Die Angabe eines Meßergebnisses ohne gleichzeitige Angabe der Meßunsicherheit ist wertlos!

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1 Meßscherhete H.Schmdt 011 Im Physkpraktkm geht es m allgemee darm, physkalsche Größe z messe. Mt de Messge wrd ma ach mest (zmdest przpell) de gägge Theore bestätge köe. Aber rgedwa kommt ma a de Pkt, a dem ma see Ergebsse mt de Ergebsse aderer Physker vergleche mß (z.b. mt Tabellewerte). Was macht ma da, we das Meßergebs cht mt dem Tabellewert überestmmt? Sagt ma: Na ja, ch habe de Theore doch zmdest bestätgt, d so gea kommt es doch hoffetlch cht daraf a! Aber wr köe alle berhge: Der Asweg, der das Praktkm z.b. vom Schlterrcht terschedet d der es möglch macht, vo wsseschaftlchem Arbete z spreche, st de Meßscherhet! Ud gerade deswege wrd se ach m Grdpraktkm e cht mmer belebter aber städger Begleter se. We der Name scho sagt, gbt de Meßscherhet a, we scher es st, daß der wahre Wert der Meßgröße getroffe wrde. Deshalb glt: De Agabe ees Meßergebsses ohe glechzetge Agabe der Meßscherhet st wertlos! Blebt r och de Frage, we ma svoll dese Meßscherhet bestmmt. 1. Messg physkalscher Größe 1.1. Agabe physkalscher Größe De physkalsche Größe wrd cht ohe Grd z.b. als l =,4cm agegebe. Das Przp st, daß ma de Größe (her de Läge) als Prodkt hres Zahlewertes d hrer Ehet versteht, so daß ma ach mforme ka: l/cm =, Meßwerte d dere Uscherhete Jede Messg eer physkalsche Größe lefert ee Meßwert deser Größe. Ud jede deser Messge st mt Uscherhete behaftet, so daß das Ergebs postv oder ach egatv vom wahre Wert abwecht. Dese Abwechge etstehe as terschedlche Grüde: Grobe Fehler, z.b. be der Drchführg der Messg oder we der Verschsafba geeget st, gelte als vermedbar d werde daher cht weter behadelt. Als systematsche Meßscherhete bezechet ma Abwechge, de be eer Wederholg der Messg ter gleche Bedgge verädert blebe oder de sch be kotrollerter Veräderg der Bedgge af etsprechede Wese äder. Systematsche Abwechge ergebe sch zwagsläfg, wel z.b. de Meßgeräte, de verwedet werde, r mt edlcher Geagket arbete. Systematsche Meßscherhete erket ma oft, we das Meßergebs esetg vom wahre Wert abwecht. 1

2 H.Schmdt 011 Da sch atürlch ach de Hersteller vo Meßgeräte m de Meßgeagket Gedake mache, gebe se Garatefehlergreze oder Geagketsklasse a, de de mamale systematsche Abwechge behalte. Machmal sd Korrektrtabelle vorhade, de für bestmmte Messmstäde eplzte Berchtgge agebe. Da tt ma scher gt dara, dese ach mt dem Meßergebs z verreche (z.b. temperatrabhägge Korrektrfaktore). Ncht erkebare systematsche Fehler mß ma abschätze, z.b. über de Abstad beachbarter Skalestrche be Aaloggeräte. Zfällge oder statstsche Meßscherhete erhält ma eersets, we de Ablesegeagket ees Meßgerätes begrezt st (z.b. be Aaloggeräte), d aderersets, we de Meßgröße tatsächlch schwakt. (E aszmesseder Zylder köte a verschedee Stelle terschedlche Drchmesser habe.) Bedes führt z eer dem Zfall terworfee Streg der Meßergebsse. Der systematsche d der zfällge Atel der Meßscherhet eer Meßgröße werde schleßlch addtv zsammegefasst: X = s,x + z,x. Umgag mt systematsche Meßscherhete.1. Aaloggeräte Bespel 1: De Geräteklasse ees elektrsche Meßstrmetes mt Aalogazege (Zegerstrmet) se 1,5. Da beträgt der systematsche Fehler mamal 1,5% des Edwertes der zr Messg verwedete Skala des Meßgerätes (Meßberechsedwert). Deshalb mß m Meßprotokoll grdsätzlch der Meßberechsedwert der betzte Skala otert werde, we ma mt aalog azegede elektrsche Meßgeräte arbetet. Z Bespel 1: agezegte Spag: U = 13,6V gewählter Meßberech: 0-0V 1,5% des Meßberechsedwertes (0V) sd 0,3V s,u = 0,3V Vorscht: E ezeles Meßgerät ka terschedlche Geräteklasse habe (z.b. für Glech- d Wechselstrombereche).

3 H.Schmdt Dgtalgeräte Bespel : De Geagket ees elektrsche Meßgerätes mt Dgtalazege (Zfferstrmet) se für de gewählte Meßberech mt (,0% + 1dgt) agegebe. De Geagket gbt be Dgtalgeräte glech de mamale Meßscherhet a. Im Bespel beträgt de systematsche Meßscherhet höchstes % des agezegte Meßwertes erhöht m de letzte Dgtalstelle. Zm Bespel : agezegte Spag: U = 13,58V % davo sd 0,716V 1dgt (letzte Stelle) st her 0,01V De Smme deser bede Atele der systematsche Meßscherhet st 0,816V d wrd ach der Rdgsregel (s..) af ee zählede Stelle afgerdet: s,u = 0,3V Vorscht: Ach e Dgtalgerät hat mest terschedlche Geagkete de ezele Meßbereche. 3. Rdgsregel für de Meßscherhete De agegebee Meßscherhet sollte erkee lasse, dass de Ergebsgeagket drch se begrezt st. Daher latet de Regel: Zerst wrd de Meßscherhet af ee zählede Stelle ( 0) afgerdet. Asahme: We de erste zählede Stelle = 1 st, ka de Meßscherhet af zwe zählede Stelle afgerdet werde (z.b. 0,14 0, oder 0,13). Daach wrd de Meßgröße af de gleche Stellezahl der Meßscherhet af- oder abgerdet. 4. Umgag mt zfällge Meßscherhete Da de Meßergebsse zfällg m de wahre Wert gestret sd (s.o.), st es wchtg, ee Meßgröße mehrmals z bestmme d mt Hlfe der Abwechge der Ezelmessge vom Mttelwert das Ergebs möglchst eakt azgebe. Be der Bertelg der Ezelmessge hat ma es am efachste, we der wahre Wert der Meßgröße bekat st, de da ka ma de tatsächlche Abwechg jeder ezele Messg vo desem Wert agebe: v w, = - w 3

4 H.Schmdt 011 Normalerwese ket ma aber de wahre Wert cht. Da ka ma de Mttelwert der Ezelmessge bereche d de schebare Abwechg der Ezelmessge agebe: v = - Bespel 3: Höhe d Drchmesser ees Zylders sd jewels 5mal mt Hlfe des Messschebers z mes- se. De Mttelwerte, Stadardabwechge d Vertraesabwechge sd z bereche. - z messede Größe: Drchmesser d/mm - Azahl der Messge: = 5 (De Nr. der Ezelmessge läft vo = 1 bs 5) d/mm 1 1,4 1,3 3 1,4 4 1,5 5 1, Berechg des Mttelwertes (arthmetsches Mttel) = 1 Der Mttelwert sagt aber chts über de Schwakge der Meßgröße as. 4.. Berechg der Stadardabwechg der Ezelmessge De Stadardabwechg oder Streg berückschtgt de mttlere qadratsche Abwechg der Ezelmessge vom Mttelwert. 1-1 = =1 ( - ) INFO: Theoretsche Überlegge zr Stadardabwechg statstscher Meßscherhete Drch statstsche Meßscherhete etstehe (s.o.) Meßwerte, de m de wahre Wert der Größe (häfg vom Mttelwert vertrete) Azfällg@ gestret sd. Größere Abwechge sd dabe wahrschelcher als klee. Besoders gt seht ma das be Kerzerfälle, we vele Ezelmessge vorgeomme werde. 4

5 H.Schmdt 011 So gaz zfällg gescheht das aber cht, de de Meßwerte vertele sch ach eer bestmmte Wahrschelchketsfkto, der sogeate Gaß- oder Normalvertelg, de asseht we ee Glockekrve. w() 1 ( w() = e ) Dabe bezechet w() de Wahrschelchket mt der der Meßwert aftrtt. Da physkalsche Größe m allgemee jede belebge Zwschewert aehme köe, terschedet sch de mathematsche Betrachtg der Wahrschelchket deser Eregsse e weg vo der dskreter Eregsse. E Bespel für dskrete Eregsse wäre das Würfel, de r de dskrete Eregsse AEs@, AZwe@, ADre@, AVer@, AFüf@ köe aftrete. Daß ees deser Eregsse etrtt st scher, möglch st z.b. das Würfel eer 1,3. As der Schle wrd sch wohl och jeder dara erer, daß de Wahrschelchket, mt der e bestmmtes Eregs etrtt (we z.b. für das Würfel eer ASechs@) Azahlder güstge Fälle w := Azahlder möglche Fälle Für das Würfel eer ASechs@ st de Wahrschelchket also w = 1/6 st. och zr INFO: Aßerdem glt: E scheres Eregs hat w = 1, E möglches Eregs hat w = 0. w( ) =1 Nebebedgg: 5

6 H.Schmdt 011 Bldet ma de Smme aller aftretede Eregsse mltplzert mt hre jewelge Wahrschelchkete, erhält ma de Erwartgswert: (Bem Würfel wäre das: < >:= w( ) < > = = 3, ) De Stadardabwechg defert sch her als: (Also bem Würfel: := ( - < > ) w( ) σ = (1-3,5) 6 ( - 3,5) (6-3,5) 6 =1,71) Überträgt ma dese Überlegge af koterlche Zfallsgröße - we etwa de z messede physkalsche Größe -, so st das mathematsch chts aderes als der Übergag vo Smme z Itegrale. Be koterlche Zfallsgröße sprcht ma ach häfg vo der Wahrschelchketsdchte. Aalog z de dskrete Eregsse glt de Nebebedgg. Der Erwartgswert der Wahrschelchketsdchte etsprcht dem Mttelwert: := w() d. De (mttlere) Streg (astelle der Stadardabwechg be dskrete Zfallsgröße) st gegebe drch: := (- ) w() d. Zrück zr Gaß-Vertelg: Be ormalvertelte Größe (das sd de meste) hat ee Ezelmessg der Größe de Wahrschelchket w()d, ee Wert as dem Itervall (, + d) azehme. Dabe st Der zgehörge Graph st de Gaß-Glocke. och zr INFO: w() d =1 1 ( w() = e De Fläche ter der Gaßglocke zwsche = - d = + st (drch de Faktor 1/ () ) glech 1, we es de Nebebedgg verlagt. Das bedetet ebe, dass de Wahrschelchket für rgedee Wert azehme 1 - also scher - st. Häfg wll ma gea wsse, we wahrschelch es st, dass e gemesseer Wert m Itervall δ m de wahre Wert (her vertrete drch de Mttelwert) aztreffe st. Dese. ). 6

7 H.Schmdt 011 Wahrschelchket - statstsche Scherhet P für de Vertraesgreze δ geat - st da glech der Fläche ter der Fkto m agegebee Itervall (δ, δ). w() 68,3% 95,4% statstsche Scherhet P Stadardtervall Awedge 68,3% ζ Physk, Vermessgstechk 95,0% 1,96 ζ Idstre, Grdpraktkm 95,4% ζ 99,7% 3 ζ Bologe E Meßergebs, das r mt zfällge Meßscherhete behaftet st, wrd m Physkalsche Grdpraktkm mt eer statstsche Scherhet vo P = 95,0% agegebe: = 1,96 ζ 7

8 H.Schmdt Berechg der Vertraesabwechg des Mttelwertes (Vertraestervall) Leder st der ach (4.1.) berechete Mttelwert r selte detsch mt dem wahre Wert der Meßgröße. Deshalb gbt ma e Itervall zm Mttelwert a, dem der wahre Wert der Meßgröße mt der gewählte statstsche Scherhet P z erwarte st: t mt ζ : Stadardabwechg; t: Stdetfaktor Der Stdetfaktor t st dabe vo der Azahl der Messge abhägg d für P = 95,0% as der folgede Tabelle abzlese: t 1,7 3 4,3 5,8 10,3 100,0 1,96 INFO: Nähergsformel für t ( > 3):, t 1, ep 1,64-4, ,4911-0,048 I mache Bücher wrd de Stadardabwechg des Mttelwertes ach mt agegebe. = 8

9 H.Schmdt Agabe der Meßscherhet De gesamte Meßscherhet eer Größe st de Smme des systematsche d des zfällge Atels der Meßscherhet: X = s,x + z,x, wobe z,x als ζ oder ε agegebe wrd. Zm Bespel 1: De systematsche Uscherhet der Spagsmessg war s,u = 0,3V. Wr ehme a, dass de Vertraesabwechg z U = 0,1 V berechet wrde. Deser Wert st de zfällge (statstsche) Uscherhet z,u. Damt erhält ma für de gesamte Meßscherhet der Spag U = s,u + z,u = 0,4V d das Gesamtergebs wäre azgebe mt U = (13,6 0,4)V. Bespel 4: Be eer Stopphr st de systematsche Meßscherhet oft m Verglech mt der vom Epermetator abhägge Reaktoszet als zfällge Meßscherhet sehr kle (etwa s,t = 0,001s d z,t = 0,1s ges,t = 0,101s af 0,s z rde wäre cht svoll). I solche Fälle strecht ma de sehr klee Uscherhet efach ( ges,t = 0,1s). 6. Fortpflazg vo Meßscherhete Im Praktkm werde häfg drekte Messge drchgeführt, d.h. daß ma zwe oder mehr Größe bestmmt, m daras ee wetere z bereche. Im Folgede wrd erlätert, we de Meßscherhet der errechete Größe ermttelt wrd. 9

10 H.Schmdt Das Leare Fehlerfortpflazgsgesetz k y y y y( =... 1,..., k ) 1 1 We de z berechede Größe y vo k verschedee Größe ( läft vo 1 bs k) abhägt, ergbt sch y (de Uscherhet vo y) als De beötgte partelle Abletge der Formel für y müsse also bestmmt, mt de etsprechede Meßscherhete mltplzert d da de Beträge afsmmert werde. Efacher hat ma es da, we de Formel für y ee Soderfall erfüllt: b y a 1... Her ka ma de relatve Meßscherhet vo y sehr lecht bestmme, ämlch drch 1 y = a + b y Wll ma de Absoltbetrag der Meßscherhet, mß ma also r och mt y mltplzere. 6.. Das (Qadratsche) Fehlerfortpflazgsgesetz vo Gaß Es kommt äßerst selte mal vor, daß alle der Rechg vorkommede Größe r mt statstsche Meßscherhete belastet sd. Ma erhält da ee mldere Schätzg der z berechede Uscherhet, we das Fehlerfortpflazgsgesetz vo Gaß agewedet wrd: y = k =1 y Ach her gbt es de Soderfall: y a b 1 =... Mt der qadratsche Formel glt dafür: y k a =1 y 10

11 H.Schmdt 011 Bespel 5: Zr Bestmmg ees elektrsche Wderstades wrde Stromstärke d Spag gemesse. Für bede Meßgröße wrde de Meßscherhete (als Smme vo systematschem d zfällgem Atel) ermttelt: U = (3,4 0,1)V I = (4 )ma Zächst berechet ma de Wderstad ach R = U / I z R = 80,95Ω. () De Meßscherhet wrd mt R = U 1 I -1 ach R = ( U /U + I /I) R berec et: R = 6,Ω 7Ω Mt der Rdgsregel (3.)folgt: R = (81 7)Ω () De Meßscherhet wrd drch partelle Dfferetato ach de Größe U d I bestmmt: R/U = 1 / I R/I = U / I5 De Berechg lefert da also: R = 1/ I U + U / I5 I = 6,Ω 7Ω Ud damt weder: R = (81 7)Ω Zm Bespel 3: As Höhe d Drchmesser des Zylders soll se Volme berechet werde. Drchmesser d Höhe sd mt Meßscherhete behaftet. We ermttelt ma de Meßscherhet des Volmes? V V V = d + h d h mt V = d h 4 Blde der partelle Abletge: V/h wrd gebldet, dem ma π/4 d d5 als kostat betrachtet d V ach der Varable h abletet: V = d 1 h 4 V/h bldet ma, we ma alle Varable aßer d kostat hält (also π/4 d h): V = h d = h d d 4 11

12 H.Schmdt 011 Wetere Bespele für das Blde parteller Abletge: h = g t5 g = h / t5 lefert: g g = ; = h(-) t h t t -3-4h = 3 t T = l/g g = 4 l / lefert: T g 4 = l T ; g = 4 T l(-) T -3 8 l = - 3 T 1

13 H.Schmdt 011 Ahag (De wchtgste Formel af ee Blck) (4.1.) Mttelwert bzw. arthmetsches Mttel: = =1 (4..) Stadardabwechg bzw. Streg 1 ( ) 1 1 (4.3.) Vertraesabwechg des Mttelwertes: t = mt t für ee statstsche Scherhet vo 95%: 1,7 3 4,3 5,8 10,3 100,0 1,96 t (6.1.) Leares Fehlerfortpflazgsgesetz: y = k =1 y bzw. für Potezprodkte y = 1 a b... : y = a + b y

14 Ihalt Meßscherhete Messg physkalscher Größe.-1- Agabe physkalscher Größe Messwerte d dere Uscherhete Grobe Fehler -1- Systematsche Meßscherhete..-1- Zfällge oder statstsche Meßscherhete --. Umgag mt systemsche Meßscherhete Aaloggeräte --.. Dgtalgeräte Rdgsregel für de Meßscherhete Umgag mt zfällge Meßscherhete Berechg des Mttelwertes (arthmetsches Mttel) Berechg der Stadardabwechg der Ezelmessge..-4- Ifo: Theoretsche Überlegge zr Stadardabwechg Berechg der Vertraesabwechg des Mttelwertes Agabe der Meßscherhet Fortpflazg vo Meßscherhete Das Leare Fortpflazgsgesetz Das (Qadratsche) Fortpflazgsgesetz vo Gaß Ahag (De wchtgste Formel af ee Blck) -13- Ihalt