Statistik I für WInf und WI Prof. Dr. Wilhelm Stannat

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1 29. Jauar Statistik I für WIf ud WI Prof. Dr. Wilhelm Staat Ihalt: I Deskriptive Statistik 1. Grudbegriffe 2. Auswertug eidimesioaler Datesätze 3. Auswertug zwei- ud mehrdimesioaler Messreihe II Wahrscheilichkeitstheorie 1. Zufallsexperimete ud Wahrscheilichkeitsräume 2. Zufallsvariable ud Verteiluge 3. Erwartugswert ud Variaz 4. Stetige Verteiluge 5. Grezwertsätze III Iduktive Statistik 1. Schätze 2. Teste Das vorliegede Skript ist eie Zusammefassug der Vorlesug Statistik I für WIf ud WI, die im Witersemester 2007/08 a der TU Darmstadt gehalte wurde. Die Lektüre des Skriptes ist kei gleichwertiger Ersatz für de Besuch der Vorlesug. Korrekture bitte per a: staat@mathematik.tu-darmstadt.de

2 29. Jauar I. Deskriptive Statistik 1. Grudbegriffe Die deskriptive oder auch beschreibede Statistik beschäftigt sich mit der Erhebug ud Aufbereitug vo Date, die im Rahme vo Erhebuge, wie zum Beispiel Volkszähluge ud Umfrage, oder bei Messuge gewoe werde. Erhobe werde Merkmale wie zum Beispiel Alter, Geschlecht, Eikomme, Temperatur oder Druck. Uterschiede werde Merkmale ach qualitative Merkmale, wie Geschlecht, Natioalität oder Beruf, ud quatitative Merkmale, die ma ihrerseits ochmals i diskrete Merkmale, etwa Alter ud Eikomme, ud stetige Merkmale, etwa Temperatur ud Geschwidigkeit uterteilt. Die Merkmalsauspräguge sid die Gesamtheit der mögliche Werte eies Merkmals, also: Beispiele Geschlecht: mälich, weiblich Alter: 0, 1, 2, 3,... Temperatur: die reelle Zahle R oder Teilmege der reelle Zahle Als Merkmalsträger bezeichet ma die für die Erhebug der Date relevate Objekte. Das sid also zum Beispiel bei eier Umfrage die Mege der relevate Persoe. Die Gesamtheit der für eie statistische Erhebug relevate Merkmalsträger heißt Grudgesamtheit. Bei Erhebuge uterscheidet ma zwische eier Vollerhebug, bei der alle Merkmalsträger der Grudgesamtheit erfasst werde (etwa Volkszählug) ud eier Teilerhebug oder Stichprobeerhebug, bei der ur eie zufällig gewoee Teilmege der Grudgesamtheit erfasst wird, wie es bei Umfrage der Fall ist. Merkmalstype, Skalierug, Klassierug Wir habe bereits die Uterscheidug zwische quatitative ud qualitative Merkmale agesproche. Durch Quatifizierug ka ei qualitatives Merkmal i ei quatitatives umgewadelt werde, z.b.: grü = 23 blau = 14 oder Europa = 3 Asie = 1 Skalierug Bei quatitative Merkmale spielt die Skalierug eie wichtige Rolle. Ma uterscheidet folgede Skale: Nomialskala: die zugeordete Zahle diee lediglich zur Uterscheidug der Merkmalsauspräguge Beispiel Steuerklasse I, II,..., V. Ordialskala, Ragskala: die Merkmalsauspräguge werde zueiader i eier Ragfolge i Beziehug gesetzt Beispiel Schadstoffklasse 1, 2, 3, 4.

3 29. Jauar Kardialskala: zusätzlich zur Ragfolge spielt auch och der Abstad zwische zwei Merkmalsauspräguge eie Rolle Beispiele Temperatur, Eikomme. Klassierug Ei stetig verteiltes Merkmal ka durch die Aufteilug der Merkmalsauspräguge i Teilitervalle (Klasse) i ei diskretes Merkmal überführt werde. Beispiel Körpergröße i cm Klasse < 160 cm cm cm cm cm 200 cm Bei der Erhebug statistischer Date uterscheidet ma zwische Befragug (z. B. Umfrage, Volkszählug) Beobachtug (z. B. Verkehrszählug, Messug,...) Experimet (Messug im physikalische Experimet). Bei der Teilerhebug statistischer Date wird die Stichprobeauswahl etscheided, d. h. vo welche Merkmalsträger werde die Date erhobe. Es gibt hierzu, ebe willkürlicher Auswahl, Stichprobetechike. Beispiel Quoteauswahl Bei der Auswahl achtet ma darauf, dass bestimmte Merkmalsauspräguge i der Teilgesamtheit dieselbe relative Häufigkeit besitze wie i der Grudgesamtheit. Ma spricht da vo eier "repräsetative Auswahl, im Zusammehag mit Umfrage etwa vo eier repräsetative Umfrage.

4 29. Jauar Auswertug eidimesioaler Datesätze Die Gesamtheit der Date aus der statistische Erhebug bezeichet ma als Urliste. Wird ur ei Merkmal erhobe, so ka ma die erhobee Merkmalswerte als Folge aufschreibe: x 1, x 2, x 3,..., x Auf diese Weise erhält ma eie Stichprobe der Läge. Alterativ spricht ma auch vo eier Messreihe, sowie statt vo Merkmalswerte auch vo Messwerte oder Beobachtuge. Beispiel Jahreshöchsttemperature (i C) i Darmstadt i de Jahre Absolute ud relative Häufigkeite Es seie a 1, a 2,..., a s die mögliche Merkmalsauspräguge. Die Azahl der Merkmalswerte x 1,... x, die mit a j übereistimme, heißt absolute Häufigkeit vo a j ud wird mit h(a j ) bezeichet (j = 1,..., s). Der Ateil f(a j ) := h(a j) (j = 1,..., s) des Merkmalswertes a j a der Gesamtzahl der erhobee Merkmalswerte heißt relative Häufigkeit. A de relative Häufigkeite ka ma isbesodere sofort die Prozetateile ablese. Offebar gilt: s h(a j ) = j=1 ud s f(a j ) = 1. j=1 Graphische Darstelluge der Häufigkeitsverteilug Die gägige graphische Darstelluge vo Häufigkeitsverteiluge sid Tabelle Stabdiagramme ud Histogramme Kreisdiagramme. Beispiel Stimmeverteilug bei der Budestagswahle 2005 Das erhobee Merkmal ist i diesem Falle die mit der Zweitstimme gewählte Partei. Eie Beobachtugseiheit ist ei Stimmzettel. Die Gesamtheit der Merkmalswerte sid die zur Wahl stehede Parteie, also SPD, CDU, CSU, usw. Um die Darstellug zu vereifache, sid die weiger häufig gewählte Parteie i der Klasse Sostige zusammegefasst. Die Azahl der Merkmalswerte ist gleich der Azahl der gültige Zweitstimme, i diesem Falle =

5 29. Jauar Häufigkeitstabelle I der Häufigkeitstabelle werde die ermittelte absolute ud/oder relative Häufigkeite tabellarisch erfasst. Partei Zweitstimme Ateil i Prozet SPD CDU CSU Grüe FDP Die Like Sostige Stabdiagramm Kreisdiagramm Bei stetige oder quasistetige Merkmale ist die Aufstellug eier Häufigkeitstabelle oder eies Stabdiagramms silos, de die meiste Werte sid ur eifach oder gar icht besetzt. Beispiel Jährliche Milchleistug vo Kühe (i 100 Liter) (=100) Ei Ausweg liefert hier die Klassierug. Bei der Wahl der Azahl der Klasse ist allerdigs zu beachte, dass bei zu großer Klasseazahl viele Klasse ubesetzt bleibe,

6 29. Jauar bei zu geriger Klasseazahl Iformatio verlore geht. Als Faustregel gilt, dass die Azahl der Klasse i etwa etspreche sollte, wobei die Azahl der Beobachtuge ist. I obigem Beispiel erhalte wir bei der Wahl vo 8 Klasse der Form [a 1, a 2 [, [a 2, a 3 [, [a 3, a 4 [, [a 4, a 5 [, [a 5, a 6 [, [a 6, a 7 [, [a 7, a 8 [, [a 8, a 9 [ mit a 1 = 24, a 2 = 27, a 3 = 29.6, a = 32, a 5 = 34.3, a 6 = 36.5, a 7 = 38.4, a 8 = 40.5, a 9 = 45.5 die folgede Häufigkeitstabelle: Milchleistug [24, 27[ [27, 29.6[ [29.6, 32[ [32, 34.3[ Azahl der Milchkühe Milchleistug [34.3, 36.5[ [36.5, 38.4[ [38.4, 40.5[ [40.5, 45.5[ Azahl der Milchkühe Im folgede bezeiche K j die Azahl der Merkmalswerte i der Klasse [a j, a j+1 [. K j heißt Klassehäufigkeit oder auch Besetzugszahl. De zugehörige relative Ateil k j := K j bezeichet ma als relative Klassehäufigkeit. Zur graphische Darstellug klassierter Date eige sich Histogramme. Hierbei wird über jedem der Teilitervalle [a j, a j+1 [ ei Rechteck mit der Fläche k j errichtet. Die Höhe d j des Rechtecks errechet sich also gemäß der folgede Gleichug d j (a j+1 a j ) = k j. Ma beachte, dass bei gleicher Klassebreite icht ur die Fläche, soder auch die Höhe der Rechtecke proportioal zur relative Klassehäufigkeit k j ist. Histogramm zu obigem Beispiel

7 29. Jauar Kumulierte Häufigkeitsverteilug Die Fuktio H(x) := a j x h(a j ) für x R heißt absolute kumulierte Häufigkeitsverteilug. Sie zählt zu gegebeem x R die Azahl der Beobachtugswerte die kleier gleich x sid. Die Fuktio F (x) := 1 H(x) = a j x f(a j ), x R heißt relative kumulierte Häufigkeitsverteilug oder empirische Verteilugsfuktio. Eigeschafte der empirische Verteilugsfuktio F ist eie mooto wachsede Treppefuktio 0 F 1 F besitzt Sprüge a de Merkmalsauspräguge a j Als Beispiel für de typische Verlauf eier empirische Verteilugsfuktio im folgede die Verteilugsfuktio zu de Jahreshöchsttemperature i Darmstadt aus de Jahre Lagemaße Modalwert x Mod Diejeige Auspräguge a j mit der größte Häufigkeit werde als Modalwerte bezeichet. Die Verwedug des Modalwertes zur Beschreibug vo Datesätze sollte auf de Fall uimodaler Verteiluge beschräkt bleibe. Media x Med Der Media oder auch Zetralwert ist derjeige Wert x Med, für de midestes 50 % aller Merkmalswerte kleier gleich x Med ud midestes 50 % aller Merkmalswerte größer gleich x Med sid.

8 29. Jauar Zur Bestimmug des Medias ordet ma die Werte x 1,..., x zuächst der Größe ach a, x (1) x (2)... x () ud erhält auf diese Weise die sogate geordete Urliste. Da defiiert ma x +1 2 x Med = ) falls ugerade ( ) 1 x 2 ( 2 ) + x ( 2 +1) falls gerade (1.1) Arithmetisches Mittel (Duchschittswert) Der bekateste Lageparameter ist das arithmetische Mittel x := 1 x i = s a j f(a j ). j=1 Beispiel Preise für Normal-Bezi a 20 örtliche Takstelle der Größe ach geordet: I diesem Beispiel ist x Mod = 134.9, x Med = , x = Würde eie Takstelle als besodere Werbemaßahme de Bezipreis vo auf seke, so würde dies de Durchschittswert x vo auf seke. Eie Eifluss auf de Media (oder auf de Modalwert) hätte die Sekug dagege icht. Lagemaße, die icht empfidlich auf Extremwerte oder Ausreißer reagiere heiße robust. Der Media ist also ei robustes Lagemaß. Bemerkug (i) Media ud arithmetisches Mittel stimme i.a. icht mit eier der mögliche Merkmalsauspräguge überei. Promietes Beispiel: Durchschittliche Azahl der Kider pro Familie. (ii) Äquivariaz uter liearer Trasformatio Trasformiert ma die Date gemäß eier affi lieare Trasformatio der Form so gilt für das arithmetische Mittel y i = a + bx i, y = a + bx ud ebeso y Mod = a + bx Mod, y Med = a + bx Med.

9 29. Jauar (iii) Optimalitätseigeschafte Das arithmetische Mittel x = 1 x i miimiert die Summe der quadratische Abstäde, d.h. es gilt (x i x) 2 < (x i r) 2 für alle r R, r x. Beweis (x i r) 2 (x i x) 2 = (x i r) 2 (x i x) 2 }{{} 2x i r+r 2 +2x i x x 2 = 2xr + r 2 + 2x 2 x 2 = (r x) 2 > 0 für r x. Auch Media ud Modalwert erfülle etsprechede Optimalitätskriterie. Der Media x Med miimiert die Summe der Abstäde, d.h. es gilt x i x Med < x i r für alle r R, r x Med. Der Modalwert miimiert die Summe 1 {xi r} mit 1 {xi r} = Quatile ud Box-Plots { 1 falls x i r 0 falls x i = r. Lagemaße alleie reiche zur Beschreibug der Date eier Urliste icht aus. Vergleicht ma etwa eie Eikommeserhebug i zwei Läder, so köe die Durchschittseikomme gleich sei, jedoch i eiem Lad größere Eikommesuterschiede bestehe als im adere Lad. Daher beötigt ma zusätzliche Kezahle, um die Lage der Date möglichst effiziet erfasse zu köe. Eie wichtige Methode sid Box-Plots, die mit Hilfe vo Quatile defiiert werde. Defiitio Es sei x (1) x (2)... x () eie geordete Urliste ud p ]0, 1]. Jeder Wert x p mit der Eigeschaft ud heißt p-quatil. Damit folgt 1 ( Azahl der Messwerte x p) p 1 ( Azahl der Messwerte x p) 1 p. x p = x ([p]+1) falls p icht gazzahlig x p [x (p), x (p+1) ] falls p gazahlig. Der Media x Med ist also isbesodere ei 1 2 -Quatil. Spezialfälle x 0.25 = Uteres Quartil Die Distaz d Q = x 0.75 x 0.25 heißt Quartilsabstad. x 0.75 = Oberes Quartil

10 29. Jauar Aufbau eies zugehörige Box-Plots x max x 0.75 x med d Q x 0.25 x mi Modifikatioe Die Läge der Liie (egl. whiskers, Barthaare) ober- bzw. uterhalb der Box köe variiere. Eie gägige Variatio besteht dari, die utere vo ud die obere vo max{x d Q, x mi } bis x 0.25 x 0.75 bis mi{x d Q, x max } zu führe. Messwerte, die daruter bzw. darüber liege, köe gegebeefalls als Ausreißer durch eizele Pukte explizit ketlich gemacht werde. Streumaße Nebe der absolute Lage der Messdate ist auch ihre Streuug vo großer Bedeutug. Die bekateste Maßzahl für die Streuug eier Messreihe ist die empirische Variaz oder auch mittlere quadratische Abweichug: s 2 = 1 (x i x) 2 = s (a j x) 2 f(a j ). (1.2) Sie ist also defiiert als das arithmetische Mittel der quadratische Abstäde der eizele Messwerte zu ihrem Mittelwert. Die Wurzel hieraus s = 1 (x i x) 2 heißt Stadardabweichug. Bemerkug I der iduktive Statistik verwedet ma statt (1.2) die modifizierte Form s 2 = 1 1 j=1 (x i x) 2.

11 29. Jauar Sie heißt Stichprobevariaz ud ist i viele Statistikprogrammpakete voreigestellt. Für große Stichprobeumfag ist der Uterschied zwische de beide Normalisierugsfaktore 1 ud 1 verachlässigbar. 1 1 Die Normierug mit statt mit 1 liegt dari begrüdet, dass die Beziehug 1 x i x = 0 eie der Abweichuge x i x bereits durch die übrige 1 eideutig festlegt. Die Azahl der Freiheitsgrade i der Summe (x i x) 2 beträgt also 1 ud icht. Eigeschafte der empirische Variaz (i) Trasformatiosregel Werde die Date gemäß y i = a + bx i liear trasformiert, so folgt für die empirische Variaz s 2 y = 1 (y 1 y) 2 der trasformierte Date s 2 y = b 2 s 2 x. Beweis s 2 y = 1 (y i y) 2 = b 2 1 }{{} (a+bx i ) (a+bx) (x i x) 2 Isbesodere folgt für die Stadardabweichuge: s y = b s x. (ii) Verschiebugssatz de s 2 = 1 (x i x) 2 = }{{} =x 2 i 2x ix+x 2 s 2 = 1 1 ( x 2 i x 2 i 2 1 ) x 2 x i x + x 2 = 1 x 2 i x 2. (iii) Wir werde später im Zusammehag mit eiem wahrscheilichkeitstheoretische Resultat sehe: Ist das Merkmal i etwa ormalverteilt, so gilt: im Itervall [x s, x + s] liege etwa 68 % der Date [x 2s, x + 2s] liege etwa 95 % der Date [x 3s, x + 3s] liege etwa 99 % der Date. Kozetratiosmaße Als Ausgagspukt betrachte wir folgede aus [2] etommee Statistik zu moatliche Umsätze der Möbelbrache i 1000 Euro i de drei Städte G, M ud V:

12 29. Jauar Eirichtugshäuser G M V I der Stadt G ist der Umsatz uter de 5 Möbelhäuser also ausgegliche, währed i der Stadt M ei Möbelhaus quasi eie Moopolstellug besitzt. Zur Quatifizierug solcher Kozetratioe gibt es Kozetratiosmaße. Zur Diskussio solcher Maße betrachte wir folgede Ausgagspositio: Gegebe sei ei kardialskaliertes Merkmal mit ichtegative Merkmalsauspräguge. Weiterhi sei x 1 x 2... x eie bereits geordete Stichprobe der Läge mit positiver Merkmalssumme x i > 0. Lorezkurve Es sei v k := k x i x i k = 0, 1, 2,..., der Ateil der k kleiste Merkmalsträger a der gesamte Merkmalssumme. Trägt ma die Pukte ( ) k, v k, k = 0, 1, 2,..., i das Eiheitsquadrat ei ud verbidet sie durch eie Streckezug, so erhält ma die zugehörige Lorezkurve. I obigem Beispiel erhält ma: Stadt G Stadt M Stadt V k v k v k v k Ma erhält als zugehörige Lorezkurve Stadt G Stadt M Stadt V

13 29. Jauar Eigeschafte der Lorezkurve Die Lorezkurve ist immer mooto wachsed ud kovex (d.h. ach ute gewölbt). Die Stärke der Wölbug, also ihre Abweichug vo der Wikelhalbierede, ist ei Maß für Kozetratio. Verläuft die Kurve auf der Wikelhalbierede, so liegt ei ausgewogeer Markt vor. Der Gii-Koeffiziet G ist defiiert durch Fläche zwische Diagoale ud Lorezkurve G = Fläche zwische Diagoale ud horizotaler Achse = 2 Fläche zwische Diagoale ud Lorezkurve Für die Berechug des Gii-Koeffiziete gilt die folgede Formel: G = 2 ix i x + 1 i. Beweis I 1 I 2 I 3 I 4 Die Fläche der I i beträgt gerade I i = 1 v i (v i v i 1 ) also summiert sich die Gesamtfläche der I i zu 1 Beachtet ma och, dass v i v i = 1 1 j=1 x j = 1 1 j=1 x j (v i v i 1 ) = 1 1 }{{} =v v 0 =1 ( 1 ) i x k k=1 ( k)x k = 1 1 k=1 v i so erhält ma ach Eisetze i die obere Gleichug ( ( 1 G = j=1 jx )) j j=1 x + 1 = 2 j=1 jx j j 2 j=1 x j k=1 kx k j=1 x j + 1.

14 29. Jauar Auswertug zwei- ud mehrdimesioaler Messreihe Zweidimesioale Messreihe Werde bei eier Erhebug zwei Merkmale X ud Y zugleich erhobe, so besteht die Urliste aus Wertepaare (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x, y ) Typische Fragestelluge im Zusammehag zweier Merkmale sid die ach Abhägigkeite/Uabhägigkeite zwische de beide erhobee Merkmale. Zur Darstellug der zweidimesioale Date gibt es zuächst zwei Möglichkeite: Kotigeztabelle: geeiget für omialskalierte Merkmale Streuugsdiagramm: geeiget für kardialskalierte Merkmale (A) Kotigeztabelle Bei diesem Verfahre werde die absolute Häufigkeite der mögliche Paare vo Auspräguge des Merkmals x ud des Merkmals y tabellarisch aufgelistet: Auspräguge vo Y Auspräguge vo X b 1... b l a 1 h h 1l... a k h k1... h kl Hierbei steht h ij = h(a i, b j ) für die absolute Häufigkeit der Wertepaare (a i, b j ). Beispiel (etomme aus [1]) Zur Utersuchug vo Abhägigkeite zwische Berufsgruppe ud sportlicher Betätigug werde 1000 Persoe befragt. Es etstad dabei folgede Kotigeztabelle: sportl. Bet. ie gelegetlich regelmäßig Arbeiter Agestellter Beamter Ladwirt sost. freier Beruf Die Eiträge i der Kotigeztabelle heiße gemeisame Häufigkeite. Statt der absolute, lasse sich hier atürlich auch die relative Häufigkeite betrachte: f ij = f(a i, b j ) = h ij.

15 29. Jauar Fragt ma ach der absolute Häufigkeit eier Merkmalsausprägug a i (bzw.b j ) so hat ma die gemeisame Häufigkeite h ij der etsprechede Zeile (bzw. der etsprechede Spalte) aufzusummiere: h(a i ) = h i := h(b j ) = h j := Diese Häufigkeite werde auch als Radhäufigkeite bezeichet. I obigem Beispiel sportl. Bet. ie gelegetlich regelmäßig Radhäufigkeite Arbeiter 430 Agesteller 340 Beamter s.o. s.o. s.o. 90 Ladwirt 50 sost. freier Beruf 90 Radhäufigkeite Um u die beide Merkmale auf Abhägigkeit/Uabhägigkeit hi zu utersuche, bildet ma die bedigte relative Häufigkeite l j=1 k h ij h ij f X (a i b j ) := h ij h j der Ausprägug a i gegebe die Ausprägug b j ud f Y (b j a i ) = h ij h i der Ausprägug b j gegebe die Ausprägug a i. Die bedigte relative Häufigkeit f(a i b j ) gibt also die relative Häufigkeit der Ausprägug a i a uter alle Merkmalsträger, die bzgl. des adere Merkmals die Ausprägug b j besitze. Sid die bedigte relative Häufigkeite f X (a 1 b j ), f X (a 2 b j ),..., f X (a k b j ) der Ausprägug a 1,..., a k des erste Merkmals uabhägig vo b j (also gleich für j = 1,..., l), so beeiflusse sich die Merkmale icht ud ma sagt, dass sie uabhägig sid. Dieser Fall tritt geau da ei, we auch die umgekehrte bedigte relative Häufigkeite f Y (b 1 a i ), f Y (b 2 a i ),..., f Y (b l a i ) uabhägig sid vo a i für i = 1,..., k.

16 29. Jauar Im Falle der Uabhägigkeit gilt isbesodere f X (a i b j1 ) = f X (a i b j2 ) ud damit h ij1 h j2 = h ij2 h j1 Summatio über j 1 = 1,..., l ergibt h i h j2 = h ij2 also ud somit - da j 2 beliebig: h ij2 = h i h j2 h ij = h i h j. (1.3) Die gemeisame Häufigkeite sid i diesem Falle über (1.3) also bereits durch die Radhäufigkeite bestimmt. Für die bedigte relative Häufigkeite folgt hieraus isbesodere f X (a i b j ) = h ij h j = h i bzw. f Y (b j a i ) = h ij h i = h j, sie sid also uabhägig vo der Ausprägug des jeweils adere Merkmals. Der Kotigezkoeffiziet Um die Abhägigkeit zwische zwei Merkmale X ud Y quatitativ erfasse zu köe, bildet ma die folgede, als Chi-Quadrat Koeffiziet, bezeichete Größe: χ 2 = k l j=1 (h ij h ij ) 2 h ij. Hierbei ist h ij = h i h j. χ 2 ist geau da 0, we die Merkmale uabhägig sid, also we h ij = h ij gilt. Je kleier also der χ 2 -Koeffiziet, umso stärker spricht dies für die Uabhägigkeit der beide Merkmale X ud Y. Allerdigs hägt die Größeordug des χ 2 -Koeffiziete vo der Dimesio der Kotigeztafel ab. Daher geht ma vom χ 2 -Koeffiziete über zum Kotigezkoeffiziete K = χ 2 + χ 2. Der Kotigezkoeffiziet K immt Werte a zwische 0 ud M 1 K max =, wobei M = mi{k, l}. M

17 29. Jauar Durch Normierug mit K max erhält ma hieraus schließlich de ormierte Kotigezkoeffiziete K = K. K max Beispiel (obiges Beispiel zum Zusammehag zwische Berufstätigkeit ud sportlicher Betätigug) I diesem Falle ist χ 2 = ud wege = 1000 folgt für de Kotigezkoeffiziete K = sowie wege k = 5, l = 3, also M = mi{k, l} = 3, folgt für de ormierte Kotigezkoeffiziete K = (B) Streuugsdiagramm Bei kardialskalierte Merkmale ka ma die Wertepaare (x 1, y 1 ),..., (x, y ) der Urliste als Pukte der Ebee auffasse ud somit ei zugehöriges Streuugsdiagramm erstelle: Beispiel I eiem Krakehaus wurde vo 5 Neugeboree Körperläge X ud Kopfumfag Y (i cm) gemesse. Es ergab sich folgede ach Köperläge geordete Messreihe: (48.6, 35.1), (49.5, 34.1), (50.7, 36.8), (51.1, 35.7), (52.4, 37.4) Zu de jeweilige Messwerte bildet ma zuächst die beide Mittelwerte x = 1 x i, y = 1 y i Im Beispiel x = = 50.46, y = = Liegt bei eiem Wertepaar (x i, y i ) der erste Wert um de Durchschitt x i x, aber der zweite Wert y i deutlich über oder uter dem Durchschitt y, so spricht dies eher

18 29. Jauar für die Ukorreliertheit der beide Merkmale Körperläge X ud Kopfumfag Y. Liege jedoch bei diesem Wertepaar bei beide Merkmale deutliche Abweichuge vom Durchschitt vor, so spricht dies für Korrelatio. Folglich liefert das Produkt (x i x)(y i y) eie brauchbare Asatz für ei Korrelatiosmaß. Aufsummiere über die gesamte Stichprobe ud Normierug ergibt die empirische Kovariaz s XY = 1 (x i x)(y i y). Nach Normierug mit de jeweilige Stadardabweichuge ( ) 1 ( ) s X = (x i x) 2 1 ud s Y = (y i y) 2 erhält ma de empirische Korrelatioskoeffiziete r XY = s XY = (x i x)(y i y) s X s Y (x i x) 2 (y i y). 2 Eigeschafte 1 r XY 1 r XY = 1 (bzw. r XY = +1) geau da we die Wertepaare (x i, y i ) auf eier Gerade mit egativer (bzw. positiver) Steigug liege. r XY = 0 spricht für die Ukorreliertheit der Merkmale X ud Y. I diesem Falle sid die Wertepaare (x i, y i ) regellos verteilt. Die Merkmale X ud Y heiße positiv korreliert, falls r XY > 0 egativ korreliert, falls r XY < 0. r XY = r XY = r XY = eie rechetechisch güstigere Darstellug für de Korrelatioskoeffiziete ist r XY = x iy i xy ( x2 i x2 )( y2 i y2 ).

19 29. Jauar Regressiosrechug Liege die Wertepaare der Beobachtuge (x i, y i ) aäherd auf eier Gerade, so ka ma vo eiem lieare Zusammehag der Form. y = a + bx (1.4) spreche. Die Koeffiziete a ud b wählt ma dabei so, dass sich die zugehörige Gerade der gegebee Puktwolke am beste apasst. Beste Apassug bedeutet dabei, dass die Summe der quadratische Abstäde Q(a, b) = [y i (a + bx i )] 2, zwische Messwert y i ud etsprechedem Pukt a + bx i auf der Gerade y = a + bx, miimal wird. ( Prizip der kleiste Quadrate ach C.F. Gauß). Diejeige Gerade, die sich der Puktwolke dabei am beste apasst, heißt Ausgleichsgerade oder Regressiosgerade. Ihre Koeffiziete sid bestimmt durch ˆb = s XY s 2 X, â = ȳ ˆb x. (1.5) Beispiel I obigem Beispiel ist s XY = 1 ( ) ud damit r XY 0.8 (d. h. Körpergröße ud Kopfumfag sid (erwartugsgemäß) stark positiv korreliert). Die Koeffiziete der zugehörige Regressiosgerade sid gegebe durch ˆb 0.72 ud â 0.51 also hat die Regressiosgerade die Form y = x. Mit Hilfe der Regressiosgerade köe wir u zum Beispiel eie Vorhersagewert ("Progose") für de Kopfumfag eies Neugeboree bei eier Körperläge vo 50 cm bestimme: y(50) = Zu gegebeem Wertepaar (x i, y i ) heißt die Differez u i := y i ŷ i = y i (â + ˆbx i ) zwische beobachtetem Wert y i ud dem durch die Regressiosgerade erklärte etsprechede Wert ŷ i = â + ˆbx i Residuum. De Quotiete R 2 = (ŷ i ȳ) 2 (y i ȳ) 2 = 1 u2 i (ŷ i ȳ) 2 = r2 XY

20 29. Jauar bezeichet ma als Bestimmtheitsmaß. Er ist ei Maß für die Güte der Approximatio der Messwerte y i durch die berechete Ausgleichsgerade ud stimmt mit dem Quadrat des Korrelatioskoeffiziete überei. Zur Optimalität der Regressiosgerade Satz Es sei s 2 X 0 ud â, ˆb wie i (1.5). Da gilt: Q(a, b) > Q(â, ˆb) für alle (a, b) (â, ˆb). Beweis: Q(a, b) = [y i (a + bx i )] 2 ist ei Polyom vom Grad 2 mit Gradiet ( ) Q Q grad Q(a, b) = (a, b), (a, b) a b ( = 2 [y i (a + bx i )], ) x i [y i (a + bx i )] ud Hesse-Matrix H Q (a, b) = [ 2 Q (a, b) a 2 (a, b) 2 Q a b 2 Q a b 2 Q (a, b) (a, b) b 2 ] [ x = 2 x x2 i ]. Also det H Q (a, b) = 4 ( ) x 2 i 2 x 2 = 4 2 s 2 X > 0, damit ist H Q positiv defiit ud somit Q gleichmäßig strikt kovex. Folglich besitzt Q geau ei eideutig bestimmtes Miimum ud dies stimmt mit der Nullstelle (bzw. der kritische Stelle) des Gradiete überei: grad Q(a, b) = 0 Q Q (a, b) = 0 ud (a, b) = 0 a b y = a + bx ud 0 = x i (y i (a + bx i )) = x i (y i bx i (y bx)) = x i y i b x 2 i xy + bx 2 a = y bx ud b = x iy i xy x2 i x2 = s XY s 2 X

21 29. Jauar Bemerkug (Nichtlieare Regressio) Bei viele zweidimesioale Messreihe ist vo voreherei klar, dass kei liearer Zusammehag zwische de beobachtete Messwerte erwartet werde ka, soder ei fuktioaler Zusammehag der Form y = f(x) für eie geeigete ichtlieare Fuktio f, z.b. y = ae bx für b R, a > 0. Gesucht sid wieder diejeige Parameter a ud b, für die sich der zugehörige Fuktiosgraph der gegebee Puktwolke am beste apasst. Häufig ka ma durch geeigete Trasformatio der Date das Problem auf eie lieare Zusammehag zurückführe, wie etwa im Beispiel y = ae bx log y = log a + bx ud zu bestimme ist die Regressiosgerade zu de trasformierte Beobachtugswerte (x 1, log y 1 ), (x 2, log y 2 ),..., (x, log y ). Ausblick auf mehrdimesioale Messreihe Bei eier statistische Erhebug köe atürlich mehr als zwei Merkmale zugleich erhobe werde. Als Urliste estehe Tupel (d.h. geordete Mege) vo Messwerte (x 11,..., x 1m ), (x 21,..., x 2m ),... (x 1,..., x m ), die ma i eier Datematrix zusammefasst: x x 1m x x 2m.. x 1... x m Die graphische Darstellug der Urliste als Streuugsdiagramm ist für m 4 icht mehr möglich. Zur Aufklärug vo Abhägigkeite zwische de erhobee Merkmale köte ma zwar für jedes Paar vo Merkmale das zweidimesioale Streuugsdiagramm bzw. die zweidimesioale Kotigeztabelle aufstelle. Da aber die Azahl der Merkmalspaare mit der Azahl m der erhobee Merkmale sehr schell awächst, ist dieser Asatz sehr aufwädig. Effizietere Methode sid Gegestad weiterführeder Verastaltuge i der Statistik.

22 29. Jauar Teil II Wahrscheilichkeitsrechug 1. Zufallsexperimete ud Wahrscheilichkeitsräume Uter eiem Zufallsexperimet versteht ma zuächst eimal eie zeitlich wie örtlich fest umrissee Vorgag mit ubestimmtem Ausgag. Beispiele Werfe eies Würfels oder Werfe eier Müze Wahlergebis der ächste Ladtagswahl Temperatur oder Widgeschwidigkeit am Luiseplatz am 1. Dezember 2007, 12:00 Körpergröße oder Kopfumfag eies Neugeboree Die Gesamtheit aller mögliche Ausgäge eies Zufallsexperimets heißt Ergebismege oder auch Stichproberaum ud wird mit Ω bezeichet. Ei Elemet ω Ω heißt Elemetarereigis oder Stichprobe. Es stellt eie mögliche Ausgag des zugrudeliegede Zufallsexperimets dar. Beispiele (i) eimaliges Würfel: Ω = {1, 2,..., 6}, Ω = 6 (Hierbei bezeichet Ω die Mächtigkeit der Mege Ω, also die Azahl der Elemete i Ω.) (ii) zweimaliges Würfel: Ω = {(i, j) : i, j {1,..., 6}} = {1, 2,..., 6} {1, 2,..., 6} = {1, 2,..., 6} 2 also Ω = 36. (iii) Müzwurf: Ω = { Kopf, Zahl }. (iv) Autos am Darmstädter Kreuz am 25. August 2007: Ω = {0, 1, 2, 3,...} = N {0} (v) Temperatur i Grad Kelvi am Luiseplatz am 1. Dezember 2007, 12 Uhr Mittags: Ω = [0, [ oder realistischer [250, 290] (O C = K) I de erste vier Fälle sid die Ergebisräume edlich oder abzählbar uedlich. Solche Ergebisräume et ma auch diskret. Im füfte Fall ist der Ergebisraum icht mehr abzählbar, soder eie kotiuierliche Mege. Die Wahrscheilichkeitstheorie zu kotiuierliche Ergebisräume ist mathematisch aspruchsvoller als die zu diskrete Ergebisräume. Daher betrachte wir zuächst ur diskrete Ergebisräume Ω. Ereigisse Teilmege A Ω vo Ω heiße Ereigisse. Die Gesamtheit aller Ereigisse ist somit ichts weiter als P(Ω), also die Potezmege vo Ω. Uter der Potezmege vo Ω versteht ma

23 29. Jauar die Gesamtheit aller Teilmege vo Ω eischließlich der leere Mege ud der Mege Ω selber. Beachte Sie: Ereigisse sid Elemete der Potezmege P(Ω) vo Ω, also Teilmege vo Ω, währed Elemetarereigisse Elemete vo Ω sid. Beispiele (i) A = {1, 3, 5} = Augezahl ugerade (ii) A = {(5, 6), (6, 5), (6, 6)} = Augesumme > 10 (iv) A = {22.000, ,...} = { : } = ugewöhlich hohes Verkehrsaufkomme Zwei Ereigisse sid besoders hervorzuhebe: Ω = das sichere Ereigis = das umögliche Ereigis. Die bekate Megeoperatioe lasse sich als Operatioe auf Ereigisse iterpretiere: A B = A oder B tritt ei A 1 A 2... A =: k=1 A k = mid. eies der A k tritt ei A B = A ud B trete ei A 1 A 2... A =: k=1 A k = alle A k trete ei A c := Ω\A := {ω Ω : ω / A} = A tritt icht ei A c heißt Komplemet der Mege A (i Ω). Es gilt Ω c = ud c = Ω. Wahrscheilichkeitsmaße Für jedes Ereigis A lege wir im ächste Schritt eie Wahrscheilichkeit P (A) zwische 0 ud 1 fest. P (A) soll ei Maß dafür sei, dass das Ereigis A eitritt: tritt A iemals ei, so setzt ma P (A) = 0. Isbesodere P ( ) = 0. tritt A sicher ei, so setzt ma P (A) = 1. Isbesodere P (Ω) = 1. Zusätzlich sollte gelte: Sid A ud B disjukte Ereigisse, d.h. A ud B besitze keie gemeisame Elemetarereigisse, also A B =, so ist Diese Eigeschaft vo P bezeichet ma als Additivität. P (A B) = P (A) + P (B). (2.6)

24 29. Jauar Aus (2.6) folgt umittelbar: sid A 1,..., A paarweise disjukte Ereigisse, d.h. A k A l = für k l, so folgt: P (A 1... A ) = P (A 1 ) P (A ). (2.7) Gilt schließlich auch für jede uedliche Folge (A ) paarweiser disjukter Ereigisse so spricht ma vo σ-additivität. ( ) P A k = k=1 P (A k ) (2.8) k=1 Defiitio Ei diskreter Wahrscheilichkeitsraum ist ei Paar (Ω, P ), wobei Ω eie ichtleere, diskrete (d.h. edliche oder abzählbar uedliche) Mege P ei diskretes Wahrscheilichkeitsmaß auf Ω, d.h. eie Abbildug mit folgede Eigeschafte: P : P(Ω) R P (A) 0 A P(Ω) (Nichtegativität) P (Ω) = 1 (Normiertheit) P ( k=1 A k) = k=1 P (A k) für jede Folge (A k ) paarweise disjukter Ereigisse (σ-additivität). Recheregel für P P ist (isbesodere) edlich additiv, d.h. für A 1,..., A paarweise disjukt, ist P (A 1... A ) = P (A 1 ) P (A ) = P (A k ). k=1 P (A c ) = 1 P (A), de A ud A c sid disjukt, A A c = Ω, also P ( ) = 0, de c = Ω, also 1 = P (Ω) = P (A A c ) = P (A) + P (A c ). P ( ) = 1 P (Ω) = 1 1 = 0. A B impliziert P (A) P (B) de B = A (B A c ) ud A ud B A c sid disjukt, also P (B) = P (A) + P (B A c ) P (A).

25 29. Jauar Kostruktio vo Wahrscheilichkeitsmaße mit Hilfe vo Wahrscheilichkeitsfuktioe Eie Wahrscheilichkeitsfuktio (auf Ω) ist eie Fuktio p : Ω [0, 1] mit p(ω) = 1 (2.9) ω Ω Bemerkug Beachte Sie, dass es sich bei (2.9) um eie uedliche Summe hadelt, falls Ω uedlich viele Elemete ethält. Gemeit ist mit (2.9) also, dass die (möglicherweise uedliche) Reihe ω Ω p(ω) kovergiert ud ihr Wert gleich 1 ist. Hierbei kommt es auf die Reihefolge, i der die Wahrscheilichkeite p(ω) aufsummiert werde, icht a, de die Reihe ist wege der Nichtegativität der Summade p(ω) absolut koverget. Zu gegebeer Wahrscheilichkeitsfuktio p defiiere wir die Wahrscheilichkeit P (A) eies Ereigisses A durch P (A) := ω A p(ω). (2.10) Die Wahrscheilichkeit vo A ist also gleich der Summe der Wahrscheilichkeite aller Elemetarereigisse ω die i A liege. Die so defiierte Abbildug P ist ei diskretes Wahrscheilichkeitsmaß auf Ω, d.h. ichtegativ, ormiert ud σ-additiv. Umgekehrt köe wir zu jedem diskrete Wahrscheilichkeitsmaß P auf Ω durch eie Wahrscheilichkeitsfuktio auf Ω defiiere. p(ω) := P ({ω}), ω Ω (2.11) Durch (2.10) ud (2.11) ist also eie 1-1 Beziehug zwische alle Wahrscheilichkeitsmaße über Ω ud alle Wahrscheilichkeitsfuktioe über Ω gegebe. Beispiele (i) Beim Würfel mit eiem faire Würfel ist jede der sechs mögliche Augezahle gleichwahrscheilich. Ma setzt daher p(ω) = 1 6 für ω Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Es folgt z.b. P (Augezahl ugerade) = P ({1, 3, 5}) = 3 6 = 1 2. (ii) Beim zweimalige Würfel mit eiem faire Würfel ist wiederum jedes der 36 Elemetarereigisse aus Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 gleichwahrscheilich, also p(ω) = 1 ω Ω. 36 Es folgt z.b. P (Augesumme > 10) = P ({(5, 6), (6, 5), (6, 6)}) = 3 36 = 1 12.

26 29. Jauar Beide Beispiele sid Spezialfälle eies Laplacesche Wahrscheilichkeitsraumes. Laplacescher Wahrscheilichkeitsraum Ist Ω eie edliche Mege, so defiiert p(ω) := 1 Ω, ω Ω eie Wahrscheilichkeitsfuktio auf Ω. Für die Wahrscheilichkeit P (A) eies beliebige Ereigisse folgt hieraus sofort P (A) = ω A 1 Ω = A Ω. (2.12) P (A) heißt Laplace-Wahrscheilichkeit vo A. Da jedes Elemetarereigis gleichwahrscheilich ist, spricht ma vo P auch als der Gleichverteilug auf Ω. Die Berechug der Wahrscheilichkeit P (A) i (2.12) führt auf das Problem der Abzählug der Elemete i A, also auf ei Abzählproblem. Die wichtigste Abzählprobleme solle im folgede ahad vo eifache Uremodelle illustriert werde: Eie Ure ethalte uterscheidbare Kugel 1, 2,...,. Wir uterscheide da das k- malige Ziehe eier Kugel aus der Ure mit/ohe Zurücklege, wobei es auf die Reihefolge der gezogee Kugel akommt/icht akommt: 1) i Reihefolge mit Zurücklege Ω = {ω = (x 1,..., x k ) : x i {1,..., }}, Ω = k d.h., ei Elemetarereigis ω = (x 1,..., x k ) ist ei k-tupel, d.h. eie geordete Mege der Läge k, wobei x i für die Nummer der i-te gezogee Kugel steht. 2) i Reihefolge ohe Zurücklege Ω = {ω = (x 1,..., x k ) : x i {1,... }, x i x j für i j} Ω = ( 1) ( 2)... ( k + 1) = Zur Erierug: Fakultätsfuktio Isbesodere! ( k)!. m! := m(m 1) (m 2) = Π m k=1k, ud 0! := 1.! = ( 1)! = ( 1) ( 2)! =... = ( 1)... ( k + 1) ( k)!, also! ( k)! = ( 1)... ( k + 1).

27 29. Jauar Für k = erhält ma als Spezialfall Ω =! ( )! =! 0! =!! ist also gleich der Azahl aller mögliche Aorduge (oder auch Permutatioe) der -elemetige Mege {1,..., }. 3) ohe Reihefolge ohe Zurücklege Ω = {ω = {x 1,..., x k } : x i {1, 2,..., }, x i x j für i j} Im Uterschied zum Ziehe ohe Zurücklege werde u alle k-tupel (x 1,..., x k ), die zu derselbe Mege der gezogee Kugel führe, zu eiem Elemetarereigis zusammegefasst. Isgesamt gibt es k! solcher Tupel (das etspricht also gerade der Azahl der Permutatioe der Mege der k gezogee Kugel), also erhalte wir isgesamt Elemetargereigisse. Es gilt also! ( k)! 1 k! = Ω = ( ). k ( ) k Isbesodere: ( k) ist gleich der Azahl aller k-elemetige Teilmege aus eier -elemetige Grudmege. Alterative Darstellug vo Ω: Uter alle k-tupel, die zur selbe Mege {x 1,..., x k } führe, gibt es geau ei Tupel (x (1),..., x (k) ), i dem die Elemete ihrer Größe ach ageordet sid: Wir köe auch schreibe x (1) < x (2) <... < x (k). Ω = {(x 1,..., x k ) : x i {1,..., }, x 1 < x 2 <... < x k }. 4) ohe Reihefolge mit Zurücklege Aalog zu 3) orde wir wieder die Nummer der gezogee Kugel der Größe ach a: x (1) x (2)... x (k) (2.13) wobei wege des Zurückleges Kugel mehrfach gezoge werde köe.

28 29. Jauar Durch Übergag vo x (i) zu x (i) + i 1 erhält ma aus (2.13) eie streg mooto aufsteigede Folge x (1) < x (2) + 1 < x (3) + 2 <... < x (k) + k 1. Wir erhalte als Stichproberaum i diesem Falle also Ω = {(x 1,..., x k ) : x i {1,...,, + 1,..., + k 1}, x 1 < x 2 <... < x k }. Für die Mächtigkeit Ω vo Ω ergibt sich ach 3) ( ) + k 1 Ω =. k Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit Ist über de Ausgag eies Zufallsexperimets bereits eie Teiliformatio verfügbar, äder sich etspreched die Wahrscheilichkeite der Elemetarereigisse. Beispiel Zweimaliges Würfel eies faire Würfels P (Augesumme > 10) = Wie ädert sich diese Wahrscheilichkeit, we bereits bekat ist, dass beim erste Würfel eie 6 gewürfelt wurde? Uter dieser Aahme bleibe ur och sechs gleichwahrscheiliche Möglichkeite für die zweite Augezahl übrig, vo dee die Augezahle 5 ud 6 isgesamt zu eier Augesumme größer als 10 führe. Für die Wahrscheilichkeit des Ereigisses Augezahl > 10 uter der Bedigug 1.Augezahl 6 ergibt sich somit P (Augesumme > 10 1.Augezahl 6) = 2 6 = 1 3. Die bedigte Wahrscheilichkeit ist also viermal höher als die ursprügliche a priori Wahrscheilichkeit. Defiitio Für Ereigisse A, B mit P (B) > 0 heißt P (A B) := P (A B) P (B) die bedigte Wahrscheilichkeit vo A uter der Bedigug B (oder auch: die bedigte Wahrscheilichkeit vo A gegebe B). Im Falle P (B) = 0 setze wir eifach P (A B) := 0. Eigeschafte der bedigte Wahrscheilichkeit P (A B) [0, 1] P ( B) = 0

29 29. Jauar Gilt P (B) > 0, so ist P (Ω B) = 1 ud P ( B) : P(Ω) [0, 1], A P (A B) ist wieder eie diskrete Wahrscheilichkeitsverteilug auf Ω. P ( B) heißt bedigte Wahrscheilichkeitsverteilug uter der Bedigug B. Beispiel (Laplacescher Wahrscheilichkeitsraum) Ω edlich, P (A) = A Ω sei die Gleichverteilug auf Ω. Da folgt für B P (A B) = P (A B) P (B) = A B Ω B Ω = A B B. Isbesodere: Die bedigte Wahrscheilichkeitsverteilug ist im Falle des Laplacesche Wahrscheilichkeitsraumes gerade die Gleichverteilug auf B. Beispiel Bedigte Wahrscheilichkeite bilde die Grudlage für das Tarifsystem vo Versicheruge. Veruglücke etwa mehr Mäer als Fraue, sollte etsprechede Prämie eier Versicherug gege Arbeitsufälle für Mäer höher als für Fraue sei, etwa: P (Ufall V weiblich) = P (Ufall V mälich) = Ket ma och de Ateil der mäliche ud weibliche Versicherugsehmer, etwa P (V weiblich) = 2 5 = 1 P (V mälich), so ka ma hieraus die totale Wahrscheilichkeit eies Arbeitsufalls erreche: P (Ufall) = P (Ufall ud V weiblich) + P (Ufall ud V mälich) = P (Ufall V weiblich)p (V weiblich) + P (Ufall V mälich)p (V mälich) = = Die Berechug der totale Wahrscheilichkeit für eie Arbeitsufall ist ei Speziallfall des erste Teils des folgede Satzes. Satz Es seie B 1,..., B disjukte Teilmege vo Ω ud A B 1... B. Da folgt: (i) (Formel vo der totale Wahrscheilichkeit) P (A) = P (A B k )P (B k ). (2.14) k=1

30 29. Jauar (ii) (Formel vo Bayes) Für P (A) > 0 gilt P (B i A) = P (A B i )P (B i ) k=1 P (A B k)p (B k ). (2.15) Beispiel I obigem Beispiel ket ma bereits die totale Wahrscheilichkeit eies Arbeitsufalls P (Arbeitsufall) = Die Formel vo Bayes liefert u für die umgekehrte bedigte Wahrscheilichkeit P (V mälich Arbeitsufall) P (Arbeitsufall V mälich)p (V mälich) = P (Arbeitsufall) = = Wie zu erwarte hadelt es sich bei eier veruglückte Perso i fast 80% aller Fälle um Mäer. Dieses Verhältis ka sich aber is Gegeteil verkehre, we etweder der Ateil der weibliche Versicherugsehmer de Ateil der mäliche Versicherugsehmer weit übersteigt oder die bedigte Wahrscheilichkeit P (Arbeitsufall V weiblich) für eie Arbeitsufall eies weibliche Versicherugsehmers die etsprechede Wahrscheilichkeits eies Arbeitsufalles eies mäliche Versicherugsehmers weit übersteigt. Beispiel Mituter liefert die Formel vo Bayes scheibar überraschede Aussage wie im Falle des folgede Tests auf eie seltee Krakheit. Ageomme, 5 Promille der Bevölkerug habe eie seltee Krakheit K, d.h. P (K) = Ei mediziischer Test zeigt bei 99% der Erkrakte eie positive Reaktio, d.h. P (Test positiv K) = Allerdigs zeigt besagter Test auch bei 2% der Gesude eie positive Reaktio, d.h. P (Test positiv K c ) = Vo besoderem Iteresse ist u offebar folgede Frage: Ageomme, der Test ist positiv. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass die getestete Perso tatsächlich a K erkrakt ist? Wie groß ist also die bedigte Wahrscheilichkeit P (K Test positiv )?

31 29. Jauar Die Formel vo Bayes liefert P (Test positiv K)P (K) P (K Test positiv ) = P (Test positiv K) P (K) + P (Test positiv K c )P (K c ) = = Also: Nur i 2 vo 10 Fälle mit postivem Testergebis ist die getestete Perso auch wirklich a K erkrakt. Uabhägigkeit Ist P (A) = P (A B), d.h. die Wahrscheilichkeit vo A uabhägig davo, ob das Ereigis B eigetrete ist oder icht, so folgt: ud damit P (A) = P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A) P (B). (2.16) Zwei Ereigisse A ud B mit (2.16) heiße (stochastisch) uabhägig. Allgemeier Defiitio Die Ereigisse A 1,..., A heiße (stochastisch) uabhägig, falls für jede ichtleere Teilmege {i 1,..., i k } {1,..., } gilt: P (A i1... A ik ) = P (A i1 )... P (A ik ). Ma beachte, dass zum Nachweis der Uabhägigkeit dreier Ereigisse A, B ud C, der Nachweis der paarweise Uabhägigkeit je zweier Ereigisse icht ausreicht. Als Beispiel betrachte wir beim zweimalige Werfe eier faire Müze die Ereigisse A = 1.Wurf Zahl B = 2.Wurf Zahl C = 1. ud 2.Wurf gleich. Diese sid paarweise uabhägig aber icht uabhägig, de P (A) = P (B) = P (C) = 1 2, P (A B) = P (A C) = P (B C) = 1 4, aber P (A B C) = 1 4 P (A)P (B)P (C). Beispiel Beim zweimalige Würfel eies faire Würfels ist die erste Augezahl offebar uabhägig vo der zweite Augezahl, also jedes Ereigis A, das ur vo der erste Zahl abhägt, uabhägig vo jedem Ereigis B, das ur vo der zweite Augezahl abhägt, etwa: A = 1.Augezahl gerade, P (A) = 1 2 Da gilt B = 2.Augezahl 5, P (B) = 1 3. P (A B) = P ({(2, 5), (2, 6), (4, 5), (4, 6), (6, 5), (6, 6)}) 6 36 = 1 6 = = P (A) P (B). 3

32 29. Jauar Zufallsvariable ud Verteiluge Im gaze Abschitt sei (Ω, P ) ei diskreter Wahrscheilichkeitsraum. Eie Fuktio X : Ω R heißt Zufallsvariable (auf Ω). Da Ω abzählbar, ist auch das Bild abzählbar. X(Ω) = {X(ω) : ω Ω} R Für x R betrachte wir isbesodere das Ereigis Durch {X = x} := {ω Ω : X(ω) = x} = X immt de Wert x a p X (x) := P (X = x), x X(Ω) wird da eie eue Wahrscheilichkeitsfuktio auf X(Ω) defiiert. Das zugehörige diskrete Wahrscheilichkeitsmaß P X auf P(X(Ω)) heißt Verteilug vo X (uter P ). Für beliebige Ereigisse A X(Ω) gilt offebar P X (A) = p X (x) = P (X = x) x A x A ( ) = P {ω : X(ω) = x} = P (X A). x A } {{ } ={ω : X(ω) A} Beispiel Beim zweimalige Würfel eies faire Würfels sei X die Augesumme. X ist eie Zufallsvariable mit Werte i der Mege {2, 3,..., 12}, vo dee aber icht alle Werte mit gleicher Wahrscheilichkeit vo X ageomme werde. Vielmehr gilt: p X (2) = P ({(k, l) Ω : k + l = 2}) = P ({(1, 1)}) = 1 36 ud für die übrige Werte p X (12) = P ({6, 6}) = 1 36 p X (3) = p X (11) = 2 36,p X(4) = p X (10) = 3 36 p X (5) = p X (9) = 4 36,p X(6) = p X (8) = 5 36 p X (7) = Graphische Veraschaulichug der Verteilug vo X mit Hilfe eies Stabdiagramms

33 29. Jauar Die Verteilugsfuktio eier Zufallsvariable Die Fuktio F (x) := P (X x), x R heißt Verteilugsfuktio vo X. Sie besitzt wie jede empirische Verteilugsfuktio (siehe Abschitt I.2) folgede Eigeschafte: F ist mooto wachsed 0 F 1, lim x F (x) = 0, lim x F (x) = 1 F ist rechtsseitig stetig. Uabhägigkeit vo Zufallsvariable Defiitio Es seie X 1, X 2,..., X Zufallsvariable auf dem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, P ). X 1,..., X heiße (stochastisch) uabhägig, falls für alle Teilmege B 1,..., B vo R gilt: P (X 1 B 1,..., X B ) = P (X 1 B 1 )... P (X B ). (2.17) Die Zufallsvariable X 1,..., X sid also geau da (stochastisch) uabhägig, we für beliebige Teilmege B 1,..., B die Ereigisse (stochastisch) uabhägig sid. {X 1 B 1 },..., {X B } Äquivalet zu (2.17) ist folgede, i der Praxis eifacher zu überprüfede Bedigug: Für alle x 1,..., x R ist P (X 1 = x 1,..., X = x ) = P (X 1 = x 1 )... P (X = x ). (2.18) Beachte Sie, dass P (X k = x k ) = 0 für die weitaus meiste Werte x k midestes für alle x k R \ X k (R). R, ämlich

34 29. Jauar Beispiel Beim zweimalige Würfel sei X 1 die erste Augezahl ud X 2 die zweite. Mit (2.18) ist da eifach zu sehe, dass X 1 ud X 2 uabhägig sid. Spezielle Verteiluge Beroulli-Verteilug Fixiere eie Teilmege A Ω ud defiiere { 1 für ω A X(ω) := 0 für ω A c. Wir iterpretiere das Ereigis {X = 1} = A als Erfolg. Demetspreched bezeiche wir p := P (X = 1) = P (A) als Erfolgswahrscheilichkeit. Etspreched gilt für die Wahrscheilichkeit eies Mißerfolges P (X = 0) = P (A c ) = 1 P (A) = 1 p. Defiitio Es sei p [0, 1]. Das durch die Wahrscheilichkeitsfuktio p : {0, 1} [0, 1] p(1) = p, ud p(0) = 1 p defiierte Wahrscheilichkeitsmaß auf {0, 1} heißt Beroulli-Verteilug zu p. Zufallsexperimete, die ur zwei mögliche Ausgäge kee, et ma etspreched Beroulli- Experimete. Beispiele für Beroulli-Experimete Werfe eier faire Müze: P (Kopf) = P (Zahl) = 1 2 Geschlecht eies Neugeboree: P (weiblich) = 0.47, P (mälich) = 0.53 Ziehe eier Kugel aus eier Ure mit s schwarze ud w weiße Kugel: P (gez. Kugel schwarz) = s s+w Biomialverteilug Es seie X 1,..., X uabhägige Zufallsvariable, die alle Beroulli-verteilt sid zu p. Wir köe X i als Ausgag eies Beroulli Experimets mit Erfolgswahrscheilichkeit p iterpretiere, wobei die Folge der Experimete uabhägig ist. Da zählt die Zufallsvariable die Gesamtazahl der Erfolge. S := X X {0,..., } Für die Verteilug P S der Summe S gilt da ( ) p S (k) = P (S = k) = p k (1 p) k =: b(k;, p) k

35 29. Jauar Hierbei ist ( k) gerade die Azahl der -Tupel mit geau k Eise (ud k Nulle), p k die Wahrscheilichkeit für k Erfolge ud (1 p) k die Wahrscheilichkeit für k Mißerfolge. Defiitio Es sei N ud p [0, 1]. Das durch die Wahrscheilichkeitsfuktio b( ;, p) : {0,..., } [0, 1] ( ) k p k (1 p) k k defiierte Wahrscheilichkeitsmaß auf {0,..., } heißt Biomialverteilug zu ud p ud wird mit Bi (, p) bezeichet. Wir habe isbesodere gesehe: Bei eier Folge vo uabhägige Beroulli-Experimete mit Erfolgswahrscheilichkeit p ist die Summe der Erfolge biomialverteilt mit Parameter ud p. Geometrische Verteilug Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ma mit eiem faire Würfel geau k Versuche beötigt, bis zum erste Mal eie 6 gewürfelt wird? Für k = 1 ist die gesuchte Wahrscheilichkeit offesichtlich 1 6, für k = 2 ist sie gleich , de die gesuchte Wahrscheilichkeit ist aufgrud der Uabhägigkeit der beide Würfe gleich dem Produkt aus der Wahrscheilichkeit, beim erste Würfel keie 6 zu würfel (= 5 6 ), ud der Wahrscheilichkeit, beim zweite Würfel eie 6 zu würfel (= 1 6 ). Für allgemeies k köe wir wie folgt vorgehe: Wir defiiere eie Folge vo Zufallsvariable X 1, X 2, X 3,... durch X k := 1 falls beim k-te Wurf eie 6 gewürfelt wird ud X k := 0 sost. Offebar sid die Zufallsvariable X 1, X 2, X 3,... uabhägig Beroulliverteilt mit Erfolgswahrscheilichkeit p = 1 6. Das Ereigis A k, im k-te Wurf zum erste Mal eie 6 zu würfel, ka mit Hilfe dieser Zufallsvariable u wie folgt beschriebe werde: A k = {X 1 = 0, X 2 = 0,..., X k 1 = 0, X k = 1}. Aufgrud der Uabhägigkeit der Zufallsvariable ergibt sich für die gesuchte Wahrscheilichkeit P (A k ) = P (X 1 = 0, X 2 = 0,..., X k 1 = 0, X k = 1) = P (X 1 = 0) P (X 2 = 0)... P (X k 1 = 0) P (X k = 1) = ( ) k =

36 29. Jauar Allgemeier Gegebe eie Folge vo uabhägige Zufallsvariable X 1, X 2, X 3,..., die alle Beroulli-verteilt sid zu p > 0. Defiiere die Wartezeit auf de erste Erfolg T := mi{k 1 : X k = 1}. Wie i obigem Fall der Wartezeit auf die erste 6 beim Würfel mit eiem faire Würfel, erhalte wir für die Verteilug vo T für k = 1, 2, 3,.... P (T = k) = P (X 1 = 0, X 2 = 0,..., X k 1 = 0, X k = 1) = P (X 1 = 0) P (X 2 = 0)... P (X k 1 = 0) P (X k = 1) = (1 p) k 1 p Defiitio Es sei p ]0, 1] Das durch die Wahrscheilichkeitsfuktio g p : N [0, 1] k (1 p) k 1 p defiierte Wahrscheilichkeitsmaß auf N heißt geometrische Verteilug zu p ud wird mit Geom (p) bezeichet. Poissoverteilug Für λ > 0 defiiert λ λk π λ (k) := e k!, k N 0 eie Wahrscheilichkeitsfuktio auf N 0, de aus der Reiheetwicklug der Expoetialfuktio e x x k = k!, x R folgt π λ (k) = e λ k=0 k=0 k=0 λ k k! = e λ e λ = e 0 = 1. Defiitio Es sei λ > 0. Das durch die Wahrscheilichkeitsfuktio π λ : N 0 [0, 1] k e λ λk k! defiierte Wahrscheilichkeitsmaß auf N 0 heißt Poissoverteilug zu λ ud wird mit Poiss (λ) bezeichet.

37 29. Jauar Die Poissioverteilug empfiehlt sich als Näherug der Biomialverteilug Bi (, p) für große ud kleie p. Die Approximatio ist umso besser, je kleier der Wert p 2 ist. Diese Näherug wird gerechtfertigt durch die folgede Beobachtug: Poissoscher Grezwertsatz Es sei (p ) [0, 1] eie Folge vo Erfolgsparameter mit lim p = λ > 0. Da folgt lim b(k;, p ) = π λ (k) für alle k N 0. Mit adere Worte: Die Wahrscheilichkeitsfuktio der Biomialverteilug Bi (, p ) kovergiert puktweise gege die Wahrscheilichkeitsfuktio der Poissoverteilug Poiss (λ). Im folgede eie Illustratio dieser Kovergez für λ = 2.5. Eie äherugsweise Berechug vo Wahrscheilichkeite gewisser Ereigisse mit Hilfe eier Poissoverteilug ist immer da gerechtfertigt, we es sich um seltee Ereigisse hadelt. Beispiel Bei der Herstellug vo DVD-Scheibe ist ei Ateil vo p = bereits bei der Produktio defekt. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass i eiem Wareposte mit = DVD-Scheibe midestes füf Schreibe defekt sid? Zur Beatwortug dieser Frage sei X die Azahl der defekte DVD-Scheibe. Da es sich bei der Produktio eier defekte DVD-Scheibe (eher) um ei seltees Ereigis hadelt, empfiehlt sich eie Näherug der Verteilug vo X mit Hilfe eier Poissoverteilug. De Parameter λ wählt ma gemäß der Regel λ = p = = 2.

38 29. Jauar Damit folgt für die gesuchte Wahrscheilichkeit ( ) 2 P (X 5) = 1 P (X 4) = 1 e 2 0 0! ! ! ! ! ( = 1 e ) Hypergeometrische Verteilug Es sei eie Grudgesamtheit mit N Elemete gegebe, vo dee K Elemete die Eigeschaft E besitze. Aus dieser Grudgesamtheit werde -mal ohe Zurücklege gezoge. Wir sid iteressiert a der Azahl k der gezogee Elemete, die die Eigeschaft E besitze. Hierzu defiiere wir X = Azahl der gezogee Elemete mit Eigeschaft E. Ist klei, so gibt es keie große Uterschied zwische dem Ziehe ohe Zurücklege N ud dem Ziehe mit Zurücklege. Daher empfiehlt sich i diesem Falle eie Approximatio der Verteilug vo X durch die Biomialverteilug Bi (, p) mit p = K, also N P (X = k) b(k;, K N ). Ist N jedoch vergleichsweise groß, so muss die gesuchte Verteilug exakt berechet werde: ( K )( N K ) k k P (X = k) = ( N, k = 0,...,. (2.19) ) Zur ( Herleitug der Formel (2.19) für die gesuchte Wahrscheilichkeit beachte ma, dass K ) ( k (bzw. N K ) k ) gerade die Azahl der k (bzw. k)-elemetige Teilmege eier K (bzw. N K)-elemetige Grudmege ist, währed ( N ) die Azahl aller -elemetige Teilmege der Grudgesamtheit aus N Elemete ist. Defiito Es sei K N, N. Das durch die Wahrscheilichkeitsfuktio H( ;, N, K) : {0,..., } [0, 1] ( K )( N K ) k k k ( N ) defiierte Wahrscheilichkeitsmaß auf {0,..., } heißt Hypergeometrische Verteilug zu, N ud K ud wird mit Hyp (, N, K) bezeichet.