie nih onsan - fäll eponeniell ab : Konsanes Verhälnis aufeinanderfolgender pliuden : "Logarihishes Dereen" δ Besiung von aus δ i i e δ 3 δ τ τ δ / e s E e E δ 4 aran sin sin os v v e v e δ δ δ δ δ 4 δ δ Zeionsane

11 reie gedäpfe Shwingung - sare Däpfung : Kriehfall Sare Däpfung : Keine Shwingung ehr! Oszillaor näher sih dire aspoish der Ruhelage Sare Däpfung verhinder jede Shwingung! 4 δ Keine Shwingung ehr wenn : 4 δ älle : 4. periodisher Grenzfall rad/s I aperiopdishen Grenzfall erreih das Sse a shnellsen die Ruhelage. Kriehfall wird iaginär < 4

12 reie gedäpfe Shwingung - Sare Däpfung Däpfung verhinder jede Shwingung Lösungen : Lösungen ebenfalls durh generellen nsaz einer e- union herleibar.. periodisher Grenzfall rad/s us Lösung für Shwingfall herleibar für rad/s : li e δ os v δ sin e δ v δ. Kriehfall wird iaginär Maheaish aufwendiger us Lösung für Shwingfall "herleibar" Lösungsfunionen enhalen eine shwingenden, dh periodishen unionen ehr! ür iaginäre Were gehen haronishe unionen in hperbolishe unionen über : δ v δ e osh q sinh q q q 4

13 Erzwungene Shwingung 3 reie Shwingungen : Einaliger urzfrisiger Eingriff - dann sih selbs überlassen Erzwungene Shwingung : Durh sändig einwirende äußere Kraf Äußere Kräfe opensieren Energieverluse durh Reibung Erzwungene Shwingung solange äußere Kraf einwir Wihigser all : Haronishe äußere Kraf os Kreisfrequenz der erregenden Kraf Resonaoren Keine sarre sondern shwingfähige nopplung Durh Kopplung wird de Resonaor die requenz der äußeren Kraf aufgezwungen! rage : Wie groß is die sih ergebende pliude Säre der Sse-Response Wie gu ann das räge Sse de Siulus folgen Phasenvershiebung?

14 Erzwungene Shwingung 4 Bewegungsgleihung : Äußere Kraf liefer zusäzlihen er : örder die Bewegung posiives Vorzeihen Kräfe ederraf Däpfungsraf Äußere Kraf d d R a v os d d d d os Inhoogene DGL Rehe Seie Lösungsansaz geäß Shwingverhalen Unregeläßige Einshwingphase uss gesonder behandel werden! Nah einiger Zei blingen Einshwingvorgang! herrshen saionäre Verhälnisse :. Sse shwing nih i Eigenfrequenz sondern i aufgezungener requenz der erregenden Kraf. Shwingung des Sses läuf u Phase vershoben hiner erregender Kraf her Lösungsansaz für die saionäre Shwingung : os Einsezen nsaz in DGL liefer Bedingung für pliude und Phasenvershiebung Sseparaeer,,, besien nur Größe von und

15 5 os d d Resonanz : Erzwungene Shwingung ohne Reibung DGL ohne Reibungsraf : Einsezen -nsaz in DGL liefer pliudenausdru : Naiver Lösungs-nsaz ohne Berüsihigung Phasenvershiebung : os / os os os Disussion des haraerisishen -Verlaufs : e d b a < > > < Bedeuung -Verlauf : a Resonanzaasrophe i unendliher pliude bei R b ha gleihes Vorzeihen wie : Resonaor ann niedrigen nregungsfrequenzen verzugslos folgen. Resonaor und nregung i Gleiha i ha engegengesezes Vorzeihen wie : Bei hoher nregungsfrequenz ann Resonaor nur phasenvershoben folgen : Gegena i π d Resonaor ann nih ehr folgen. Kein Energieüberrag, eine nregung e Saishe Verhälnisse. Hooshes- Gesez für onsane äußere Kraf

16 Erzwungene Shwingung Lösung der allgeeinen Bewegungsgleihung : Bedingungen für pliude und Phasenvershiebung Waru spielen die Rand-bedingungen und v zur Zei s eine Rolle?. 6 os aran Bedeuung :. pliude uso höher shärfer je größer / und je leiner Däpfung. ür Däpfung g/s divergier pliude wenn / 3. ür Däpfung g/s oder π Kraf und Oszillaor i Gleih- oder Gegena Resonanz Erreihen der aialen pliude Bedingung : Nenner von wird iial R δ n 4 dn d! Bedingung für Resonanzaiu >!

17 Erzwungene Shwingung orulierung Zusaenhänge ohne direen ehanishen Bezug durh Verwendung der allgeeinen Größen und δ : δ 8 δ os δ δ aran R δ Grund : Die so forulieren usdrüe gelen für alle Resonanzphänoene egal ob ehanisher oder eleroehnisher Naur

18 Resonanz Eigenshafen pliude :. Maia Resonanzurve liegen unerhalb / /. Maia uso höher shaler je leiner Däpfungsonsane 3. ür große Reibung eisier ein Maiu 4. ür is pliude ses / 5. ür geh : nregung so shnell, dass räger Oszillaor nih folgen ann auh eine E-ufnahe Eigenshafen Phasenvershiebung :. ür << is lein : Erreger shwing langsa Oszillaor ann folgen Shwingen i Gleiha. ür geh π : Erreger shwing shnell Oszillaor ann nih folgen Shwingen i Gegena 3. ür is ses π / Maiale Leisungsaufnahe Resonaor! Energieresonanz, Resonanzaasrophe, Resonanzurven Phasenvershiebungen g/s - Sprung R 9

19 Resonanz R δ > rad s R Resonanzurven δ δ > > δ δ > Resonanzaiu ri auf δ <.7 Nur uner diesen Bedingungen ri ein Resonanz-Maiu auf Bei zu sarer Däpfung fäll die pliude ohne Maiu onoon über gesaen requenzbereih ab Resonanzaiu durh hohe Däpfung unerdrü

20 Erzwungene Shwingung : Leisungsaufnahe P Durh äußere Kraf wird Energie auf Resonaor überragen - usgleih aller Energieverluse Energieverlus durh Reibung Verlusleisung : P R d d d WR v d v v d d d Bewegung is periodish i der Periode. Energiefluss auh periodish. Idee : Energieüberrag vo Erreger auf Resonaor gleih alle zeilihen Energieverluse durh Reibung aus! Pro Periode zu- und abgeführe Energie idenish bei saionären Verhälnissen! d v P d v sin d Einsezen von : os Zeilihe Mielung über eine Periode : P s P d s s sin sin d Mielwer von sin is /. Soi liefer Inegral lähe uner Kurve zwishen und den Wer / d Zeilihe Mielung über eine oninuierlihe Größe bedeue ufsuaion Inegraion der Were über einen Zeirau geeil durh diesen Zeirau... sin /

21 Erzwungene Shwingung : Leisungsaufnahe P Mielung über Periode : P P s sin / d Lorenz-Kurve P Einsezen der union P a für Maiale Leisungsüberragung bei unabhängig von Däpfung! Grund : ür diese requenz ha an Phasenvershiebung π / zwishen Kraf und uslenung und Geshwindigei v in Phase Maialer Leisungsüberrag P v Breie der Resonanz : WHM P a P a / WHM ull Widh a Half Maiu lähe uner Kurve Oszillaorensäre

22 Erzwungene Shwingung : Einshwingvorgang Beobahung : Saionäre Verhälnisse herrshen nih sofor, sondern ers nah einiger Zei Nah "Einshalen" der äußeren Kraf variier pliude sar Erreih ers nah Einshwing-Zei ihren onsanen endgüligen Wer 3 Ers nah der Einshwingzei doinier die äußere Kraf das Sseverhalen Saionäre sabile Verhälnisse sellen sih ers nah Einshwingvorgang ein Saionäre Lösung is "nur die halbe Wahrhei" dh : nih allgeein genug! Beshreibung inl. Einshwingvorgang heorie der DGL: os Gil ea ers nah Einshwingzei! llgeeine Lösung der inhoogenen DGL llgeeine Lösung der hoogenen DGL Spezielle Lösung der inhoogenen DGL d d d d s Zugehörige Hoogene DGL Lösungen linearer DGL bilden einen linearen Veorrau Gedäpfe Shwingung d d d d os Inhoogene DGL Erzwungene Shwingung Lösungen sind beann und zur allgeeinen Gesalösung der ILDGL obinierbar!!

23 Einshwingvorgang 4 llgeeine Lösung der inhoogenen DGL llgeeine Lösung der hoogenen DGL Spezielle Lösung der inhoogenen DGL Zusaenbau der allgeeinen Lösung Bsp: all leiner Däpfung δ os sin os e Je nah Däpfung uss Shwingfall, Kriehfall oder aperiodisher Grenzfall eingesez werden! Bedingungen für und nah Einshwingvorgang unveränder Konsanen, folgen aus Randbedingungen für s : os Beshreib Eigenshwingverhalen, fäll i eponeniell ab, "vershwinde" rash os [ v δ os sin ] v δ sin Nah einiger Zei bleib nur saionäre Lösung "übrig" Äußere Kraf ha Konrolle übernoen aran Unershiedlihe Gesalösungen und Konsanenwere je nah Däpfung bzw je nah Eigenverhalen i Shwingfall, Kriehfall oder aperiodishe Grenzfall! Randbedingungen gehen in Einshwingvorgang ein!

24 Einshwingvorgang e δ os sin Eigenshwingung 5 os Überlagerung der Eigenshwingung und der saionären erzwungenen Shwingung Äußere Erregung nfänglihe Eigenshwingungen serben i Zei aus Einshwingvorgang Danah verbleib die regeläßige erzwungene Shwingung i onsaner requenz und pliude saionäre Verhälnisse Äußere Kraf onrollier das Sse nun vollsändig Shwingvorgang

25 6 Shwingungen: Charaerisishe Kreisfrequenzen Eigenfrequenz des ungedäpfen Oszillaors Eigenfrequenz des gedäpfen Oszillaors Resonanzfrequenz requenz aialer pliude requenz der äußeren erregenden Kraf R R > > δ δ 4 Behandlung der Shwingungen führe auf pishe Kreisfrequenzen : δ Unershiedlihe Größe uso ausgepräger je särer die Däpfung des Sses is

26 Shwingungen : Übersih 7

27 8 Mehanishe und elerishe Shwingungen naloge Verhälnisse und völlige aheaishe Äquivalenz Shwingreiseleene : L, C, R und äußere Wehselspannungsquelle U U os Sa Masse wird Ladung beweg - Kirhhoffshe Mashenregel : os d d d d os os U Q C d dq R d Q d L U Q C I R d di L L R LC Q C E E I L E v E I d dq v d d Q U C R L ele p ag / δ δ uh alle anderen usdrüe der Shwingungsheorie lassen sih ensprehend übersezen! L R C U

28 Überlagerung haronisher Shwingungen Naur: ufreen vieler gleihzeiiger Shwingungen, die sih überlagern addieren Bsp: Geräushe, Sprahe, Musi Signalerzeugung durh ddiion von Shwingungen ourier-snhese 3 Berahung einfahser all : Überlagerung von Shwingungen. Parallele Shwingungen. Orhogonale Shwingungen. Parallele Shwingungen os os os os Wihigser all : Haronishe Shwingungen Einzelshwingungen addieren sih zur Gesashwingung Superposiionsprinzip Winel is die relaive Phasenvershiebung zwishen den beiden Shwingungen Drei älle : a Parallele Shwingung i b Parallel Shwingung i Parallele Shwingung i und Berehnung der resulierenden Suen-Shwingung iels ddiionsheoreen für rigonoerishe unionen oder opleen e-unionen

29 Überlagerung haronisher Shwingungen Superposiionsprinzip : Diree ddiion der oenanen uslenungen 33 Hilfsiel zur aheaishen Berehnung der uslenungssue: Zeigerdiagra eilshwingungen in Phase bbildung der Shwingung auf Kreisbewegung Projeion der uslenungen auf Kreis Darsellung der uslenung durh ulaufenden Zeiger i Kreis ir r pliude ddiion zweier Shwingungen ensprih veorielle ddiion zweier Zeiger Phasenvershiebung zwishen den eilshwingungen

30 Überlagerung haronisher Shwingungen 34 Parallele Shwingungen i : Zeilih onsane Phasendifferenz Sue is wieder haronishe Shwingung i gleiher requenz os os os β an β Zeigerdiagra : sin os os Darsellung der Shwingung durh ulaufenden Veor Länge des Veors pliude Überlagerung Veorsue Sonderfälle : Konsruive / Desruive Überlagerung nπ n π os os ufreen Inerferenzer : Zusäzlih zu einfaher ddiion der Einzelere. pish für ddiion phasenbehafeer Größen Eleganer : β Verwendung opleer e- unionen Übung..

31 35 Überlagerung haronisher Shwingungen os δ δ Parallele Shwingungen i : Nihonsane Phasendifferenz Sue is eine haronishe Shwingung ehr nharonish! Zeilihe Modulaion der pliude zwishen Ereweren: Ünershaubar Periodish nur bei einfahe raionale requenzverhälnis :,n N und sind leine Zahlen [ ], n n n n π π Kleines geeinsaes Vielfahes Übershaubar urze Periode eisier! Resulierende Phasendifferenz is nih onsan sondern durhläuf zlish alle öglihen Were zwishen und π. Soi is auh die pliude nih onsan

32 Überlagerung haronisher Shwingungen Parallele Shwingungen i und : Shwingung i periodish veränderliher pliude reine Shwebung pliude variier langsa zwishen Null und Maiu 36 Bsp : s, s, 4s,... Beide Shwingungen i volle usshlag in die gleihe Rihung ergib Versärung Bsp : 6s, 8s, 3s,... Beide Shwingungen i volle usshlag in engegengeseze Rihung ergib uslöshung Einhüllende Maheaishe Darsellung ddiionsheore nwendung auf ddiion der beiden Shwingungen os os os os Langsae Modulaion der pliude pliude der reinen Shwebung is doppel so groß wie die der usgangsshwingungen

33 Überlagerung haronisher Shwingungen : Shwebung os os os os 37 Langsae Einhüllende: Modulaion i geringer requenz Is Shwingung überlager Bewir Modulaion der pliude zwishen und Shnelle Shwingung : Suen-Shwingung i ilerer requenz / Wird durh Einhüllende odulier Shwebungsfrequenz: s π 4 <<, s Shwebungsperiode is uso größer länger, je diher die requenzen und beieinanderliegen. Die Modulaion erfolg i der deulih leineren requenz - /. Der Modulaionser sell die Einhüllende der Shwingung dar und odulier die pliude der Shwingung. Der er variier bei der reinen Shwebung langsa zwishen und und is für die Shwebungsersheinung veranworlih.

34 Unreine Shwebung 38 Überlagerung von Shwingungen i unershiedlihen pliuden : und Shwingungen önnen sih nih ehr völlig auslöshen! Resulierende pliude fäll bei Modulaion nih ehr auf Null ab Variier langsa zwishen : [, ] Moduliere pliude variier langsa zwishen eine inialen und aialen Wer Differenz bzw. Sue der pliuden der beiden Einzelshwingungen Beobahung : Durh Überlagerung zahlreiher Shwingungen unershiedliher requenz önnen auh sehr unregeläßige Verläufe dargesell werden : inde sseaishe nwendung i Bereih der ourier-nalse und -Snhese...

35 nwendung : ourier- Reihen Behandlung in Vorlesung Signale & Ssee 39 Überlagerung haronisher Shwingungen vershiedener requenzen : ourier-heore Jeder periodishe Verlauf darsellbar als Sue haronisher Shwingungen requenzen n n Ganzzahlige Vielfahe Obershwingungen der Grundfrequenz Relaives Gewih der Einzelshwingungen pliuden Enwilungsoeffizienen n os n B sin n n n Zerlegung ourier-nalse ufragung n B n gegen n ourier-speru Signaldarsellung ourier-snhese f os os3 os5... π 3 5

36 4 Überlagerung haronisher Shwingungen Orhogonale Shwingungen, Zwei älle :... Shwingungen in - und -Rihungen : und I allgeeinen all lieg Phasenvershiebung vor os os os Mi ddiionsheoreen folg für : sin os sin os sin os sin sin os os Gleihung einer Ellipse : Senrehe Überlagerung führ zu Bewegung auf Ellipse

37 4 Orhogonale Shwingungen. Spezialfälle : a Phasenvershiebung Gleiha sin os Geradengleihung : Masse shwing auf Geraden Linear polarisiere Shwingung b Phasenvershiebung π / Gegena sin os Ellipsengleihung : Masse shwing auf Ellipse i Haupahsen parallel zu - und -hse Ellipish polarisiere Shwingung Die Spezialfälle sind auh bei der Beshreibung der Polarisaion von Wellen ineressan.

38 4 Orhogonale Shwingungen Geradengleihung : Masse shwing auf Geraden i negaiver Seigung Linear polarisiere Shwingung Phasenvershiebung π / Gegena und sin os Kreisgleihung : Masse shwing auf Kreis Zirular polarisiere Shwingung d Phasenvershiebung π "Negaiver" Gleiha sin os

39 Orhogonale Shwingungen. Spezialfälle : a Einfahes Raionales requenzverhälnis / / n Geshlossene Bahnen in der -Ebene Lissajous-iguren Periode der Bahn: n n Nah : ganze Shwingungen in -Rihung n ganze Shwingungen in -Rihung 43 b "Irraionales" requenzverhälnis / / n Nih durh leine ganze Zahlen ausdrübar Keine geshlossenen Bahnen in -Ebene Bahnurven füllen i Lauf der Zei erreihbaren eil der -Ebene ier diher aus Lissajous-iguren für vershiedene requenz- Verhälnisse / :, :3, :4 und für vershiedene Phasenvershiebungen zwishen den beiden orhogonalen Shwingungen..