Einführung in numerische Methoden für Ingenieure (nach A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB)

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1 Einführung in numerische Methoden für Ingenieure (nach A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB) Prof. R. Leithner, Dipl. Phys. E. Zander Wintersemester 2010/2011

2 Allgemeines Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/2

3 Allgemeine Informationen Dozent: Prof. R. Leithner, Betreuer: Dipl. Phys. E. Zander, Sekretariat: Institut für Wärme- und Brennstofftechnik Ina Wolfram Tel: 0531/ Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/3

4 Allgemeine Informationen Literatur: A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB Springer, ISBN I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik Verlag B. G. Teubner, ISBN oder Verlag Harri Deutsch, ISBN Software: Matlab Freie Alternativen zu Matlab: GNU Octave, Scilab (Inria) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/4

5 Allgemeine Informationen Ablauf Vorlesung: Dienstags (alle zwei Wochen) Zeit: Uhr Ort: Rechenzentrum RZ 012 Übung: Dienstags (alle zwei Wochen) Gruppe 1: Uhr Gruppe 2: Uhr Ort: Rechenzentrum RZ 65.2 Klausur Termin wird noch bekannt gegeben Inhalt: Beispiele aus Vorlesung und Übung Ohne Unterlagen, ohne PC Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/5

6 Inhalt 1 Zahlen, Vektoren, Matrizen, Matlab 2 Nichtlineare Gleichungen 3 Approximation 4 Numerische Differentiation & Integration 5 Lineare Systeme 6 Eigenwerte & Eigenvektoren 7 Gewöhnliche Differentialgleichungen 8 Partielle Differentialgleichungen/Randwertprobleme Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/6

7 Kapitel 1 Grundlagen: Zahlen, Vektoren, Matrizen, Funktionen, Fehleranalyse Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/7

8 Zahlenmengen Natürliche Zahlen N: 1, 2, 3,... Ganze Zahlen Z:..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,... Rationale Zahlen Q: Brüche und periodische Dezimalbrüche z.b. 13 7, 5, Reelle Zahlen R: rationale und irrationale Zahlen z.b. π = , 2 = Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/8

9 Zahlenmengen Komplexe Zahlen C: z.b i Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene: Quelle: Wikipedia Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/9

10 Reelle Zahlen Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/10

11 Fließkommazahlen/Floating-Point-Zahlen Fließkommazahlen F Untermenge der reellen Zahlen: F R Reelle Zahl x wird vom Computer gerundet Maschinenzahl: fl(x) Beispiel x = 1/7 Dezimaldarstellung: (Achtung: statt, wird. als Dezimaltrenner verwendet) Beispiel in Matlab >> 1/7 ans = Rundung auf 4 Dezimalstellen Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/11

12 Ausgabeformate für Fließkommazahlen Interne Darstellung genauer (16 Dezimalziffern) Verschiedene Output-Formate: Matlab-Befehl Ausgabe format long format short e e-01 format long e e-01 format short g format long g Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/12

13 Interne Darstellung Interne Darstellung von Zahlen im Computer: x = ( 1) s (0. a 1 a 2... a } {{ } t ) β e Mantisse = ( 1) s m β e t s Vorzeichenbit entweder 0 oder 1 β Basis größer gleich 2 (im Computer meistens β = 2, manche Prozessoren können aber auch β = 10) m Mantisse der Länge t, speicherbare Ziffern a i zwischen 0 und β 1 e Exponent Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/13

14 Interne Darstellung x = ( 1) s (0.a 1 a 2... a t ) β e a 1 > 0 für eindeutige Darstellung, sonst 0.1 = = nicht eindeutig F vollständig bestimmt durch: β, t, L und U wobei L e U und L < 0, U > 0 Zahlenmenge F(β, t, L, U) In Matlab F(2, 53, 1021, 1024) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/14

15 Rundungsfehler Roundoff-Error ensteht durch Ersetzung: x R fl(x) F Im allgemeinen klein x fl(x) x 1 2 ɛ M ɛ M = β 1 t = Abstand von 1 zur nächsten Floating-Point-Zahl Datentyp double: ɛ M = Kommando in Matlab: eps = e-16 relativer Fehler hier sinnvoller als absoluter Fehler x fl(x) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/15

16 Zahlenbereich 0 gehört nicht zu F ( Sonderbehandlung) L und U endlich Absolutbetrag ist nach oben und unten beschränkt Kleinste und größte Zahl in F x min = β L 1, x max = β U (1 β t ) In Matlab mit realmin und realmax: x min = x max = Abstand zweier Zahlen auf der Zahlengeraden in der Nähe von x min sehr klein, in der Nähe von x max sehr groß, bei gleichem relativen Fehler Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/16

17 Zahlenbereich Zahlen kleiner x min erzeugen Underflow wird als 0 oder auf besondere Weise dargestellt Zahlen größer x max erzeugen Overflow Sonderbehandlung, Ausgabe in Matlab: Inf Besondere Ausdrücke: 1/0=Inf, -1/0=-Inf Beachte: 0 ist Vorzeichenbehaftet: 1/-0=-Inf, -1/-0=Inf Unbestimmte Formen: 0/0, /, 0,,... in Matlab NaN (Not-a-Number) Beispiel: 0/0=NaN, Inf/Inf=NaN,... Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/17

18 IEEE 754 Standard for Floating-Point Arithmetic Standardformate: single und double precision single: sign exponent (8 bits) fraction (23 bits) double: (bit index) single precision exponent sign (11 bit) fraction (52 bit) 0 = Quelle: Wikipedia Vorzeichenbit (sign) s: 1 Bit Exponent (exponent) e: 11 Bit Alle Bits gleich 0: Null oder Underflow Alle Bits gleich 1: Unendlich oder NaN (Not a Number) Mantisse (fraction) s: 52 Bit (53 Bit Genauigkeit, da a 1 immer gleich 1 nicht gespeichert wird) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/18

19 Rechnen mit Floating-Point-Zahlen Manche Eigenschaften aus R bleiben erhalten, Beispiel: Kommutativität der Addition und Multiplikation: x, y F gilt fl(x + y) = fl(y + x) und fl(xy) = fl(yx) Aber: keine Assoziativität, keine Distributivität Keine Eindeutigkeit der 0 mehr gegeben. Beispiel: >> a = 1; b =1; while a+b ~= a; b=b /2; end Mit reellen Zahlen bricht die Schleife nicht ab mit Fließkommazahlen nach endlich vielen Schritten b=1.1102e-16 = ɛ M /2 Für a und b mit b<eps*a gilt in Fließkommaarithmetik a+b=a Anmerkung: ~= in Matlab bedeutet, e-16 bedeutet Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/19

20 Rechnen mit Floating-Point-Zahlen Beispiel: Keine Assoziativität bei Overflow oder Underflow: Sei a=1e308, dann a + (a a) = a, aber (a + a) a = Inf Auslöschung signifikanter Stellen bei Addition zweier Zahlen mit ähnlichem Betrag aber verschiedenem Vorzeichen. Beispiel: >> x = 1.e - 15; ((1 + x) - 1)/ x ans = Exaktes Ergebnis 1, Fehler größer als 11% Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/20

21 Auslöschung Beispiel 1: das Polynom (x 1) 7 f(x) = x 7 7x x 5 35x x 3 21x 2 + 7x 1 im Intervall [ , ] 6 x Quelle: eigenes Bild Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/21

22 Auslöschung Beispiel 2: die Folge z 2 = 2, z n+1 = 2 n 1/ n z 2 n, n = 2, 3,... konvergiert gegen π. Relativer Fehler π z n / π steigt ab 16. Iteration wieder an Quelle: eigenes Bild Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/22

23 Robuste Summation Konstruktion von robusten Algorithmen, d.h. ohne oder mit stark reduzierter Auslöschung, nicht trivial Beispiel: Summation einer Folge n i=1 x i Idee: Explizites Mitführen von Rundungsfehlern in der Summation Implementiert im Summationsalgorithmus von W. Kahan Speichern der Summe in s, Rundungsfehler in c 1 Setze s und c auf 0 2 In jedem Schritt i: setze y = x i + c setze t = s + y setze c = y (t s) setze s = t Noch genauer: robuste Arithmetik-Algorithmen von J. Shewchuk Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/23

24 Kahan-Summation - Implementierung Matlab-Implementierung des Kahan-Summationsalgorithmus function s = kahan_ sum ( x ) c =0; s =0; for i =1: numel (x) y=x(i)+c; t=s+y; c=y -(t-s); s=t; end Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/24

25 Kahan-Summation - Implementierung Der Kahan-Summationsalgorithmus liefert genauere Ergebnisse: >> format long e >> x =[ ]; >> sum (x) >> kahan_sum (x) ans = e -01 ans = 1 Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/25

26 Komplexe Zahlen Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/26

27 Komplexe Zahlen Menge der komplexen Zahlen C Form z = x + iy, komplexe Einheit i = 1 d.h. i 2 = 1 In Matlab: z=x+i*y oder complex(x,y) Achtung: wenn i als Variable benutzt wird, z=x+1i*y schreiben Realteil x = Re(z), Imaginärteil y = Im(z) In Matlab: x=real(z) bzw. y=imag(z) Konjugiert komplexe Zahl: z = x iy In Matlab: conj(z) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/27

28 Polardarstellung Trigonometrische Darstellung/Polardarstellung z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) mit Betrag r = x 2 + y 2 (Matlab: abs) und Argument ϕ Winkel zwischen z und der x-achse (Matlab: angle) Beispiel: >> z =3+ i *3; abs (z), angle (z) ans = ans = >> compass (z) Quelle: eigenes Bild Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/28

29 Eindeutigkeit komplexer Funktionen Matlab: alle Operationen sind implizit komplex, Beispiel: >> ( -8)^(1/3) ans = i statt 2 wie erwartet Potenzieren mit ^ Symbol Alle Zahlen der Form re i(ϕ+2kπ) gleich 3 verschiedene dritte Wurzeln z 1 = 3 re iϕ/3, z 2 = 3 re i(ϕ/3+2π/3), z 3 = 3 re i(ϕ/3+4π/3) Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/29

30 Eindeutigkeit komplexer Funktionen Matlab wählt erste komplexe Wurzel im Uhrzeigersinn (von der positiven reellen Achse aus) Euler-Formeln cos(ϕ) = 1 2 sin(ϕ) = 1 2i ( e iϕ + e iϕ) ( e iϕ e iϕ) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/30

31 Matrizen und Vektoren Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/31

32 Matrizen Matrix A mit m Zeilen und n Spalten a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn = Menge von m n Elementen Kompakte Schreibweise: A = (a ij ) Eingabe in Matlab: Spalten durch, oder (Leerzeichen) getrennt, Zeilen durch ;. Beispiel: >> A =[1 2 3; 4 5 6] A = Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/32

33 Elementare Operationen auf Matrizen Summe zweier Matrizen A = (a ij ) und B = (b ij ) A + B = (a ij + b ij ) Produkt einer Matrix A = (a ij ) mit einer Zahl λ λa = (λa ij ) Beispiel in Matlab: >> A =[1 2 3; 4 5 6]; B =[7 8 9; ]; >> A+B ans = >> 10* A ans = Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/33

34 Elementare Operationen auf Matrizen Extraktion von Matrixelementen a ij : A(i,j) Extraktion von Spaltenvektoren: A(:,j) Extraktion von Zeilenvektoren: A(i,:) Beispiel in Matlab: >> A =[1 2 3; 4 5 6]; >> A(2,3), A(:,2), A (1,:) ans = 6 ans = 2 5 ans = Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/34

35 Matrixmultiplikation Matrixprodukt zweier Matrizen A und B nur definiert wenn: A eine m p, B eine p n Matrix ist Ergebnis: m n Matrix C Beispiel: c ij = p a ik b kj k=1 >> A =[1 2 3; 4 5 6]; B =[ 13 14; 15 16; 17 18]; >> C=A*B C = Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/35

36 Matrizenmultiplikation - Falksches Schema Falksches Schema zur Multiplikation von Matrizen Beispiel: multipliziere A R 4 5 mit B R AB=C A= =C Quelle: eigenes Bild =B Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/36

37 Spezielle Matrizen Einheitsmatrix I n der Dimension n, quadratische n n Matrix mit 1 auf der Diagonalen, sonst I n = In Matlab: eye(n) Nullmatrix 0 enthält nur Nullen In Matlab: zeros(m,n) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/37

38 Inverse einer Matrix Inverse X = A 1 einer Matrix A: Es gilt: XA = AX = I In Matlab: X=inv(A) Achtung: Inverse wird in der Numerik sehr selten explizit berechnet x = A 1 b heißt immer: löse das Gleichungssystem Ax = b Inverse existiert genau dann, wenn Determinante ungleich Null Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/38

39 Determinante Mathematisch: Rekursive Definition durch Laplace-Regel: a 11 falls n = 1, det(a) = n j=1 ( 1)i+j det(a ij )a ij für n > 1, und i = 1... n beliebig A ij entsteht aus A durch Streichung von Zeile i und Spalte j Wert der Determinanten unabhängig von i Beispiele: n = 1 det(a) = a 11 n = 2 det(a) = a 11 a 22 a 21 a 12 Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/39

40 Determinante Berechnung bei 3 3 Matrizen Sarrus-Regel: det(a) = a 11 a 22 a 33 + a 31 a 12 a 23 + a 21 a 32 a 13 a 11 a 23 a 32 a 31 a 13 a 22 a 21 a 33 a 12 Quelle: Wikipedia Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/40

41 Determinante Berechnung bei 4 4 Matrizen Benutze Laplace-Regel det(a) = a 11 det(a 11 ) a 12 det(a 12 )+a 13 det(a 13 ) a 14 det(a 14 ) a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 13 a 34 a 41 a 42 a 14 a 44 a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 + a 31 a 32 a 13 a 34 a 41 a 42 a 14 a 44 Dann wieder Sarrus-Regel für 3 3 Matrizen Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/41

42 Determinante und Inverse Determinante in Matlab mit: det(a) Achtung: Berechnung mit Laplace-Regel numerisch ineffizient (O(n!)) und instabil (Auslöschung!), Matlab benutzt LR-Zerlegung/Gauß-Elimination zur Berechnung Produktregel: det(ab) = det(a) det(b) Für Diagonal- und Dreiecksmatrizen gilt: det(a) = a 11 a 22 a nn Genaueres in Kapitel 5 Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/42

43 Determinante und Inverse Reguläre Matrix >> A =[1 2; 3 4]; >> Det = det (A) Det = -2 >> X= inv (A) X = Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/43

44 Determinante und Inverse Singuläre Matrix >> A =[1 2; 2 4]; >> Det = det (A) Det = 0 >> X= inv (A) Warning : Matrix is singular to working precision. X = Inf Inf Inf Inf Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/44

45 Diagonal- und Dreiecksmatrizen Diagonalmatrizen: diag(v), v Vektor der Dimension n diag(v,m), erzeugt Matrix der Dimension n+abs(m) mit Vektor v auf m-ter oberen Nebendiagonalen >> A= diag ([1 2 3], -1) A = diag(a) liefert die Diagonalelemente der Matrix A Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/45

46 Diagonal- und Dreiecksmatrizen Obere Dreicksmatrizen: a ij = 0 für i > j Untere Dreicksmatrizen: a ij = 0 für i < j In Matlab mit triu(a) bzw. tril(a) >> A =[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; triu ( A ) ans = Entsprechend diag gibt es auch triu( A, m ) und tril( A, m ) Die Matrizen triu( A, -1 ) und tril( A, 1 ) heißen auch obere und untere Hessenbergmatrix Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/46

47 Transponierte Matrix Transponieren = Vertauschen von Zeilen und Spalten Wenn A = (a ij ), dann transponierte Matrix A T = (a ji ) In Matlab mit Apostroph A >> A =[ ]; A ans = Wenn A = A T heißt A symmetrisch Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/47

48 Vektoren Vektoren in Fettbuchstaben: v Spaltenvektor: Beispiel v=[1;2;3] Zeilenvektor: Beispiel v=[1,2,3] Nullvektor 0: zeros(n,1) (Achtung: zeros(n) erzeugt n n Null-Matrix) Vektor mit nur Einsen: 1: ones(n,1) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/48

49 Lineare Abhängigkeit, Basis System von Vektoren {x 1,... x m } heißt linear unabhängig, wenn α 1 x α m x m = 0 nur erfüllt ist wenn α 1 = = α m = 0 n linear unabhängige Vektoren B = {x 1,... x n } in R n (oder C n ) bildet eine Basis von R n (oder C n ) Jeder Vektor in R n hat eindeutige Darstellung n w = w k x k k=1 w k Komponenten von w bezgl. der Basis B Kanonische Basis: {e 1,... e n } (i-te Komponente von e i ist 1, der Rest 0) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/49

50 Vektorprodukte Skalarprodukt oder inneres Produkt v w zwischen Vektoren v, w mit Komponenten {v k } und {w k } n (v, w) = v T w = v k w k In Matlab: v *w oder mit dot(v,w) k=1 Länge (Norm) eines Vektors v = (v, v) = n In Matlab: norm(v) k=1 v 2 k Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/50

51 Vektorprodukte Vektorprodukt u = v w nur für v, w R 3 steht senkrecht auf v und w Länge ist u = v w sin(α) (Winkel α = (v, w) ) In Matlab: cross(v,w) Komponentenweise Multiplikation u = v w u i = v i w i In Matlab mit u=v.*w alle Operationen, denen ein Punkt vorangestellt werden wirken komponentenweise (z.b. auch v.^2) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/51

52 Beispiele für Vektorprodukte Beispiel: Arbeit: Kraft entlang eines Weges Skalarprodukt: W = G s, Betrag: W = G s cos α = F H s Beispiel: Drehmoment: senkrecht auf Kraft und Ortsvektor Vektorprodukt: M = r F, Betrag: M = r F sin θ = r F, Quelle: Wikipedia Quelle: Wikipedia Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/52

53 Vektorprodukte Beispiele für Produkte zwischen Vektoren >> v =[1;2;3]; w =[4;5;6]; >> w *v ans = 32 >> dot (w,v) ans = 32 >> cross (w,v) ans = >> w.*v ans = Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/53

54 Eigenwerte und Eigenvektoren Gegeben: n n Matrix A, ein Vektor v, eine (komplexe) Zahl λ, für die gilt: Av = λv v heißt Eigenvektor λ heißt Eigenwert Berechnung im Allgemeinen kompliziert Für Diagonal und Dreicksmatrizen: Eigenwerte entsprechen den Diagonalelementen Wichtig in vielen technischen Anwendungen: z.b. Schwingungsanalyse Genaueres: Kapitel 6 Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/54

55 Reelle Funktionen Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/55

56 Plotten reeller Funktionen Gegeben: Funktion f auf Intervall (a, b) Gesucht: Verlauf, Nullstellen, Integral, Ableitung,... Beispiel: Funktion f(x) = x e x im Intervall [ 1, 1] fun = x ^2-1+ exp (x) ; lims =[ -1,1]; fplot (fun, lims ); grid on; Quelle: eigenes Bild Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/56

57 Nullstellen Anzahl und Lage der Nullstellen ein Funktion nicht a priori feststellbar ( Ausnahme: Polynome) Nullstelle in der Nähe von x 0 : In Matlab: fzero(fun,x0) Nullstelle im Intervall [x 0, x 1 ]: In Matlab: fzero(fun,[x0 x1]) Voraussetzung: fun wechselt im Intervall das Vorzeichen Verfahren in Kapitel 2 Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/57

58 Nullstellen Beispiel: Funktion f(x) = x e x Nullstellen sind bei 0 und ca. 0.7 >> fun = x ^2-1+ exp (x) ; fzero ( fun, 1 ) Zero found in the interval [ -0.28, ] ans = e -18 >> fzero ( fun, -1 ) Zero found in the interval [ -0.68, ] ans = Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/58

59 Nullstellen Beispiel: Funktion f(x) = x e x (wie vorher) Suche Nullstellen in den Intervallen [ 0.2, 1] und [ 1, 0.2] >> fzero (fun,[ -0.2,1]) Zero found in the interval [ -0.2, 1] ans = e -17 >> fzero (fun,[ -1, -0.2]) Zero found in the interval [-1, -0.2] ans = Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/59

60 Polynome Menge der Polynome vom Grad n: P n p n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = Darstellung eines Polynoms in Matlab: p=[an,...,a2,a1,a0] (Reihenfolge!!) n a k x k k=0 Auswertung an der Stelle x mit polyval Beispiel: Polynom x 4 + 3x 1 an den Punkten x = 0, 1 und 2 >> p =[ ]; x=[0, 1, 2]; polyval (p,x) ans = Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/60

61 Nullstellen eines Polynoms α Nullstelle von p, wenn p(α) = 0, Polynom vom Grad n hat genau n Nullstellen ( Multiplizität) Nullstellen reell oder in konjugiert komplexen Paaren Berechnung der Nullstellen in Matlab mit roots Beispiel: Polynom x 3 6x x 6: >> p =[ ]; roots (p) ans = Nullstellen (1,2 und 3) exakt Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/61

62 Nullstellen eines Polynoms Zweites Beispiel: Polynom p(x) = x 7 7x x 5 35x x 3 21x 2 + 7x 1 Einzige Nullstelle α = 1 (siebenfache Nullstelle) Ergebnis in Matlab: >> p =[ ]; roots ( p ) ans = i i i... Mögliche Erklärung: Rundungsfehler, Auslöschung Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/62

63 Multiplikation und Division von Polynomen Multiplikation von Polynomen in Matlab mit p=conv(p1,p2) von Engl. convolution=faltung (der Koeffizienten) Division (mit Rest) durch [q,r]=deconv(p1,p2), so dass p1=conv(p2,q)+r >> p1 =[ ]; p2 =[ ]; >> p= conv (p1,p2) p = >> [q,r]= deconv (p1,p2) q = 1 0 r = Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/63

64 Ableitung und Integral von Polynomen Ableitung und Integration von Polynomen einfach Ableitung von x n ist nx n 1 Stammfunktion von x n ist 1 n+1 xn+1 + C In Matlab: mit polyder und polyint Interpolation mit polyfit Sind n + 1 Werte von p an n + 1 unterschiedlichen Stellen bekannt liefert polyfit(p) die n + 1 Koeffizienten Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/64

65 Integration und Differentiation Differentiation: Steigung der Tangente der Kurve in einem Punkt Grenzwert des Differenzenquotienten f f(x + h) f(x) (x) = lim h 0 h Raum der stetigen Funktionen C 0 ([a, b]), Stetig differenzierbare Funktionen C 1 ([a, b]), Zweifach stetig differenzierbar C 2 ([a, b]), etc Quelle: eigenes Bild Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/65

66 Integration und Differentiation Integral: Fläche unter der Kurve b a f(x)dx Problem: Stammfunktion existiert oft nicht, oder ist schwierig zu finden oder sehr aufwendig zu berechnen Numerische Integration Kapitel Quelle: eigenes Bild Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/66

67 Hauptsatz der Differential und Integralrechnung Theorem (Hauptsatz der Differential und Integralrechnung) Sei f eine stetige Funktion im halboffenen Intervall [a, b), dann ist F (x) = x a f(t)dt eine differenzierbare Funktion, Stammfunktion von f, genannt, und erfüllt x [a, b): F (x) = f(x) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/67

68 Mittelwertsatz der Integralrechnung Theorem (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f eine stetige Funktion im Intervall [a, b] und x 1, x 2 [a, b], dann ξ (x 1, x 2 ), so dass 1 x2 f(ξ) = f(t)dt x 2 x 1 x Ξ Ξ Quelle: eigenes Bild Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/68

69 Mittelwertsatz der Differentialrechnung Theorem (Mittelwertsatz der Differentialrechnung) Sei f C 1 ([a, b]) eine stetig differenzierbare Funktion im Intervall [a, b] und x 1, x 2 [a, b], dann ξ (x 1, x 2 ), so dass f f(b) f(a) (ξ) = b a Quelle: eigenes Bild Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/69

70 Taylor-Polynom Gegeben: Funktion f mit n + 1 stetigen Ableitungen im Punkt x 0 Dann kann f in einer Umgebung von x 0 durch das Taylor-Polynom vom Grad n im Punkt x 0 approximiert werden T n (x) = f(x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) n! (x x 0) n f (n) (x 0 ) n (x x 0 ) k = f (k) (x 0 ) k! k=0 Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/70

71 Fehleranalyse Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/71

72 Fehleranalyse Fehler im wissenschaftlichen Rechnen unvermeidbar Beispiel: Darstellung der reellen Zahlen im Computer Fehler nicht vermeiden, sondern kontrollieren Verschiedene Fehlerarten: Modellfehler e M : ersetzen der physikalischen Realität durch ein mathematische Modell Rundungsfehler e a : Abbruchfehler e t (truncation error): beispielsweise durch abbrechen einer unendlichen Reihe nach endlich vielen Gliedern Berechnungsfehler e c (computational error): Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/72

73 Fehlerarten: Beispiel PP: physikalisches Problem Lösung x ph MM: mathematische Modell Lösung x NP: numerisches Problem Lösung x n Lösung mit Rundungs- und Abbruchfehler: ˆx Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/73

74 Modellfehler (Beispiel) Druckverlust-Gleichung als Vereinfachung der Impulsbilanz berechnet den Druckverlust sehr genau, aber: beim schnellen Öffnen und Schließen eines Ventils entstehen Druckschwingungen Druckverlust-Gleichung reicht hier nicht aus, nur beim langsamen Öffnen und Schließen des Ventils Zur Beschreibung der Druckschwingungen muss die vollständige Impulsbilanz gerechnet werden Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/74

75 Absoluter und relativer Fehler Exakte Lösung x, numerische Lösung ˆx Absoluter Rechenfehler e abs = x ˆx ( Absolutbetrag oder anderes Maß, nach Bedeutung von x) Relativer Rechenfehler (wenn x 0) e rel x ˆx = x Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/75

76 Konvergenz Kontinuierliches Modell: Approximation durch Diskretisierung Fehler abhängig von Diskretisierungsparameter h Konvergenz: wenn h 0 geht, dann ˆx x Wenn C Konstante, unabhängig von h e Ch p Verfahren konvergent von der Ordnung p Wenn C existiert mit e C h p, dann e Ch p Beispiel: Approximiere f (x) durch (f(x + h) f(x))/h Fehler geht gegen 0, wenn h 0 ( konvergent) Falls f C 2 dann e Ch ( Ordnung 1) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/76

77 Fehlerordnung Konvergenzuntersuchung: doppelt-logarithmische Graphen: Abszisse log(h), Ordinate log(e) Vorteil: wenn e Ch p dann log(e) log(c) + p log(h) p ist Steigung der Geraden log(e) Größere Steigung höhere Ordnung Abbildung: blaue Gerade Ordung 1, grüne Gerade Ordnung 2 Matlab: loglog(x,y) 1e4 1e2 1e0 1e 2 1e 4 1e 6 1e 8 1e 10 1e 12 1e 14 1e 16 1e 18 1e 10 1e 5 1e0 Quelle: eigenes Bild Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/77

78 Fehlerordnung Andere Möglichkeit Fehler e i für Werte h i bekannt, (i = 1... N) Annahme e i Ch p i dann p i = log(e i /e i 1 )/ log(h i /h i 1 ), Besser: lineare Regression log(e i ) über log(h i ) Fehler eigentlich nicht berechenbar Abschätzung des Fehlers Fehlerschätzer i = 2... N Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/78

79 Kosten Lösung eines Problems am Computer Algorithmus Algorithmus = Vorschrift in Form eines endlichen Textes, die in eindeutiger Weise alle zur Lösung des Problems notwendigen Schritte präzisiert Rechenaufwand eines Algorithmus (computational cost) Anzahl arithmetischer Operationen Maßeinheit: Floating-Point-Operationen (Flops) Vielfache: Megaflops=10 6 Flops Gigaflops=10 9 Flops Teraflops=10 12 Flops Schnellster Rechner: 2003: 136 Teraflops 2010: 2560 Teraflops (China) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/79

80 Komplexität Genaue Anzahl an Flops oft unbekannt (und weniger wichtig) Größenordnung in Funktion eines Parameters d Anzahl von Operationen: konstante Komplexität O(1) (von d unabhängig) lineare Komplexität O(d) polynomiale Komplexität O(d m ) exponentielle Komplexität O(c d ) faktorielle Komplexität O(d!) Symbol O(f(d)) gelesen: groß O von f(d) bedeutet: verhält sich für große d wie eine Konstante mal f(d) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/80

81 Komplexität Beispiel 1 Matrix-Vektor Produkt Quadratische Matrix A R n n, Vektor v R n Berechnung der j-ten Komponente von Av a j1 v 1 + a j2 v a j1 v n n Produkte und n 1 Summen n(2n 1) Operationen zur Berechnung von n Komponenten Quadratische Komplexität O(n 2 ) Ähnlich: Matrixprodukt O(n 3 ) Operationen Aber: geschickterer Algorithmus (Strassen): O(n log 2 7 ) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/81

82 Komplexität Beispiel 2 Berechnung der Determinante Rekursionsformel hat faktorielle Komplexität: O(n) Beispiel n = 24: Entspricht ca Operationen Rechner mit 1000 Teraflops braucht ca. 20 Jahre Bedarf an effizienten numerischen Verfahren Beispiel: Berechnung der Determinante durch Rückführung auf Matrixprodukte (Strassen-Algorithmus): Komplexität O(n log 2 7 ) Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/82

83 Laufzeit Komplexität wichtig für theoretische Untersuchungen Effektivität einer Implementierung auch durch andere Faktoren beeinflußt (beispielsweise Speicherzugriffe) Maß für Geschwindigkeit: CPU-Zeit (CPU = central processing unit) Reine Verarbeitungszeit ohne Laden der Daten (Input-Phase) und Speichern der Resultate (Output-Phase) Gesamte Ausführungszeit: Elapsed-Time In Matlab: CPU-Zeit mit tic und toc (früher: cputime) Elapsed-Time mit etime Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/83

84 Beispiel Laufzeitmessung der Berechnung des Matrix-Vektor Produkts n = 4000; step = 50; A = rand (n,n); v = rand (n,1); T = [ ]; sizea = [ ]; for k = 50: step :n AA = A (1:k,1: k); vv = v (1: k); tic ; b = AA*vv; tt = toc ; T = [T, tt ]; sizea = [ sizea,k]; end plot ( sizea, T, o ) Quelle: A. Quarteroni, F. Saleri Prof. R. Leithner, E. Zander Einführung in numerische Methoden für Ingenieure 1/84